Уравнение состояния идеального газа через плотность. Давление газа

Идеальный газ, уравнение состояния идеального газа, его температура и давление, объем… список параметров и определений, которыми оперируют в соответствующем разделе физики, можно продолжать достаточно долго. Сегодня мы поговорим как раз на эту тему.

Что рассматривается в молекулярной физике?

Основным объектом, который рассматривается в этом разделе, является идеальный газ. идеального газа было получено с учетом нормальных условий окружающей среды, и об этом мы поговорим немного позднее. Сейчас давайте подойдем к этой “проблеме” издалека.

Допустим, у нас есть некоторая масса газа. Ее состояние можно определить при помощи трех характера. Это, конечно же, давление, объем и температура. Уравнением состояния системы в этом случае будет формула связи между соответствующими параметрами. Она выглядит таким образом: F (p, V, T) = 0.

Вот здесь мы впервые потихоньку подбираемся к появлению такого понятия, как идеальный газ. Им называется газ, в котором взаимодействия между молекулами пренебрежимо малы. Вообще в природе такого не существует. Однако любой сильно близок к нему. От идеального мало чем отличаются азот, кислород и воздух, находящиеся в нормальных условиях. Чтобы записать уравнение состояния идеального газа, мы можем использовать объединенный Получим: pV/T = const.

Связанное понятие № 1: закон Авогадро

Он может рассказать нам о том, что если мы возьмем одинаковое количество молей абсолютно любого случайного газа и поставим их в одинаковые условия, среди которых температура и давление, то газы займут одинаковый объем. В частности, опыт проводился при нормальных условиях. Это означает, что температура была равна 273,15 Кельвинам, давление - одной атмосфере (760 миллиметров ртутного столба или же 101325 Паскалей). При таких параметрах газ занял объем равный 22,4 литра. Следовательно, мы можем говорить о том, что для одного моля любого газа соотношение числовых параметров будет величиной постоянной. Именно поэтому было принято решение этой цифре дать обозначение буквой R и назвать ее универсальной газовой постоянной. Таким образом, она равняется 8,31. Размерность Дж/моль*К.

Идеальный газ. Уравнение состояния идеального газа и манипуляции с ним

Давайте попробуем переписать формулу. Для этого запишем его в таком виде: pV = RT. Далее совершим нехитрое действие, умножим обе части уравнения на произвольное количество молей. Получим pVu = uRT. Примем во внимание тот факт, что произведение молярного объема на количество вещества есть просто объем. Но ведь количество молей одновременно будет равняться частному массы и молярной массы. Именно так выглядит Оно дает четкое понятие о том, какую систему образует идеальный газ. Уравнение состояния идеального газа примет вид: pV = mRT/M.

Выведем формулу для давления

Давайте проведем еще некоторые манипуляции с полученными выражениями. Для этого правую часть уравнения Менделеева-Клапейрона умножим и разделим на число Авогадро. Теперь внимательно смотрим на произведение количества вещества на Это есть не что иное, как общее число молекул в газе. Но в то же время отношение универсальной газовой постоянной к числу Авогадро будет равно постоянной Больцмана. Следовательно, формулы для давления можно записать таким образом: p = NkT/V или p = nkT. Здесь обозначение n это концентрация частиц.

Процессы идеального газа

В молекулярной физике существует такое понятие, как изопроцессы. Это которые имеют место в системе при одном из постоянных параметров. При этом масса вещества также должна оставаться постоянной. Давайте рассмотрим их более конкретно. Итак, законы идеального газа.

Постоянным остается давление

Это закон Гей-Люссака. Выглядит он так: V/T = const. Его можно переписать и по-другому: V = Vo (1+at). Здесь a равняется 1/273,15 К^-1 и носит название "коэффициент объемного расширения". Мы можем подставить температуру как по шкале Цельсия, так и по шкале Кельвина. В последнем случае получим формулу V = Voat.

Постоянным остается объем

Это второй закон Гей-Люссака, более часто называемый законом Шарля. Выглядит он так: p/T = const. Есть и другая формулировка: p = po (1 + at). Преобразования могут быть проведены в соответствии с предыдущим примером. Как можно видеть, законы идеального газа иногда бывают достаточно похожими друг на друга.

