(SISTEMET MEKANIKE) – Opsioni IV
1. Ekuacioni bazë i dinamikës së një pike materiale, siç dihet, shprehet me ekuacionin. Ekuacionet diferenciale të lëvizjes së pikave arbitrare të një sistemi mekanik jo të lirë sipas dy metodave të ndarjes së forcave mund të shkruhen në dy forma:
(1) , ku k=1, 2, 3, … , n – numri i pikave të sistemit material.
ku është masa e pikës k-të; - vektori i rrezes së pikës k-të, - një forcë e dhënë (aktive) që vepron në pikën k-të ose rezultante e të gjitha forcave aktive që veprojnë në pikën k-të. - rezultante e forcave të reaksionit të lidhjes që veprojnë në pikën k-të; - rezultante e forcave të brendshme që veprojnë në pikën k; - rezultante e forcave të jashtme që veprojnë në pikën k.
Duke përdorur ekuacionet (1) dhe (2), mund të përpiqemi të zgjidhim problemin e parë dhe të dytë të dinamikës. Megjithatë, zgjidhja e problemit të dytë të dinamikës për një sistem bëhet shumë e ndërlikuar, jo vetëm nga pikëpamja matematikore, por edhe sepse përballemi me vështirësi thelbësore. Ato konsistojnë në faktin se si për sistemin (1) ashtu edhe për sistemin (2) numri i ekuacioneve është dukshëm më i vogël se numri i të panjohurave.
Pra, nëse përdorim (1), atëherë dinamika e njohur për problemin e dytë (të anasjelltë) do të jetë dhe , dhe të panjohurat do të jenë dhe . Ekuacionet vektoriale do të jenë " n", dhe ato të panjohura - "2n".
Nëse vazhdojmë nga sistemi i ekuacioneve (2), atëherë njihen disa nga forcat e jashtme. Pse pjesë? Fakti është se numri i forcave të jashtme përfshin gjithashtu reagime të jashtme të lidhjeve që janë të panjohura. Përveç kësaj, . do të jetë gjithashtu i panjohur.
Kështu, si sistemi (1) ashtu edhe sistemi (2) janë PAMBYLLUR. Është e nevojshme të shtohen ekuacione, duke marrë parasysh ekuacionet e lidhjeve, dhe ndoshta është gjithashtu e nevojshme të vendosen disa kufizime në vetë lidhjet. Çfarë duhet bërë?
Nëse nisemi nga (1), atëherë mund të ndjekim rrugën e kompozimit të ekuacioneve të Lagranzhit të llojit të parë. Por kjo rrugë nuk është racionale, sepse sa më e thjeshtë të jetë problemi (më pak shkallë lirie), aq më e vështirë është zgjidhja e tij nga pikëpamja matematikore.
Atëherë le ta kthejmë vëmendjen tonë te sistemi (2), ku - janë gjithmonë të panjohur. Hapi i parë në zgjidhjen e një sistemi është eliminimi i këtyre të panjohurave. Duhet pasur parasysh se, si rregull, ne nuk jemi të interesuar për forcat e brendshme kur sistemi lëviz, domethënë kur sistemi lëviz, nuk është e nevojshme të dimë se si lëviz çdo pikë e sistemit, por mjafton. për të ditur se si lëviz sistemi në tërësi.
Kështu, nëse përjashtojmë forcat e panjohura nga sistemi (2) në mënyra të ndryshme, fitojmë disa marrëdhënie, d.m.th., shfaqen disa karakteristika të përgjithshme për sistemin, njohja e të cilave na lejon të gjykojmë se si lëviz sistemi në përgjithësi. Këto karakteristika janë futur duke përdorur të ashtuquajturat teorema të përgjithshme të dinamikës. Ekzistojnë katër teorema të tilla:
1. Teorema rreth lëvizja e qendrës së masës së një sistemi mekanik;
2. Teorema rreth ndryshimi i momentit të një sistemi mekanik;
3. Teorema rreth ndryshimi i momentit kinetik të sistemit mekanik;
4. Teorema rreth ndryshimi i energjisë kinetike të një sistemi mekanik.
Formuloni një teoremë mbi lëvizjen e qendrës së masës së sistemit.
Qendra e masës së një sistemi mekanik lëviz si një pikë materiale me një masë të barabartë me masën e të gjithë sistemit, në të cilën zbatohen të gjitha forcat që veprojnë në sistem.
Cila lëvizje e një trupi të ngurtë mund të konsiderohet si lëvizje e një pike materiale që ka masën e një trupi të caktuar dhe pse?
Lëvizja përkthimore e një trupi të ngurtë përcaktohet plotësisht nga lëvizja e një prej pikave të tij. Rrjedhimisht, duke zgjidhur problemin e lëvizjes së qendrës së masës së një trupi si pikë materiale me një masë trupore, është e mundur të përcaktohet lëvizja përkthimore e të gjithë trupit.
Në cilat kushte qendra e masës së sistemit është në qetësi dhe në çfarë kushtesh lëviz në mënyrë të njëtrajtshme dhe në vijë të drejtë?
Nëse vektori kryesor i forcave të jashtme mbetet i barabartë me zero gjatë gjithë kohës dhe shpejtësia fillestare e qendrës së masës është zero, atëherë qendra e masës është në qetësi.
Nëse vektori kryesor i forcave të jashtme mbetet i barabartë me zero gjatë gjithë kohës dhe shpejtësia fillestare 
, atëherë qendra e masës lëviz në mënyrë të njëtrajtshme dhe drejtvizore.
Në cilat kushte qendra e masës së sistemit nuk lëviz përgjatë një boshti të caktuar?
Nëse projeksioni i vektorit kryesor të forcave të jashtme në çdo bosht mbetet i barabartë me zero gjatë gjithë kohës dhe projeksioni i shpejtësisë në këtë bosht është i barabartë me zero, atëherë koordinata e qendrës së masës përgjatë këtij boshti mbetet konstante.
Çfarë efekti kanë një palë forcash të aplikuara në të në një trup të lirë të ngurtë?
Nëse aplikoni një palë forcash në një trup të ngurtë të lirë që është në qetësi, atëherë nën veprimin e kësaj palë forcash trupi do të fillojë të rrotullohet rreth qendrës së tij të masës.
Teorema mbi ndryshimin e momentit.
Si përcaktohet një impuls i forcës së ndryshueshme për një periudhë të kufizuar kohore? Çfarë e karakterizon një impuls force?
Impuls i ndryshueshëm 
për një periudhë të caktuar kohe 
barazohet
.
Impulsi i forcës karakterizon transferimin e lëvizjes mekanike në një trup nga trupat që veprojnë mbi të gjatë një periudhe të caktuar kohore.
Cilat janë projeksionet e impulseve të forcës konstante dhe të ndryshueshme në boshtet koordinative?
Projeksionet e impulsit të forcës së ndryshueshme në boshtet koordinative janë të barabarta me
,
,
.
Projeksionet e një impulsi force konstante në akset koordinative gjatë një periudhe kohore 
të barabartë
,
,
.
Cili është impulsi i rezultatit?
Impulsi i rezultantit të disa forcave për një periudhë të caktuar kohore është i barabartë me shumën gjeometrike të impulseve të forcave përbërëse për të njëjtën periudhë kohore
.
Si ndryshon vrulli i një pike që lëviz në mënyrë uniforme rreth një rrethi?
Kur një pikë lëviz në mënyrë uniforme rreth një rrethi, drejtimi i momentit ndryshon 
, por moduli i tij është ruajtur 
.
Cili është momenti i një sistemi mekanik?
Sasia e lëvizjes së një sistemi mekanik është një vektor i barabartë me shumën gjeometrike (vektorin kryesor) të sasive të lëvizjes së të gjitha pikave të sistemit
.
Sa është momenti i një volant që rrotullohet rreth një boshti fiks që kalon nëpër qendrën e tij të gravitetit?
Sasia e lëvizjes së një volant që rrotullohet rreth një boshti fiks që kalon nëpër qendrën e tij të gravitetit është zero, sepse 
.
Të formulojnë teorema mbi ndryshimin e momentit të një pike materiale dhe të një sistemi mekanik në forma diferenciale dhe të fundme. Shprehni secilën nga këto teorema me një ekuacion vektorial dhe tre ekuacione në projeksione në boshtet koordinative.
Momenti diferencial i një pike materiale është i barabartë me impulsin elementar të forcave që veprojnë në pikë
.
Ndryshimi në numrin e lëvizjeve të një pike gjatë një periudhe të caktuar kohore është i barabartë me shumën gjeometrike të impulseve të forcave të aplikuara në pikë gjatë së njëjtës periudhë kohore
.
Në projeksione, këto teorema kanë formën
,
,
,
,
.
Derivati kohor i momentit të një sistemi mekanik është gjeometrikisht i barabartë me vektorin kryesor të forcave të jashtme që veprojnë në sistem
.
Derivati kohor i projeksionit të momentit të një sistemi mekanik në çdo bosht është i barabartë me projeksionin e vektorit kryesor të forcave të jashtme në të njëjtin bosht
,
,
.
Ndryshimi në momentin e sistemit gjatë një periudhe të caktuar kohore është i barabartë me shumën gjeometrike të impulseve të forcave të jashtme të aplikuara në sistem gjatë së njëjtës periudhë
.
Ndryshimi në projeksionin e momentit të sistemit në çdo bosht është i barabartë me shumën e projeksioneve të impulseve të të gjitha forcave të jashtme që veprojnë në sistem në të njëjtin bosht
,
,
.
Në cilat kushte nuk ndryshon momenti i një sistemi mekanik? Në çfarë kushtesh nuk ndryshon projeksioni i tij në një bosht të caktuar?
Nëse vektori kryesor i forcave të jashtme për periudhën e konsideruar kohore është i barabartë me zero, atëherë sasia e lëvizjes së sistemit është konstante.
Nëse projeksioni i vektorit kryesor të forcave të jashtme në çdo bosht është zero, atëherë projeksioni i momentit në këtë bosht është konstant.
Pse arma kthehet mbrapsht kur qëllohet?
