Задачи на построение сечений куба плоскостью, как правило, проще чем, например, задачи на сечения пирамиды.

Провести прямую можем через две точки, если они лежат в одной плоскости. При построении сечений куба возможен еще один вариант построения следа секущей плоскости. Поскольку две параллельные плоскости третья плоскость пересекает по параллельным прямым, то, если в одной из граней уже построена прямая, а в другой есть точка, через которую проходит сечение, то можем провести через эту точку прямую, параллельную данной.

Рассмотрим на конкретных примерах, как построить сечения куба плоскостью.

1) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки A, C и M.

Задачи такого вида — самые простые из всех задач на построение сечений куба. Поскольку точки A и C лежат в одной плоскости (ABC), то через них можем провести прямую. Ее след — отрезок AC. Он невидим, поэтому изображаем AC штрихом. Аналогично соединяем точки M и C, лежащие в одной плоскости (CDD1), и точки A и M, которые лежат в одной плоскости (ADD1). Треугольник ACM — искомое сечение.

2) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Здесь только точки M и N лежат в одной плоскости (ADD1), поэтому проводим через них прямую и получаем след MN (невидимый). Поскольку противолежащие грани куба лежат в параллельных плоскостях, то секущая плоскость пересекает параллельные плоскости (ADD1) и (BCC1) по параллельным прямым. Одну из параллельных прямых мы уже построили — это MN.

Через точку P проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро BB1 в точке S. PS — след секущей плоскости в грани (BCC1).

Проводим прямую через точки M и S, лежащие в одной плоскости (ABB1). Получили след MS (видимый).

Плоскости (ABB1) и (CDD1) параллельны. В плоскости (ABB1) уже есть прямая MS, поэтому через точку N в плоскости (CDD1) проводим прямую, параллельную MS. Эта прямая пересекает ребро D1C1 в точке L. Ее след — NL (невидимый). Точки P и L лежат в одной плоскости (A1B1C1), поэтому проводим через них прямую.

Пятиугольник MNLPS — искомое сечение.

3) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Точки M и N лежат в одной плоскости (ВСС1), поэтому через них можно провести прямую. Получаем след MN (видимый). Плоскость (BCC1) параллельна плоскости (ADD1),поэтому через точку P, лежащую в (ADD1), проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро AD в точке E. Получили след PE (невидимый).

Больше нет точек, лежащей в одной плоскости, или прямой и точки в параллельных плоскостях. Поэтому надо продолжить одну из уже имеющихся прямых, чтобы получить дополнительную точку.

Если продолжать прямую MN, то, поскольку она лежит в плоскости (BCC1), нужно искать точку пересечения MN с одной из прямых этой плоскости. С CC1 и B1C1 точки пересечения уже есть — это M и N. Остаются прямые BC и BB1. Продолжим BC и MN до пересечения в точке K. Точка K лежит на прямой BC, значит, она принадлежит плоскости (ABC), поэтому через нее и точку E, лежащую в этой плоскости, можем провести прямую. Она пересекает ребро CD в точке H. EH -ее след (невидимый). Поскольку H и N лежат в одной плоскости (CDD1), через них можно провести прямую. Получаем след HN (невидимый).

Плоскости (ABC) и (A1B1C1) параллельны. В одной из них есть прямая EH, в другой — точка M. Можем провести через M прямую, параллельную EH. Получаем след MF (видимый). Проводим прямую через точки M и F.

Шестиугольник MNHEPF — искомое сечение.

Если бы мы продолжили прямую MN до пересечения с другой прямой плоскости (BCC1), с BB1, то получили бы точку G, принадлежащую плоскости (ABB1). А значит, через G и P можно провести прямую, след которой PF. Далее — проводим прямые через точки, лежащие в параллельных плоскостях, и приходим к тому же результату.

Работа с прямой PE дает то же сечение MNHEPF.

4) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точку M, N, P.

Здесь можем провести прямую через точки M и N, лежащие в одной плоскости (A1B1C1). Ее след — MN (видимый). Больше нет точек, лежащих в одной плоскости либо в параллельных плоскостях.

Продолжим прямую MN. Она лежит в плоскости (A1B1C1), поэтому пересечься может только с одной из прямых этой плоскости. С A1D1 и C1D1 точки пересечения уже есть — N и M. Еще две прямые этой плоскости — A1B1 и B1C1. Точка пересечения A1B1 и MN — S. Поскольку она лежит на прямой A1B1, то принадлежит плоскости (ABB1), а значит, через нее и точку P, лежащую в этой же плоскости, можно провести прямую. Прямая PS пересекает ребро AA1 в точке E. PE — ее след (видимый). Через точки N и E, лежащие в одной плоскости (ADD1), можно провести прямую, след которой — NE (невидимый). В плоскости (ADD1) есть прямая NE, в параллельной ей плоскости (BCC1) — точка P. Через точку P можем провести прямую PL, параллельную NE. Она пересекает ребро CC1 в точке L. PL — след этой прямой (видимый). Точки M и L лежат в одной плоскости (CDD1), значит, через них можно провести прямую. Ее след — ML (невидимый). Пятиугольник MLPEN — искомое сечение.

Можно было продолжать прямую NM в обе стороны и искать ее точки пересечения не только с прямой A1B1, но и с прямой B1C1, также лежащей в плоскости (A1B1C1). В этом случае через точку P проводим сразу две прямые: одну — в плоскости (ABB1) через точки P и S, а вторую — в плоскости (BCC1), через точки P и R. После чего остается соединить лежащие в одной плоскости точки: M c L, E — с N.

Существует 2 основных метода построения сечений многогранников:

Аксиоматический метод построения сечений

1. Метод следов

Пример 1.

На ребрах АА" и В"С" призмы АВСА"В"С" зададим соответственно точку P и Q. Построим сечение призмы плоскостью (PQR), точку R которой зададим в одной из следующих граней:
а) ВССВ"С";
б) А"В"С";
в) АВС

Решение.

а) 1) Так как точки Q и R лежат в плоскости (ВСС"), то в этой плоскости лежит прямая QR. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскость(ВСС"). (рис.1)

2) Находим точки В"" и С", в которых прямая QR пересекает соответственно прямые ВВ" и СС". Точки В" и С" - это следы плоскости (PQR) соответственно на прямых ВВ" и СС".

3) Так как точки В"" и Р лежат в плоскости (АВВ"), то прямая В""Р лежит в этой плоскости. Проведем ее. Отрезок В**Р - след плоскости (PQR) на грани АВВ"А".

4) Так как точки Р и С лежат в плоскости (АСС"), то прямая РС"" лежит в этой плоскости. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (АСС").

5) Находим точку V, в которой прямая РС"" пересекает ребро А"С". Это след плоскости (PQR) на ребре А"С".

6) Тачка как точки Q и V лежат в плоскости (А"В"С"), то прямая QV лежит в этой плоскости. Проведем прямую QV. Отрезок QV - след плоскости (PQR) на грани АВС. Итак, мы получили многоугольник QB""PV - искомое сечение.

б) 1) Так как точки Q и R лежат в плоскости (А"В"С"), то в этой плоскости лежит прямая QR. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (А"В"С").(рис.2)

2) Находим точки D" и Е", в которых прямая QR пересекает соответственно прямые А"В" и B"С". Так как точка D" лежит на ребре А"В", отрезок QD" - след плоскости (PQR) на грани А"В"С".

3) Так как точки D" и P лежат в плоскости (АВВ"), то прямая D"P лежит в этой плоскости. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (АВВ"), а отрезок D"P - след плоскости (PQR) на грани АВВ"А".

4) Так как точки Р и Е" лежат в плоскости (АСС"), то в этой плоскости лежит прямая РЕ". Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (АСС").

5) Находим точку С""=PE""CC". Так как точка С"" лежит на ребре СС", то отрезок РС"" - это след плоскости (PQR) на грани АСС"А".

6) Так как точки Q и С"" лежат в плоскости (ВСС"), то прямая QC"" лежит в этой плоскости. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (ВСС"), а отрезок QC""- след плоскости (PQR) на грани ВСС"В". Итак, мы получили многоугольник QD"РС"" - это и есть искомое сечение.

в) 1) Из трех заданных точек Р, Q и R никакие две не лежат в какой-нибудь одной из плоскостей граней призмы, поэтому найдем основной след плоскости (PQR) (т. е. линию пересечения плоскости (PQR) с плоскостью (АВС), выбранной в качестве основной). Для этого сначала найдем проекции точек Р, Q и R на плоскость (АВС) в направлении, параллельном боковому ребру призмы. Так как точка Р лежит на ребре АА", то точка Р" совпадает с точкой А. Так как точка Q лежит в плоскости (ВСС"), то в этой плоскости через точку Q проведем прямую, параллельную прямой ВВ", и найдем точку Q", в которой проведенная прямая пересекает прямую ВС. Так как точка R по условию лежит в плоскости, выбранной в качестве основной, то точка R" совпадает с точкой R.(Рис.3)

2) Параллельными прямыми РР" и QQ" определяется плоскость. Проведем в этой плоскости прямые PQ и Р"Q" и найдем точку S=PQ пересекает P"Q". Так как точка S" лежит на прямой PQ, то она лежит в плоскости (PQR), и так как точка S" лежит на прямой Р"Q", то она лежит в плоскости (АВС). Таким образом, точка S" является общей точкой плоскостей (PQR) и (АВС). Это значит, что плоскости (PQR) и (АВС) пересекаются по прямой, проходящей через точку S".