Постоянным остается температура

Если температура идеального газа остается величиной постоянной, то мы можем получить закон Бойля-Мариотта. Он может быть записан таким образом: pV = const.

Связанное понятие № 2: парциальное давление

Допустим, у нас имеется сосуд с газами. Это будет смесь. Система находится в состоянии теплового равновесия, а сами газы между собой не реагируют. Здесь N будет обозначать общее количество молекул. N1, N2 и так далее, соответственно, количество молекул в каждом из компонентов имеющейся смеси. Возьмем формулу давления p = nkT = NkT/V. Ее можно раскрыть для конкретного случая. Для двухкомпонентной смеси формула примет вид: p = (N1 + N2) kT/V. Но тогда получится, что общее давление будет суммироваться из частных давлений каждой смеси. А значит, оно будет иметь вид p1 + p2 и так далее. Это и будут парциальные давления.

Для чего это нужно?

Полученная нами формула указывает на то, что давление в системе оказывается со стороны каждой группы молекул. Оно, кстати, не зависит от других. Этим воспользовался Дальтон при формулировании закона, названного впоследствии в его честь: в смеси, где газы не реагируют между собой химически, общее давление будет равно сумме парциальных давлений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Идеальным газом называется газ, при рассмотрении свойств которого соблюдаются следующие условия:
а) соударения молекул такого газа происходят как соударения упругих шаров, размеры которых пренебрежимо малы;
б) от столкновения до столкновения молекулы движутся равномерно и прямолинейно;
в) пренебрегают силами взаимодействия между молекулами.

Реальные газы при комнатной температуре и нормальном давлении ведут себя как идеальные газы. Идеальными газами можно считать такие газы как гелий, водород, свойства которых уже при обычных условиях отвечают закономерностям идеального газа.

Состояние некоторой массы идеального газа будет определяться значениями трех параметров: P, V, T. Эти величины, характеризующие состояние газа, называются параметрами состояния . Эти параметры закономерно связаны друг с другом, так что изменение одного из них влечет за собой изменение другого. Эта связь аналитически может быть задана в виде функции:

Соотношение, дающее связь между параметрами какого-либо тела, называется уравнением состояния . Следовательно, данное соотношение является уравнением состояния идеального газа.

Рассмотрим некоторые из параметров состояния, характеризующих состояние газа:

1) Давление (P). В газе давление возникает в результате хаотического движения молекул, в результате которого молекулы сталкиваются друг с другом и со стенками сосуда. В результате удара молекул о стенку сосуда со стороны молекул на стенку будет действовать некоторая средняя сила dF . Предположим, что площадь поверхности dS , тогда . Следовательно:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (механистическое): Давление – это физическая величина, численно равная силе, действующей на единицу площади поверхности, нормальную к ней.

Если сила равномерно распределена по поверхности, то . В системе СИ давление измеряется в 1Па=1Н/м 2 .

2) Температура (Т).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (предварительное): Температура тела – это термодинамическая величина, характеризующая состояние термодинамического равновесия макроскопической системы.

Температура одинакова для всех частей изолированной системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия. Т.е., если соприкасающиеся тела находятся в состоянии теплового равновесия, т.е. не обмениваются энергией путем теплопередачи, то этим телам приписывается одинаковая температура. Если при установлении теплового контакта между телами одно из них передает энергию другому посредством теплопередачи, то первому телу приписывается большая температура, чем второму.

Любое из свойств тела (температурный признак), зависящее от температуры может быть использовано для количественного определения (измерения) температуры.

Например : если в качестве температурного признака выбрать объем и считать, что с температурой объем изменяется линейно, то выбрав за “0” температуру таяния льда, а за 100° – температуру кипения воды, получим температурную шкалу, называемую шкалой Цельсия. Согласно которой состоянию, в котором термодинамическое тело имеет объем V, следует приписывать температуру:

Для однозначного определения температурной шкалы необходимо условиться, кроме способа градуировки, также о выборе термометрического тела (т.е. тела, которое выбирается для измерения) и температурного признака.

