Ngrohje elektrike

Zgjidhja e pabarazive lineare. Pabarazitë kuadratike

Si të zgjidhen pabarazitë lineare? Së pari, duhet të thjeshtojmë pabarazinë: hapni kllapat dhe shtoni terma të ngjashëm.

Le të shohim shembuj të zgjidhjes së pabarazive lineare me një ndryshore.

Hapja e kllapave. Nëse ka një faktor përpara kllapave, shumëzojeni atë me çdo term në kllapa. Nëse kllapat paraprihen nga një shenjë plus, karakteret në kllapa nuk ndryshojnë. Nëse ka një shenjë minus përpara kllapave, shenjat në kllapa kthehen mbrapsht.

Ne paraqesim terma të ngjashëm.

Kemi marrë një pabarazi të formës ax+b≤cx+d. Të panjohurat i zhvendosim në njërën anë, të njohurat në tjetrën me shenja të kundërta (së pari mund t'i zhvendosim të panjohurat në njërën anë, të njohurat në anën tjetër dhe vetëm pastaj të sjellim terma të ngjashëm).

Ne i ndajmë të dy anët e pabarazisë me numrin përpara X. Meqenëse 8 është më e madhe se zero, shenja e pabarazisë nuk ndryshon:

Title="(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Meqenëse , pika -2 është shënuar në vijën numerike si e hijezuar. nga -2, në minus pafundësi.

Meqenëse pabarazia nuk është e rreptë dhe pika është e hijezuar, përgjigjen -2 e shkruajmë me kllapa katrore.

Për të kaluar nga numrat dhjetorë në numrat e plotë, mund të shumëzoni të dyja anët e pabarazisë me 10 (kjo nuk është e nevojshme. Mund të punoni me dhjetore).

Title="(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Kur të dy anët shumëzohen me një numër pozitiv, shenja e pabarazisë nuk ndryshon. Çdo term duhet të shumëzohet me 10. Kur shumëzojmë një produkt me 10, përdorim vetinë shoqëruese të shumëzimit, domethënë shumëzojmë vetëm një faktor me 10.

Zgjerimi i kllapave:

Këtu janë terma të ngjashëm:

Të panjohurat i lëvizim në një drejtim, të njohurat në tjetrin me shenja të kundërta:

Ne i ndajmë të dy anët e pabarazisë me numrin përpara X. Meqenëse -6 është një numër negativ, shenja e pabarazisë është e kundërt:

Title="(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Ne zvogëlojmë thyesën:

Title="(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Meqenëse pabarazia është e rreptë, shënojmë -2/3 në vijën numerike me një pikë të shpuar. Hijezimi shkon djathtas, në plus pafundësi:

Pabarazia është e rreptë, pika mungon, kështu që përgjigjen -2/3 e shkruajmë me kllapa:

Title="(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Hapja e kllapave. Nëse produkti i dy kllapave paraprihet nga një shenjë minus, është e përshtatshme që së pari të kryeni shumëzimin dhe vetëm atëherë të hapni kllapat, duke ndryshuar shenjën e secilit term në të kundërtën:

Title="(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Title="(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Title="(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Title="(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Këtu janë terma të ngjashëm:

Title="(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Të panjohurat - në një drejtim, të njohurit - në tjetrin me shenja të kundërta:

Title="(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Title="(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Ne i ndajmë të dy anët e pabarazisë me numrin përpara X. Që nga -10<0, знак неравенства меняется на противоположный:

Meqenëse pabarazia është e rreptë, ne shënojmë 1.6 në vijën numerike me një pikë të shpuar. Hije nga 1.6 shkon në të majtë, në minus pafundësi:

Meqenëse pabarazia është e rreptë dhe pika mungon, në përgjigje shkruajmë 1.6 me kllapa.

Çfarë duhet të dini për ikonat e pabarazisë? Pabarazitë me ikonën më shumë (> ), ose më pak (< ) quhen i rreptë. Me ikona më shumë ose të barabartë (≥ ), më pak ose të barabartë (≤ ) quhen jo strikte. Ikona jo të barabartë (≠ ) qëndron veçmas, por ju gjithashtu duhet të zgjidhni shembuj me këtë ikonë gjatë gjithë kohës. Dhe ne do të vendosim.)

Vetë ikona nuk ka shumë ndikim në procesin e zgjidhjes. Por në fund të vendimit, kur zgjidhni përgjigjen përfundimtare, kuptimi i ikonës shfaqet në fuqi të plotë! Kjo është ajo që do të shohim më poshtë në shembuj. Ka disa shaka atje ...

Pabarazitë, si barazitë, ekzistojnë besnik dhe i pabesë. Gjithçka është e thjeshtë këtu, pa truke. Le të themi 5 > 2 është një pabarazi e vërtetë. 5 < 2 - e gabuar.

Kjo përgatitje funksionon për pabarazitë ndonjë lloj dhe e thjeshtë deri në pikën e tmerrit.) Ju vetëm duhet të kryeni saktë dy (vetëm dy!) veprime elementare. Këto veprime janë të njohura për të gjithë. Por, karakteristike, gabimet në këto veprime janë gabimi kryesor në zgjidhjen e pabarazive, po... Prandaj këto veprime duhet të përsëriten. Këto veprime quhen si më poshtë:

Shndërrime identike të pabarazive.

Shndërrimet identike të pabarazive janë shumë të ngjashme me transformimet identike të ekuacioneve. Në fakt, ky është problemi kryesor. Dallimet kalojnë mbi kokën tuaj dhe... ja ku jeni.) Prandaj, unë do t'i nënvizoj veçanërisht këto dallime. Pra, transformimi i parë identik i pabarazive:

1. I njëjti numër ose shprehje mund të shtohet (zbritet) në të dy anët e mosbarazimit. Çdo. Kjo nuk do të ndryshojë shenjën e pabarazisë.

Në praktikë, ky rregull përdoret si një transferim i termave nga ana e majtë e pabarazisë në të djathtë (dhe anasjelltas) me një ndryshim të shenjës. Me ndryshim në shenjën e termit, jo pabarazi! Rregulli një me një është i njëjtë me rregullin për ekuacionet. Por transformimet e mëposhtme identike në pabarazi ndryshojnë ndjeshëm nga ato në ekuacione. Kështu që unë i veçoj ato me të kuqe:

2. Të dyja anët e pabarazisë mund të shumëzohen (pjestohen) me të njëjtën gjëpozitivenumri. Për çdopozitive Nuk do të ndryshojë.

