Как найти радиус вписанной окружности угол. Формулы радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Следовательно, он наследует все свойства параллелограмма. А именно:

• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
• Диагонали ромба являются биссектрисами его внутренних углов.

Окружность можно вписать в четырехугольник тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны.
Следовательно, в любой ромб можно вписать окружность. Центр вписанной окружности совпадает с центром пересечения диагоналей ромба.
Радиус вписанной окружности в ромб можно выразить несколькими способами

1 способ. Радиуса вписанной окружности в ромб через высоту

Высота ромба равна диаметру вписанной окружности. Это следует из свойства прямоугольника, который образуют диаметр вписанной окружности и высота ромба – у прямоугольника противолежащие стороны равны.

Следовательно формула радиуса вписанной окружности в ромб через высоту:

2 способ. Радиус вписанной окружности в ромб через диагонали

Площадь ромба можно выразить через радиус вписанной окружности
, где Р – периметр ромба. Зная, что периметр это сумма всех сторон четырехугольника имеем P= 4×а. Тогда
Но площадь ромба также равна половине произведения его диагоналей
Прировняв правые части формул площади, имеем следующее равенство
В результате получаем формулу, позволяющую вычислить радиус вписанной окружности в ромб чрез диагонали

Пример расчета радиуса окружности вписанной в ромб, если известны диагонали
Найти радиус окружности вписанной в ромб, если известно, что длина диагоналей 30 см и 40 см
Пусть ABCD -ромб, тогда AC и BD его диагонали. AC= 30 см, BD =40 см
Пусть точка О – это центр вписанной в ромб ABCD окружности, тогда она будет также являться и точкой пересечения его диагоналей, делящих их пополам.


т.к диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то треугольник AOB прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора
, подставляем в формулу ранее полученные значения

AB = 25 см
Применив ранее выведенную формулу для радиуса описанной окружности в ромб, получаем

3 способ. Радиус вписанной окружности в ромб через отрезки m и n

Точка F – точка касания окружности со стороной ромба, которая делит ее на отрезки AF и BF . Пусть AF= m, BF=n.
Точка O – центр пересечения диагоналей ромба и центр вписанной в него окружности.
Треугольник AOB – прямоугольный, так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
, т.к. является радиусом, проведенным в точку касания окружности. Следовательно OF – высота треугольника AOB к гипотенузе. Тогда AF и BF – проекции катетов на гипотенузу.
Высота в прямоугольном треугольнике, опущенная на гипотенузу есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через отрезки равна корню квадратному из произведения этих отрезков, на которые делит сторону ромба точка касания окружности

Окружность считается вписанной в границы правильного многоугольника, в случае, если лежит внутри него, касаясь при этом прямых, которые проходят через все стороны. Рассмотрим, как найти центр и радиус окружности. Центром окружности будет являться точка, в которой пересекаются биссектрисы углов многоугольника. Радиус рассчитывается: R=S/P; S – площадь многоугольника, Р – полупериметр окружности.

В треугольнике

В правильный треугольник вписывают лишь одну окружность, центр которой называется инцентром; он от всех сторон удалён на одинаковое расстояние и является местом пересечения биссектрис.

В четырёхугольнике

Часто приходится решать, как найти радиус вписанной окружности в эту геометрическую фигуру. Она должна быть выпуклой (если нет самопересечений). Окружность вписать в неё можно только в случае равенства сумм противоположных сторон: AB+CD=BC+AD.

При этом центр вписанной окружности, середины диагоналей, расположены на одной прямой (согласно теореме Ньютона). Отрезок, концы которого находятся там, где пересекаются противоположные стороны правильного четырёхугольника, лежит на этой же прямой, называемой прямой Гаусса. Центром окружности будет точка, в которой пересекаются высоты треугольника с вершинами, диагоналями (по теореме Брокара).

В ромбе

Им считается параллелограмм с одинаковой длиной сторон. Радиус окружности, вписываемой в него, можно рассчитать несколькими способами.

1. Чтобы сделать это правильно, найдите радиус вписанной окружности ромба, если известна площадь ромба, длина его стороны. Применяется формула r=S/(2Хa). К примеру, если площадь ромба составляет 200 мм кв., длина стороны 20 мм, то R=200/(2Х20), то есть, 5 мм.
2. Известен острый угол одной из вершин. Тогда необходимо использовать формулоу r=v(S*sin(α)/4). Например, при площади в 150 мм и известном угле в 25 градусов, R= v(150*sin(25°)/4) ≈ v(150*0,423/4) ≈ v15,8625 ≈ 3,983 мм.
3. Все углы в ромбе равны. В этой ситуации радиус окружности, вписанной в ромб, будет равен половине длины одной стороны данной фигуры. Если рассуждать по Евклиду, утверждающего, что сумма углов всякого четырёхугольника равна 360 градусов, то один угол будет равен 90 градусам; т.е. получится квадрат.