3) Так как точка R совпадает с точкой R", то точка R - это еще одна общая точка плоскостей (PQR) и (АВС). Таким образом, прямая S"R - основной след плоскости (PQR). Проведем эту прямую. Как видим из рисунка, прямая S"R пересекает ребра АВ и ВС основания призмы соответственно в точках S" "и S""".

4) Так как точки S""" и Q лежат в плоскости (ВСС"), то прямая S""" Q лежит в этой плоскости. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (ВСС"). А отрезок S""" Q, - след плоскости (PQR) на грани ВСС"В".

5) Аналогично находим отрезок S"" Р - след плоскости (PQR) на грани АВВ"А".

7) Находим точку F=PC"" пересекает A"С" и получаем затем отрезок PF - след плоскости (PQR) на грани АСС"А".

8) Точки Q и F лежат в плоскости А"В"C", поэтому прямая QF лежит в плоскости (А"В"C"). Проведем прямую QF, получим отрезок QF - след плоскости (PQR) на грани А"В"C". Итак, мы получили многоугольник QS"""S""PF - искомое сечение.

3 а м е ч а н и е . Покажем другой путь нахождения точки С"", при котором не находим точку пересечения прямой S""" Q с прямой С"С"". Будем рассуждать следующим образом. Если следом плоскости (PQR) на прямой СС" является некоторая точка V, то ее проекция на плоскость (АВС) совпадает с точкой С. Тогда точка S""""= V"P "пересекает VP лежит на основном следе S"R плоскости (PQR). Строим эту точку S"""" как точку пересечения прямых V"P" (это прямая СА) и S"R. А далее проводим прямую S""""Р. Она пересекает прямую СС" в точке V.

Пример 2.

На ребре МВ пирамиды МАВСD зададим точку Р, на ее грани MCD зададим точку Q. Построим сечение пирамиды плоскостью (PQR), точку R которой зададим:
а) на ребре МС;
б) на грани МАD;
в) в плоскости (МАС), вне пирамиды.

Решение.

a) Следом плоскости (PQR) на грани МВС является отрезок РR, а ее следом на грани MCD является отрезок RD", где точка D" - это точка пересечения прямой RQ с ребром МD. Ясно, что плоскость (PQR) имеет следы на гранях MAD и МАВ (так как с этими гранями плоскость (PQR) имеет общие точки). Найдем след плоскости (PQR) на прямой МА. Сделаем это следующим образом:

1) Построим точки Р", Q" и R" - проекции точек Р, Q и R из центра М на плоскость (АВС), принимаемую, таким образом, за основную плоскость. (Рис. 4)

3) Если плоскость (PQR) пересекает прямую МА в некоторой точке V, то точка V" совпадает с точкой А и точка S"""= VQ пересекает V"Q" лежит на прямой S" S"". Другими словами, в точке S""" пересекаются три прямые: VQ, V"Q"" и S" S"". Две последние прямые из этих трех на чертеже уже есть. Поэтому точку S""" мы построим как точку пересечения прямых V"Q" и SS"".

4) Проведем прямую QS""" (она совпадает с прямой VQ, так как прямая VQ должна проходить через точку S""", т. е. точки V, Q и S""" лежат на одной прямой).

5) Находим точку V, в которой прямая QS"" "пересекает прямую МА, Точка V - это след плоскости (PQR) на ребре МА. Далее ясно, что отрезки PV и VD" - следы плоскости (PQR) соответственно на гранях МАВ и MAD. Таким образом, многоугольник PRD"V - искомое сечение.

б) 1) Принимаем плоскость (АВС) за основную плоскость и строим точки P", Q" и R" - проекции соответственно точек Р, Q и R на плоскость (АВС). Центром этого внутреннего проектирования является точка М.(Рис.5.)

2) Строим прямую S"S"" - основной след плоскости (PQR).

3) Если плоскость (PQR) пересекает прямую МА в точке V, то точка V" - проекция точки V на плоскость (АВС) из центра М- совпадает с точкой А, а прямые S"S"", V"R" и прямая VR, точка V которой пока нами не построена, пересекаются в точке S""". Находим эту точку S"""=V"R" пересекается S"S"" . "", и находим точку V=RS""" пересекается MA. Дальнейшее построение ясно. Искомым сечением является многоугольник PVD"Т.

в)

(Рис.6.) Пусть точка R расположена в плоскости (МАС) так, как это показано на рисунке 6.

1) Принимаем плоскость (АВС) за основную плоскость и строим точки P", Q" и R" - проекции соответственно точек P, Q и R на плоскость (ABC). (центром проектирования является точка М.)

2) Строим прямую S"S"", - основной след плоскости (PQR).

3) Находим точку V - след плоскости (PQR) на прямой МА. Точка V" - проекция точки V на плоскость (АВС) из центра М- совпадает в этом случае с точкой А.

4) Находим точку S"""= P"V" пересекается S"S"", а затем и точку V =PS""" пересекается МА.

5) Получаем след РV плоскости (PQR) на плоскости (МАВ).

6) Находим точку T - след плоскости (PQR) на прямой МО. Ясно, что точка Т" в этом случае совпадает с точкой D. Для построения точки T строим точку S""""=Q"T" пересекается S"S"", а затем точку T = QS""" "пересекается MT".

7) Совокупность следов PV, VT, ТС", и С"P, т. е. многоугольник PVTC" - искомое сечение.

Комбинированный метод построения сечений

Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом.

Пример№1.

На ребрах AB и AD пирамиды MABCD зададим соответственно точки P и Q - середины этих ребер, а на ребре MC зададим точку R. Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P, Q и R.

Решение

(рисунок 14):

1). Ясно, что основным следом плоскости PQR является прямая PQ.

2). Найдем точку К, в которой плоскость МАС пересекает прямую PQ. Точки К и R принадлежат и плоскости PQR, и плоскости MAC. Поэтому, проведя прямую KR, мы получим линию пересечения этих плоскостей.

3). Найдем точку N=AC BD, проведем прямую MN и найдем точку F=KR MN.

4). Точка F является общей точкой плоскостей PQR и MDB, то есть эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку F. Вместе с тем так как PQ - средняя линия треугольника ABD, то PQ параллена BD, то есть прямая PQ параллельна и плоскости MDB. Тогда плоскость PQR, проходящая через прямую PQ, пересекает плоскость MDB по прямой, параллельной прямой PQ, то есть параллельной и прямой BD. Поэтому в плоскости MDB через точку F проведем прямую, параллельную прямой BD.

5). Дальнейшие построения понятны из рисунка. В итоге получаем многоугольник PQD"RB" - искомое сечение.

1. Построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельную другой заданной прямой.

Пусть, например, требуется построить сечение многогранника плоскостью @, проходящей через заданную прямую р параллельную второй заданной прямой q. В общем случае решение этой задачи требует некоторых предварительных построений, которые можно выполнять по следующему плану:

1). Через вторую прямую q и какую-нибудь точку W первой прямой p проведем плоскость бетта (рис.

2). В плоскости бетта через точку W проведем прямую q" параллельную q.

3). Пересекающимися прямыми p и q". Определяется плоскость @. На этом предварительные построения заканчиваются и можно переходить к построению непосредственно сечения многогранника плоскостью @. В некоторых случаях особенности конкретной задачи позволяет осуществить и болле короткий план решения. Рассмотрим примеры.

Пример№2.

На ребрах BC и MA пирамиды MABC зададим соответственно точки P и Q. Построим сечение пирамиды плоскостью @, проходящей через прямую PQ параллельно прямой AR, точку R, которую зададим следующим образом: а). На ребре MB; б). Она совпадает с точкой В; в). В грани MAB.

Решение:

а)

.(рисунок Плоскость, проходящая через вторую прямую, то есть прямую AR, и точку Q, взятую на первой прямой, на изображении уже есть. Это плоскость MAB.

2). В плоскости MAB через точку Q проведем прямую QF параллельную AR.

3). Пересекающимися прямыми PQ и QF определяется плоскость @ (эта плоскость PQF) - плоскость искомого сечения. Построим это сечение методом следов.

4). Точка B совпадает с точкой F" - проекцией точки F на плоскость ABC (из центра М), а точка A совпадает с точкой Q" - проекция точки Q на эту плоскость. Тогда точка S"=FQ F"Q" лежит на основном следе секущей плоскости @. Так как точка P лежит на основном следе секущей плоскости, то прямая S"P - это основной след плоскости @, а отрезок S""P - след плоскости @ на грани ABC. Далее ясно, что точку P следует соединить с точкой F. В итоге получаем четырехугольник PFQS"" - искомое сечение.

б)

(рисунокПлоскость, проходящая через прямую AB и точку Р прямой PQ, на изображении уже построена. Это плоскость АВС. Продолжим построение по вышеизложенному плану.

2). В плоскости АВС через точку P проведем прямую PD, параллельную прямой AB.

3). Пересекающимися прямыми PQ и PD определяется плоскость альфа (это плоскость PQD) - плоскость искомого сечения. Построим это сечение.

4). Ясно, что следом плоскости альфа на грани МАС является отрезок DQ.

5). Дальнейшие построения выполним, принимая во внимание следующие соображения. Так как прямая PD параллельна прямой AB, то прямая PD параллельна плоскости МАВ. Тогда плоскость альфа, проходящая через прямую PD, пересекает плоскость МАВ по прямой, параллельной прямой PD, то есть и прямой АВ. Итак, в плоскости МАВ через точку Q проведем прямую QE параллельную АВ. Отрезок QE - это след плоскости альфа на грани МАВ.

