10'a bölünebilme. Doğal sayıların bölünebilirliği

"Çokluk" terimi matematik alanını ifade eder: Bu bilim açısından bakıldığında, belirli bir sayının başka bir sayının parçası olduğu sayı anlamına gelir.

Çokluk kavramı

“Çokluk” teriminin bu şekilde anlaşılması birçok önemli sonucun ortaya çıkmasını gerektirir. Bunlardan ilki, herhangi bir sayının sınırsız sayıda katının bulunabilmesidir. Bunun nedeni, aslında belirli bir sayının katı olan başka bir sayı elde etmek için, bunlardan ilkini herhangi bir pozitif tam sayı değeriyle çarpmak gerektiği ve bunun da sonsuz olduğu gerçeğidir. sayı. Örneğin 3 sayısının katları, 6, 9, 12, 15 ve diğerleri sayılarıdır ve 3 sayısının herhangi bir pozitif tam sayı ile çarpılmasıyla elde edilir.

İkinci önemli özellik, söz konusu sayının katı olan en küçük tam sayının belirlenmesiyle ilgilidir. Yani herhangi bir sayının en küçük katı o sayının kendisidir. Bunun nedeni, bir sayıyı diğerine bölmenin en küçük tam sayı sonucunun bir olmasıdır ve bu sonucu sağlayan da bir sayının kendisine bölünmesidir. Buna göre, sayılanın katı olan sayı, bu sayının kendisinden küçük olamaz. Örneğin 3 sayısının en küçük katı 3'tür. Ancak söz konusu sayının en büyük katını belirlemek neredeyse imkansızdır.

10'un katı olan sayılar

10'un katı olan diğer sayıları elde etmek için 10 sayısını herhangi bir pozitif tam sayı ile çarpmanız gerekir. Böylece 10'un katı olan sayıların listesi 20, 30, 40, 50 vb. sayıları içerecektir. Elde edilen tüm sayıların 10'a kalansız bölünmesi gerektiğini unutmayın. Ancak diğer sayılarda olduğu gibi 10'un katı olan en büyük sayıyı belirlemek mümkün değildir.

Ayrıca, söz konusu sayının son rakamının ne olduğunu bularak, söz konusu sayının 10'un katı olup olmadığını belirlemenin basit ve pratik bir yolu olduğunu unutmayın. Yani 0'a eşitse söz konusu sayı 10'un katı olacaktır, yani 10'a kalansız bölünebilir. Aksi halde sayı 10'un katı değildir.

Sayıların bölünebilme işaretleri Sayıların dijital gösterimi ile ilgili problemleri hızlı bir şekilde çözmek için 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 ve diğer sayıları bilmek faydalıdır. Bir sayıyı diğerine bölmek yerine, bir sayının diğerine bölünebilir olup olmadığını (kat olup olmadığını) kesin olarak belirleyebileceğiniz bir dizi işareti kontrol etmek yeterlidir.

Bölünebilmenin temel işaretleri

Hadi verelim sayıların bölünebilirliğinin temel işaretleri:

• Bir sayının “2”ye bölünebilme testi Bir sayı çift ise (son rakamı 0, 2, 4, 6 veya 8 ise) 2'ye bölünür.
  Örnek: 1256 sayısı 6 ile bittiği için 2'nin katıdır. Ancak 49603 sayısı 3 ile bittiği için 2'ye tam olarak bölünemez.
• Bir sayının “3”e bölünebilme testi Bir sayının rakamlarının toplamı 3'e bölünüyorsa 3'e bölünür
  Örnek: 4761 sayısı rakamlarının toplamı 18 olduğundan 3'e tam bölünür. 143 sayısı da rakamlarının toplamı 8 olduğundan 3'ün katı değildir. 3.
• Bir sayının “4”e bölünebilme testi Bir sayının son iki rakamı sıfırsa veya son iki rakamından oluşan sayı 4'e bölünüyorsa sayı 4'e bölünür
  Örnek: 2344 sayısı 4'ün katıdır çünkü 44/4 = 11'dir. Ve 3951 sayısı 4'e bölünmediği için 4'e bölünmez.
• Bir sayının “5”e bölünebilme testi Bir sayının son rakamı 0 veya 5 ise 5'e bölünür
  Örnek: 5830 sayısı 0 ile bittiği için 5'e bölünür. Ancak 4921 sayısı 1 ile bittiği için 5'e bölünemez.
• Bir sayının “6”ya bölünebilme testi Bir sayı 2 ve 3'e bölünüyorsa 6'ya da bölünür.
  Örnek: 3504 sayısı 4 ile bittiği için 6'nın katıdır (2'ye bölünür) ve sayının rakamları toplamı 12 olup 3'e tam bölünür (3'e bölünür). Ve 5432 sayısı 6'ya tam olarak bölünmez, sayı 2 ile bitse de (2'ye bölünme kriteri gözetilir), ancak rakamların toplamı 14'tür ve 3'e tam olarak bölünemez.
• Bir sayının “8”e bölünebilme testi Bir sayının son üç rakamı sıfırsa veya sayının son üç rakamından oluşan sayı 8'e bölünüyorsa sayı 8'e bölünür.
  Örnek: 112 / 8 = 14 olduğundan 93112 sayısı 8'e bölünür. Ve 212 8'e bölünemediğinden 9212 sayısı 8'in katı değildir.
• Bir sayının “9”a bölünebilme testi Bir sayının rakamlarının toplamı 9'a bölünüyorsa bu sayı 9'a bölünür
  Örnek: 2916 sayısı rakamları toplamı 18 olduğundan 9'a tam bölünebildiğinden 9'un katıdır. 831 sayısı da 9'a tam bölünemez çünkü sayının rakamları toplamı 12'dir ve 9'a bölünmez.
• Bir sayının “10”a bölünebilme testi Bir sayının sonu 0 ile bitiyorsa 10'a bölünür
  Örnek: 39590 sayısı 0 ile bittiği için 10'a bölünür. 5964 sayısı ise 0 ile bitmediği için 10'a tam bölünemez.
• Bir sayının “11”e bölünebilirliğini test edin Bir sayının tek basamaklarındaki rakamların toplamı çift basamaklardaki rakamların toplamına eşitse veya toplamlar 11'e eşitse, sayı 11'e bölünebilir.
  Örnek: 3 + 6 = 7 + 2 = 9 olduğundan 3762 sayısı 11'e bölünür. Ancak 2 + 7 = 9 ve 3 + 4 = 7 olduğundan 2374 sayısı 11'e bölünemez.
• Bir sayının “25”e bölünebilme testi Bir sayı 00, 25, 50 veya 75 ile bitiyorsa 25'e tam bölünür
  Örnek: 4950 sayısı 50 ile bittiği için 25'in katıdır. 4935 sayısı da 35 ile bittiği için 25'e bölünemez.

Bileşik sayıya bölünebilme işaretleri

Belirli bir sayının bir bileşik sayıya bölünüp bölünemeyeceğini bulmak için bu bileşik sayıyı çarpanlarına ayırmanız gerekir. eş asal faktörler bölünebilme işaretleri bilinen maddelerdir. Eş asal sayılar, 1'den başka ortak böleni olmayan sayılardır. Örneğin, bir sayı 3 ve 5'e bölünebiliyorsa 15'e de bölünebilir.

Bileşik bölenin başka bir örneğini ele alalım: Bir sayı, eğer 2 ve 9'a bölünebiliyorsa, 18'e de bölünebilir. Bu durumda, 18'i 3 ve 6'ya ayıramazsınız çünkü bunlar ortak bölenlere sahip oldukları için aralarında asal değildirler. 3. Bunu örnekle doğrulayalım.

456 sayısı rakamlarının toplamı 15 olduğu için 3'e, hem 3'e hem de 2'ye bölünebildiği için 6'ya bölünür. Ama 456'yı 18'e elle bölerseniz kalan elde edersiniz. 456 sayısı için 2 ve 9'a bölünebilme işaretlerini kontrol ederseniz, sayının rakamlarının toplamı 15 olduğu ve sayıya bölünemediği için 2'ye bölünebildiğini ancak 9'a bölünmediğini hemen görebilirsiniz. 9.