Радиус - это отрезок, который соединяет любую точку на окружности с ее центром. Это одна из самых важных характеристик данной фигуры, поскольку на ее основе можно вычислить все другие параметры. Если знать, как найти радиус окружности, то можно рассчитать ее диаметр, длину, а также площадь. В том случае, когда данная фигура вписана или описана вокруг другой, то можно решить еще целый ряд задач. Сегодня мы разберем основные формулы и особенности их применения.

Известные величины

Если знать, как найти радиус окружности, который обычно обозначают буквой R, то его можно вычислить по одной характеристике. К таким величинам относят:

• длину окружности (C);
• диаметр (D) - отрезок (вернее, хорда), который проходит через центральную точку;
• площадь (S) - пространство, которое ограничено данной фигурой.

По длине окружности

Если в задаче известна величина C, то R = С / (2 * П). Эта формула является производной. Если мы знаем, что из себя представляет длина окружности, то ее уже не нужно запоминать. Предположим, что в задаче C = 20 м. Как найти радиус окружности в этом случае? Просто подставляем известную величину в вышеприведенную формулу. Отметим, что в таких задачах всегда подразумевается знание числа П. Для удобства расчетов примем его значение за 3,14. Решение в этом случае выглядит следующим образом: записываем, какие величины даны, выводим формулу и проводим вычисления. В ответе пишем, что радиус равен 20 / (2 * 3,14) = 3,19 м. Важно не забыть о том, что мы считали, и упомянуть название единиц измерения.

По диаметру

Сразу подчеркнем, что это самый простой вид задач, в которых спрашивается о том, как найти радиус окружности. Если такой пример попался вам на контрольной, то можете быть спокойны. Тут даже не нужен калькулятор! Как мы уже говорили, диаметр - это отрезок или, правильнее сказать, хорда, которая проходит через центр. При этом все точки окружности равноудалены. Поэтому данная хорда состоит из двух половинок. Каждая из них является радиусом, что следует из его определения как отрезка, который соединяет точку на окружности и ее центр. Если в задаче известен диаметр, то для нахождения радиуса нужно просто разделить эту величину на два. Формула выглядит следующим образом: R = D / 2. Например, если диаметр в задаче равен 10 м, то радиус - 5 метров.

По площади круга

Этот тип задач обычно называют самым сложным. Это связано в первую очередь с незнанием формулы. Если знать, как найти радиус окружности в этом случае, то остальное - дело техники. В калькуляторе только нужно заранее найти значок вычисления квадратного корня. Площадь круга - это произведение числа П и радиуса, умноженного на самого себя. Формула выглядит следующим образом: S = П * R 2 . Обособив радиус на одной из сторон уравнения, можно с легкость решить задачу. Он будет равен квадратному корню из частного от деления площади на число П. Если S = 10 м, то R = 1,78 метров. Как и в предыдущих задачах, важно не забыть об используемых единицах измерения.

Как найти радиус описанной окружности

Предположим, что a, b, c - это стороны треугольника. Если знать их величины, то можно найти радиус описанной вокруг него окружности. Для этого сначала нужно найти полупериметр треугольника. Чтобы было легче для восприятия, обозначим его маленькой буквой p. Он будет равен половине суммы сторон. Его формула: p = (a + b + c) / 2.

Также вычислим произведение длин сторон. Для удобства обозначим его буквой S. Формула радиуса описанной окружности будет выглядеть так: R = S / (4 * √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).

Рассмотрим пример задачи. У нас есть окружность, описанная вокруг треугольника. Длины ее сторон составляют 5, 6 и 7 см. Сначала вычисляем полупериметр. В нашей задаче он будет равен 9 сантиметрам. Теперь вычислим произведение длин сторон - 210. Подставляем результаты промежуточных расчетов в формулу и узнаем результат. Радиус описанной окружности равен 3,57 сантиметра. Записываем ответ, не забывая о единицах измерения.

