Formula e Bernulit (teorema e veçantë për përsëritjen e eksperimenteve)
Shembulli 23
Janë tre bileta lotarie. Probabiliteti për të fituar për çdo biletë është i njëjtë dhe është i barabartë me R. Probabiliteti që bileta të mos fitojë q = 1 – p– si probabilitet i ngjarjes së kundërt. Përcaktoni probabilitetin që nga tre bileta të fitojnë saktësisht dy.
Probabilitetin e dëshiruar e shënojmë me .
Ngjarja që na intereson do të ndodhë nëse bileta e parë DHE e dyta fiton DHE e treta nuk fiton OSE bileta e parë nuk fiton DHE fitorja e dytë DHE e treta OSE bileta e dytë nuk fiton DHE fiton e para dhe e treta. . Probabiliteti i secilit prej këtyre opsioneve mund të gjendet duke përdorur formulën e shumëzimit, dhe përgjigja llogaritet duke përdorur formulën e mbledhjes për ngjarje të papajtueshme:
= ppq + qpp + pqp = 3p 2 q.
Duke analizuar zgjidhjen e problemit, zbulojmë se ajo u zgjidh në rendin e mëposhtëm:
Janë përpiluar opsione të ndryshme për zbatimin e ngjarjes me interes;
Numri i këtyre opsioneve llogaritet;
Përcaktohet probabiliteti që një ngjarje të ndodhë duke zbatuar ndonjë opsion;
Probabiliteti i kërkuar gjendet duke shumëzuar probabilitetin që një ngjarje të ndodhë sipas njërit prej opsioneve me numrin total të opsioneve.
Në fakt, problemi u zgjidh duke përdorur të ashtuquajturat formula e Bernulit. Le ta shkruajmë në formë të përgjithshme.
Le një seri të n eksperimente (teste). Eksperimentet kryhen në mënyrë të përsëritur, të pavarur nga njëri-tjetri dhe në të njëjtat kushte, në mënyrë që probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje A nuk ndryshon nga përvoja në përvojë dhe është e barabartë me R. Le të tregojmë probabilitetin që ngjarja të mos ndodhë A në një eksperiment - q = 1-p. Kërkohet të përcaktohet probabiliteti që në një seri të n përjeton ngjarje A do të ndodhë përsëri k herë - le ta shënojmë këtë ngjarje si NË.
Ngjarja NË mund të realizohet në mënyra të ndryshme (opsione). Për shembull, si kjo:
ose si kjo:
E rëndësishme është që në çdo variant të jetë numri i dukurive të ngjarjes A barazohet n, dhe numrin e dukurive të ngjarjes barazohet n–k, megjithëse ato do të shfaqen dhe nuk do të shfaqen në versione të ndryshme në sekuenca të ndryshme.
Për të përcaktuar numrin e opsioneve të tilla, mund të përdorni formulën kombinatorika- numri i kombinimeve të n elementet nga k.
Kombinimet - këto janë kombinime të k objekte (elemente) të zgjedhura nga një grup i caktuar në n objekte që përmbajnë të njëjtin numër objektesh, por ndryshojnë nga njëri-tjetri në të paktën njërin prej tyre.
Numri i kombinimeve të n elementet nga k shënohet siç mund të gjendet me formulën: = . (15)
Një veti e rëndësishme e përcaktimit të numrit të kombinimeve është si më poshtë:
Në problemin në shqyrtim, elementët që ndryshojnë nga njëri-tjetri janë numri i eksperimenteve. Numri i përgjithshëm i opsioneve është.
Probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes Një n koha për secilin opsion është e njëjtë dhe mund të gjendet duke përdorur formulën për shumëzimin e probabiliteteve bazuar në shprehjen "Ndodhi Ngjarja A k nuk ka ndodhur kurrë n–k një herë": p k q n - k
Duke përmbledhur këto probabilitete identike herë ne marrim një formulë të quajtur formula e Bernulit:
=p k q n - k . (16)
Duhet mbajtur mend se p është probabiliteti i ndodhjes ngjarje me interes për ne në përvojë, dhe q - probabiliteti i mosparaqitjes kjo ngjarje në përvojë.
Formula e Bernoulli (Jacob Bernoulli e eksploroi atë në librin e tij Arti i hamendjes) quhet gjithashtu private teorema mbi përsëritjen e eksperimenteve. Kjo do të thotë se çdo eksperiment i mëpasshëm kryhet në të njëjtat kushte si të gjithë të mëparshmet, d.m.th. probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje nuk ndryshon nga eksperimenti në eksperiment dhe mbetet i barabartë R.
Së bashku me private ka teorema e përgjithshme në lidhje me përsëritjen e eksperimenteve (probabiliteti që një ngjarje të ndryshojë nga eksperimenti në eksperiment), shqyrtimi i të cilave është përtej qëllimit të këtij kursi.
Shembulli 24
Në punishte ka 10 motorë elektrikë, probabiliteti që secili prej tyre të fiket është 0.1. Motorët janë të lidhur në rrjet në mënyrë të pavarur nga njëri-tjetri. Përcaktoni probabilitetin që tre motorë elektrikë të fiken menjëherë.
Zgjidhje. Gjendja e problemit korrespondon me skemën e testeve të përsëritura nga J. Bernoulli. Ne e zgjidhim problemin duke përdorur një teoremë të veçantë për përsëritjen e eksperimenteve, duke marrë parasysh që ka tre motorë të fikur (probabiliteti i gjendjes së fikur është 0.1) dhe 7 të ndezur (probabiliteti i gjendjes së ndezur është 0.9):
=p 3 q 10-3=q 3 (1-q) 10-3 =120∙(0.1) 3 ∙(0.9) 7 =0.0574.
Variablat e rastësishëm dhe ligjet e shpërndarjes së tyre
Së bashku me ngjarjet e rastësishme, një koncept tjetër i rëndësishëm në teorinë e probabilitetit është koncepti i "ndryshores së rastësishme" (RV).
Madhësia është një karakteristikë sasiore e rezultatit të një eksperimenti.
Të gjitha sasitë ndahen në dy grupe të mëdha: jo të rastësishme dhe të rastësishme.
Jo të rastësishme (përcaktuese) - këto janë sasi që si rezultat i përvojës marrin një vlerë të paracaktuar, të njohur. Për shembull, koha e lindjes dhe perëndimit të diellit, data e vitit të ri, numri i gishtërinjve në duart e një të porsalinduri, numri i provimeve dhe testeve në një semestër.