6). Соединим точку Р с точкой Е. Отрезок РЕ - это след плоскости альфа на грани МВС. Таким образом, четырехугольник PEQD - искомое сечение. совпадает с точкой А, а точка L" совпадает с R"=MR BC. Тогда точка S"=LQ L"Q" лежит на основном следе секущей плоскости альфа. Этим основным следом является прямая S"P, а следом плоскости альфа на грани АВС является отрезок S""P. Далее прямая PL - это след плоскости альфа на плоскости МВС, а отрезок РN - след плоскости альфа на грани МВС. Итак, четырехугольник PS""QN - искомое сечение.

Пример 3.

На диагоналях АС и C"E" оснований призмы ABCDEA"B"C"D"E" зададим соответственно точки P и Q. Построим сечение призмы плоскостью альфа, проходящей через прямую PQ параллельно одной из следующих прямых: а). АВ; б). АС"; в). BC" Решение:

а)

(рисунок Плоскость. проходящая через прямую АВ - вторую заданную прямую и точку Р, взятую на первой прямой, уже построена. Это плоскость АВС.

2). В плоскости АВС через точку Р проведем прямую, параллельно прямой АВ, и найдем точки К и L, в которых эта прямая пересекает соответственно прямые ВС и АЕ. B"C" также параллельны между собой. Принимая во внимание, что KL параллельна AB и A"B" параллельна АВ, проведем в плоскости А"B"C" через точку Q прямую, параллельную прямой A"B", и найдем точки F и Т, в которых эта прямая пересекает соответственно прямые C"D" и A"E". Далее получаем отрезок TL - след плоскости альфа на грани AEE"A", точку S"=KL CD, прямую S"F - след плоскости альфа на плоскости CDD" , отрезок FC"" - след плоскости альфа на грани CDD"C" и, наконец, отрезок C""K - след плоскости альфа на грани BCC"B". В итоге получаем многоугольник KLTFC"" - искомое сечение.

б)

(рисунок Проведем плоскость через прямую AC" - вторую заданную прямую, и точку Р, взятую на первой прямой. Это плоскость ACC".

2). В плоскости ACC" через точку Р проведем прямую, параллельную прямой АС", и найдем точку C"", в которой эта прямая пересекает прямую CC".

3). Пересекающимися прямыми PQ и PC"" определяется плоскость альфа (плоскость C""PQ) - плоскость искомого сечения. Построим это сечение, например, методом следов. Одна точка, принадлежащая следу плоскости альфа на плоскость ABC, которую мы принимаем за основную, на чертеже уже есть. Это точка Р. Найдем еще одну точку этого следа.

4). Проекция точки C"" на плоскость АВС является точка С, а проекцией точки Q - точка Q" - точка пересечения прямой CE с прямой, проходящей в плоскости CEE" через точку Q параллельно прямой EE". Точка S"=C""Q CQ" - это вторая точка основного следа плоскости альфа. Итак, основным следом плоскости альфа является прямая S"P. Она пересекает стороны ВС и АЕ основания призмы соответственно в точках S"" и S""" . Тогда отрезок S""S""" - след секущей плоскости альфа на грани ABCDE. А отрезок S""C"" - след плоскости альфа на грани BCC"B". Нетрудно увидеть, что прямые C"" Q и EE" лежат в одной плоскости. Найдем точку E"" =С""Q EE". Тогда ясно получение дальнейших следов плоскости альфа: S"""S"", S"""T, TF и FC"". В итоге получаем многоугольник S""S"""TFC"" - искомое сечение.

в)

(рисунокЧерез вторую заданную прямую - прямую BC" - и, например, через точку Р, лежащую на первой заданной прямой, поведем плоскость. Сделаем это методом следов. Легко устанавливается, что основным следом этой плоскости BC"P является прямая ВР. Затем находим точку S"=BP CD и след S"C" плоскости BC"P и плоскости CDD".

2).В плоскости BC"P через точку Р проведем прямую, параллельную прямой BC". Точку пересечения проведенной прямой с прямой S"C" обозначим V.

3). Пересекающимися прямыми PQ и PV определяется плоскость альфа (плоскость PQV) - плоскость искомого сечения. Построим это сечение.

4). Находим точки Q" и V" - проекции соответственно точек Q и V на плоскость ABC, принимаемую нами за основную плоскость. Затем находим точку S""=QV Q"V". Это одна из точек основного следа плоскости альфа. И еще одна точка этого следа уже есть. Это заданная точка Р. Итак, прямая S""P - основной след плоскости альфа, а полученный при этом отрезок S"""S"""" - след плоскости альфа на грани АВСDE. Дальнейший ход построения ясен: S"""""=S""P CD, S"""""V, точки C""=S"""""V CC" и F=S"""""V C"D", затем FQ и точка T=FQ A"E" и, наконец, TS"""". В итоге получаем многоугольник S"""C""FTS"""" - искомое сечение.

Замечание: Наметим кратко ход решения примера 3,в, при котором на первой заданной прямой была взята точка Q, а не точка P (рисунок 22).

1). Строим плоскость BC"Q (это плоскость BC"E").

2). Плоскость BC"Q пересекает плоскость ABC по прямой BN параллельной C"E"(для построения можно воспользоваться тем, что BN параллельна СЕ).

3). В плоскости BC"Q через точку Q проводим прямую QM параллельную BC" (М=QM BN).

4). Строим сечение призмы плоскостью, определяемой пересекающимися прямыми PQ и QM. Это можно сделать в следующем порядке: MP, S"=MP AE и S""=МР ВС, S""""=MP CE, C""=S""""Q CC", S"""C"", F=S"""C"" C"D", FQ, T=FQ A"E", TS. Многоугольник S""C""FTS"- искомое сечение.

2. Построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым.

Пусть требуется построить сечение многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку К параллельно двум заданным скрещивающимся прямым l и m. При background:#FFCCCC; border:outset #CC33FF 1.5pt">

1.Выберем некоторую точку W. (Эта точка может лежать на одной из заданных скрещивающихся прямых, может совпадать с точкой К.)

2.Через точку W проведем прямые l" и m". (Естественно, если точка W лежит на одной из прямых, например на прямой l, то прямая l" совпадает с прямой l.)

3. Пересекающимися прямыми l" и m" определяется плоскость бетта - плоскость вспомогательного сечения многогранника. Строим сечение многогранника плоскостью бетта.

4. Построим сечения многогранника плоскостью альфа, проходящей через точку K, параллельно плоскости бетта.

Рассмотрим примеры применения изложенного плана.

П р и м е р 4.

На ребрах AD и С"D" призмы ABCDA"В"С"D", зададим соответственно точки P и Q, а на ребре DD" зададим точку К. Построим сечение призмы плоскостью альфа, проходящей через точку К параллельно прямой PQ и одной из следующих прямых: а) АВ; б) А"В; в) BR, точку R которой зададим на ребре A"D".

Решение. a)

(Рис. 2Пусть точка W совпадает с точкой P.

2) В плоскости АВС через точку P проведем прямую, параллельную прямой АВ. Найдем точку Е, в которой проведенная прямая пересекает прямую ВС.

3) Пересекающимися прямыми PQ и PE определяется плоскость бетта - плоскость вспомогательного сечения. Построим сечение призмы плоскостью бетта. Прямая PE и точки С"" и D"" - следы плоскости бетта соответственно на прямых СС" и DD". Затем строим прямую D""Р и получаем точку F на ребре А"D". Таким образом, сечением призмы плоскостью бетта являет - я многоугольник РЕС""QF.

4) Строим теперь сечение призмы плоскостью альфа, проходящей через точку К параллельно плоскости бетта. В итоге получаем треугольник KLN - искомое сечение.

б)

(Рис. Пусть точка W совпадает с точкой Q. Чтобы через точку Q провести прямую, параллельную прямой А"В, сначала через прямую А"В и точку Q проведем плоскость гамма. Сделаем это так. Найдем точку Q" - проекцию точки Q на плоскость АВС и проведем прямую AQ". Ясно, что AQ" параллельно A"Q. Теперь через точку В в плоскости АВС проведем прямую l" параллельно AQ". Пересекающимися прямыми А"В и l" определяется плоскость гамма. В плоскости гамма через точку Q проведем прямую l"" параллельно A"В.

3) Пересекающимися прямыми PQ и l"", определяется плоскость бетта - плоскость вспомогательного сечения призмы. Построим это сечение. Находим для этого точку S"=l" пересекается l"", а затем прямую PS" - основной след плоскости бетта. Находим далее точку s""=PS" пересекается CD и проводим прямую S""Q - след плоскости бетта на плоскости CDD". Получаем точку D"" - след плоскости бетта на прямой DD". Точка D"" и точка Р лежат в плоскости ADD". Поэтому прямая PD""- след плоскости бетта на плоскости АDD", а отрезок PF - след плоскости бетта на грани ADD"A". Таким образом, сечением призмы плоскостью бетта является четырехугольник РS""QF. (Обратите внимание: QF параллельно PS"". И это, естественно, так. Ведь основания призмы лежат в параллельных плоскостях. Этим обстоятельством можно было воспользоваться при построении сечения призмы плоскостью бетта.)

4) Теперь строим сечение призмы плоскостью альфа, проходящей через точку К параллельно плоскости бетта. Это построение выполнить уже несложно. В итоге получаем треугольник KLN - искомое сечение.

в)

(Рис. В качестве точки W выберем точку Q.