3. Të dyja anët e pabarazisë mund të shumëzohen (pjestohen) me të njëjtën gjënegativ numri. Për çdonegativnumri. Shenja e pabarazisë nga kjodo të ndryshojë në të kundërtën.

Ju kujtohet (shpresoj...) që ekuacioni mund të shumëzohet/pjestohet me çdo gjë. Dhe për çdo numër, dhe për një shprehje me një X. Sikur të mos ishte zero. Kjo e bën atë, ekuacionin, as të nxehtë as të ftohtë.) Nuk ndryshon. Por pabarazitë janë më të ndjeshme ndaj shumëzimit/pjestimit.

Një shembull i mirë për kujtesën e gjatë. Le të shkruajmë një pabarazi që nuk ngre dyshime:

5 > 2

Shumëzojini të dyja anët me +3, marrim:

15 > 6

Ndonjë kundërshtim? Nuk ka kundërshtime.) Dhe nëse i shumëzojmë me të dyja anët e pabarazisë fillestare -3, marrim:

15 > -6

Dhe kjo është një gënjeshtër e plotë.) Një gënjeshtër e plotë! Mashtrimi i popullit! Por sapo ndryshoni shenjën e pabarazisë në të kundërtën, gjithçka bie në vend:

15 < -6

Unë nuk po betohem vetëm për gënjeshtra dhe mashtrime.) "Kam harruar të ndryshoj shenjën e barazimit..."- Kjo në shtëpi gabim në zgjidhjen e pabarazive. Ky rregull i parëndësishëm dhe i thjeshtë ka lënduar shumë njerëz! Të cilën e harruan...) Pra, po betohem. Ndoshta do ta kujtoj...)

Veçanërisht njerëzit e vëmendshëm do të vërejnë se pabarazia nuk mund të shumëzohet me një shprehje me një X. Respekt për ata që janë të vëmendshëm!) Pse jo? Përgjigja është e thjeshtë. Ne nuk e dimë shenjën e kësaj shprehjeje me një X. Mund të jetë pozitive, negative... Prandaj, nuk dimë se cilën shenjë mosbarazie të vendosim pas shumëzimit. A duhet ta ndryshoj apo jo? E panjohur. Sigurisht, ky kufizim (ndalimi i shumëzimit/pjestimit të një pabarazie me një shprehje me një x) mund të anashkalohet. Nëse keni vërtet nevojë për të. Por kjo është një temë për mësime të tjera.

Janë të gjitha transformimet identike të pabarazive. Më lejoni t'ju kujtoj edhe një herë se ata punojnë për të ndonjë pabarazitë Tani mund të kaloni në lloje specifike.

Pabarazitë lineare. Zgjidhje, shembuj.

Pabarazitë lineare janë pabarazi në të cilat x është në fuqinë e parë dhe nuk ka pjesëtim me x. Lloji:

x+3 > 5x-5

Si zgjidhen pabarazi të tilla? Ato janë shumë të lehta për t'u zgjidhur! Domethënë: me ndihmën e zvogëlojmë pabarazinë lineare më konfuze drejt në përgjigje. Kjo është zgjidhja. Do të nënvizoj pikat kryesore të vendimit. Për të shmangur gabimet budallaqe.)

Le të zgjidhim këtë pabarazi:

x+3 > 5x-5

Ne e zgjidhim atë saktësisht në të njëjtën mënyrë si një ekuacion linear. Me ndryshimin e vetëm:

Ne monitorojmë me kujdes shenjën e pabarazisë!

Hapi i parë është më i zakonshmi. Me X - në të majtë, pa X - në të djathtë... Ky është transformimi i parë identik, i thjeshtë dhe pa probleme.) Vetëm mos harroni të ndryshoni shenjat e termave të transferuar.

Shenja e pabarazisë mbetet:

x-5x > -5-3

Këtu janë të ngjashme.

Shenja e pabarazisë mbetet:

4x > -8

Mbetet të zbatohet transformimi i fundit identik: ndani të dyja anët me -4.

Ndani sipas negativ numri.

Shenja e pabarazisë do të ndryshojë në të kundërtën:

X < 2

Kjo është përgjigja.

Kështu zgjidhen të gjitha pabarazitë lineare.

Kujdes! Pika 2 vizatohet e bardhë, d.m.th. e pa lyer. Bosh brenda. Kjo do të thotë se ajo nuk përfshihet në përgjigje! E vizatova me qëllim kaq të shëndetshëm. Një pikë e tillë (bosh, jo e shëndetshme!)) në matematikë quhet pikë e shpuar.

Numrat e mbetur në bosht mund të shënohen, por jo të nevojshme. Numrat e jashtëm që nuk lidhen me pabarazinë tonë mund të jenë konfuze, po... Duhet vetëm të mbani mend se numrat rriten në drejtim të shigjetës, d.m.th. numrat 3, 4, 5, etj. janë në të djathtë janë dyshe, dhe numrat janë 1, 0, -1, etj. - në të majtë.

Pabarazi x < 2 - i rreptë. X është rreptësisht më pak se dy. Nëse keni dyshime, kontrolli është i thjeshtë. Ne e zëvendësojmë numrin e dyshimtë në pabarazi dhe mendojmë: "Dy është më pak se dy? Jo, sigurisht!" Pikërisht. Pabarazia 2 < 2 e pasaktë. Një dy në këmbim nuk është e përshtatshme.

A është një në rregull? Sigurisht. Më pak... Dhe zero është e mirë, dhe -17, dhe 0,34... Po, të gjithë numrat që janë më pak se dy janë të mirë! Dhe madje 1,9999 .... Të paktën pak, por më pak!

Pra, le t'i shënojmë të gjithë këta numra në boshtin e numrave. Si? Këtu ka opsione. Opsioni i parë është hijezimi. Lëvizim miun mbi figurë (ose prekim figurën në tablet) dhe shohim që zona e të gjitha x-ve që plotësojnë kushtin x është e hijezuar < 2 . Kjo eshte e gjitha.

Le të shohim opsionin e dytë duke përdorur shembullin e dytë:

X ≥ -0,5

Vizatoni një bosht dhe shënoni numrin -0.5. Si kjo:

Vini re ndryshimin?) Epo, po, është e vështirë të mos e vini re... Kjo pikë është e zezë! E lyer sipër. Kjo do të thotë -0.5 përfshihet në përgjigje. Këtu, meqë ra fjala, verifikimi mund të ngatërrojë dikë. Le të zëvendësojmë:

-0,5 ≥ -0,5

Si keshtu? -0,5 nuk është më shumë se -0,5! Dhe ka më shumë ikonë ...

