Word'de açı işareti nerede? Geometrik şekil açısı: açının tanımı, açıların ölçülmesi, semboller ve örnekler

Bu yazıda temel geometrik şekillerden biri olan açıyı kapsamlı bir şekilde analiz edeceğiz. Bizi açının tanımına götürecek yardımcı kavram ve tanımlarla başlayalım. Bundan sonra, açıları belirlemenin kabul edilen yollarını sunuyoruz. Daha sonra açıları ölçme sürecine ayrıntılı olarak bakacağız. Sonuç olarak çizimde köşeleri nasıl işaretleyebileceğinizi göstereceğiz. Materyalin daha iyi ezberlenmesi için tüm teoriye gerekli çizimler ve grafik resimler sağladık.

Sayfada gezinme.

Açının tanımı.

Açı geometrideki en önemli rakamlardan biridir. Açının tanımı ışının tanımıyla verilir. Buna karşılık, nokta, düz çizgi ve düzlem gibi geometrik şekiller bilgisi olmadan ışın fikri elde edilemez. Bu nedenle, bir açının tanımıyla tanışmadan önce, teoriyi bölümlerden tazelemenizi öneririz.

Böylece nokta, düzlem üzerindeki çizgi ve düzlem kavramlarından başlayacağız.

Önce ışının tanımını verelim.

Bize düzlem üzerinde bir düz çizgi verilsin. a harfiyle gösterelim. O, a doğrusu üzerinde bir nokta olsun. O noktası a doğrusunu iki parçaya bölüyor. Bu parçaların her birine O noktasıyla birlikte denir. ışın ve O noktasına denir ışının başlangıcı. Ayrıca ışının ne dendiğini de duyabilirsiniz yarı direkt.

Kısalık ve kolaylık sağlamak için, ışınlar için aşağıdaki gösterim getirildi: bir ışın ya küçük bir Latin harfiyle (örneğin, ışın p veya ışın k) ya da ilki başlangıcına karşılık gelen iki büyük Latin harfiyle gösterilir. ışın ve ikincisi bu ışının bir noktasını belirtir (örneğin, ışın OA veya ışın CD). Çizimde ışınların görüntüsünü ve tanımını gösterelim.

Artık açının ilk tanımını verebiliriz.

Tanım.

Köşe- bu, ortak kökenli iki farklı ışından oluşan düz bir geometrik şekildir (yani tamamen belirli bir düzlemde uzanır). Işınların her birine denir köşenin tarafı bir açının kenarlarının ortak orijinine denir açının tepe noktası.

Bir açının kenarlarının düz bir çizgi oluşturması mümkündür. Bu açının kendi adı vardır.

Tanım.

Bir açının her iki tarafı da aynı doğru üzerinde bulunuyorsa bu açıya denir. genişletilmiş.

Döndürülmüş bir açının grafiksel gösterimini dikkatinize sunuyoruz.

Bir açıyı belirtmek için "" açı simgesini kullanın. Bir açının kenarları küçük Latin harfleriyle belirtilmişse (örneğin, açının bir tarafı k, diğeri h), o zaman bu açıyı belirtmek için açı simgesinden sonra kenarlara karşılık gelen harfler yazılır. bir satır ve yazma sırası önemli değil (yani veya). Bir açının kenarları iki büyük Latin harfiyle gösteriliyorsa (örneğin, açının bir tarafı OA ve açının ikinci tarafı OB), o zaman açı şu şekilde gösterilir: açı simgesinden sonra üç Açının kenarlarını belirleyen harfler yazılır ve açının tepe noktasına karşılık gelen harf ortada bulunur (bizim durumumuzda açı veya olarak gösterilecektir). Bir açının tepe noktası başka bir açının tepe noktası değilse, bu durumda böyle bir açı, açının tepe noktasına karşılık gelen bir harfle (örneğin, ) gösterilebilir. Bazen çizimlerde açıların sayılarla (1, 2 vb.) işaretlendiğini, bu açıların vb. şeklinde gösterildiğini görebilirsiniz. Açıklık sağlamak için, açıların gösterildiği ve belirtildiği bir çizim sunuyoruz.

Herhangi bir açı düzlemi iki parçaya böler. Ayrıca açı döndürülmezse düzlemin bir kısmına denir. iç köşe alanı, ve diğer - dış köşe alanı. Aşağıdaki resim, düzlemin hangi kısmının köşenin iç alanına ve hangisinin dış alana karşılık geldiğini açıklamaktadır.

Açılmamış açının düzlemi böldüğü iki parçadan herhangi biri, açılmış açının iç bölgesi olarak düşünülebilir.

Bir açının iç bölgesinin tanımlanması bizi açının ikinci tanımına getirir.

Tanım.

Köşe ortak bir kökene sahip iki farklı ışından ve açının karşılık gelen iç alanından oluşan geometrik bir şekildir.