Kthimi i armës kur gjuhet në drejtim horizontal është për faktin se projeksioni i momentit në boshtin horizontal 
nuk ndryshon në mungesë të forcave horizontale
,
.
A mundet që forcat e brendshme të ndryshojnë momentin e një sistemi apo momentin e një pjese të tij?
Meqenëse vektori kryesor i forcave të brendshme është zero, ato nuk mund të ndryshojnë sasinë e lëvizjes së sistemit.
Dinamika:
Dinamika e një sistemi material
§ 35. Teorema mbi lëvizjen e qendrës së masës së një sistemi material
Problemet me zgjidhjet
35.1 Përcaktoni vektorin kryesor të forcave të jashtme që veprojnë në volantin M, që rrotullohen rreth boshtit AB. Boshti AB, i montuar në një kornizë rrethore, nga ana tjetër rrotullohet rreth boshtit DE. Qendra e masës C e volantit është në pikën e kryqëzimit të akseve AB dhe DE.
ZGJIDHJE
35.2 Përcaktoni vektorin kryesor të forcave të jashtme të aplikuara në vizoren AB të elipsografit të paraqitur në figurë. Mavija OC rrotullohet me një shpejtësi këndore konstante ω; masa e vizores AB është e barabartë me M; OC=AC=BC=l.
ZGJIDHJE
35.3 Përcaktoni vektorin kryesor të forcave të jashtme që veprojnë në një rrotë me masë M që rrokulliset poshtë nga një plan i pjerrët nëse qendra e saj e masës C lëviz sipas ligjit xC=at2/2.
ZGJIDHJE
35.4 Një rrotë rrëshqet përgjatë një vije horizontale nën veprimin e një force F të paraqitur në figurë. Gjeni ligjin e lëvizjes së qendrës së masës C të rrotës nëse koeficienti i fërkimit të rrëshqitjes është f, a F=5fP, ku P është pesha e rrotës. Në momentin fillestar, rrota ishte në qetësi.
ZGJIDHJE
35.5 Një rrotë rrëshqet përgjatë një vije horizontale nën ndikimin e një çift rrotullues të aplikuar në të. Gjeni ligjin e lëvizjes së qendrës së masës C të rrotës nëse koeficienti i fërkimit të rrëshqitjes është i barabartë me f. Në momentin fillestar, rrota ishte në qetësi.
ZGJIDHJE
35.6 Vagona e tramvajit kryen lëkundje harmonike vertikale në susta me amplitudë 2.5 cm dhe periodë T=0.5 s. Masa e trupit me ngarkesë është 10 tonë, masa e karrocës dhe rrotave është 1 ton. Përcaktoni forcën e presionit të makinës në shina.
ZGJIDHJE
35.7 Përcaktoni forcën e presionit në tokë të një pompe për pompimin e ujit kur ajo është në punë boshe, nëse masa e pjesëve të palëvizshme të trupit D dhe themelit E është e barabartë me M1, masa e fiksimit OA=a është e barabartë me M2, masa e lidhjes B dhe pistonit C është e barabartë me M3. Mavija OA, e rrotulluar në mënyrë të njëtrajtshme me shpejtësi këndore ω, konsiderohet të jetë një shufër homogjene.
ZGJIDHJE
35.8 Duke përdorur të dhënat nga problemi i mëparshëm, supozojmë se pompa është e instaluar në një bazë elastike, koeficienti i elasticitetit të së cilës është i barabartë me c. Gjeni ligjin e lëvizjes së boshtit O të fiksimit OA vertikalisht, nëse në momentin fillestar boshti O ishte në një pozicion ekuilibri statik dhe atij iu dha një shpejtësi vertikale në rënie v0. Merrni origjinën e boshtit x, të drejtuar vertikalisht poshtë, në pozicionin e ekuilibrit statik të boshtit O. Neglizhoni forcat e rezistencës.
ZGJIDHJE
35.9 Gërshërët për prerjen e metaleve përbëhen nga një mekanizëm rrëshqitës me manival OAB, në rrëshqitësin B të të cilit është ngjitur një thikë e lëvizshme. Thika e fiksuar është e fiksuar në themel C. Përcaktoni presionin e themelit në tokë nëse gjatësia e fiksimit r, masa e fiksimit M1, gjatësia e shufrës lidhëse l, masa e rrëshqitësit B me thikë e lëvizshme M2, masa e themelit C dhe e trupit D është e barabartë me M3. Neglizhoni masën e shufrës lidhëse. Crank OA, që rrotullohet në mënyrë uniforme me shpejtësi këndore ω, konsiderohet të jetë një shufër homogjene.
ZGJIDHJE
35.10 Motori me masë elektrike M1 është instaluar pa fiksim në një themel të lëmuar horizontal; një shufër homogjene me gjatësi 2l dhe masë M2 është e fiksuar në një kënd të drejtë me boshtin e motorit në njërën skaj; një ngarkesë pikë e masës M3 është montuar në skajin tjetër të shufrës; shpejtësia këndore e boshtit është ω. Përcaktoni: 1) lëvizjen horizontale të motorit; 2) forca më e madhe horizontale R që vepron mbi bulonat nëse sigurojnë kutinë e motorit elektrik në themel.
ZGJIDHJE
35.11 Bazuar në kushtet e problemit të mëparshëm, llogaritni shpejtësinë këndore ω të boshtit të motorit elektrik në të cilin motori elektrik do të kërcejë mbi themelin pa u lidhur me bulon në të.
ZGJIDHJE
35.12 Gjatë montimit të motorit elektrik, rotori B i tij ishte montuar në mënyrë ekscentrike në boshtin e rrotullimit C1 në një distancë C1C2=a, ku C1 është qendra e masës së statorit A, dhe C2 është qendra e masës së rotorit B. Rotori rrotullohet në mënyrë të njëtrajtshme me shpejtësi këndore ω. Motori elektrik është instaluar në mes të një trau elastik, devijimi statik i të cilit është i barabartë me Δ; M1 është masa e statorit, M2 është masa e rotorit. Gjeni ekuacionin e lëvizjes së pikës C1 vertikalisht nëse në momentin fillestar ishte në prehje në një pozicion ekuilibri statik. Neglizhoni forcat e rezistencës. Origjina e boshtit x merret në pozicionin statik të ekuilibrit të pikës C1.
ZGJIDHJE
35.13 Një motor elektrik me masë M1 është montuar në një tra, ngurtësia e të cilit është e barabartë me c. Një masë me masë M2 është montuar në boshtin e motorit në një distancë l nga boshti i boshtit. Shpejtësia këndore e motorit ω=konst. Përcaktoni amplituda e lëkundjeve të detyruara të motorit dhe numrin kritik të rrotullimeve të tij në minutë, duke lënë pas dore masën e rrezes dhe rezistencën ndaj lëvizjes.
ZGJIDHJE
35.14 Figura tregon një karrocë vinçi A me masë M1, e cila frenohet në mes të një trau BD. Në qendër të masës C1 të karrocës, një kabllo me gjatësi l është e varur me një ngarkesë C2 me masë M2 të bashkangjitur në të. Një kabllo me ngarkesë kryen lëkundje harmonike në planin vertikal. Përcaktoni: 1) reagimin total vertikal të rrezes BD, duke e konsideruar atë të ngurtë; 2) ligji i lëvizjes së pikës C1 në drejtim vertikal, duke e konsideruar traun elastik me koeficient elasticiteti të barabartë me c. Në momentin fillestar, trau, duke qenë i padeformuar, ishte në prehje në pozicion horizontal. Duke i konsideruar dridhjet e kabllit si të vogla, pranoni: sin φ≈φ, cos φ≈1. Origjina e boshtit y merret në pozicionin statik të ekuilibrit të pikës C1. Neglizhoni masën e kabllit dhe dimensionet e karrocës në krahasim me gjatësinë e traut.
ZGJIDHJE
35.15 Duke i mbajtur të dhënat nga problemi i mëparshëm dhe duke e konsideruar traun BD të ngurtë, përcaktoni: 1) reagimin total horizontal të shinave; 2) duke supozuar se karroca nuk është e frenuar, ligji i lëvizjes së qendrës së masës C1 të karrocës A përgjatë boshtit x. Në momentin fillestar, pika C1 ishte në prehje në origjinën e boshtit x. Kablloja lëkundet sipas ligjit φ=φ0 cos ωt.
ZGJIDHJE
35.16 Në stolin e mesit të varkës, që ishte në prehje, ishin ulur dy veta. Njëri prej tyre, masa M1=50 kg, lëvizi djathtas në harkun e varkës. Në çfarë drejtimi dhe në çfarë largësie duhet të lëvizë personi i dytë me masë M2=70 kg që anija të qëndrojë në qetësi? Gjatësia e varkës është 4 m. Neglizhoni rezistencën e ujit ndaj lëvizjes së varkës.
ZGJIDHJE
35.17 Një prizëm homogjen B vendoset në një prizëm homogjen A të shtrirë në një rrafsh horizontal; seksionet kryq të prizmave janë trekëndësha kënddrejtë, masa e prizmit A është tre herë më e madhe se masa e prizmit B. Duke supozuar se prizmat dhe rrafshi horizontal janë në mënyrë ideale të lëmuara, përcaktoni gjatësinë l me të cilën prizma A do të lëvizë kur prizmi B, duke zbritur përgjatë A, arrin në rrafshin horizontal.
ZGJIDHJE
35.18 Në një platformë mallrash horizontale me gjatësi 6 m dhe një masë prej 2700 kg, e cila fillimisht ishte në qetësi, dy punëtorë rrotullojnë një derdhje të rëndë nga skaji i majtë i platformës në të djathtë. Në cilin drejtim dhe sa do të lëvizë platforma nëse masa totale e ngarkesës dhe punëtorëve është 1800 kg? Neglizhoni forcat e rezistencës ndaj lëvizjes së platformës.
ZGJIDHJE
35.19 Dy ngarkesa M1 dhe M2, respektivisht masat M1 dhe M2, të lidhura me një fije të pazgjatur të hedhur mbi bllokun A, rrëshqasin përgjatë anëve të lëmuara të një pyke drejtkëndëshe që mbështetet me bazën e saj BC në një rrafsh të lëmuar horizontal. Gjeni zhvendosjen e pykës përgjatë rrafshit horizontal gjatë uljes së ngarkesës M1 në lartësinë h=10 cm.Masa e pykës M=4M1=16M2; Neglizhoni masën e fillit dhe bllokoni.