2) Через прямую BR и точку Q проведем плоскость гамма. Плоскость гамма пересекает плоскость АВС по прямой l" параллельно QR. Для построения прямой l" строим точки R" и Q" - проекции соответственно точек R и Q на плоскость АВС - и проводим прямую Q"R", а затем в плоскости АВС через точку В проводим прямую l" параллельно Q"R". В плоскости гамма через точку Q проводим прямую l"" параллельно BR. Получим точку S"=l" пересекается l"".

3) Пересекающимися прямыми PQ и l"" определяется плоскость бетта - плоскость вспомогательного сечения призмы. Построим это сечение. Ясно, что прямая PS" является основным следом плоскости бетта. Находим далее точки S""= PS" пересекается CD, S"""= РS" пересекается BC и C"" = QS"" пересекается CC". Получим отрезки РS""", S"""C"" и C""Q- следы плоскости бетта соответственно на гранях ABCD, ВСС"В и CDD"С". Далее либо проведем в плоскости А"В"С" прямую, параллельную следу PS", и получим точку F, либо найдем точку D""=S""Q пересекается DD" и проведем прямую D""Р. Эта прямая пересечет прямую А"D" в точке F. Получаем, таким образом, еще два следа плоскости бетта: QF н FP. Итак, многоугольник PS"""C""QF - сечение призмы плоскостью бетта.

4) Теперь построим сечение призмы плоскостью альфа, проходящей через точку К параллельно плоскости бетта. В итоге получаем треугольник KLN - искомое сечение.

П р и м е р 5.

На ребрах МВ и МА пирамиды МАВСD зададим соответственно точки Р и К, и на отрезке АС зададим точку Q. Построим сечение пирамиды плоскостью альфа, проходящей через точку К параллельно прямой PQ и одной из следующих прямых: а) CD; б) МС; в) RV, точки R и V которой зададим соответственно на ребрах АВ и МС пирамиды.

Р е ш е н и е.

a)

(Рис. 2В плоскости ABC через точку Q проведем прямую, параллельную прямой CD, и. найдем точки S". S"" и S""", в которых эта прямая пересекает соответственно прямые BC, АD и АВ.

2) Пересекающимися прямыми PQ и S"S"" определяется плоскость бетта - плоскость вспомогательного сечения пирамиды. Построим это сечение. Основным следом плоскости бетта является прямая S"S"". Отрезок PS" - след плоскости бетта на грани МВС, прямая PS""" - ее след на плоскости МАВ, отрезок PA" - на грани МАВ, отрезок А"S""- на грани MAD.

б)

(Рис. 27.) Выполним построение заданного сечения в следующем порядке:

1) В плоскости МАС через
точку Q проведем прямую QA параллельно MC

2) Построим вспомогательное сечение пирамиды плоскостью, которая определяется . С этой целью найдем точку S"=PA" пересекается АВ, проведем прямую S"Q, являющуюся основным следом плоскости PQA", получим точки S""=S"Q пересекается AD и S"""=S"Q пересекается BC и соединим точку А" с точкой S"", а точку P с точкой S""". Четырехугольник PA"S""S""" - это вспомогательное сечение пирамиды. Плоскость этого сечения параллельна прямым PQ и МС, но не проходит через точку К.

3) Теперь построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку К параллельно плоскости PQA". В итоге получаем четырехугольник В"KFE - искомое сечение.

a)

(Рис. 28.) Выполним построение заданного сечения пирамиды, построив сначала вспомогательное сечение ее плоскостью, проходящей через прямую PQ параллельно прямой RV. Сделаем это в следующем порядке:

1) Построим точку S"=PV пересекается BC и проведем прямую S"R.

2) Пересекающимися прямыми S"V и S"R определяется плоскость. В этой плоскости через точку Р проведем прямую PS"" параллельно RV.

3) Пересекающимися прямыми PQ и PS"" определяется плоскость вспомогательного сечения пирамиды. Построим это сечение. Находим последовательно прямую S""Q - основной след плоскости вспомогательного сечения, затем точки Т"=S""Q пересекается ВС, Т""=S""Q пересекается АB и Т"""=S""Q пересекается CD, Проведем далее прямую Т"P и найдем точку Е= Т"P пересекается "MC. Точку P соединим с точкой Т"", а точку Е - с Т""". Четырехугольник PT""Т"""Е - вспомогательное сечение пирамиды. Плоскость этого сечения параллельна прямым PQ и RV, но не проходит через точку К. Теперь построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку К параллельно плоскости вспомогательного сечения. В итоге получаем четырехугольник КВ"С"D" - искомое сечение.

Нахождение площади сечения в многогранниках.

Задача №1.

Задача №2

Задача №3.

Задача №4.

Задача №5.

Задача №6.

Задача №7

Задача №8.

Использование свойств подобных треугольников.

Поэтому далее представлены несколько простейших задач, в которых подобные треугольники играют главную роль, - тем более, что их нужно еще и построить (и увидеть!!!) с помощью стандартного стереометрического приема: одну плоскость пересечь другой плоскостью и построить их линию пересечения по двум общим для плоскостей точкам.

Задача №1.

Задача №2

Задача №3

Задача №4

Задача №5

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми можно воспользоваться четырьмя основными способами:

1)Нахождение длины общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых, то есть отрезка с концами на этих прямых и перпендикулярного обеим.

2)Нахождение расстояния от одной из скрещивающихся прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую.

3)Нахождение расстояния между двумя параллельными плоскостями, проходящими через заданные скрещивающиеся прямые.

4)Нахождение расстояния от точки, - являющейся проекцией одной из скрещивающихся прямых на перпендикулярную ей плоскость, - до проекции другой прямой на ту же самую плоскость.

Задача №18

Задача №19

Представьте 4 варианта решения данной задачи и выберите самый рациональный из них. Обоснуйте свой выбор.

Задача №20

Задача №21

Задача №22

Нахождение расстояния и угла между скрещивающимися прямыми в многограннике.

Задача №1.

Задача №2.

Задача №3.

проходящей через боковое ребро и пересекающуюся с ним медиану основания, и плоскостью, проходящей через ту же медиану и середину любого другого бокового ребра.

Сечения.

Задача №1.

Задача №2.

Задача №3.

Два противоположных ребра тетраэдра перпендикулярны, а их длины равны а и b расстояние - между ними равно с. В тетраэдр вписан куб, четыре ребра которого перпендикулярны этим двум ребрам тетраэдра, а на каждой грани тетраэдра лежат ровно две вершины куба. Найдите ребро куба.

Задача №4.

Задача №5.

Задача №6.

Задача №7.

Задача №8.

Задача №9.

Отношение объемов частей многогранника.

Задача №1.

Задача №2.

Задача №3.

Задача №4.

Проекции и сечения правильных многогранников.

Задача №1.

окажите, что проекции додекаэдра и икосаэдра на плоскости, параллельные их граням, являются правильными многоугольниками.

Задача №2.

окажите, что проекция додекаэдра на плоскость, перпендикулярную прямой, проходящей через его центр и середину ребра, является шестиугольником (а не десятиугольником).

Задача №3.

а) окажите, что проекция икосаэдра на плоскость. перпендикулярную прямой, проходящей через его центр и вершину, является правильным 10-угольником. б). Докажите, что проекция додекаэдра на плоскость, перпендикулярную прямой, проходящей через его центр и вершину, является неправильным 12- угольником.

Задача №4.

уществует ли сечение куба, являющееся правильным т шетиугольником?

Задача №5.

уществует ли сечение октаэдра, являющееся правильным шестиугольником?

Задача №6.

уществует ли сечение додекаэдра, являющееся правильным шестиугольником?

Задача №7.

ве грани АВС и АВD икосаэдра имеют общее ребро АВ. Через вершину D проводится плоскость, параллельная плоскости АВС. Верно ли, что сечение икосаэдра этой плоскостью является правильным шестиугольником?

Ответы к задачам по темам:

4. Угол между плоскостями.

5. Сечения

6. Отношение объемов частей многогранника.

7. Проекции и сечения правильных многогранников.

1. Нахождение площади сечения в многогранниках.

Решение задачи

№1 №2 №3 №4 №5 №6 №7 №8

Задача №1.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image040_59.gif" width="597" height="292 src=">

Задача №2.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image042_56.gif" width="577" height="277 src=">

Задача №3.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image044_53.gif" width="630" height="275 src=">

Задача №4.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image046_49.gif" width="641" height="332 src=">

Задача №5.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image048_46.gif" width="642" height="245 src=">

Задача №6.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image050_46.gif" width="680" height="340 src=">

Задача №7.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image052_47.gif" width="659" height="340 src=">left" style="margin-left: 6.75pt;margin-right:6.75pt">

2. Использование свойств подобных треугольников.

Решение задачи

№1 №2 №3 №4 №5

Задача №1.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image055_46.gif" width="605" height="254">

2-ой случай

Задача №2.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image058_41.gif" width="683" height="260 src=">

Задача №3.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image061_42.gif" width="536" height="203">

https://pandia.ru/text/78/375/images/image063_41.gif" width="341" height="107 src=">MsoNormalTable">

Точка С принадлежит плоскости CB"A"D (так как CD" перпендикулярна C"D как диагонали квадрата и так как B"C" перпендикулярна плоскости CC"D"D, - из чего следует B"C" перпендикулярна СЕ, - то получаем СЕ перпендикулярна B"C" и СЕ перпендикулярна C"D). Затем проводим EF перпендикулярно B"D и тогда получаем B"D перпендикулярна CF (по теореме о трех перпендикулярах: CF по отношению к плоскости AB"C"D является наклонной, СЕ - перпендикуляром и EF - проекцией наклонной CF; то она перпендикулярна и самой наклонной CF). Так как EF и CF принадлежат соответственно обеим плоскостям, то угол фи (угол CFE) является искомым.