Është në rregull. Në një pabarazi të dobët, gjithçka që i përshtatet ikonës është e përshtatshme. DHE barazohet mire dhe më shumë mirë. Prandaj, -0.5 është përfshirë në përgjigje.

Pra, ne shënuam -0.5 në bosht; mbetet të shënojmë të gjithë numrat që janë më të mëdhenj se -0.5. Këtë herë shënoj zonën e vlerave të përshtatshme x hark(nga fjala hark), në vend të hijes. Ne e vendosim kursorin mbi vizatim dhe e shohim këtë hark.

Nuk ka ndonjë ndryshim të veçantë midis hijes dhe krahëve. Bëni siç thotë mësuesi. Nëse nuk ka mësues, vizatoni harqe. Në detyrat më komplekse, hijezimi është më pak i dukshëm. Mund të hutoheni.

Kështu vizatohen pabarazitë lineare në një bosht. Le të kalojmë në veçori e mëposhtme pabarazitë

Shkrimi i përgjigjes për pabarazitë.

Ekuacionet ishin të mira.) Gjetëm x dhe shënuam përgjigjen, për shembull: x=3. Ekzistojnë dy forma të shkrimit të përgjigjeve në pabarazi. Njëra është në formën e pabarazisë përfundimtare. E mirë për raste të thjeshta. Për shembull:

X< 2.

Kjo është një përgjigje e plotë.

Ndonjëherë ju duhet të shkruani të njëjtën gjë, por në një formë të ndryshme, në intervale numerike. Pastaj regjistrimi fillon të duket shumë shkencor):

x ∈ (-∞; 2)

Nën ikonën ∈ fjala është e fshehur "përkasin".

Hyrja lexohet kështu: x i përket intervalit nga minus pafundësia në dy duke mos përfshirë. Mjaft logjike. X mund të jetë çdo numër nga të gjithë numrat e mundshëm nga minus pafundësia në dy. Nuk mund të ketë një X të dyfishtë, gjë që na thotë fjala "duke mos përfshirë".

Dhe ku në përgjigje është e qartë se "pa përfshirë"? Ky fakt shënohet në përgjigje rrumbullakët kllapa menjëherë pas të dyve. Nëse do të përfshiheshin të dyja, kllapa do të ishte katrore. Si ky: ]. Shembulli i mëposhtëm përdor një kllapa të tillë.

Le të shkruajmë përgjigjen: x ≥ -0,5 në intervale:

x ∈ [-0,5; +∞)

Lexohet: x i përket intervalit nga minus 0.5, duke përfshirë, në plus pafundësi.

Pafundësia nuk mund të ndizet kurrë. Nuk është një numër, është një simbol. Prandaj, në shënime të tilla, pafundësia është gjithmonë ngjitur me një kllapa.

Kjo formë regjistrimi është e përshtatshme për përgjigje komplekse që përbëhen nga disa hapësira. Por - vetëm për përgjigjet përfundimtare. Në rezultatet e ndërmjetme, ku pritet një zgjidhje e mëtejshme, është më mirë të përdoret forma e zakonshme, në formën e një pabarazie të thjeshtë. Me këtë do të merremi në temat përkatëse.

Detyrat popullore me pabarazi.

Vetë pabarazitë lineare janë të thjeshta. Prandaj, detyrat shpesh bëhen më të vështira. Kështu që ishte e nevojshme të mendohej. Kjo, nëse nuk jeni mësuar me të, nuk është shumë e këndshme.) Por është e dobishme. Unë do të tregoj shembuj të detyrave të tilla. Jo që ju t'i mësoni ato, është e panevojshme. Dhe për të mos pasur frikë kur takoni shembuj të tillë. Thjesht mendoni pak - dhe është e thjeshtë!)

1. Gjeni çdo dy zgjidhje të pabarazisë 3x - 3< 0

Nëse nuk është shumë e qartë se çfarë të bëni, mbani mend rregullin kryesor të matematikës:

Nëse nuk e dini se çfarë keni nevojë, bëni atë që mundeni!)

X < 1

Dhe ç'farë? Asgje speciale. Çfarë po na pyesin? Na kërkohet të gjejmë dy numra specifikë që janë zgjidhja e një pabarazie. ato. përshtatet me përgjigjen. Dy ndonjë numrat. Në fakt, kjo është konfuze.) Disa 0 dhe 0.5 janë të përshtatshme. Një çift -3 dhe -8. Ka një numër të pafund të këtyre çifteve! Cila përgjigje është e saktë?!

Unë përgjigjem: gjithçka! Çdo çift numrash, secili prej të cilëve është më i vogël se një, do të jetë përgjigja e saktë. Shkruani cilin dëshironi. Le të vazhdojmë.

2. Zgjidh pabarazinë:

4x - 3 ≠ 0

Detyrat në këtë formë janë të rralla. Por, si pabarazi ndihmëse, kur gjejmë ODZ, për shembull, ose kur gjejmë domenin e përkufizimit të një funksioni, ato ndodhin gjatë gjithë kohës. Një pabarazi e tillë lineare mund të zgjidhet si një ekuacion i zakonshëm linear. Vetëm kudo përveç shenjës "=" ( barazohet) vendosni një shenjë " ≠ " (jo të barabartë). Ja si i qaseni përgjigjes, me një shenjë pabarazie:

X ≠ 0,75

Në më shumë shembuj kompleks, është më mirë t'i bëni gjërat ndryshe. Bëni pabarazi nga barazia. Si kjo:

4x - 3 = 0

Zgjidheni me qetësi siç mësohet dhe merrni përgjigjen:

x = 0,75

Gjëja kryesore është, në fund të fundit, kur shkruani përgjigjen përfundimtare, mos harroni se gjetëm x, i cili jep barazisë. Dhe ne kemi nevojë - pabarazia. Prandaj, ne nuk kemi vërtet nevojë për këtë X.) Dhe duhet ta shkruajmë me simbolin e duhur:

X ≠ 0,75

Kjo qasje rezulton në më pak gabime. Ata që zgjidhin ekuacione automatikisht. Dhe për ata që nuk zgjidhin ekuacione, pabarazitë, në fakt, nuk janë të dobishme...) Një shembull tjetër i një detyre popullore:

3. Gjeni zgjidhjen më të vogël të numrit të plotë të pabarazisë:

3 (x - 1) < 5x + 9

Së pari ne thjesht zgjidhim pabarazinë. Hapim kllapat, i lëvizim, sjellim të ngjashme... Marrim:

X > - 6

A nuk shkoi kështu!? A i keni ndjekur shenjat!? Dhe pas shenjave të anëtarëve, dhe pas shenjës së pabarazisë...