E rastësishme (stokastike)- këto janë sasi për të cilat nuk dihet paraprakisht se çfarë vlere do të marrin si rezultat i eksperimentit.
Variablat e rastësishëm, nga ana tjetër, mund të jenë diskrete ose të vazhdueshme.
Diskret janë ato SV që në përvojë marrin një nga shumë vlerat e mundshme, dhe këto vlera, nëse dëshirohet, mund të renditen ose numërohen, d.m.th. ky grup është i kufizuar. Më shpesh (megjithëse jo domosdoshmërisht) këto janë vlera të plota, jo negative. Për shembull, O rezultati i studentit në provim; numri i qimeve në kokë, numri i punëtorëve në punëtorinë ED.
E vazhdueshme ata i quajnë SV të tilla që në përvojë marrin një nga vlerat e mundshme, dhe numri i këtyre vlerave, qoftë edhe në një interval shumë të vogël, është pafundësisht i madh. Me fjalë të tjera, grupi i vlerave të mundshme të një SV të vazhdueshme është i panumërueshëm. Për shembull, niveli i tensionit në rrjet, kohëzgjatja e funksionimit të një linje energjie para dështimit, lartësia dhe pesha e një personi, pesha e një stilolapsi.
Emrat e ndryshoreve të rastit zakonisht shënohet me shkronja të mëdha alfabeti latin - X, Y; A vlerat , të cilat variablat e rastësishëm marrin në eksperiment, - shkronja të vogla - x, y.
Vlerat e ndryshme të së njëjtës ndryshore të rastësishme nuk vërehen po aq shpesh. Për shembull, meshkujt veshin madhësinë e këpucëve 42 shumë më shpesh sesa madhësinë 46; Tensioni i rrjetit është shumë më shpesh në intervalin 215-225 V sesa në intervalin 225-235 V.
Marrëdhënia midis vlerave të një ndryshoreje të rastësishme dhe probabiliteteve të shfaqjes së tyre përcaktohet nga ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme. Ata thonë se SV shpërndahet (subjekt) sipas një ose një ligji tjetër të shpërndarjes. Ekzistojnë disa forma të specifikimit të ligjit të shpërndarjes:
· në formë tabele (tabelore);
· në formë vizatimi (grafikisht);
formulë (analitike).
Metodat për përcaktimin e ligjeve të shpërndarjes së variablave të rastit
Të gjitha metodat për specifikimin e ligjeve të shpërndarjes SW mund të ndahen me kusht në teorike dhe statistikore. Ligjet teorike shpërndarjet pasqyrojnë ligjet e vërteta ekzistuese në natyrë. Për t'i vendosur ato, sipas ligjit të numrave të mëdhenj, është e nevojshme të përpunohet një sasi afërsisht e pafundme informacioni. Në praktikë, ligje të tilla krijohen në bazë të një sasie të kufizuar të dhënash statistikore dhe formalizohen nga njëri ose tjetri. statistikore mënyrat. Shpesh quhen statistika eksperimentale (empirike)). Çdo metodë teorike e specifikimit të ligjit të shpërndarjes (DLR) ka analogji statistikore (STL). Le të shqyrtojmë këto metoda.
TZR-1. Seria e shpërndarjes SV
Një seri shpërndarjeje është një tabelë në të cilën, nga njëra anë, tregohen vlerat e një ndryshoreje të rastësishme, dhe nga ana tjetër, probabilitetet e tyre (Tabela 2). Në serinë e shpërndarjes, vlerat e SV janë rregulluar në mënyrë të rregullt - ndërsa rriten.
Probabiliteti total i këtyre vlerave, i barabartë me një, ndahet midis të gjitha vlerave të mundshme të SV. Prandaj, shuma e të gjitha probabiliteteve të serisë së shpërndarjes është e barabartë me një: = 1
Tabela 2. Seritë e shpërndarjes SV
Shpërndarjet bazë
Variabla të rastësishme
Udhëzime për punën e pavarur të nxënësve
të gjitha format e edukimit
Përpiluar nga V.A. Bobkova
Ivanovo 2005
Përpiluar nga V.A. Bobkova
Shpërndarjet bazë të variablave të rastësishëm: Udhëzime për punën e pavarur të nxënësve të të gjitha formave të arsimit / Komp. V. A. Bobkova; GOUVPO Ivan. shteti teknologji kimike univ. – Ivanovo, 2005. 32 f.
Udhëzimet i kushtohen njërit prej pjesëve të rëndësishme të lëndës “Teoria e probabilitetit dhe statistikat matematikore”, përkatësisht: shpërndarjet bazë të variablave të rastit. Është dhënë koncepti i një ndryshoreje të rastësishme, janë përshkruar metodat për specifikimin e ndryshoreve të rastësishme diskrete dhe të vazhdueshme dhe janë dhënë përkufizimet e pritjes matematikore, dispersionit dhe devijimit standard. Më tej, konsiderohen shpërndarjet kryesore të ndryshoreve diskrete të rastit: shpërndarja e Bernulit, shpërndarja binomiale, shpërndarja Poisson, shpërndarjet gjeometrike dhe hipergjeometrike, si dhe shpërndarjet kryesore të ndryshoreve të rastësishme të vazhdueshme: shpërndarje uniforme, eksponenciale, normale. Janë nxjerrë formulat për karakteristikat numerike të shpërndarjeve të konsideruara, jepen ilustrime grafike dhe shembuj të zgjidhjes së problemeve. Problemet jepen për zgjidhje të pavarur.
Udhëzimet kanë për qëllim punën e pavarur të studentëve të të gjitha specialiteteve universitare.
Bibliografia: 4 tituj.
Recensent Doktor i Shkencave Teknike, Profesor A. N. Labutin
(Universiteti Shtetëror i Teknologjisë Kimike i Ivanovo)
Informacion bazë rreth variablave të rastësishëm
Koncepti i një ndryshoreje të rastësishme
E rastësishmeështë një sasi që, si rezultat i testimit, do të marrë një dhe vetëm një vlerë të mundshme, të panjohur paraprakisht dhe në varësi të arsyeve të rastësishme që nuk mund të merren parasysh.