Как найти радиус вписанной окружности

Предположим, что a, b, c - длины сторон треугольника. Если знать их величины, то можно найти радиус вписанной в него окружности. Сначала нужно найти его полупериметр. Для облегчения понимания обозначим его маленькой буквой p. Формула его вычисления выглядит следующим образом: p = (a + b + c) / 2. Этот тип задачи несколько проще, чем предыдущий, поэтому больше не нужно никаких промежуточных расчетов.

Радиус вписанной окружности вычисляется по следующей формуле: R = √((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Рассмотрим это на конкретном примере. Предположим, в задаче описан треугольник со сторонами 5, 7 и 10 см. В него вписана окружность, радиус которой и нужно найти. Сначала находим полупериметр. В нашей задаче он будет равен 11 см. Теперь подставляем его в основную формулу. Радиус окажется равным 1,65 сантиметрам. Записываем ответ и не забываем о правильных единицах измерения.

Окружность и ее свойства

У каждой геометрической фигуры есть свои особенности. Именно от их понимания зависит правильность решения задач. Есть они и у окружности. Зачастую их используют при решении примеров с описанными или вписанными фигурами, поскольку они дают ясное представление о такой ситуации. Среди них:

• Прямая может иметь ноль, одну или две точки пересечения с окружностью. В первом случае она с ней не пересекается, во втором является касательной, в третьем - секущей.
• Если взять три точки, что не лежат на одной прямой, то через них можно привести только одну окружность.
• Прямая может быть касательной сразу двух фигур. В этом случае она будет проходить через точку, которая лежит на отрезке, соединяющем центры окружностей. Его длина равна сумме радиусов данных фигур.
• Через одну или две точки можно провести бесконечное количество окружностей.

В данной статье речь пойдёт о том, как выразить площадь многоугольника, в который можно вписать окружность, через радиус этой окружности. Сразу стоит отметить, что не во всякий многоугольник можно вписать окружность. Однако, если это возможно, то формула, по которой вычисляется площадь такого многоугольника, становится очень простой. Дочитайте эту статью до конца или посмотрите прилагающийся видеоурок, и вы узнаете, как же выразить площадь многоугольника через радиус вписанной в него окружности.

Формула площади многоугольника через радиус вписанной окружности

Нарисуем многоугольник A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 , не обязательно правильный, но такой, в который можно вписать окружность. Напомню, что вписанной называется окружность, которая касается всех сторон многоугольника. На рисунке это зелёная окружность с центром в точке O :

Мы взяли здесь для примера 5-угольник. Но на самом деле это не имеет существенного значения, поскольку дальнейшее доказательство справедливо и для 6-угольника и для 8-угольника и вообще для любого сколь угодно «угольника».

Если соединить центр вписанной окружности со всеми вершинами многоугольника, то он разобьётся на столько треугольников, сколько вершин в данном многоугольнике. В нашем случае: на 5 треугольников. Если же соединить точку O со всеми точками касания вписанной окружности со сторонами многоугольника, то получится 5 отрезков (на рисунке снизу это отрезки OH 1 , OH 2 , OH 3 , OH 4 и OH 5), которые равны радиусу окружности и перпендикулярны сторонам многоугольника, к которым они проведены. Последнее справедливо, поскольку радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной:

Как же найти площадь нашего описанного многоугольника? Ответ прост. Нужно сложить площади всех полученных в результате разбиения треугольников:

Рассмотрим, чему равна площадь треугольника . На рисунке снизу он выделен жёлтым цветом:

Она равна половине произведения основания A 1 A 2 на высоту OH 1 , проведённую к этому основанию. Но, как мы уже выяснили, эта высота равна радиусу вписанной окружности. То есть формула площади треугольника принимает вид: , где r — радиус вписанной окружности. Аналогично находятся площади всех оставшихся треугольников. В результате искомая площадь многоугольника оказывается равна:

Видно, что во всех слагаемых этой суммы ест общий множитель , который можно вынести за скобки. В результате получится вот такое выражение:

То есть в скобках осталась просто сумма всех сторон многоугольника, то есть его периметр P . Чаще всего в этой формуле выражение заменяют просто на p и называют эту букву «полупериметром». В результате, окончательная формула принимает вид:

То есть площадь многоугольника, в который вписана окружность известного радиуса, равна произведению этого радиуса на полупериметр многоугольника. Это и есть тот результат, в которому мы стремились.

Отметит напоследок, что в треугольник, который является частным случаем многоугольника, всегда можно вписать окружность. Поэтому для треугольника эту формулу можно применять всегда. Для остальных многоугольников, с количеством сторон большим 3, сперва нужно убедиться, что в них можно вписать окружность. Если это так, можно смело использовать эту простую формулу и находить по ней площадь этого многоугольника.

