Bernoulli formülü (deneylerin tekrarına ilişkin özel teorem)
Örnek 23
Üç piyango bileti var. Herhangi bir bilet için kazanma olasılığı aynıdır ve eşittir R. Biletin kazanılmama olasılığı q = 1 – p– zıt olayın olasılığı olarak. Üç biletten tam olarak ikisinin kazanma olasılığını belirleyin.
İstenilen olasılığı ile gösteririz.
İlgilendiğimiz etkinlik, birinci VE ikinci biletin kazanması VE üçüncünün kazanmaması VEYA ilk biletin kazanmaması VE ikinci VE üçüncünün kazanması VEYA ikinci biletin kazanmaması VE birinci VE üçüncünün kazanması durumunda gerçekleşecektir. . Bu seçeneklerin her birinin olasılığı çarpma formülü kullanılarak bulunabilir ve cevap, uyumsuz olaylar için toplama formülü kullanılarak hesaplanır:
= ppq + qpp + pqp = 3p 2 q.
Sorunun çözümünü analiz ettiğimizde sorunun aşağıdaki sırayla çözüldüğünü görüyoruz:
İlgili olayın uygulanmasına yönelik çeşitli seçenekler derlenmiştir;
Bu seçeneklerin sayısı sayılır;
Herhangi bir seçeneğin uygulanmasıyla bir olayın meydana gelme olasılığı belirlenir;
Seçeneklerden birine göre bir olayın meydana gelme olasılığının toplam seçenek sayısıyla çarpılmasıyla gerekli olasılık bulunur.
Aslında sorun sözde kullanılarak çözüldü. Bernoulli'nin formülü. Genel formda yazalım.
Bir dizi olsun N deneyler (testler). Deneyler birbirinden bağımsız olarak ve aynı koşullar altında tekrar tekrar yapılır, böylece bir olayın meydana gelme olasılığı belirlenir. A deneyimden deneyime değişmez ve eşittir R. Olayın gerçekleşmeme olasılığını gösterelim A bir deneyde - q = 1-p. Bir dizideki olasılığın belirlenmesi gerekir. N deneyimler olayı A tekrar olacak k kez – bu olayı şu şekilde belirtelim: İÇİNDE.
Etkinlik İÇİNDEçeşitli yollarla (seçenekler) gerçekleştirilebilir. Örneğin şöyle:
veya bunun gibi:
Önemli olan, herhangi bir değişkende olayın meydana gelme sayısının olmasıdır. A eşittir N ve olayın gerçekleşme sayısı eşittir n-k, ancak farklı sıralarda farklı versiyonlarda görünecek ve görünmeyecektir.
Bu tür seçeneklerin sayısını belirlemek için formülü kullanabilirsiniz. kombinatorik- kombinasyon sayısı N tarafından elemanlar k.
Kombinasyonlar - bunlar kombinasyonlardır k belirli bir kümeden seçilen nesneler (elemanlar) N Aynı sayıda nesne içeren ancak en az birinde birbirinden farklı olan nesneler.
Kombinasyon sayısı N tarafından elemanlar k aşağıdaki formülle bulunabileceği şekilde gösterilir: = . (15)
Kombinasyon sayısını belirlemenin önemli bir özelliği şudur:
Ele alınan problemde birbirinden farklılaşan unsurlar deney sayılarıdır. Toplam seçenek sayısı .
Olayın gerçekleşme olasılığı Bir Her seçeneğin süreleri aynıdır ve "A olayı meydana geldi" ifadesine dayalı olasılıkları çarpma formülü kullanılarak bulunabilir. k hiç yaşanmadı n-k bir kere": p k q n - k
Bu özdeş olasılık çarpımlarını toplayarak şu formülü elde ederiz: Bernoulli'nin formülü:
=p k q n - k . (16)
Unutulmamalıdır ki p'dir meydana gelme olasılığı deneyim açısından bizi ilgilendiren olay ve Q - gelmeme olasılığı bu olay deneyimde.
Bernoulli'nin formülüne (Jacob Bernoulli bunu Varsayım Sanatı adlı kitabında araştırmıştır) aynı zamanda denir. özel deneylerin tekrarına ilişkin teorem. Bu, sonraki her deneyin öncekilerle aynı koşullar altında gerçekleştirildiği anlamına gelir; Bir olayın gerçekleşme olasılığı deneyden deneye değişmez ve eşit kalır R.
Özelin yanı sıra var genel teorem Deneylerin tekrarlanması (bir olayın deneyden deneye değişme olasılığı) konusu bu dersin kapsamı dışındadır.
Örnek 24
Atölyede 10 adet elektrik motoru bulunmaktadır, her birinin kapanma olasılığı 0,1'dir.Motorlar ağa birbirinden bağımsız olarak bağlanmaktadır. Üç elektrik motorunun aynı anda kapanma olasılığını belirleyin.
Çözüm. Sorunun durumu J. Bernoulli'nin tekrarlanan test şemasına karşılık gelmektedir. Sorunu, üç adet kapalı motorun (kapalı durum olasılığı 0,1) ve 7 adet açık motorun (açık durum olasılığı: 0.9):
=p 3 q 10-3=q 3 (1-q) 10-3 =120∙(0,1) 3 ∙(0,9) 7 =0,0574.
Rastgele değişkenler ve dağılım yasaları
Rastgele olayların yanı sıra olasılık teorisindeki bir diğer önemli kavram da “rastgele değişken” (RV) kavramıdır.
Büyüklük Bir deneyin sonucunun niceliksel bir özelliğidir.
Tüm miktarlar iki büyük gruba ayrılır: rastgele olmayan ve rastgele.
Rastgele olmayan (deterministik) - bunlar, deneyim sonucunda önceden belirlenmiş, bilinen bir değer alan miktarlardır. Örneğin güneşin doğuş ve batış saatleri, yeni yılın tarihi, yeni doğmuş bir bebeğin ellerindeki parmak sayısı, bir dönemdeki sınav ve test sayısı.