Variablat e rastësishëm shënohen me shkronja të mëdha latine X, Y, Z, ..., dhe vlerat e tyre të mundshme shënohen me shkronjat e vogla korresponduese x, y, z, ....
Shembuj të ndryshoreve të rastësishme:
1) numri i thirrjeve të marra nga abonentët në centralin telefonik gjatë një kohe të caktuar;
2) pesha e një kokrre gruri të marrë rastësisht;
3) numri i notave të shkëlqyera nga studentët e një grupi në provim;
4) distanca nga pika e hedhjes së diskut deri në pikën e goditjes;
5) numri i gabimeve të shtypit në libër.
Shumëllojshmëria e ndryshoreve të rastësishme është e madhe. Numri i vlerave që ata pranojnë mund të jetë i fundëm, i numërueshëm ose i panumërueshëm; këto vlera mund të vendosen në mënyrë diskrete ose të mbushin intervale (të fundme ose të pafundme).
Variabla të rastësishme diskrete - Këto janë ndryshore të rastësishme që mund të marrin vetëm një grup vlerash të fundme ose të numërueshme. Për shembull, sa herë shfaqet stema në pesë hedhje monedhash (vlerat e mundshme janë 0, 1, 2, 3, 4, 5); numri i të shtënave para goditjes së parë në objektiv (vlerat e mundshme 1, 2, ..., n, ku n është numri i fishekëve të disponueshëm); numri i elementeve të dështuar në një pajisje të përbërë nga tre elementë (vlerat e mundshme 0, 1, 2, 3) janë variabla diskrete të rastësishme.
Variabla të rastësishme të vazhdueshme- këto janë variabla të rastësishme, vlerat e mundshme të të cilave formojnë një interval të caktuar të fundëm ose të pafund. Për shembull, koha e përdorimit të një pajisjeje, diapazoni i fluturimit të një predheje, koha e pritjes për një autobus janë variabla të rastësishme të vazhdueshme.
Metodat për specifikimin e variablave të rastësishëm
Për të specifikuar një ndryshore të rastësishme, duhet të dini vlerat që mund të marrë dhe probabilitetet me të cilat ndryshorja e rastësishme merr vlerat e saj. Çdo rregull (tabela, funksion, grafik) që ju lejon të gjeni probabilitetet e vlerave individuale të një ndryshoreje të rastësishme ose një grupi të këtyre vlerave quhet ligji i shpërndarjes së ndryshoreve të rastësishme (ose thjesht shpërndarja ). Ata thonë për një variabël të rastësishëm se "ai i bindet një ligji të caktuar të shpërndarjes".
Le të jetë X një ndryshore e rastësishme diskrete që merr vlera (bashkësia e këtyre vlerave është e fundme ose e numërueshme) me probabilitete të caktuara 
. Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete
i përshtatshëm për t'u vendosur duke përdorur formulën 
i = 1, 2, 3, … , n, … , e cila përcakton probabilitetin që, si rezultat i eksperimentit, ndryshorja e rastësishme X të marrë vlerën . Për një ndryshore të rastësishme diskrete, ligji i shpërndarjes mund të specifikohet si tabelat e shpërndarjes
:
| X | … | … | |||
| P | … | p n | … |
Këtu, rreshti i parë përmban të gjitha vlerat e mundshme (zakonisht në rend rritës) të ndryshores së rastësishme, dhe rreshti i dytë përmban probabilitetet e tyre. Kjo tabelë quhet afër shpërndarjes .
Meqenëse ngjarjet janë të papajtueshme dhe formojnë një grup të plotë ngjarjesh, shuma e probabiliteteve të tyre është e barabartë me një.
Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete mund të specifikohet grafikisht nëse vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme vizatohen në boshtin e abshisës dhe probabilitetet e tyre vizatohen në boshtin e ordinatave. Quhet një poliline që lidh pikat e marra në mënyrë të njëpasnjëshme poligonin e shpërndarjes .
Natyrisht, një seri shpërndarjeje mund të ndërtohet vetëm për variabla diskrete të rastësishme. Për variablat e rastësishme të vazhdueshme, nuk është as e mundur të renditen të gjitha vlerat e mundshme.
Një mënyrë universale për të specifikuar ligjin e shpërndarjes së probabilitetit, e përshtatshme për variablat e rastësishme diskrete dhe të vazhdueshme, është funksioni i shpërndarjes.
Le të jetë X një ndryshore e rastësishme, x një numër real. Funksioni i shpërndarjes së probabilitetit të ndryshores së rastësishme X është probabiliteti që kjo ndryshore e rastësishme të marrë një vlerë më të vogël se x:
(1)
Gjeometrikisht, kjo barazi mund të interpretohet si më poshtë: F(x) është probabiliteti që ndryshorja e rastësishme X do të marrë vlerën që përfaqësohet në boshtin numerik nga një pikë që shtrihet në të majtë të pikës x, domethënë që e rastësishme pika X do të bjerë në interval.
Karakteristikat e funksionit të shpërndarjes:
1. Vlerat e funksionit të shpërndarjes i përkasin segmentit:
2. F(x) është një funksion jo-zvogëlues, d.m.th 
Nëse .
Përfundim 1. Probabiliteti që një variabël e rastësishme të marrë një vlerë të përmbajtur në intervalin , ku a, nëse funksioni i shpërndarjes së tij
F(x) është e barabartë me 0 at x, 1 në x > b dhe ndryshon në mënyrë lineare nga 0 në 1 në a .
(a + b)/2, dhe varianca është ( b − a) 2 /12 .
Figura tregon një grafik të këtij funksioni të shpërndarjes për a= 0 dhe b = 1 .
Ky ligj i shpërndarjes është shumë i rëndësishëm për ne, pasi të gjithë sensorët standardë kompjuterikë të variablave të rastësishëm (numrat pseudo të rastësishëm) modelojnë saktësisht variabla të tillë të rastësishëm dhe prej tyre krijohen variablat e rastësishëm që na duhen.
Shpërndarja eksponenciale
Një ndryshore e rastësishme shpërndahet në mënyrë eksponenciale ose eksponenciale nëse është jo negative dhe F(x) = 1 − exp(−λ x), ku λ është një konstante pozitive.
Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të tillë të rastësishme është λ - 1, dhe varianca është λ - 2.
Figura tregon një grafik të këtij funksioni të shpërndarjes për λ = 3.
