Artikel ini memberikan gambaran tentang cara membuat persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu dalam ruang tiga dimensi yang tegak lurus terhadap garis tertentu. Mari kita menganalisis algoritma yang diberikan menggunakan contoh penyelesaian masalah umum.

Yandex.RTB RA-339285-1

Menemukan persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu dalam ruang yang tegak lurus terhadap garis tertentu

Misalkan diberikan ruang tiga dimensi dan sistem koordinat persegi panjang O x y z. Titik M 1 (x 1, y 1, z 1), garis a dan bidang yang melalui titik M 1 tegak lurus garis a juga diberikan. Persamaan bidang α perlu dituliskan.

Sebelum kita mulai menyelesaikan soal ini, mari kita ingat teorema geometri dari silabus kelas 10-11, yang berbunyi:

Definisi 1

Melalui suatu titik tertentu dalam ruang tiga dimensi dilewatkan sebuah bidang tunggal yang tegak lurus terhadap suatu garis lurus tertentu.

Sekarang mari kita lihat bagaimana mencari persamaan bidang tunggal yang melalui titik awal dan tegak lurus terhadap garis tertentu.

Persamaan umum suatu bidang dapat dituliskan jika koordinat suatu titik yang termasuk dalam bidang tersebut diketahui, serta koordinat vektor normal bidang tersebut.

Kondisi soal memberikan kita koordinat x 1, y 1, z 1 dari titik M 1 yang dilalui bidang α. Jika kita menentukan koordinat vektor normal bidang α, maka kita dapat menuliskan persamaan yang diperlukan.

Vektor normal bidang α, karena tidak nol dan terletak pada garis a, tegak lurus terhadap bidang α, akan menjadi vektor arah mana pun dari garis a. Dengan demikian, soal mencari koordinat vektor normal bidang α diubah menjadi soal menentukan koordinat vektor pengarah garis lurus a.

Penentuan koordinat vektor arah garis lurus a dapat dilakukan dengan berbagai cara: bergantung pada pilihan untuk menentukan garis lurus a pada kondisi awal. Misalnya, jika garis lurus a dalam rumusan masalah diberikan oleh bentuk persamaan kanonik

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 az

atau persamaan parametrik berbentuk:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

maka vektor arah garis lurus tersebut mempunyai koordinat ax, ay dan az. Jika garis lurus a diwakili oleh dua titik M 2 (x 2, y 2, z 2) dan M 3 (x 3, y 3, z 3), maka koordinat vektor arahnya ditentukan sebagai ( x3 – x2, y3 – y2 , z3 – z2).

Definisi 2

Algoritma untuk mencari persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus terhadap garis tertentu:

Kita tentukan koordinat vektor arah garis lurus a: a → = (ax, ay, az) ;

Kita definisikan koordinat vektor normal bidang α sebagai koordinat vektor pengarah garis lurus a:

n → = (A , B , C) , dimana A = ax , B = ay , C = az;

Kita tuliskan persamaan bidang yang melalui titik M 1 (x 1, y 1, z 1) dan mempunyai vektor normal n → = (A, B, C) dalam bentuk A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0. Ini akan menjadi persamaan yang diperlukan untuk sebuah bidang yang melewati suatu titik tertentu dalam ruang dan tegak lurus terhadap garis tertentu.

Persamaan umum bidang yang dihasilkan adalah: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 memungkinkan diperoleh persamaan bidang dalam ruas-ruas atau persamaan normal bidang.

Mari selesaikan beberapa contoh menggunakan algoritma yang diperoleh di atas.

Contoh 1

Diberikan titik M 1 (3, - 4, 5) yang dilalui bidang tersebut, dan bidang tersebut tegak lurus terhadap garis koordinat O z.

Larutan

vektor arah garis koordinat O z adalah vektor koordinat k ⇀ = (0, 0, 1). Oleh karena itu, vektor normal bidang tersebut memiliki koordinat (0, 0, 1). Mari kita tuliskan persamaan sebuah bidang yang melalui suatu titik tertentu M 1 (3, - 4, 5), yang vektor normalnya memiliki koordinat (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Menjawab: z – 5 = 0 .

Mari pertimbangkan cara lain untuk mengatasi masalah ini:

Contoh 2

Sebuah bidang yang tegak lurus terhadap garis O z akan diberikan persamaan bidang umum yang tidak lengkap berbentuk C z + D = 0, C ≠ 0. Mari kita tentukan nilai C dan D: nilai di mana bidang melewati suatu titik tertentu. Mari kita substitusikan koordinat titik ini ke dalam persamaan C z + D = 0, kita peroleh: C · 5 + D = 0. Itu. bilangan C dan D dihubungkan dengan relasi - D C = 5. Mengambil C = 1, kita mendapatkan D = - 5.

Mari kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan C z + D = 0 dan dapatkan persamaan yang diperlukan untuk sebuah bidang yang tegak lurus garis lurus O z dan melalui titik M 1 (3, - 4, 5).

Ini akan terlihat seperti: z – 5 = 0.

Menjawab: z – 5 = 0 .

Contoh 3

Tuliskan persamaan bidang yang melalui titik asal dan tegak lurus garis x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Larutan

Berdasarkan kondisi soal, dapat dikatakan bahwa vektor arah suatu garis lurus tertentu dapat dianggap sebagai vektor normal n → suatu bidang tertentu. Jadi: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Mari kita tulis persamaan bidang yang melalui titik O (0, 0, 0) dan mempunyai vektor normal n → = (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Kita telah memperoleh persamaan yang diperlukan untuk sebuah bidang yang melalui titik asal koordinat yang tegak lurus terhadap garis tertentu.

Menjawab:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Contoh 4

Sistem koordinat persegi panjang O x y z diberikan dalam ruang tiga dimensi, di dalamnya terdapat dua titik A (2, - 1, - 2) dan B (3, - 2, 4). Bidang α melalui titik A yang tegak lurus garis A B. Perlu dibuat persamaan bidang α dalam segmen-segmen.

Larutan

Bidang α tegak lurus terhadap garis A B, maka vektor A B → akan menjadi vektor normal bidang α. Koordinat vektor ini didefinisikan sebagai selisih antara koordinat titik B (3, - 2, 4) dan A (2, - 1, - 2) yang bersesuaian:

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Persamaan umum bidang tersebut akan ditulis sebagai berikut:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Sekarang mari kita buat persamaan bidang yang diperlukan dalam segmen-segmen:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Menjawab:x - 9 + kamu 9 + z - 3 2 = 1

Perlu juga diperhatikan bahwa ada soal yang syaratnya adalah menulis persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu dan tegak lurus terhadap dua bidang tertentu. Secara umum penyelesaian masalah ini adalah dengan membuat persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus terhadap garis tertentu, karena dua bidang yang berpotongan membentuk suatu garis lurus.

Contoh 5

Diberikan sistem koordinat persegi panjang O x y z, di dalamnya terdapat titik M 1 (2, 0, - 5). Persamaan dua bidang 3 x + 2 y + 1 = 0 dan x + 2 z – 1 = 0, yang berpotongan sepanjang garis lurus a, juga diberikan. Perlu dibuat persamaan bidang yang melalui titik M 1 tegak lurus garis lurus a.

Larutan

Mari kita tentukan koordinat vektor pengarah garis lurus a. Garis tersebut tegak lurus terhadap vektor normal n 1 → (3, 2, 0) pada bidang n → (1, 0, 2) dan vektor normal 3 x + 2 y + 1 = 0 dari x + 2 z - 1 = 0 bidang.

Kemudian, sebagai vektor pengarah α → garis a, kita ambil hasil kali vektor dari vektor n 1 → dan n 2 →:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Jadi, vektor n → = (4, - 6, - 2) adalah vektor normal bidang yang tegak lurus garis a. Mari kita tuliskan persamaan bidang yang diperlukan:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Menjawab: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Misalkan kita perlu mencari persamaan sebuah bidang yang melalui tiga titik tertentu yang tidak terletak pada garis yang sama. Dengan menyatakan vektor radiusnya dengan dan vektor radius saat ini dengan , kita dapat dengan mudah memperoleh persamaan yang diperlukan dalam bentuk vektor. Faktanya, vektor-vektornya harus koplanar (semuanya terletak pada bidang yang diinginkan). Oleh karena itu, hasil kali vektor-skalar dari vektor-vektor ini harus sama dengan nol:

Ini adalah persamaan bidang yang melalui tiga titik tertentu, dalam bentuk vektor.

Pindah ke koordinat, kita mendapatkan persamaan koordinat:

Jika tiga titik tertentu terletak pada garis yang sama, maka vektor-vektornya segaris. Oleh karena itu, elemen-elemen yang bersesuaian dari dua garis terakhir determinan pada persamaan (18) akan proporsional dan determinannya akan sama dengan nol. Akibatnya, persamaan (18) akan menjadi identik untuk sembarang nilai x, y dan z. Secara geometris, ini berarti bahwa melalui setiap titik dalam ruang terdapat sebuah bidang yang di dalamnya terdapat tiga titik tertentu.

Catatan 1. Masalah yang sama dapat diselesaikan tanpa menggunakan vektor.

Dengan menyatakan koordinat masing-masing tiga titik tertentu, kita akan menulis persamaan bidang apa pun yang melalui titik pertama:

Untuk memperoleh persamaan bidang yang diinginkan, persamaan (17) harus dipenuhi oleh koordinat dua titik lainnya:

Dari persamaan (19), perlu ditentukan perbandingan dua koefisien dengan koefisien ketiga dan memasukkan nilai yang ditemukan ke dalam persamaan (17).

Contoh 1. Tuliskan persamaan bidang yang melalui titik-titik tersebut.

Persamaan bidang yang melewati titik pertama adalah:

Syarat pesawat (17) melewati dua titik lainnya dan titik pertama adalah:

Menambahkan persamaan kedua ke persamaan pertama, kita menemukan:

Substitusikan ke persamaan kedua, kita peroleh:

Substitusikan ke persamaan (17) sebagai ganti A, B, C berturut-turut, 1, 5, -4 (bilangan yang sebanding dengannya), kita peroleh:

Contoh 2. Tuliskan persamaan bidang yang melalui titik (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Persamaan bidang apa pun yang melalui titik (0, 0, 0) adalah]

Syarat lewatnya bidang tersebut melalui titik (1, 1, 1) dan (2, 2, 2) adalah:

Mengurangi persamaan kedua dengan 2, kita melihat bahwa untuk menentukan dua persamaan yang tidak diketahui, ada satu persamaan dengan

Dari sini kita mendapatkan. Sekarang dengan memasukkan nilai bidang ke dalam persamaan, kita mendapatkan:

Ini adalah persamaan bidang yang diinginkan; itu tergantung pada sewenang-wenang

besaran B, C (yaitu, dari relasi yaitu terdapat banyak sekali bidang yang melalui tiga titik tertentu (tiga titik tertentu terletak pada garis lurus yang sama).

Catatan 2. Soal menggambar sebuah bidang melalui tiga titik tertentu yang tidak terletak pada garis yang sama mudah diselesaikan pandangan umum, jika kita menggunakan determinan. Memang, karena dalam persamaan (17) dan (19) koefisien A, B, C tidak bisa sekaligus sama dengan nol, maka dengan menganggap persamaan ini sebagai sistem homogen dengan tiga variabel A, B, C yang tidak diketahui, kita tuliskan perlu dan cukup syarat adanya solusi sistem ini, selain nol (Bagian 1, Bab VI, § 6):

Setelah memperluas determinan ini ke dalam elemen-elemen baris pertama, kita memperoleh persamaan derajat pertama terhadap koordinat saat ini, yang akan dipenuhi, khususnya, dengan koordinat tiga titik yang diberikan.

Anda juga dapat memverifikasi yang terakhir ini secara langsung dengan mengganti koordinat titik mana pun, bukan . Di sisi kiri kita mendapatkan determinan yang elemen baris pertamanya nol atau ada dua baris identik. Jadi, persamaan yang dibangun mewakili sebuah bidang yang melalui tiga titik tertentu.

Tingkat pertama

Koordinat dan vektor. Panduan komprehensif (2019)

Pada artikel ini, kita akan mulai membahas satu “tongkat ajaib” yang memungkinkan Anda mereduksi banyak soal geometri menjadi aritmatika sederhana. “Tongkat” ini dapat membuat hidup Anda lebih mudah, terutama ketika Anda merasa tidak yakin dalam membuat gambar spasial, bagian, dll. Semua ini memerlukan imajinasi dan keterampilan praktis tertentu. Metode yang akan kita mulai pertimbangkan di sini akan memungkinkan Anda untuk mengabstraksi hampir sepenuhnya dari semua jenis konstruksi dan penalaran geometris. Metode tersebut disebut "metode koordinat". Pada artikel ini kami akan mempertimbangkan pertanyaan-pertanyaan berikut:

1. Bidang koordinat
2. Titik dan vektor pada bidang
3. Membangun vektor dari dua titik
4. Panjang vektor (jarak antara dua titik).
5. Koordinat tengah ruas
6. Produk titik dari vektor
7. Sudut antara dua vektor

Saya rasa Anda sudah menebak mengapa metode koordinat disebut demikian? Benar sekali, ia mendapat nama ini karena ia beroperasi bukan dengan objek geometris, tetapi dengan karakteristik numeriknya (koordinat). Dan transformasi itu sendiri, yang memungkinkan kita berpindah dari geometri ke aljabar, terdiri dari pengenalan sistem koordinat. Jika bangun aslinya datar maka koordinatnya dua dimensi, dan jika bangun tiga dimensi maka koordinatnya tiga dimensi. Pada artikel ini kita hanya akan membahas kasus dua dimensi. Dan tujuan utama artikel ini adalah untuk mengajari Anda cara menggunakan beberapa teknik dasar metode koordinat (terkadang berguna saat memecahkan masalah planimetri di Bagian B Ujian Negara Terpadu). Dua bagian berikutnya dari topik ini dikhususkan untuk pembahasan metode penyelesaian masalah C2 (masalah stereometri).

