Cum se rezolvă cea mai mare valoare a unei funcții. Cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției

Lasă funcția y=f(X) continuu pe intervalul [ a, b]. După cum se știe, o astfel de funcție își atinge valorile maxime și minime în acest interval. Funcția poate lua aceste valori fie într-un punct interior al segmentului [ a, b], sau la limita segmentului.

Pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe segment [ a, b] necesar:

1) găsiți punctele critice ale funcției în intervalul ( a, b);

2) calculați valorile funcției la punctele critice găsite;

3) calculați valorile funcției la capetele segmentului, adică pt X=darși x = b;

4) dintre toate valorile calculate ale funcției, alegeți cea mai mare și cea mai mică.

Exemplu. Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții

pe segment.

Găsirea punctelor critice:

Aceste puncte se află în interiorul segmentului; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

la punct X= 3 și la punct X= 0.

Investigarea unei funcții pentru convexitate și un punct de inflexiune.

Funcţie y = f (X) numit convexă intre (A, b) , dacă graficul său se află sub o tangentă desenată în orice punct al acestui interval și se numește convex în jos (concav) dacă graficul său se află deasupra tangentei.

Se numește punctul de tranziție prin care convexitatea este înlocuită cu concavitate sau invers punct de inflexiune.

Algoritm pentru studiul convexității și punctului de inflexiune:

1. Aflați punctele critice de al doilea fel, adică punctele în care derivata a doua este egală cu zero sau nu există.

2. Pune punctele critice pe dreapta numerică, împărțind-o în intervale. Aflați semnul derivatei a doua pe fiecare interval; dacă , atunci funcția este convexă în sus, dacă, atunci funcția este convexă în jos.

3. Dacă, la trecerea printr-un punct critic de al doilea fel, acesta își schimbă semnul și în acest punct derivata a doua este egală cu zero, atunci acest punct este abscisa punctului de inflexiune. Găsiți-i ordonata.

Asimptotele graficului unei funcții. Investigarea unei funcții în asimptote.

Definiție. Asimptota graficului unei funcții se numește Drept, care are proprietatea că distanța de la orice punct al graficului până la această linie tinde spre zero cu o îndepărtare nelimitată a punctului grafic de la origine.

Există trei tipuri de asimptote: vertical, orizontal și înclinat.

Definiție. Apelat direct asimptotă verticală graficul funcției y = f(x), dacă cel puțin una dintre limitele unilaterale ale funcției în acest punct este egală cu infinit, adică

unde este punctul de discontinuitate al funcției, adică nu aparține domeniului definiției.

Exemplu.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

X= 2 - punctul de rupere.

Definiție. Drept y=A numit asimptotă orizontală graficul funcției y = f(x) la , dacă

Exemplu.

Definiție. Drept y=kx +b (k≠ 0) se numește asimptotă oblică graficul funcției y = f(x) unde

Schemă generală pentru studiul funcțiilor și a graficului.

Algoritm de cercetare a funcțieiy = f(x) :

1. Găsiți domeniul funcției D (y).

2. Găsiți (dacă este posibil) punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate (cu X= 0 și la y = 0).

3. Investigați funcțiile pare și impare ( y (‒ X) = y (X) ‒ paritate; y(‒ X) = ‒ y (X) ‒ ciudat).

4. Găsiți asimptotele graficului funcției.

5. Găsiți intervale de monotonitate ale funcției.

6. Aflați extremele funcției.

7. Aflați intervalele de convexitate (concavitate) și punctele de inflexiune ale graficului funcției.

8. Pe baza cercetărilor efectuate, construiți un grafic al funcției.

Exemplu. Investigați funcția și trasați graficul acesteia.

1) D (y) =

X= 4 - punctul de rupere.

2) Când X = 0,

(0; – 5) – punctul de intersecție cu oi.

La y = 0,

3) y(‒ X)= funcţie vedere generala(nici par, nici impar).

4) Investigam pentru asimptote.

a) verticală

b) orizontală

c) găsi asimptote oblice unde

‒ecuația asimptotă oblică

5) În această ecuație, nu este necesară găsirea intervalelor de monotonitate ale funcției.

6)

Aceste puncte critice împart întregul domeniu al funcției pe intervalul (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) și (10; +∞). Este convenabil să prezentați rezultatele obținute sub forma următorului tabel.

Cum să găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment?

Pentru aceasta urmam binecunoscutul algoritm:

1 . Găsim funcții ODZ.