Këtë ligj të shpërndarjes e ndeshim shpesh në aplikime, veçanërisht në radio inxhinieri dhe komunikime. Në veçanti, shpesh supozohet se koha e bisedës së dy abonentëve shpërndahet sipas një ligji eksponencial.
Shpërndarja normale
Kjo është më e popullarizuara nga shpërndarjet standarde të probabilitetit dhe në shikim të parë mund të duket e çuditshme që një formulë kaq komplekse është më e zakonshme.
Një ndryshore e rastësishme shpërndahet normalisht ose në mënyrë gausiane nëse (në të djathtë është një portret i K. F. Gauss (1777-1855))
Ky funksion varet nga parametrat a dhe σ. Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të tillë të rastësishme është e barabartë me a, dhe dispersioni është σ 2.
Grafiku tregon një funksion standard me a= 0 dhe σ = 1.
Arsyeja e shfaqjes së shpeshtë të këtij ligji në aplikime është se gjatë mbledhjes së variablave të rastësishëm, shumë shpesh shpërndarja e shumës së tyre, e konsideruar si variabël e rastësishme, i afrohet normales.
Nuk do të shfaqet në detyrat tona, por do të ishte e pahijshme të mos e përmendnim.
Shpërndarja e Bernoulli
Kjo shpërndarje më e thjeshtë diskrete mban emrin e matematikanit zviceran Jacob Bernoulli Plaku (1654-1705), (ishte edhe një më i ri që punonte në Shën Petersburg).
Një ndryshore e rastësishme shpërndahet nga Bernoulli nëse merr vetëm dy vlera. Zakonisht këto vlera janë 1, probabiliteti i të cilave është fq ,
dhe 0, probabiliteti i të cilit është q = 1 − fq.
Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të tillë të rastësishme është e barabartë me fq, dhe varianca është pq .
Sigurisht, ju mund të krijoni vetë një orar të tillë.
Ligji i Bernulit është shumë i përshtatshëm për të gjitha llojet e konstruksioneve të modeleve; ai është vetëm pak më i komplikuar se rasti i tij i veçantë - hedhja e një monedhe, ku fq = 1/2 .
Shpërndarja binomiale
Ndryshorja e rastësishme ξ e barabartë me shumën n variablat e pavarur identike të rastit Bernoulli kanë një shpërndarje binomiale. Për të
Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të tillë të rastësishme është e barabartë me n.p., dhe varianca është npq .
Shpërndarja binomiale me rritjen e numrit të termave n bëhet shumë e ngjashme me një shpërndarje normale.
Ju vetëm duhet të normalizoni në mënyrë të përshtatshme variablin e rastësishëm: zbritni pritshmërinë matematikore dhe ndani me rrënjën e variancës, d.m.th., merrni parasysh në vend të ξ
η = (ξ — n.p.)(npq) − 1/2 .
Nëse me rritje n probabiliteti fq zvogëlohet dhe në mënyrë të tillë që produkti të mbahet ose të stabilizohet n.p., marrim një shpërndarje tjetër klasike, të cilën do ta përshkruajmë tani.
Shpërndarja Poisson
Kjo shpërndarje u propozua nga matematikani francez Simeon Poisson (1781-1840), një anëtar nderi i Akademisë së Shkencave të Shën Petersburgut.
Ndryshorja e rastësishme ξ ka një shpërndarje Poisson nëse
Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të tillë të rastësishme është λ, dhe varianca është gjithashtu λ.
Shpërndarja Poisson është tipike për skemën e ngjarjeve të rralla - në të cilën shumë ndryshore të rastësishme shtohen me një shpërndarje Bernoulli dhe një probabilitet shumë të ulët për një rezultat pozitiv për secilën.
Për shembull, u vu re se numri i letrave të hedhura në një kuti postare me një zarf të pashënuar ka një shpërndarje Poisson.
Ushtrime
- Ndryshorja e rastësishme merr vlerat 0 me probabilitet 0.3, 2 me probabilitet 0.2, 4 me probabilitet 0.5. Gjeni pritshmërinë dhe variancën e tij matematikore.
Dy ndryshore të rastësishme kanë një pritje matematikore 0 dhe një variancë 1. Brenda çfarë kufijsh mund të ndryshojë varianca e shumës së tyre? Ndërtoni një shembull me variancën më të madhe dhe më të vogël të shumës.
Pyetjet e provimit
Variablat e rastësishëm dhe funksionet e shpërndarjes së tyre.
Pritshmëria dhe varianca. Vetitë e tyre.
www.math.spbu.ru
Blog arsimor - gjithçka për të studiuar
Përsëritja e eksperimenteve
Në zbatimin praktik të teorisë së probabilitetit, shpesh hasen probleme në të cilat i njëjti eksperiment ose eksperimente të ngjashme përsëriten në mënyrë të përsëritur. Si rezultat i çdo eksperimenti, një ngjarje A mund të shfaqet ose jo, dhe ne nuk jemi të interesuar për rezultatin e çdo eksperimenti individual, por për numrin total të dukurive të ngjarjes A si rezultat i një sërë eksperimentesh. Në probleme të tilla, kërkohet të jetë në gjendje të përcaktojë probabilitetin e çdo numri të caktuar të shfaqjeve të një ngjarjeje si rezultat i një sërë eksperimentesh. Ato mund të zgjidhen mjaft thjesht në rastin kur eksperimentet janë të pavarura.
Disa eksperimente quhen të pavarura nëse probabiliteti i një ose një tjetër rezultati të secilit eksperiment nuk varet nga rezultatet e eksperimenteve të tjera.
Eksperimentet e pavarura mund të kryhen në kushte të njëjta ose të ndryshme. Në rastin e parë, probabiliteti i ngjarjes A në të gjitha eksperimentet është i njëjtë P i (A) = konst. Në rastin e dytë, probabiliteti i ngjarjes A ndryshon nga përvoja në përvojë P i (A) = var. Rasti i parë i referohet një teoreme të veçantë, dhe rasti i dytë një teoreme të përgjithshme mbi përsëritjen e eksperimenteve.
Formulimi i një teoreme të veçantë për përsëritjen e eksperimenteve:
Nëse kryhen n eksperimente të pavarura, në secilën prej të cilave ngjarja A shfaqet me probabilitet p, atëherë probabiliteti që ngjarja A të shfaqet saktësisht m herë shprehet me formulën:
ku q = 1 - p, C n m - numri i të gjitha kombinimeve, d.m.th. numri i mënyrave në të cilat është e mundur të zgjidhet m nga n eksperimente në të cilat ka ndodhur ngjarja A.