Açının ikinci tanımının daha fazla koşul içermesi nedeniyle birinciden daha katı olduğuna dikkat edilmelidir. Ancak açının ilk tanımı göz ardı edilmemeli, açının birinci ve ikinci tanımı ayrı ayrı ele alınmamalıdır. Bu noktaya açıklık getirelim. Açıdan geometrik şekil olarak bahsettiğimizde açı, orijinleri ortak olan iki ışının oluşturduğu şekil olarak anlaşılmaktadır. Bu açıyla herhangi bir işlem yapılması gerekiyorsa (örneğin, bir açıyı ölçmek), o zaman açı zaten ortak bir başlangıca ve bir iç alana sahip iki ışın olarak anlaşılmalıdır (aksi takdirde çifte bir durum ortaya çıkar). açının hem iç hem de dış alanlarının varlığı).

Komşu ve düşey açıların tanımlarını da verelim.

Tanım.

Bitişik açılar- bunlar bir tarafın ortak olduğu ve diğer ikisinin açılmamış bir açı oluşturduğu iki açıdır.

Tanımdan, açı döndürülene kadar bitişik açıların birbirini tamamladığı anlaşılmaktadır.

Tanım.

Dikey açılar- bunlar, bir açının kenarlarının diğerinin kenarlarının devamı olduğu iki açıdır.

Şekil dikey açıları göstermektedir.

Açıkçası, kesişen iki çizgi dört çift bitişik açı ve iki çift dikey açı oluşturur.

Açıların karşılaştırılması.

Makalenin bu paragrafında eşit ve eşit olmayan açıların tanımlarını anlayacağız ve ayrıca eşit olmayan açılarda hangi açının daha büyük, hangisinin küçük kabul edildiğini açıklayacağız.

İki geometrik şeklin üst üste bindirilerek birleştirilebilmesi durumunda eşit olarak adlandırıldığını hatırlayın.

Bize iki açı verilsin. “Bu iki açı eşit midir değil midir?” sorusunun cevabını bulmamıza yardımcı olacak bazı akıl yürütmeler verelim.

Açıkçası, her zaman iki köşenin köşelerini ve ayrıca ilk köşenin bir tarafını ikinci köşenin her iki tarafıyla eşleştirebiliriz. İlk açının kenarını ikinci açının kenarıyla hizalayalım, böylece açıların geri kalan kenarları, açıların birleştirilmiş kenarlarının bulunduğu düz çizginin aynı tarafında olur. Daha sonra açıların diğer iki kenarı çakışırsa açılara denir. eşit.

Açıların diğer iki kenarı çakışmıyorsa açılara denir. eşit olmayan, Ve daha küçük bir başkasının parçasını oluşturan açı dikkate alınır ( büyük tamamen başka bir açıyı içeren açıdır).

Açıkçası, iki düz açı eşittir. Ayrıca gelişmiş bir açının, gelişmemiş herhangi bir açıdan daha büyük olduğu da açıktır.

Açıların ölçülmesi.

Açıların ölçülmesi, ölçülen açının, ölçü birimi olarak alınan açıyla karşılaştırılmasına dayanır. Açıları ölçme işlemi şuna benzer: Ölçülen açının bir yanından başlayarak, iç alanı sırayla tek açılarla doldurulur ve bunlar birbirine sıkıca yerleştirilir. Aynı zamanda, ölçülen açının ölçüsünü veren döşenen açıların sayısı da hatırlanır.

Aslında herhangi bir açı, açılar için bir ölçü birimi olarak benimsenebilir. Ancak bilim ve teknolojinin çeşitli alanlarıyla ilgili genel kabul görmüş birçok açı ölçüm birimi vardır ve bunlara özel isimler verilmiştir.

Açıları ölçmek için kullanılan birimlerden biri derece.

Tanım.

Bir derece- bu, döndürülen açının yüz seksende birine eşit bir açıdır.

Bir derece "" sembolüyle gösterilir, bu nedenle bir derece olarak gösterilir.

Böylece döndürülmüş bir açıda 180 açıyı bir dereceye sığdırabiliriz. 180 eşit parçaya kesilmiş yarım yuvarlak bir pasta gibi görünecek. Çok önemli: "pastanın parçaları" birbirine sıkı bir şekilde oturur (yani, köşelerin kenarları hizalanır), ilk köşenin tarafı katlanmamış açının bir tarafıyla ve son birim açının tarafıyla hizalanır açılmamış açının diğer tarafıyla çakışır.

Açıları ölçerken, ölçülen açının iç alanı tamamen kaplanana kadar, ölçülen açıya kaç kez bir derecenin (veya başka bir açı ölçüm biriminin) yerleştirildiğini öğrenin. Daha önce de gördüğümüz gibi döndürülmüş bir açıda derece tam olarak 180 katıdır. Aşağıda, bir derecelik bir açının tam olarak 30 katına (böyle bir açı, açılmamış açının altıda biri) ve tam olarak 90 katına (açılmamış açının yarısı) uyduğu açı örnekleri verilmiştir.

Bir dereceden (veya başka bir açı ölçü birimi) daha küçük açıları ölçmek için ve açının tam sayıda dereceyle (alınan ölçü birimleri) ölçülemediği durumlarda, bir derecenin parçalarının (bir derecenin parçaları) kullanılması gerekir. alınan ölçü birimleri). Bir derecenin belirli bölümlerine özel adlar verilir. En yaygın olanı dakika ve saniye olarak adlandırılanlardır.