Материал подготовил , Сергей Валерьевич

В современном машиностроении используется масса элементов и запчастей, которые имеют в своей структуре как внешние окружности, так и внутренние. Самым ярким примером могут служить корпус подшипника, детали моторов, узлы ступицы и многое другое. При их изготовлении применяются не только высокотехнологичные приспособления, но и знания из геометрии, в частности информация об окружностях треугольника. Более детально с подобным знаниями познакомимся ниже.

Вконтакте

Какая окружность вписана, а какая описана

Прежде всего вспомним, что окружностью называется бесконечное множество точек, удаленных на одинаковом расстоянии от центра . Если внутри многоугольника допускается построить окружность, которая с каждой стороной будет иметь только одну общую точку пересечения, то она будет называться вписанной. Описанной окружностью (не круг, это разные понятия) называется такое геометрическое место точек, при котором у построенной фигуры с заданным многоугольником общими точками будут только вершины многоугольника. Ознакомимся с этими двумя понятиями на более наглядном примере (см. рис 1.).

Рисунок 1. Вписанная и описанная окружности треугольника

На изображении построены две фигуры большого и малого диаметров, центры которых находятся G и I. Окружность большего значения называется описанной окр-тью Δ ABC, а малого – наоборот, вписанной в Δ ABC.

Для того чтобы описать вокруг треугольника окр-ть, требуется провести через середину каждой стороны перпендикулярную прямую (т.е. под углом 90°) – это точка пересечения, она играет ключевую роль. Именно она будет представлять собой центр описанной окружности. Перед тем как найти окружность, ее центр в треугольнике, требуется построить для каждого угла , после чего выделить точку пересечения прямых. Она в свою очередь будет центром вписанной окр-ти, а ее радиус при любых условиях будет перпендикулярен любой из сторон.

На вопрос:«Какое количество окружностей вписанных может быть для многоугольника с тремя ?» ответим сразу, что в любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну. Потому что существует только одна точка пересечения всех биссектрис и одна точка пересечения перпендикуляров, исходящих из середин сторон.

Свойство окружности, которой принадлежат вершины треугольника

Описанная окружность, которая зависит от длин сторон при основании, имеет свои свойства. Укажем свойства описанной окружности:

Для того чтобы более наглядно понять принцип описанной окружности, решим простую задачу. Допустим, что дан треугольник Δ ABC, стороны которого равны 10, 15 и 8,5 см. Радиус описанной окружности около треугольника (FB) составляет 7,9 см. Найти значение градусной меры каждого угла и через них площадь треугольника.

Рисунок 2. Поиск радиуса окружности через отношение сторон и синусов углов

Решение: опираясь на ранее указанную теорему синусов, найдем значение синуса каждого угла в отдельности. По условию известно, что сторона АВ равна 10 см. Вычислим значение С:

Используя значения таблицы Брадиса, узнаем, что градусная мера угла С равна 39°. Таким же методом найдем и остальные меры углов:

Откуда узнаем, что CAB = 33°, а ABC = 108°. Теперь, зная значения синусов каждого из углов и радиус, найдем площадь, подставляя найденные значения:

Ответ: площадь треугольника равна 40,31 см², а углы равны соответственно 33°, 108° и 39°.

Важно! Решая задачи подобного плана, будет нелишним всегда иметь таблицы Брадиса либо соответствующее приложение на смартфоне, так как вручную процесс может затянуться на длительное время. Также для большей экономии времени не требуется обязательно строить все три середины перпендикуляра либо три биссектрисы. Любая третья из них всегда будет пересекаться в точке пересечения первых двух. А для ортодоксального построения обычно третью дорисовывают. Может, это неправильно в вопросе алгоритма, но на ЕГЭ или других экзаменах это здорово экономит время.

Исчисление радиуса вписанной окружности

Все точки окружности одинаково удалены от ее центра на одинаковом расстоянии. Длину этого отрезка (от и до) называют радиусом. В зависимости от того, какую окр-ть мы имеем, различают два вида – внутренний и внешний. Каждый из них вычисляется по собственной формуле и имеет прямое отношение к вычислению таких параметров, как:

• площадь;
• градусная мера каждого угла;
• длины сторон и периметр.