2 . Găsirea derivatei unei funcții

3 . Echivalează derivata cu zero

4 . Găsim intervalele la care derivata își păstrează semnul, iar din ele determinăm intervalele de creștere și scădere a funcției:

Dacă pe intervalul I derivata funcției 0" title="(!LANG:f^(prim)(x)>0">, то функция !} crește în acest interval.

Dacă pe intervalul I derivata funcției , atunci funcția scade în acest interval.

5 . Găsim punctele maxime și minime ale funcției.

ÎN funcția punct maxim, derivata își schimbă semnul din „+” în „-”.

ÎN punctul minim al funcțieiderivata schimbă semnul de la „-” la „+”.

6 . Găsim valoarea funcției la capetele segmentului,

• apoi comparăm valoarea funcției la capetele segmentului și la punctele maxime și alegeți cel mai mare dintre ele dacă trebuie să găsiți cea mai mare valoare funcții
• sau comparăm valoarea funcției la capetele segmentului și la punctele minime și alegeți cel mai mic dintre ele dacă trebuie să găsiți cea mai mică valoare a funcției

Totuși, în funcție de modul în care funcția se comportă pe interval, acest algoritm poate fi redus semnificativ.

Luați în considerare funcția . Graficul acestei funcții arată astfel:

Să luăm în considerare câteva exemple de rezolvare a problemelor din Open Task Bank pentru

unu . Sarcina B15 (#26695)

Pe tăietură.

1. Funcția este definită pentru toate valorile reale ale lui x

Evident, această ecuație nu are soluții, iar derivata este pozitivă pentru toate valorile lui x. Prin urmare, funcția crește și ia cea mai mare valoare la capătul drept al intervalului, adică la x=0.

Raspuns: 5.

2 . Sarcina B15 (nr. 26702)

Găsiți cea mai mare valoare a unei funcții pe segment.

1.Funcția ODZ title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Derivata este zero la , cu toate acestea, în aceste puncte nu își schimbă semnul:

Prin urmare, title="(!LANG:3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} crește și ia cea mai mare valoare la capătul drept al intervalului, la .

Pentru a clarifica de ce derivata nu își schimbă semnul, transformăm expresia pentru derivată după cum urmează:

Title="(!LANG:y^(prim)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Raspuns: 5.

3 . Sarcina B15 (#26708)

Găsiți cea mai mică valoare a funcției pe intervalul .

1. Funcții ODZ: title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Să plasăm rădăcinile acestei ecuații pe un cerc trigonometric.

Intervalul conține două numere: și

Să punem semnele. Pentru a face acest lucru, determinăm semnul derivatei în punctul x=0: . La trecerea prin puncte și derivata își schimbă semnul.

Să descriem schimbarea semnelor derivatei funcției pe linia de coordonate:

Evident, punctul este un punct minim (unde derivata își schimbă semnul de la „-” la „+”), iar pentru a găsi cea mai mică valoare a funcției pe segment, trebuie să comparați valorile funcției la punct minim și la capătul din stânga segmentului, .

Procesul de a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un segment amintește de un zbor fascinant în jurul unui obiect (un grafic al unei funcții) pe un elicopter cu tragere dintr-un tun cu rază lungă de acțiune în anumite puncte și alegând dintre aceste puncte puncte foarte speciale pentru lovituri de control. Punctele sunt selectate într-un anumit mod și în conformitate cu anumite reguli. După ce reguli? Vom vorbi mai departe despre asta.

Dacă funcţia y = f(X) continuu pe intervalul [ A, b] , apoi ajunge pe acest segment cel mai puţin Și cele mai mari valori . Acest lucru se poate întâmpla fie în puncte extremum sau la capetele segmentului. Prin urmare, pentru a găsi cel mai puţin Și cele mai mari valori ale funcției , continuu pe segmentul [ A, b] , trebuie să-i calculați valorile în totalitate puncte criticeși la capetele segmentului, apoi alegeți cel mai mic și cel mai mare dintre ele.

Să fie, de exemplu, este necesar să se determine valoarea maximă a funcției f(X) pe segmentul [ A, b] . Pentru a face acest lucru, găsiți toate punctele sale critice situate pe [ A, b] .

punct critic se numeste punctul in care functie definita, si ea derivat fie este zero, fie nu există. Apoi ar trebui să calculați valorile funcției în punctele critice. Și, în sfârșit, ar trebui să comparăm valorile funcției în punctele critice și la capetele segmentului ( f(A) Și f(b) ). Cel mai mare dintre aceste numere va fi cea mai mare valoare a funcției pe interval [A, b] .

Problema găsirii cele mai mici valori ale funcției .