Le të mendojmë përsëri. Duhet të gjejmë një numër specifik që përputhet me përgjigjen dhe kushtin "numri i plotë më i vogël". Nëse nuk ju vjen menjëherë, mund të merrni çdo numër dhe ta kuptoni. Dy mbi minus gjashtë? Sigurisht! A ka një numër më të vogël të përshtatshëm? Sigurisht. Për shembull, zeroja është më e madhe se -6. Dhe akoma më pak? Na duhet gjëja më e vogël e mundshme! Minus tre është më shumë se minus gjashtë! Tashmë mund ta kapni modelin dhe të ndaloni të kaloni marrëzi nëpër numra, apo jo?)

Le të marrim një numër më afër -6. Për shembull, -5. Përgjigja është përmbushur, -5 > - 6. A është e mundur të gjendet një numër tjetër më i vogël se -5 por më i madh se -6? Mund, për shembull, -5.5... Ndal! Na thuhet e tërë zgjidhje! Nuk rrotullohet -5.5! Po në minus gjashtë? Uh-uh! Pabarazia është e rreptë, minus 6 nuk është aspak më pak se minus 6!

Prandaj, përgjigja e saktë është -5.

Shpresojmë me një përzgjedhje vlerash nga zgjidhje e përgjithshme gjithçka e qartë. Një shembull tjetër:

4. Zgjidh pabarazinë:

7 < 3x+1 < 13

Uau! Kjo shprehje quhet pabarazi e trefishtë. Në mënyrë të rreptë, kjo është një formë e shkurtuar e një sistemi pabarazish. Por pabarazi të tilla të trefishta ende duhet të zgjidhen në disa detyra... Mund të zgjidhet pa asnjë sistem. Sipas të njëjtave shndërrime identike.

Ne duhet të thjeshtojmë, ta sjellim këtë pabarazi në X të pastër. Por... Çfarë duhet zhvendosur ku?! Këtu është koha për të kujtuar se lëvizja majtas dhe djathtas është formë e shkurtër transformimi i parë i identitetit.

Dhe forma e plotë tingëllon si kjo: Çdo numër ose shprehje mund të shtohet/zbritet në të dyja anët e ekuacionit (pabarazi).

Këtu janë tre pjesë. Pra, ne do të aplikojmë transformime identike në të tre pjesët!

Pra, le të heqim qafe atë në pjesën e mesme të pabarazisë. Le të zbresim një nga e gjithë pjesa e mesme. Në mënyrë që pabarazia të mos ndryshojë, ne zbresim një nga dy pjesët e mbetura. Si kjo:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Kjo është më mirë, apo jo?) Gjithçka që mbetet është të ndajmë të tre pjesët në tre:

2 < X < 4

Kjo eshte e gjitha. Kjo është përgjigja. X mund të jetë çdo numër nga dy (pa përfshirë) në katër (pa përfshirë). Kjo përgjigje shkruhet gjithashtu në intervale; hyrjet e tilla do të jenë në pabarazi kuadratike. Aty janë gjëja më e zakonshme.

Në fund të mësimit do të përsëris gjënë më të rëndësishme. Suksesi në zgjidhjen e pabarazive lineare varet nga aftësia për të transformuar dhe thjeshtuar ekuacionet lineare. Nëse në të njëjtën kohë shikoni për shenjën e pabarazisë, nuk do ketë asnjë problem. Kjo është ajo që unë uroj për ju. Nuk ka probleme.)

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)

Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Pabarazitë dhe sistemet e pabarazive janë një nga temat e trajtuara në gjimnaz në algjebër. Për sa i përket nivelit të vështirësisë, nuk është më i vështiri, pasi ka rregulla të thjeshta (më shumë për to pak më vonë). Si rregull, nxënësit e shkollës mësojnë të zgjidhin sistemet e pabarazive mjaft lehtë. Kjo edhe për faktin se mësuesit thjesht i “trajnojnë” nxënësit e tyre për këtë temë. Dhe ata nuk mund të mos e bëjnë këtë, sepse ai studiohet në të ardhmen duke përdorur sasi të tjera matematikore, dhe gjithashtu testohet në Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe Provimin e Unifikuar të Shtetit. Në tekstet shkollore, tema e pabarazive dhe sistemeve të pabarazive trajtohet në detaje, kështu që nëse do ta studioni, është mirë t'u drejtoheni atyre. Ky artikull përmbledh vetëm materiale më të mëdha dhe mund të ketë disa lëshime.

Koncepti i një sistemi pabarazish

Nëse i drejtohemi gjuhës shkencore, mund të përkufizojmë konceptin e "sistemit të pabarazive". Ky është një model matematik që përfaqëson disa pabarazi. Ky model, natyrisht, kërkon një zgjidhje, dhe kjo do të jetë përgjigja e përgjithshme për të gjitha pabarazitë e sistemit të propozuar në detyrë (zakonisht kjo shkruhet në të, për shembull: "Zgjidhni sistemin e pabarazive 4 x + 1 > 2 dhe 30 - x > 6... "). Sidoqoftë, përpara se të kaloni te llojet dhe metodat e zgjidhjeve, duhet të kuptoni diçka tjetër.

Sistemet e pabarazive dhe sistemet e ekuacioneve

Kur mësoni një temë të re, shpesh lindin keqkuptime. Nga njëra anë, gjithçka është e qartë dhe dëshironi të filloni të zgjidhni sa më shpejt detyrat, por nga ana tjetër, disa momente mbeten në “hije” dhe nuk kuptohen plotësisht. Gjithashtu, disa elementë të njohurive të fituara tashmë mund të ndërthuren me të reja. Si rezultat i kësaj "mbivendosjeje", shpesh ndodhin gabime.