Rastgele (stokastik)- bunlar, deney sonucunda hangi değeri alacaklarının önceden bilinmediği miktarlardır.
Rastgele değişkenler ise ayrık veya sürekli olabilir.
ayrık deneyimde birçok olası değerden birini alan SV'lerdir ve istenirse bu değerler listelenebilir veya numaralandırılabilir; bu küme sonludur. Çoğu zaman (zorunlu olmasa da) bunlar tamsayı, negatif olmayan değerlerdir. Örneğin, Ööğrencinin sınavdaki puanı; kafadaki kıl sayısı, acil servis atölyesindeki işçi sayısı.
Sürekli deneyimde olası değerlerden birini alan ve bu değerlerin sayısı çok küçük bir aralıkta bile sonsuz sayıda olana SV diyorlar. Başka bir deyişle, sürekli bir SV'nin olası değerleri kümesi sayılamaz. Örneğin şebekedeki voltaj seviyesi, elektrik hattının arızalanmadan önceki çalışma süresi, kişinin boyu ve kilosu, dolma kalemin ağırlığı.
Rastgele değişkenlerin adları genellikle belirtilir büyük harflerle Latin alfabesi - X, Y; A değerler , deneyde hangi rastgele değişkenlerin alındığı, – küçük harf - x, y.
Aynı rastgele değişkenin farklı değerleri eşit sıklıkta gözlenmez. Örneğin, erkekler 42 numara ayakkabıyı 46 numaraya göre çok daha sık giyerler; Ağ voltajı, 225-235 V aralığına göre çok daha sık 215-225 V aralığındadır.
Rastgele bir değişkenin değerleri ile bunların oluşma olasılıkları arasındaki ilişki şu şekilde kurulur: Rasgele bir değişkenin dağılım yasası. SV'nin şu veya bu dağıtım yasasına göre dağıtıldığını (tabi olduğunu) söylüyorlar. Dağıtım yasasını belirlemenin çeşitli biçimleri vardır:
· tablo şeklinde (tablo şeklinde);
· çizim şeklinde (grafiksel olarak);
formül (analitik olarak).
Rastgele değişkenlerin dağılım yasalarını belirleme yöntemleri
SW dağılımı yasalarını belirlemeye yönelik tüm yöntemler şartlı olarak teorik ve istatistiksel olarak ayrılabilir. Teorik yasalar dağılımlar doğada var olan gerçek yasaları yansıtır. Bunları oluşturmak için büyük sayılar kanununa göre sonsuzluğa yakın miktarda bilginin işlenmesi gerekir. Uygulamada, bu tür yasalar sınırlı miktardaki istatistiksel verilere dayanarak oluşturulmakta ve şu veya bu şekilde resmileştirilmektedir. istatistiksel yollar. İstatistikler sıklıkla denir deneysel (ampirik)). Dağıtım yasasını (DLR) belirlemeye yönelik her teorik yöntemin istatistiksel analojileri (STL) vardır. Bu yöntemleri ele alalım.
TZR-1. SV dağıtım serisi
Bir dağılım serisi, bir yandan rastgele değişkenin değerlerinin, diğer yandan olasılıklarının belirtildiği bir tablodur (Tablo 2). Dağıtım serisinde, SV değerleri arttıkça düzenli bir şekilde düzenlenir.
Bire eşit olan bu değerlerin toplam olasılığı, SV'nin tüm olası değerleri arasında bölünür. Bu nedenle dağılım serisinin tüm olasılıklarının toplamı bire eşittir: = 1
Tablo 2. SV dağıtım serisi
Temel dağılımlar
Rastgele değişkenler
Öğrencilerin bağımsız çalışmaları için yönergeler
her türlü eğitim
V.A. tarafından derlendi. Bobkova
İvanovo 2005
V.A. tarafından derlendi. Bobkova
Rastgele değişkenlerin temel dağılımları: Her türlü eğitimdeki öğrencilerin bağımsız çalışması için yönergeler / Comp. V. A. Bobkova; GOUVPO Ivan. durum kimyasal teknoloji üniversite – Ivanovo, 2005. 32 s.
Kılavuzlar “Olasılık Teorisi ve Matematiksel İstatistik” dersinin önemli bölümlerinden birine, yani rastgele değişkenlerin temel dağılımlarına ayrılmıştır. Rastgele değişken kavramı verilmiş, kesikli ve sürekli rasgele değişkenleri belirleme yöntemleri anlatılmış ve matematiksel beklenti, dağılım ve standart sapma tanımları verilmiştir. Daha sonra, ayrık rastgele değişkenlerin ana dağılımları dikkate alınır: Bernoulli dağılımı, binom dağılımı, Poisson dağılımı, geometrik ve hipergeometrik dağılımlar ve ayrıca sürekli rastgele değişkenlerin ana dağılımları: tekdüze, üstel, normal dağılımlar. Dikkate alınan dağılımların sayısal özelliklerine ilişkin formüller türetilmiş, grafik resimler ve problem çözme örnekleri verilmiştir. Sorunlar bağımsız çözüm için verilmiştir.
Yönergeler tüm üniversite uzmanlık alanlarındaki öğrencilerin bağımsız çalışmaları için tasarlanmıştır.
Kaynakça: 4 başlık.
Hakem Teknik Bilimler Doktoru, Profesör A. N. Labutin
(Ivanovo Devlet Kimyasal Teknoloji Üniversitesi)
Rastgele değişkenler hakkında temel bilgiler
Rasgele değişken kavramı
Rastgele Test sonucunda önceden bilinmeyen ve dikkate alınamayacak rastgele nedenlere bağlı olarak tek bir olası değer alacak olan miktardır.
Rastgele değişkenler büyük Latin harfleri X,Y, Z, ... ile gösterilir ve bunların olası değerleri karşılık gelen küçük harfler x, y, z, ... ile gösterilir.