Căutăm împreună cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției

Exemplul 1. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment [-1, 2] .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții. Echivalează derivata cu zero () și obține două puncte critice: și . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, este suficient să calculați valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul , deoarece punctul nu aparține segmentului [-1, 2] . Aceste valori ale funcției sunt următoarele: , , . Rezultă că cea mai mică valoare a funcției(marcat cu roșu pe graficul de mai jos), egal cu -7, este atins la capătul din dreapta al segmentului - în punctul , și cel mai mare(de asemenea roșu pe grafic), este egal cu 9, - în punctul critic .

Dacă funcția este continuă într-un anumit interval și acest interval nu este un segment (dar este, de exemplu, un interval; diferența dintre un interval și un segment: punctele limită ale intervalului nu sunt incluse în interval, ci punctele de limită ale segmentului sunt incluse în segment), apoi printre valorile funcției este posibil să nu existe cel mai mic și cel mai mare. Deci, de exemplu, funcția descrisă în figura de mai jos este continuă pe ]-∞, +∞[ și nu are cea mai mare valoare.

Cu toate acestea, pentru orice interval (închis, deschis sau infinit), este valabilă următoarea proprietate a funcțiilor continue.

Exemplul 4. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment [-1, 3] .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții ca derivată a coeficientului:

.

Echivalăm derivata cu zero, ceea ce ne oferă un punct critic: . Aparține intervalului [-1, 3] . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Să comparăm aceste valori. Concluzie: egal cu -5/13, la punctul și cea mai mare valoare egal cu 1 la punctul .

Continuăm să căutăm împreună cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției

Sunt profesori care, pe tema găsirii celor mai mici și mai mari valori ale unei funcții, nu dau elevilor exemple mai complicate decât cele luate în considerare, adică acelea în care funcția este un polinom sau o fracție, numărătorul. iar numitorul cărora sunt polinoame. Dar nu ne vom limita la astfel de exemple, deoarece printre profesori sunt iubitori de a-i face pe elevi să gândească în întregime (tabelul derivatelor). Prin urmare, se vor folosi logaritmul și funcția trigonometrică.

Exemplul 6. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții ca derivat al produsului :

Echivalăm derivata cu zero, ceea ce dă un punct critic: . Aparține segmentului. Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Rezultatul tuturor acțiunilor: funcția își atinge valoarea minimă, egal cu 0, într-un punct și într-un punct și cea mai mare valoare egal cu e² , la punctul .

Exemplul 7. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții:

Echivalează derivata cu zero:

Singurul punct critic aparține segmentului . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Ieșire: funcția își atinge valoarea minimă, egal cu , la punctul și cea mai mare valoare, egal cu , la punctul .

În problemele extreme aplicate, găsirea celor mai mici (mai mari) valori ale funcției, de regulă, se reduce la găsirea minimului (maximului). Dar nu minimele sau maximele în sine prezintă un interes practic mai mare, ci valorile argumentului la care sunt atinse. La rezolvarea problemelor aplicate, apare o dificultate suplimentară - compilarea funcțiilor care descriu fenomenul sau procesul luat în considerare.

Exemplul 8 Un rezervor cu o capacitate de 4, avand forma unui paralelipiped cu baza patrata si deschis in varf, trebuie sa fie cositorit. Care ar trebui să fie dimensiunile rezervorului pentru a-l acoperi cu cea mai mică cantitate de material?

Soluţie. Lasa X- partea de bază h- inaltimea rezervorului, S- suprafața sa fără acoperire, V- volumul acestuia. Suprafața rezervorului este exprimată prin formula , adică este o funcție a două variabile. A exprima Sîn funcție de o variabilă, folosim faptul că , de unde . Înlocuind expresia găsită hîn formula pentru S:

Să examinăm această funcție pentru un extremum. Este definită și diferențiabilă peste tot în ]0, +∞[ , și

.

Echivalăm derivata cu zero () și găsim punctul critic. În plus, la , derivata nu există, dar această valoare nu este inclusă în domeniul definiției și, prin urmare, nu poate fi un punct extremum. Deci, - singurul punct critic. Să verificăm prezența unui extremum folosind al doilea criteriu suficient. Să găsim derivata a doua. Când derivata a doua este mai mare decât zero (). Aceasta înseamnă că atunci când funcția atinge un minim . Pentru că asta minim - singurul extrem al acestei funcții, este cea mai mică valoare a acesteia. Deci, partea bazei rezervorului ar trebui să fie egală cu 2 m și înălțimea acestuia.