Prandaj, përpara se të fillojmë të analizojmë temën tonë, duhet të kujtojmë ndryshimet midis ekuacioneve dhe pabarazive dhe sistemeve të tyre. Për ta bërë këtë, ne duhet të shpjegojmë edhe një herë se çfarë përfaqësojnë këto koncepte matematikore. Një ekuacion është gjithmonë një barazi, dhe është gjithmonë i barabartë me diçka (në matematikë kjo fjalë shënohet me shenjën "="). Pabarazia është një model në të cilin një vlerë është ose më e madhe ose më e vogël se një tjetër, ose përmban një deklaratë se ato nuk janë të njëjta. Kështu, në rastin e parë, është me vend të flitet për barazi, dhe në të dytin, sado e qartë të tingëllojë nga vetë emri, për pabarazinë e të dhënave fillestare. Sistemet e ekuacioneve dhe pabarazive praktikisht nuk ndryshojnë nga njëri-tjetri dhe metodat për zgjidhjen e tyre janë të njëjta. I vetmi ndryshim është se në rastin e parë përdoren barazitë, dhe në rastin e dytë përdoren pabarazitë.

Llojet e pabarazive

Ekzistojnë dy lloje të pabarazive: numerike dhe me një ndryshore të panjohur. Lloji i parë përfaqëson vlerat e dhëna (numrat) që janë të pabarabartë me njëri-tjetrin, për shembull, 8 > 10. E dyta janë pabarazitë që përmbajnë një ndryshore të panjohur (të shënuar me ndonjë shkronjë Alfabeti latin, më shpesh X). Kjo variabël duhet gjetur. Në varësi të numrit të tyre, modeli matematik bën dallimin midis pabarazive me një (ata përbëjnë një sistem pabarazish me një ndryshore) ose disa ndryshore (përbëjnë një sistem pabarazish me disa ndryshore).

Dy llojet e fundit, sipas shkallës së ndërtimit të tyre dhe nivelit të kompleksitetit të zgjidhjes, ndahen në të thjeshta dhe komplekse. Ato të thjeshta quhen edhe pabarazi lineare. Ata, nga ana tjetër, ndahen në të rreptë dhe jo të rreptë. Ato të rrepta në mënyrë specifike "thonë" se një sasi duhet të jetë domosdoshmërisht ose më pak ose më shumë, kështu që kjo është në formë e pastër pabarazia. Mund të jepen disa shembuj: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, etj. Ata jo të rreptë përfshijnë gjithashtu barazinë. Kjo do të thotë, një vlerë mund të jetë më e madhe ose e barabartë me një vlerë tjetër (shenja "≥") ose më e vogël ose e barabartë me një vlerë tjetër (shenja "≤"). Edhe në pabarazitë lineare, ndryshorja nuk është në rrënjë, katrore ose e pjesëtueshme me ndonjë gjë, kjo është arsyeja pse ato quhen "të thjeshta". Ato komplekse përfshijnë variabla të panjohura që kërkojnë ekzekutim për t'u gjetur. më shumë operacionet matematikore. Ato shpesh janë të vendosura në një katror, kub ose nën një rrënjë, ato mund të jenë modulare, logaritmike, fraksionale, etj. Por meqenëse detyra jonë është nevoja për të kuptuar zgjidhjen e sistemeve të pabarazive, do të flasim për një sistem pabarazish lineare. . Megjithatë, para kësaj duhen thënë disa fjalë për pronat e tyre.

Vetitë e pabarazive

Karakteristikat e pabarazive përfshijnë si më poshtë:

Shenja e pabarazisë përmbyset nëse një veprim përdoret për të ndryshuar rendin e anëve (për shembull, nëse t 1 ≤ t 2, atëherë t 2 ≥ t 1).
Të dy anët e pabarazisë ju lejojnë të shtoni të njëjtin numër në vetvete (për shembull, nëse t 1 ≤ t 2, atëherë t 1 + numër ≤ t 2 + numër).
Dy ose më shumë pabarazi me një shenjë në të njëjtin drejtim lejojnë shtimin e anëve të tyre të majtë dhe të djathtë (për shembull, nëse t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, atëherë t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
Të dy pjesët e pabarazisë mund të shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër pozitiv (për shembull, nëse t 1 ≤ t 2 dhe një numër ≤ 0, atëherë numri · t 1 ≥ numri · t 2).
Dy ose më shumë pabarazi që kanë terma pozitivë dhe një shenjë në të njëjtin drejtim lejojnë veten të shumëzohen me njëra-tjetrën (për shembull, nëse t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 pastaj t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
Të dyja pjesët e pabarazisë lejojnë që të shumëzohen ose të pjesëtohen me të njëjtin numër negativ, por në këtë rast shenja e pabarazisë ndryshon (për shembull, nëse t 1 ≤ t 2 dhe një numër ≤ 0, atëherë numri · t 1 ≥ numri · t 2).
Të gjitha pabarazitë kanë vetinë e kalueshmërisë (për shembull, nëse t 1 ≤ t 2 dhe t 2 ≤ t 3, atëherë t 1 ≤ t 3).

Tani, pasi kemi studiuar parimet bazë të teorisë në lidhje me pabarazitë, mund të vazhdojmë drejtpërdrejt në shqyrtimin e rregullave për zgjidhjen e sistemeve të tyre.

Zgjidhja e sistemeve të pabarazive. Informacion i pergjithshem. Zgjidhjet

Siç u përmend më lart, zgjidhja janë vlerat e ndryshores që janë të përshtatshme për të gjitha pabarazitë e sistemit të caktuar. Zgjidhja e sistemeve të pabarazive është zbatimi i operacioneve matematikore që përfundimisht çojnë në një zgjidhje për të gjithë sistemin ose provojnë se ai nuk ka zgjidhje. Në këtë rast, ndryshorja thuhet se i përket një grupi numerik bosh (të shkruar si më poshtë: shkronja që tregon një ndryshore∈ (shenja “i takon”) ø (shenja “vend i zbrazët”), për shembull, x ∈ ø (lexo: “Ndryshorja “x” i përket grupit bosh”). Ka disa mënyra për të zgjidhur sistemet e pabarazive: grafike, algjebrike, metoda e zëvendësimit. Vlen të theksohet se ato i referohen atyre modeleve matematikore që kanë disa variabla të panjohur. Në rastin kur ka vetëm një, metoda e intervalit është e përshtatshme.