Рисунок 3. Расположение вписанной окружности внутри треугольника

Вычислить длину расстояния от центра до точки соприкосновения с любой из сторон можно такими способами: через стороны, боковые стороны и углы (для равнобокого треугольника).

Использование полупериметра

Полупериметром называется половина суммы длин всех сторон. Такой способ считается самым популярным и универсальным, потому как независимо от того, какой тип треугольника дан по условию, он подходит для всех. Порядок вычисления имеет следующий вид:

Если дан «правильный»

Одним из малых преимуществ «идеального» треугольника является то, что вписанная и описанная окружности имеют центр в одной точке . Это удобно при построении фигур. Однако в 80% случаев ответ получается «некрасивым». Тут имеется ввиду, что очень редко радиус вписанной окр-ти будет целым , скорее наоборот. Для упрощенного исчисления используется формула радиуса вписанной окружности в треугольник:

Если боковины одинаковой длины

Одним из подтипов задач на гос. экзаменах будет нахождение радиуса вписанной окружности треугольника, две стороны которого равны между собой, а третья нет. В таком случае рекомендуем использовать этот алгоритм, который даст ощутимую экономию времени на поиск диаметра вписанной окр-ти. Радиус вписанной окружности в треугольник с равными «боковыми» вычисляется по формуле:

Более наглядное применение указанных формул продемонстрируем на следующей задаче. Пускай имеем треугольник (Δ HJI), в который вписана окр-ть в точке K. Длина стороны HJ = 16 см, JI = 9,5 см и сторона HI равна 19 см (рисунок 4). Найти радиус вписанной окр-ти, зная стороны.

Рисунок 4. Поиск значения радиуса вписанной окружности

Решение: для нахождения радиуса вписанной окр-ти найдем полупериметр:

Отсюда, зная механизм вычисления, узнаем следующее значение. Для этого понадобятся длины каждой из сторон (дано по условию), а также половину периметра, получается:

Отсюда следует, что искомый радиус равен 3,63 см. Согласно условию, все стороны равны, тогда искомый радиус будет равен:

При условии, если многоугольник равнобокий (например, i = h = 10 см, j = 8 см), диаметр внутренней окр-ти с центром в точке K будет равен:

В условии задачи может даваться треугольник с углом 90°, в таком случае запоминать формулу нет необходимости. Гипотенуза треугольника будет равна диаметру. Более наглядно это выглядит так:

Важно! Если задана задача на поиск внутреннего радиуса, не рекомендуем проводить вычисления через значения синусов и косинусов углов, табличное значение которых точно не известно. В случае, если иначе узнать длину невозможно, не пытайтесь «вытащить» значение из-под корня. В 40% задач полученное значение будет трансцендентным (т.е. бесконечным), а комиссия может не засчитать ответ (даже если он будет правильным) из-за его неточности или неправильной формы подачи. Особое внимание уделите тому, как может видоизменяться формула радиуса описанной окружности треугольника в зависимости от предложенных данных. Такие «заготовки» позволяют заранее «видеть» сценарий решения задачи и выбрать наиболее экономное решение.

Радиус внутренней окружности и площадь

Для того чтобы вычислить площадь треугольника, вписанного в окружность, используют лишь радиус и длины сторон многоугольника :

Если в условии задачи напрямую не дано значение радиуса, а только площадь, то указанная формула площади трансформируется в следующую:

Рассмотрим действие последней формулы на более конкретном примере. Предположим, что дан треугольник, в который вписана окр-ть. Площадь окр-ти составляет 4π, а стороны равны соответственно 4, 5 и 6 см. Вычислим площадь заданного многоугольника при помощи вычисления полупериметра.

Используя вышеуказанный алгоритм, вычислим площадь треугольника через радиус вписанной окружности:

В силу того, что в любой треугольник можно вписать окружность, число вариаций нахождения площади значительно увеличивается. Т.е. поиск площади треугольника, включает в себя обязательное знание длины каждой стороны, а также значение радиуса.

Треугольник, вписанный в окружность геометрия 7 класс

Прямоугольные треугольники, вписанные в окружность

Вывод

Из указанных формул можно убедиться, что сложность любой задачи с использованием вписанной и описанной окружностей заключается только в дополнительных действия по поиску требуемых значений. Задачи подобного типа требуют только досконально понимания сути формул, а также рациональности их применения. Из практики решения отметим, что в будущем центр описанной окружности будет фигурировать и в дальнейших темах геометрии, поэтому запускать ее не следует. В противном случае решение может затянуться с использованием лишних ходов и логических выводов.