ZGJIDHJE
35.20 Tri masa me masë M1=20 kg, M2=15 kg dhe M3=10 kg lidhen me një fije të pazgjatur të hedhur përmes blloqeve fikse L dhe N. Kur masa M1 ulet poshtë, masa M2 lëviz përgjatë bazës së sipërme të një katërkëndëshi. piramida e cunguar ABCD me masë M=100 kg në të djathtë, dhe ngarkesa M3 ngrihet përgjatë skajit anësor AB lart. Duke neglizhuar fërkimin ndërmjet piramidës së cunguar ABCD dhe dyshemesë, përcaktoni zhvendosjen e piramidës së cunguar ABCD në raport me dyshemenë nëse ngarkesa M1 lëviz poshtë 1 m. Neglizhoni masën e fillit.
ZGJIDHJE
35.21 Një vinç rrotullues i lëvizshëm për riparimin e një rrjeti elektrik rrugor është instaluar në një mjet me peshë 1 ton. Djepi K i vinçit, i montuar në një shufër L, mund të rrotullohet rreth një boshti horizontal O, pingul me rrafshin e vizatimit. Në momentin fillestar, vinçi, i cili zinte pozicion horizontal, dhe makina ishin në pushim. Përcaktoni zhvendosjen e mjetit pa frenim nëse vinçi rrotullohet 60°. Masa e një shufre homogjene L me gjatësi 3 m është 100 kg, dhe djepi K është 200 kg. Qendra e masës C e djepit K ndodhet në distancë OC=3,5 m nga boshti O. Neglizhoni rezistencën ndaj lëvizjes.
Universiteti Shtetëror i Shën Petersburgutaviacioni civil
Departamenti Nr. 6 - “Mekanikë”
Seksioni III
"DINAMIKA"
Shën Petersburg
- 2016 -1. Yablonsky A.A., Nikiforova V.M. Epo
mekanika teorike. Statika, kinematika,
dinamika. Libër mësuesi. M.: KNORS. 2011. - 608 f.
2. Meshchersky I.V. Probleme në teori
mekanika. Libër mësuesi Përfitoni. Shën Petersburg: Lan. 2011. - 448 f.
3. Targ M.S. Kursi i mekanikës teorike. M.:
Shkollë pasuniversitare. 2012. - 548 f.
4. Chernov K.I. Bazat e mekanikës teknike. M.:
Inxhinieri mekanike. 1986. - 256 f.
5. Aret V.A. "Të mësuarit në distancë
teknologjisë”. (manuali elektronik www.openmechanics.com), 2016 Leksioni 1. Hyrje
në dinamikë. Ligjet dhe aksiomat
dinamika e një pike materiale. Ekuacioni bazë
folësit. Ekuacionet diferenciale dhe natyrore
lëvizjet. Dy probleme kryesore të dinamikës. Shembuj
zgjidhja e problemit të drejtpërdrejtë të dinamikës.
Leksioni 2. Zgjidhja e problemit të anasjelltë të dinamikës. Janë të zakonshme
udhëzime për zgjidhjen e problemit të anasjelltë të dinamikës. Shembuj
zgjidhja e problemit të anasjelltë të dinamikës. Lëvizja e trupit
hedhur në një kënd në horizontale, pa marrë parasysh rezistencën
ajri.
Leksion 3. Lëkundjet drejtvizore të një pike materiale.
gjendja
shfaqjen
hezitim.
Klasifikimi
hezitim. Dridhje të lira pa marrë parasysh forcat
rezistencës.
Në kalbje
luhatjet.
Zvogëlimi
hezitim.
Leksioni 4. Lëkundjet e detyruara të një pike materiale.
Rezonanca.
Ndikimi
rezistencës
lëvizjes
në
dridhjet e detyruara.Leksioni 5. Lëvizja relative e një pike materiale.
Forcat e inercisë. Raste të veçanta të lëvizjes për të ndryshme
llojet e lëvizjes portative. Ndikimi i rrotullimit të Tokës në
ekuilibri dhe lëvizja e trupave.
Leksioni 6. Dinamika e një sistemi mekanik. Mekanike
sistemi. Forcat e jashtme dhe të brendshme. Qendra e masës së sistemit.
Teorema mbi lëvizjen e qendrës së masës. Ligjet e ruajtjes.
Një shembull i zgjidhjes së një problemi duke përdorur teoremën rreth
lëvizja e qendrës së masës.
Leksioni 7. Impulsi i forcës. Sasia e lëvizjes. Teorema rreth
ndryshimi i momentit. Ligjet e ruajtjes.
Teorema e Euler-it. Një shembull i zgjidhjes së një problemi duke përdorur
teorema mbi ndryshimet në moment. Moment
sasia e lëvizjes. Teorema e ndryshimit të çift rrotullues
sasia e lëvizjes...
Leksioni 8. Ligjet e ruajtjes. Elementet e teorisë së momentit
inercia.
Kinetike
moment
të ngurta
Trupat.
Ekuacioni diferencial për rrotullimin e një trupi të ngurtë.
Një shembull i zgjidhjes së një problemi duke përdorur teoremën rreth
ndryshim
moment
sasive
lëvizjes
sistemeve.
Teoria elementare e xhiroskopit.
HYRJE NË DINAMIKË
Leksioni 1HYRJE NË DINAMIKË
Dinamika është një pjesë e mekanikës teorike,
duke studiuar lëvizjen mekanike nga pika më e përgjithshme e saj
vizion. Lëvizja po shqyrtohet në lidhje me rrymën
ndaj objektit me forcë.
Seksioni përbëhet nga tre seksione:
Dinamika
Dinamika
Dinamika
pika materiale
sistemi mekanik
Mekanika analitike
Dinamika e një pike - studion lëvizjen e një pike materiale
duke marrë parasysh forcat që shkaktojnë këtë lëvizje.
Objekti kryesor është një pikë materiale - material
një trup me masë, përmasat e të cilit mund të jenë
neglizhencë. Dinamika e një sistemi mekanik - studion lëvizjen
koleksione pikash materiale dhe trupash të ngurtë,
të bashkuara nga ligjet e përgjithshme të ndërveprimit, duke marrë parasysh
forcat që shkaktojnë këtë lëvizje.
Mekanika analitike - studion lëvizjen e jo të lirë
sistemet mekanike duke përdorur të përbashkët
metodat analitike.
Supozimet kryesore:
– ka hapësirë absolute (ka të pastër
vetitë gjeometrike të pavarura nga materia dhe
lëvizjet e saj);
– koha absolute ekziston (nuk varet nga materia dhe
lëvizjet e saj). Nga kjo rrjedh:
- ekziston një sistem referimi absolutisht i palëvizshëm;
– koha nuk varet nga lëvizja e kornizës së referencës;
– masat e pikave lëvizëse nuk varen nga lëvizja
sistemet e referencës.
Këto supozime përdoren në mekanikën klasike,
krijuar nga Galileo dhe Njutoni. Ajo ende ka
një gamë mjaft të gjerë aplikimi, sepse
mekanike e konsideruar në shkencat e aplikuara
sistemet nuk kanë masa kaq të mëdha dhe
shpejtësitë e lëvizjes për të cilat është e nevojshme të merren parasysh
ndikim në gjeometrinë e hapësirës, kohës, lëvizjes, si
kjo bëhet në mekanikën relativiste (teoria
relativiteti). Forca është një sasi e ndryshueshme dhe varet nga:
a) koha - F f (t),
b) pozicioni i pikës së aplikimit të forcës - F f (r),
c) shpejtësia e lëvizjes
pikat e zbatimit të forcës - F f (V).
Një pikë materiale mund të jetë e lirë nëse ka
Nuk ka kufizime në lëvizje. Përndryshe,
pika materiale quhet jo e lirë
Inercia është një veti e një trupi material që është më i shpejtë ose
ndryshoni shpejtësinë tuaj më ngadalë
nën ndikimin e forcave të aplikuara në të
Sistemet e referencës inerciale janë ato sisteme
ku plotësohet ligji i inercisë; përndryshe, sistemet
pikat e referencës janë joinerciale
13. LLOJET THEMELORE TË FORCAVE
Graviteti.Fmg
g 9,81 m/s2
nxitimi i gravitetit
F f N reaksion normal.
koeficienti i fërkimit
f 6.673 10-11 m3/(kg s2).
F f m1m2 r 2
Forca e fërkimit rrëshqitës
Forca e gravitetit.
konstante gravitacionale
Forca elastike
Fc
zgjatja (ngjeshja) e sustës (m)
konstante e sustës (N/m).
Forca viskoze e fërkimit. Fv
shpejtësia e trupit
dendësi mesatare
xhirimi i ngadalësuar
koeficienti i tërheqjes
1
F cx Sv 2
2
Forca hidrodinamike
katrore
koeficienti i tërheqjes anësore
rezistencës.
seksionet
lëvizje të shpejtë 14. Ligjet dhe aksiomat e dinamikës së pikës së çiftëzimit
Mekanika klasike bazohet në ligje që për herë të parë
të përcaktuara nga I. Njutoni në veprën e tij “Parimet matematikore
filozofia natyrore" (1687).
Ligjet themelore të dinamikës - të zbuluara për herë të parë nga Galileo dhe
të formuluara nga Njutoni përbëjnë bazën e të gjitha metodave
përshkrimi dhe analiza e lëvizjes së sistemeve mekanike dhe e tyre
ndërveprim dinamik nën ndikimin e forcave të ndryshme.
Ligji i inercisë (Ligji Galileo-Njuton) - I izoluar
trupi i pikës materiale ruan gjendjen e tij të prehjes
ose lëvizje drejtvizore uniforme deri në
forcat e aplikuara nuk do ta detyrojnë atë të ndryshojë këtë gjendje.