После этого обоснования следует несложная вычислительная часть.

"B"EF и D""C"EF), в результате чего перпендикуляры A""M и D""M, проведенные в обеих фигурах к их линии пересечения, попадут в одну точку М, причем - внутри, а не снаружи призмы, так как углы B"A""D и C"D""A - тупые (B"D и больше BD=AC=A""C"" и C"A больше AC=BD=B""D""). Далее, найдя диагонали и стороны ромбов, можно найти отрезки A""M и D""M с помощью, например, двух формул для площади ромба

Примечание: Безусловно, в этой и аналогичных задачах никакие размеры многогранника (например, "a") не нужны, поэтому при подборе численных значений параметра "k" для различных вариантов задачи содержание ее условия в соответствующем месте должно формулироваться, например, так: "... в призме, у которой высота во столько-то раз больше стороны основания...", и т. д.

3. Нахождение расстояния и угла между скрещивающимися прямыми в многограннике.

Решение задачи

№1 №2 №3 №4 №5

Задача №1.

MsoNormalTable">

№1 Решение задачи первым способом предполагает:
- непростое обоснование того, что искомый перпендикуляр (h скр.) с концами на двух данных скрещивающихся прямых располагается внутри куба (а не вне его);
- ориентировочное определение местоположения этого перпендикуляра;
- догадку о том, что для нахождения длины отрезка h скр. необходимо с помощью теоремы о трех перпендикулярах спроектировать его на смежные грани куба, которым принадлежат скрещивающиеся прямые (диагонали) а уже затем подойти к несложному решению:

Построение еще одной секущей плоскости, проходящей через диагональ В"D и пересекающей вторую из скрещивающихся прямых A"C"; этой плоскостью удобно выбрать диагональное сечение BB"D"D этому признаку перпендикулярности двух плоскостей плоскости BB"D"D перпендикулярна плоскости ACD", так как плоскость BB"D"D проходит через прямую (B"D), перпендикулярную другой плоскости (ACD"). Далее строиться линия пересечения обоих плоскостей по 2 их общим точкам (D"O) и фиксируется пересечением этой линии диагональю B"D (точка N);
-и наконец, по теореме о том, что если плоскость перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой, из точки O" принадлежит A"C" проводим в плоскости сечения BB"D"D до пересечения с D"O отрезок O"M параллелен B"D; при этом будет O"M перпендикулярен плоскости ACD" и потому O"M = h скр.;
- затем в вычислительной части решения, рассмотрев сечение BB"D'D и в нем - прямоугольный треугольник OO'D', находим: Как видим, оба первых способа малопригодны для задач, представляющих хотя бы какую-то сложность

И, наконец, в вычислительной части решения можно воспользоваться приемом из предыдущего способа решения или же прибегнуть к подобию треугольников:

Задача №3.

В данной задаче для выбора способа решения определяющим является перпендикулярность прямой АС диагональной плоскости ВB'D'D (т. к. АС перпендикулярна ВD и АС перпендикулярна BB'), которой принадлежит другая прямая B'F, т. е. секущая плоскость BB'D'D удобна для выбора ее в качестве плоскости проекции. А далее следует несложная вычислительная часть:
1). Иэ подобия треугольника DFT и треугольника D'FB' находим DT = kd;
2). Из подобия треугольника NOT и треугольника BB'T находим ON:

Задача №4.

Данная задача представлена здесь для демонстрации применения второго способа (построение перпендикуляра от первой прямой к параллельной плоскости, содержащей вторую прямую) к простейшим ситуациям расположения скрещивающихся прямых в таком непростом многограннике, каким является правильная шестиугольная призма.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image077_33.gif" width="186" height="87 src=">

Задача №5.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image079_29.gif" width="347" height="326 src=">

5. Сечения.

Решение задачи

№1 №2 №3 №4 №5 №6

Задача №1.

По всяком случае, точки А, В и С лежат в одной плоскости, и поэтому можно рассмотреть сечение плоскостью, содержащей эти точки. Так как плоскость сечения проходит через точку касания сфер (сферы плоскости), и сечении получаются касающиеся окружности (окружность и прямая). Пусть О' и 0'' - центры первой и второй окружностей. Так как О'А || 0''В и точки O', С и 0'' лежат па одной прямой, угол АО'С = углу ВО''С. Поэтому угол АСО' = углу ВСО'', т. е. точки А, В и С лежат на одной прямой.

Задача №2.

Осевое сечение данного усеченного конуса является описанной трапецией АВСD с основаниями АD = 2R и ВС = = 2r. Пусть Р - точка касания вписанной окружности со стороной АВ, О - центр вписанной окружности. В треугольнике АВО сумма углов при вершинах А и В равна 90°, поэтому он прямоугольный. Следовательно, АР: РО - РО: ВР, т. е. РО'2 = АР*ВР. Ясно также, что АР = R и ВР = r. Поэтому радиус РО вписанной в конус сферы равен квадратному корню из произведения R и r, а значит, S = 4п(R2 + Rr+ r2). Выражая объем данного усеченного конуса по формулам, получаем, что площадь его полной поверхности равна 2п(R2 + Rr+ r2) = S/2 (нужно учесть, что высота усеченного конуса равна удвоенному радиусу сферы, около которой он описан).

Задача №3.

Общий перпендикуляр к данным ребрам делится параллельными им плоскостями граней куба на отрезки длиной у, х и г (х - длина ребра куба; отрезок длиной у прилегает к ребру а). Плоскости граней куба, параллельные данным ребрам, пересекают тетраэдр по двум прямоугольникам. Меньшие стороны этих прямоугольников равны ребру куба х. Так как стороны этих прямоугольников легко вычисляются, получаем х = bу/с и х = az/с. Следовательно, с=х+у+г=х+сх/b + еx/а, т. е. х=аЬс/(аb + bс + сa).

Задача №4.

Каждая сторона полученного многоугольника принадлежит одной из граней куба, поэтому число его сторон не превосходит 6. Кроме того, стороны, принадлежащие противоположным граням куба, параллельны, так как линии пересечения плоскости с двумя параллельными плоскостями параллельны. Следовательно, сечение куба не может быть правильным пятиугольником, так как у того нет параллельных сторон. Легко проверить, что правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник могут быть сечениями куба.

Задача №5.

Рассмотрим некоторый круг, являющийся сечением данного тела, и проведем через его центр прямую l, перпендикулярную его плоскости. Эта прямая пересекает данное тело по некоторому отрезку АВ. Все сечения, проходящие через прямую l являются кругами с диаметром АВ.

Задача №6.

Рассмотрим произвольное сечение, проходящее через вершину А. Это сечение является треугольником АВС, причем его стороны АВ и АС являются образующими конуса, т. с. имеют постоянную длину. Поэтому площадь сечения пропорциональна синусу угла ВАС. Угол ВАС изменяется от 0° до ф,

MsoNormalTable">

Задача №2.

Рассмотрим куб, вершины которого расположены в вершинах додекаэдра. В нашей задаче речь идет о проекции на плоскость, параллельную грани этого куба. Теперь легко убедиться, что проекцией додекаэдра действительно является шестиугольник (рис. 70).

Задача №3.

а) Рассматриваемая проекция икосаэдра переходит в себя при повороте на З6° (при этом проекции верхних граней переходят в проекции нижних граней). Следовательно, она является правильным 10-угольнлком (рис. 71, а).

б) Рассматриваемая проекция додекаэдра является 12-угольником, переходящим в себя при повороте на 60° (рис. 71. б). Половина его сторон является проекциями ребер, параллельных плоскости проекции, а другая половина сторон - проекциями ребер, не параллельных плоскости проекции. Следовательно, этот 12-угольник неправильный.

MsoNormalTable">

Задача №4.

Существует. Середины указанных на рис. 72 ребер куба являются вершинами правильного шестиугольника. Это следует из того, что стороны этого шестиугольника параллельны сторонам правильного треугольника PQR, а их длины вдвое меньше длин сторон этого треугольника.

Задача №7.

Нет, не верно. Рассмотрим проекцию икосаэдра на плоскость АВС. Она является правильным шестиугольником (см. рис.69). Поэтому рассматриваемое сечение было бы правильным шестиугольником, лишь если бы все 6 вершин, соединенных ребрами с точками А, В и С (и отличных от А, В и С), лежали в одной плоскости. Но, как легко убедиться, это неверно (иначе получилось бы, что все вершины икосаэдра расположены на трех параллельных плоскостях).

ЗАДАЧИ

2. Использование свойств подобных треугольников.

Решение задачи

№1 №2 №3 №4 №5

Задача №1.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image055_46.gif" width="605" height="254">

2-ой случай

Задача №2.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image058_41.gif" width="683" height="260 src=">

Задача №3.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image060_43.gif" width="570" height="264 src=">

Задача №4.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image063_41.gif" width="341" height="107 src=">right">

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖИ РЕСПУБЛИКИ КРЫМ

МАЛАЯ АКАДЕМИЯ НАУК «ИСКАТЕЛЬ»

Отделение: математика

Секция: математика

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ

Работу выполнил:

_______________

ученик класса

Научный руководитель:

Тезисы

Методы построения сечений многогранников

Отделение: математика

Секция: математика

Научный руководитель:

Целью исследования является изучение различных методов построения сечений многогранников. Для этого и зучен теоретический материал по данной теме , систематизированы методы решения задач на построение сечений, приведены примеры задач на применение каждого метода, рассмотрены примеры задач единого государственного экзамена на построение сечений и вычисление их элементов.