Tanım.

Dakika bir derecenin altmışta biridir.

Tanım.

Saniye dakikanın altmışta biridir.

Yani bir dakikada altmış saniye, bir derecede de altmış dakika (3600 saniye) vardır. “” simgesi dakikayı, “” simgesi de saniyeyi belirtmek için kullanılır (türev ve ikinci türev işaretleriyle karıştırmayın). Daha sonra tanıtılan tanım ve notasyonlarla elimizde 17 derece 3 dakika 59 saniyenin sığdığı açı 0 olarak gösterilebilir.

Tanım.

Açının derece ölçüsü bir derecenin kaç katının ve parçalarının belirli bir açıya sığdığını gösteren pozitif bir sayıdır.

Örneğin gelişmiş bir açının derece ölçüsü yüz seksen, derece ölçüsü ise şuna eşittir: .

Açıları ölçmek için özel ölçüm aletleri vardır ve bunların en ünlüsü iletkidir.

Hem açının gösterimi (örneğin, ) hem de derece ölçüsü (110 olsun) biliniyorsa, formun kısa gösterimini kullanın. ve diyorlar ki: “AOB açısı yüz on dereceye eşittir.”

Bir açının tanımlarından ve bir açının derece ölçüsünden, geometride bir açının derece cinsinden ölçüsünün (0, 180] (trigonometride, keyfi dereceli açılar) aralığındaki gerçek bir sayı ile ifade edildiği sonucu çıkar. Ölçüye bakılır, denir.) Doksan derecelik açının özel bir adı vardır, denir. dik açı. Ölçüsü 90 dereceden küçük olan açılara denir dar açı. Doksan dereceden büyük açıya denir geniş açı. Yani, dar açının derece cinsinden ölçüsü (0, 90) aralığındaki bir sayı ile ifade edilir, geniş açının ölçüsü (90, 180) aralığındaki bir sayı ile ifade edilir, dik açı eşittir doksan derece. Burada dar açı, geniş açı ve dik açının çizimleri bulunmaktadır.

Açıları ölçme prensibinden, eşit açıların derece ölçülerinin aynı olduğu, daha büyük bir açının derece ölçüsünün daha küçük olanın derece ölçüsünden daha büyük olduğu ve bir açının derece ölçüsünün birkaç açının oluşturduğu sonucu çıkar. açılar, bileşen açılarının derece ölçülerinin toplamına eşittir. Aşağıdaki şekil bu durumda AOC, COD ve DOB açılarından oluşan AOB açısını göstermektedir.

Böylece, komşu açıların toplamı yüz seksen derecedirÇünkü düz bir açı oluşturuyorlar.

Bu açıklamadan şu anlaşılıyor. Aslında, eğer AOB ve COD açıları dikey ise, o zaman AOB ve BOC açıları bitişiktir ve COD ve BOC açıları da bitişiktir, dolayısıyla eşitlikler ve geçerlidir, bu da eşitliği ima eder.

Dereceyle birlikte açılar için uygun bir ölçü birimine de denir. radyan. Radyan ölçüsü trigonometride yaygın olarak kullanılır. Bir radyanı tanımlayalım.

Tanım.

Açı bir radyan- Bu merkez açı karşılık gelen dairenin yarıçapının uzunluğuna eşit bir yay uzunluğuna karşılık gelir.

Bir radyanlık açının grafiksel gösterimini verelim. Çizimde OA yarıçapının uzunluğu (OB yarıçapının yanı sıra) AB yayının uzunluğuna eşittir, bu nedenle tanım gereği AOB açısı bir radyana eşittir.

Radyanları belirtmek için “rad” kısaltması kullanılır. Örneğin 5 rad girişi 5 radyan anlamına gelir. Bununla birlikte, yazılı olarak "rad" tanımı sıklıkla atlanır. Örneğin açının pi’ye eşit olduğu yazıldığında pi rad anlamına gelir.

Radyan cinsinden ifade edilen açının büyüklüğünün dairenin yarıçapının uzunluğuna bağlı olmadığını ayrıca belirtmekte fayda var. Bunun nedeni, belirli bir açıyla sınırlanan şekillerin ve belirli bir açının tepe noktasında merkezi olan bir daire yayının birbirine benzer olmasıdır.

Açıların radyan cinsinden ölçülmesi, açıların derece cinsinden ölçülmesiyle aynı şekilde yapılabilir: bir radyanın (ve parçalarının) bir açısının belirli bir açıya kaç kez uyduğunu öğrenin. Veya karşılık gelen merkez açının yay uzunluğunu hesaplayabilir ve ardından bunu yarıçapın uzunluğuna bölebilirsiniz.

Pratik amaçlar için, derece ve radyan ölçümlerinin birbiriyle nasıl ilişkili olduğunu bilmek faydalıdır çünkü bunların birçoğunun gerçekleştirilmesi gerekir. Bu makale, açının derece ve radyan ölçüleri arasında bir bağlantı kurar ve dereceleri radyana (veya tam tersi) dönüştürme örnekleri sağlar.

Çizimde açıların belirlenmesi.

