Një trekëndësh është lloji më i thjeshtë i shumëkëndëshit, i cili ka tre kënde dhe tre brinjë. Anët formohen nga segmente që lidhen me njëra-tjetrën nga tre pika në rrafsh, duke formuar kështu një formë të ngurtë. Barazia 2 trekëndëshat mund të konfirmohet me disa metoda.
Udhëzimet
1. Nëse ju trekëndëshat ABC dhe DEF janë dy brinjë të barabarta, dhe këndi?, ai i vendosur ndërmjet dy brinjëve të trekëndëshit ABC, është i barabartë me këndin?, ai i vendosur ndërmjet brinjëve përkatëse të trekëndëshit DEF, atëherë këta dy trekëndësha janë të barabartë ndaj njëri-tjetrit.
2. Nëse ju trekëndëshat Ana ABC dhe DEF AB është e barabartë me brinjën DE, dhe këndet ngjitur me brinjën AB janë të barabartë me këndet ngjitur me brinjën DE, atëherë këta trekëndësha konsiderohen kongruentë.
3. Nëse ju trekëndëshat Brinjët ABC AB, BC dhe CD janë të barabarta me brinjët e tyre përkatëse të trekëndëshit DEF, atëherë këta trekëndësha janë kongruentë.
Kushtojini vëmendje!
Nëse keni nevojë të konfirmoni barazinë e 2 trekëndëshave, atëherë kjo mund të bëhet duke përdorur shenjat e mëposhtme të barabarta të trekëndëshave kënddrejtë: - një nga këmbët dhe hipotenuza - njëra nga këmbët dhe këndi akut ngjitur; për të - përgjatë hipotenuzës dhe njërit prej këndeve akute (nëse të gjitha këndet e tij janë më të vogla se 90 gradë), të mpirë (nëse njëri prej këndeve të tij është më i madh se 90 gradë), barabrinjës dhe dykëndësh. anët janë të barabarta).
Këshilla të dobishme
Përveç që trekëndëshat janë të barabartë me njëri-tjetrin, të njëjtët trekëndësha janë të ngjashëm. Trekëndësha të ngjashëm janë ata, këndet e të cilëve janë të barabartë me njëri-tjetrin, dhe brinjët e një trekëndëshi janë në përpjesëtim me brinjët e një tjetri. Vlen të përmendet se nëse dy trekëndësha janë të ngjashëm me njëri-tjetrin, kjo nuk garanton barazinë e tyre. Kur anët e ngjashme të trekëndëshave ndahen me njëra-tjetrën, llogaritet i ashtuquajturi indeksi i ngjashmërisë. Ky tregues mund të merret edhe duke ndarë sipërfaqet e trekëndëshave të ngjashëm.
Teorema 1 . Madhësia e këndit të brendashkruar është e barabartë me gjysmën e madhësisë së këndit qendror të nënshtruar nga i njëjti hark.
Dëshmi . Le të shqyrtojmë së pari këndin e mbishkruar ABC, anash B.C. që është diametri i rrethit dhe këndi qendror AOC(Fig. 5).
Që nga segmentet A.O. Dhe B.O. janë rrezet e rrethit, pastaj trekëndëshi AOB– izosceles, dhe këndi ABO e barabartë me këndin OAB. Sepse këndi AOCështë këndi i jashtëm i trekëndëshit AOB, atëherë barazitë janë të vërteta
Kështu, në rastin kur njëra nga brinjët e këndit të brendashkruar kalon nga qendra e rrethit, vërtetohet teorema 1.
Tani merrni parasysh rastin kur qendra e rrethit shtrihet brenda këndit të brendashkruar (Fig. 6).
dhe Teorema 1 vërtetohet në këtë rast.
Mbetet të shqyrtojmë rastin kur qendra e rrethit shtrihet jashtë këndit të brendashkruar (Fig. 7).
Në këtë rast barazitë janë të vërteta
e cila plotëson vërtetimin e Teoremës 1.
Teorema 2 . Madhësia e këndit të formuar nga kordat e kryqëzuara është e barabartë me gjysmën e shumës së madhësive të harqeve të mbyllura midis anëve të tij.
Dëshmi . Merrni parasysh figurën 8.
Ne jemi të interesuar për këndin AED E akorde AB Dhe CD. Sepse këndi AED– këndi i jashtëm i një trekëndëshi krevat, dhe këndet CDB Dhe ABD
Q.E.D.