Kjo nënkupton ekuivalencën e gjendjes së pushimit dhe lëvizjes
me inerci (ligji i relativitetit të Galileos). Sistemi i referencës
në lidhje me të cilën plotësohet ligji i inercisë,
i quajtur inercial. Vetia e një pike materiale
përpiquni të ruani të njëjtën shpejtësi lëvizjeje
(gjendja e tij kinematike) quhet inerci. Ligji i proporcionalitetit të forcës dhe nxitimit
(Ekuacioni themelor i dinamikës - ligji II i Njutonit) -
Nxitimi i dhënë në një pikë materiale me forcë është
drejtpërdrejt proporcionale me forcën dhe anasjelltas
proporcionale me masën e kësaj pike: a 1 F ose ma
m
F.
Këtu m është masa e pikës (një masë e inercisë), e matur në kg,
numerikisht e barabartë me peshën e pjesëtuar me nxitimin e së lirës
bie:
G
m
g
.
F – forca efektive, e matur në N (1 N tregon pikën
masa 1 kg nxitimi 1 m/s2, 1 N = 1/9,81 kgf). Ligji i barazisë së veprimit dhe reagimit (ligji III
Njuton) - Për çdo veprim korrespondon një e barabartë
madhësia dhe drejtimi i kundërt
opozita:
m
F2.1 m
F1,2
F1, 2 F2,1
1
2
Ligji është i vlefshëm për çdo gjendje kinematike
tel. Forcat e ndërveprimit, duke u aplikuar në të ndryshme
pikat (trupat) nuk janë të balancuara.
Ligji i veprimit të pavarur të forcave - Nxitimi
pikë materiale nën ndikimin e disa forcave
e barabartë me shumën gjeometrike të nxitimeve të një pike nga
veprimet e secilës forcë veç e veç:
a (F1 , F2 ,...) a1 (F1) a2 (F2) ....
ose
a (R) a1 (F1) a2 (F2) .... 15. Ekuacioni bazë i dinamikës
Ligji bazë i dinamikës: prodhimi i masës materiale
pikë në nxitimin e tij, të cilin e merr nën ndikim
forcë, e barabartë me modulin e kësaj force dhe drejtimin e nxitimit
përkon me drejtimin e vektorit të forcës
ma F
ose
ma Fk
n
Ekuacioni bazë i dinamikës: ma Fi (1).
- korrespondon me metodën vektoriale të specifikimit të lëvizjes së një pike. 15.1. Ekuacionet diferenciale të lëvizjes
pika materiale
Le të zëvendësojmë nxitimin e pikës me detyrën vektoriale
lëvizjes
d 2r
a
dt
2
.
2
d
në ekuacionin bazë të dinamikës: m r
Fi
2
dt
(2) - diferencial
ekuacioni i lëvizjes së një pike në
forma vektoriale.
(2).
M
F1
F2
r
O
a Në formë koordinative: Përdorim lidhjen rreze-vektor me
koordinatat dhe vektori i forcës me projeksione:
r (t) x(t)i y(t) j z (t)k
Fi Fixi Fiy j Fiz k
d2
Pas grupimit
m 2 (xi yj zk) (Fixi Fiy j Fiz k).
raporti vektorial
dt
shpërbëhet
d 2x
m x Fiks ;
Oh
:
m
F
;
ix
2
në tre shkallë
dt
m y Fiy;
ose
2
ekuacionet:
d y
z
Oy
:
m
Fiy;
2
az
m z Fiz .
dt
M(x,y,z)
r
O
i
x
k
ay
sëpatë
d 2z
(Oz) : m 2 Fiz . - diferencial
dt
ekuacionet e lëvizjes
z
j
x
y
y
pikat në koordinatë
formë.
Ky rezultat mund të merret
projeksioni formal i vektorit
ekuacioni diferencial (1). Ekuacionet natyrore të lëvizjes së një pike materiale
– fitohen duke projektuar vektorin
ekuacioni diferencial i lëvizjes në natyrë
boshtet koordinative (lëvizëse):
m s Fτ ;
() : mat τ Fιτ ;
(n) : njeri Fin ; ose
s 2
m
Fin.
(b) : m 0 Fib .
s
O1 n
F2
- natyrale
ekuacionet
lëvizjes
pikë.
b
M
a
F1
- natyrale
ekuacionet e lëvizjes
pikë. 16. Dy probleme kryesore të dinamikës
Problemi i drejtpërdrejtë: Lëvizja është dhënë (ekuacionet e lëvizjes,
trajektore). Kërkohet të përcaktohen forcat nën ndikim
që ndodh një lëvizje e caktuar.
Problema e anasjelltë: Janë dhënë forcat nën ndikimin e të cilave
ndodh lëvizja. Duhet gjetur parametra
y
lëvizjes
(ekuacionet e lëvizjes, trajektorja e lëvizjes).
Të dyja problemet zgjidhen duke përdorur ekuacionin bazë të dinamikës dhe
projeksioni i tij në boshtet koordinative. Nëse merret parasysh lëvizja
pikë jo e lirë, atëherë, si në statikë, përdoret parimi
liri nga lidhjet. Si rezultat i reagimit, lidhjet ndizen
në forcat që veprojnë në një pikë materiale. Zgjidhja së pari
detyrat që lidhen
me operacionet e diferencimit. Zgjidhja e inversit
r
problemiO kërkon integrimin e diferencialit përkatës
ekuacionet dhe kjo është shumë më e vështirë se diferencimi.
Problemi i kundërt është më i vështirë se problemi i drejtpërdrejtë Zgjidhja e problemit të drejtpërdrejtë të dinamikës - konsideroni në
shembuj:
Shembulli 1. Një kabinë ashensori me peshë G ngrihet nga një kabllo me
nxitim a. Përcaktoni tensionin e kabllit.
Zgjidhja: 1. Zgjidhni një objekt (kabina e ashensorit lëviz përpara dhe
mund të konsiderohet si pikë materiale).
2. Hedhim lidhjen (kabllo) dhe e zëvendësojmë me reaksionin R.
3. Përpilojmë ekuacionin bazë të dinamikës: ma Fi G R
y
4. Projektoni ekuacionin bazë të dinamikës në boshtin y:
R
(Oy) : mund R G .
Me lëvizje uniforme të kabinës, ay = 0 dhe tensioni i kabllit
e barabartë me peshën: T = G.
a
Nëse kablloja prishet, T = 0 dhe nxitimi i kabinës është i barabartë me nxitimin
rënia e lirë: ay = -g.
G
ay
G
O
R G ma y G a y G(1).
Ne përcaktojmë reagimin e kabllit:
g
g
Përcaktoni tensionin e kabllit:
T R; T R G(1
ay
g
).Zgjidhja e problemit të anasjelltë të dinamikës – Në përgjithësi
lëvizjet e një pike të forcës që vepron në një pikë janë
variabla në varësi të kohës, koordinatave dhe shpejtësisë.
Lëvizja e një pike përshkruhet nga një sistem prej tresh
m x Fiks ;
ekuacionet diferenciale të rendit të dytë: m y F ;
iy
Pas integrimit
secila prej tyre do të jetë x f1 (t, C1, C 2, C3); x f 4 (t, C1, C 2,..., C 6); m z Fiz .
gjashtë konstante y f 2 (t, C1, C 2, C3); y f (t, C, C,..., C); x x; yy ; z z;
5
1
2
6
0
0
0
C1, C2,…., C6:
z f 3 (t, C1, C 2, C3).
z f 6 (t, C1, C 2,..., C 6). x x; yy ; z z .
0
0
0
Vlerat e konstantave C1, C2,…., C6
janë nga gjashtë fillestare
x f1 (t, x 0, y 0, z 0); x f 4 (t, x 0, y 0, z 0, x0, y 0, z 0);
kushtet në t = 0:
Pas zëvendësimit të gjetur y f 2 (t, x 0, y 0, z 0); y f 5 (t, x 0, y 0, z 0, x0, y 0, z 0);
vlerat e konstantave marrim: z f (t, x, y, z). z f 6 (t, x 0, y 0, z 0, x0, y 0, z 0).
3
0
0
0
Kështu që
mënyrë, nën ndikimin e të njëjtit sistem forcash
x
një pikë materiale mund të kryejë një klasë të tërë lëvizjesh,
përcaktuar nga kushtet fillestare.
Koordinatat fillestare marrin parasysh pozicionin fillestar të pikës. Fillestare
shpejtësia e përcaktuar nga projeksionet merr parasysh ndikimin në lëvizjen e saj përgjatë
seksioni i konsideruar i trajektores së forcave që veprojnë në pikën më parë
mbërritja në këtë vend, d.m.th. gjendja kinematike fillestare. 17. Udhëzime të përgjithshme për zgjidhjen e drejtpërdrejtë dhe të anasjelltë
detyrat. Procedura e zgjidhjes
1. Hartimi i një ekuacioni diferencial të lëvizjes:
1.1. Zgjidhni një sistem koordinativ - drejtkëndor
(i palëvizshëm) me një trajektore të panjohur lëvizjeje,
natyrore (lëvizëse) me një trajektore të njohur,
për shembull, një rreth ose një vijë e drejtë. Në rastin e fundit
mund të përdoret një koordinatë lineare. Filloni
rreshtoni pikën e referencës me pozicionin fillestar të pikës (në t = 0)
ose me pozicionin e ekuilibrit të pikës, nëse ekziston,
për shembull, kur një pikë lëkundet. 1.2. Vizatoni një pikë në një pozicion që korrespondon me
në një moment arbitrar në kohë (në t > 0) në mënyrë që
koordinatat ishin pozitive (s > 0, x > 0). ku
Ne gjithashtu besojmë se projeksioni i shpejtësisë në këtë pozicion
është gjithashtu pozitive. Në rast të lëkundjeve, projeksioni i shpejtësisë
ndryshon shenjën, për shembull, kur kthehet në pozicion
ekuilibër. Këtu duhet pranuar se në konsideruar
momenti në kohë pika largohet nga pozicioni i ekuilibrit.
Ndjekja e këtij rekomandimi është e rëndësishme në të ardhmen
duke punuar me forcat e rezistencës të varura nga shpejtësia.
1.3. Lironi pikën materiale nga lidhjet, zëvendësoni
veprimi i tyre është reagimi, shtoni forcat aktive.