Rastgele değişken örnekleri:
1) belirli bir süre içinde abonelerden telefon santraline yapılan çağrıların sayısı;
2) rastgele alınan bir buğday tanesinin ağırlığı;
3) sınavda bir gruptaki öğrencilerin aldığı mükemmel notların sayısı;
4) diskin fırlatıldığı noktadan çarpma noktasına kadar olan mesafe;
5) kitaptaki yazım hatalarının sayısı.
Rastgele değişkenlerin çeşitliliği mükemmeldir. Kabul ettikleri değerlerin sayısı sonlu, sayılabilir veya sayılamayan olabilir; bu değerler ayrı ayrı yerleştirilebilir veya aralıkları doldurabilir (sonlu veya sonsuz).
Ayrık rastgele değişkenler – Bunlar yalnızca sonlu veya sayılabilir bir değer kümesi alabilen rastgele değişkenlerdir. Örneğin, beş yazı tura atıldığında armanın görünme sayısı (olası değerler 0, 1, 2, 3, 4, 5'tir); hedefe ilk vuruştan önceki atış sayısı (olası değerler 1, 2, ..., n, burada n, mevcut kartuş sayısıdır); Üç elemandan (olası değerler 0, 1, 2, 3) oluşan bir cihazdaki başarısız elemanların sayısı ayrık rastgele değişkenlerdir.
Sürekli rastgele değişkenler– bunlar olası değerleri belirli bir sonlu veya sonsuz aralık oluşturan rastgele değişkenlerdir. Örneğin bir cihazın çalışma süresi, bir merminin uçuş menzili, bir otobüsün bekleme süresi sürekli rastgele değişkenlerdir.
Rastgele değişkenleri belirleme yöntemleri
Bir rastgele değişkeni belirlemek için alabileceği değerleri ve rastgele değişkenin değerlerini alma olasılıklarını bilmeniz gerekir. Rastgele bir değişkenin bireysel değerlerinin veya bu değerler kümesinin olasılıklarını bulmanızı sağlayan herhangi bir kurala (tablo, fonksiyon, grafik) denir. rastgele değişken dağılım kanunu (ya da sadece dağıtım ). Rastgele bir değişken hakkında "belirli bir dağıtım yasasına uyduğunu" söylüyorlar.
X, belirli olasılıklarla değerler alan (bu değerlerin kümesi sonlu veya sayılabilir) ayrık bir rastgele değişken olsun 
. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası
formülü kullanarak ayarlamak uygun 
i = 1, 2, 3, … , n, … , deney sonucunda X rastgele değişkeninin değerini alma olasılığını belirler. Ayrık bir rastgele değişken için dağıtım yasası şu şekilde belirtilebilir: dağıtım tabloları
:
| X | … | … | |||
| P | … | pn | … |
Burada ilk satır rastgele değişkenin tüm olası değerlerini (genellikle artan sırada) içerir ve ikinci satır bunların olasılıklarını içerir. Bu tabloya denir yakın dağıtım .
Olaylar uyumsuz olduğundan ve tam bir olaylar grubu oluşturduğundan olasılıklarının toplamı bire eşittir.
Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası, rastgele değişkenin olası değerleri apsis ekseninde ve olasılıkları ordinat ekseninde çizilirse grafiksel olarak belirtilebilir. Art arda elde edilen noktaları birleştiren çoklu çizgiye denir dağıtım poligonu .
Açıkçası, bir dağılım serisi yalnızca kesikli rastgele değişkenler için oluşturulabilir. Sürekli rastgele değişkenler için olası tüm değerleri listelemek bile mümkün değildir.
Olasılık dağılımı yasasını belirlemenin evrensel bir yolu, hem kesikli hem de sürekli rastgele değişkenler için uygun olmasıdır. dağıtım işlevi.
X bir rastgele değişken, x bir gerçel sayı olsun. Rastgele değişken X'in olasılık dağılım fonksiyonu bu rastgele değişkenin x'ten küçük bir değer alma olasılığı:
(1)
Geometrik olarak bu eşitlik şu şekilde yorumlanabilir: F(x), X rastgele değişkeninin sayısal eksende x noktasının solunda yer alan bir nokta tarafından temsil edilen değeri alma olasılığıdır, yani rastgele değişkenin değeri alma olasılığıdır. X noktası aralığa düşecektir.
Dağıtım fonksiyonunun özellikleri:
1. Dağıtım fonksiyonunun değerleri segmente aittir:
2. F(x) azalmayan bir fonksiyondur, yani 
Eğer .
Sonuç 1. Bir rastgele değişkenin aralıkta yer alan bir değeri alma olasılığı; A dağıtım fonksiyonu ise
F(X) 0'a eşittir X, 1 saat X > B ve doğrusal olarak 0'dan 1'e değişir A .
(A + B)/2 ve varyans ( B − A) 2 /12 .
Şekilde bu dağılım fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. A= 0 ve B = 1 .
Bu dağıtım yasası bizim için çok önemlidir, çünkü rastgele değişkenlerin (sözde rastgele sayılar) tüm standart bilgisayar sensörleri bu tür rastgele değişkenleri tam olarak modeller ve ihtiyacımız olan rastgele değişkenler bunlardan yaratılır.
Üstel dağılım
Bir rastgele değişken, negatif değilse üstel veya üstel olarak dağıtılır ve F(X) = 1 − exp(−λ X) , burada λ pozitif bir sabittir.
Böyle bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi λ − 1 ve varyansı λ − 2'dir.
Şekil λ = 3 için bu dağılım fonksiyonunun grafiğini göstermektedir.
Bu dağıtım yasasına uygulamalarda, özellikle radyo mühendisliği ve iletişimde sıklıkla rastlıyoruz. Özellikle, iki abonenin konuşma süresinin üstel bir yasaya göre dağıtıldığı sıklıkla varsayılır.
Normal dağılım
Bu, standart olasılık dağılımları arasında en popüler olanıdır ve ilk bakışta bu kadar karmaşık bir formülün en yaygın olanı olması garip görünebilir.