Exemplul 9 Din paragraf A, situat pe linia de cale ferata, pana la punct DIN, la distanță de el l, mărfurile trebuie transportate. Costul transportului unei unități de greutate pe unitate de distanță pe calea ferată este egal cu , iar pe autostradă este egal cu . Până în ce punct M linii calea ferata ar trebui construită o autostradă astfel încât transportul mărfurilor din DARîn DIN a fost cel mai economic AB se presupune că calea ferată este dreaptă)?

Să vedem cum să explorezi o funcție folosind un grafic. Se pare că, privind graficul, puteți afla tot ce ne interesează, și anume:

• domeniul de aplicare al funcției
• intervalul de funcții
• zerouri ale funcției
• perioade de crestere si scadere
• puncte înalte și scăzute
• cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției de pe segment.

Să clarificăm terminologia:

Abscisă este coordonata orizontală a punctului.
Ordonată- coordonata verticala.
abscisă- axa orizontală, numită cel mai adesea axă.
axa Y- axa verticală, sau axa.

Argument este o variabilă independentă de care depind valorile funcției. Cel mai adesea indicat.
Cu alte cuvinte, noi înșine alegem , înlocuim în formula funcției și obținem .

Domeniu funcții - setul acelor (și numai acelea) valori ale argumentului pentru care există funcția.
Notat: sau .

În figura noastră, domeniul funcției este un segment. Pe acest segment este trasat graficul funcției. Doar aici există această funcție.

Gama de funcții este setul de valori pe care variabila ia. În figura noastră, acesta este un segment - de la cea mai mică la cea mai mare valoare.

Zerourile funcției- punctele în care valoarea funcției este egală cu zero, adică . În figura noastră, acestea sunt punctele și .

Valorile funcției sunt pozitive Unde . În figura noastră, acestea sunt intervalele și .
Valorile funcției sunt negative Unde . Avem acest interval (sau interval) de la până.

Cele mai importante concepte - funcţii crescătoare şi descrescătoare pe vreun platou. Ca set, puteți lua un segment, un interval, o uniune de intervale sau întreaga linie numerică.

Funcţie crește

Cu alte cuvinte, cu cât mai mult, cu atât mai mult, adică graficul merge la dreapta și în sus.

Funcţie scade pe mulţime dacă pentru oricare şi aparţinând mulţimii inegalitatea implică inegalitatea .

Pentru o funcție descrescătoare, o valoare mai mare corespunde unei valori mai mici. Graficul merge la dreapta și în jos.

În figura noastră, funcția crește pe interval și scade pe intervale și .

Să definim ce este punctele maxime și minime ale funcției.

Punct maxim- acesta este un punct intern al domeniului de definiție, astfel încât valoarea funcției din acesta este mai mare decât în ​​toate punctele suficient de apropiate de acesta.
Cu alte cuvinte, punctul maxim este un astfel de punct, valoarea funcției la care Mai mult decât în ​​cele vecine. Acesta este un „deal” local pe diagramă.

În figura noastră - punctul maxim.

Punct scăzut- un punct intern al domeniului de definiție, astfel încât valoarea funcției din acesta să fie mai mică decât în ​​toate punctele suficient de apropiate de acesta.
Adică, punctul minim este astfel încât valoarea funcției din el este mai mică decât în ​​cele învecinate. Pe grafic, aceasta este o „găură” locală.

În figura noastră - punctul minim.

Punctul este granița. Nu este un punct interior al domeniului definiției și, prin urmare, nu se potrivește definiției unui punct maxim. La urma urmei, nu are vecini în stânga. În același mod, nu poate exista niciun punct minim pe graficul nostru.

Punctele maxime și minime sunt numite colectiv punctele extreme ale funcției. În cazul nostru, acesta este și .

Dar dacă trebuie să găsiți, de exemplu, funcția minimă pe tăietură? În acest caz, răspunsul este: deoarece funcția minimă este valoarea sa la punctul minim.

În mod similar, maximul funcției noastre este . Se ajunge la punctul .

Putem spune că extremele funcției sunt egale cu și .

Uneori, în sarcini pe care trebuie să le găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției pe un segment dat. Ele nu coincid neapărat cu extreme.

În cazul nostru cea mai mică valoare a funcției pe interval este egal și coincide cu minimul funcției. Dar valoarea sa cea mai mare pe acest segment este egală cu . Se ajunge la capătul stâng al segmentului.

În orice caz, cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții continue pe un segment sunt atinse fie la punctele extreme, fie la capetele segmentului.