1.4. Shkruani ligjin bazë të dinamikës në formë vektoriale,
projektoni në akset e zgjedhura, shprehni të specifikuarin
ose forcat reaktive përmes variablave kohë, koordinata
ose shpejtësia, nëse varen prej tyre. 2. Zgjidhja e ekuacioneve diferenciale:
2.1. Ulni derivatin nëse ekuacioni nuk është
reduktuar në formë kanonike (standarde).
Për shembull:
dv x ose s dv.
x
,
dt
dt
2.2. Ndani variablat, për shembull:
dvx
1
dvx
1
dv
k
kdt ose
gv2,
kvx,
vx
m
dt
m
dt
m
dv
dt.
k 2
g v
m
2.3. Nëse ka tre variabla në ekuacion,
pastaj bëni një ndryshim të variablave, për shembull:
dv x
1
cx,
dt
m
dv x dx v x dv x
1
cx
dtdx
dx
m
dhe më pas ndani variablat. 2.4. Njehsoni integrale të pacaktuar në të majtë dhe
në anën e djathtë të ekuacionit, për shembull:
dv x
1
vx m kdt
1
ln v x kt C1
m
Duke përdorur kushtet fillestare, për shembull t = 0, vx = vx0,
përcaktoni konstantën e integrimit:
1
ln v x v k t 0 C1; C1 ln v x 0 .
x0
m
Komentoni. Në vend që të llogaritni integrale të pacaktuara, mundeni
vlerësoni integrale të përcaktuara me ndryshore sipërore
limit.
Kufijtë e poshtëm përfaqësojnë vlerat fillestare të variablave
(kushtet fillestare) Më pas nuk kërkohet gjetje e veçantë
një konstante që përfshihet automatikisht në zgjidhje, për shembull:
v
t
dv
1
v
m kdt.
v 0
0
ln v
v
v 0
1 t
kt 0;
m
ln v ln v 0
1
1
kt 0; ln v kt ln v 0 .
m
m 2.5. Shprehni shpejtësinë përmes derivatit të koordinatës në lidhje me
koha, për shembull,
dhe përsërisni
1
kt ln v 0
ds
paragrafët 2.2 -2.4
m
v
dt
e
Komentoni. Nëse ekuacioni reduktohet në kanonik
lloj që ka një zgjidhje standarde, atëherë kjo është një e gatshme
përdoret tretësira.
Integrime të vazhdueshme gjenden ende nga
kushtet fillestare. 18. Dinamika e një pike materiale të lirë
Lëvizja e një pike të hedhur në një kënd në horizontale brenda
fushë uniforme e gravitetit pa marrë parasysh
rezistenca e ajrit
dv x
0;
Oh
:
m
x
0
;
dt
ma
F G.
i
(Оy): m y G mg;
dv y
dt
dv x 0; dv y gdt;
vx
vy
t
vx 0
vy0
0
dv x 0; dv y gdt;
v x v x0 v0 cos;
y
v0
O
x
G
x
g;
dx
v0cos;
dt
x v0 kosto t;
v y v y 0 gt v0 sin gt;
dy
v0 sin gt;
dt
gt 2
y v0 mëkat t
;
219. Llojet e lëkundjeve të një pike materiale
1. Dridhjet e lira (pa marrë parasysh rezistencën
mjedisi).
2. Dridhjet e lira duke marrë parasysh rezistencën e mediumit
x
(lëkundjet e amortizuara).
3. Dridhjet e detyruara.
4. Lëkundjet e detyruara duke marrë parasysh rezistencën
mjedisi.
Dridhjet e lira - ndodhin nën ndikimin e
vetëm fuqi restauruese.
Le të shkruajmë ligjin bazë të dinamikës: ma G N R .
Le të zgjedhim një sistem koordinativ me qendrën në pozicion
ekuilibri (pika O) dhe projekti
ekuacioni për boshtin x:
O
m x R cx.
l
y
N
R
x
x
G
Le të paraqesim ekuacionin që rezulton
c
në formën standarde (kanonike): x k 2 x 0, ku k 2.
m Ky ekuacion është linear homogjen
ekuacioni diferencial i rendit të dytë, forma
zgjidhja e të cilit përcaktohet nga rrënjët
ekuacioni karakteristik i marrë duke përdorur
zëvendësimi universal: x e zt .
x zx2 e zt .
z 2 k 2 0.
Rrënjët e ekuacionit karakteristik
imagjinare dhe e barabartë: z1, 2 ki.
Zgjidhja e përgjithshme e diferencialit
ekuacioni ka formën: x C1 cos kt C2 sin kt.
Shpejtësia e pikës: x kC sin kt kC cos kt.
1
2
Kushtet fillestare: t 0 x x0 , x x 0 .
Le të përcaktojmë
konstante: x0 C1 cos k 0 C2 sin k 0 C11 C2 0.
x kC1 sin k 0 kC2 cos k 0 kC1 0 kC21.
C1 x0.
C2
x 0
.
k Lëkundjet e amortizuara të një pike materiale -
ndodh lëvizja osciluese e një pike materiale
në prani të fuqisë dhe forcës restauruese
rezistencë ndaj lëvizjes.
Varësia e forcës së rezistencës ndaj lëvizjes nga zhvendosja
ose shpejtësia përcaktohet nga natyra fizike e mediumit ose
lidhje që pengon lëvizjen. Më e thjeshta
varësia është lineare me shpejtësinë
(rezistenca viskoze).
Zhdukja e lëkundjeve ndodh shumë shpejt. Bazat
ndikimi i forcës së rezistencës viskoze - ulje
amplituda e lëkundjeve me kalimin e kohës. 20. Lëvizja relative e një pike materiale
Le të supozojmë se sistemi i koordinatave lëvizëse (jo inerciale) Oxyz lëviz përgjatë
ndaj disa ligjeve në lidhje me një sistem koordinativ fiks (inercial).
O1x1y1z1. Lëvizja e një pike materiale M (x, y, z) në raport me një pikë lëvizëse
sistemi Oxyz– relativ, në lidhje me sistemin stacionar O1x1y1z1–
absolute. Lëvizja e sistemit celular Oxyz në raport me atë të palëvizshëm
sistemet O1x1y1z1 – lëvizje portative.
Absolute
Ekuacioni bazë i dinamikës: ma Fi. nxitimi i pikës:
m(a a a) Fi .
r
e
c
a a a r a e a c.
Le të lëvizim termat me portativ dhe
r
e
c
Nxitimi i Coriolis në anën e djathtë: ma Fi ma ma .
Termat e transferuara kanë dimensionin e forcave dhe
konsiderohen si forca përkatëse
e ma e, c ma c.
inerci e barabartë me:
r
Në projeksionet në boshtin e sistemit lëvizës
ma Fi e c .
koordinatat kemi:
F
F
(Оz) : m z F
Pastaj lëvizja relative e pikës
(Ox) : m x
mund të konsiderohet si absolute
nëse i shtojmë forcat vepruese
(Oy) : m y
forcat e inercisë portative dhe Coriolis:
ix
ex cx ;
iy
ey cy;
iz
ez cz.
Faleminderit per vemendjen!
Leksioni 2
21. Dinamika e një sistemi mekanikSistemi i pikave materiale ose sistemi mekanik -
Një grup pikash materiale ose trupash materialë,
të bashkuara nga ligjet e përgjithshme të ndërveprimit (pozicioni
ose lëvizja e secilës prej pikave ose trupit varet nga pozicioni
dhe lëvizjet e të gjithë të tjerëve).
Një sistem pikash të lira - lëvizja e të cilave nuk është
kufizuar nga ndonjë lidhje (për shembull, planetare
sistemi në të cilin planetët konsiderohen si
pikat materiale).
Sistemi i pikëve jo i lirë ose jo i lirë
sistemi mekanik - lëvizja e pikave materiale ose
trupat kufizohen nga lidhjet e imponuara në sistem
(për shembull, mekanizmi, makineri, etj.).
Leksioni 2
22. Forcat që veprojnë në sistemKrahas klasifikimit të mëparshëm të forcave
(forcat aktive dhe reaktive) futet një e re
Klasifikimi i forcës:
1. Forcat e jashtme (e) – që veprojnë në pika dhe trupa
sistemi nga pikat ose organet që nuk përfshihen në
të këtij sistemi.
2. Forcat e brendshme (i) – forcat e ndërveprimit ndërmjet
pikat materiale ose trupat e përfshirë në një të dhënë
sistemi.
E njëjta forcë mund të jetë edhe e jashtme edhe
force e brendshme. E gjitha varet nga lloji mekanik
sistemi është duke u rishikuar.
Për shembull: Në sistemin Dielli, Toka dhe Hëna të gjitha forcat
tërheqja gravitacionale ndërmjet tyre është e brendshme. Në
duke marrë parasysh sistemin e gravitetit të Tokës dhe Hënës,
ato të aplikuara nga ana e Diellit janë të jashtme. Bazuar në ligjin e veprimit dhe reagimit të secilit
forca e brendshme Fk korrespondon me një tjetër të brendshme
forca Fk" e barabartë në madhësi dhe e kundërta në madhësi
drejtimin.
Nga kjo rrjedhin dy veti të jashtëzakonshme të forcave të brendshme:
1. Vektori kryesor i të gjitha forcave të brendshme të sistemit është i barabartë me
i
i
zero: R Fk 0.
2. Pika kryesore e të gjitha forcave të brendshme të sistemit
i
i
M
M
kO 0.
në raport me çdo qendër është zero: O
A
NË
Z
Xki 0; Yki 0; Z ki 0.
i
i
i
M
0
;
M
0
;
M
kx
ky
kz 0.
ME
Shënim: Edhe pse këto ekuacione janë të ngjashme me ekuacionet e ekuilibrit, ato janë
nuk janë të tilla, pasi zbatohen forcat e brendshme
në pika ose trupa të ndryshëm të sistemit dhe mund të shkaktojë lëvizjen e këtyre
pika (trupa) në lidhje me njëri-tjetrin. Nga këto ekuacione rezulton,
se forcat e brendshme nuk ndikojnë në lëvizjen e sistemit në shqyrtim
si një e tërë. 23. Qendra e masës së një sistemi pikash materiale
Për të përshkruar lëvizjen e sistemit në tërësi, ne prezantojmë
një pikë gjeometrike e quajtur qendra e masës, vektori i rrezes së së cilës përcaktohet nga shprehja
mk rk
r
,
C
ku M është masa e të gjithë sistemit:
Mmk.