Çizimlerde, kolaylık ve netlik sağlamak için köşeler, genellikle köşenin iç kısmında köşenin bir tarafından diğerine çizilen yaylarla işaretlenebilir. Eşit açılar aynı sayıda yay ile, eşit olmayan açılar ise farklı sayıda yay ile işaretlenir. Çizimde dik açılar, açının bir tarafından diğer tarafına dik açının iç alanında gösterilen “” gibi bir sembolle gösterilir.

Bir çizimde birçok farklı açıyı işaretlemeniz gerekiyorsa (genellikle üçten fazla), o zaman açıları işaretlerken, sıradan yaylara ek olarak, bazı özel türdeki yayların kullanılmasına izin verilir. Örneğin, pürüzlü yayları veya benzer bir şeyi tasvir edebilirsiniz.

Çizimlerde açıların belirlenmesine kapılmamanız ve çizimleri karıştırmamanız gerektiğine dikkat edilmelidir. Yalnızca çözüm veya ispat sürecinde gerekli olan açıların işaretlenmesi önerilir.

Kaynakça.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometri. 7 – 9. Sınıflar: Genel eğitim kurumları için ders kitabı.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometri. Ortaokul 10-11. sınıflar için ders kitabı.
• Pogorelov A.V., Geometri. Genel eğitim kurumlarında 7-11. sınıflar için ders kitabı.

Çok sık "Word'de onay işareti nasıl alınır?" Sorusunu duyuyorum. Cevaplar biri diğerinden daha akıllıca! En kolay yol, Alt tuşuna basmak ve onu bırakmadan yan sayısal tuş takımında 10003 sayısını yazmaktır. Ayrıca 2713 numarasını çevirip Alt X tuşuna da basabilirsiniz. Sadece bu sayıların her ikisi de birbirine eşittir: 10003 ( ondalık sayı) = 2713 ( onaltılık).

Word ve Excel'de çok çalıştığınızda, klavyeyi atmanın, fareyi kapmanın ve sonra tekrar klavyeye geçmenin zahmetli, ergonomik olmayan bir şey olduğunu anlamaya başlarsınız... - devam edin. Muhtemelen farklı düğme, kısayol tuşu vb. kombinasyonlarının icat edilmesinin nedeni budur. Bu bakımdan, yeni gerçekleştirilen herhangi bir eylemi tekrarlayan F4 işlev tuşunu gerçekten seviyorum. Örneğin metnin farklı yerlerindeki 8 kelimeyi kalın harflerle vurgulamanız gerekiyor. " harfine tıklayarak ilk kelimeyi "kalın" yapabilirsiniz.Ve" Menüde veya iki Ctrl ve b tuşuna (Rusça i harfi) aynı anda basarak. Geri kalan kelimeler için istediğiniz kelimenin herhangi bir yerine sağ tıklayın ve sol elinizle F4 tuşuna basın. “Ve yine böyle .”

Pek çok insan “makro” sözcüğünü duyunca ürperiyor ama onlarda korkutucu ya da tehlikeli hiçbir şey yok. Genel olarak makrolar çok faydalı bir şeydir! Word'de makro oluşturmak armut ayıklamak kadar kolaydır. Diyelim ki yazarken sıklıkla bir kuruluşun adını girmeniz gerekiyor: LLC "Boynuzlar ve Toynak". Veya belgenin sonuna yazdırın: Sanatçı - Vasya Pupkin. İlk metni yalnızca iki tuşa basarak ve ikinci metni hızlı erişim panelinde oluşturulan herhangi bir resmin bulunduğu düğmeye tek tıklayarak nasıl yazacağımıza bakalım.

Öyleyse deneyelim: Word'ü açın ve “Hizmet Makroları” veya “Makroları Görüntüle”yi seçin (2003 veya 2007 olmasına bağlı olarak) ve “Makro Kaydet...”e tıklayın. Görünen pencerede, makro için bir ad bulabilir ve bir açıklamasını yapabilirsiniz, ancak varsayılan adı "Makro1" olarak bırakabilir ve hiçbir şeyi istediğiniz gibi tanımlayamazsınız. Ancak klavye veya çekiç resminin bulunduğu simgeye tıklamanız gerekir. İlk durumda, sizden herhangi bir tuş kombinasyonunu bulmanız istenecek ve ikincisinde paneldeki bir düğme. İlk metin için Ctrl+P kombinasyonunu seçin (hatırlamayı kolaylaştırmak için Horns'un ilk harfini alın), ardından "Ata" ve "Kapat"a tıklayın. Pencere kaybolur ve imlecin yanında bir bant kaseti simgesi belirir; bu, "tüm hareketlerin kaydedildiği" anlamına gelir. Word 2003'te hâlâ küçük, kayan bir panel görünüyor. İlk ve son kez (daha sonra bilgisayar bunu sizin için yapacaktır), firma adının bulunduğu gerekli metni yazıp kaydı durduruyoruz. Eski Word'de - kayan paneldeki kareye tıklayarak ve yenisinde - "Görüntüle-Makrolar-Kaydı Durdur" menüsüne giderek. Şimdi ve her zaman (Office'i yeniden yükleyene veya makroyu silene kadar), seçtiğiniz tuş birleşimine basmak, makroyu kaydederken yazdıklarınızı size verecektir.