Bir rastgele değişken normal veya Gaussian olarak dağıtılır, eğer (sağda K. F. Gauss'un (1777-1855) bir portresi var)
Bu fonksiyon parametrelere bağlıdır A ve σ. Böyle bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi şuna eşittir: A ve dağılım σ 2'dir.
Grafikte standart bir fonksiyon gösterilmektedir A= 0 ve σ = 1.
Bu yasanın uygulamalarda sıklıkla ortaya çıkmasının nedeni, rastgele değişkenler eklenirken, rastgele değişken olarak kabul edilen toplamlarının dağılımının çoğu zaman normale yaklaşmasıdır.
Görevlerimizde görünmeyecek ama bundan bahsetmemek yersiz olur.
Bernoulli dağılımı
Bu en basit ayrık dağılım, adını İsviçreli matematikçi Yaşlı Jacob Bernoulli'den (1654-1705) almıştır (aynı zamanda St. Petersburg'da çalışan daha genç bir tane de vardı).
Bir rastgele değişken yalnızca iki değer alıyorsa Bernoulli dağılımına sahiptir. Tipik olarak bu değerler 1'dir ve olasılığı P ,
ve 0, bunun olasılığı Q = 1 − P.
Böyle bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi şuna eşittir: P ve varyans pq .
Elbette böyle bir programı kendiniz oluşturabilirsiniz.
Bernoulli yasası her türlü model yapımı için çok uygundur; özel durumundan (yazı tura atmak) biraz daha karmaşıktır. P = 1/2 .
Binom dağılımı
Rastgele değişken ξ toplama eşit N bağımsız özdeş Bernoulli rastgele değişkenleri binom dağılımına sahiptir. Onun için
Böyle bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi şuna eşittir: n.p. ve varyans npq .
Artan terim sayısıyla binom dağılımı N normal dağılıma çok benzer hale gelir.
Yalnızca rastgele değişkeni uygun şekilde normalleştirmeniz gerekir: matematiksel beklentiyi çıkarın ve varyansın köküne bölün, yani ξ yerine dikkate alın
η = (ξ — n.p.)(npq) − 1/2 .
Büyümeyle birlikte ise N olasılık P azalır ve ürün muhafaza edilecek veya stabilize edilecek şekilde n.p.Şimdi açıklayacağımız başka bir klasik dağılım elde ederiz.
Poisson Dağılımı
Bu dağılım, St. Petersburg Bilimler Akademisi'nin fahri üyesi olan Fransız matematikçi Simeon Poisson (1781-1840) tarafından önerildi.
Rastgele değişken ξ şu durumda Poisson dağılımına sahiptir:
Böyle bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi λ'dır ve varyans da λ'dır.
Poisson dağılımı, çok sayıda rastgele değişkenin Bernoulli dağılımıyla toplandığı ve her biri için çok düşük bir olumlu sonuç olasılığının bulunduğu nadir olaylar şeması için tipiktir.
Örneğin, posta kutusuna işaretsiz bir zarfla atılan mektup sayısının Poisson dağılımına sahip olduğu kaydedildi.
Egzersizler
- Rastgele değişken 0,3 olasılıkla 0, 0,2 olasılıkla 2, 0,5 olasılıkla 4 değerlerini alır. Matematiksel beklenti ve varyansını bulun.
İki rastgele değişkenin matematiksel beklentisi 0 ve varyansı 1'dir. Toplamlarının varyansı hangi sınırlar dahilinde değişebilir? Toplamın en büyük ve en küçük varyansını içeren bir örnek oluşturun.
Sınav soruları
Rastgele değişkenler ve bunların dağılım fonksiyonları.
Beklenti ve varyans. Onların özellikleri.
www.math.spbu.ru
Eğitim blogu - ders çalışmak için her şey
Tekrarlanan deneyler
Olasılık teorisinin pratik uygulamasında, aynı deneyin veya benzer deneylerin tekrar tekrar tekrarlandığı problemlerle sıklıkla karşılaşılır. Her deneyin sonucunda, bir A olayı ortaya çıkabilir veya çıkmayabilir ve biz her bir deneyin sonucuyla değil, bir dizi deney sonucunda A olayının toplam gerçekleşme sayısıyla ilgileniyoruz. Bu tür problemlerde bir olayın herhangi bir sayıda meydana gelme olasılığının bir dizi deney sonucunda belirlenebilmesi gerekmektedir. Deneylerin bağımsız olması durumunda oldukça basit bir şekilde çözülebilirler.
Her bir deneyin bir veya başka bir sonucunun olasılığı, diğer deneylerin hangi sonuçlara sahip olduğuna bağlı değilse, çeşitli deneyler bağımsız olarak adlandırılır.
Bağımsız deneyler aynı veya farklı koşullar altında gerçekleştirilebilir. İlk durumda, tüm deneylerde A olayının olasılığı aynıdır P i (A) = sabit. İkinci durumda, A olayının olasılığı deneyimden deneyime değişir P i (A) = var. İlk durum belirli bir teoreme, ikinci durum ise deneylerin tekrarına ilişkin genel bir teoreme atıfta bulunur.
Deneylerin tekrarına ilişkin belirli bir teoremin formülasyonu:
Her birinde A olayının p olasılığıyla ortaya çıktığı n bağımsız deney yapılırsa, A olayının tam olarak m kez ortaya çıkma olasılığı aşağıdaki formülle ifade edilir:
burada q = 1 - p, C n m - tüm kombinasyonların sayısı, yani. A olayının meydana geldiği n deneyden m'yi seçmenin mümkün olduğu yolların sayısı.
Genel teoremin formülü:
burada z keyfi bir parametredir.
Hem genel olarak hem de özel durumda:
Rastgele değişkenler ve bunların dağılım yasaları
Rastgele değişken, deney sonucunda şu veya bu değeri alabilen, hangisinin önceden bilinmediği bir miktardır.
İki tür rastgele değişken vardır:
sürekli;
süreksiz (ayrık).
Rastgele değişkenleri büyük harflerle ve bunların olası değerlerini karşılık gelen küçük harflerle belirtmek konusunda aşağıda anlaşalım.