Известны две температурные шкалы:

1) t – эмпирическая или практическая шкала температур (°C). (О выборе термометрического тела и температурного признака для этой шкалы скажем позже).

2) T – термодинамическая или абсолютная шкала (°K). Эта шкала не зависит от свойств термодинамического тела (но об этом речь пойдет позже).

Температура T, отсчитанная по абсолютной шкале, связана с температурой t по практической шкале соотношением

T = t + 273,15.

Единицу абсолютной температуры называют Кельвином. Температуру по практической шкале измеряют в град. Цельсия (°C). Значения град. Кельвина и град. Цельсия одинаковы. Температура равная 0°K называется абсолютным нулем, ему соответствует t=-273,15°C

Газовые законы.

Если разрешить уравнение состояния идеального газа

относительно какого-либо из параметров, например, p , то уравнение состояния примет вид

И известные из школьного курса физики законы Бойля-Мариотта и Гей-Люссака дают уравнения состояния для случаев, когда один параметров остается постоянным.

Известные газовые законы (Бойля-Мариотта, Гей-Люссака, Дальтона, Авогадро) были открыты опытным путем задолго до появления молекулярно-кинетической теории. Эти законы были установлены на опытах с газами, находящимися в условиях, не очень сильно отличающихся от нормальных атмосферных условий, т.е. при не очень низких температурах и не очень высоких давлениях. При иных условиях экспериментальные газовые законы уже не точно отражают свойства газов, т.е. все эти законы являются приближенными .

Рассмотрим некоторые из этих законов:

1) Закон Бойля- Мариотта (m = const, T = const).

Изучая изотермические процессы, английский ученый Бойль (1662г.) и французский ученый Мариотт (1667г.) независимо друг от друга установили следующий закон:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Для данной массы газа при постоянной температуре (T = const) давление газа изменяется обратно пропорционально объему.

Аналитически это можно записать в виде: P ·V = const (T = const). Совокупность состояний, отвечающих одной и той же температуре, изобразится на диаграмме (P, V) кривой, определяемой уравнением гиперболы. Каждому значению температуры соответствует своя кривая, называемая изотермой . А переход газа из одного состояния в другой, совершающийся при постоянной температуре, называется изотермическим процессом .

2) Закон Гей-Люссака (m = const, P = const).

Изучая изобарические газовые процессы, французский физик Гей-Люссак в 1802г. установил следующий закон:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Для данной массы газа при постоянном давлении объем газа меняется линейно с ростом температуры:
,
где V – объем газа при температуре t°;
V 0 – объем газа при 0°C;
a – термический коэффициент объемного расширения ().

Термический коэффициент объемного расширения показывает, на какую часть относительно первоначального объема изменится объем газа при его нагреве на 1°. Для большинства газов .

Процесс, протекающий при постоянном давлении, называется изобарическим . Для газа такой процесс отобразится на диаграмме (V, t°) прямой; здесь различные прямые отвечают разным давлениям и называются изобарами .

3) Закон Шарля (m = const, V = const).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Для данной массы газа при постоянном объеме давление газа изменяется линейно с ростом температуры:
,
где P – давление газа при температуре t°;
P 0 – давление газа при 0°C;
g – термический коэффициент давления газа ().

Аналогично сказанному ранее относительно коэффициента “a”, термический коэффициент давления газа показывает, на какую часть относительно первоначального давления изменится давление газа при его нагревании на 1°С.

Для идеального газа также . Для идеального газа .

Изохорический процесс, т.е. процесс, протекающий при постоянном объеме на диаграмме (P, t°) изобразится прямой линией. Различные прямые соответствую различным объемам и называются изохорами .

Заметим теперь, что все изобары и изохоры пересекают ось t° в одной и той же точке, определяемой из условия 1+a×t°=0. Откуда .

Если за начало отсчета температуры взять нуль (как это и было), то получим шкалу температур по Цельсию. Если сместить начало отсчета в точку -273.15, то перейдем к другой температурной шкале, которая называется абсолютной (или шкалой Кельвина).

В соответствии с определением абсолютной шкалы между абсолютной температурой (Т) и температурой по Цельсию (t) существует следующее соотношение:

. (9.1)

Температура равная 0°К называется абсолютным нулем.