Di mana yang logis untuk mulai membahas metode koordinat? Mungkin dari konsep sistem koordinat. Ingat saat pertama kali Anda bertemu dengannya. Sepertinya saya di kelas 7, ketika Anda belajar tentang keberadaan fungsi linier, misalnya. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa Anda membangunnya poin demi poin. Apakah kamu ingat? Anda memilih angka sembarang, menggantinya ke dalam rumus dan menghitungnya seperti itu. Misalnya, jika, maka, jika, maka, dll. Apa yang Anda dapatkan pada akhirnya? Dan Anda menerima poin dengan koordinat: dan. Selanjutnya, Anda menggambar “silang” (sistem koordinat), memilih skala di atasnya (berapa banyak sel yang akan Anda miliki sebagai segmen satuan) dan menandai titik-titik yang Anda peroleh di atasnya, yang kemudian Anda hubungkan dengan garis lurus; hasilnya garis adalah grafik fungsinya.

Ada beberapa poin di sini yang perlu dijelaskan lebih detail kepada Anda:

1. Anda memilih satu segmen karena alasan kenyamanan, sehingga semuanya cocok dengan indah dan kompak dalam gambar.

2. Diterima bahwa sumbu bergerak dari kiri ke kanan, dan sumbu bergerak dari bawah ke atas

3. Mereka berpotongan tegak lurus, dan titik potongnya disebut titik asal. Hal ini ditunjukkan dengan surat.

4. Dalam penulisan koordinat suatu titik, misalnya di sebelah kiri dalam tanda kurung terdapat koordinat titik sepanjang sumbu, dan di sebelah kanan sepanjang sumbu. Secara khusus, ini berarti pada intinya

5. Untuk menentukan titik mana pun pada sumbu koordinat, Anda perlu menunjukkan koordinatnya (2 angka)

6. Untuk setiap titik yang terletak pada sumbu,

7. Untuk setiap titik yang terletak pada sumbu,

8. Sumbunya disebut sumbu x

9. Sumbunya disebut sumbu y

Sekarang mari kita ambil langkah selanjutnya: tandai dua poin. Mari kita hubungkan kedua titik ini dengan sebuah segmen. Dan kita akan meletakkan panah seolah-olah kita sedang menggambar segmen dari titik ke titik: yaitu, kita akan membuat segmen kita terarah!

Ingat apa sebutan segmen arah lainnya? Benar sekali, itu disebut vektor!

Jadi jika kita menghubungkan titik ke titik, dan awalnya adalah titik A, dan akhirnya adalah titik B, maka kita mendapatkan vektor. Anda juga melakukan konstruksi ini di kelas 8, ingat?

Ternyata vektor, seperti halnya titik, dapat dilambangkan dengan dua bilangan: bilangan-bilangan ini disebut koordinat vektor. Pertanyaan: Menurut Anda, apakah kita cukup mengetahui koordinat awal dan akhir suatu vektor untuk mencari koordinatnya? Ternyata ya! Dan ini dilakukan dengan sangat sederhana:

Jadi, karena dalam suatu vektor titik adalah awal dan titik adalah akhir, maka vektor tersebut mempunyai koordinat sebagai berikut:

Misalnya, jika, maka koordinat vektornya

Sekarang mari kita lakukan sebaliknya, cari koordinat vektornya. Apa yang perlu kita ubah untuk ini? Ya, Anda perlu menukar awal dan akhir: sekarang awal vektor akan berada pada titik, dan akhir akan berada pada titik. Kemudian:

Perhatikan baik-baik, apa perbedaan antara vektor dan? Perbedaannya hanya pada tanda koordinatnya. Mereka bertolak belakang. Fakta ini biasanya ditulis seperti ini:

Kadang-kadang, jika tidak disebutkan secara spesifik mana titik awal dan akhir suatu vektor, maka vektor dilambangkan bukan dengan dua huruf kapital, melainkan dengan satu huruf kecil, misalnya: , dst.

Sekarang sedikit praktik sendiri dan temukan koordinat vektor-vektor berikut:

Penyelidikan:

Sekarang selesaikan masalah yang sedikit lebih sulit:

Sebuah vektor yang bermula pada suatu titik memiliki co-or-di-na-you. Temukan titik abs-cis-su.

Semuanya cukup membosankan: Biarlah koordinat titiknya. Kemudian

Saya menyusun sistem berdasarkan definisi apa itu koordinat vektor. Maka titik tersebut memiliki koordinat. Kami tertarik pada absis. Kemudian

Menjawab:

Apa lagi yang bisa Anda lakukan dengan vektor? Ya, hampir semuanya sama dengan bilangan biasa (hanya saja tidak bisa membagi, tetapi bisa dikalikan dengan dua cara, salah satunya akan kita bahas di sini nanti)

1. Vektor dapat ditambahkan satu sama lain
2. Vektor dapat dikurangkan satu sama lain
3. Vektor dapat dikalikan (atau dibagi) dengan bilangan bukan nol yang sembarang
4. Vektor dapat dikalikan satu sama lain

Semua operasi ini memiliki representasi geometris yang sangat jelas. Misalnya, aturan segitiga (atau jajar genjang) untuk penjumlahan dan pengurangan:

Suatu vektor meregang atau menyusut atau berubah arah bila dikalikan atau dibagi dengan suatu bilangan:

Namun, di sini kita akan tertarik pada pertanyaan tentang apa yang terjadi pada koordinatnya.

1. Saat menjumlahkan (mengurangi) dua vektor, kita menjumlahkan (mengurangi) koordinatnya elemen demi elemen. Itu adalah:

2. Saat mengalikan (membagi) suatu vektor dengan suatu bilangan, semua koordinatnya dikalikan (dibagi) dengan bilangan ini:

Misalnya:

· Temukan jumlah co-or-di-nat abad ke-ra.

Mari kita cari dulu koordinat masing-masing vektornya. Keduanya mempunyai asal – titik asal yang sama. Tujuan mereka berbeda. Kemudian, . Sekarang mari kita hitung koordinat vektornya, maka jumlah koordinat vektor yang dihasilkan adalah sama.

Menjawab:

Sekarang selesaikan sendiri masalah berikut:

· Temukan jumlah koordinat vektor

Kami memeriksa:

Sekarang mari kita perhatikan soal berikut: kita mempunyai dua titik pada bidang koordinat. Bagaimana cara mencari jarak antara keduanya? Biarkan poin pertama menjadi, dan poin kedua. Mari kita nyatakan jarak antara keduanya dengan. Mari kita buat gambar berikut agar lebih jelas:

Apa yang telah kulakukan? Pertama-tama, saya terhubung titik dan,a juga dari suatu titik saya menggambar garis yang sejajar dengan sumbu, dan dari suatu titik saya menggambar garis yang sejajar dengan sumbu. Apakah mereka berpotongan pada suatu titik, membentuk sosok yang luar biasa? Apa yang istimewa dari dia? Ya, Anda dan saya tahu hampir segalanya segitiga siku-siku. Ya, teorema Pythagoras pastinya. Ruas yang diperlukan adalah sisi miring segitiga ini, dan ruas tersebut adalah kaki-kakinya. Berapakah koordinat titik tersebut? Ya, mudah ditemukan dari gambar: Karena ruas-ruas tersebut sejajar dengan sumbu dan, karenanya, panjangnya mudah ditemukan: jika kita menyatakan panjang ruas-ruas tersebut dengan, masing-masing, maka

Sekarang mari kita gunakan teorema Pythagoras. Kita mengetahui panjang kakinya, kita akan mencari sisi miringnya:

Jadi, jarak antara dua titik adalah akar jumlah selisih kuadrat dari koordinatnya. Atau - jarak antara dua titik adalah panjang segmen yang menghubungkannya. Sangat mudah untuk melihat bahwa jarak antar titik tidak bergantung pada arah. Kemudian:

Dari sini kami menarik tiga kesimpulan:

Mari kita berlatih sedikit tentang menghitung jarak antara dua titik:

Misalnya, jika, maka jarak antara dan sama dengan

Atau mari kita lakukan cara lain: temukan koordinat vektornya

Dan carilah panjang vektornya:

Seperti yang Anda lihat, itu sama saja!

Sekarang berlatihlah sedikit sendiri:

Tugas: temukan jarak antara titik-titik yang ditunjukkan:

Kami memeriksa:

Berikut adalah beberapa soal lagi yang menggunakan rumus yang sama, meskipun kedengarannya sedikit berbeda:

1. Temukan kuadrat panjang kelopak mata.

2. Temukan kuadrat panjang kelopak mata

Saya pikir Anda menanganinya tanpa kesulitan? Kami memeriksa:

1. Dan ini untuk perhatian) Kita sudah menemukan koordinat vektor-vektornya tadi: . Maka vektor tersebut memiliki koordinat. Kuadrat panjangnya akan sama dengan:

2. Temukan koordinat vektornya

Maka kuadrat panjangnya adalah

Tidak ada yang rumit, bukan? Aritmatika sederhana, tidak lebih.

Soal-soal berikut ini tidak dapat diklasifikasikan dengan jelas, lebih pada pengetahuan umum dan kemampuan menggambar sederhana.

1. Temukan sinus sudut dari potongan yang menghubungkan titik dengan sumbu absis.

Dan

Bagaimana kita akan melanjutkannya di sini? Kita perlu mencari sinus sudut antara dan sumbu. Dimana kita bisa mencari sinus? Benar, dalam segitiga siku-siku. Jadi apa yang perlu kita lakukan? Bangun segitiga ini!

Karena koordinat titiknya adalah dan, maka ruas tersebut sama dengan, dan ruas tersebut. Kita perlu mencari sinus sudutnya. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa sinus adalah rasio sisi berlawanan dengan sisi miring

Apa yang tersisa untuk kita lakukan? Temukan sisi miringnya. Anda dapat melakukannya dengan dua cara: menggunakan teorema Pythagoras (kaki-kakinya diketahui!) atau menggunakan rumus jarak antara dua titik (sebenarnya, sama dengan metode pertama!). Saya akan memilih cara kedua:

Menjawab:

Tugas selanjutnya akan tampak lebih mudah bagi Anda. Dia berada di koordinat titik tersebut.

Tugas 2. Dari titik per-pen-di-ku-lyar diturunkan ke sumbu abs. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Mari kita membuat gambar:

Alas suatu tegak lurus adalah titik potongnya sumbu x (sumbu), bagi saya ini adalah sebuah titik. Gambar tersebut menunjukkan bahwa ia memiliki koordinat: . Kami tertarik pada absis - yaitu komponen "x". Dia setara.

Menjawab: .

Tugas 3. Pada kondisi soal sebelumnya, carilah jumlah jarak dari titik ke sumbu koordinat.

Tugas ini umumnya bersifat dasar jika Anda mengetahui berapa jarak dari suatu titik ke sumbu. Kamu tahu? Saya berharap, tetapi saya tetap akan mengingatkan Anda:

Jadi, pada gambar saya di atas, apakah saya sudah menggambar garis tegak lurus seperti itu? Di sumbu manakah itu? Ke poros. Lalu berapa panjangnya? Dia setara. Sekarang gambarlah sendiri garis tegak lurus terhadap sumbu dan temukan panjangnya. Itu akan sama, bukan? Maka jumlahnya sama.

Menjawab: .

Tugas 4. Pada kondisi tugas 2, carilah ordinat suatu titik yang simetris terhadap titik tersebut terhadap sumbu absis.

Saya pikir secara intuitif sudah jelas bagi Anda apa itu simetri? Banyak benda yang memilikinya: banyak bangunan, meja, pesawat terbang, banyak bentuk geometris: bola, silinder, persegi, belah ketupat, dll. Secara kasar, simetri dapat dipahami sebagai berikut: suatu bangun terdiri dari dua (atau lebih) bagian yang identik. Simetri ini disebut simetri aksial. Lalu apa itu sumbu? Ini adalah garis persis di mana gambar tersebut, secara relatif, dapat “dipotong” menjadi dua bagian yang sama (dalam gambar ini sumbu simetrinya lurus):

Sekarang mari kita kembali ke tugas kita. Kita tahu bahwa kita sedang mencari titik yang simetris terhadap sumbunya. Maka sumbu ini adalah sumbu simetri. Artinya kita perlu menandai suatu titik sedemikian rupa sehingga sumbunya memotong segmen tersebut menjadi dua bagian yang sama besar. Cobalah untuk menandai sendiri hal tersebut. Sekarang bandingkan dengan solusi saya:

Apakah hal yang sama terjadi pada Anda? Bagus! Kami tertarik pada ordinat dari titik yang ditemukan. Itu setara

Menjawab:

Sekarang beri tahu saya, setelah berpikir beberapa detik, berapakah absis suatu titik yang simetris dengan titik A terhadap ordinatnya? Apa jawabanmu? Jawaban yang benar: .

Secara umum aturannya dapat ditulis seperti ini:

Suatu titik yang simetris terhadap suatu titik terhadap sumbu absis mempunyai koordinat:

Suatu titik yang simetris terhadap suatu titik terhadap sumbu ordinat mempunyai koordinat:

Nah, sekarang ini benar-benar menakutkan tugas: mencari koordinat suatu titik yang simetris terhadap titik relatif terhadap titik asal. Pertama-tama Anda berpikir sendiri, lalu lihat gambar saya!

Menjawab:

Sekarang soal jajaran genjang:

Tugas 5: Poin-poinnya muncul ver-shi-na-mi para-ral-le-lo-gram-ma. Temukan or-di-pada-titik itu.

Anda dapat menyelesaikan masalah ini dengan dua cara: logika dan metode koordinat. Saya akan menggunakan metode koordinat terlebih dahulu, lalu saya akan memberi tahu Anda cara menyelesaikannya secara berbeda.

Jelas sekali bahwa absis suatu titik adalah sama. (terletak pada garis tegak lurus yang ditarik dari titik ke sumbu absis). Kita perlu menemukan ordinatnya. Mari kita manfaatkan fakta bahwa gambar kita adalah jajar genjang, artinya. Mari kita cari panjang ruas menggunakan rumus jarak antara dua titik:

Kami menurunkan garis tegak lurus yang menghubungkan titik ke sumbu. Saya akan menunjukkan titik persimpangan dengan sebuah huruf.

Panjang segmennya sama. (temukan sendiri soal dimana kita membahas poin ini), maka kita akan mencari panjang ruas tersebut menggunakan teorema Pythagoras:

Panjang suatu ruas sama persis dengan ordinatnya.