Formula e teoremës së përgjithshme:
ku z është një parametër arbitrar.
Si në përgjithësi ashtu edhe në rastin konkret:
Variablat e rastësishëm dhe ligjet e shpërndarjes së tyre
Një ndryshore e rastësishme është një sasi që, si rezultat i eksperimentit, mund të marrë një ose një vlerë tjetër, nuk dihet paraprakisht se cila.
Ekzistojnë dy lloje të variablave të rastësishëm:
e vazhdueshme;
i ndërprerë (diskret).
Le të biem dakord në atë që vijon për të treguar variablat e rastësishëm me shkronja të mëdha dhe vlerat e tyre të mundshme me shkronjat e vogla përkatëse.
Shembull:
X është numri i goditjeve me tre goditje:
x 1 = 0;
x 2 = 1;
x 3 = 2;
x 4 = 3.
Le të shqyrtojmë një ndryshore të rastësishme të ndërprerë X me vlera të mundshme x 1, x 2, ..., x n. Secila prej këtyre vlerave është e mundur, por jo e sigurt, dhe vlera X mund të marrë secilën prej tyre me njëfarë probabiliteti
X= x 1;
X= x 2;
X= x 3;
X= x 4.
∑P m,n = 1, pasi ngjarjet e papajtueshme formojnë një grup të plotë. Ky probabilitet total shpërndahet disi midis vlerave individuale. Variabla e rastësishme do të përshkruhet plotësisht nga një këndvështrim probabilistik nëse jepet kjo shpërndarje, d.m.th. tregon saktësisht se çfarë probabiliteti ka çdo ngjarje. Kjo vendos të ashtuquajturin ligj të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme.
Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishmeështë çdo lidhje që vendos një lidhje midis vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe probabiliteteve të tyre përkatëse.
Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të ndërprerë X mund të specifikohet në format e mëposhtme:
tabelare;
analitike;
grafike.
Forma më e thjeshtë e përcaktimit të ligjit të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të ndërprerë X është një tabelë.
Variabla të rastësishme. Ndryshore diskrete e rastësishme.
Vlera e pritshme
Seksioni i dytë mbi teoria e probabilitetit të përkushtuar variablat e rastësishëm , e cila na shoqëroi në mënyrë të padukshme në fjalë për fjalë në çdo artikull mbi këtë temë. Dhe ka ardhur momenti për të formuluar qartë se çfarë është:
E rastësishme thirrur madhësia, i cili si rezultat i testit do të marrë një dhe vetëm një një vlerë numerike që varet nga faktorë të rastësishëm dhe është e paparashikueshme paraprakisht.
Ndryshoret e rastësishme janë zakonisht tregojnë përmes * , dhe kuptimet e tyre shkruhen me shkronja të vogla përkatëse me nënshkrime, për shembull, .
* Ndonjëherë përdoren edhe shkronjat greke
Ne hasëm në një shembull Mësimi i parë mbi teorinë e probabilitetit, ku ne kemi konsideruar në të vërtetë variablin e rastësishëm të mëposhtëm:
– numri i pikëve që do të shfaqen pas hedhjes së zarit.
Si rezultat i këtij testi, ai do të bjerë jashtë një dhe i vetëm linja, cila saktësisht, nuk mund të parashikohet (ne nuk i konsiderojmë truket); në këtë rast, ndryshorja e rastësishme mund të marrë një nga vlerat e mëposhtme:
– numri i djemve në 10 të porsalindurit.
Është absolutisht e qartë se ky numër nuk dihet paraprakisht, dhe dhjetë fëmijët e ardhshëm të lindur mund të përfshijnë:
Ose djem - një dhe vetëm një nga opsionet e listuara.
Dhe, për të mbajtur në formë, pak edukim fizik:
– distanca e kërcimit të gjatë (në disa njësi).
Edhe një mjeshtër i sportit nuk mund ta parashikojë :)
Megjithatë, hipotezat tuaja?
Sapo grup numrash realë pafundësisht, atëherë ndryshorja e rastësishme mund të marrë pafundësisht shumë vlerat nga një interval i caktuar. Dhe ky është ndryshimi i tij thelbësor nga shembujt e mëparshëm.
Kështu, Këshillohet që variablat e rastësishëm të ndahen në 2 grupe të mëdha:
1) Diskret (me ndërprerje) ndryshore e rastësishme – merr vlera individuale, të izoluara. Numri i këtyre vlerave Sigurisht ose i pafund por i numërueshëm.
...ka ndonjë term të paqartë? Ne e përsërisim urgjentisht bazat e algjebrës!
2) Ndryshore e vazhdueshme e rastësishme – pranon Të gjitha vlerat numerike nga një interval i fundëm ose i pafund.
shënim : shkurtesat DSV dhe NSV janë të njohura në literaturën arsimore
Së pari, le të analizojmë ndryshoren diskrete të rastësishme, pastaj - të vazhdueshme.
Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete
- Kjo korrespondencë ndërmjet vlerave të mundshme të kësaj sasie dhe probabiliteteve të tyre. Më shpesh, ligji shkruhet në një tabelë: 
Termi shfaqet mjaft shpesh rresht
shpërndarja, por në disa situata tingëllon e paqartë dhe kështu do t'i përmbahem "ligjit".
Dhe tani pikë shumë e rëndësishme: që nga ndryshorja e rastësishme Domosdoshmërisht do të pranojë një nga vlerat, pastaj formohen ngjarjet përkatëse grupi i plotë dhe shuma e probabiliteteve të ndodhjes së tyre është e barabartë me një:
ose, nëse shkruhet e përmbledhur:
Kështu, për shembull, ligji i shpërndarjes së probabilitetit të pikave të mbështjellë në një mbulesë ka formën e mëposhtme: 
Ju mund të keni përshtypjen se një ndryshore e rastësishme diskrete mund të marrë vetëm vlera të plota "të mira". Le të shpërndajmë iluzionin - ato mund të jenë çdo gjë:
Disa lojëra kanë ligjin e mëposhtëm të shpërndarjes fituese: 
… ju ndoshta keni ëndërruar për detyra të tilla për një kohë të gjatë 🙂 Unë do t'ju them një sekret - edhe mua. Sidomos pas përfundimit të punës në teoria e fushës.