Metoda grafike

Ju lejon të zgjidhni një sistem pabarazish me disa sasi të panjohura (nga dy e lart). Falë kësaj metode, një sistem pabarazish lineare mund të zgjidhet mjaft lehtë dhe shpejt, kështu që është metoda më e zakonshme. Kjo shpjegohet me faktin se vizatimi i një grafiku zvogëlon sasinë e shkrimit të veprimeve matematikore. Bëhet veçanërisht e këndshme të bëni një pushim të vogël nga stilolapsi, të merrni një laps me një vizore dhe të filloni veprime të mëtejshme me ndihmën e tyre kur është bërë shumë punë dhe dëshironi pak larmi. Megjithatë këtë metodë disa njerëzve nuk u pëlqen sepse duhet të shkëputen nga detyra dhe të kalojnë aktivitetin e tyre mendor në vizatim. Megjithatë, kjo është një metodë shumë efektive.

Për të zgjidhur një sistem pabarazish duke përdorur një metodë grafike, është e nevojshme të transferohen të gjitha termat e secilës pabarazi në anën e majtë të tyre. Shenjat do të kthehen, zero duhet të shkruhet në të djathtë, pastaj çdo pabarazi duhet të shkruhet veçmas. Si rezultat, funksionet do të përftohen nga pabarazitë. Pas kësaj, mund të nxirrni një laps dhe një vizore: tani ju duhet të vizatoni një grafik të secilit funksion të marrë. I gjithë grupi i numrave që do të jetë në intervalin e kryqëzimit të tyre do të jetë një zgjidhje për sistemin e pabarazive.

Mënyra algjebrike

Ju lejon të zgjidhni një sistem pabarazish me dy ndryshore të panjohura. Gjithashtu, pabarazitë duhet të kenë të njëjtën shenjë pabarazie (d.m.th., ato duhet të përmbajnë ose vetëm shenjën "më e madhe se", ose vetëm shenjën "më pak se" etj.) Pavarësisht kufizimeve të saj, kjo metodë është gjithashtu më komplekse. Aplikohet në dy faza.

E para përfshin veprime për të hequr qafe një nga variablat e panjohur. Së pari ju duhet ta zgjidhni atë, më pas kontrolloni për praninë e numrave përpara kësaj ndryshore. Nëse ato nuk janë aty (atëherë ndryshorja do të duket si një shkronjë e vetme), atëherë nuk ndryshojmë asgjë, nëse ka (lloji i ndryshores do të jetë, për shembull, 5y ose 12y), atëherë është e nevojshme të bëhet i sigurt që në çdo mosbarazim numri përpara variablit të zgjedhur është i njëjtë. Për ta bërë këtë, ju duhet të shumëzoni çdo term të pabarazive me një faktor të përbashkët, për shembull, nëse 3y është shkruar në pabarazinë e parë dhe 5y në të dytën, atëherë duhet të shumëzoni të gjitha termat e pabarazisë së parë me 5. , dhe e dyta me 3. Rezultati është respektivisht 15y dhe 15y.

Faza e dytë e zgjidhjes. Është e nevojshme të transferoni anën e majtë të çdo pabarazie në anët e tyre të djathta, duke ndryshuar shenjën e secilit term në të kundërtën dhe të shkruani zero në të djathtë. Më pas vjen pjesa argëtuese: heqja qafe e ndryshores së zgjedhur (e njohur ndryshe si "reduktim") duke shtuar pabarazitë. Kjo rezulton në një pabarazi me një ndryshore që duhet zgjidhur. Pas kësaj, duhet të bëni të njëjtën gjë, vetëm me një variabël tjetër të panjohur. Rezultatet e marra do të jenë zgjidhja e sistemit.

Metoda e zëvendësimit

Ju lejon të zgjidhni një sistem pabarazish nëse është e mundur të futni një ndryshore të re. Në mënyrë tipike, kjo metodë përdoret kur ndryshorja e panjohur në një term të pabarazisë është ngritur në fuqinë e katërt, dhe në termin tjetër është në katror. Kështu, kjo metodë synon të zvogëlojë shkallën e pabarazive në sistem. Në këtë mënyrë zgjidhet pabarazia e mostrës x 4 - x 2 - 1 ≤ 0. Prezantohet një variabël i ri, për shembull t. Ata shkruajnë: "Le t = x 2", më pas modeli rishkruhet në një formë të re. Në rastin tonë, marrim t 2 - t - 1 ≤0. Kjo pabarazi duhet të zgjidhet duke përdorur metodën e intervalit (më shumë për këtë pak më vonë), pastaj të kthehet në ndryshoren X, pastaj të bëjë të njëjtën gjë me pabarazinë tjetër. Përgjigjet e marra do të jenë zgjidhja e sistemit.

Metoda e intervalit

Kjo është mënyra më e thjeshtë për të zgjidhur sistemet e pabarazive, dhe në të njëjtën kohë është universale dhe e përhapur. Përdoret në shkollat e mesme dhe madje edhe në shkollat e larta. Thelbi i tij qëndron në faktin se studenti kërkon intervale të pabarazisë në një vijë numerike, e cila vizatohet në një fletore (ky nuk është një grafik, por vetëm një vijë e zakonshme me numra). Aty ku ndërpriten intervalet e pabarazive, gjendet zgjidhja e sistemit. Për të përdorur metodën e intervalit, duhet të ndiqni këto hapa:

Të gjithë termat e çdo pabarazie transferohen në anën e majtë me shenjën që ndryshon në të kundërtën (zero është shkruar në të djathtë).
Pabarazitë shkruhen veçmas dhe përcaktohet zgjidhja e secilës prej tyre.
Gjenden kryqëzimet e pabarazive në vijën numerike. Të gjithë numrat e vendosur në këto kryqëzime do të jenë një zgjidhje.

Cila metodë duhet të përdor?

Natyrisht ai që duket më i lehtë dhe më i përshtatshëm, por ka raste kur detyrat kërkojnë një metodë të caktuar. Më shpesh ata thonë se ju duhet të zgjidhni ose duke përdorur një grafik ose metodën e intervalit. Metoda algjebrike dhe zëvendësimi përdoren jashtëzakonisht rrallë ose aspak, pasi ato janë mjaft komplekse dhe konfuze, dhe përveç kësaj, ato përdoren më shumë për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve sesa për pabarazitë, kështu që duhet të drejtoheni në vizatimin e grafikëve dhe intervaleve. Ato sjellin qartësi, e cila nuk mund të mos kontribuojë në ekzekutimin efikas dhe të shpejtë të operacioneve matematikore.