Bölünebilme işaretleri hakkındaki konuşmaya devam edelim. Bu materyalde bir sayının 1000, 100 vb. ile bölünebilirliğini belirlemek için hangi kriterlerin kullanılabileceğini inceleyeceğiz. İlk paragrafta bunları formüle edeceğiz, birkaç örnek alacağız ve ardından gerekli kanıtları sunacağız. Sonlara doğru matematiksel tümevarım ve Newton'un binom formülünü kullanarak 1000, 100, 10'a bölünebilirliği kanıtlamaya bakacağız.

10, 100 vb. ile bölünebilme kriterinin formülasyonu. örneklerle

Öncelikle 10'a bölünebilme testinin formülünü yazalım:

Tanım 1

Bir sayı 0 ile bitiyorsa 10'a kalansız bölünebilir, başka bir sayıyla bitiyorsa bölünemez.

Şimdi 100'e bölünebilme testini yazalım:

Tanım 2

Sonu iki sıfırla biten bir sayı 100'e kalansız bölünebilir. Sondaki iki rakamdan en az biri sıfır değilse, böyle bir sayı 100'e kalansız bölünemez.

Aynı şekilde bine, 10 bine vb. bölünebilme işaretlerini de türetebiliriz: bölendeki sıfır sayısına bağlı olarak sayının sonunda karşılık gelen sıfır sayısına ihtiyacımız var.

0 herhangi bir tam sayıya (yüz, bin veya on bin) bölünebileceğinden bu özelliklerin 0'a genişletilemeyeceğini unutmayın.

Bu işaretlerin problem çözmede kullanımı kolaydır çünkü orijinal sayıdaki sıfır sayısını saymak zor değildir. Bu kuralların pratikte uygulanmasına ilişkin birkaç örnek alalım.

örnek 1

Durum: 500, − 1.010, − 50.012, 440.000, 300.000, 67.893 dizilerinden hangi sayıların 10, 10.000'e kalansız bölünebileceğini ve hangilerinin 100'e bölünemeyeceğini belirleyin.

Çözüm

10'a bölünebilme kriterine göre belirtilen sayılardan üçüyle (-1.010, 440.000, 300.000, 500) böyle bir işlem yapabiliriz, çünkü hepsi sıfırla biter. Ama -50,012 ve 67,893 için, sonunda 2 ve 3 olduğu için, kalan olmadan böyle bir bölme yapamayız.

Burada yalnızca bir sayı 10 bin - 440.000.300.000'e bölünebilir, çünkü yalnızca sonunda yeterli sayıda sıfır vardır (4). 100'e bölünebilme işaretini bildiğimiz için -1,010, -50,012 ve 67,893 sayılarının sonunda iki sıfır olmadığı için yüze bölünemez diyebiliriz.

Cevap: 500, − 1.010, 440.000, 300.000 sayıları 10'a bölünebilir; 10.000 başına – sayı 440.000 300.000; 1.010, − 50.012 ve 67.893 sayıları 100'e bölünemez.

10, 100, 1000 vb. ile bölünebilme işaretleri nasıl kanıtlanır?

Bunu kanıtlamak için doğal sayıları 100, 10 vb. ile doğru bir şekilde nasıl çarpacağımızı ve ayrıca bölünebilirlik kavramının ne olduğunu ve hangi özelliklere sahip olduğunu hatırlamamız gerekecek.

Öncelikle bir sayının 10'a bölünebilme testinin ispatını verelim. Kolaylık olması açısından bunu teorem şeklinde yazacağız yani gerekli ve yeterli koşul olarak sunacağız.

Tanım 3

Bir tam sayının 10'a bölünüp bölünemeyeceğini belirlemek için son rakamına bakmanız gerekir. 0'a eşitse, geri kalansız böyle bir bölme mümkündür, başka bir rakamsa mümkün değildir.

Bu koşulun gerekliliğini kanıtlayarak başlayalım. Diyelim ki belirli bir a sayısının 10'a bölünebileceğini biliyoruz. Sonunun 0 ile bittiğini kanıtlayalım.

a, 10'a bölünebildiğine göre, bölünebilirlik kavramına göre eşitliğin doğru olacağı bir q tamsayısının olması gerekir. a = 10q. 10 ile çarpma kuralını unutmayın: çarpım 10 çeyrek q'nun sağına sıfır eklenerek yazılabilen bir tam sayı olmalıdır. Bu, sayıların kaydedilmesinde şu anlama gelir: a = 10q sonuncusu 0 olacaktır. Gereklilik kanıtlanmış sayılabilir; o zaman yeterliliği kanıtlamamız gerekir.