Menjawab: .

Solusi lain (saya hanya akan memberikan gambar yang mengilustrasikannya)

Kemajuan solusi:

1. Perilaku

2. Carilah koordinat titik dan panjangnya

3. Buktikan itu.

Yang lainnya masalah panjang segmen:

Titik-titik tersebut muncul di atas segitiga. Temukan panjang garis tengahnya, sejajar.

Masih ingatkah kamu apa itu garis tengah segitiga? Maka tugas ini adalah tugas dasar bagi Anda. Kalau belum ingat, saya ingatkan: garis tengah segitiga adalah garis yang menghubungkan titik tengahnya. sisi yang berlawanan. Itu sejajar dengan alas dan sama dengan setengahnya.

Basisnya adalah segmen. Tadi kita harus mencari panjangnya, sama. Maka panjang garis tengahnya adalah setengahnya dan sama panjang.

Menjawab: .

Komentar: masalah ini dapat diselesaikan dengan cara lain, yang akan kita bahas nanti.

Sementara itu, berikut beberapa soal untuk Anda, praktikkan soal tersebut, soalnya sangat sederhana, tetapi akan membantu Anda menjadi lebih baik dalam menggunakan metode koordinat!

1. Poin-poin tersebut merupakan bagian atas dari tra-pe-tions. Temukan panjang garis tengahnya.

2. Poin dan penampilan ver-shi-na-mi paral-le-lo-gram-ma. Temukan or-di-pada-titik itu.

3. Tentukan panjang potongan yang menghubungkan titik dan

4. Temukan luas di belakang gambar berwarna pada bidang koordinat.

5. Sebuah lingkaran yang berpusat di na-cha-le ko-or-di-nat melalui titik tersebut. Temukan dia ra-di-us.

6. Temukan-di-te ra-di-us lingkaran, jelaskan-san-noy tentang sudut siku-siku-no-ka, puncak sesuatu memiliki co-atau -di-na-kamu sangat bertanggung jawab

Solusi:

1. Diketahui garis tengah trapesium sama dengan setengah jumlah alasnya. Basisnya sama, dan basisnya. Kemudian

Menjawab:

2. Cara termudah untuk menyelesaikan soal ini adalah dengan memperhatikan hal tersebut (aturan jajaran genjang). Menghitung koordinat vektor tidaklah sulit: . Saat menjumlahkan vektor, koordinatnya juga ditambahkan. Kemudian memiliki koordinat. Titik tersebut juga mempunyai koordinat-koordinat tersebut, karena titik asal vektor adalah titik yang memiliki koordinat tersebut. Kami tertarik pada ordinatnya. Dia setara.

Menjawab:

3. Langsung saja kita bertindak sesuai rumus jarak antara dua titik:

Menjawab:

4. Perhatikan gambar dan sebutkan dua gambar manakah yang “terjepit” di area yang diarsir? Itu terjepit di antara dua kotak. Maka luas bangun yang diinginkan sama dengan luas persegi besar dikurangi luas persegi kecil. Sisi persegi kecil merupakan ruas yang menghubungkan titik-titik dan panjangnya adalah

Maka luas persegi kecil tersebut adalah

Kita melakukan hal yang sama dengan persegi besar: sisinya adalah segmen yang menghubungkan titik-titik dan panjangnya adalah

Maka luas persegi besar tersebut adalah

Kami menemukan luas gambar yang diinginkan menggunakan rumus:

Menjawab:

5. Jika sebuah lingkaran mempunyai titik asal sebagai pusatnya dan melalui suatu titik, maka jari-jarinya akan sama persis dengan panjang segmen tersebut (buatlah gambar dan Anda akan mengerti mengapa hal ini jelas). Mari kita cari panjang ruas ini:

Menjawab:

6. Diketahui jari-jari lingkaran yang dibatasi pada suatu persegi panjang sama dengan setengah diagonalnya. Mari kita cari panjang salah satu dari dua diagonalnya (bagaimanapun juga, dalam persegi panjang keduanya sama besar!)

Menjawab:

Nah, apakah Anda mengatasi semuanya? Tidak terlalu sulit untuk mengetahuinya, bukan? Hanya ada satu aturan di sini - dapat membuat gambaran visual dan cukup “membaca” semua data darinya.

Kita hanya punya sedikit yang tersisa. Ada dua hal lagi yang ingin saya diskusikan.

Mari kita coba selesaikan masalah sederhana ini. Biarkan dua poin dan diberikan. Temukan koordinat titik tengah segmen tersebut. Penyelesaian permasalahan tersebut adalah sebagai berikut: misalkan titik tersebut berada di tengah yang diinginkan, maka mempunyai koordinat:

Itu adalah: koordinat tengah ruas = mean aritmatika dari koordinat ujung-ujung ruas yang bersesuaian.

Aturan ini sangat sederhana dan biasanya tidak menimbulkan kesulitan bagi siswa. Mari kita lihat masalah apa dan bagaimana penggunaannya:

1. Temukan-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny dari-potong, sambungkan titik dan

2. Poinnya tampak seperti yang teratas di dunia. Temukan-di-te or-di-na-tu poin per-re-se-che-niya dari dia-go-na-ley-nya.

3. Temukan-di-te abs-cis-su pusat lingkaran, jelaskan-san-noy tentang persegi panjang-no-ka, puncak sesuatu memiliki co-or-di-na-you jadi-bertanggung jawab-tapi.

Solusi:

1. Masalah pertama hanyalah masalah klasik. Kami segera melanjutkan untuk menentukan bagian tengah segmen. Ia memiliki koordinat. Ordinatnya sama.

Menjawab:

2. Sangat mudah untuk melihat bahwa segiempat ini adalah jajar genjang (bahkan belah ketupat!). Anda dapat membuktikannya sendiri dengan menghitung panjang sisi-sisinya dan membandingkannya satu sama lain. Apa yang saya ketahui tentang jajaran genjang? Diagonal-diagonalnya terbagi dua oleh titik potongnya! Ya! Jadi, apa titik potong diagonal-diagonalnya? Ini adalah titik tengah diagonal mana pun! Saya akan memilih, khususnya, diagonal. Maka titik tersebut memiliki koordinat. Ordinat titik tersebut sama dengan.

Menjawab:

3. Titik pusat lingkaran yang dibatasi pada persegi panjang berimpit dengan apa? Bertepatan dengan titik potong diagonal-diagonalnya. Apa yang kamu ketahui tentang diagonal-diagonal persegi panjang? Keduanya sama besar dan titik potong membaginya menjadi dua. Tugas tersebut dikurangi menjadi tugas sebelumnya. Misalnya saja diagonalnya. Maka jika adalah pusat lingkaran, maka adalah titik tengahnya. Saya mencari koordinat: Absisnya sama.

Menjawab:

Sekarang berlatihlah sedikit sendiri, saya hanya akan memberikan jawaban dari setiap soal agar Anda dapat menguji diri sendiri.

1. Temukan-di-te ra-di-us lingkaran, jelaskan-san-noy tentang segitiga-no-ka, puncak sesuatu memiliki co-or-di -no misters

2. Temukan-di-te or-di-on-pusat lingkaran itu, jelaskan-san-noy tentang segitiga-no-ka yang puncak-puncaknya mempunyai koordinat

3. Ra-di-u-sa manakah yang harus berupa lingkaran yang berpusat di suatu titik sehingga menyentuh sumbu absis?

4. Temukan-di-itu atau-di-pada-itu titik pemisahan sumbu dan dari-potong, sambungkan-titik dan

Jawaban:

Apakah semuanya berhasil? Saya sangat berharap untuk itu! Sekarang - dorongan terakhir. Sekarang berhati-hatilah. Materi yang akan saya jelaskan sekarang tidak hanya berhubungan langsung dengan tugas-tugas sederhana ke metode koordinat dari bagian B, tetapi juga ditemukan di mana-mana di soal C2.

Janji-janjiku yang manakah yang belum aku tepati? Ingat operasi apa pada vektor yang saya janjikan untuk diperkenalkan dan operasi mana yang akhirnya saya perkenalkan? Apakah kamu yakin aku tidak melupakan apa pun? Lupa! Saya lupa menjelaskan apa yang dimaksud dengan perkalian vektor.

Ada dua cara untuk mengalikan vektor dengan vektor. Bergantung pada metode yang dipilih, kita akan mendapatkan objek dengan sifat berbeda:

Perkalian silang dilakukan dengan cukup cerdik. Bagaimana cara melakukannya dan mengapa diperlukan, kita akan membahasnya di artikel selanjutnya. Dan kali ini kita akan fokus pada perkalian skalar.

Ada dua cara yang memungkinkan kita menghitungnya:

Seperti yang Anda duga, hasilnya seharusnya sama! Jadi mari kita lihat cara pertama terlebih dahulu:

Perkalian titik melalui koordinat

Temukan: - notasi yang diterima secara umum untuk produk skalar

Rumus perhitungannya adalah sebagai berikut:

Artinya, hasil kali skalar = jumlah hasil kali koordinat vektor!

Contoh:

Temukan-di-te

Larutan:

Mari kita cari koordinat masing-masing vektor:

Kami menghitung produk skalar menggunakan rumus:

Menjawab:

Lihat, tidak ada yang rumit!

Nah, sekarang coba sendiri:

· Temukan skalar pro-iz-ve-de-nie berabad-abad dan

Apakah Anda berhasil? Mungkin Anda memperhatikan tangkapan kecil? Mari kita periksa:

Koordinat vektor, seperti pada soal sebelumnya! Menjawab: .

Selain koordinat, ada cara lain untuk menghitung hasil kali skalar, yaitu melalui panjang vektor dan kosinus sudut antara keduanya:

Menunjukkan sudut antara vektor dan.

Artinya, hasil kali skalar sama dengan hasil kali panjang vektor dan kosinus sudut di antara keduanya.

Mengapa kita membutuhkan rumus kedua ini, jika kita memiliki rumus pertama yang jauh lebih sederhana, setidaknya tidak ada cosinus di dalamnya. Dan itu diperlukan agar dari rumus pertama dan kedua kita bisa menyimpulkan cara mencari sudut antar vektor!

Mari kita ingat rumus panjang vektor!

Kemudian jika saya substitusikan data ini ke dalam rumus perkalian skalar, saya mendapatkan:

Namun dengan cara lain:

Jadi, apa yang Anda dan saya dapatkan? Sekarang kita mempunyai rumus yang memungkinkan kita menghitung sudut antara dua vektor! Terkadang juga ditulis seperti ini agar singkatnya:

Artinya, algoritma untuk menghitung sudut antar vektor adalah sebagai berikut:

1. Hitung produk skalar melalui koordinat
2. Temukan panjang vektor dan kalikan
3. Bagilah hasil poin 1 dengan hasil poin 2

Mari berlatih dengan contoh:

1. Temukan sudut antara kelopak mata dan. Berikan jawabannya di gradu-du-sah.

2. Pada kondisi soal sebelumnya, carilah cosinus antar vektor

Mari kita lakukan ini: Saya akan membantu Anda memecahkan masalah pertama, dan mencoba menyelesaikan masalah kedua sendiri! Setuju? Kalau begitu mari kita mulai!

1. Vektor-vektor ini adalah teman lama kita. Kami telah menghitung produk skalarnya dan hasilnya sama. Koordinatnya adalah: , . Kemudian kita menemukan panjangnya:

Kemudian kita mencari kosinus antar vektor:

Berapa cosinus sudutnya? Ini adalah sudutnya.

Menjawab:

Nah, sekarang selesaikan sendiri masalah kedua, lalu bandingkan! Saya akan memberikan solusi yang sangat singkat:

2. mempunyai koordinat, mempunyai koordinat.

Misalkan adalah sudut antara vektor dan, maka

Menjawab:

Perlu diperhatikan permasalahan langsung pada vektor dan metode koordinat pada bagian B kertas ujian cukup jarang. Namun, sebagian besar masalah C2 dapat diselesaikan dengan mudah dengan memperkenalkan sistem koordinat. Jadi, Anda dapat menganggap artikel ini sebagai fondasi yang menjadi dasar kami membuat konstruksi yang cukup cerdik yang perlu kami selesaikan tugas yang kompleks.

KOORDINAT DAN VEKTOR. LEVEL RATA-RATA

Anda dan saya terus mempelajari metode koordinat. Di bagian terakhir, kami memperoleh sejumlah rumus penting yang memungkinkan Anda untuk:

1. Temukan koordinat vektor
2. Mencari panjang suatu vektor (sebagai alternatif: jarak antara dua titik)
3. Penjumlahan dan pengurangan vektor. Kalikan dengan bilangan real
4. Temukan titik tengah suatu segmen
5. Hitung perkalian titik dari vektor
6. Temukan sudut antar vektor

Tentu saja, keseluruhan metode koordinat tidak sesuai dengan 6 titik ini. Ini mendasari ilmu seperti geometri analitik, yang akan Anda kenali di universitas. Saya hanya ingin membangun landasan yang memungkinkan Anda menyelesaikan masalah dalam satu negara. ujian. Kita telah menyelesaikan tugas-tugas Bagian B. Sekarang saatnya untuk pindah ke tingkat yang benar-benar baru! Artikel ini akan membahas metode untuk memecahkan masalah C2 yang masuk akal untuk beralih ke metode koordinat. Kewajaran ini ditentukan oleh apa yang perlu ditemukan dalam permasalahan dan angka apa yang diberikan. Jadi, saya akan menggunakan metode koordinat jika pertanyaannya adalah:

1. Temukan sudut antara dua bidang
2. Temukan sudut antara garis lurus dan bidang
3. Temukan sudut antara dua garis lurus
4. Temukan jarak dari suatu titik ke pesawat
5. Temukan jarak dari suatu titik ke garis
6. Carilah jarak garis lurus ke bidang
7. Temukan jarak antara dua garis

Jika bangun yang diberikan pada rumusan masalah adalah benda yang berputar (bola, silinder, kerucut...)