M
Ose në projeksione në akset koordinative:
mk xk
xC
,
mk y k
yC
,
M
z m1
r1
rC
m2
O
x
yC
mk
C r
k
zC
r2
M
rn
xC
mn
y
mk z k
zC
.
M
Formulat për qendrën e masës
të ngjashme me formulat për qendrën
gravitetit. Megjithatë, koncepti i qendrës
masa është më e përgjithshme sepse nuk është
lidhur me forcat gravitacionale ose
forcat e gravitetit. 24. Teorema mbi lëvizjen e qendrës së masës së sistemit
mk a k F k F k ose mk
e
i
2
d
e
m
r
R
.
2 k k
dt
Në projeksionet në
boshtet e koordinatave:
d 2 rk
dt
2
Fke Fki. Le ta përmbledhim
këto ekuacione
në të gjitha pikat:
MrC mk rk .
d2
e
M
r
R
.
C
2
dt
mk
d 2 rk
dt 2
Fke Fki.
Re
M
d 2 rC
dt 2
Re
Ri 0
MAC R
M x C R ex Fxke; Teorema: Produkti
M y C R ey
M z C R ez
masë e sistemit nga
Fike; nxitimi i qendrës së tij
masa është e barabartë me kryesoren
e
Fzk. vektor i forcave të jashtme.
e Pasojat nga teorema mbi lëvizjen e qendrës së masës së sistemit
(ligjet e ruajtjes)
është zero, Re = 0, atëherë shpejtësia e qendrës së masës është konstante, vC = konst (qendra
masa lëviz në mënyrë të njëtrajtshme në një vijë të drejtë - ligji i ruajtjes së lëvizjes
qendra e masës).
2. Nëse në intervalin kohor projeksioni i vektorit kryesor të jashtëm
forcat e sistemit në boshtin x janë zero, Rxe = 0, atëherë shpejtësia e qendrës së masës përgjatë boshtit x
është e barabartë me zero, Re = 0, dhe në momentin fillestar shpejtësia e qendrës së masës është e barabartë me
zero, vC = 0, atëherë vektori i rrezes së qendrës së masës mbetet konstant, rC =
konst (qendra e masës është në qetësi - ligji i ruajtjes së pozicionit
qendra e masës).
forca e sistemit në boshtin x është zero, Rxe = 0, dhe në momentin fillestar shpejtësia
qendra e masës përgjatë këtij boshti është e barabartë me zero, vCx = 0, pastaj koordinata e qendrës së masës përgjatë
boshti x mbetet konstant, xC = konst (qendra e masës nuk lëviz përgjatë kësaj
boshti).
25. Impulsi i forcës
Një masë e ndërveprimit mekanik që karakterizon
transmetimi i lëvizjes mekanike nga aktrimi
në pikën e forcës për një periudhë të caktuar kohe:
S F (t 2 t1).
Në projeksionet në
t
t
t
koordinata (Ox): S x Fx dt; (Oy) : S y Fy dt ; (Oz) : S z Fz dt .
t
t
t
boshtet:
2
2
2
1
1
1
t2
Në rast të forcës konstante: S F dt
t1
S x Fx (t 2 t1);
S y Fy (t 2 t1);
S z Fz (t 2 t1);
Impulsi i rezultantit është i barabartë me gjeometrik
shuma e impulseve të forcave të aplikuara në një pikë gjatë një dhe të njëjtës
periudha e njëjtë kohore: R F1 F2 ... Fn.
R dt F1dt F2 dt ... Fn dt.
Le të integrohemi në t2
t2
t2
t2
intervali i dhënë R dt F1dt F2 dt ... Fn dt.
t1
t1
t1
t1
koha:
S S1 S 2 ... S n . 26. Lëvizja e një pike
e barabartë me prodhimin e masës së një pike dhe vektorit të saj
shpejtësia: Q mv.
Sasia e lëvizjes së një sistemi pikash materiale -
shuma gjeometrike e sasive të lëvizjes së materialit
pikë: Q Q1 Q2 ... Qn Qk .
Sipas përcaktimit të qendrës së masës:
P
m
v
Q Qk mk vk mk
drk
d
(mk rk).
dt
dt
MrC mk rk .
Vektori i momentit të sistemit është i barabartë me
produkt i masës së të gjithë sistemit dhe vektorit të shpejtësisë
qendra e masës së sistemit.
drC
d
Pastaj: Q dt (Mrc) M dt MvC .
Në projeksionet në
Q Mx C;
boshtet koordinative: x
QMvC.
Q y Mx C;
Q y Mx C . 26. Teorema mbi ndryshimin e momentit
sistemeve
Le të shqyrtojmë një sistem prej n pikash materiale. Bashkangjitur
Ne e ndajmë çdo pikë të forcës në të jashtme dhe të brendshme dhe
Le t'i zëvendësojmë me rezultantet përkatëse Fke dhe Fki.
Le të shkruajmë ekuacionin bazë të dinamikës për secilën pikë:
mk a k F ke F ki or mk dvk Fke Fki .
dt
Le t'i përmbledhim këto
Në anën e majtë të ekuacionit ne prezantojmë
ekuacionet
masat nën shenjën derivatore
në të gjitha pikat:
dhe zëvendësoni shumën e derivateve me
dvk
e
i
m
F
F
.
k
k
k
derivat i shumës: d (m v) R e .
dt
k k
dt
Nga përkufizimi
e
i
d
P
e
R
0
R
sasitë mk v k Q .
R.
Derivati i vektorit të momentit të sistemit në lidhje me kohën
dt është e barabartë me vektorin kryesor të forcave të jashtme të sistemit.
Sistemi i lëvizjes:
dQx
Në projeksionet mbi koordinatat dQx R e F e; dQx R e F e;
R e F xke .
xk
xk
dt
dt
dt
boshtet:
x
x
x 26. Pasojat nga teorema e ndryshimit të sasisë
lëvizja e sistemit (ligjet e ruajtjes)
:
1. Nëse në intervalin kohor vektori kryesor i jashtëm
forcat e sistemit është zero, Re = 0, pastaj vektori i sasisë
Lëvizja është konstante, Q = konst – ligji i ruajtjes
vrulli i sistemit.
2. Nëse në intervalin kohor projeksioni i vektorit kryesor
forcat e jashtme të sistemit në boshtin x janë të barabarta me zero, Rxe = 0, atëherë
projeksioni i momentit të sistemit në boshtin x
është konstante, Qx = konst.
Pohime të ngjashme janë të vërteta për boshtet y dhe z.
dQ
Ne projektojmë në bosht: τ m1 g cos m2 g cos 0.
dt
Ne ndajmë
P
t
variablat
dQτ (m1 g cos m2 g cos)dt 0.
0
dhe integroni: Q0
Prandaj ligji Qτ Qτ 0 0 ose Qτ 0 Qτ.
kursim: Mv m v m v.
1 1
2 2
Integrali i djathtë
pothuajse e barabartë
zero, sepse koha
shpërthim t<<1.
v2
Mv m1v1
v2.
m2 27. Momenti i një pike ose kinetike
momenti i lëvizjes në lidhje me një qendër
Një masë e lëvizjes mekanike e përcaktuar nga një vektor,
e barabartë me produktin vektorial të vektorit të rrezes
pika materiale nga vektori i momentit të saj:
P
v
Momenti kinetik i një sistemi pikash materiale
në lidhje me një qendër – gjeometrike
shuma e momenteve të sasive të lëvizjeve të të gjithëve
pikat materiale në lidhje me të njëjtën qendër:
m
K.O.
r
O
K O r Q r mv .
K x y (mv z) z (mv y);
K y z (mv x) x (mv z);
K z x (mv y) y (mv x).
Derivat i vektorit të momentit këndor
sistemet në lidhje me një qendër në kohë
e barabartë me momentin kryesor të forcave të jashtme të sistemit
në lidhje me të njëjtën qendër.
KO K1O K2O ... KnO KiO ri mi vi .
Në projeksione
Kx
në bosht:
K
ix
; K y Kiy;
K z Kiy. 28. Teorema mbi ndryshimin e momentit këndor
lëvizja e sistemit
Le të shqyrtojmë një sistem prej n pikash materiale. Bashkangjitur
Ne e ndajmë çdo pikë të forcës në të jashtme dhe të brendshme dhe
Le t'i zëvendësojmë me rezultantet përkatëse Fke dhe Fki.
Le të shkruajmë ekuacionin bazë të dinamikës për secilën pikë:
dvk
e
i
e
i
m
F
F
.
mk a k F k F k
k
ose
k
k
dt
Le të shumëzojmë vektorialisht secilën nga barazitë me vektorin e rrezes
majtas:
dv
rk mk
k
dt
Le t'i përmbledhim këto
ekuacionet për të gjithë
pika:
rk Fke rk Fki .
dvk
e
i
r
m
r
F
r
F
k
k k k k.
k
dt
e
M.O.
i
M.O.
0Le të shohim nëse mund të heqim shenjën e derivatit
përtej produktit kryq:
drk
dvk
d
(rk mk vk)
mk vk rk mk
dt
dt
dt
vk mk vk 0 (sin(vk , mk vk) 0)
dvk
rk mk
.
dt
d
e
r
m
v
M
k
k k
O.
dt
Kështu, kemi marrë:
Le të zëvendësojmë shumën e derivateve
te derivati i shumës: d
(rk mk v k) M Oe .
dt
Shprehja në kllapa është momenti këndor
sistemeve. Nga këtu:
dK
O
dt
M Oe. Në projeksionet në akset koordinative:
dKy
dK x
dK z
e
e
Mx;
M y;
Mze.
dt
dt
dt
Teorema: Derivat i vektorit të çift rrotullues
sasia e lëvizjes së sistemit në lidhje me
e disa qendrave është e barabartë në kohë me atë kryesore
momenti i forcave të jashtme të sistemit në lidhje me
të njëjtën qendër.
dK
O
dt
M Oe.