Diyelim ki sonunda 0 olan bir tamsayımız var. 10'a bölünebildiğini kanıtlayalım. Bir tam sayının son rakamı sıfır ise, 10 ile çarpma kuralına göre şu şekilde temsil edilebilir: a = a 1 10. İşte numara 1 son rakamın çıkarıldığı a'dan elde edilir. Eşitlikten bölünebilirliğin tanımı gereği a = a 1 10 a'nın 10'a bölünmesini takip edeceğiz. Böylece koşulun yeterliliğini kanıtlamış olduk.

Diğer bölünebilirlik işaretleri de aynı şekilde kanıtlanır - 100, 1000 vb.

1000, 100, 10 vb. ile bölünebilmenin diğer durumları.

Bu paragrafta 10'a bölünebilmeyi belirlemenin diğer yollarından bahsedeceğiz. Yani başlangıçta bize sayı değil harf ifadesi verilirse yukarıdaki özellikleri kullanamayız. Burada diğer çözüm yöntemlerini uygulamanız gerekiyor.

Bu tür ilk yöntem Newton'un binom formülünü kullanmaktır. Bu sorunu çözelim.

Örnek 2

Durum: n'nin herhangi bir doğal değeri için 11n + 20n - 21'in 10'a bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.

Çözüm

Öncelikle 11'i 10 ve birlerin toplamı olarak düşünelim ve ardından gerekli formülü kullanalım.

11 n + 20 n - 21 = (10 + 1) n + 20 n - 21 = = C n 0 · 10 n + C n 1 · 10 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 10 2 10 n - 2 + C n n - 1 10 1 n - 1 + C n n 1 n + + 20 n - 21 = = 10 n + C n 1 10 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 · 10 2 · n · 10 + 1 + + 20 n - 21 = = 10 n + C n 1 · 10 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 · 10 2 + 30 n - 20 = = 10 · 10 n - 1 + C n 1 · 10 n - 2 + . . . + C n n - 2 10 1 + 3 n - 2

Orada karşılık gelen bir faktör olduğu için 10'a bölünebilen bir ifade elde ettik. Parantez içindeki ifadenin değeri, n'nin herhangi bir doğal değeri için bir doğal sayı olacaktır. Bu, orijinal 11 n + 20 n - 21 ifadesinin herhangi bir doğal n için ona bölünebileceği anlamına gelir.

Cevap: bu ifade 10'a bölünebilir.

Bu durumda uygulanabilecek diğer bir yöntem ise matematiksel tümevarımdır. Bunun nasıl yapıldığını göstermek için örnek bir görev kullanalım.

Örnek 3

Durum: Herhangi bir n doğal sayısı için 11 n + 20 n - 21'in 10'a bölünebilir olup olmadığını öğrenin.

Çözüm

Matematiksel tümevarım yöntemini uygulayalım. Eğer n bire eşitse, 11 n + 20 n - 21 = 11 1 + 20 · 1 - 21 = 10 elde ederiz. Onu ona bölmek mümkündür.

n = k olduğunda 11 n + 20 n - 21 ifadesinin 10'a bölüneceğini, yani 11 k + 20 k - 21'in 10'a bölünebileceğini varsayalım.

Daha önce yapılan varsayımı dikkate alarak 11 n + 20 n - 21 ifadesinin n = k + 1 olduğunda 10'a bölünebildiğini kanıtlamaya çalışalım. Bunu yapmak için onu şu şekilde dönüştürmemiz gerekir:

11 bin + 1 + 20 bin + 1 - 21 = 11 11 bin + 20 bin - 1 = 11 11 bin + 20 bin - 21 - 200 bin + 230 = 11 11 bin + 20 bin - 21 - 10 · 20 bin - 23

Bu farktaki 11 · 11 k + 20 k - 21 ifadesi 10'a bölünebilir, çünkü böyle bir bölme 11 k + 20 k - 21 için de mümkündür ve 10 · 20 k - 23 de 10'a bölünür, çünkü bu ifade 10 faktörünü içerir. Bundan tüm farkın 10'a bölünebildiği sonucunu çıkarabiliriz. Bu, n'nin herhangi bir doğal değeri için 11 n + 20 n - 21'in 10'a bölünebileceğinin kanıtı olacaktır.