İlk aşamada çekici tıklarsanız, 2003 yılında, fareyle tutup üst menü çubuğunda herhangi bir yere sürüklemeniz ve ardından “ üzerine tıklamanız gereken standart bir makro simgesinin bulunduğu bir Ayarlar penceresi görünecektir. Seçilen nesneyi düzenle” düğmesini tıklayın ve “Düğme için bir simge seçin” satırında bir ifadeyi veya istediğiniz herhangi bir tasarımı seçin. “Düğmedeki simgeyi değiştir…” satırına tıklarsanız, zevkinize göre bir simge çizebileceğiniz basit bir grafik düzenleyici açılacaktır.

2007'de benzer bir yol vardı: Bir çekiç seçtiğinizde, Hızlı Erişim Araç Çubuğunu Yapılandırın görünür, gerektiğinde sol pencerede makroyu vurgulayın ve "Ekle" düğmesini tıklayın. Bundan sonra, sağ pencereye adınızı içeren standart bir makro simgesi eklenecektir; burada tekrar seçip "Düzenle" düğmesini tıklayabilirsiniz. Çizim seçimi eski Word'e göre daha büyük olacak, ancak kendi simgenizi çizme yeteneği kaldırıldı ve yalnızca hızlı erişim paneline yerleştirilebilir.

Diğer eylemler 2003'tekiyle aynıdır: gerekli metni yazmak ve kaydı durdurmak. İstediğiniz kadar benzer makro oluşturabilirsiniz, bunun sonucunda istediğiniz metni veya herhangi bir işlem dizisini simgenize tek bir tıklamayla elde edebileceksiniz (buna dikkat edin, hiçbir meslektaşınızda böyle bir şey yok!).

Bir metin belgesinde kalp resmi elde etmek için klavyede nasıl ve ne yazmalısınız? En kolay yol Alt tuşuna basmak ve bırakmadan klavyenin sağ tarafındaki 3 rakamına basmaktır. Başka bir yol: 2665 numarasını çevirin ve Alt+x tuş kombinasyonuna basın. Kalp almak için 2765, 2764 veya 2661 rakamlarını da çevirebilirsiniz.Gürcü alfabesinin harflerinden biri olan ღ, kalbe çok benzemektedir ve 10E5 (E - Latin) kodunu yazıp Alt tuşuna basılarak elde edilebilir. +x.

Genel olarak herhangi bir karakteri elde etmek için onu yazmanız yeterlidir ASCII kodunu girin ve Alt+x tuşlarına basın. Örneğin, “$” dolar işaretini yazdırmak için İngilizce yazı tipine geçmeden 24 sayısını yazıp ardından tuşuna basmak daha kolay ve hızlıdır. Alt+x. Toplam işaretini “∑” (kod - 2211), açı sembolünü “∠” (kod - 2220), yaklaşık eşitliği hızlı bir şekilde elde edebilirsiniz.« ≈ » (kod - 2248), çeşitli oklar vb. Bu yüzden bazen “köpek” kelimesi yerine @ anlamına gelen “kırk alt x” diyorlar.

Bazı karakterlerin kod tablosunu burada bulabilirsiniz:

Bir noktadan çıkan iki ışın, ışınların arasında bulunan düzlemin bir kısmını sınırlar. Oluşan şekle açı denir. Işınların başlangıç ​​noktasında ortak bir tepe noktasına sahip olan ışınlara açının kenarları denir. Açının tepe noktası ışınların başlangıç ​​noktasında bulunur.

Köşe - düzlemin bir noktadan çıkan iki ışınla sınırlanan kısmı.

Köşe köşesi, kenarları ve kendi derece ölçüsü olan geometrik bir şekildir.

Düzlem açının kenarlarına göre iki parçaya bölünmüştür. Açıların küçüğüne iç, büyüğüne dış denir. Hangi köşeden bahsettiğimize dair farklı yorumlardan kaçınmak için çizimdeki kenarları bir yay ile birbirine bağlanmıştır. (resmi görmek)

Açının açısal ölçüsü

• eşit açılar eşit açısal ölçülere karşılık gelir;
• daha küçük bir açı, daha küçük bir açı ölçüsüne karşılık gelir;
• kenarları çakışan bir açının (sıfır açı) açısal ölçüsü sıfıra eşittir (aynı şey paralel çizgiler arasındaki açı için de geçerlidir);
• sıfır olmayan her açının sıfırdan büyük belirli bir açısal ölçüsü vardır;
• (toplamsallık) bir açının açısal ölçüsü, kenarları arasından geçen herhangi bir ışın tarafından bölündüğü açıların açısal ölçülerinin toplamına eşittir (bkz. açıların ölçülmesi aksiyomu).

1 devir = 360 derece = 2π radyan = 400 derece

Kenarları çakışan bir açı düşünün ( ∠ VAV1 ). Derece ölçüsü 0°'dir

Açının bir tarafı ( AB ) sabitleyin ve ikinci tarafı ( AB 1 ) birinci tarafa (AB) denk gelene kadar saat yönünün tersine döndürün, o zaman böyle bir açının düzlemi şöyle olacaktır: tam açı(Şekil 5). Bu nedenle açı A (belirtilen ∠ A ) bir tam açıdır.