Angka-angka yang cocok untuk metode koordinat adalah:

1. Paralelepiped persegi panjang
2. Piramida (segitiga, segi empat, heksagonal)

Juga dari pengalaman saya tidak tepat menggunakan metode koordinat:

1. Menemukan luas penampang
2. Perhitungan volume benda

Namun, perlu segera dicatat bahwa tiga situasi yang “tidak menguntungkan” untuk metode koordinat cukup jarang terjadi dalam praktiknya. Dalam sebagian besar tugas, ini bisa menjadi penyelamat Anda, terutama jika Anda tidak pandai dalam konstruksi tiga dimensi (yang terkadang bisa sangat rumit).

Apa saja angka-angka yang saya sebutkan di atas? Mereka tidak lagi datar, seperti, misalnya, persegi, segitiga, lingkaran, tetapi banyak! Oleh karena itu, kita perlu mempertimbangkan bukan sistem koordinat dua dimensi, tetapi sistem koordinat tiga dimensi. Pembuatannya cukup mudah: selain sumbu absis dan sumbu ordinat, kita akan memperkenalkan sumbu lain, yaitu sumbu penerapan. Gambar tersebut secara skematis menunjukkan posisi relatifnya:

Semuanya saling tegak lurus dan berpotongan di satu titik, yang kita sebut titik asal koordinat. Seperti sebelumnya, kita akan menunjukkan sumbu absis, sumbu ordinat - , dan sumbu penerapan yang diperkenalkan - .

Jika sebelumnya setiap titik pada bidang dicirikan oleh dua bilangan - absis dan ordinat, maka setiap titik dalam ruang sudah dijelaskan oleh tiga bilangan - absis, ordinat, dan aplikasi. Misalnya:

Dengan demikian, absis suatu titik adalah sama, ordinatnya adalah , dan penerapannya adalah .

Kadang-kadang absis suatu titik disebut juga proyeksi suatu titik ke sumbu absis, ordinat - proyeksi suatu titik ke sumbu ordinat, dan aplikasi - proyeksi suatu titik ke sumbu aplikasi. Dengan demikian, jika suatu titik diberikan, maka suatu titik dengan koordinat:

disebut proyeksi suatu titik pada suatu bidang

disebut proyeksi suatu titik pada suatu bidang

Sebuah pertanyaan wajar muncul: apakah semua rumus yang diturunkan untuk kasus dua dimensi valid di ruang angkasa? Jawabannya iya, mereka berkulit putih dan berpenampilan sama. Untuk detail kecil. Saya rasa Anda sudah menebak yang mana itu. Dalam semua rumus kita harus menambahkan satu suku lagi yang bertanggung jawab atas sumbu penerapan. Yaitu.

1. Jika diberikan dua titik: , maka:

• Koordinat vektor:
• Jarak antara dua titik (atau panjang vektor)
• Titik tengah segmen memiliki koordinat

2. Jika diberikan dua vektor: dan, maka:

• Produk skalarnya sama dengan:
• Kosinus sudut antar vektor sama dengan:

Namun, ruang tidaklah sesederhana itu. Seperti yang Anda pahami, menambahkan satu koordinat lagi akan membawa keragaman yang signifikan ke dalam spektrum sosok yang “hidup” di ruang ini. Dan untuk narasi lebih lanjut saya perlu memperkenalkan beberapa, secara kasar, “generalisasi” dari garis lurus. “Generalisasi” ini akan menjadi sebuah bidang. Apa yang kamu ketahui tentang pesawat? Coba jawab pertanyaannya, apa itu pesawat? Sangat sulit untuk mengatakannya. Namun, kita semua secara intuitif membayangkan seperti apa:

Secara kasar, ini adalah semacam “lembaran” tak berujung yang menempel di angkasa. Yang dimaksud dengan “tak terhingga” adalah bahwa bidang itu memanjang ke segala arah, artinya luasnya sama dengan tak terhingga. Namun penjelasan “langsung” ini tidak memberikan gambaran sedikit pun tentang struktur pesawat. Dan dialah yang akan tertarik pada kita.

Mari kita ingat salah satu aksioma dasar geometri:

• sebuah garis lurus melalui dua titik berbeda pada suatu bidang, dan hanya satu:

Atau analoginya di luar angkasa:

Tentu saja, Anda ingat cara menurunkan persamaan garis dari dua titik tertentu; itu sama sekali tidak sulit: jika titik pertama mempunyai koordinat: dan titik kedua, maka persamaan garisnya adalah sebagai berikut:

Anda mengambil ini di kelas 7. Dalam ruang, persamaan garis terlihat seperti ini: diberikan dua titik dengan koordinat: , maka persamaan garis yang melaluinya berbentuk:

Misalnya, sebuah garis melewati titik-titik:

Bagaimana hal ini harus dipahami? Hal ini harus dipahami sebagai berikut: suatu titik terletak pada suatu garis jika koordinatnya memenuhi sistem berikut:

Kita tidak akan terlalu tertarik dengan persamaan garis, namun kita perlu memperhatikan konsep yang sangat penting tentang vektor arah suatu garis. - setiap vektor bukan nol yang terletak pada suatu garis atau sejajar dengannya.

Misalnya, kedua vektor tersebut merupakan vektor arah suatu garis lurus. Misalkan sebuah titik terletak pada sebuah garis dan menjadi vektor arahnya. Maka persamaan garisnya dapat dituliskan dalam bentuk berikut:

Sekali lagi, saya tidak terlalu tertarik dengan persamaan garis lurus, tetapi saya sangat ingin Anda mengingat apa itu vektor arah! Lagi: ini adalah vektor bukan nol APAPUN yang terletak pada suatu garis atau sejajar dengannya.

Menarik persamaan bidang berdasarkan tiga titik tertentu tidak lagi sepele, dan biasanya masalah ini tidak dibahas dalam kursus ini sekolah menengah atas. Namun sia-sia! Teknik ini sangat penting ketika kita menggunakan metode koordinat untuk memecahkan masalah yang kompleks. Namun, saya berasumsi Anda ingin mempelajari sesuatu yang baru? Terlebih lagi, Anda akan mampu membuat dosen Anda terkesan di universitas ketika ternyata Anda sudah mengetahui cara menggunakan teknik yang biasa dipelajari dalam mata kuliah geometri analitik. Jadi mari kita mulai.

Persamaan bidang tidak jauh berbeda dengan persamaan garis lurus pada bidang, yaitu berbentuk:

beberapa bilangan (tidak semuanya sama dengan nol), tetapi variabel, misalnya: dst. Seperti yang Anda lihat, persamaan bidang tidak jauh berbeda dengan persamaan garis lurus (fungsi linier). Namun, ingatkah Anda apa yang Anda dan saya perdebatkan? Kita telah mengatakan bahwa jika kita mempunyai tiga titik yang tidak terletak pada garis yang sama, maka persamaan bidang dapat direkonstruksi secara unik dari titik-titik tersebut. Tapi bagaimana caranya? Saya akan mencoba menjelaskannya kepada Anda.

Karena persamaan bidangnya adalah:

Dan titik-titik tersebut termasuk dalam bidang tersebut, maka ketika mensubstitusikan koordinat setiap titik ke dalam persamaan bidang tersebut kita harus memperoleh identitas yang benar:

Oleh karena itu, ada kebutuhan untuk menyelesaikan tiga persamaan yang tidak diketahui! Dilema! Namun, Anda selalu dapat berasumsi demikian (untuk melakukan ini, Anda perlu membaginya). Jadi, kita mendapatkan tiga persamaan dengan tiga hal yang tidak diketahui:

Namun, kami tidak akan menyelesaikan sistem seperti itu, tetapi akan menuliskan ekspresi misterius yang mengikutinya:

Persamaan bidang yang melalui tiga titik tertentu

\[\kiri| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \kanan| = 0\]

Berhenti! Apa ini? Beberapa sangat modul yang tidak biasa! Namun, objek yang Anda lihat di depan Anda tidak ada hubungannya dengan modul. Objek ini disebut determinan orde ketiga. Mulai saat ini, ketika Anda berurusan dengan metode koordinat pada sebuah bidang, Anda akan sangat sering menjumpai determinan yang sama. Apa yang dimaksud dengan determinan orde ketiga? Anehnya, itu hanya angka. Masih harus dipahami bilangan spesifik apa yang akan kita bandingkan dengan determinannya.

Mari kita tulis dulu determinan orde ketiga dalam bentuk yang lebih umum:

Di mana beberapa angka. Selain itu, yang dimaksud dengan indeks pertama adalah nomor baris, dan indeks yang dimaksud adalah nomor kolom. Misalnya angka ini berada pada perpotongan baris kedua dan kolom ketiga. Ayo pakai pertanyaan selanjutnya: Bagaimana tepatnya kita menghitung determinan seperti itu? Artinya, angka spesifik manakah yang akan kita bandingkan dengannya? Untuk determinan orde ketiga terdapat aturan segitiga heuristik (visual), tampilannya seperti ini:

1. Hasil kali elemen-elemen diagonal utama (dari sudut kiri atas ke kanan bawah) hasil kali elemen-elemen pembentuk segitiga pertama yang “tegak lurus” dengan diagonal utama hasil kali elemen-elemen pembentuk segitiga kedua yang “tegak lurus” dengan diagonal utama diagonal utama
2. Hasil kali elemen-elemen diagonal sekunder (dari pojok kanan atas ke kiri bawah) hasil kali elemen-elemen pembentuk segitiga pertama yang tegak lurus dengan diagonal sekunder hasil kali elemen-elemen pembentuk segitiga kedua yang tegak lurus dengan diagonal sekunder diagonal sekunder
3. Maka determinannya sama dengan selisih antara nilai yang diperoleh pada langkah dan

Jika kita menuliskan semuanya dalam angka, kita mendapatkan ekspresi berikut:

Namun, Anda tidak perlu mengingat cara menghitungnya dalam bentuk ini, cukup dengan mengingat segitiga dan gagasan tentang apa yang dijumlahkan dan kemudian dikurangi dari apa).

Mari kita ilustrasikan metode segitiga dengan sebuah contoh:

1. Hitung determinannya:

Mari kita cari tahu apa yang kita tambahkan dan apa yang kita kurangi:

Ketentuan yang disertai dengan nilai tambah:

Ini adalah diagonal utama: hasil kali unsur-unsurnya sama dengan

Segitiga pertama, tegak lurus terhadap diagonal utama: hasil kali unsur-unsurnya sama dengan

Segitiga kedua, "tegak lurus terhadap diagonal utama: hasil kali unsur-unsurnya sama dengan

Jumlahkan tiga angka:

Istilah yang datang dengan minus

Ini adalah diagonal sisi: hasil kali unsur-unsurnya sama dengan

Segitiga pertama, “tegak lurus terhadap diagonal sekunder: hasil kali unsur-unsurnya sama dengan

Segitiga kedua, “tegak lurus terhadap diagonal sekunder: hasil kali unsur-unsurnya sama dengan

Jumlahkan tiga angka:

Yang perlu dilakukan hanyalah mengurangkan jumlah suku “plus” dari jumlah suku “minus”:

Dengan demikian,

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit atau supernatural dalam menghitung determinan orde ketiga. Penting untuk mengingat tentang segitiga dan tidak membuat kesalahan aritmatika. Sekarang coba hitung sendiri:

Kami memeriksa:

1. Segitiga pertama yang tegak lurus diagonal utama:
2. Segitiga kedua yang tegak lurus diagonal utama:
3. Jumlah suku dengan plus:
4. Segitiga pertama yang tegak lurus diagonal sekunder:
5. Segitiga kedua yang tegak lurus sisi diagonalnya:
6. Jumlah suku dengan minus:
7. Jumlah suku-suku yang diberi tanda plus dikurangi jumlah suku-suku yang diberi tanda minus:

Berikut adalah beberapa faktor penentu lagi, hitung sendiri nilainya dan bandingkan dengan jawabannya:

Jawaban:

Nah, apakah semuanya bertepatan? Bagus, lalu Anda bisa melanjutkan! Jika ada kesulitan maka saran saya begini: di Internet banyak sekali program untuk menghitung determinan secara online. Yang Anda butuhkan hanyalah menemukan determinan Anda sendiri, menghitungnya sendiri, lalu membandingkannya dengan apa yang dihitung oleh program. Begitu seterusnya hingga hasilnya mulai bertepatan. Saya yakin momen ini tidak akan lama lagi tiba!

Sekarang mari kita kembali ke determinan yang saya tulis ketika saya berbicara tentang persamaan sebuah bidang yang melalui tiga titik tertentu:

Yang Anda perlukan hanyalah menghitung nilainya secara langsung (menggunakan metode segitiga) dan menyetel hasilnya ke nol. Tentu saja, karena ini adalah variabel, Anda akan mendapatkan beberapa ekspresi yang bergantung pada variabel tersebut. Ungkapan inilah yang akan menjadi persamaan sebuah bidang yang melalui tiga titik tertentu yang tidak terletak pada garis lurus yang sama!

Mari kita ilustrasikan hal ini dengan contoh sederhana:

1. Buatlah persamaan bidang yang melalui titik-titik tersebut

Kami menyusun determinan untuk tiga poin ini:

Mari kita sederhanakan:

Sekarang kita menghitungnya langsung menggunakan aturan segitiga:

\[(\kiri| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ kanan| = \kiri((x + 3) \kanan) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \kiri((z + 1) \kanan) + \kiri((y - 2) \kanan) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Jadi, persamaan bidang yang melalui titik-titik tersebut adalah:

Sekarang cobalah untuk menyelesaikan sendiri satu masalah, dan kemudian kita akan membahasnya:

2. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik-titik tersebut

Baiklah, sekarang mari kita bahas solusinya:

Mari kita buat determinannya:

Dan hitung nilainya:

Maka persamaan bidang tersebut berbentuk:

Atau, dikurangi, kita peroleh:

Sekarang dua tugas untuk pengendalian diri:

1. Buatlah persamaan bidang yang melalui tiga titik:

Jawaban:

Apakah semuanya bertepatan? Sekali lagi, jika ada kesulitan tertentu, maka saran saya adalah ini: ambil tiga titik dari kepala Anda (dengan kemungkinan besar titik-titik tersebut tidak akan terletak pada garis lurus yang sama), buatlah sebuah bidang berdasarkan titik-titik tersebut. Dan kemudian Anda memeriksa diri Anda secara online. Misalnya di situs:

Namun, dengan bantuan determinan kita tidak hanya akan membangun persamaan bidang. Ingat, saya sudah bilang bahwa tidak hanya perkalian titik yang didefinisikan untuk vektor. Ada juga perkalian vektor dan perkalian campuran. Dan jika hasil kali skalar dua vektor adalah bilangan, maka hasil kali vektor dua vektor adalah vektor, dan vektor tersebut akan tegak lurus terhadap vektor berikut:

Selain itu, modulnya akan sama dengan luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor dan. Kita membutuhkan vektor ini untuk menghitung jarak dari suatu titik ke garis. Bagaimana kita dapat menghitung perkalian vektor dari vektor-vektor dan, jika koordinatnya diberikan? Penentu orde ketiga kembali membantu kita. Namun, sebelum saya melanjutkan ke algoritma untuk menghitung produk vektor, saya harus membuat sedikit penyimpangan.