n değişkenli bir polinomun 10'a bölünebilir olup olmadığını kontrol etmemiz gerekirse aşağıdaki yaklaşıma izin verilir: n = 10 m için n = 10 m + 1, ..., n = 10 m + 9 olduğunu kanıtlarız, m bir tamsayı olduğunda orijinal ifadenin değeri 10'a bölünebilir. Bu bize böyle bir ifadenin herhangi bir n tamsayısı için bölünebilirliğini kanıtlayacaktır. Bu yöntemin kullanıldığı kanıtların birkaç örneğini, üçe bölünebilmenin diğer durumlarıyla ilgili makalede bulabilirsiniz.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Bu yazıda inceleyeceğiz 10, 100, 1.000 ile bölünebilme işaretleri ve benzeri. Öncelikle bunların formülasyonlarını veriyoruz ve bu bölünebilme kriterlerinin uygulanmasına ilişkin örnekler veriyoruz. Bundan sonra 10, 100, 1.000, vb. ile bölünebilme işaretlerini kanıtlayacağız. Sonuç olarak 10, 100, 1.000 vb. ile bölünebilirlik kanıt örneklerini ele alacağız. Newton'un binom formülünü ve matematiksel tümevarım yöntemini kullanarak.

Sayfada gezinme.

10, 100, 1.000 vb. ile bölünebilme işaretleri, örnekler

Önce formüle edelim 10'a bölünebilme testi: Bir tamsayının son rakamı 0 ise o sayı 10'a bölünür; Bir sayının son rakamı 0'dan farklı ise bu sayı 10'a bölünemez.

100'e bölünebilme testinin formülasyonuşu şekildedir: Bir tam sayının son iki basamağı sıfır ise o sayı 100'e bölünür; Bir sayının son iki rakamından en az biri 0'dan farklıysa bu sayı 100'e bölünür.

1.000'e, 10.000'e vb. bölünebilme kriterleri de benzer şekilde formüle edilmiştir; bunlar yalnızca bir tamsayı gösterimindeki son üç, dört vb. sıfırlarla ilgilidir.

Ayrı olarak, verilen bölünebilirlik işaretlerinin 10, 100, 1.000 vb. yalnızca sıfır sayısına uygulanmaz. Sıfırın herhangi bir tam sayıya bölünebileceğini biliyoruz. Özellikle sıfır, 10'a, 100'e, 1000'e vb. bölünebilir.

Belirtilen 10, 100, 1.000, ... ile bölünebilme işaretlerinin pratikte uygulanması çok kolay ve uygundur; bunu yapmak için sayıdaki gerekli son rakam sayısını incelemeniz gerekir. Hadi düşünelim 10, 100, 1.000'e bölünebilme kriterlerini kullanma örnekleri, …

Örnek.

500, −1,010, −50,012, 440,000, 300,000, 67,893 tam sayılarından hangileri 10'a bölünebilir? Bu sayılardan hangisi 10.000'e tam bölünür? Hangi sayılar 100'e bölünmez?

Çözüm.

10'a bölünebilirlik testi, 500, −1,010, 440,000,300,000 sayılarının 10'a bölünebilir olduğunu belirtmemize olanak tanır, çünkü gösterimlerinde son rakam 0'dır ve −50,012 ve 67,893 sayıları, girişleri nedeniyle 10'a bölünemez. sırasıyla 2 ve 3 numaralarla biter.

Açık 10.000 yalnızca 440.000 300.000 sayısına bölünebilir, çünkü yalnızca gösteriminde sağda dört rakam 0 vardır.

100'e bölünebilme kriterine göre −1010, −50012 ve 67893 sayılarının kayıtlarında son iki rakamı 0 rakamı olmadığından 100'e bölünemez diyebiliriz.

Cevap:

500, −1.010, 440.000 300.000 10'a bölünür; 440.000 300.000 bölü 10.000; 1010, −50012 ve 67893 100'e bölünemez.

10, 100, 1000 vb. ile bölünebilme işaretlerinin kanıtı.