Для установления абсолютной шкалы температур и абсолютного нуля мы воспользовались законами Гей-Люссака и Шарля и поступили сугубо формально. Однако Кельвин в 1852г., исходя из иных физических соображений установил такую же абсолютную шкалу температур с тем же значением абсолютного нуля, какие ранее были получены формально. Поэтому понятия абсолютной температуры и абсолютного нуля не следует рассматривать как формальные, не имеющие физического смысла. Кельвин показал, что абсолютный нуль – это самая низкая из возможных температур вещества. При абсолютном нуле прекращается хаотическое движение молекул в веществе. Однако это не означает, что в нем прекращается всякое движение. Сохраняется, например, движение электронов в атоме. В настоящее время удается охлаждать малые объемы вещества до температуры очень близкой к абсолютному нулю, не достигая последнего лишь на несколько тысячных долей градуса.

Перейдем теперь в уравнениях, описывающих законы Гей-Люссака и Шарля от температуры по Цельсию к абсолютной температуре, подставив вместо t величину .

и аналогично

(при условии g=a).

Из этих уравнений следует, что

где индексы 1 и 2 относятся к произвольным состояниям, лежащим на одной и той же изобаре (для уравнения (9.3)), или одной и той же изохоре (для уравнения (9.4)).

Итак, при постоянном давлении объем газа пропорционален абсолютной температуре; и при постоянном объеме давление газа пропорционально абсолютной температуре.

Всякий реальный газ тем точнее следует уравнениям PV = const, , , чем меньше его плотность, т.е., чем больший объем он занимает.

В соответствии с уравнением PV = const, объем растет с уменьшением давления, а согласно с объем возрастает с температурой. Следовательно, рассмотренные газовые законы справедливы при не слишком низких температурах и невысоких давлениях.

Газ, который точно следует этим уравнениям, называется идеальным. Всякий реальный газ по мере убывания его плотности приближается к идеальному.

Замечание :

1. Закон Дальтона .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Парциальным давлением газа, входящего в газовую смесь, называется то давление, которое имел бы этот газ, если бы все остальные газы были удалены из объема.

В 1801гю английский физик и химик Дальтон установил соотношение между давлением газовой смеси и парциальными давлениями входящих в нее газов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Давление газовой смеси равно сумме парциальных давлений входящих в нее газов.

P=P 1 +P 2 +P 3 + …

Закон Авогадро.

На основании опытов с различными газами итальянский ученый Авогадро в 1811г. установил следующий закон:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: При одинаковых температуре и давлении киломоли любых газов занимают одинаковые объемы.
При нормальных условиях (t=0°C, P=1атм) объем киломоля любого газа составляет 22,4м 3 /кмоль.

9.2.4. Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева - Клапейрона).

До этого рассматривались газовые процессы, при которых один из параметров состояния газа оставался неизменным, а два других изменялись. Теперь рассмотрим общий случай, когда изменяются все три параметра состояния газа и получим уравнение, связывающее все эти параметры. Закон, описывающий такого рода процессы, был установлен в 1834г. Клапейроном (французский физик, с 1830г. работал в Петербургском институте путей сообщения) путем объединения рассмотренных выше законов.

Пусть имеется некоторый газ массой “m”. На диаграмме (P, V) рассмотрим два его произвольных состояния, определяемых значениями параметров P 1 , V 1 , T 1 и P 2 , V 2 , T 2 . Из состояния 1 в состояние 2 будем переводить газ двумя процессами:

1. изотермического расширения (1®1¢);

2. изохорического охлаждения (1¢®2).

Первый этап процесса описывается законом Бойля-Мариотта, поэтому

. (9.5)

Второй этап процесса описывается законом Гей-Люссака:

Исключая из этих уравнений , получим:

. (9.7)

Поскольку состояния 1 и 2 были взяты совершенно произвольно, то можно утверждать, что для любого состояния:

где С – постоянная для данной массы газа величина.

Недостатком этого уравнения является то, что величина “C” различна для различных газов, Для устранения этого недостатка Менделеев в 1875г. несколько видоизменил закон Клапейрона, объединив его с законом Авогадро.