Örnek:
X, üç atışla yapılan vuruşların sayısıdır:
x1 = 0;
x2 = 1;
x3 = 2;
x 4 = 3.
X 1, x 2, ..., x n olası değerlerine sahip süreksiz bir rastgele X değişkenini ele alalım. Bu değerlerin her biri mümkündür ancak kesin değildir ve X değeri bunların her birini bir miktar olasılıkla alabilir
X=x1;
X=x2;
X=x3;
X=x4.
∑P m,n = 1, çünkü uyumsuz olaylar tam bir grup oluşturur. Bu toplam olasılık bir şekilde bireysel değerler arasında dağıtılır. Bu dağılım verilirse, rastgele değişken olasılıksal bir bakış açısıyla tam olarak tanımlanacaktır; her olayın tam olarak hangi olasılığa sahip olduğunu gösterir. Bu, rastgele bir değişkenin sözde dağılım yasasını oluşturur.
Rastgele değişkenin dağılım yasası rastgele bir değişkenin olası değerleri ile bunlara karşılık gelen olasılıklar arasında bağlantı kuran herhangi bir ilişkidir.
Süreksiz bir rastgele değişken X'in dağılım yasası aşağıdaki şekillerde belirtilebilir:
tablo halinde;
analitik;
grafik.
Süreksiz bir rastgele değişken X'in dağılım yasasını belirlemenin en basit şekli bir tablodur.
Rastgele değişkenler. Ayrık rassal değişken.
Beklenen değer
İkinci bölüm olasılık teorisiözel rastgele değişkenler Konuyla ilgili her makalede kelimenin tam anlamıyla bize görünmez bir şekilde eşlik eden. Ve bunun ne olduğunu açıkça formüle etmenin zamanı geldi:
Rastgele isminde boyut, testin sonucunda alınacak bir ve tek Rastgele faktörlere bağlı olan ve önceden tahmin edilemeyen sayısal bir değer.
Rastgele değişkenler genellikle belirtmek başından sonuna kadar * , anlamları ise alt simgelerle karşılık gelen küçük harflerle yazılmıştır, örneğin .
* Bazen Yunan harfleri de kullanılır
Bir örnekle karşılaştık Olasılık teorisi üzerine ilk ders, burada aslında aşağıdaki rastgele değişkeni dikkate aldık:
– zar atıldıktan sonra ortaya çıkacak puan sayısı.
Bu testin sonucunda düşecek biricik hangisi tam olarak tahmin edilemiyor (hileleri dikkate almıyoruz); bu durumda rastgele değişken aşağıdaki değerlerden birini alabilir:
– 10 yeni doğan bebekteki erkek çocukların sayısı.
Bu sayının önceden bilinmediği kesinlikle açıktır ve doğacak sonraki on çocuk şunları içerebilir:
Veya çocuklar - bir ve tek listelenen seçeneklerden.
Ve formda kalmak için biraz beden eğitimi:
– uzun atlama mesafesi (bazı birimlerde).
Bunu bir spor ustası bile tahmin edemez :)
Ancak hipotezleriniz?
En kısa zamanda gerçek sayılar kümesi sonsuzsa, o zaman rastgele değişken alabilir sonsuz sayıda belirli bir aralıktaki değerler. Önceki örneklerden temel farkı da budur.
Böylece, Rastgele değişkenlerin 2 büyük gruba bölünmesi tavsiye edilir:
1) Ayrık (aralıklı) Rastgele değişken – bireysel, izole edilmiş değerleri alır. Bu değerlerin sayısı Kesinlikle veya sonsuz ama sayılabilir.
...anlaşılmayan terimler var mı? Acilen tekrarlıyoruz cebirin temelleri!
2) Sürekli rastgele değişken – kabul eder Tüm bazı sonlu veya sonsuz aralıktaki sayısal değerler.
Not : DSV ve NSV kısaltmaları eğitim literatüründe popülerdir
İlk önce ayrık rastgele değişkeni analiz edelim, sonra - sürekli.
Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası
- Bu yazışma bu miktarın olası değerleri ile olasılıkları arasında. Çoğu zaman yasa bir tabloda yazılır: 
Terim oldukça sık karşımıza çıkıyor sıra
dağıtım, ancak bazı durumlarda kulağa belirsiz geliyor ve bu yüzden "yasaya" bağlı kalacağım.
Ve şimdi çok önemli bir nokta: rastgele değişkenden beri mutlaka kabul edecek değerlerden biri, ardından karşılık gelen olaylar formu tam grup ve bunların meydana gelme olasılıklarının toplamı bire eşittir:
veya kısaltılmış olarak yazılırsa:
Örneğin, bir zarın üzerine atılan noktaların olasılık dağılımı yasası aşağıdaki biçimdedir: 
Ayrık bir rastgele değişkenin yalnızca "iyi" tam sayı değerleri alabileceği izlenimine kapılmış olabilirsiniz. Bu yanılsamayı ortadan kaldıralım; her şey olabilirler:
Bazı oyunlarda aşağıdaki kazanan dağıtım yasası vardır: 
…muhtemelen uzun zamandır bu tür görevlerin hayalini kuruyordunuz 🙂 Size bir sır vereceğim – ben de. Özellikle çalışmayı bitirdikten sonra alan teorisi.
Çözüm: Bir rastgele değişken üç değerden yalnızca birini alabildiğinden, karşılık gelen olaylar oluşur tam grup Bu, olasılıklarının toplamının bire eşit olduğu anlamına gelir: 
“Partizanı” ifşa etmek: 
– dolayısıyla konvansiyonel birimleri kazanma olasılığı 0,4'tür.
Kontrol: Emin olmamız gereken şey buydu.
Cevap:
Kendi başınıza bir dağıtım kanunu hazırlamanız gerekmesi alışılmadık bir durum değildir. Bunun için kullanıyorlar olasılığın klasik tanımı, olay olasılıkları için çarpma/toplama teoremleri ve diğer cipsler tervera:
Kutuda 12'si kazanan, 2'si her biri 1000 ruble ve geri kalanı - her biri 100 ruble olmak üzere 50 piyango bileti bulunuyor. Rastgele bir değişkenin dağıtımı için bir yasa hazırlayın - eğer kutudan rastgele bir bilet çekilirse kazancın büyüklüğü.