10'a bölünebilme testinin ispatını gösterelim. Kolaylık sağlamak için, bu kriteri 10'a bölünebilmenin gerekli ve yeterli koşulu şeklinde yeniden formüle ediyoruz.

Teorem.

Bir tam sayının 10'a bölünebilmesi için notasyonundaki son rakamın 0 olması gerekli ve yeterlidir.

Kanıt.

İlk önce gerekliliği kanıtlıyoruz. a tamsayısı 10'a bölünsün, bu durumda a sayısının son basamağının 0 olduğunu kanıtlayalım.

Çünkü a, 10'a bölünebilirse, bölünebilirlik kavramına göre a=10·q olacak şekilde bir q tamsayısı vardır. 10 ile çarpma kuralından, 10 q ürününün bir tam sayıya eşit olduğu sonucu çıkar; bunun girişi, sağa 0 sayısı eklenirse q sayısının girişinden elde edilir. Böylece a=10·q sayısının kaydındaki son rakam 0 rakamıdır. Gerekliliği kanıtlandı.

Yeterlilik kanıtına geçelim. a tam sayısının son rakamı 0 olsun, bu durumda a sayısının 10'a bölünebildiğini ispatlayalım.

Bir tam sayının gösteriminde son rakam 0 ise, bu durumda böyle bir sayı, 10 ile çarpma kuralına göre, a=a 1 · 10 olarak temsil edilebilir; burada a 1 sayısının gösterimi şu şekilde elde edilir: a sayısının gösterimi, eğer son rakam ondan kaldırılırsa. Bölünebilme kavramına göre a=a 1 10 eşitliğinden a sayısının 10'a bölünebildiği sonucu çıkar. Yeterliliği kanıtlanmıştır.

Benzer şekilde, 100'e, 1000'e vb. bölünebilme işaretleri de kanıtlanmıştır.

10, 100, 1000 vb. ile bölünebilmenin diğer durumları.

Bu paragrafta 10'a bölünebilirliği kanıtlamanın başka yollarını göstermek istiyoruz. Örneğin, bir değişkene değer olarak bir sayı veriliyorsa, 10'a, 100'e, 1000'e bölünebilme kriterini uygulamak çoğu zaman imkansızdır. Bu nedenle başka çözüm yöntemlerine başvurmak durumunda kalıyoruz.

Bazen bölünebilirliği göstermek mümkündür. Bir örneğe bakalım.

Örnek.

Herhangi bir n doğal sayısı için 10'a bölünebilir mi?

Çözüm.

Sayı 11, 10+1 toplamı olarak temsil edilebilir ve ardından Newton'un binom formülünü uygulayabilir:

Açıkçası, ortaya çıkan çarpım 10'un bir çarpanını içerdiğinden ve parantez içindeki ifadenin değeri herhangi bir n doğal sayısı için bir doğal sayı olduğundan 10'a bölünebilir. Bu nedenle herhangi bir n doğal sayısı için 10'a bölünebilir.

Cevap:

Evet.

Bölünebilirliği kanıtlamanın başka bir yolu da şudur. Bir örnek kullanarak uygulamasına bakalım.

Örnek.

Herhangi bir n doğal sayısı için 10'a bölünebilir olduğunu kanıtlayın.

Çözüm.

Matematiksel tümevarım yöntemini kullanalım.

3'e bölünebilme testi
Bir sayının 3'e bölünmesi ancak ve ancak rakamlarının toplamının 3'e bölünmesiyle mümkündür.

4'e bölünebilme testi
Bir sayının 4'e bölünmesi ancak ve ancak sayının son iki basamağının sıfır olması veya 4'e bölünmesi durumunda mümkündür.

5'e bölünebilme testi
Bir sayı, ancak ve ancak son rakamı 5'e bölünebilirse (yani 0 veya 5'e eşitse) 5'e bölünebilir.

6'ya bölünebilme testi
Bir sayı ancak ve ancak 2 ve 3'e bölünebiliyorsa 6'ya bölünebilir.

7'ye bölünebilme testi
Bir sayı ancak ve ancak son rakamı olmadan o sayıdan son rakamının iki katının çıkarılması sonucu 7'ye bölünebilirse (örneğin, 259 7'ye bölünebilir, çünkü 25 - (2 9) = 7 bölünebilir) 7'ye kadar).