Penyimpangan ini menyangkut vektor basis.

Mereka ditunjukkan secara skematis pada gambar:

Menurut Anda mengapa mereka disebut dasar? Faktanya adalah:

Atau di gambar:

Validitas rumus ini jelas karena:

Karya seni vektor

Sekarang saya dapat mulai memperkenalkan produk silang:

Hasil kali vektor dua vektor adalah vektor, yang dihitung berdasarkan aturan berikut:

Sekarang mari kita berikan beberapa contoh penghitungan perkalian silang:

Contoh 1: Temukan perkalian silang vektor-vektor:

Solusi: Saya membuat determinan:

Dan saya menghitungnya:

Sekarang dari penulisan melalui vektor basis, saya akan kembali ke notasi vektor biasa:

Dengan demikian:

Sekarang cobalah.

Siap? Kami memeriksa:

Dan secara tradisional dua tugas untuk kontrol:

1. Temukan produk vektor dari vektor-vektor berikut:
2. Temukan produk vektor dari vektor-vektor berikut:

Jawaban:

Hasil kali campuran tiga vektor

Konstruksi terakhir yang saya perlukan adalah hasil kali campuran tiga vektor. Itu, seperti skalar, adalah sebuah angka. Ada dua cara untuk menghitungnya. - melalui determinan, - melalui hasil kali campuran.

Yaitu, mari kita diberikan tiga vektor:

Maka hasil kali campuran ketiga vektor yang dilambangkan dengan dapat dihitung sebagai:

1. - yaitu, hasil kali campuran adalah hasil kali skalar suatu vektor dan hasil kali vektor dari dua vektor lainnya

Misalnya, hasil kali campuran tiga vektor adalah:

Coba hitung sendiri menggunakan perkalian vektor dan pastikan hasilnya cocok!

Dan sekali lagi, dua contoh solusi independen:

Jawaban:

Memilih sistem koordinat

Nah, sekarang kita memiliki semua landasan pengetahuan yang diperlukan untuk memecahkan masalah geometri stereometri yang kompleks. Namun, sebelum melanjutkan langsung ke contoh dan algoritma untuk menyelesaikannya, saya yakin akan berguna untuk memikirkan pertanyaan berikut: bagaimana tepatnya pilih sistem koordinat untuk gambar tertentu. Bagaimanapun, pilihan posisi relatif sistem koordinat dan bentuk dalam ruanglah yang pada akhirnya akan menentukan betapa rumitnya perhitungannya.

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa di bagian ini kami mempertimbangkan angka-angka berikut:

1. Paralelepiped persegi panjang
2. Prisma lurus (segitiga, heksagonal...)
3. Piramida (segitiga, segi empat)
4. Tetrahedron (sama seperti piramida segitiga)

Untuk parallelepiped persegi panjang atau kubus, saya sarankan Anda konstruksi berikut:

Artinya, saya akan menempatkan gambar “di pojok”. Kubus dan paralelepiped adalah figur yang sangat bagus. Bagi mereka, Anda selalu dapat dengan mudah menemukan koordinat simpulnya. Misalnya, jika (seperti yang ditunjukkan pada gambar)

maka koordinat titiknya adalah sebagai berikut:

Tentu saja, Anda tidak perlu mengingat hal ini, tetapi disarankan untuk mengingat cara terbaik memposisikan kubus atau paralelepiped persegi panjang.

Prisma lurus

Prisma adalah sosok yang lebih berbahaya. Itu dapat diposisikan di ruang angkasa dengan berbagai cara. Namun, opsi berikut menurut saya paling bisa diterima:

Prisma segitiga:

Artinya, kita menempatkan salah satu sisi segitiga seluruhnya pada sumbu, dan salah satu simpulnya berimpit dengan titik asal koordinat.

Prisma heksagonal:

Artinya, salah satu simpul berimpit dengan titik asal, dan salah satu sisinya terletak pada sumbu.

Piramida segi empat dan heksagonal:

Situasinya mirip dengan kubus: kita menyelaraskan dua sisi alasnya dengan sumbu koordinat, dan menyelaraskan salah satu simpul dengan titik asal koordinat. Satu-satunya kesulitan kecil adalah menghitung koordinat titik.

Untuk piramida heksagonal - sama seperti prisma heksagonal. Tugas utamanya lagi-lagi adalah menemukan koordinat titik tersebut.

Tetrahedron (piramida segitiga)

Situasinya sangat mirip dengan yang saya berikan untuk prisma segitiga: satu titik sudut berimpit dengan titik asal, satu sisi terletak pada sumbu koordinat.

Nah, sekarang Anda dan saya akhirnya hampir menyelesaikan masalah. Dari apa yang saya katakan di awal artikel, Anda dapat menarik kesimpulan sebagai berikut: sebagian besar soal C2 dibagi menjadi 2 kategori: soal sudut dan soal jarak. Pertama, kita akan melihat masalah mencari sudut. Mereka pada gilirannya dibagi menjadi kategori berikut(seiring dengan meningkatnya kesulitan):

Masalah mencari sudut

1. Mencari sudut antara dua garis lurus
2. Menemukan sudut antara dua bidang

Mari kita lihat soal-soal ini secara berurutan: mari kita mulai dengan mencari sudut antara dua garis lurus. Ingat, bukankah Anda dan saya pernah memecahkan contoh serupa sebelumnya? Apakah Anda ingat, kami sudah memiliki sesuatu yang serupa... Kami sedang mencari sudut antara dua vektor. Izinkan saya mengingatkan Anda, jika diberikan dua vektor: dan, maka sudut antara keduanya dicari dari relasi:

Sekarang tujuan kita adalah mencari sudut antara dua garis lurus. Mari kita lihat “gambar datar”:

Berapa banyak sudut yang didapat ketika dua garis lurus berpotongan? Hanya beberapa hal. Benar, hanya dua di antaranya yang tidak sama, sedangkan yang lainnya vertikal (dan karenanya bertepatan dengan keduanya). Jadi sudut manakah yang harus kita anggap sebagai sudut antara dua garis lurus: atau? Di sini aturannya adalah: sudut antara dua garis lurus selalu tidak lebih dari derajat. Artinya, dari dua sudut kita akan selalu memilih sudut yang besar derajatnya terkecil. Artinya, pada gambar ini sudut antara dua garis lurus adalah sama besar. Agar tidak repot setiap kali mencari sudut terkecil dari dua sudut, ahli matematika yang cerdik menyarankan untuk menggunakan modulus. Jadi, sudut antara dua garis lurus ditentukan dengan rumus:

Anda, sebagai pembaca yang penuh perhatian, seharusnya memiliki pertanyaan: di mana tepatnya kita mendapatkan angka-angka yang sama yang kita perlukan untuk menghitung kosinus suatu sudut? Jawaban: kita ambil dari vektor arah garis! Jadi, algoritma mencari sudut antara dua garis lurus adalah sebagai berikut:

1. Kami menerapkan rumus 1.

Atau lebih detailnya:

1. Kita mencari koordinat vektor arah garis lurus pertama
2. Kita mencari koordinat vektor arah garis lurus kedua
3. Kami menghitung modulus produk skalarnya
4. Kami mencari panjang vektor pertama
5. Kami mencari panjang vektor kedua
6. Kalikan hasil poin 4 dengan hasil poin 5
7. Hasil titik 3 kita bagi dengan hasil titik 6. Kita peroleh kosinus sudut antar garis
8. Jika hasil ini memungkinkan Anda menghitung sudut secara akurat, mencarinya
9. Kalau tidak, kita menulis melalui arc cosinus

Nah, sekarang saatnya beralih ke permasalahan: Saya akan mendemonstrasikan solusi untuk dua masalah pertama secara detail, saya akan menyajikan solusi untuk masalah lainnya di secara singkat, dan untuk dua soal terakhir saya hanya akan memberikan jawabannya, semua perhitungannya harus Anda lakukan sendiri.

Tugas:

1. Pada tet-ra-ed-re kanan, tentukan sudut antara tinggi tet-ra-ed-ra dan sisi tengahnya.

2. Pada pi-ra-mi-de enam sudut sebelah kanan, seratus os-no-va-niya sama besar, dan sisi-sisinya sama besar, tentukan sudut antara garis dan.

3. Panjang semua rusuk pi-ra-mi-dy empat batubara siku-siku adalah sama. Temukan sudut antara garis lurus dan jika dari potongan - Anda dengan pi-ra-mi-dy yang diberikan, titiknya adalah se-re-di-pada tulang rusuk kedua bo-co-nya

4. Pada tepi kubus terdapat sebuah titik sehingga Tentukan sudut antara garis lurus dan

5. Titik - pada tepi kubus Temukan sudut antara garis lurus dan.

Bukan kebetulan saya mengatur tugas dalam urutan ini. Meskipun Anda belum mulai menavigasi metode koordinat, saya akan menganalisis sendiri angka yang paling "bermasalah", dan saya akan membiarkan Anda menangani kubus paling sederhana! Secara bertahap Anda harus belajar cara bekerja dengan semua gambar, saya akan meningkatkan kompleksitas tugas dari topik ke topik.

Mari kita mulai memecahkan masalah:

1. Gambarlah sebuah tetrahedron, letakkan pada sistem koordinat seperti yang saya sarankan sebelumnya. Karena tetrahedron beraturan, semua mukanya (termasuk alasnya) adalah segitiga beraturan. Karena kita tidak mengetahui panjang sisinya, saya dapat menganggapnya sama. Saya rasa Anda memahami bahwa sudut sebenarnya tidak bergantung pada seberapa besar tetrahedron kita "diregangkan"?. Saya juga akan menggambar tinggi dan median pada tetrahedron. Sepanjang jalan, saya akan menggambar dasarnya (ini juga akan berguna bagi kita).

Saya perlu menemukan sudut antara dan. Apa yang kita ketahui? Kita hanya mengetahui koordinat titiknya. Artinya kita perlu mencari koordinat titik-titik tersebut. Sekarang kita berpikir: suatu titik adalah titik potong ketinggian (atau garis bagi atau median) segitiga. Dan sebuah poin adalah sebuah poin yang ditinggikan. Intinya adalah bagian tengah segmen. Kemudian kita akhirnya perlu mencari: koordinat titik-titik: .

Mari kita mulai dengan hal yang paling sederhana: koordinat suatu titik. Perhatikan gambar: Jelas penerapan suatu titik sama dengan nol (titik terletak pada bidang). Ordinatnya sama (karena merupakan median). Lebih sulit mencari absisnya. Namun, hal ini mudah dilakukan berdasarkan teorema Pythagoras: Perhatikan sebuah segitiga. Sisi miringnya sama, dan salah satu kakinya sama. Maka:

Akhirnya kita memiliki: .

Sekarang mari kita cari koordinat titiknya. Jelas bahwa penerapannya lagi-lagi sama dengan nol, dan ordinatnya sama dengan suatu titik, yaitu. Mari kita cari absisnya. Hal ini dilakukan dengan cukup sepele jika Anda mengingatnya tinggi segitiga sama sisi dibagi dengan titik potongnya secara proporsional, menghitung dari atas. Karena: , maka absis titik yang diperlukan, sama dengan panjang ruas, adalah sama dengan: . Jadi, koordinat titiknya adalah:

Mari kita cari koordinat titiknya. Jelas absis dan ordinatnya berimpit dengan absis dan ordinat titik. Dan penerapannya sama dengan panjang ruas. - ini adalah salah satu kaki segitiga. Sisi miring suatu segitiga adalah ruas – kaki. Dicari alasan yang saya soroti dalam huruf tebal:

Intinya adalah bagian tengah segmen. Maka kita perlu mengingat rumus koordinat titik tengah ruas tersebut:

Itu saja, sekarang kita bisa mencari koordinat vektor arah:

Baiklah, semuanya sudah siap: kita substitusikan semua data ke dalam rumus:

Dengan demikian,

Menjawab:

Anda tidak perlu takut dengan jawaban yang “menakutkan” seperti itu: untuk tugas C2, ini adalah praktik yang umum. Saya lebih suka terkejut dengan jawaban “indah” di bagian ini. Juga, seperti yang Anda perhatikan, saya praktis tidak menggunakan apa pun selain teorema Pythagoras dan properti ketinggian segitiga sama sisi. Artinya, untuk menyelesaikan masalah stereometri, saya menggunakan stereometri yang paling minimum. Keuntungan dalam hal ini sebagian “dipadamkan” oleh perhitungan yang agak rumit. Tapi mereka cukup algoritmik!

2. Mari kita gambarkan sebuah piramida heksagonal beraturan beserta sistem koordinatnya, serta alasnya:

Kita perlu mencari sudut antara garis dan. Jadi, tugas kita adalah menemukan koordinat titik-titik: . Kita akan mencari koordinat tiga titik terakhir dengan menggunakan gambar kecil, dan kita akan mencari koordinat titik melalui koordinat titik tersebut. Ada banyak pekerjaan yang harus dilakukan, tapi kita harus memulainya!

a) Koordinat: jelas penerapan dan ordinatnya sama dengan nol. Mari kita cari absisnya. Untuk melakukan ini, pertimbangkan segitiga siku-siku. Sayangnya, di dalamnya kita hanya mengetahui sisi miringnya, yang setara. Kita akan mencoba mencari kakinya (karena jelas bahwa menggandakan panjang kakinya akan menghasilkan absis titiknya). Bagaimana kita bisa mencarinya? Mari kita ingat sosok apa yang kita miliki di dasar piramida? Ini adalah segi enam biasa. Apa artinya? Artinya semua sisi dan sudut sama besar. Kita perlu menemukan salah satu sudut tersebut. Ada ide? Idenya banyak, tapi ada rumusnya:

Jumlah sudut n-gon beraturan adalah .