Açı tanımı

Bir açı, açının işaretinin ve tepe noktasının birleşimi olarak gösterilebilir, örneğin ∠ A ; (Şekil 1)

Ayrıca açı Latin büyük harfleri kullanılarak da belirtilebilir. Örneğin ∠ABC- bu, kenarları BA ve BC ışınları olan B köşesiyle bir açıdır (Şekil 2).

Açının kenarlarını gösteren açı simgesi gibi bir tanımlama olabilir (örneğin ∠ ab ). (Şek. 3)

Açı Yunan harfleriyle gösterilebilir α, β, γ ve benzeri. (Şekil 4) Tek istisna “π” harfidir. Açıları belirtmek için kullanılmaz.

Açının derece ölçüsü

Bir tam açıyı alıp 360 parçaya (açıya) bölerseniz, o zaman onu oluşturan her parça 1/360 tam açının bir kısmına köşe yarıçapı denir (1° ile gösterilir).

Bu nedenle toplam açı 1'dir ° *360=360°.

Yarım tam açı, 360°:2=180°'ye eşit olan düz bir açı olacaktır.

Merkezi ve yazılı açılar

Yazılı açı köşesi çember üzerinde bulunan ve kenarları çemberle kesişen açıdır (Şekil 1). Böyle bir açının boyutu, kenarları arasında yer alan bir daire yayının açısal ölçüsünün yarısına eşittir.

Bir daireye yazılan açıların özellikleri:

• Bir dairenin aynı yayını gören yazılı açılar eşittir.
• Bir dairenin aynı yayının merkez açı olarak gördüğü yazılı açının büyüklüğü, böyle bir merkez açının büyüklüğünün yarısına eşittir.

Açı, tüm konu boyunca analiz edeceğimiz ana geometrik şekildir. Açının tanımı, ayar yöntemleri, gösterimi ve ölçümü. Çizimlerde köşeleri vurgulama ilkelerine bakalım. Teorinin tamamı resimlendirilmiştir ve çok sayıda görsel çizime sahiptir.

Köşe– geometride basit ve önemli bir figür. Açı doğrudan bir ışının tanımına bağlıdır ve bu da bir nokta, bir düz çizgi ve bir düzlemin temel kavramlarından oluşur. Kapsamlı bir çalışma için konuları daha derinlemesine incelemeniz gerekir. düzlemde düz çizgi - gerekli bilgiler Ve uçak - gerekli bilgiler.

Açı kavramı, bu düzlem üzerinde tasvir edilen nokta, düzlem ve doğru kavramlarıyla başlar.

Tanım 2

Düzlemde verilen bir düz çizgi. Üzerinde belli bir O noktasını gösterelim. Düz bir çizgi, bir nokta ile her birinin bir adı olan iki parçaya bölünür. ışın ve O noktası – ışının başlangıcı.

Başka bir deyişle ışın veya yarı düz – başlangıç ​​noktasına, yani O noktasına göre aynı tarafta bulunan belirli bir çizginin noktalarından oluşan bir çizginin parçasıdır.

Kiriş tanımına iki varyasyonda izin verilir: Latin alfabesinin bir küçük harfi veya iki büyük harfi. Kiriş iki harfle tanımlandığında iki harften oluşan bir isme sahiptir. Çizime daha yakından bakalım.

Açı belirleme kavramına geçelim.

Tanım 3

Köşe belirli bir düzlemde bulunan ve ortak bir kökene sahip iki farklı ışının oluşturduğu bir şekildir. Açı tarafı bir ışındır tepe noktası– kenarların ortak kökeni.

Bir açının kenarlarının düz bir çizgi gibi davranabileceği bir durum vardır.

Tanım 4

Bir açının her iki tarafı da aynı düz çizgide olduğunda veya kenarları bir düz çizginin ek yarım çizgileri olarak hizmet ettiğinde, böyle bir açıya denir. genişletilmiş.

Aşağıdaki resim döndürülmüş bir köşeyi göstermektedir.

Düz bir çizgi üzerindeki nokta, bir açının tepe noktasıdır. Çoğu zaman O noktası ile gösterilir.

Matematikte bir açı “∠” işaretiyle gösterilir. Bir açının kenarları küçük Latin harfleriyle gösterildiğinde, açıyı doğru bir şekilde belirlemek için harfler kenarlara karşılık gelen bir sıra halinde yazılır. İki kenar k ve h olarak gösterilirse, açı ∠ k h veya ∠ h k olarak gösterilir.

Tanım büyük harflerle yazıldığında, açının kenarları sırasıyla O A ve O B olarak adlandırılır. Bu durumda açının, Latin alfabesinin üç harfinden oluşan, ortada bir tepe noktasıyla arka arkaya yazılan bir adı vardır - ∠ A O B ve ∠ B O A. Açıların isimleri veya harf işaretleri olmadığında sayı şeklinde bir işaret vardır. Aşağıda açıların farklı şekillerde gösterildiği bir resim bulunmaktadır.