Teorema: Derivat i momentit të sasisë
lëvizja e sistemit në lidhje me një aks
e barabartë në kohë me momentin kryesor të jashtëm
forcat e sistemit në lidhje me të njëjtin bosht.
dKy
dK x
dK z
e
e
Mx;
M y;
Mze.
dt
dt
dt 29. Pasojat nga teorema e ndryshimit të çift rrotullues
vrulli i sistemit (ligjet e ruajtjes)
1. Nëse në intervalin kohor vektori i momentit kryesor
forcat e jashtme të sistemit në lidhje me një qendër
është e barabartë me zero, MOe = 0, pastaj vektori i momentit të sasisë
lëvizja e sistemit në lidhje me të njëjtën qendër
konstante, KO = konst – ligji i ruajtjes së çift rrotullues
vrulli i sistemit).
2. Nëse në intervalin kohor momenti kryesor i jashtëm
forca e sistemit në lidhje me boshtin x është zero, Mxe = 0, atëherë
momenti këndor i sistemit rreth boshtit x
konstante, Kx = konst.
Pohime të ngjashme janë të vërteta për boshtet y dhe z. 30. Elemente të teorisë së momenteve të inercisë
Në lëvizjen rrotulluese të një trupi të ngurtë, masa e inercisë
(rezistenca ndaj ndryshimit në lëvizje) është momenti
inercia në lidhje me boshtin e rrotullimit. Le të shohim kryesoren
koncepte përkufizimi dhe metoda për llogaritjen e momenteve
inercia.
30.1. Momenti i inercisë së një pike materiale
në raport me boshtin
2
2
2
Unë z mh m(x y)
z
h
m
z
r
O
h
x
x
y
y
Momenti i inercisë së materialit
pika në lidhje me boshtin është e barabartë
prodhimi i masës së një pike dhe
katrori i distancës së pikës nga boshti.
Përveç momentit boshtor të inercisë së një trupi të ngurtë
Ekzistojnë lloje të tjera të momenteve të inercisë:
I xy xydm
- momenti centrifugal i inercisë
trup i fortë. 30.2. Momenti i inercisë së një trupi të ngurtë rreth një boshti
z
I z mk hk2 mk (xk2 yk2)
hk
rk
mk
z
y
O
yk
x
Momenti i inercisë së një trupi të ngurtë
në lidhje me boshtin është e barabartë me shumën
produktet e masës së çdo pike
me katrorin e distancës së kësaj pike
te boshti.
Kur lëviz nga diskrete
masë e vogël në pafundësi
masa e një pike, kufiri i një shume të tillë
përcaktohet nga integrali:
xk
I z h 2 dm (x 2 y 2) dm
- momenti boshtor i inercisë
trup i fortë.
I O r dm (x y z)dm
2
2
2
2
- momenti polar
inercia e një trupi të fortë. 30.4. Momenti i inercisë së një shufre konstante uniforme
seksionet kryq në lidhje me boshtin
Le të zgjedhim vëllimin elementar dV = Adx në një distancë x:
zС
z
Elementare
pesha:
dm Adx
L
x
x
C
dx
L
3L
L
x
I z x 2 dm x 2 Adx A
3
0
0
0
L3 ML2
A
3
3
vendndodhjen e boshtit dhe vendosjen e kufijve të integrimit (-L/2,
L/2). Këtu ne demonstrojmë formulën për të lëvizur në
boshtet paralele:
2
2
M.L.
L
I zC M.
3
2
I z I zC d M .
2
I zC
2
ML L
ML2
M
.
3
12
2
230.5. Momenti i inercisë së një cilindri të ngurtë homogjen
në raport me boshtin e simetrisë
Le të zgjedhim vëllimin elementar: dV = 2πrdrH (cilindër i hollë
rrezja r
Masa elementare:
dm 2 rdrH
R
R
I z r dm r 2 2 rdrH
2
0
0
4R
r
2H
4
0
R 4 MR 2
2H
4
2
MR 2
Iz
2
Meqenëse lartësia e cilindrave nuk përfshihet në rezultat
formulat për momentet e inercisë, atëherë ato mbeten
e vlefshme për një disk të ngurtë dhe buzë të hollë
rrota (unazë e hollë). 31. Momenti kinetik i një trupi të ngurtë
ΔK zi hi Δmi vi hi Δmi z hi h Δmi .
2
z i
K z ΔK zi z h Δmi z I z.
2
i
Ose duke ecur përpara
tek infinite-vogels:
dK z hdmv hdm z h z h dm.
2
K z dK z z h 2 dm z I z.
Momenti kinetik i rrotullimit
trupi është i barabartë me produktin e këndores
shpejtësia në momentin e inercisë
në raport me boshtin e rrotullimit.
z
z
përshëndetje
Δmi
vi
x
y 32. Ekuacioni diferencial i rrotullimit
trup i ngurtë në raport me boshtin
Le të shkruajmë teoremën për ndryshimin e momentit këndor
një trup i ngurtë që rrotullohet rreth një boshti fiks:
dK z
Mze.
dt
Momenti kinetik i një trupi të ngurtë rrotullues është i barabartë me:
z
z
z
Mz
x
K z z I z.
Momenti i forcave të jashtme në lidhje me boshtin
rrotullimi është i barabartë me çift rrotullues
(reaksionet dhe graviteti M e M M
z
z
rrotullohen
mos krijoni shanse):
Zëvendësojmë momentin kinetik dhe
y
çift rrotullues në teoremë
d (z I z)
M z M rrotullim
dt
I z M z M rrotullim 33. Teoria elementare e xhiroskopit
Xhiroskop - një trup i ngurtë që rrotullohet rreth një boshti
simetria materiale, një nga pikat e së cilës
i palëvizshëm.
Xhiroskopi i lirë - i fiksuar në mënyrë që qendra e masës së tij
mbetet i palëvizshëm, dhe boshti i rrotullimit kalon nëpër të
qendra e masës dhe mund të marrë çdo pozicion brenda
hapësirë, d.m.th. boshti i rrotullimit ndryshon pozicionin e tij
ngjashëm me boshtin e rrotullimit të vetë trupit në
lëvizje sferike.
KC
ω Supozimi kryesor i përafërt (elementar)
teoria e xhiroskopit – vektor i momentit të sasisë
merret parasysh lëvizja (momenti kinetik) i rotorit
drejtuar përgjatë boshtit të vet të rrotullimit.
Vetia kryesore e një xhiroskopi të lirë është boshti i rotorit
ruan një drejtim konstant në hapësirë përgjatë
në raport me kornizën e referencës inerciale (yjore).
(e demonstruar nga lavjerrësi i Foucault, i cili mban
në lidhje me yjet aeroplani i lëkundjes, 1852).
Kjo rrjedh nga ligji i ruajtjes së momentit këndor
në lidhje me qendrën e masës së rotorit, me kusht
neglizhimi i fërkimit në kushinetat e boshteve të pezullimit
rotori, korniza e jashtme dhe e brendshme:
dK C
M Ce 0;
dt
K C konst. 34. Veprimi i forcës në boshtin e një xhiroskopi të lirë
Në rastin e një force të aplikuar në boshtin e rotorit,
momenti i forcave të jashtme në raport me qendrën e masës nuk është i barabartë
zero:
dK
M e Fh.
C
dt
M Ce r F;
C
Derivat i momentit këndor në lidhje me kohën
e barabartë me shpejtësinë e fundit të këtij vektori (teorema e Rézal-it):
dK C
dr
v K ; (v).
dt
dt
vK
z
M Ce.
Kjo do të thotë se boshti i rotorit do të jetë
devijojnë nga drejtimi i veprimit
forcë, dhe drejt vektorit të çift rrotullues
kjo forcë, d.m.th. nuk do të kthehet
në lidhje me boshtin x (të brendshëm
pezullim), dhe në lidhje me boshtin y
(pezullim i jashtëm).
F
h
vK
y
ME
M Ce
x
ω
KC Kur forca pushon, boshti i rotorit do të mbetet
në një pozicion konstant që korrespondon me
momenti i fundit i kohës së veprimit të forcës, sepse
nga ky moment në kohë përsëri momenti i forcave të jashtme
bëhet e barabartë me zero.
Në rast të një force (ndikimi) afatshkurtër, boshti
Xhiroskopi praktikisht nuk e ndryshon pozicionin e tij.
Kështu, rrotullimi i shpejtë i rotorit komunikon
aftësia e xhiroskopit për të kundërvepruar rastësisht
influencon duke tentuar të ndryshojë pozicionin e boshtit
rrotullimi i rotorit, dhe me forcë konstante
ruan pozicionin e rrafshit pingul me
forca vepruese në të cilën shtrihet boshti i rotorit. Këto veti
përdoret në funksionimin e sistemeve të navigimit inercial.
Faleminderit per vemendjen!
Shembull: Dy njerëz me masa m1 dhe m2 janë në një varkëmasë m3. Në momentin fillestar, një varkë me njerëz
ishte në pushim. Përcaktoni zhvendosjen e varkës nëse
një person me masë m2 u zhvendos në harkun e varkës në një distancë a.
1. Objekti i lëvizjes
(varkë me njerëz):
x2
y
x1
2. Ne i hedhim lidhjet (uji):
A
G3
3. Zëvendësoni lidhjen me një reagim:
4. Shtoni forcat aktive:
G1
R
G2
x
O
Projektoni në boshtin x:
M x C 0.
xC konst.
MaC R e G1 G2 G3 N
0 m1b m2 a.
b
m2
a.
m1
x3
x C konsiston 0.
mk xk 0 mk xk .
m2 a
0 m1l m2 (l a) m3l
l
m1 m2 m3
në drejtim të kundërt.