Запишем полученное уравнение для объема V км. одного 1 киломоля газа, обозначив постоянную буквой “R”:

Согласно закону Авогадро при одинаковых значениях P и T киломоли всех газов будут иметь одинаковые объемы V км. и, следовательно, постоянная “R” будет одинакова для всех газов.

Постоянная “R”называется универсальной газовой постоянной. Полученное уравнение связывает параметры киломоля идеального газа и, следовательно, представляет уравнение состояния идеального газа.

Значение постоянной “R” можно вычислить:

.

От уравнения для 1кмоль легко перейти к уравнению для любой массы газа “m”, приняв во внимание, что при одинаковых давлениях и температуре “z” киломолей газа будут занимать в ”z” раз больший объем, чем 1 кмоль. (V=z×V км.).

С другой стороны отношение , где m – масса газа, m – масса 1 кмоля, будет определять число молей газа.

Умножим обе части уравнения Клапейрона на величину , получим

Þ (9.7а)

Это и есть уравнение состояния идеального газа, записанное для любой массы газа.

Уравнению можно придать другой вид. Для этого введем величину

где R – универсальная газовая постоянная;

N A – число Авогадро;

Подстановка числовых значений R и N A дает следующее значение:

.

Умножим и разделим правую часть уравнения на N A , тогда , здесь – число молекул в массе газа “m”.

С учетом этого

(*)

Вводя величину – число молекул в единице объема, приходим к формуле:

Уравнения (*) и (**) представляют различные формы записи уравнения состояния идеального газа.

Отношение , тогда плотность идеального газа можно получить из уравнения .

Þ Þ .

Таким образом, плотность идеального газа пропорциональна давлению и обратно пропорциональна температуре.

Простая связь между температурой и остальными параметрами идеального газа делает заманчивым его использование в качестве термометрического вещества. Обеспечив постоянство объема и использовав в качестве температурного признака давление газа, можно получить термометр с идеальной линейной температурной шкалой. Эту шкалу будем называть идеальной газовой шкалой температур .

Практически, по международному соглашению, в качестве термометрического тела берут водород . Установленная по водороду с использованием уравнения состояния идеального газа шкала называется эмпирической шкалой температур .

Давление газа возникает в результате столкновений молекул со стенками сосуда (и на помещенное в газ тело), в котором находится беспорядочно движущиеся молекулы газа . Чем чаше удары, тем они сильнее – тем выше давление. Если масса и объем газа неизменны, то его давление в закрытом сосуде всецело зависит от температуры. Давление зависит и от скорости поступательно движущихся газовых молекул. Единица измерения давления — паскаль p(Па) . Измеряют давление газа манометром (жидкостным, металлическим и электрическим).

Идеальный газ – это модель реального газа. За идеальный газ принимают газ в сосуде, когда молекула, пролетая от стенки до стенки сосуда не испытывает столкновения с другими молекулами. Точнее, Идеальный газ – это газ, взаимодействие между молекулами которого пренебрежимо мало ⇒ E к >> E р.

Основное уравнение МКТ связывает макроскопические параметры (давление p , объём V , температура T , масса m ) газовой системы с микроскопическими параметрами (масса молекулы, средняя скорость их движения):

Где n — концентрация, 1/м 3 ; m — масса молекулы, кг; — средняя квадратичная скорость молекул, м/с .

Уравнение состояния идеального газа - формула, устанавливающая зависимость между давлением, объёмом и абсолютной температурой идеального газа, характеризующее состояние данной системы газа. — уравнение Менделеева — Клапейрона (для произвольной массы газа) . R = 8,31 Дж/моль·К — универсальная газовая постоянная . pV = RT – (для 1 моля).

Часто необходимо исследовать ситуацию, когда меняется состояние газа при его неизменном количестве (m=const ) и в отсутствие химических реакций (M=const ). Это означает, что количество вещества ν=const . Тогда:

Для постоянной массы идеального газа отношение произве­дения давления на объем к абсолютной температуре в данном состоянии есть величина постоянная: — уравнение Клапейрона.