Teorema 3 . Madhësia e këndit të formuar nga sekantet që kryqëzohen jashtë rrethit është e barabartë me gjysmën e ndryshimit në madhësitë e harqeve të mbyllura midis anëve të këtij këndi.
Dëshmi . Merrni parasysh figurën 9.
Ne jemi të interesuar për këndin krevat, i formuar duke u prerë në një pikë E sekante AB Dhe CD. Sepse këndi ADC– këndi i jashtëm i një trekëndëshi ADE, dhe këndet ADC , DCB Dhe DAB janë kënde të brendashkruara, atëherë barazitë janë të vërteta
Q.E.D.
Teorema 4 . Madhësia e këndit të formuar nga një tangjente dhe një kordë që kalon nëpër pikën e kontaktit është e barabartë me gjysmën e madhësisë së harkut të mbyllur midis anëve të tij.
Dëshmi . Merrni parasysh figurën 10.
Ne jemi të interesuar për këndin BAC e formuar nga tangjentja AB dhe akord A.C.. Sepse pas Krishtitështë diametri që kalon nëpër pikën e kontaktit dhe këndi ACDështë një kënd i brendashkruar në bazë të diametrit, pastaj këndeve DAB Dhe DCA– drejt. Prandaj barazitë janë të vërteta
Q.E.D.
Teorema 5 . Madhësia e këndit të formuar nga një tangjente dhe një sekant është e barabartë me gjysmën e ndryshimit në madhësitë e harqeve të mbyllura midis anëve të këtij këndi.
Dëshmi . Merrni parasysh figurën 11.
Ne jemi të interesuar për këndin krevat e formuar nga tangjentja AB dhe sekant CD. Vini re se këndi BDC– këndi i jashtëm i një trekëndëshi DBE, dhe këndet BDC Dhe BCD janë kënde të brendashkruara. Për më tepër, këndet DBE Dhe DCB, në bazë të Teoremës 4, janë të barabarta. Prandaj barazitë janë të vërteta
Që nga kohët e lashta e deri më sot, kërkimi i shenjave të barazisë së figurave konsiderohet një detyrë themelore, e cila është baza e themeleve të gjeometrisë; qindra teorema vërtetohen duke përdorur teste të barazisë. Aftësia për të vërtetuar barazinë dhe ngjashmërinë e figurave është një detyrë e rëndësishme në të gjitha fushat e ndërtimit.
Vënia në praktikë e aftësisë
Supozoni se kemi një figurë të vizatuar në një copë letër. Në të njëjtën kohë, kemi një vizore dhe një raportor me të cilin mund të matim gjatësitë e segmenteve dhe këndet ndërmjet tyre. Si të transferoni një figurë me të njëjtën madhësi në një fletë të dytë letre ose të dyfishoni shkallën e saj.
Ne e dimë se një trekëndësh është një figurë e përbërë nga tre segmente të quajtura brinjë që formojnë këndet. Kështu, ekzistojnë gjashtë parametra - tre anë dhe tre kënde - që përcaktojnë këtë figurë.
Sidoqoftë, pasi të keni matur madhësinë e të tre anëve dhe këndeve, transferimi i kësaj figure në një sipërfaqe tjetër do të jetë një detyrë e vështirë. Për më tepër, ka kuptim të shtrohet pyetja: a nuk do të mjaftonte të njihni parametrat e dy anëve dhe një këndi, apo vetëm tre anëve?
Pasi të kemi matur gjatësinë e dy anëve dhe ndërmjet tyre, më pas do ta vendosim këtë kënd në një copë letre të re, në mënyrë që të mund të rikrijojmë plotësisht trekëndëshin. Le të kuptojmë se si ta bëjmë këtë, të mësojmë se si të vërtetojmë shenjat me të cilat ato mund të konsiderohen të njëjta dhe të vendosim se cili numër minimal i parametrave është i mjaftueshëm për të ditur në mënyrë që të jemi të sigurt se trekëndëshat janë të njëjtë.
E rëndësishme! Shifrat quhen identike nëse segmentet që formojnë brinjët dhe këndet e tyre janë të barabarta me njëri-tjetrin. Shifra të ngjashme janë ato brinjët dhe këndet e të cilave janë proporcionale. Kështu, barazia është ngjashmëri me një koeficient proporcionaliteti prej 1.
Cilat janë shenjat e barazisë së trekëndëshave Le të japim përkufizimin e tyre:
- shenja e parë e barazisë: dy trekëndësha mund të konsiderohen identikë nëse dy nga brinjët e tyre janë të barabarta, si dhe këndi midis tyre.