Açı, düzlemi iki parçaya böler. Açı döndürülmezse düzlemin bir kısmına denir. iç köşe alanı, diğeri - dış köşe alanı. Aşağıda düzlemin hangi kısımlarının dış, hangilerinin iç olduğunu açıklayan bir resim bulunmaktadır.

Bir düzlem üzerinde gelişmiş bir açıyla bölündüğünde, parçalarından herhangi biri gelişmiş açının iç bölgesi olarak kabul edilir.

Açının iç alanı, açının ikinci tanımına hizmet eden bir unsurdur.

Tanım 5

Açı ortak bir kökene ve bunlara karşılık gelen bir iç açı alanına sahip iki farklı ışından oluşan geometrik şekle denir.

Bu tanım, daha fazla koşula sahip olduğundan öncekine göre daha katıdır. Her iki tanımın ayrı ayrı ele alınması önerilmez çünkü açı, bir noktadan çıkan iki ışın kullanılarak dönüştürülen geometrik bir şekildir. Belirli bir açıyla eylemlerin gerçekleştirilmesi gerektiğinde tanım, ortak bir başlangıca ve bir iç alana sahip iki ışının varlığı anlamına gelir.

İki açıya denir bitişik, ortak bir kenar varsa ve diğer ikisi ek yarım çizgilerse veya düz bir açı oluşturuyorsa.

Şekilde komşu açıların birbirinin devamı olması nedeniyle birbirini tamamladığı görülmektedir.

Tanım 7

İki açıya denir dikey Birinin kenarları diğerinin tamamlayıcı yarım çizgileriyse veya diğerinin kenarlarının devamıysa. Aşağıdaki resim dikey açıların bir görüntüsünü göstermektedir.

Düz doğrular kesiştiğinde 4 çift komşu ve 2 çift düşey açı elde edilir. Aşağıda resimde gösterilmektedir.

Makale eşit ve eşit olmayan açıların tanımlarını göstermektedir. Hangi açının büyük, hangisinin küçük olduğuna ve açının diğer özelliklerine bakalım. Üst üste bindirildiğinde tamamen çakışmaları durumunda iki rakam eşit kabul edilir. Aynı özellik açıların karşılaştırılması için de geçerlidir.

İki açı verilmiştir. Bu açıların eşit olup olmadığı sonucuna varmak gerekir.

İki açının köşelerinin ve birinci açının kenarlarının ikinci açının herhangi bir kenarı ile örtüştüğü bilinmektedir. Yani açılar üst üste bindirildiğinde tam bir tesadüf varsa, verilen açıların kenarları tamamen hizalanacak, açılar eşit.

Üst üste bindirildiğinde kenarlar hizalanmayabilir, ardından köşeler eşit olmayan, daha küçük diğeri diğerinden oluşur ve Daha tamamen farklı bir açı içeriyor. Aşağıda, üst üste bindirildiğinde hizalanmayan eşit olmayan açılar bulunmaktadır.

Doğru açılar eşittir.

Açıların ölçülmesi, açının ölçülecek tarafının ve iç alanının ölçülüp, birim açılarla doldurulması ve bunların birbirine uygulanmasıyla başlar. Döşenen açıların sayısını saymak gerekir, ölçülen açının ölçüsünü önceden belirlerler.

Açı birimi ölçülebilir herhangi bir açıyla ifade edilebilir. Bilim ve teknolojide kullanılan genel kabul görmüş ölçü birimleri vardır. Diğer başlıklarda uzmanlaşırlar.

En sık kullanılan kavram derece.

Tanım 8

Bir derece Bir doğru açının yüz seksende biri olan açıya denir.

Bir derecenin standart tanımı “°” olup, bir derece 1°'dir. Dolayısıyla bir düz açı, bir derecelik 180 adet açıdan oluşur. Mevcut tüm köşeler birbirine sıkıca yerleştirilmiştir ve bir öncekinin kenarları bir sonrakiyle aynı hizadadır.

Bir açıdaki derece sayısının açının ölçüsü olduğu bilinmektedir. Açılmamış bir açının bileşiminde 180 yığılmış açı bulunur. Aşağıdaki şekil, açının 30 kez, yani açılmanın altıda biri ve 90 kez, yani yarısı kadar döşendiği örnekleri göstermektedir.

Açıları doğru bir şekilde ölçmek için dakikalar ve saniyeler kullanılır. Açı değeri tam derece ataması olmadığında kullanılırlar. Bir derecenin bu kesirleri daha doğru hesaplamalara izin verir.

Tanım 9

Bir dakika içinde derecenin altmışta biri denir.

Tanım 10

Bir saniye içinde dakikanın altmışta biri denir.

Bir derece 3600 saniyeden oluşur. Dakikalar """, saniyeler ise """ olarak belirtilir. Belirleme şu şekilde gerçekleşir:

1° = 60" = 3600"" , 1" = (1 60)° , 1" = 60"" , 1 "" = (1 60) " = (1 3600)° ,

ve 17 derece 3 dakika 59 saniyelik açının tanımı 17 ° 3 "59"dur.