8'e bölünebilme testi
Bir sayının 8'e bölünmesi ancak ve ancak son üç rakamının sıfır olması veya 8'e bölünebilen bir sayı oluşturması durumunda mümkündür.

9'a bölünebilme testi
Bir sayının 9'a bölünmesi ancak ve ancak rakamlarının toplamı 9'a bölünebilirse mümkündür.

10'a bölünebilme testi
Bir sayı ancak ve ancak sonu sıfırla bitiyorsa 10'a bölünebilir.

11'e bölünebilme testi
Bir sayı 11'e bölünebilir ancak ve ancak alternatif işaretli rakamların toplamı 11'e bölünebilir (yani 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 ile bölünebildiği için 182919 11'e bölünebilir) 11) - 10 n formundaki tüm sayıların 11'e bölündüğünde (-1) n kalanını bırakmasının bir sonucu.

12'ye bölünebilme testi
Bir sayı 12'ye ancak ve ancak 3 ve 4'e bölünebilirse bölünebilir.

13'e bölünebilme testi
Bir sayı, ancak ve ancak birler sayısının dört katına eklenen onlar sayısı 13'ün katıysa (örneğin, 845 13'e bölünebilir, çünkü 84 + (4 · 5) = 104 ile bölünebilir) 13'e bölünebilir 13).

14'e bölünebilme testi
Bir sayı ancak ve ancak 2 ve 7'ye bölünebiliyorsa 14'e bölünebilir.

15'e bölünebilme testi
Bir sayı ancak ve ancak 3 ve 5'e bölünebiliyorsa 15'e bölünebilir.

17'ye bölünebilme testi
Bir sayının 17'ye bölünmesi ancak ve ancak birim sayısının 12 katıyla toplanan onluk sayının 17'nin katı olması durumunda mümkündür (örneğin, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+ 72=102→10+ 24 = 34. 34 17'ye bölünebildiğine göre 29053 17'ye de bölünebilir. İşaret her zaman kullanışlı değildir ancak matematikte belli bir anlamı vardır. Biraz daha basit bir yol var - Bir sayı 17'ye bölünebilir ancak ve ancak onun onluk sayısı ile birim sayısının beş katı arasındaki fark 17'nin katıysa (örneğin, 32952→3295-10=3285→328) -25=303→30-15=15 15 17'ye bölünemediğinden 32952 17'ye bölünemez)

19'a bölünebilme testi
Bir sayı, ancak ve ancak birlerin iki katının onluklarının toplamı 19'un katı ise 19'a bölünebilir (örneğin, 646 19'a bölünebilir, çünkü 64 + (6 2) = 76 19'a bölünebilir) ).

23'e bölünebilme testi
Bir sayının 23'e bölünmesi ancak ve ancak onun yüzlerlik sayısının üç katına eklenmesiyle, onlar sayısının 23'ün katı olması durumunda mümkündür (örneğin, 28842 23'e bölünebilir, çünkü 288 + (3 * 42) = 414 4 + (3 * ile devam eder) 14) = 46'nın 23'e bölünebileceği açıktır.

25'e bölünebilme testi
Bir sayı 25'e bölünebilir ancak ve ancak son iki basamağı 25'e bölünebilirse (yani 00, 25, 50 veya 75'i oluşturursa) veya sayı 5'in katıdır.

99'a bölünebilme testi
Sayıyı sağdan sola doğru 2 basamaklı gruplara ayıralım (en soldaki grup tek basamaklı olabilir) ve bu grupların toplamını iki basamaklı sayı olarak kabul ederek bulalım. Bu toplam 99'a bölünebilir ancak ve ancak sayının kendisi 99'a bölünebilirse.

101'e bölünebilme testi
Sayıyı sağdan sola doğru 2 basamaklı gruplara ayıralım (en soldaki grup tek basamaklı olabilir) ve bu grupların toplamını iki basamaklı sayılar olarak dikkate alarak alternatif işaretli olarak bulalım. Bu toplam 101'e bölünebilir ancak ve ancak sayının kendisi 101'e bölünebilir. Örneğin 590547 101'e bölünebilir çünkü 59-05+47=101 101'e bölünebilir.