- shenja e dytë e barazisë së trekëndëshave: dy trekëndësha do të jenë të njëjtë nëse dy kënde janë të njëjtë, si dhe brinja përkatëse midis tyre.
- Shenja e tretë e barazisë së trekëndëshave : Trekëndëshat mund të konsiderohen identikë kur të gjitha brinjët e tyre janë me gjatësi të barabartë.
Si të vërtetohet se trekëndëshat janë kongruentë. Le të japim një provë të barazisë së trekëndëshave.
Dëshmi për 1 shenjë
Për një kohë të gjatë, në mesin e matematikanëve të parë kjo shenjë konsiderohej një aksiomë, megjithatë, siç doli, mund të vërtetohet gjeometrikisht bazuar në aksioma më themelore.
Konsideroni dy trekëndësha - KMN dhe K 1 M 1 N 1 . Ana KM ka të njëjtën gjatësi si K 1 M 1, dhe KN = K 1 N 1. Dhe këndi MKN është i barabartë me këndet KMN dhe M 1 K 1 N 1.
Nëse KM dhe K 1 M 1, KN dhe K 1 N 1 i konsiderojmë si dy rreze që dalin nga e njëjta pikë, atëherë mund të themi se këndet midis këtyre çifteve të rrezeve janë të njëjta (kjo përcaktohet nga kushti i teorema). Le të bëjmë një transferim paralel të rrezeve K 1 M 1 dhe K 1 N 1 nga pika K 1 në pikën K. Si rezultat i këtij transferimi, rrezet K 1 M 1 dhe K 1 N 1 do të përkojnë plotësisht. Le të vizatojmë në rreze K 1 M 1 një segment me gjatësi KM, me origjinë nga pika K. Meqenëse, sipas kushtit, segmenti që rezulton do të jetë i barabartë me segmentin K 1 M 1, atëherë pikat M dhe M 1 përputhen. Në mënyrë të ngjashme me segmentet KN dhe K 1 N 1. Kështu, duke transferuar K 1 M 1 N 1 në mënyrë që pikat K 1 dhe K të përkojnë dhe të dy anët të mbivendosen, ne marrim një koincidencë të plotë të vetë figurave.
E rëndësishme! Në internet ka prova të barazisë së trekëndëshave nga dy anët dhe një kënd duke përdorur identitete algjebrike dhe trigonometrike me vlera numerike të brinjëve dhe këndeve. Megjithatë, historikisht dhe matematikisht, kjo teoremë u formulua shumë përpara algjebrës dhe më herët se trigonometria. Për të vërtetuar këtë veçori të teoremës, është e gabuar të përdoret diçka tjetër përveç aksiomave bazë.
Evidenca 2 shenja
Le të vërtetojmë shenjën e dytë të barazisë në dy kënde dhe një anë, bazuar në të parën.
Evidenca 2 shenja
Le të shqyrtojmë KMN dhe PRS. K është e barabartë me P, N është e barabartë me S. Ana KN ka të njëjtën gjatësi si PS. Është e nevojshme të vërtetohet se KMN dhe PRS janë të njëjta.
Le të pasqyrojmë pikën M në lidhje me rrezen KN. Le ta quajmë pikën që rezulton L. Në këtë rast, gjatësia e anës KM = KL. NKL është e barabartë me PRS. KNL është e barabartë me RSP.
Meqenëse shuma e këndeve është e barabartë me 180 gradë, atëherë KLN është e barabartë me PRS, që do të thotë PRS dhe KLN janë të njëjta (të ngjashme) në të dy anët dhe këndin, sipas shenjës së parë.
Por, meqenëse KNL është e barabartë me KMN, atëherë KMN dhe PRS janë dy shifra identike.
Evidenca 3 shenja
Si të përcaktohet se trekëndëshat janë kongruentë. Kjo rrjedh drejtpërdrejt nga prova e veçorisë së dytë.
Gjatësia KN = PS. Meqenëse K = P, N = S, KL=KM dhe KN = KS, MN=ML, atëherë:
Kjo do të thotë që të dy figurat janë të ngjashme me njëra-tjetrën. Por duke qenë se anët e tyre janë të njëjta, ato janë gjithashtu të barabarta.
Shumë pasoja vijnë nga shenjat e barazisë dhe ngjashmërisë. Njëra prej tyre është se për të përcaktuar nëse dy trekëndësha janë të barabartë apo jo, është e nevojshme të dihen vetitë e tyre, nëse janë të njëjta:
- të tria anët;
- të dy anët dhe këndi ndërmjet tyre;
- të dy këndet dhe anën ndërmjet tyre.