Jadi, jumlah sudut segi enam beraturan sama dengan derajat. Maka masing-masing sudutnya sama dengan:

Mari kita lihat gambarnya lagi. Jelas bahwa ruas adalah garis bagi sudut. Maka sudutnya sama dengan derajat. Kemudian:

Lalu dari mana.

Jadi, memiliki koordinat

b) Sekarang kita dapat dengan mudah mencari koordinat titik: .

c) Tentukan koordinat titik tersebut. Karena absisnya bertepatan dengan panjang ruas, maka absisnya sama. Menemukan ordinatnya juga tidak terlalu sulit: jika kita menghubungkan titik-titik dan menunjukkan titik potong garis lurus, misalkan dengan. (lakukan sendiri konstruksi sederhana). Jadi, ordinat titik B sama dengan jumlah panjang ruas-ruas tersebut. Mari kita lihat segitiga itu lagi. Kemudian

Kemudian sejak itu titik tersebut mempunyai koordinat

d) Sekarang mari kita cari koordinat titiknya. Perhatikan persegi panjang dan buktikan bahwa Jadi, koordinat titiknya adalah:

e) Masih mencari koordinat titik puncak. Jelas absis dan ordinatnya berimpit dengan absis dan ordinat titik. Ayo temukan aplikasinya. Dari dulu. Pertimbangkan segitiga siku-siku. Sesuai dengan kondisi masalahnya, sisi sampingnya. Ini adalah sisi miring dari segitiga saya. Maka tinggi limas tersebut adalah satu kaki.

Maka titik tersebut memiliki koordinat:

Baiklah, saya punya koordinat semua titik yang saya minati. Saya mencari koordinat vektor pengarah garis lurus:

Kami mencari sudut antara vektor-vektor ini:

Menjawab:

Sekali lagi, dalam menyelesaikan soal ini saya tidak menggunakan teknik canggih apa pun selain rumus jumlah sudut n-gon beraturan, serta definisi kosinus dan sinus segitiga siku-siku.

3. Karena sekali lagi kita tidak diberikan panjang rusuk dalam limas, saya akan menganggapnya sama dengan satu. Jadi, karena SEMUA sisinya, dan bukan hanya sisi-sisinya, sama besar satu sama lain, maka pada alas limas dan saya terdapat persegi, dan sisi-sisinya adalah segitiga beraturan. Mari kita menggambar piramida seperti itu, serta alasnya pada bidang datar, dengan memperhatikan semua data yang diberikan dalam teks soal:

Kami mencari sudut antara dan. Saya akan membuat perhitungan yang sangat singkat ketika saya mencari koordinat titik-titik tersebut. Anda perlu “menguraikannya”:

b) - bagian tengah segmen. Koordinatnya:

c) Saya akan mencari panjang ruas menggunakan teorema Pythagoras dalam sebuah segitiga. Saya dapat menemukannya menggunakan teorema Pythagoras dalam sebuah segitiga.

Koordinat:

d) - bagian tengah segmen. Koordinatnya adalah

e) Koordinat vektor

f) Koordinat vektor

g) Mencari sudut:

Kubus adalah bangun datar yang paling sederhana. Saya yakin Anda akan mengetahuinya sendiri. Jawaban soal 4 dan 5 adalah sebagai berikut:

Mencari sudut antara garis lurus dan bidang

Nah, waktu untuk teka-teki sederhana sudah berakhir! Sekarang contohnya akan menjadi lebih rumit. Untuk mencari sudut antara garis lurus dan bidang, kita lakukan sebagai berikut:

1. Dengan menggunakan tiga titik, kita membuat persamaan bidang
   ,
   menggunakan determinan orde ketiga.
2. Dengan menggunakan dua titik, kita mencari koordinat vektor pengarah garis lurus:
3. Kami menerapkan rumus untuk menghitung sudut antara garis lurus dan bidang:

Seperti yang Anda lihat, rumus ini sangat mirip dengan rumus yang kita gunakan untuk mencari sudut antara dua garis lurus. Struktur di sisi kanan sama saja, dan di kiri kita sekarang mencari sinus, bukan kosinus seperti sebelumnya. Nah, satu tindakan buruk telah ditambahkan - mencari persamaan pesawat.

Jangan menunda-nunda contoh solusi:

1. Prisma lurus utama-tapi-va-ni-em-kita adalah segitiga sama kaki miskin. Temukan sudut antara garis lurus dan bidang

2. Pada persegi panjang par-ral-le-le-pi-pe-de dari Barat Tentukan sudut antara garis lurus dan bidang

3. Pada prisma siku-siku enam sudut, semua rusuknya sama besar. Temukan sudut antara garis lurus dan bidang.

4. Pada segitiga siku-siku pi-ra-mi-de dengan os-no-va-ni-em dari tulang rusuk yang diketahui Temukan sudut, ob-ra-zo-van -datar di alas dan lurus, melewati abu-abu tulang rusuk dan

5. Panjang semua rusuk suatu pi-ra-mi-dy segi empat siku-siku dengan titik sudutnya sama satu sama lain. Tentukan sudut antara garis lurus dan bidang jika titik tersebut berada pada sisi tepi pi-ra-mi-dy.

Sekali lagi, saya akan menyelesaikan dua masalah pertama secara mendetail, masalah ketiga secara singkat, dan membiarkan dua masalah terakhir untuk Anda selesaikan sendiri. Selain itu, Anda sudah pernah berurusan dengan piramida segitiga dan segi empat, tetapi belum berurusan dengan prisma.

Solusi:

1. Mari kita gambarkan sebuah prisma beserta alasnya. Mari kita gabungkan dengan sistem koordinat dan catat semua data yang diberikan dalam rumusan masalah:

Saya minta maaf atas beberapa ketidakpatuhan terhadap proporsi, tetapi untuk menyelesaikan masalah, hal ini sebenarnya tidak begitu penting. Kerataan hanyalah " dinding belakang"dari prismaku. Cukup dengan menebak bahwa persamaan bidang tersebut berbentuk:

Namun hal ini dapat ditunjukkan secara langsung:

Mari kita pilih tiga titik sembarang pada bidang ini: misalnya, .

Mari kita buat persamaan bidangnya:

Latihan untuk Anda: hitung sendiri determinannya. Apakah kamu berhasil? Maka persamaan bidangnya terlihat seperti:

Atau sederhananya

Dengan demikian,

Untuk menyelesaikan contoh ini, saya perlu mencari koordinat vektor arah garis lurus. Karena suatu titik berimpit dengan titik asal, maka koordinat vektornya akan berimpit dengan koordinat titik tersebut.Untuk melakukannya, kita cari dulu koordinat titiknya.

Untuk melakukan ini, pertimbangkan sebuah segitiga. Mari kita menggambar tinggi (juga dikenal sebagai median dan garis bagi) dari titik sudut. Karena ordinat suatu titik sama dengan. Untuk mencari absis titik ini, kita perlu menghitung panjang ruas tersebut. Menurut teorema Pythagoras kita mempunyai:

Maka titik tersebut memiliki koordinat:

Sebuah titik adalah titik yang "mengangkat":

Maka koordinat vektornya adalah:

Menjawab:

Seperti yang Anda lihat, pada dasarnya tidak ada yang sulit dalam menyelesaikan masalah seperti itu. Faktanya, prosesnya sedikit lebih disederhanakan dengan “kelurusan” bangun datar seperti prisma. Sekarang mari kita beralih ke contoh berikutnya:

2. Gambarlah sebuah paralelepiped, gambarlah sebuah bidang dan garis lurus di dalamnya, dan gambarlah alas bawahnya secara terpisah:

Pertama, kita cari persamaan bidangnya: Koordinat tiga titik yang terletak di dalamnya:

(Dua koordinat pertama diperoleh dengan cara yang jelas, dan Anda dapat dengan mudah menemukan koordinat terakhir dari gambar dari titik tersebut). Kemudian kita buat persamaan bidangnya:

Kami menghitung:

Kita cari koordinat vektor pemandunya: Jelas koordinatnya bertepatan dengan koordinat titik bukan? Bagaimana cara mencari koordinat? Ini adalah koordinat titik yang dipangkatkan sepanjang sumbu aplikasi sebanyak satu! . Kemudian kita mencari sudut yang diinginkan:

Menjawab:

3. Gambarlah sebuah piramida heksagonal beraturan, lalu gambarlah sebuah bidang dan garis lurus di dalamnya.

Di sini menggambar bidang bahkan menjadi masalah, belum lagi menyelesaikan masalah ini, tetapi metode koordinat tidak peduli! Fleksibilitasnya adalah keunggulan utamanya!

Pesawat melewati tiga titik: . Kami mencari koordinatnya:

1) . Cari tahu sendiri koordinat dua titik terakhir. Anda harus menyelesaikan soal piramida heksagonal untuk ini!

2) Kami membuat persamaan bidang:

Kami mencari koordinat vektor: . (Lihat lagi soal piramida segitiga!)

3) Mencari sudut:

Menjawab:

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang sangat sulit dalam tugas-tugas ini. Anda hanya perlu sangat berhati-hati dengan akarnya. Saya hanya akan memberikan jawaban untuk dua soal terakhir:

Seperti yang Anda lihat, teknik penyelesaian masalah sama di mana-mana: tugas utamanya adalah menemukan koordinat simpul dan menggantinya ke dalam rumus tertentu. Kita masih harus memperhatikan satu kelompok soal lagi untuk menghitung sudut, yaitu:

Menghitung sudut antara dua bidang

Algoritma solusinya adalah sebagai berikut:

1. Dengan menggunakan tiga titik kita mencari persamaan bidang pertama:
2. Dengan menggunakan tiga titik lainnya, kita mencari persamaan bidang kedua:
3. Kami menerapkan rumus:

Seperti yang Anda lihat, rumusnya sangat mirip dengan dua rumus sebelumnya, yang dengannya kita mencari sudut antara garis lurus dan antara garis lurus dan bidang. Jadi tidak akan sulit bagi Anda untuk mengingat yang satu ini. Mari beralih ke analisis tugas:

1. Sisi alas prisma segitiga siku-siku adalah sama, dan diagonal sisi sisinya adalah sama. Temukan sudut antara bidang dan bidang sumbu prisma.

2. Pada pi-ra-mi-de empat sudut siku-siku yang semua rusuknya sama besar, tentukan sinus sudut antara bidang dan tulang bidang yang melalui titik per-pen-di-ku- lyar-tapi lurus.

3. Pada prisma empat sudut beraturan, sisi-sisi alasnya sama panjang, dan rusuk-rusuk sisinya sama panjang. Ada titik di tepi dari-me-che-on sehingga. Temukan sudut antara bidang dan

4. Pada prisma segi empat siku-siku, sisi-sisi alasnya sama panjang, dan rusuk-rusuk sisinya sama panjang. Ada sebuah titik di tepi titik tersebut sehingga Tentukan sudut antara bidang dan.

5. Dalam sebuah kubus, tentukan co-si-nus sudut antara bidang dan

Solusi masalah:

1. Saya menggambar prisma segitiga beraturan (segitiga sama sisi di alasnya) dan menandai di atasnya bidang-bidang yang muncul dalam rumusan masalah:

Kita perlu mencari persamaan dua bidang: Persamaan alasnya sepele: Anda dapat membuat determinan yang bersesuaian menggunakan tiga titik, tetapi saya akan segera membuat persamaannya:

Sekarang mari kita cari persamaan Titik mempunyai koordinat Titik - Karena merupakan median dan tinggi segitiga, maka persamaan tersebut dapat dengan mudah dicari menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga. Maka titik tersebut mempunyai koordinat: Mari kita cari penerapan titik tersebut. Untuk melakukannya, perhatikan sebuah segitiga siku-siku

Kemudian kita peroleh koordinat berikut: Kita buat persamaan bidangnya.

Kami menghitung sudut antar bidang:

Menjawab:

2. Membuat gambar:

Hal tersulit adalah memahami bidang misterius macam apa yang melewati titik tersebut secara tegak lurus. Nah, yang penting, apa itu? Yang utama adalah perhatian! Faktanya, garis tersebut tegak lurus. Garis lurusnya juga tegak lurus. Kemudian bidang yang melalui kedua garis tersebut akan tegak lurus terhadap garis tersebut, dan melalui titik tersebut. Pesawat ini juga melewati puncak piramida. Kemudian pesawat yang diinginkan - Dan pesawat itu sudah diberikan kepada kita. Kami mencari koordinat titik-titiknya.

Kita mencari koordinat suatu titik melalui titik tersebut. Dari gambaran kecil tersebut mudah untuk menyimpulkan bahwa koordinat titik tersebut adalah sebagai berikut: Apa yang masih harus dicari untuk menemukan koordinat puncak piramida? Anda juga perlu menghitung tingginya. Hal ini dilakukan dengan menggunakan teorema Pythagoras yang sama: pertama buktikan (sepele dari segitiga kecil yang membentuk persegi di alasnya). Karena dengan syarat, kami memiliki:

Sekarang semuanya sudah siap: koordinat titik:

Kami menyusun persamaan bidang:

Anda sudah ahli dalam menghitung determinan. Tanpa kesulitan Anda akan menerima:

Atau sebaliknya (jika kita mengalikan kedua ruas dengan akar dua)

Sekarang mari kita cari persamaan bidangnya:

(Anda pasti lupa bagaimana kita mendapatkan persamaan bidang, kan? Jika Anda tidak mengerti dari mana asal minus satu ini, kembali ke definisi persamaan bidang! Selalu saja ternyata sebelum itu pesawatku milik asal koordinat!)

Kami menghitung determinannya:

(Anda mungkin memperhatikan bahwa persamaan bidang bertepatan dengan persamaan garis yang melalui titik-titik dan! Pikirkan alasannya!)