Çözüm: fark ettiğiniz gibi, rastgele bir değişkenin değerleri genellikle artan sırada. Bu nedenle en küçük kazançlarla yani ruble ile başlıyoruz.
Toplamda bu tür 50 bilet var - 12 = 38 ve buna göre klasik çözünürlüklü:
– rastgele çekilen bir biletin kaybetme olasılığı.
Diğer durumlarda her şey basittir. Ruble kazanma olasılığı:
Ve için :
Kontrol edin: – ve bu, bu tür görevlerin özellikle keyifli bir anıdır!
Cevap: Kazançların dağıtımında arzu edilen yasa: 
Aşağıdaki görev kendi başınıza çözmeniz içindir:
Atıcının hedefi vurma olasılığı . Rastgele bir değişken için bir dağıtım yasası hazırlayın - 2 atıştan sonraki isabet sayısı.
...onu özlediğini biliyordum :) Hatırlayalım çarpma ve toplama teoremleri. Çözüm ve cevap dersin sonundadır.
Dağıtım kanunu tamamen bir rastgele değişkeni tanımlar, ancak pratikte bunun yalnızca bir kısmını bilmek faydalı olabilir (ve bazen daha faydalı olabilir) sayısal özellikler .
Ayrık bir rastgele değişkenin beklentisi Elde edilen sonucun olasılıksal anlamı nedir? Zarları yeterli sayıda atarsanız, o zaman ortalama değer Düşen puanlar 3,5'e yakın olacaktır ve ne kadar çok test yaparsanız o kadar yaklaşırsınız. Aslında bu etki hakkında derste zaten ayrıntılı olarak konuşmuştum. istatistiksel olasılık.
Şimdi varsayımsal oyunumuzu hatırlayalım:
Şu soru ortaya çıkıyor: Bu oyunu oynamak hiç karlı mı? ...kimlerin izlenimi var? Yani bunu “hazırlıksız” söyleyemezsiniz! Ancak bu soru matematiksel beklentinin hesaplanmasıyla kolaylıkla cevaplanabilir: ağırlıklı ortalama kazanma olasılığına göre:
Dolayısıyla bu oyunun matematiksel beklentisi kaybetmek.
Gösterimlerinize güvenmeyin; sayılara güvenin!
Evet burada 10 hatta 20-30 kez üst üste kazanabilirsiniz ama uzun vadede kaçınılmaz bir yıkım bizi bekliyor. Ve size bu tür oyunlar oynamanızı tavsiye etmem :) Peki, belki sadece eğlence için.
Yukarıdakilerin hepsinden, matematiksel beklentinin artık RASTGELE bir değer olmadığı sonucu çıkmaktadır.
Bağımsız araştırma için yaratıcı görev:
Bay X, Avrupa ruletini aşağıdaki sistemi kullanarak oynuyor: "kırmızı" üzerine sürekli olarak 100 ruble bahis oynuyor. Rastgele bir değişkenin kazançlarının dağılım yasasını çizin. Kazançların matematiksel beklentisini hesaplayın ve bunu en yakın kopeğe yuvarlayın. Kaç tane ortalama Oyuncu bahis oynadığı her yüz için kaybeder mi?
Referans
: Avrupa ruletinde 18 kırmızı, 18 siyah ve 1 yeşil sektör (“sıfır”) bulunur. Eğer “kırmızı” görünürse, oyuncuya bahsin iki katı ödeme yapılır, aksi halde bahis kumarhanenin gelirine gider.
Kendi olasılık tablolarınızı oluşturabileceğiniz başka birçok rulet sistemi de vardır. Ancak herhangi bir dağıtım kanununa veya tablosuna ihtiyacımız olmadığında durum böyledir çünkü oyuncunun matematiksel beklentisinin tamamen aynı olacağı kesin olarak tespit edilmiştir. Sistemden sisteme değişen tek şey dağılım Bunu dersin 2. bölümünde öğreneceğiz.
Ama önce hesap makinesi tuşlarının üzerinde parmaklarınızı uzatmanız faydalı olacaktır:
Rastgele bir değişken, olasılık dağılım yasasıyla belirlenir:
Bunun bilinip bilinmediğini bulun. Kontrol gerçekleştirin.
O zaman ders çalışmaya devam edelim ayrık bir rastgele değişkenin varyansı ve eğer mümkünse,
Tıbbi muayene neleri içerir (302n emrine göre) 302n sayılı emir uyarınca tıbbi muayene yapılırken herkesin aşağıdakileri yapması gerekir: klinik idrar testi; […] Yurt dışında yaşayan vatandaşların Rusya Federasyonu'na gönüllü olarak yeniden yerleştirilmesine yardımcı olacak devlet programı Devlet katılımcıları için adım adım talimatlar […] Grup 2'deki engelli bir kişi için asgari emekli maaşının büyüklüğünün ne olması gerektiğini bulalım.Artık devlet, nüfusun sosyal açıdan savunmasız kesimlerine çeşitli şekillerde yardım sağlıyor. Özel bir endişe [...]
Ayrık bir rastgele değişkeni belirleme yöntemleri genel değildir; örneğin sürekli rastgele değişkenler için geçerli değildir. Aslında, X rastgele değişkeninin olası değerlerinin (a;b) aralığını tamamen doldurmasına izin verin. X'in tüm olası değerlerini listelemek mümkün mü? HAYIR. Herhangi bir rastgele değişken türünü belirlemek için genel bir yola ihtiyacımız var. Bu amaçla bir rastgele değişkenin olasılık dağılım fonksiyonları tanıtılmıştır.