Përdorimi i testit të barazisë së trekëndëshit për zgjidhjen e problemave
Pasojat e shenjës së parë
Gjatë provës, mund të arrihet në një sërë pasojash interesante dhe të dobishme.
- . Fakti që pika e prerjes së diagonaleve të një paralelogrami i ndan ato në dy pjesë identike është pasojë e shenjave të barazisë dhe është mjaft e përshtatshme për të vërtetuar brinjët e trekëndëshit shtesë (me një konstruksion pasqyre, si në prova që realizuam) janë brinjët e kryesores (anët e paralelogramit).
- Nëse ka dy trekëndësha kënddrejtë që kanë të njëjtat kënde akute, atëherë ata janë të ngjashëm. Nëse këmba e të parit është e barabartë me këmbën e të dytit, atëherë ato janë të barabarta. Kjo është mjaft e lehtë për t'u kuptuar - të gjithë trekëndëshat kënddrejtë kanë një kënd të drejtë. Prandaj, shenjat e barazisë janë më të thjeshta për ta.
- Dy trekëndësha me kënde të drejta, në të cilët dy këmbët kanë të njëjtën gjatësi, mund të konsiderohen identikë. Kjo për faktin se këndi midis dy këmbëve është gjithmonë 90 gradë. Prandaj, sipas kriterit të parë (nga dy brinjë dhe këndi ndërmjet tyre), të gjithë trekëndëshat me kënde të drejta dhe këmbë të njëjta janë të barabartë.
- Nëse ka dy trekëndësha kënddrejtë, dhe njëra këmbë dhe hipotenuza e tyre janë të barabarta, atëherë trekëndëshat janë të njëjtë.
Le të vërtetojmë këtë teoremë të thjeshtë.
Ka dy trekëndësha kënddrejtë. Njëra ka brinjë a, b, c, ku c është hipotenuza; a, b - këmbët. E dyta ka brinjë n, m, l, ku l është hipotenuza; m, n - këmbët.
Sipas teoremës së Pitagorës, njëra nga këmbët është e barabartë me:
;
.
Kështu, nëse n = a, l = c (barazia e këmbëve dhe hipotenuseve), përkatësisht, këmbët e dyta do të jenë të barabarta. Shifrat, në përputhje me rrethanat, do të jenë të barabarta sipas karakteristikës së tretë (në tre anët).
Le të vërejmë një pasojë më të rëndësishme. Nëse ka dy trekëndësha të barabartë, dhe ata janë të ngjashëm me një koeficient ngjashmërie k, domethënë, raportet në çift të të gjitha anëve të tyre janë të barabarta me k, atëherë raporti i sipërfaqeve të tyre është i barabartë me k2.
Shenja e parë e barazisë së trekëndëshave. Video mësimi për gjeometrinë e klasës së 7-të
Gjeometria 7 Shenja e parë e barazisë së trekëndëshave
konkluzioni
Tema që kemi diskutuar do të ndihmojë çdo student të kuptojë më mirë konceptet bazë gjeometrike dhe të përmirësojë aftësitë e tyre në botën interesante të matematikës.
Këtë herë propozoj të organizohet diçka si një “maratonë e bazuar në prova” për zgjidhjen e problemeve që u ofrohen nxënësve të klasës së nëntë në Provimin Akademik Shtetëror në matematikë. Ato lidhen me vërtetimin e fakteve gjeometrike të thjeshta, por në të njëjtën kohë shumë të dobishme. Artikulli qëllimisht nuk ofron zgjidhje të detajuara për problemet, vetëm disa skica dhe këshilla. Mundohuni ta kapërceni vetë këtë distancë maratonë, pa gabime dhe me një qasje.
Detyra 1. Vërtetoni se përgjysmorët e këndeve fqinjë janë pingul.
Këndi α caktohet nga një hark, β me dy
Dëshmi: nga figura duket qartë se α + α + β + β = 2α + 2β = 180 0 (kënd i drejtë), pra, α + β = 90 0 . Q.E.D.
Detyra 2. Dy segmente A.C. Dhe BD kryqëzohen në një pikë O, e cila është mesi i secilit prej tyre. Vërtetoni barazinë e trekëndëshave ACD Dhe CAB.