Sekarang mari kita hitung sudutnya:

Kita perlu mencari sinusnya:

Menjawab:

3. Pertanyaan rumit: menurut Anda apa itu prisma persegi panjang? Ini hanyalah sebuah paralelepiped yang Anda ketahui dengan baik! Ayo segera buat gambarnya! Anda bahkan tidak perlu menggambarkan alasnya secara terpisah, tidak ada gunanya di sini:

Bidang tersebut, seperti yang telah kita catat sebelumnya, ditulis dalam bentuk persamaan:

Sekarang mari kita membuat pesawat

Kita langsung buat persamaan bidangnya :

Mencari sudut:

Sekarang jawaban atas dua masalah terakhir:

Nah, sekaranglah waktunya untuk istirahat sejenak, karena Anda dan saya hebat dan telah melakukan pekerjaan dengan baik!

Koordinat dan vektor. Tingkat Lanjut

Pada artikel ini kami akan berdiskusi dengan Anda kelas soal lain yang dapat diselesaikan dengan menggunakan metode koordinat: soal perhitungan jarak. Yaitu, kami akan mempertimbangkannya kasus-kasus berikut:

1. Perhitungan jarak antar garis yang berpotongan.

Saya telah mengurutkan tugas-tugas ini dalam urutan tingkat kesulitannya. Ternyata paling mudah ditemukan jarak dari titik ke bidang, dan yang paling sulit adalah menemukannya jarak antar garis yang bersilangan. Meskipun, tentu saja, tidak ada yang mustahil! Jangan menunda-nunda dan segera mempertimbangkan masalah kelas satu:

Menghitung jarak suatu titik ke suatu bidang

Apa yang kita perlukan untuk mengatasi masalah ini?

1. Koordinat titik

Jadi, segera setelah kami menerima semua data yang diperlukan, kami menerapkan rumus:

Anda seharusnya sudah mengetahui cara kita menyusun persamaan bidang dari soal-soal sebelumnya yang saya bahas di bagian terakhir. Mari kita langsung ke tugasnya. Skemanya adalah sebagai berikut: 1, 2 - Saya membantu Anda memutuskan, dan secara rinci, 3, 4 - hanya jawabannya, Anda melakukan solusi sendiri dan membandingkan. Ayo mulai!

Tugas:

1. Diberikan sebuah kubus. Panjang rusuk kubus adalah sama. Hitunglah jarak se-re-di-na dari potongan ke bidang

2. Diketahui empat batu bara pi-ra-mi-ya, sisi sisinya sama dengan alasnya. Temukan jarak dari titik ke bidang di mana - se-re-di-di tepinya.

3. Pada segitiga siku-siku pi-ra-mi-de dengan os-no-va-ni-em, sisi sampingnya sama, dan seratus-ro-di os-no-vania adalah sama. Temukan jarak dari atas ke pesawat.

4. Pada prisma tegak segi enam, semua rusuknya sama besar. Temukan jarak dari suatu titik ke pesawat.

Solusi:

1. Gambarlah sebuah kubus dengan rusuk tunggal, buatlah sebuah ruas dan bidang, tandai bagian tengah ruas tersebut dengan sebuah huruf

.

Pertama, mari kita mulai dengan hal yang mudah: temukan koordinat titiknya. Sejak itu (ingat koordinat tengah ruas tersebut!)

Sekarang kita buat persamaan bidang menggunakan tiga titik

\[\kiri| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \kanan| = 0\]

Sekarang saya dapat mulai mencari jarak:

2. Kita mulai lagi dengan gambar yang semua datanya kita tandai!

Untuk sebuah piramida, akan berguna untuk menggambar alasnya secara terpisah.

Bahkan fakta bahwa saya menggambar seperti ayam dengan cakarnya tidak akan menghalangi kita untuk menyelesaikan masalah ini dengan mudah!

Sekarang mencari koordinat suatu titik sangatlah mudah

Karena koordinat titiknya, maka

2. Karena koordinat titik a berada di tengah segmen, maka

Tanpa kesulitan, kita dapat mencari koordinat dua titik lagi pada bidang tersebut. Kita membuat persamaan untuk bidang tersebut dan menyederhanakannya:

\[\kiri| (\kiri| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \kanan|) \kanan| = 0\]

Karena titik tersebut memiliki koordinat: , kita menghitung jaraknya:

Jawaban (sangat jarang!):

Nah, apakah Anda sudah mengetahuinya? Bagi saya, semuanya di sini sama teknisnya dengan contoh yang kita lihat di bagian sebelumnya. Jadi saya yakin jika Anda sudah menguasai materi tersebut, maka tidak akan sulit bagi Anda untuk menyelesaikan dua soal yang tersisa. Saya hanya akan memberi Anda jawabannya:

Menghitung jarak garis lurus ke bidang

Sebenarnya tidak ada hal baru di sini. Bagaimana posisi garis lurus dan bidang relatif satu sama lain? Kemungkinannya hanya satu: berpotongan, atau garis lurus sejajar dengan bidang. Menurut Anda berapa jarak garis lurus ke bidang yang berpotongan dengan garis lurus tersebut? Tampak bagi saya jelas di sini bahwa jarak tersebut sama dengan nol. Bukan kasus yang menarik.

Kasus kedua lebih rumit: di sini jaraknya sudah bukan nol. Namun, karena garis sejajar dengan bidang, maka setiap titik pada garis tersebut berjarak sama dari bidang tersebut:

Dengan demikian:

Artinya tugas saya direduksi menjadi tugas sebelumnya: mencari koordinat titik mana pun pada garis lurus, mencari persamaan bidang, dan menghitung jarak titik ke bidang. Faktanya, tugas seperti itu sangat jarang terjadi di Unified State Examination. Saya hanya berhasil menemukan satu masalah, dan data di dalamnya sedemikian rupa sehingga metode koordinat tidak terlalu dapat diterapkan pada masalah tersebut!

Sekarang mari kita beralih ke hal lain, lebih banyak lagi kelas penting tugas:

Menghitung jarak suatu titik ke suatu garis

Apa yang kita butuhkan?

1. Koordinat titik yang kita cari jaraknya:

2. Koordinat suatu titik yang terletak pada suatu garis

3. Koordinat vektor pengarah garis lurus

Rumus apa yang kita gunakan?

Arti penyebut pecahan ini harusnya jelas bagi Anda: ini adalah panjang vektor pengarah garis lurus. Ini adalah pembilang yang sangat rumit! Ekspresi berarti modulus (panjang) produk vektor dari vektor dan Cara menghitung produk vektor, kita pelajari di bagian pekerjaan sebelumnya. Segarkan kembali pengetahuan Anda, kami akan sangat membutuhkannya sekarang!

Dengan demikian, algoritma penyelesaian masalah adalah sebagai berikut:

1. Kita mencari koordinat titik yang kita cari jaraknya:

2. Kita mencari koordinat titik mana pun pada garis yang kita cari jaraknya:

3. Buatlah sebuah vektor

4. Buatlah vektor pengarah suatu garis lurus

5. Hitung hasil kali vektor

6. Kita mencari panjang vektor yang dihasilkan:

7. Hitung jaraknya:

Ada banyak pekerjaan yang harus kita lakukan, dan contohnya akan cukup rumit! Jadi sekarang fokuskan semua perhatian Anda!

1. Diberikan sebuah pi-ra-mi-da berbentuk segitiga siku-siku dengan puncaknya. Seratus-ro-atas dasar pi-ra-mi-dy adalah sama, Anda sama. Temukan jarak dari tepi abu-abu ke garis lurus, di mana titik-titik tersebut merupakan tepi abu-abu dan dari dokter hewan.

2. Panjang rusuk dan sudut lurus par-ral-le-le-pi-pe-da adalah sama dan Tentukan jarak dari puncak ke garis lurus

3. Pada prisma tegak segi enam yang semua rusuknya sama besar, tentukan jarak titik ke garis lurus

Solusi:

1. Kami membuat gambar rapi di mana kami menandai semua data:

Kita punya banyak pekerjaan yang harus di lakukan! Pertama, saya ingin menjelaskan dengan kata-kata apa yang akan kita cari dan dalam urutan apa:

1. Koordinat titik dan

2. Koordinat titik

3. Koordinat titik dan

4. Koordinat vektor dan

5. Produk silangnya

6. Panjang vektor

7. Panjang hasil kali vektor

8. Jarak dari ke

Ya, kita punya banyak pekerjaan di depan kita! Mari kita mulai dengan menyingsingkan lengan baju kita!

1. Untuk mencari koordinat tinggi limas kita perlu mengetahui koordinat titiknya, penerapannya nol, dan ordinatnya sama dengan absisnya sama dengan panjang ruasnya. segitiga sama sisi, dibagi dengan perbandingan, dihitung dari titik sudut, dari sini. Akhirnya, kami mendapatkan koordinatnya:

Koordinat titik

2. - segmen tengah

3. - segmen tengah

Titik tengah segmen

4.Koordinat

Koordinat vektor

5. Hitung hasil kali vektor:

6. Panjang vektor: cara penggantian yang paling mudah adalah dengan ruas tersebut merupakan garis tengah segitiga, artinya sama dengan setengah alasnya. Jadi.

7. Hitung panjang hasil kali vektor:

8. Terakhir, kita cari jaraknya:

Uh, itu dia! Saya akan memberitahu Anda dengan jujur: menyelesaikan masalah ini dengan menggunakan metode tradisional (melalui konstruksi) akan jauh lebih cepat. Tapi di sini saya mereduksi semuanya menjadi algoritma yang sudah jadi! Saya pikir algoritma solusinya jelas bagi Anda? Oleh karena itu, saya akan meminta Anda untuk menyelesaikan sendiri dua masalah yang tersisa. Mari kita bandingkan jawabannya?

Saya ulangi sekali lagi: lebih mudah (lebih cepat) menyelesaikan masalah ini melalui konstruksi, daripada menggunakan metode koordinat. Saya mendemonstrasikan metode solusi ini hanya untuk menunjukkan kepada Anda metode universal yang memungkinkan Anda “tidak menyelesaikan pembangunan apa pun”.

Terakhir, pertimbangkan kelompok masalah terakhir:

Menghitung jarak antar garis yang berpotongan

Di sini algoritma penyelesaian masalah akan serupa dengan yang sebelumnya. Apa yang kita miliki:

3. Setiap vektor yang menghubungkan titik-titik pada garis pertama dan kedua:

Bagaimana cara mencari jarak antar garis?

Rumusnya adalah sebagai berikut:

Pembilangnya adalah modulus hasil kali campuran (kami telah memperkenalkannya di bagian sebelumnya), dan penyebutnya, seperti pada rumus sebelumnya (modulus hasil kali vektor dari vektor arah garis lurus, jarak antara yang kita mencari).

Saya akan mengingatkan Anda akan hal itu

Kemudian rumus jarak dapat ditulis ulang menjadi:

Ini adalah determinan dibagi determinan! Meskipun, sejujurnya, saya tidak punya waktu untuk bercanda di sini! Rumus ini sebenarnya sangat rumit dan menyebabkan perhitungan yang cukup rumit. Jika saya jadi Anda, saya akan melakukannya hanya sebagai upaya terakhir!

Mari kita coba selesaikan beberapa masalah menggunakan cara di atas:

1. Pada prisma segitiga siku-siku yang semua rusuknya sama panjang, tentukan jarak antara garis lurus dan.

2. Diberikan sebuah prisma segitiga siku-siku, semua rusuk alasnya sama dengan bagian yang melalui rusuk badan dan rusuk se-re-di-well berbentuk persegi. Tentukan jarak antara garis lurus dan

Saya memutuskan yang pertama, dan berdasarkan itu, Anda memutuskan yang kedua!

1. Saya menggambar prisma dan menandai garis lurus dan

Koordinat titik C : maka

Koordinat titik

Koordinat vektor

Koordinat titik

Koordinat vektor

Koordinat vektor

\[\kiri((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \kanan) = \kiri| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \kanan| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Kami menghitung produk vektor antara vektor dan

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \kiri| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \kanan| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Sekarang kita menghitung panjangnya:

Menjawab:

Sekarang coba selesaikan tugas kedua dengan hati-hati. Jawabannya adalah: .

Koordinat dan vektor. Deskripsi singkat dan rumus dasar

Vektor adalah segmen berarah. - awal vektor, - akhir vektor.
Suatu vektor dilambangkan dengan atau.

Nilai mutlak vektor - panjang segmen yang mewakili vektor. Dilambangkan sebagai.

Koordinat vektor:

,
di mana ujung-ujung vektor \displaystyle a .

Jumlah vektor: .

Produk vektor:

Produk titik dari vektor:

Pada materi kali ini kita akan membahas cara mencari persamaan bidang jika kita mengetahui koordinat tiga titik berbeda yang tidak terletak pada garis lurus yang sama. Untuk melakukan ini, kita perlu mengingat sistem koordinat persegi panjang dalam ruang tiga dimensi. Untuk memulai, kami akan memperkenalkan prinsip dasar persamaan ini dan menunjukkan dengan tepat bagaimana menggunakannya untuk menyelesaikan masalah tertentu.

Yandex.RTB RA-339285-1

Pertama, kita perlu mengingat satu aksioma, yang bunyinya seperti ini:

Definisi 1

Jika tiga titik tidak saling berimpit dan tidak terletak pada garis yang sama, maka dalam ruang tiga dimensi hanya satu bidang yang melewatinya.

Dengan kata lain, jika kita mempunyai tiga titik berbeda yang koordinatnya tidak berimpit dan tidak dapat dihubungkan dengan garis lurus, maka kita dapat menentukan bidang yang melaluinya.

Misalkan kita mempunyai sistem koordinat persegi panjang. Mari kita nyatakan O x y z. Berisi tiga titik M dengan koordinat M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), yang tidak dapat dihubungkan garis lurus. Berdasarkan kondisi tersebut, kita dapat menuliskan persamaan bidang yang kita perlukan. Ada dua pendekatan untuk memecahkan masalah ini.

1. Pendekatan pertama menggunakan persamaan bidang umum. Dalam bentuk huruf ditulis A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Dengan bantuannya, Anda dapat menentukan dalam sistem koordinat persegi panjang bidang alfa tertentu yang melalui titik pertama M 1 (x 1, y 1, z 1). Ternyata vektor normal bidang α mempunyai koordinat A, B, C.

Definisi N

Mengetahui koordinat vektor normal dan koordinat titik yang dilalui bidang tersebut, kita dapat menuliskan persamaan umum bidang tersebut.