Dağılım fonksiyonu Dağılım fonksiyonu, test sonucunda rastgele değişken X'in x'ten daha küçük bir değer alma olasılığını belirleyen F(x) fonksiyonudur; F(x) = P(X 
X 1. 3. 3. Rastgele değişkenin sonuçlanan değeri alma olasılığı" title="Dağıtım fonksiyonunun özellikleri 1. 1. Dağılım fonksiyonunun değerleri segmente aittir: 0 F (x) 1. 2. 2. F(x) azalmayan bir fonksiyondur, yani F(x 2) F(x 1), eğer x 2 > x 1. 3. 3. Bir rastgele değişkenin düşme olasılığı bir değer almak sonucuna varıldı" class="link_thumb"> 4 !}
Dağılım fonksiyonunun özellikleri Dağılım fonksiyonunun değerleri segmente aittir: 0 F(x) F(x) azalmayan bir fonksiyondur, yani F(x 2) F(x 1), eğer x 2 > x Rastgele değişkenin (a;b) aralığındaki değeri alma olasılığı, bu aralıktaki dağılım fonksiyonunun artışına eşittir: P (a x 1. 3. 3. Bir rastgele değişkenin ">" aralığında yer alan bir değeri alma olasılığı x 1. 3. 3. Bir rastgele değişkenin (a; b) aralığında yer alan bir değeri alma olasılığı eşittir: dağılım fonksiyonunun bu aralıktaki artışı: P (a"> x 1. 3. 3. Rastgele değişkenin şu değeri alma olasılığı sonuçlandırılır" title="Dağıtım fonksiyonunun özellikleri 1. 1. Dağılım fonksiyonunun değerleri şu aralığa aittir: 0 F( x) 1. 2. 2. F(x) – azalmayan fonksiyon, yani F(x 2) F(x 1), eğer x 2 > x 1. 3. 3. Rastgele değişkenin etkili olma olasılığı, sonuç"> title="Dağılım fonksiyonunun özellikleri 1. 1. Dağılım fonksiyonunun değerleri segmente aittir: 0 F(x) 1. 2. 2. F(x) azalmayan bir fonksiyondur, yani F(x 2) F(x 1), eğer x 2 > x 1 ise. 3. 3. Bir rastgele değişkenin değer alma olasılığı sonucuna varılır"> !}Örnek 1. Bir rastgele değişken X, x -1'de 0 dağılım fonksiyonu ile verilmektedir. F(x) = x/4+1/4 Test sonucunda X'in aralığa ait bir değer alma olasılığını bulun. (0;2): P(0
4. 4. Sürekli bir rastgele değişken X'in belirli bir değeri alma olasılığı 0'dır. Bu nedenle, bir rastgele değişkenin ne kadar küçük olursa olsun bir aralığa düşme olasılığını dikkate almak mantıklıdır. Örneğin, parçaların boyutlarının izin verilen sınırların ötesine geçmeme olasılığıyla ilgileniyorlar, ancak bunların tasarım boyutuyla çakışma olasılığı sorusunu gündeme getirmiyorlar.
Ancak P(X=x 1) olasılığının 0'a eşitliğinin (klasik olasılık tanımıyla sınırlı değilsek) X=x 1 olayının imkansız olduğu anlamına geldiğini düşünmek yanlıştır. Test sonucunda rastgele değişken mutlaka olası değerlerden birini alacaktır; özellikle bu değer x 1'e eşit olabilir.
5. 5. Bir rastgele değişkenin olası değerleri (a;b) aralığına aitse, x a için 1) F(x) = 0; 2) xb'de F(x) = 1. ] Sürekli bir rastgele değişkenin olası değerleri tüm x ekseni üzerinde yer alıyorsa, o zaman aşağıdaki sınır ilişkileri geçerlidir: Lim F(x) = 0; Lim F(x) = 1. x- x+
Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk dağılımı Dağılım fonksiyonunu kullanarak sürekli bir rastgele değişken belirleme yöntemi tek yöntem değildir. Sürekli bir rastgele değişken, dağıtım yoğunluğu veya olasılık yoğunluğu (bazen diferansiyel fonksiyon olarak da adlandırılır) adı verilen başka bir fonksiyon kullanılarak da belirtilebilir.
Sürekli bir rastgele değişken X'in olasılık dağılım yoğunluğuna f(x) fonksiyonu denir - F(x) dağılım fonksiyonunun birinci türevi: f(x) = F"(x). Bu nedenle, dağılım fonksiyonu bir ters türevdir. dağıtım yoğunluğunun
π/2. Dağılım yoğunluğunu f(x) bulun. x π/2'de 0." title="Örnek. Sürekli rastgele değişken X 0'ın x 0'da dağılım fonksiyonu verildiğinde F(x) = 0 π/2'de sinx. f(x) dağılım yoğunluğunu bulun 0 x π/2'de." class="link_thumb"> 18 !}
Örnek. Verilen, sürekli bir rastgele değişken olan X 0'ın x 0'daki dağılım fonksiyonudur F(x) = sinx 0 π/2'de. Dağılım yoğunluğunu f(x) bulun. x π/2'de 0. π/2. Dağılım yoğunluğunu f(x) bulun. x π/2."> π/2'de 0. x π/2."> π/2'de f(x). 0 dağılım yoğunluğunu bulun. Dağılım yoğunluğunu f(x) bulun. x π/2'de 0." title="Örnek. Sürekli rastgele değişken X 0'ın x 0'da dağılım fonksiyonu verildiğinde F(x) = 0 π/2'de sinx. f(x) dağılım yoğunluğunu bulun 0 x π/2'de."> (x) = cosx при 0 π/2." title="Örnek. Verilen, sürekli bir rastgele değişken olan X 0'ın x 0'daki dağılım fonksiyonudur F(x) = sinx 0 π/2'de. Dağılım yoğunluğunu f(x) bulun. x π/2'de 0."> !}
Dağılım yoğunluğunun özellikleri Dağılım yoğunluğu negatif olmayan bir fonksiyondur: f(x) 0. Dağılım yoğunluğu grafiğine dağılım eğrisi denir.Dağıtım yoğunluğunun - ile aralığındaki uygun olmayan integrali 1'e eşittir. f(x) )dx = 1. -
Dağılım yoğunluğunun olasılıksal anlamı f(x) fonksiyonu her x noktası için olasılık dağılım yoğunluğunu belirler. Yeterince küçük x için. F(x + x) - F(x) f(x)x. Çünkü F(x + x) - F(x) farkı, X'in (x; x + x) aralığına ait bir değer alma olasılığını belirler (yukarıya bakın), bu durumda bu olasılık yaklaşık olarak çarpımına eşittir. x aralığının uzunluğuna göre t.x cinsinden olasılık yoğunluğu.