Zgjidhje: meqenëse një ndryshore e rastësishme mund të marrë vetëm një nga tre vlerat, formohen ngjarjet përkatëse grupi i plotë, që do të thotë se shuma e probabiliteteve të tyre është e barabartë me një: 
Ekspozimi i "partizanit": 
– pra, probabiliteti për të fituar njësi konvencionale është 0.4.
Kontrolli: kjo është ajo për të cilën duhej të sigurohenim.
Përgjigju:
Nuk është e pazakontë kur ju duhet të hartoni vetë një ligj shpërndarjeje. Për këtë përdorin përkufizimi klasik i probabilitetit, Teoremat e shumëzimit/shtimit për probabilitetet e ngjarjeve dhe patate të skuqura të tjera tervera:
Kutia përmban 50 bileta lotarie, ndër të cilat 12 janë fituese, dhe 2 prej tyre fitojnë 1000 rubla secila, dhe pjesa tjetër - 100 rubla secila. Hartoni një ligj për shpërndarjen e një ndryshoreje të rastësishme - madhësia e fitimeve, nëse një biletë nxirret në mënyrë të rastësishme nga kutia.
Zgjidhje: siç e keni vënë re, zakonisht vendosen vlerat e një ndryshoreje të rastësishme në rend rritës. Prandaj, ne fillojmë me fitimet më të vogla, domethënë rubla.
Gjithsej janë 50 bileta të tilla - 12 = 38, dhe sipas përkufizimi klasik:
– probabiliteti që një biletë e tërhequr rastësisht të jetë humbëse.
Në raste të tjera, gjithçka është e thjeshtë. Probabiliteti për të fituar rubla është:
Dhe për:
Kontrolloni: - dhe ky është një moment veçanërisht i këndshëm i detyrave të tilla!
Përgjigju: ligji i dëshiruar i shpërndarjes së fitimeve: 
Detyrën e mëposhtme duhet ta zgjidhni vetë:
Probabiliteti që gjuajtësi të godasë objektivin është . Hartoni një ligj të shpërndarjes për një ndryshore të rastësishme - numrin e goditjeve pas 2 goditjeve.
...E dija qe te kishte marr malli :) Le ta kujtojme teoremat e shumëzimit dhe mbledhjes. Zgjidhja dhe përgjigja janë në fund të mësimit.
Ligji i shpërndarjes përshkruan plotësisht një ndryshore të rastësishme, por në praktikë mund të jetë e dobishme (dhe nganjëherë më e dobishme) të dimë vetëm disa prej saj. karakteristikat numerike .
Pritja e një ndryshoreje të rastësishme diskrete Cili është kuptimi probabilistik i rezultatit të marrë? Nëse hidhni zare mjaft herë, atëherë vlera mesatare Pikët e rënë do të jenë afër 3.5 - dhe sa më shumë teste të kryeni, aq më afër. Në fakt, unë tashmë fola në detaje për këtë efekt në mësimin rreth probabiliteti statistikor.
Tani le të kujtojmë lojën tonë hipotetike:
Shtrohet pyetja: a është e dobishme të luash fare këtë lojë? ...kush ka përshtypje? Pra, nuk mund ta thuash "të pamend"! Por kjo pyetje mund të përgjigjet lehtësisht duke llogaritur pritshmërinë matematikore, në thelb - mesatare e ponderuar sipas probabilitetit për të fituar:
Kështu, pritshmëria matematikore e kësaj loje duke humbur.
Mos u besoni përshtypjeve tuaja - besoni numrave!
Po, këtu mund të fitosh 10 apo edhe 20-30 herë radhazi, por në planin afatgjatë na pret një rrënim i pashmangshëm. Dhe unë nuk do t'ju këshilloja të luani lojëra të tilla :) Epo, ndoshta vetëm per qejf.
Nga të gjitha sa më sipër rezulton se pritshmëria matematikore nuk është më një vlerë RANDOM.
Detyrë krijuese për kërkime të pavarura:
Z. X luan ruletë evropiane duke përdorur sistemin e mëposhtëm: ai vazhdimisht bast 100 rubla në "të kuqe". Hartoni një ligj të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme - fitimet e saj. Llogaritni pritshmërinë matematikore të fitimeve dhe rrumbullakoni atë në kopekun më të afërt. Sa shume mesatare A humbet lojtari për çdo njëqind bast?
Referenca
: Ruleta evropiane përmban 18 sektorë të kuq, 18 të zi dhe 1 të gjelbër (“zero”). Nëse shfaqet një "e kuqe", lojtarit i paguhet dyfishi i bastit, përndryshe shkon në të ardhurat e kazinosë
Ka shumë sisteme të tjera ruletë për të cilat mund të krijoni tabelat tuaja të probabilitetit. Por ky është rasti kur nuk kemi nevojë për ligje apo tabela të shpërndarjes, sepse është vërtetuar me siguri se pritshmëria matematikore e lojtarit do të jetë saktësisht e njëjtë. E vetmja gjë që ndryshon nga sistemi në sistem është dispersion, për të cilën do të mësojmë në pjesën e dytë të mësimit.
Por së pari, do të jetë e dobishme të shtrini gishtat në çelësat e kalkulatorit:
Një ndryshore e rastësishme specifikohet nga ligji i shpërndarjes së probabilitetit:
Gjeni nëse dihet se. Kryeni kontrollin.
Pastaj le të kalojmë në studim varianca e një ndryshoreje të rastësishme diskrete, dhe nëse është e mundur,
Çfarë përfshin një ekzaminim mjekësor (sipas urdhrit 302n) Gjatë kryerjes së një ekzaminimi mjekësor në përputhje me urdhrin nr. 302n, të gjithë duhet t'i nënshtrohen: testit klinik të urinës; […] Programi shtetëror për të ndihmuar zhvendosjen vullnetare të bashkatdhetarëve që jetojnë jashtë vendit në Federatën Ruse Udhëzime hap pas hapi për pjesëmarrësit e shtetit […] Le të kuptojmë se sa duhet të jetë masa e pensionit minimal për një invalid të grupit 2. Tani shteti ofron ndihmë në mënyra të ndryshme për shtresat e rrezikuara sociale të popullsisë. Një shqetësim i veçantë [...]