ABCD, natyrisht, do të jetë një paralelogram, por kjo nuk është dhënë në kusht
Dëshmi: trekëndëshat anësorë janë të barabartë në dy brinjë dhe këndi ndërmjet tyre ( B.O. = O.D.- sipas gjendjes, A.O. = O.C.- sipas kushtit, ∠ DOC = ∠AOB- vertikale), që është ∠ ACD = ∠CAB, dhe meqenëse janë të shtrirë në mënyrë tërthore në vija të drejta AB, CD dhe sekant A.C., Kjo AB paralele DC. Në mënyrë të ngjashme vërtetojmë paralelizmin e drejtëzave B.C. Dhe A.D. Pra, ABCDështë një paralelogram sipas përkufizimit. B.C. = pas Krishtit, AB = CD(në një paralelogram, anët e kundërta janë të barabarta), A.C.- e zakonshme për trekëndëshat ACD Dhe CAB, pra janë të barabarta në tre anët. Q.E.D.
Detyra 3. Vërtetoni se mediana e tërhequr në bazën e një trekëndëshi dykëndësh është përgjysmues i këndit përballë bazës dhe është gjithashtu pingul me bazën.
Këndet e formuara nga mediana dhe baza do të quhen "të poshtme", mediana dhe anët - "sipërme"
Dëshmi: trekëndëshat anësor në figurë janë të barabartë në tre anët, nga ku rezulton se, së pari, këndet "e sipërme" janë të barabarta (ata vërtetuan se përgjysmuesja), së dyti, këndet "e poshtme", në total si ato ngjitur që japin 180. 0, dhe për këtë arsye është e barabartë me 90 0 secila (perpendikulariteti i vërtetuar). Q.E.D.
Detyra 4. Vërtetoni se mesinat e tërhequra në brinjët anësore të një trekëndëshi dykëndësh janë të barabartë.
Trekëndëshat e formuar nga mediana, baza dhe gjysmat e poshtme të anëve anësore të trekëndëshit origjinal quhen "më të ulët".
Dëshmi: Këndet në bazën e një trekëndëshi dykëndësh janë të barabartë, prandaj trekëndëshat "të poshtëm" janë të barabartë në dy anët dhe këndi ndërmjet tyre, që nënkupton barazinë e ndërmjetësve të vizatuar. Q.E.D.
Detyra 5. Vërtetoni se përgjysmorët e nxjerrë nga kulmet e bazës së një trekëndëshi dykëndësh janë të barabartë.
Të gjitha këndet e shënuara në figurë janë, natyrisht, të barabarta, megjithëse ato tregohen nga harqe të ndryshme
Dëshmi: Trekëndëshi "i poshtëm" është dykëndësh, i cili rrjedh nga barazia e këndeve në bazën e tij, trekëndëshat "anësorë" janë të barabartë në brinjë (të barabartë nga përgjysmorët e provuar më sipër) dhe dy kënde (i pari është i barabartë nga kushti, i dyti. janë vertikale), prandaj edhe pjesët e mbetura të përgjysmuesve janë të barabarta me njëra-tjetrën, që do të thotë se të gjithë përgjysmuesit janë të barabartë. Q.E.D.
Detyra 6. Vërtetoni se gjatësia e segmentit që lidh mesin e dy brinjëve të një trekëndëshi është e barabartë me gjysmën e brinjës së tretë.
Anët e pastra do t'i quajmë "baza", ato të kryqëzuara - "anët"
Dëshmi: anët anësore të trekëndëshit të vogël dhe të madh në figurë lidhen si 1: 2, përveç kësaj, ato kanë një kënd të përbashkët, që do të thotë se ato janë të ngjashme në atributin e dytë me një koeficient ngjashmërie 1: 2, prandaj bazat janë të lidhura si 1: 2. Që është ajo që duhej vërtetuar.
Detyra 7. Vërtetoni se diagonalja e një paralelogrami e ndan atë në dy trekëndësha të barabartë.
Një paralelogram me një diagonale, ndoshta nuk ka asgjë më shumë për të shtuar
Dëshmi: Brinjët e kundërta të një paralelogrami janë të barabarta, diagonalja është brinja e përbashkët për këta trekëndësha, pra janë të barabarta në tre brinjë. Q.E.D.
Detyra 8. Vërtetoni se mediana e një trekëndëshi kënddrejtë të tërhequr nga hipotenuza është e barabartë me gjysmën e hipotenuzës.