Tanım 11

17 ° 3 "59 "" değerine eşit bir açının derece ölçüsünün belirlenmesine bir örnek verelim. Girişin başka bir formu vardır: 17 + 3 60 + 59 3600 = 17 239 3600.

Açıları doğru bir şekilde ölçmek için iletki gibi bir ölçüm cihazı kullanın. ∠ A O B açısını ve 110 derecelik derece ölçüsünü belirtirken, "A O B açısı 110 dereceye eşittir" şeklinde daha uygun bir gösterim kullanılır: ∠ A O B = 110 °.

Geometride (0, 180] aralığından bir açı ölçüsü kullanılır ve trigonometride keyfi bir derece ölçüsü denir. dönme açıları. Açıların değeri her zaman gerçek sayı olarak ifade edilir. Dik açı- Bu 90 derecelik bir açıdır. Keskin köşe- 90 dereceden küçük bir açı ve köreltmek- Daha.

Dar açı (0, 90) aralığında ve geniş açı - (90, 180) ölçülür. Aşağıda üç tip açı açıkça gösterilmiştir.

Herhangi bir açının herhangi bir derece ölçüsü aynı değere sahiptir. Daha büyük bir açı, daha küçük bir açıya göre daha büyük bir derece ölçüsüne sahiptir. Bir açının derece ölçüsü, iç açıların mevcut tüm derece ölçülerinin toplamıdır. Aşağıda AOC, COD ve DOB açılarından oluşan AOB açısını gösteren şekil bulunmaktadır. Ayrıntılı olarak şu şekilde görünür: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45° + 30° + 60° = 135°.

Buna dayanarak şu sonuca varabiliriz toplam herkes komşu açılar 180 dereceye eşittir,çünkü hepsi düz bir açı oluşturuyor.

Bundan şu sonuç çıkıyor: herhangi dikey açılar eşittir. Bunu örnek olarak ele alırsak, A O B ve C O D açılarının dikey olduğunu (çizimde) buluruz, bu durumda A O B ve B O C, C O D ve B O C açı çiftlerinin bitişik olduğu kabul edilir. Bu durumda, ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° eşitliği ile ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° eşitliği benzersiz bir şekilde doğru kabul edilir. Dolayısıyla ∠ A O B = ∠ C O D'ye sahibiz. Aşağıda dikey yakalayıcıların görüntüsü ve tanımının bir örneği bulunmaktadır.

Derece, dakika ve saniyenin yanı sıra başka bir ölçü birimi de kullanılır. denir radyan. Çoğu zaman çokgenlerin açılarını belirtirken trigonometride bulunabilir. Radyan neye denir?

Tanım 12

Bir radyan açı bir dairenin yarıçapı yayın uzunluğuna eşit olan merkez açıya denir.

Şekilde radyan, bir nokta ile gösterilen bir merkezin bulunduğu, daire üzerinde iki noktanın birbirine bağlandığı ve O A ve O B yarıçaplarına dönüştürüldüğü bir daire olarak gösterilmiştir. Tanım gereği, bu A O B üçgeni eşkenardır, yani eşkenardır. A B yayının uzunluğu O B ve O A yarıçaplarının uzunluklarına eşittir.

Açının tanımı “rad” olarak alınır. Yani 5 radyan yazmak 5 rad olarak kısaltılır. Bazen pi adı verilen bir gösterimi bulabilirsiniz. Radyanlar belirli bir dairenin uzunluğuna bağlı değildir, çünkü rakamlar açı ve belirli bir açının tepe noktasında bulunan merkezle yayı ile belirli bir sınırlamaya sahiptir. Benzer sayılırlar.

Radyanlar derecelerle aynı anlama gelir, yalnızca büyüklükleri farklıdır. Bunu belirlemek için, merkez açının hesaplanan yay uzunluğunu yarıçapının uzunluğuna bölmek gerekir.

Pratikte kullanıyorlar dereceleri radyana ve radyanları dereceye dönüştürme daha rahat problem çözümü için. Bu makale, derece ölçüsü ile radyan arasındaki bağlantı hakkında bilgiler içerir; burada dereceden radyana ve tam tersi dönüşümleri ayrıntılı olarak inceleyebilirsiniz.

Çizimler, yayları ve açıları görsel ve uygun bir şekilde tasvir etmek için kullanılır. Bunu veya bu açıyı, yayı veya adı doğru bir şekilde tasvir etmek ve işaretlemek her zaman mümkün değildir. Eşit açılar aynı sayıda yay ile, eşit olmayan açılar ise farklı sayılarla gösterilir. Çizimde dar, eşit ve eşit olmayan açıların doğru gösterimi gösterilmektedir.

3'ten fazla köşenin işaretlenmesi gerektiğinde dalgalı veya pürüzlü gibi özel yay sembolleri kullanılır. O kadar önemli değil. Aşağıda atamalarını gösteren bir resim bulunmaktadır.

Açı sembolleri diğer anlamlara müdahale etmeyecek şekilde basit tutulmalıdır. Bir sorunu çözerken, çizimin tamamını karıştırmamak için yalnızca çözüm için gerekli açıların vurgulanması önerilir. Bu durum çözüme ve ispata engel olmayacağı gibi çizime estetik bir görünüm de kazandıracaktır.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.