17
Leksioni 6 (vazhdim nga 6.2)
Teorema mbi lëvizjen e qendrës së masës së një sistemi – Konsideroni një sistem prej n pikash materiale. Ne ndajmë forcat e aplikuara në secilën pikënë të jashtme dhe të brendshme dhe t'i zëvendësojë me rezultantet përkatëse Fke dhe Fki. Le të shkruajmë ekuacionin bazë për secilën pikë
folësit:
ose
d 2 rk
e
i
d 2 rk
Le t'i përmbledhim këto ekuacione
mk a k F ke F ki
mk
F
F
.
m
k 2 Fke Fki .
k
k
në të gjitha pikat:
dt 2
dt
Në anën e majtë të ekuacionit prezantojmë masat nën shenjën e derivatit
d2
(m r) R e.
dhe zëvendësoni shumën e derivateve me derivatin e shumës:
2 k k
Nga përkufizimi i qendrës së masës:
Pas heqjes së masës së sistemit
për shenjën e derivatit marrim
Në projeksionet në akset koordinative:
MrC mk rk .
M
d 2 rC
dt
2
dt
Le të zëvendësojmë në ekuacionin që rezulton:
R e ose:
M x C R ex X ke;
M y C R ey Yke;
MaC R e
d2
(MrC) R e .
2
dt
Re
Ri 0
Prodhimi i masës së një sistemi dhe nxitimi i masës qendrore të tij
e barabartë me vektorin kryesor të forcave të jashtme.
Qendra e masës së sistemit lëviz si pikë materiale me masë të barabartë me masën
i gjithë sistemi në të cilin zbatohen të gjitha forcat e jashtme që veprojnë në sistem.
Shembull: Dy njerëz me masa m1 dhe m2 janë në një varkë me masë m3.
Në momentin fillestar, varka me njerëz ishte në pushim.
Përcaktoni zhvendosjen e varkës nëse një person me masë m2 lëviz në hark
Pasojat nga teorema mbi lëvizjen e qendrës së masës së sistemit
varkat në distancë.
y
(ligjet e ruajtjes):
x2
A
1. Nëse në intervalin kohor vektori kryesor i forcave të jashtme të sistemit
x
1. Objekti i lëvizjes (varkë me njerëz):
1
është zero, Re = 0, atëherë shpejtësia e qendrës së masës është konstante, vC = konst
2. Ne i hedhim lidhjet (uji):
(qendra e masës lëviz në mënyrë uniforme në një vijë të drejtë - ligji i ruajtjes
3.
Ne e zëvendësojmë lidhjen me një reagim:
G1
x
lëvizja e qendrës së masës).
O
G2
2. Nëse në intervalin kohor projeksioni i vektorit kryesor të forcave të jashtme 4. Shtoni forcat aktive:
sistemi në boshtin x është zero, Rxe = 0, atëherë shpejtësia e qendrës së masës përgjatë boshtit x
5. Shkruajmë teoremën për qendrën e masës:
konstante, vCx = konst (qendra e masës lëviz në mënyrë të njëtrajtshme përgjatë boshtit).
G3
R
MaC R e G1 G2 G3 N
Pohime të ngjashme janë të vërteta për boshtet y dhe z.
x3
3. Nëse në intervalin kohor vektori kryesor i forcave të jashtme të sistemit
Projektoni në boshtin x: M x C 0.
x C konsiston 0.
është zero, Re = 0, dhe në momentin fillestar shpejtësia e qendrës së masës është zero,
xC konst.
vC = 0, atëherë vektori i rrezes së qendrës së masës mbetet konstant, rC = konst (qendra
mk xk 0 mk xk .
masa është në qetësi - ligji i ruajtjes së pozicionit të qendrës së masës).
Le të përcaktojmë se sa larg i duhet një personi me masë m1 për të ndryshuar vendet,
m1 x1 m2 x2 m3 x3 m1 (x1 l) m2 (x2 l a) m3 (x3 l)
4. Nëse në intervalin kohor projeksioni i vektorit kryesor të jashtëm
forcë
për ta mbajtur varkën në vend:
sistemi në boshtin x është zero, Rxe = 0, dhe në momentin fillestar shpejtësia qendrore
m2 a
0 m1l m2 (l a) m3l
m1 x1sipas kesaj
m2 x2 akse
i barabartë
m1 (x1v Cxb=) 0,
m
(x2 a) mcenter
l
masat
te2 koordinoj
masë e boshtit x
3 x 3 zero,
3 x 3.
m1 m2 m3
m2
mbetet konstante, xC = konst (qendra e masës nuk lëviz përgjatë këtij boshti).
Varka do të lëvizë një distancë l
b
a
.
0
m
b
m
a
.
I ngjashëm
e vlefshme për boshtet ym dhe z.
1 deklarata
2
17
në drejtim të kundërt.
M z C R ez Z ke .
1
Leksioni 8 (vazhdim nga 8.2)
4.Momenti i inercisë së një shufre konstante uniforme
seksionet në lidhje me boshtin:
Le të theksojmë elementaren
zС
vëllimi dV = Adx
z
L
në distancë x:
5.
Momenti i inercisë së një cilindri të ngurtë homogjen
në lidhje me boshtin e simetrisë:
Le të theksojmë elementaren
vëllimi dV = 2πrdrH
(cilindër i hollë me rreze r):
Elementare
pesha:
dm 2 rdrH
z
R
x
dx
L
Elementare
pesha:
dm
C
x
L
3L
x
I z x dm x Adx A
3
0
0
2
2
0
Adx
H
R
L3 ML2
A
3
3
y
Për të llogaritur momentin e inercisë në raport me atë qendror
boshti (duke kaluar nëpër qendrën e gravitetit) mjafton të ndryshohet
vendndodhjen e boshtit dhe vendosjen e kufijve të integrimit (-L/2, L/2).
Këtu demonstrojmë formulën për kalimin në paralel
sëpata:
2
2
I z I zC d 2 M .
2
I zC
6.
ML2 L
ML2
M
.
3
12
2
0
0
4R
x
r
r
2H
4
dr
0
R 4 MR 2
2H
4
2
Këtu përdorim formulën për vëllimin e një cilindri V=πR2H.
Për të llogaritur momentin e inercisë së një cilindri të zbrazët (të trashë).
mjafton të vendosni kufijtë e integrimit nga R1 në R2 (R2> R1):
M.L.
L
I zC M.
3
2
r4
I z 2 H
4
R2
R1
2
2
R24 R14 M (R 2 R1)
2H
.
4
4
2
Momenti i inercisë së një cilindri të hollë në lidhje me boshtin Meqenëse lartësia e cilindrave si rezultat nuk përfshihet në formulat e momentit
inercisë, atëherë ato mbeten të vlefshme për një disk të ngurtë të hollë dhe
simetri (t<
R
z t
Për shkak të trashësisë së vogël të cilindrit
supozojmë se të gjitha pikat janë të vendosura
në të njëjtën distancë R me boshtin
dhe nuk kërkohet integrim.
Vëllimi V = 2πRtH. (cilindër i hollë
rreze R me trashësi muri t).
H
y
x
R
I z r 2 dm r 2 2 rdrH
■
z
2
M ((R 2 (R t) 2) M (2 R 2 2 Rt t 2) 2R .
Iz
.
2
2
Le të zgjedhim një vëllim të vogël diskret të masës mi:
ΔK zi hi Δmi vi hi Δmi z hi z hi2 Δmi .
z
përshëndetje
I z R 2 2 RtH MR 2 .
E njëjta gjë mund të arrihet duke përdorur
formulat për një cilindër me mure të trasha, duke marrë parasysh
t vogla:
Momenti i një trupi të ngurtë
Δmi
x
K z ΔK zi z hi2 Δmi z I z.
vi
Ose kalimi në infinitesimals:
y
dK z hdmv hdm z h z h 2 dm.
K z dK z z h 2 dm z I z.
Momenti këndor i një trupi rrotullues është i barabartë me produktin
shpejtësia këndore në momentin e inercisë në raport me boshtin e rrotullimit.
22Teorema e Euler-it
Teorema: Zbatimi i teoremës së ndryshimit të sasisë
lëvizja e sistemit në lëvizjen e një mediumi të vazhdueshëm (uji).
(x) : M sec (v2 x v1x) Rxrev Rxrev;
(y) : M sec (v2 y v1 y) R yob R ypov;
(z) : Lëvizje
Rz ndodhet
.
sek (v2 z v1 vëllim
z) Rzwater,
1.Zgjidhni si objekt
në kanalin e lakuar të turbinës:
2. I hedhim lidhjet dhe veprimin e tyre e zëvendësojmë me reaksione (Rpov është rezultante e forcave sipërfaqësore)
3. Shtoni forcat aktive (Rob – rezultante e forcave vëllimore):
rreth
v1
F1
A
A
B
B
Rob
Sasia e lëvizjes së ujit në kohët t0 dhe t1
Në projeksionet si
për shumat:
boshtet:
le të imagjinojmë
Q Q Q .
0
C
D
F2
v2
AB
B.C.
Q1 QBC QCD .
,
Ndryshimi në momentin e ujit në intervalin kohor:
Q Q1 Q0 QCD QAB .
Ndryshimi i sasisë
lëvizjes
vektorët e ujit të sasive të dyta të lëvizjes së lëngut në bosht është e barabartë me
Diferenca
projeksionet
dQ dQCD dQAB, ku dQAB (F1v1dt)v1;
për pafundësi
intervali
koha
dt: vektorë
shuma e projeksioneve të kryesore
forcat vëllimore dhe sipërfaqësore në të njëjtin bosht.
dQCD (F2v2 dt)v2 .
Marrja e produktit të densitetit, sipërfaqes së prerjes tërthore dhe shpejtësisë si masë e dytë
marrim:
dQ (M dt)v ;
AB
dQ
Rob Rp.
dt
4. Shkruajmë teoremën për ndryshimin e momentit të sistemit:
RPov
C
D
pov
sek
1
dQCD (M sec dt)v2.
dQ M sek (v2 v1)dt.
M sec F1v1 F2v2,
Zëvendësimi i diferencialit të momentit të sistemit
në teoremën e ndryshimit marrim:
M sec (v2 v1) Rrev Rrev.
Dallimi gjeometrik ndërmjet vektorëve të sasive të dyta të lëvizjes së lëngut është i barabartë me
shuma e vektorëve kryesorë të forcave vëllimore dhe sipërfaqësore.