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………….3

РАЗДЕЛ 1. ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ НА ОСНОВЕ СИСТЕМЫ АКСИОМ СЕРЕОМЕТРИИ………………………………………4

РАЗДЕЛ 2. МЕТОД СЛЕДОВ В ПОСТРОЕНИИ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ…………………………………………………………10

РАЗДЕЛ 3. МЕТОД ВНУТРЕННЕГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ

В ПОСТРОЕНИИ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ………………………14

РАЗДЕЛ 4. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЙ

МНОГОГРАННИКОВ…………………………………………………………17

РАЗДЕЛ 5. КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ………………………………………………………….19

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………25

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………………………26

ВВЕДЕНИЕ

Выпускникам предстоит сдавать экзамен по математике , а знание и умение решать стереометрические задачи необходимо для того , чтобы написать данный экзамен на максимальное количество баллов . Актуальность данной работы состоит в необходимости самостоятельно готовиться к экзамену, а рассматриваемая тема является одной из важнейших.

А нализ демонстрационных , диагностических и тренировочных вариантов ЕГЭ с 2009-2014 гг. показал , что 70% геометрических задач составляют задачи на построение сечений и вычисление их элементов – углов, площадей.

В учебном плане задачам на построение сечений многогранников отводится 2 академических часа , что недостаточно для изучения данной темы . В школе плоские сечения многогранников строят лишь на основании аксиом и теорем стереометрии. Вместе с тем существуют и другие методы построения плоских сечений многогранников. Наиболее эффективными являются метод следов, метод внутреннего проектирования и комбинированный метод. Очень интересен и перспективен в плане применения к решению различных задач координатный метод. Если многогранник поместить в систему координат, а секущую плоскость задать уравнением, то построение сечения сведется к отысканию координат точек пересечения плоскости с ребрами многогранника.

Объект исследования: методы построения сечений многогранников.

Цель исследования: изучить различные методы построения сечений многогранников.

Задачи исследования:

1) Изучить теоретический материал по данной теме .

2) Систематизировать методы решения задач на построение сечений.

3) Привести примеры задач на применение каждого метода.

4) Рассмотреть примеры задач единого государственного экзамена на построение сечений и вычисление их элементов.

РАЗДЕЛ 1

ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ

НА ОСНОВЕ СИСТЕМЫ АКСИОМ СЕРЕОМЕТРИИ

Определение. Сечением многогранника плоскостью называется геометрическая фигура, представляющая собой множество всех точек пространства, принадлежащих одновременно данным многограннику и плоскости; плоскость при этом называется секущей плоскостью.

Поверхность многогранника состоит из ребер - отрезков и граней - плоских многоугольников. Так как прямая и плоскость пересекаются в точке, а две плоскости - по прямой, то сечением многогранника плоскостью является плоский многоугольник; вершинами этого многоугольника служат точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а сторонами - отрезки, по которым секущая плоскость пересекает его грани. Это означает, что для построения искомого сечения данного многогранника плоскостью α достаточно построить точки ее пересечения с ребрами многогранника. Затем последовательно соединить отрезками эти точки.

Секущая плоскость α может быть задана: тремя точками, не лежащими на одной прямой; прямой и не принадлежащей ей точкой; другими условиями, определяющими ее положение относительно данного многогранника. Например, на рис.1 построено сечение четырехугольной пирамиды РАВСD плоскостью α, заданной точками М, К и Н, принадлежащими ребрам соответственно РС, РD и РВ;

Рис.1

Задача. В параллелепипеде АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 постройте сечение плоскостью , проходящей через вершины C и D 1 и точку K отрезка B 1 C 1 (рис.2, а).

Решение. 1. Т . к . С ∈ DD 1 C 1 , D 1 ∈ DD 1 C 1 , то по аксиоме (через две точки , принадлежащие плоскости , проходит прямая , притом только одна ) построим след CD 1 в плоскости DD 1 C 1 (рис.2, б).

2. Аналогично в плоскости А 1 В 1 С 1 построим след DK, в плоскости BB 1 C 1 построим след CK.

3. D 1 KC – искомое сечение (рис .2, в)

а) б) в)

Рис.2

Задача. Постройте сечение пирамиды РАВС плоскостью α = (МКH), где М, К и Н - внутренние точки соответственно ребер РС, РВ и АВ (рис. 3, а).

Решение. 1-й шаг. Точки М и K лежат в каждой из двух плоскостей α и РВС. Поэтому по аксиоме пересечения двух плоскостей плоскость α пересекает плоскость РВС по прямой МК. Следовательно, отрезок МК - одна из сторон искомого сечения (рис.3, б).

2-й шаг. Аналогично, отрезок КН - другая сторона искомого сечения (рис.3, в).

3-й шаг. Точки М и Н не лежат одновременно ни в одной из граней пирамиды РАВС, поэтому отрезок МН не является стороной сечения этой пирамиды. Прямые КН и РА лежат в плоскости грани АВР и пересекаются. Построим точку T= КН ∩АР (рис. 3, г).

Поскольку прямая КН лежит в плоскости α, то и точка T лежит в плоскости α. Теперь мы видим, что плоскости α и АРС имеют общие точки М и T. Следовательно, по аксиоме пересечения двух плоскостей плоскость α и плоскость АРС пересекаются по прямой МТ, которая, в свою очередь, пересекает ребро АС в точке R (рис. 3, д).

4-й шаг. Теперь так же, как в шаге 1, устанавливаем, что плоскость α пересекает грани АСР и АВС по отрезкам MR и HR соответственно. Следовательно, искомое сечение - четырехугольник MKHR (рис.3,е).

Рис.3

Рассмотрим более сложную задачу.

Задача . Постройте сечение пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью

α = (KQR), где K, Q - внутренние точки ребер соответственно РА и РС, а точка R лежит внутри грани DPE (рис. 4, а).

Решение . Прямые QK и АС лежат в одной плоскости АСР (по аксиоме прямой и плоскости) и пересекаются в некоторой точке T 1 , (рис. 4,б), при этом T 1 є α, так как QК є α .

Прямая РR пересекает DE в некоторой точке F (рис.4, в), которая является точкой пересечения плоскости АРR и стороны DE основания пирамиды. Тогда прямые КR и АF лежат в одной плоскости АРR и пересекаются в некоторой точке Т 2 (рис. 4, г), при этом Т 2 є α , как точка прямой KR є α (по аксиоме прямой и плоскости).

Получили: прямая Т 1 Т 2 лежит в секущей плоскости α и в плоскости основания пирамиды (по аксиоме прямой и плоскости), при этом прямая пересекает стороны DE и АЕ основания ABCDE пирамиды соответственно в точках М и N (рис. 4, д), которые являются точками пересечения плоскости α с ребрами DE и АЕ пирамиды и служат вершинами искомого сечения.

Далее, прямая MR лежит в плоскости грани DPE и в секущей плоскости α (по аксиоме прямой и плоскости), пересекая при этом ребро PD в некоторой точке Н - еще одной вершине искомого сечения (рис.4, е).

Далее, построим точку Т 3 - Т 1 Т 2 ∩ АВ (рис. 4, ж), которая, как точка прямой Т 1 Т 2 є α, лежит в плоскости а (по аксиоме прямой и плоскости). Теперь плоскости грани РАВ принадлежат две точки Т 3 и К секущей плоскости α, значит, прямая Т 3 К - прямая пересечения этих плоскостей. Прямая Т 3 К пересекает ребро РВ в точке L (рис. 4, з), которая служит очередной вершиной искомого сечения.

Таким образом, «цепочка» последовательности построения искомого сечения такова:

1. Т 1 = QK ∩ АС ; 2. F = PR ∩ DE;

3. Т 2 = KR ∩ AF; 4. М = Т 1 Т 2 ∩ DE;

5. N = Т 1 Т 2 ∩ АЕ ; 6. Н = MR ∩ PD;

7. T 3 = Т 1 Т 2 ∩ АВ ; 8. L = T 3 K ∩ PB.

Шестиугольник MNKLQH - искомое сечение.

Рис.4

Сечение многогранника, имеющего параллельные грани (призма, куб параллелепипед), можно строить, используя свойства параллельных плоскостей.

Задача . Точки M, P и R расположены на ребрах параллелепипеда. Пользуясь свойствами параллельных прямых и плоскостей, построить сечение данного параллелепипеда плоскостью MPR.

Решение. Пусть точки M, P и R расположены на ребрах соответственно DD 1 , ВВ 1 и СС 1 параллелепипеда АВСВА 1 В 1 С 1 В 1 (рис. 5, а).

Обозначим: (MPR) = α - секущая плоскость. Проводим отрезки MR и PR (рис. 5, б), по которым плоскость α пересекает соответственно грани СС 1 D 1 D и ВВ 1 С 1 С данного параллелепипеда. Отрезки MR и PR - стороны искомого сечения. Далее используем теоремы о пересечении двух параллельных плоскостей третьей.