Metodat për përcaktimin e një ndryshoreje të rastësishme diskrete nuk janë të përgjithshme - ato nuk janë të zbatueshme, për shembull, për variablat e rastësishme të vazhdueshme. Në të vërtetë, le që vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme X të mbushin plotësisht intervalin (a;b). A është e mundur të listohen të gjitha vlerat e mundshme të X? Nr. Ne kemi nevojë për një mënyrë të përgjithshme për të specifikuar çdo lloj variablash të rastësishëm. Për këtë qëllim, futen funksionet e shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme.
Funksioni i shpërndarjes Funksioni i shpërndarjes është funksioni F(x), i cili përcakton probabilitetin që ndryshorja e rastësishme X si rezultat i testit të marrë një vlerë më të vogël se x, d.m.th. F(x) = P(X 
X 1. 3. 3. Probabiliteti që variabla e rastësishme të marrë vlerën e përfunduar" title=" Vetitë e funksionit të shpërndarjes 1. 1. Vlerat e funksionit të shpërndarjes i përkasin segmentit: 0 F (x) 1. 2. 2. F (x) është një funksion jozvogëlues, d.m.th. F(x 2) F(x 1), nëse x 2 > x 1. 3. 3. Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme do të marrë një vlerë është përfunduar" class="link_thumb"> 4 !}
Vetitë e funksionit të shpërndarjes Vlerat e funksionit të shpërndarjes i përkasin segmentit: 0 F(x) F(x) është një funksion jozvogëlues, d.m.th. F(x 2) F(x 1), nëse x 2 > x Probabiliteti që ndryshorja e rastësishme të marrë vlerën që përmban intervali (a;b), e barabartë me rritjen e funksionit të shpërndarjes në këtë interval: P (a x 1. 3. 3. Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme të marrë një vlerë të përmbajtur në "> x 1. 3. 3. Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme të marrë një vlerë të përmbajtur në intervalin (a; b) është e barabartë me rritja e funksionit të shpërndarjes në këtë interval: P (a"> x 1. 3. 3. Probabiliteti që ndryshorja e rastësishme të marrë vlerën e përfunduar" title="Vetitë e funksionit të shpërndarjes 1. 1. Vlerat e funksionit të shpërndarjes i përkasin intervalit: 0 F( x) 1. 2. 2. F(x) - funksion jozagonës, d.m.th. F(x 2) F(x 1), nëse x 2 > x 1. 3. 3. Probabiliteti që ndryshorja e rastësishme të hyjë në fuqi, e përfunduar"> title="Vetitë e funksionit të shpërndarjes 1. 1. Vlerat e funksionit të shpërndarjes i përkasin segmentit: 0 F(x) 1. 2. 2. F(x) është një funksion që nuk zvogëlohet, d.m.th. F(x 2) F(x 1), nëse x 2 > x 1. 3. 3. Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme të marrë një vlerë është përfunduar"> !}Shembulli 1. Një ndryshore e rastësishme X jepet nga një funksion i shpërndarjes 0 në x -1 F(x) = x/4+1/4 në Gjeni probabilitetin që si rezultat i testit X të marrë një vlerë që i përket intervalit (0;2): P(0
4. 4. Probabiliteti që një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X të marrë një vlerë specifike është 0. Kështu, ka kuptim të merret në konsideratë probabiliteti që një ndryshore e rastësishme të bjerë në një interval, qoftë edhe i vogël. Për shembull, ata janë të interesuar në probabilitetin që dimensionet e pjesëve të mos shkojnë përtej kufijve të lejuar, por nuk ngrenë pyetjen e probabilitetit të koincidencës së tyre me madhësinë e projektimit.
Por është e gabuar të mendohet se barazia e probabilitetit P(X=x 1) me 0 do të thotë se ngjarja X=x 1 është e pamundur (nëse nuk kufizohemi në përkufizimin klasik të probabilitetit). Si rezultat i testit, ndryshorja e rastësishme do të marrë domosdoshmërisht një nga vlerat e mundshme; në veçanti, kjo vlerë mund të jetë e barabartë me x 1.
5. 5. Nëse vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme i përkasin intervalit (a;b), atëherë 1) F(x) = 0 për x a; 2) F(x) = 1 në x b. ] Nëse vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme janë të vendosura në të gjithë boshtin x, atëherë relacionet kufitare të mëposhtme janë të vlefshme: Lim F(x) = 0; Lim F(x) = 1. x- x+
Shpërndarja e densitetit të probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme Metoda e specifikimit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme duke përdorur funksionin e shpërndarjes nuk është e vetmja. Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme mund të specifikohet gjithashtu duke përdorur një funksion tjetër, i cili quhet densiteti i shpërndarjes ose densiteti i probabilitetit (nganjëherë quhet funksion diferencial).
Dendësia e shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të vazhdueshme të rastësishme X quhet funksioni f(x) - derivati i parë i funksionit të shpërndarjes F(x): f(x) = F"(x). Prandaj, funksioni i shpërndarjes është një antiderivativ të densitetit të shpërndarjes.
π/2. Gjeni dendësinë e shpërndarjes f(x). 0 në x π/2." title="Shembull. Duke pasur parasysh funksionin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X 0 në x 0 F(x) = sinx në 0 π/2. Gjeni densitetin e shpërndarjes f(x 0 në x π/2." class="link_thumb"> 18 !}
Shembull. Jepet funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X 0 në x 0 F(x) = sinx në 0 π/2. Gjeni dendësinë e shpërndarjes f(x). 0 në x π/2. π/2. Gjeni dendësinë e shpërndarjes f(x). 0 në x π/2."> π/2. Gjeni densitetin e shpërndarjes f(x). 0 në x π/2."> π/2. Gjeni dendësinë e shpërndarjes f(x). 0 në x π/2." title="Shembull. Duke pasur parasysh funksionin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X 0 në x 0 F(x) = sinx në 0 π/2. Gjeni densitetin e shpërndarjes f(x 0 në x π/2."> (x) = cosx при 0 π/2." title="Shembull. Jepet funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X 0 në x 0 F(x) = sinx në 0 π/2. Gjeni dendësinë e shpërndarjes f(x). 0 në x π/2."> !}
Vetitë e densitetit të shpërndarjes Dendësia e shpërndarjes është një funksion jo negativ: f(x) 0. Grafiku i densitetit të shpërndarjes quhet kurba e shpërndarjes.Integrali jo i duhur i densitetit të shpërndarjes në intervalin nga - deri është i barabartë me 1. f(x )dx = 1. -
Kuptimi probabilistik i densitetit të shpërndarjes Funksioni f(x) përcakton densitetin e shpërndarjes së probabilitetit për secilën pikë x. Për x mjaftueshëm të vogël. F(x + x) - F(x) f(x)x. Sepse diferenca F(x + x) - F(x) përcakton (shih më lart) probabilitetin që X të marrë një vlerë që i përket intervalit (x; x + x), atëherë kjo probabilitet është përafërsisht e barabartë me produktin e dendësia e probabilitetit në t. x nga gjatësia e intervalit x.