Inilah yang akan kami lanjutkan di masa depan.

Jadi, sesuai dengan kondisi soal, kita memiliki koordinat titik yang diinginkan (bahkan tiga) yang dilalui pesawat. Untuk menemukan persamaannya, Anda perlu menghitung koordinat vektor normalnya. Mari kita nyatakan n → .

Mari kita ingat aturannya: setiap vektor bukan nol pada suatu bidang tertentu tegak lurus terhadap vektor normal bidang yang sama. Maka kita mendapatkan bahwa n → akan tegak lurus terhadap vektor-vektor yang tersusun dari titik asal M 1 M 2 → dan M 1 M 3 → . Kemudian kita dapat menyatakan n → sebagai hasil kali vektor berbentuk M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Karena M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) dan M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (bukti persamaan tersebut diberikan pada artikel tentang menghitung koordinat vektor dari koordinat titik), maka ternyata:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Jika kita menghitung determinannya, kita akan mendapatkan koordinat vektor normal n → yang kita butuhkan. Sekarang kita dapat menuliskan persamaan yang kita perlukan untuk sebuah bidang yang melalui tiga titik tertentu.

2. Pendekatan kedua untuk mencari persamaan yang melalui M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), didasarkan pada konsep seperti koplanaritas vektor.

Jika kita mempunyai himpunan titik M (x, y, z), maka dalam sistem koordinat persegi panjang mereka mendefinisikan bidang untuk titik tertentu M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) hanya jika vektornya M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = ( ​​x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) dan M 1 M 3  → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) akan menjadi koplanar .

Pada diagram akan terlihat seperti ini:

Artinya hasil kali campuran vektor-vektor M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → akan sama dengan nol: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , karena ini adalah syarat utama koplanaritas: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) dan M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Mari kita tulis persamaan yang dihasilkan dalam bentuk koordinat:

Setelah kita menghitung determinannya, kita dapat memperoleh persamaan bidang yang kita perlukan untuk tiga titik yang tidak terletak pada garis lurus yang sama M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2 ), M 3 (x 3 , kamu 3 , z 3) .

Dari persamaan yang dihasilkan, Anda dapat melanjutkan ke persamaan bidang dalam segmen atau ke persamaan normal bidang, jika kondisi soal memerlukannya.

Pada paragraf berikutnya kami akan memberikan contoh bagaimana pendekatan yang kami tunjukkan diterapkan dalam praktik.

Contoh soal menyusun persamaan bidang yang melalui 3 titik

Sebelumnya, kami mengidentifikasi dua pendekatan yang dapat digunakan untuk mencari persamaan yang diinginkan. Mari kita lihat bagaimana mereka digunakan untuk memecahkan masalah dan kapan Anda harus memilih masing-masing masalah.

Contoh 1

Ada tiga titik yang tidak terletak pada satu garis, dengan koordinat M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). Tuliskan persamaan bidang yang melewatinya.

Larutan

Kami menggunakan kedua metode secara bergantian.

1. Tentukan koordinat dua vektor yang kita perlukan M 1 M 2 →, M 1 M 3 →:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Sekarang mari kita hitung hasil perkalian vektornya. Kami tidak akan menjelaskan perhitungan determinan:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Kita mempunyai vektor normal bidang yang melalui tiga titik yang diperlukan: n → = (- 5, 30, 2) . Selanjutnya kita perlu mengambil salah satu titik, misalnya M 1 (- 3, 2, - 1), dan menuliskan persamaan bidang dengan vektor n → = (- 5, 30, 2). Kita peroleh: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Ini adalah persamaan yang kita perlukan untuk sebuah bidang yang melalui tiga titik.

2. Mari kita mengambil pendekatan yang berbeda. Mari kita tuliskan persamaan bidang dengan tiga titik M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) dalam bentuk berikut:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Di sini Anda dapat mengganti data dari rumusan masalah. Karena x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, sebagai hasilnya kita mendapatkan:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 tahun + 2 z - 73

Kami mendapatkan persamaan yang kami butuhkan.

Menjawab:- 5 x + 30 tahun + 2 z - 73 .

Namun bagaimana jika titik-titik tertentu masih terletak pada garis yang sama dan kita perlu membuat persamaan bidang untuk titik-titik tersebut? Di sini harus segera dikatakan bahwa kondisi ini tidak sepenuhnya benar. Jumlah pesawat yang tidak terhingga dapat melewati titik-titik tersebut, sehingga tidak mungkin menghitung satu jawaban pun. Mari kita pertimbangkan masalah seperti itu untuk membuktikan kesalahan rumusan pertanyaan tersebut.

Contoh 2

Kita mempunyai sistem koordinat persegi panjang dalam ruang tiga dimensi, dimana ditempatkan tiga titik dengan koordinat M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1 , 1) . Perlu dituliskan persamaan bidang yang melewatinya.

Larutan

Mari kita gunakan cara pertama dan mulai dengan menghitung koordinat dua vektor M 1 M 2 → dan M 1 M 3 →. Mari kita hitung koordinatnya: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

Hasil perkalian silangnya akan sama dengan:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Karena M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, maka vektor-vektor kita akan segaris (baca kembali artikel tentangnya jika Anda lupa definisi konsep ini). Jadi, titik awal M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) berada pada garis yang sama, dan soal kita mempunyai banyak sekali pilihan jawaban.

Jika kita menggunakan cara kedua, kita akan mendapatkan:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Dari persamaan yang dihasilkan juga diketahui bahwa titik-titik M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) berada pada garis yang sama.

Jika Anda ingin menemukan setidaknya satu jawaban untuk masalah ini dari pilihan yang tak terbatas, maka Anda perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1. Tuliskan persamaan garis M 1 M 2, M 1 M 3 atau M 2 M 3 (jika perlu lihat materi tentang tindakan ini).

2. Ambil titik M 4 (x 4, y 4, z 4) yang tidak terletak pada garis lurus M 1 M 2.

3. Tuliskan persamaan bidang yang melalui tiga titik berbeda M 1, M 2 dan M 4 yang tidak terletak pada garis yang sama.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Dalam pelajaran ini kita akan melihat bagaimana menggunakan determinan untuk mencipta persamaan bidang. Jika Anda tidak tahu apa itu determinan, lanjutkan ke bagian pertama pelajaran - “Matriks dan determinan”. Jika tidak, Anda berisiko tidak memahami apa pun dalam materi hari ini.

Persamaan bidang menggunakan tiga titik

Mengapa kita membutuhkan persamaan bidang? Sederhana saja: dengan mengetahuinya, kita dapat dengan mudah menghitung sudut, jarak, dan omong kosong lainnya di soal C2. Secara umum, persamaan ini sangat diperlukan. Oleh karena itu, kami merumuskan masalahnya:

Tugas. Tiga titik diberikan pada ruang yang tidak terletak pada garis yang sama. Koordinat mereka:

M = (x 1, kamu 1, z 1);
N = (x 2, kamu 2, z 2);
K = (x 3, kamu 3, z 3);

Anda perlu membuat persamaan untuk bidang yang melewati ketiga titik tersebut. Selain itu, persamaannya akan terlihat seperti:

Kapak + Oleh + Cz + D = 0

dimana bilangan A, B, C dan D adalah koefisien yang sebenarnya perlu dicari.

Nah, bagaimana cara mendapatkan persamaan bidang jika hanya diketahui koordinat titiknya? Cara termudah adalah dengan mensubstitusikan koordinat tersebut ke dalam persamaan Ax + By + Cz + D = 0. Anda mendapatkan sistem tiga persamaan yang dapat diselesaikan dengan mudah.

Banyak siswa menganggap solusi ini sangat membosankan dan tidak dapat diandalkan. Ujian Negara Bersatu di bidang matematika tahun lalu menunjukkan bahwa kemungkinan terjadinya kesalahan komputasi sangat tinggi.

Oleh karena itu, guru yang paling mahir mulai mencari solusi yang lebih sederhana dan elegan. Dan mereka menemukannya! Benar, teknik yang diperoleh lebih berkaitan dengan matematika yang lebih tinggi. Secara pribadi, saya harus mengobrak-abrik seluruh Daftar Buku Teks Federal untuk memastikan bahwa kami memiliki hak untuk menggunakan teknik ini tanpa pembenaran atau bukti apa pun.

Persamaan bidang melalui determinan

Cukup liriknya, mari kita mulai bisnisnya. Pertama, teorema tentang hubungan determinan matriks dan persamaan bidang.

Dalil. Misalkan koordinat tiga titik yang melaluinya bidang harus ditarik diberikan: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, kamu 2, z 2); K = (x 3, kamu 3, z 3). Maka persamaan bidang ini dapat dituliskan melalui determinan:

Sebagai contoh, mari kita coba mencari sepasang bidang yang benar-benar muncul pada soal C2. Lihat betapa cepatnya semuanya dihitung:

SEBUAH 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Kami membuat determinan dan menyamakannya dengan nol:

Kami memperluas determinannya:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Seperti yang Anda lihat, saat menghitung bilangan d, saya “menyisir” persamaannya sedikit sehingga variabel x, y dan z masuk ke urutan yang benar. Itu saja! Persamaan bidang sudah siap!

Tugas. Tuliskan persamaan bidang yang melalui titik-titik tersebut:

SEBUAH = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Kita segera substitusikan koordinat titik-titik tersebut ke dalam determinan:

Kami memperluas determinannya lagi:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Jadi, persamaan bidangnya diperoleh kembali! Sekali lagi, pada langkah terakhir kami harus mengubah tanda-tanda di dalamnya untuk mendapatkan formula yang lebih “indah”. Sama sekali tidak perlu melakukan hal ini dalam solusi ini, namun tetap disarankan - untuk menyederhanakan solusi masalah lebih lanjut.

Seperti yang Anda lihat, menyusun persamaan bidang kini jauh lebih mudah. Kami mengganti titik-titik ke dalam matriks, menghitung determinannya - dan selesai, persamaannya sudah siap.

Ini bisa mengakhiri pelajaran. Namun, banyak siswa yang terus-menerus melupakan apa yang ada di dalam determinan. Misalnya baris mana yang berisi x 2 atau x 3, dan baris mana yang hanya berisi x. Untuk mengatasi hal ini, mari kita lihat dari mana setiap angka berasal.

Rumus dengan determinannya dari mana?

Jadi, mari kita cari tahu dari mana persamaan kasar dengan determinan itu berasal. Ini akan membantu Anda mengingatnya dan menerapkannya dengan sukses.

Semua bidang yang muncul pada Soal C2 ditentukan oleh tiga titik. Poin-poin ini selalu ditandai pada gambar, atau bahkan ditunjukkan langsung dalam teks soal. Bagaimanapun, untuk membuat persamaan kita perlu menuliskan koordinatnya:

M = (x 1, kamu 1, z 1);
N = (x 2, kamu 2, z 2);
K = (x 3, kamu 3, z 3).

Mari kita pertimbangkan titik lain di bidang kita dengan koordinat sembarang:

T = (x, y, z)

Ambil titik mana saja dari tiga titik pertama (misalnya, titik M) dan gambarkan vektor dari titik tersebut ke masing-masing dari tiga titik yang tersisa. Kami mendapatkan tiga vektor:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).

Sekarang mari kita buat matriks persegi dari vektor-vektor ini dan samakan determinannya dengan nol. Koordinat vektor akan menjadi baris matriks - dan kita akan mendapatkan determinan yang ditunjukkan dalam teorema:

Rumus ini berarti volume suatu parallelepiped yang dibangun pada vektor MN, MK dan MT sama dengan nol. Oleh karena itu, ketiga vektor terletak pada bidang yang sama. Secara khusus, titik sembarang T = (x, y, z) persis seperti yang kita cari.

Mengganti titik dan garis determinan

Penentu memiliki beberapa sifat hebat yang membuatnya lebih mudah penyelesaian masalah C2. Misalnya, tidak masalah bagi kita dari titik mana kita menggambar vektor. Oleh karena itu, determinan berikut memberikan persamaan bidang yang sama seperti di atas:

Anda juga dapat menukar garis determinannya. Persamaannya akan tetap tidak berubah. Misalnya banyak orang yang suka menulis garis dengan koordinat titik T = (x; y; z) di bagian paling atas. Silakan, jika Anda merasa nyaman:

Beberapa orang bingung karena salah satu garis berisi variabel x, y, dan z yang tidak hilang saat titik disubstitusi. Tapi mereka tidak seharusnya menghilang! Mengganti angka-angka tersebut ke dalam determinan, Anda akan mendapatkan konstruksi ini:

Kemudian determinannya diperluas sesuai diagram yang diberikan di awal pelajaran, dan diperoleh persamaan standar bidang:

Kapak + Oleh + Cz + D = 0

Lihatlah sebuah contoh. Ini yang terakhir dalam pelajaran hari ini. Saya sengaja menukar garisnya untuk memastikan jawabannya memberikan persamaan bidang yang sama.

Tugas. Tuliskan persamaan bidang yang melalui titik-titik tersebut:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Jadi, kami mempertimbangkan 4 poin:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Pertama, mari kita buat determinan standar dan samakan dengan nol:

Kami memperluas determinannya:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Selesai, kita mendapat jawabannya: x + y + z − 2 = 0.

Sekarang mari kita atur ulang beberapa baris pada determinan dan lihat apa yang terjadi. Sebagai contoh, mari kita tuliskan sebuah baris dengan variabel x, y, z bukan di bawah, melainkan di atas:

Kami kembali memperluas determinan yang dihasilkan:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Kita mendapatkan persamaan bidang yang persis sama: x + y + z − 2 = 0. Artinya persamaan tersebut tidak bergantung pada urutan barisnya. Yang tersisa hanyalah menuliskan jawabannya.

Jadi, kita yakin bahwa persamaan bidang tidak bergantung pada barisan garis. Kita dapat melakukan perhitungan serupa dan membuktikan bahwa persamaan bidang tidak bergantung pada titik yang koordinatnya kita kurangi dari titik lainnya.

Pada soal di atas, kita menggunakan titik B 1 = (1, 0, 1), tetapi sangat mungkin untuk mengambil C = (1, 1, 0) atau D 1 = (0, 1, 1). Secara umum, setiap titik yang diketahui koordinatnya terletak pada bidang yang diinginkan.