Me fjalë të tjera, mediana është tërhequr nga kulmi i këndit të drejtë
Dëshmi: nëse përshkruajmë një rreth rreth një trekëndëshi të caktuar kënddrejtë, atëherë këndi i drejtë i trekëndëshit të brendashkruar në këtë rreth do të përshkruhet me një gjysmërreth, kështu që hipotenuza do të jetë diametri i këtij rrethi, dhe gjysmat e hipotenuzës dhe mediana e dhënë. tek ne në problem do të jenë rrezet, pra janë të gjithë të barabartë. Q.E.D.
Detyra 9. Vërtetoni se segmentet tangjente të tërhequra në një rreth nga një pikë janë të barabarta.
Ndërtimi shtesë: lidhni pikën C me pikën O (mendërisht)
Dëshmi: kënde B Dhe A vijat e drejta (rrezet e rrethit të tërhequr në pikën e lëkundjes janë pingul me tangjentet), që do të thotë trekëndësha kënddrejtë AOC Dhe BOC e barabartë në hipotenuzë (ana që imagjinojmë është e zakonshme për ta O.C.) dhe këmbën (rrezet e rrethit O.B. = O.A.), që do të thotë A.C. = C.B.. Q.E.D.
Problemi 10. Vërtetoni se diametri që kalon nga mesi i një korde të një rrethi është pingul me të.
Vija që lidh dy pika në figurë është mediana e trekëndëshit që do të shqyrtojmë
Dëshmi: në një trekëndësh dykëndësh të formuar nga pikat e kryqëzimit të një korde me një rreth dhe qendra e këtij rrethi, mesatarja e paraqitur do të jetë lartësia, që do të thotë se diametri që përmban këtë lartësi është pingul me kordën. Q.E.D.
Problemi 11. Vërtetoni se nëse dy rrathë kanë një kordë të përbashkët, atëherë vija që kalon nga qendra e këtyre rrathëve është pingul me këtë kordë.
Lidhni mendërisht së bashku të gjitha pikat e shënuara në figurë, le të quajmë pikën e kryqëzimit të H horizontale dhe vertikale
Dëshmi: trekëndëshat O 1 A.O. 2 dhe O 1 B.O. 2 janë të barabarta në tre anët, pra, ∠ HO 2 A = ∠HO 2 B, pastaj trekëndëshat HAO 2 dhe HBO 2 janë të barabarta në të dyja anët dhe këndi ndërmjet tyre, që do të thotë ∠ AHO 2 = ∠BHO 2, dhe në total dy kënde të barabarta mund të japin 180 0 vetëm nëse secili prej tyre është i barabartë me 90 0. Q.E.D.
Problemi 12. Vërtetoni se nëse një rreth mund të futet në një katërkëndësh, atëherë shumat e gjatësive të brinjëve të kundërta të tij janë të barabarta.
Katërkëndësh i rrethuar. Le ta quajmë ABCD. Le të jenë M, E, X dhe L pika tangjente
Dëshmi: Ne përdorim teoremën për segmentet tangjente (Problemi 9). VK = VR, SR = CH, DX = D.L. Dhe AT = AK. Le të përmbledhim anët AB Dhe CD: AB + CD= (A.M.+ M.B.) + (DX+ XC) = AL+ BE+ D.L.+ C.E.= (AL+ LD) + (BE+ E.C.) = pas Krishtit+ B.C. Q.E.D.
Problemi 13. Vërtetoni se nëse një rreth mund të rrethohet rreth një katërkëndëshi, atëherë shumat e këndeve të tij të kundërta janë të barabarta.
rrethi
Dëshmi: Sipas teoremës së këndit të brendashkruar, shuma e këndeve të kundërta të këtij katërkëndëshi është e barabartë me 180 0, pasi së bashku ato qëndrojnë në një rreth të plotë, masa e shkallës së të cilit është 360 0. Q.E.D.
Problemi 14. Vërtetoni se nëse një rreth mund të rrethohet rreth një trapezi, atëherë trapezi është dykëndor.
Dëshmi: shuma e këndeve të kundërta të një katërkëndëshi të brendashkruar në rreth është e barabartë me α + β = 180 0 (shih problemin 13), shuma e këndeve në anën anësore të trapezit është gjithashtu e barabartë me α + γ = 180 0 (këto kënde janë të njëanshëm me baza paralele dhe një brinjë sekante), nga krahasimi i këtyre formulave gjejmë se β = γ d.m.th., këndet në bazën e një trapezi të tillë janë të barabarta, dhe ai është me të vërtetë dykëndor. Q.E.D.
Problemi 15. Në katror ABCD pikë TE Dhe E- pikat e mesit të anëve AB Dhe pas Krishtit përkatësisht. Vërtetoni këtë KD pingul C.E..