Термодинамический процесс (или просто процесс) - это изменение состояния газа с течением времени. В ходе термодинамического процесса меняются значения макроскопических параметров - давления, объёма и температуры. Особый интерес представляют изопроцессы - термодинамические процессы, в которых значение одного из макроскопических параметров остаётся неизменным. Поочерёдно фиксируя каждый из трёх параметров, мы получим три вида изопроцессов.

Последнее уравнение называют объединённым газовым законом. Из него получаются законы Бойля - Мариотта, Шарля и Гей-Люссака. Эти законы называют законами для изопроцессов:

Изопроцессы – это процессы, которые совершаются при одинаковом параметре или Т-температуре, или V-объеме, или р-давлении.

Изотермический процесс — - закон Бойля - Мариотта (при постоянной температуре и данной массы газа произведение давления на объем есть величина постоянная)

Изобарный процесс — - закон

>>Физика и астрономия >>Физика 10 класс >>Физика: Уравнение состояния идеального газа

Состояние идеального газа

Сегодняшний урок физики мы посвятим рассмотрению темы об уравнении состояния идеального газа. Однако, вначале, попробуем разобраться с таким понятием, как состояние идеального газа. Нам известно, что частицы реально существующих газов, такие как атомы и молекулы имеют свои размеры и естественно, что заполняют какой-то объем в пространстве, и соответственно они немного зависимы друг от друга.

При взаимодействии между частицами газа, физические силы обременяют их перемещение и за счет этого ограничивают их маневренность. Поэтому газовые законы и их следствия, как правило, не нарушаются лишь для разреженных реальных газов. То есть, для газов, расстояние между частицами которых ощутимо превосходят собственный размер частиц газа. Кроме того, взаимодействие между такими частицами, как правило, минимально.

Поэтому, газовые законы при естественном атмосферном давлении имеют приблизительное значение и если это давление высокое, то законы не действуют.

Поэтому в физике принято рассматривать такое понятие, как состояние идеального газа. При таких обстоятельствах частицы принято расценивать, как некие геометрические точки, которые имеют микроскопические размеры и не имеют никакого взаимодействия между собой.

Уравнение состояния идеального газа

А вот, уравнение, которое связывает эти микроскопические параметры, и определяет состояние газа, принято называть уравнением состояния идеального газа.

К таким нулевым параметрам, без которых невозможно определить состояние газа, является:

К первому параметру относится давление, которое обозначают символом - Р;
Второй параметр – это объем –V;
И к третьему параметру относится температура – Т.
Из предыдущего раздела нашего урока, мы уже знаем, что газы могут выступать в роли реагентов или быть продуктами в химических реакциях, поэтому, при нормальных условиях, газы сложно заставить реагировать между собой, и для этого необходимо уметь определять число молей газов в условиях, которые отличаются от нормальных.

А вот для этих целей и используют уравнение состояния идеального газа. Это уравнение еще принято называть уравнением Клапейрона-Менделеева.

Такое уравнение состояния идеального газа можно легко получить из формулы зависимости давления и температуры, расписав в этой формуле концентрацию газа.

Такое уравнение и называется уравнением состояния идеального газа.

n – является числом молей газа;
P – давление газа, Па;
V – объем газа, м3;
T – абсолютная температура газа, К;
R – универсальная газовая постоянная 8,314 Дж/моль×K.

Впервые уравнение, которое помогает установить связь между давлением, объемом и температурой газов, получил и сформулировал в 1834 году знаменитый французский физик Бенуа Клапейрон, который длительное время работал в Петербурге. А вот Дмитрий Иванович Менделеев, великий русский ученый, в 1874 году впервые его применил, но перед тем он получил формулу методом объединения закона Авогадро с законом, который сформулировал Клапейрон.

Поэтому, закон, позволяющий сделать выводы о характере поведения газов, в Европе было принято называть законом Менделеева-Клапейрона.

Также, следует обратить внимание на то, что когда объём газа выражен в литрах, то уравнение Клапейрона-Менделеева будет иметь такой вид:

Надеюсь, что у вас не возникли проблемы при изучении этой темы и теперь вы имеете понятие о том, что такое уравнение состояния идеального газа и знаете, что с его помощью можно проводить расчеты параметров реальных газов в том случае, когда физические условия газов приближены к нормальным условиям.