Siç dihet, ndryshore e rastësishme quhet një sasi e ndryshueshme që mund të marrë vlera të caktuara në varësi të rastit. Variablat e rastësishëm shënohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin (X, Y, Z), dhe vlerat e tyre shënohen me shkronjat përkatëse të vogla (x, y, z). Variablat e rastësishëm ndahen në të ndërprerë (diskrete) dhe të vazhdueshme.
Ndryshore diskrete e rastësishme është një ndryshore e rastësishme që merr vetëm një grup vlerash të fundme ose të pafundme (të numërueshme) me probabilitete të caktuara jo zero.
Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete është një funksion që lidh vlerat e një ndryshoreje të rastësishme me probabilitetet e tyre përkatëse. Ligji i shpërndarjes mund të specifikohet në një nga mënyrat e mëposhtme.
1 . Ligji i shpërndarjes mund të jepet nga tabela:
ku λ>0, k = 0, 1, 2, … .
V) duke përdorur funksioni i shpërndarjes F(x) , e cila përcakton për secilën vlerë x probabilitetin që ndryshorja e rastësishme X të marrë një vlerë më të vogël se x, d.m.th. F(x) = P(X< x).
Vetitë e funksionit F(x)
3 . Ligji i shpërndarjes mund të specifikohet grafikisht – poligonin e shpërndarjes (poligonin) (shih problemin 3).
Vini re se për të zgjidhur disa probleme nuk është e nevojshme të njihni ligjin e shpërndarjes. Në disa raste, mjafton të njihni një ose disa numra që pasqyrojnë tiparet më të rëndësishme të ligjit të shpërndarjes. Ky mund të jetë një numër që ka kuptimin e "vlerës mesatare" të një ndryshoreje të rastësishme, ose një numër që tregon madhësinë mesatare të devijimit të një ndryshoreje të rastësishme nga vlera e saj mesatare. Numrat e këtij lloji quhen karakteristika numerike të një ndryshoreje të rastit.
Karakteristikat themelore numerike të një ndryshoreje të rastësishme diskrete :
- Pritshmëria matematikore
(vlera mesatare) e një ndryshoreje të rastësishme diskrete M(X)=Σ x i p i.
Për shpërndarjen binomiale M(X)=np, për shpërndarjen Poisson M(X)=λ - Dispersion
ndryshore diskrete e rastësishme D(X)=M2 ose D(X) = M(X 2)- 2. Diferenca X–M(X) quhet devijimi i një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore.
Për shpërndarjen binomiale D(X)=npq, për shpërndarjen Poisson D(X)=λ - Devijimi standard (devijimi standard) σ(X)=√D(X).
Shembuj të zgjidhjes së problemeve me temën "Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastit"
Detyra 1.
Janë lëshuar 1000 bileta lotarie: 5 prej tyre do të fitojnë 500 rubla, 10 do të fitojnë 100 rubla, 20 do të fitojnë 50 rubla, 50 do të fitojnë 10 rubla. Përcaktoni ligjin e shpërndarjes së probabilitetit të ndryshores së rastësishme X - fitimet për biletë.
Zgjidhje. Sipas kushteve të problemit, vlerat e mëposhtme të ndryshores së rastësishme X janë të mundshme: 0, 10, 50, 100 dhe 500.
Numri i biletave pa fituar është 1000 – (5+10+20+50) = 915, pastaj P(X=0) = 915/1000 = 0,915.
Në mënyrë të ngjashme, gjejmë të gjitha probabilitetet e tjera: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Le të paraqesim ligjin që rezulton në formën e një tabele:
Le të gjejmë pritjen matematikore të vlerës X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5
Detyra 3.
Pajisja përbëhet nga tre elementë që funksionojnë në mënyrë të pavarur. Probabiliteti i dështimit të secilit element në një eksperiment është 0.1. Hartoni një ligj të shpërndarjes për numrin e elementeve të dështuar në një eksperiment, ndërtoni një poligon të shpërndarjes. Gjeni funksionin e shpërndarjes F(x) dhe vizatoni atë. Gjeni pritshmërinë matematikore, variancën dhe devijimin standard të një ndryshoreje të rastësishme diskrete.
Zgjidhje. 1. Ndryshorja diskrete e rastësishme X = (numri i elementeve të dështuar në një eksperiment) ka këto vlera të mundshme: x 1 = 0 (asnjë nga elementët e pajisjes nuk dështoi), x 2 = 1 (një element dështoi), x 3 = 2 ( dy elementë dështuan ) dhe x 4 =3 (tre elementë dështuan).
Dështimet e elementeve janë të pavarura nga njëra-tjetra, probabilitetet e dështimit të secilit element janë të barabarta, prandaj është e zbatueshme formula e Bernulit
. Duke marrë parasysh se sipas kushtit n=3, p=0.1, q=1-p=0.9 përcaktojmë probabilitetet e vlerave:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Kontrollo: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
Kështu, ligji i dëshiruar i shpërndarjes binomiale të X ka formën:
Ne grafikojmë vlerat e mundshme të x i përgjatë boshtit të abshisës dhe probabilitetet përkatëse p i përgjatë boshtit të ordinatave. Le të ndërtojmë pikat M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). Duke i lidhur këto pika me segmente drejtvizore, fitojmë poligonin e dëshiruar të shpërndarjes.
3. Le të gjejmë funksionin e shpërndarjes F(x) = Р(Х
Për x ≤ 0 kemi F(x) = Р(Х<0) = 0;për 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
per 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
për 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
për x > 3 do të ketë F(x) = 1, sepse ngjarja është e besueshme.
 |
Grafiku i funksionit F(x)
4.
Për shpërndarjen binomiale X:
- pritshmëria matematikore M(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- varianca D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- devijimi standard σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.