Так как грань АА 1 В 1 В параллельна грани СС 1 D 1 D, то прямая пересечения плоскости α с плоскостью грани АА 1 В 1 В должна быть параллельна прямой MR. Поэтому проводим отрезок PQ || MR, Q є АВ (рис. 5, в); отрезок РQ - следующая сторона искомого сечения. Аналогично, так как грань АА 1 D 1 D параллельна грани СС 1 В 1 В, то прямая пересечения плоскости α с плоскостью грани АА 1 D 1 D должна быть параллельна прямой PR. Поэтому проводим отрезок МН || PR, H є AD (рис. 5, в); отрезок МН - еще одна сторона искомого сечения. На ребрах АВ и AD грани АВСD построили точки Q є АВ и H є AD, которые являются вершинами искомого сечения. Проводим отрезок QH и получаем пятиугольник MRPQH - искомое сечение параллелепипеда.

а) б) в)

Рис. 5

РАЗДЕЛ 2

МЕТОД СЛЕДОВ В ПОСТРОЕНИИ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ

Определение. Прямая, по которой секущая плоскость α пересекает плоскость основания многогранника, называется следом плоскости α в плоскости этого основания.

Из определения следа получаем: в каждой его точке пересекаются прямые, одна из которых лежит в секущей плоскости, другая - в плоскости основания. Именно это свойство следа используют при построении плоских сечений многогранников методом следов. При этом в секущей плоскости удобно использовать такие прямые, которые пересекают ребра многогранника.

Сначала секущую плоскость зададим ее следом в плоскости основания призмы (пирамиды) и точкой, принадлежащей поверхности призмы (пирамиды).

Задача. Построить сечение призмы АВСВЕА 1 В 1 С 1 D 1 Е 1 плоскостью α, которая задана следом l в плоскости АВС основания призмы и точкой М, принадлежащей ребру DD 1 (рис.7,а).

Решение. Анализ. Предположим, что пятиугольник MNPQR - искомое сечение (рис. 6). Для построения этого плоского пятиугольника достаточно построить его вершины N, P, Q, R (точка М дана) - точки пересечения секущей плоскости α с ребрами соответственно СС 1 , ВB 1 , АА 1 , ЕЕ 1 данной призмы.

Рис. 6

Для построения точки N = α ∩ СС 1 достаточно построить прямую пересечения секущей плоскости α с плоскостью грани СDD 1 C 1 . Для этого, в свою очередь, достаточно построить в плоскости этой грани еще одну точку, принадлежащую секущей плоскости α. Как построить такую точку?

Так как прямая l лежит в плоскости основания призмы, то она может пересекать плоскость грани СDD 1 C 1 лишь в точке, которая принадлежит прямой CD = (CDD 1 ) ∩ (АВС), т.е. точка X = l ∩ СD = l ∩ (CDD 1 ) принадлежит секущей плоскости α. Таким образом, для построения точки N = α ∩ СС 1 достаточно построить точку X = l ∩ СD. Аналогично, для построения точек Р = α ∩ ВВ 1 , Q = α ∩ АА 1 и R = α ∩ ЕЕ 1 достаточно построить соответственно точки: У = l ∩ ВС, Z = l ∩ АВ и Т = l ∩ АЕ. Отсюда

Построение.

X = l ∩ СD (рис. 7, б);

N = МХ ∩ СС 1 (рис. 7, б);

У = l ∩ ВС (рис. 7, в);

Р = NY ∩ ВВ 1 (рис. 7, в);

Z = l ∩ АВ (рис. 7, в);

Q= РZ ∩ АА 1 (рис. 7, г);

T= l ∩ АЕ (рис. 6);

R= QT ∩ ЕЕ 1 (рис. 6).

Пятиугольник MNPQR - искомое сечение (рис. 6).

Доказательство . Так как прямая l - след секущей плоскости α, то точки X = l ∩ СD, Y = l ∩ ВС, Z = l ∩ АВ и T= l ∩ АЕ принадлежат этой плоскости.

Поэтому имеем:

М є α , X є α => МХ є α, тогда МХ ∩ СС 1 = N є α , значит, N = α ∩ СС 1 ;

N є α, Y є α => NY є α, тогда NY ∩ ВВ 1 = Р є α, значит, Р = α ∩ ВВ 1 ;

Р є α, Z є α => РZ є α, тогда PZ ∩ AА 1 = Q є α, значит, Q = α ∩ АA 1 ;

Q є α, T є α => QТ є α, тогда QТ ∩ EЕ 1 =R є α, значит, R = α ∩ ЕЕ 1 .

Следовательно, MNPQR - искомое сечение.

а) б)

в) г)

Рис. 7

Исследование. След l секущей плоскости α не пересекает основание призмы, а точка М секущей плоскости принадлежит боковому ребру DD 1 призмы. Поэтому секущая плоскость α не параллельна боковым ребрам. Следовательно, точки N, Р, Q и R пересечения этой плоскости с боковыми ребрами призмы (или продолжениями этих ребер) всегда существуют. А поскольку, кроме того, точка М не принадлежит следу l , то определяемая ими плоскость α единственна. Это означает, что задача имеет единственное решение.

Задача. Построить сечение пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью, которая задана следом l и внутренней точкой К ребра РЕ.

Решение. Схематически построение искомого сечения можно изобразить так (рис.8): T 1 → Q → Т 2 → R → Т 3 → М → Т 4 → N.

Пятиугольник MNKQR - искомое сечение.

«Цепочка» последовательности построения вершин сечения такова:

1. Т 1 = l ∩ АЕ; 2. Q = Т 1 К ∩ РА;

3. Т 2 = l ∩ АВ; 4. R = Т 2 Q ∩ РВ;

5. Т 3 = l ∩ ВС; 6. М = T 3 R ∩ РС;

7. Т 4 = l ∩ СD; 8. N = Т 4 М ∩ РD.

Рис. 8

Секущая плоскость часто задается тремя точками, принадлежащими многограннику. В таком случае для построения искомого сечения методом следов сначала строят след секущей плоскости в плоскости основания данного многогранника.

РАЗДЕЛ 3

МЕТОД ВНУТРЕННЕГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ

В ПОСТРОЕНИИ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ

Метод внутреннего проектирования называют еще методом соответствий, или методом диагональных сечений.

При применении этого метода каждая заданная точка проектируется на плоскость основания. Существует два возможных вида проектирования: центральное и параллельное. Центральное проектирование, как правило, используется при построении сечений пирамид, вершина пирамиды при этом является центром проекции. Параллельное проектирование используется при построении сечений призм.

Задача . Построить сечение пирамиды PABCDE плоскостью α = (МFR), если точки М, F и R являются внутренними точками ребер соответственно РА, РС и РЕ (рис. 9, а).

Решение . Плоскость основания пирамиды обозначим β. Для построения искомого сечения построим точки пересечения секущей плоскости α с ребрами пирамиды.

Построим точку пересечения секущей плоскости с ребром РD данной пирамиды.

Плоскости APD и CPE пересекают плоскость β по прямым соответственно АD и СЕ, которые пересекаются в некоторой точке К (рис. 9, в). Прямая РК=(АРD) ∩(СРЕ) пересекает прямую FR є α в некоторой точке К 1 : К 1 = РК ∩ FR (рис. 9, г), при этом К 1 є α. Тогда: М є α, К 1 є α => прямая МK є а. Поэтому точка Q = МК 1 ∩ РD (рис. 9, д) есть точка пересечения ребра РD и секущей плоскости: Q =α ∩ PD. Точка Q- вершина искомого сечения. Аналогично строим точку пересечения плоскости α и ребра РВ. Плоскости ВРЕ и АРD пересекают плоскость β по прямым соответственно ВЕ и АD, которые пересекаются в точке Н (рис. 9, е). Прямая РН = (ВРЕ) ∩ (АРD) пересекает прямую МQ в точке Н 1 (рис. 9, ж). Тогда прямая RН 1 пересекает ребро РВ в точке N = α ∩ РВ - вершине сечения (рис. 9, з).

1. К = АD ∩ ЕС; 2. К 1 = РК ∩ RF;

3. Q = МК 1 ∩ Р D; 4. H = BE ∩ А D;

5. Н 1 = РН ∩ МQ; 6. N = RН 1 ∩ РВ.

Пятиугольник MNFQR - искомое сечение (рис. 9, и).

а) б) в)

г) д) е)

ж) з) и)

Рис. 9

Задача . Постройте сечение призмы АВСDEА 1 В 1 С 1 D 1 Е 1 , плоскостью α, заданной точками М є ВВ 1 , Р є DD 1 , Q є ЕЕ 1 (рис.10).

Решение. Обозначим: β - плоскость нижнего основания призмы. Для построения искомого сечения построим точки пересечения плоскости α = (МРQ) с ребрами призмы.

Построим точку пересечения плоскости α с ребром АА 1 .

Плоскости А 1 АD и ВЕЕ 1 пересекают плоскость β по прямым соответственно АD и ВЕ, которые пересекаются в некоторой точке К. Так как плоскости А 1 АD и ВЕЕ 1 проходят через параллельные ребра АА 1 и ВВ 1 призмы и имеют общую точку К, то прямая КК 1 их пересечения проходит через точку К и параллельна ребру ВВ 1 . Точку пересечения этой прямой с прямой QМ обозначим: К 1 = КК 1 ∩ QМ, КК 1 ║ ВВ 1 . Так как QM є α, то К 1 є α.

Рис. 10

Получили: Р є α , К 1 є α => прямая РК 1 є α, при этом РК 1 ∩ АА 1 = R. Точка R служит точкой пересечения плоскости α и ребра АА 1 (R = α ∩ АА 1 ), поэтому является вершиной искомого сечения. Аналогично строим точку N = α ∩ СС 1 .