Bilindiği gibi, rastgele değişken duruma göre belirli değerleri alabilen değişken miktara denir. Rastgele değişkenler Latin alfabesinin büyük harfleriyle (X, Y, Z), değerleri ise karşılık gelen küçük harflerle (x, y, z) gösterilir. Rastgele değişkenler süreksiz (kesikli) ve sürekli olarak ikiye ayrılır.
Ayrık rassal değişken sıfır olmayan belirli olasılıklara sahip yalnızca sonlu veya sonsuz (sayılabilir) bir değerler kümesini alan rastgele bir değişkendir.
Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası rastgele bir değişkenin değerlerini bunlara karşılık gelen olasılıklarla birleştiren bir fonksiyondur. Dağıtım kanunu aşağıdaki yollardan biriyle belirlenebilir.
1 . Dağıtım kanunu tablo tarafından verilebilir:
burada λ>0, k = 0, 1, 2, … .
V) kullanarak dağılım fonksiyonu F(x) , her bir x değeri için X rastgele değişkeninin x'ten daha küçük bir değer alma olasılığını belirler, yani F(x) = P(X< x).
F(x) fonksiyonunun özellikleri
3 . Dağıtım yasası grafiksel olarak belirtilebilir – dağıtım çokgeni (çokgen) (bkz. sorun 3).
Bazı sorunları çözmek için dağıtım yasasını bilmenin gerekli olmadığını unutmayın. Bazı durumlarda dağıtım kanununun en önemli özelliklerini yansıtan bir veya birkaç rakamı bilmek yeterlidir. Bu, bir rastgele değişkenin “ortalama değeri” anlamına gelen bir sayı olabileceği gibi, bir rastgele değişkenin ortalama değerinden sapmasının ortalama boyutunu gösteren bir sayı da olabilir. Bu tür sayılara rastgele değişkenin sayısal özellikleri denir.
Ayrık bir rastgele değişkenin temel sayısal özellikleri :
- Matematiksel beklenti
ayrık bir rastgele değişkenin (ortalama değeri) M(X)=Σ x ben p ben.
Binom dağılımı için M(X)=np, Poisson dağılımı için M(X)=λ - Dağılım
Ayrık rassal değişken D(X)=M2 veya D(X) = M(X 2)− 2. X – M(X) farkı, rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinden sapması olarak adlandırılır.
Binom dağılımı için D(X)=npq, Poisson dağılımı için D(X)=λ - Standart sapma (standart sapma) σ(X)=√D(X).
“Ayrık rastgele değişkenin dağılım yasası” konulu problem çözme örnekleri
Görev 1.
1000 piyango bileti düzenlendi: 5'i 500 ruble, 10'u 100 ruble, 20'si 50 ruble, 50'si 10 ruble kazanacak. Rastgele değişken X - bilet başına kazançların olasılık dağılımı yasasını belirleyin.
Çözüm. Problemin koşullarına göre X rastgele değişkeninin şu değerleri mümkündür: 0, 10, 50, 100 ve 500.
Kazanılmayan bilet sayısı 1000 – (5+10+20+50) = 915, bu durumda P(X=0) = 915/1000 = 0,915 olur.
Benzer şekilde diğer tüm olasılıkları da buluyoruz: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Ortaya çıkan yasayı tablo halinde sunalım:
X değerinin matematiksel beklentisini bulalım: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5
Görev 3.
Cihaz birbirinden bağımsız çalışan üç elemandan oluşur. Bir deneyde her bir elemanın arızalanma olasılığı 0,1'dir. Bir deneydeki başarısız elemanların sayısı için bir dağıtım kanunu çizin, bir dağıtım poligonu oluşturun. F(x) dağılım fonksiyonunu bulun ve grafiğini çizin. Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini, varyansını ve standart sapmasını bulun.
Çözüm. 1. Ayrık rastgele değişken X = (bir deneydeki başarısız öğelerin sayısı) aşağıdaki olası değerlere sahiptir: x 1 = 0 (cihaz öğelerinin hiçbiri başarısız olmadı), x 2 = 1 (bir öğe başarısız oldu), x 3 = 2 ( iki öğe başarısız oldu) ve x 4 =3 (üç öğe başarısız oldu).
Elemanların arızaları birbirinden bağımsızdır, her elemanın arıza olasılıkları eşittir, dolayısıyla uygulanabilir Bernoulli'nin formülü
. n=3, p=0,1, q=1-p=0,9 koşuluna göre değerlerin olasılıklarını belirleriz:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P3(1) = C31 p1q3-1 = 3*0,1*0,92 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001;
Kontrol edin: ∑p ben = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
Dolayısıyla, X'in istenen binom dağılım yasası şu şekildedir:
X i'nin olası değerlerini apsis ekseni boyunca ve karşılık gelen p i olasılıklarını ordinat ekseni boyunca çizeriz. M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001) noktalarını oluşturalım. Bu noktaları düz çizgi parçalarıyla birleştirerek istenilen dağıtım poligonunu elde ederiz.
3. F(x) = Р(Х dağılım fonksiyonunu bulalım.
x ≤ 0 için F(x) = Р(Х)<0) = 0;0 için< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1 için< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2 için< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3 için F(x) = 1 olacaktır çünkü olay güvenilirdir.
 |
F(x) fonksiyonunun grafiği
4.
Binom dağılımı X için:
- matematiksel beklenti M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- varyans D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standart sapma σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.