Nëse diçka nuk funksionon

Gjatë studimit të një teme të caktuar në algjebër, natyrisht, mund të lindin probleme me kuptimin e saj. Dhe kjo është normale, sepse truri ynë është krijuar në atë mënyrë që nuk është në gjendje ta kuptojë material kompleks menjëherë. Shpesh ju duhet të rilexoni një paragraf, të merrni ndihmë nga një mësues ose të praktikoni zgjidhjen e detyrave standarde. Në rastin tonë, ata duken, për shembull, kështu: "Zgjidhni sistemin e pabarazive 3 x + 1 ≥ 0 dhe 2 x - 1 > 3." Kështu, dëshira personale, ndihma nga të huajt dhe praktika ndihmojnë në kuptimin e çdo teme komplekse.

Zgjidhës?

Një libër zgjidhje është gjithashtu shumë i përshtatshëm, por jo për të kopjuar detyrat e shtëpisë, por për vetë-ndihmë. Në to mund të gjeni sisteme pabarazish me një zgjidhje, t'i shikoni ato (si shabllone), të përpiqeni të kuptoni saktësisht se si autori i zgjidhjes e përballoi detyrën dhe më pas përpiquni të bëni të njëjtën gjë vetë.

konkluzionet

Algjebra është një nga lëndët më të vështira në shkollë. Epo, çfarë mund të bësh? Matematika ka qenë gjithmonë kështu: për disa është e lehtë, por për të tjerët është e vështirë. Por në çdo rast, duhet të mbahet mend se programi i arsimit të përgjithshëmËshtë ndërtuar në mënyrë të tillë që çdo student të mund ta përballojë atë. Përveç kësaj, duhet të kihet parasysh numri i madh i asistentëve. Disa prej tyre janë përmendur më lart.

Tani mund të kuptoni se si zgjidhen pabarazitë lineare a x + b<0 (они могут быть записаны и с помощью любого другого знака неравенства).

Mënyra kryesore për t'i zgjidhur ato është përdorimi i transformimeve ekuivalente që lejojnë që dikush të arrijë në a≠0 në pabarazitë elementare tip x

, ≥), p - një numër i caktuar, të cilët janë zgjidhja e dëshiruar, dhe për a=0 - për pabarazitë numerike të formës a

, ≥), nga e cila nxirret përfundimi për zgjidhjen e pabarazisë fillestare. Së pari do ta analizojmë.

Gjithashtu nuk dëmton të shikosh zgjidhjen e pabarazive lineare në një variabël nga këndvështrime të tjera. Prandaj, do të tregojmë gjithashtu se si pabarazia lineare mund të zgjidhet grafikisht dhe duke përdorur metodën e intervalit.

Përdorimi i transformimeve ekuivalente

Le të na duhet të zgjidhim pabarazinë lineare a x+b<0 (≤, >, ≥). Le të tregojmë se si ta bëjmë këtë duke përdorur transformime ekuivalente të pabarazisë.

Qasjet ndryshojnë në varësi të faktit nëse koeficienti a i ndryshores x është i barabartë apo jo i barabartë me zero. Le t'i shikojmë ato një nga një. Për më tepër, kur shqyrtojmë, do t'i përmbahemi një skeme me tre pika: së pari do të japim thelbin e procesit, më pas do të japim një algoritëm për zgjidhjen e një pabarazie lineare dhe së fundi, do t'u japim zgjidhje shembujve tipikë.

Le të fillojmë me algoritmi për zgjidhjen e pabarazisë lineare a x+b<0 (≤, >, ≥) për a≠0.

Së pari, numri b transferohet në anën e djathtë të pabarazisë me shenjën e kundërt. Kjo na lejon të kalojmë në pabarazinë ekuivalente a x<−b (≤, >, ≥).
Së dyti, të dy anët e pabarazisë që rezulton pjesëtohen me një numër jo zero a. Për më tepër, nëse a është një numër pozitiv, atëherë shenja e pabarazisë ruhet, dhe nëse a është një numër negativ, atëherë shenja e pabarazisë është e kundërt. Rezultati është një pabarazi elementare ekuivalente me pabarazinë lineare origjinale, dhe kjo është përgjigja.

Mbetet për të kuptuar zbatimin e algoritmit të shpallur duke përdorur shembuj. Le të shqyrtojmë se si mund të përdoret për të zgjidhur pabarazitë lineare për a≠0.

Shembull.

Zgjidh inekuacionin 3·x+12≤0.

Zgjidhje.

Për një pabarazi lineare të dhënë kemi a=3 dhe b=12. Natyrisht, koeficienti a për ndryshoren x është i ndryshëm nga zero. Le të përdorim algoritmin përkatës të zgjidhjes të dhënë më sipër.

Së pari, ne e zhvendosim termin 12 në anën e djathtë të pabarazisë, duke mos harruar të ndryshojmë shenjën e tij, domethënë -12 do të shfaqet në anën e djathtë. Si rezultat, arrijmë në pabarazinë ekuivalente 3·x≤−12.

Dhe, së dyti, ne ndajmë të dy anët e pabarazisë që rezulton me 3, pasi 3 është një numër pozitiv, ne nuk e ndryshojmë shenjën e pabarazisë. Kemi (3 x):3≤(−12):3, që është e njëjtë me x≤−4.

Pabarazia elementare x≤−4 që rezulton është ekuivalente me pabarazinë lineare origjinale dhe është zgjidhja e dëshiruar e saj.

Pra, zgjidhja e pabarazisë lineare 3 x + 12≤0 është çdo numër real më i vogël ose i barabartë me minus katër. Përgjigja mund të shkruhet edhe në formën e një intervali numerik që i korrespondon pabarazisë x≤−4, pra si (−∞, −4] .

Duke pasur aftësi për të punuar me pabarazitë lineare, zgjidhjet e tyre mund të shkruhen shkurtimisht pa shpjegime. Në këtë rast, së pari shkruani pabarazinë lineare origjinale, dhe më poshtë - pabarazitë ekuivalente të marra në çdo hap të zgjidhjes:
3 x+12≤0 ;
3 x≤−12 ;
x≤−4 .

Përgjigje:

x≤−4 ose (−∞, −4] .

Shembull.

Listoni të gjitha zgjidhjet e pabarazisë lineare −2.7·z>0.

Zgjidhje.

Këtu koeficienti a për variablin z është i barabartë me −2.7. Dhe koeficienti b mungon në formë të qartë, domethënë është i barabartë me zero. Prandaj, hapi i parë i algoritmit për zgjidhjen e një pabarazie lineare me një ndryshore nuk ka nevojë të kryhet, pasi lëvizja e një zero nga ana e majtë në të djathtë nuk do të ndryshojë formën e pabarazisë origjinale.