Таким образом, последовательность «шагов» построения искомого сечения такова:

К = АD ∩ ВЕ; 2. К 1 = КК 1 ∩ MQ, КК 1 || ВВ 1 ;

R = РК 1 ∩ АА 1 ; 4. Н = ЕС ∩АD;

H 1 – HH 1 ∩ РR, НН 1 || СС 1 ; 6.N = QН 1 ∩ СС 1 .

Пятиугольник MNPQR- искомое сечение.

А вы знаете, что называется сечением многогранников плоскостью? Если вы пока сомневаетесь в правильности своего ответа на этот вопрос, то можете довольно просто себя проверить. Предлагаем пройти небольшой тест, представленный ниже.

Вопрос. Назовите номер рисунка, на котором изображено сечение параллелепипеда плоскостью?

Итак, правильный ответ – на рисунке 3.

Если вы ответите правильно, это подтверждает то, что вы понимаете, с чем имеете дело. Но, к сожалению, даже правильный ответ на вопрос-тест не гарантирует вам наивысших отметок на уроках по теме «Сечения многогранников». Ведь самым сложным является не распознавание сечений на готовых чертежах, хотя это тоже очень важно, а их построении.

Для начала сформулируем определение сечения многогранника. Итак, сечением многогранника называют многоугольник, вершины которого лежат на ребрах многогранника, а стороны – на его гранях.

Теперь потренируемся быстро и безошибочно строить точки пересечения данной прямой с заданной плоскостью. Для этого решим следующую задачу.

Построить точки пересечения прямой MN с плоскостями нижнего и верхнего оснований треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 , при условии, что точка M принадлежит боковому ребру CC 1 , а точка N – ребру BB 1 .

Начнем с того, что продлим на чертеже прямую MN в обе стороны (рис. 1). Затем, чтобы получить необходимые по уловию задачи точки пересечения, продлеваем и прямые, лежащие в верхнем и нижнем основаниях. И вот наступает самый сложный момент в решении задачи: какие именно прямые в обоих основаниях необходимо продлить, так как в каждом из них имеется по три прямые.

Чтобы правильно сделать заключительный шаг построения, необходимо определить, какие из прямых оснований находятся в той же плоскости, что и интересующая нас прямая MN. В нашем случае – это прямая CB в нижнем и C 1 B 1 в верхнем основаниях. И именно их и продлеваем до пересечения с прямой NM (рис. 2).

Полученные точки P и P 1 и есть точки пересечения прямой MN с плоскостями верхнего и нижнего оснований треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 .

После разбора представленной задачи можно перейти непосредственно к построению сечений многогранников. Ключевым моментом здесь будут рассуждения, которые и помогут прийти к нужному результату. В итоге постараемся в итоге составить шаблон, который будет отражать последовательность действий при решении задач данного типа.

Итак, рассмотрим следующую задачу. Построить сечение треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 плоскостью, проходящей через точки X, Y, Z, принадлежащие ребрам AA 1 , AC и BB 1 соответственно.

Решение: Выполним чертеж и определим, какие пары точек лежат в одной плоскости.

Пары точек X и Y, X и Z можно соединить, т.к. они лежат в одной плоскости.

Построим дополнительную точку, которая будет лежать в той же грани, что и точка Z. Для этого продлим прямые XY и СС 1 , т.к. они лежат в плоскости грани AA 1 C 1 C. Назовем полученную точку P.

Точки P и Z лежат в одной плоскости – в плоскости грани CC 1 B 1 B. Поэтому можем их соединить. Прямая PZ пересекает ребро CB в некоторой точке, назовем ее T. Точки Y и T лежат в нижней плоскости призмы, соединяем их. Таким образом, образовался четырехугольник YXZT, а это и есть искомое сечение.

Подведем итог. Чтобы построить сечение многогранника плоскостью, необходимо:

1) провести прямые через пары точек, лежащих в одной плоскости.

2) найти прямые, по которым пересекаются плоскости сечения и грани многогранника. Для этого нужно найти точки пересечения прямой, принадлежащей плоскости сечения, с прямой, лежащей в одной из граней.

Процесс построения сечений многогранников сложен тем, что в каждом конкретном случае он различен. И никакая теория не описывает его от начала и до конца. На самом деле есть только один верный способ научиться быстро и безошибочно строить сечения любых многогранников – это постоянная практика. Чем больше сечений вы построите, тем легче в дальнейшем вам будет это делать.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Разберем, как построить сечение пирамиды, на конкретных примерах. Поскольку в пирамиде нет параллельных плоскостей, построение линии пересечения (следа) секущей плоскости с плоскостью грани чаще всего предполагает проведение прямой через две точки, лежащие в плоскости этой грани.

В простейших задачах требуется построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данные точки, уже лежащие в одной грани.

Пример.

Построить сечение плоскостью (MNP)

Треугольник MNP — сечение пирамиды

Точки M и N лежат в одной плоскости ABS, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок MN. Он видимый, значит, соединяем M и N сплошной линией.

Точки M и P лежат в одной плоскости ACS, поэтому через них проведем прямую. След — отрезок MP. Мы его не видим, поэтому отрезок MP проводим штрихом. Аналогично строим след PN.

Треугольник MNP — искомое сечение.

Если точка, через которую требуется провести сечение, лежит не на ребре, а на грани, то она не будет концом следа-отрезка.

Пример. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки B, M и N, где точки M и N принадлежат, соответственно, граням ABS и BCS.

Здесь точки B и M лежат в одной грани ABS, поэтому можем через них провести прямую.

Аналогично проводим прямую через точки B и P. Получили, соответственно, следы BK и BL.

Точки K и L лежат в одной грани ACS, поэтому через них можем провести прямую. Ее след — отрезок KL.

Треугольник BKL — искомое сечение.

Однако не всегда через данные в условии точки удается провести прямую. В этом случае нужно найти точку, лежащую на прямой пересечения плоскостей, содержащих грани.

Пример. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Точки M и N лежат в одной плоскость ABS, поэтому через них можно провести прямую. Получаем след MN. Аналогично — NP. Оба следа видимые, поэтому соединяем их сплошной линией.

Точки M и P лежат в разных плоскостях. Поэтому соединить их прямой не можем.

Продолжим прямую NP.

Она лежит в плоскости грани BCS. NP пересекается только с прямыми, лежащими в этой же плоскости. Таких прямых у нас три: BS, CS и BC. С прямыми BS и CS уже есть точки пересечения — это как раз N и P. Значит, ищем пересечение NP с прямой BC.

Точку пересечения (назовем ее H), получаем, продолжая прямые NP и BC до пересечения.

Эта точка H принадлежит как плоскости (BCS), поскольку лежит на прямой NP, так и плоскости (ABC), поскольку лежит на прямой BC.

Таким образом мы получили еще одну точку секущей плоскости, лежащей в плоскости (ABC).

Через H и точку M, лежащую в этой же плоскости, можем провести прямую.

Получим след MT.

T — точка пересечения прямых MH и AC.

Так как T принадлежит прямой AC, то через нее и точку P можем провести прямую, так как они обе лежат в одной плоскости (ACS).

4-угольник MNPT — искомое сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данные точки M,N,P.

Мы работали с прямой NP, продлевая ее для отыскания точки пересечения секущей плоскости с плоскостью (ABC). Если работать с прямой MN, приходим к тому же результату.

Рассуждаем так: прямая MN лежит в плоскости (ABS), поэтому пересекаться может только с прямыми, лежащими в этой же плоскости. У нас таких прямых три: AB, BS и AS. Но с прямыми AB и BS уже есть точки пересечения: M и N.

Значит, продлевая MN, ищем точку пересечения ее с прямой AS. Назовем эту точку R.

Точка R лежит на прямой AS, значит, она лежит и в плоскости (ACS), которой принадлежит прямая AS.

Поскольку точка P лежит в плоскости (ACS), через R и P можем провести прямую. Получаем след PT.

Точка T лежит в плоскости (ABC), поэтому через нее и точку M можем провести прямую.

Таким образом, получили все то же сечение MNPT.

Рассмотрим еще один пример такого рода.

Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Через точки M и N, лежащие в одной плоскости (BCS), проводим прямую. Получаем след MN (видимый).

Через точки N и P, лежащие в одной плоскости (ACS), проводим прямую. Получаем след PN (невидимый).

Через точки M и P прямую провести не можем.

1) Прямая MN лежит в плоскости (BCS), где есть еще три прямые: BC, SC и SB. С прямыми SB и SC уже есть точки пересечения: M и N. Поэтому ищем точку пересечения MN с BC. Продолжив эти прямые, получаем точку L.

Точка L принадлежит прямой BC, а значит, она лежит в плоскости (ABC). Поэтому через L и P, которая также лежит в плоскости (ABC) можем провести прямую. Ее след — PF.

F лежит на прямой AB, а значит, и в плоскости (ABS). Поэтому через F и точку M, которая также лежит в плоскости (ABS), проводим прямую. Ее след — FM. Четырехугольник MNPF — искомое сечение.

2) Другой путь — продолжить прямую PN. Она лежит в плоскости (ACS) и пересекается с прямыми AC и CS, лежащими в этой плоскости, в точках P и N.

Значит, ищем точку пересечения PN с третьей прямой этой плоскости — с AS. Продолжаем AS и PN, на пересечении получаем точку E. Поскольку точка E лежит на прямой AS, принадлежащей плоскости (ABS), то через E и точку M, которая также лежит в (ABS), можем провести прямую. Ее след — FM. Точки P и F лежат водной плоскости (ABC), проводим через них прямую и получаем след PF (невидимый).