Mbetet të ndajmë të dy anët e pabarazisë me -2.7, duke mos harruar të ndryshojmë shenjën e pabarazisë në atë të kundërt, pasi -2.7 është një numër negativ. Ne kemi (−2,7 z): (−2,7)<0:(−2,7) , dhe pastaj z<0 .

Dhe tani shkurtimisht:
−2,7·z>0 ;
z<0 .

Përgjigje:

z<0 или (−∞, 0) .

Shembull.

Zgjidh pabarazinë .

Zgjidhje.

Duhet të zgjidhim një pabarazi lineare me koeficient a për ndryshoren x të barabartë me −5, dhe me koeficient b, që i përgjigjet thyesës −15/22. Ne vazhdojmë sipas skemës së njohur: së pari transferojmë −15/22 në anën e djathtë me shenjën e kundërt, pas së cilës ndajmë të dy anët e pabarazisë me numrin negativ −5, ndërsa ndryshojmë shenjën e pabarazisë:

Tranzicioni i fundit në anën e djathtë përdor , më pas ekzekutohet .

Përgjigje:

Tani le të kalojmë në rastin kur a=0. Parimi i zgjidhjes së mosbarazimit linear a x+b<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.

Në çfarë bazohet kjo? Shumë e thjeshtë: në përcaktimin e zgjidhjes së pabarazisë. Si? Po, ja si: pa marrë parasysh se çfarë vlere të ndryshores x e zëvendësojmë në pabarazinë lineare origjinale, do të marrim një pabarazi numerike të formës b.<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.

Le të formulojmë argumentet e mësipërme në formë algoritmi për zgjidhjen e mosbarazimeve lineare 0 x+b<0 (≤, >, ≥) :

Merrni parasysh mosbarazimin numerik b<0 (≤, >, ≥) dhe

nëse është e vërtetë, atëherë zgjidhja e pabarazisë fillestare është çdo numër;
nëse është e gabuar, atëherë pabarazia lineare origjinale nuk ka zgjidhje.

Tani le ta kuptojmë këtë me shembuj.

Shembull.

Zgjidh inekuacionin 0·x+7>0.

Zgjidhje.

Për çdo vlerë të ndryshores x, mosbarazimi linear 0 x+7>0 do të kthehet në mosbarazimin numerik 7>0. Pabarazia e fundit është e vërtetë, prandaj, çdo numër është një zgjidhje për pabarazinë origjinale.

Përgjigje:

zgjidhja është çdo numër ose (−∞, +∞) .

Shembull.

A ka zgjidhje pabarazia lineare 0·x−12,7≥0?

Zgjidhje.

Nëse zëvendësoni ndonjë numër në vend të ndryshores x, atëherë pabarazia origjinale kthehet në një mosbarazi numerike −12,7≥0, që është e pasaktë. Kjo do të thotë që asnjë numër i vetëm nuk është zgjidhje e pabarazisë lineare 0·x−12,7≥0.

Përgjigje:

jo, nuk ka.

Për të përfunduar këtë pjesë, ne do të analizojmë zgjidhjet e dy pabarazive lineare, të dy koeficientët e të cilave janë të barabartë me zero.

Shembull.

Cili nga inekuacionet lineare 0·x+0>0 dhe 0·x+0≥0 nuk ka zgjidhje dhe cili ka pafundësisht shumë zgjidhje?

Zgjidhje.

Nëse zëvendësoni ndonjë numër në vend të ndryshores x, atëherë pabarazia e parë do të marrë formën 0>0, dhe e dyta - 0≥0. E para prej tyre është e pasaktë, dhe e dyta është e saktë. Rrjedhimisht, pabarazia lineare 0·x+0>0 nuk ka zgjidhje, dhe pabarazia 0·x+0≥0 ka pafundësisht shumë zgjidhje, domethënë, zgjidhja e saj është çdo numër.

Përgjigje:

pabarazia 0 x+0>0 nuk ka zgjidhje, dhe pabarazia 0 x+0≥0 ka pafundësisht shumë zgjidhje.

Metoda e intervalit

Në përgjithësi, metoda e intervaleve studiohet në një kurs algjebër shkollore më vonë se tema e zgjidhjes së pabarazive lineare në një ndryshore. Por metoda e intervalit ju lejon të zgjidhni një sërë pabarazish, duke përfshirë ato lineare. Prandaj, le të ndalemi në të.

Le të vërejmë menjëherë se është e këshillueshme që të përdoret metoda e intervalit për të zgjidhur pabarazitë lineare me një koeficient jo zero për ndryshoren x. Përndryshe, është më e shpejtë dhe më e përshtatshme për të nxjerrë një përfundim për zgjidhjen e pabarazisë duke përdorur metodën e diskutuar në fund të paragrafit të mëparshëm.

Metoda e intervalit nënkupton

duke prezantuar një funksion që korrespondon me anën e majtë të pabarazisë, në rastin tonë - funksion linear y=a x+b,
gjetja e zerave të tij, të cilat e ndajnë domenin e përkufizimit në intervale,
përcaktimi i shenjave që kanë vlera funksioni në këto intervale, në bazë të të cilave nxirret përfundimi për zgjidhjen e një pabarazie lineare.

Le t'i mbledhim këto momente algoritmi, duke zbuluar mënyrën e zgjidhjes së pabarazive lineare a x+b<0 (≤, >, ≥) për a≠0 duke përdorur metodën e intervalit:

Gjenden zerot e funksionit y=a·x+b, për të cilin është zgjidhur a·x+b=0. Siç dihet, për a≠0 ka një rrënjë të vetme, të cilën e shënojmë si x 0 .
Është ndërtuar dhe mbi të është paraqitur një pikë me koordinatë x 0. Për më tepër, nëse zgjidhet një pabarazi strikte (me shenjën< или >), atëherë kjo pikë bëhet e pikëzuar (me qendër bosh), e nëse nuk është e rreptë (me shenjë ≤ ose ≥), atëherë vendoset një pikë e rregullt. Kjo pikë e ndan vijën koordinative në dy intervale (−∞, x 0) dhe (x 0, +∞).
Përcaktohen shenjat e funksionit y=a·x+b në këto intervale. Për ta bërë këtë, vlera e këtij funksioni llogaritet në çdo pikë të intervalit (−∞, x 0), dhe shenja e kësaj vlere do të jetë shenja e dëshiruar në intervalin (−∞, x 0). Në mënyrë të ngjashme, shenja në intervalin (x 0 , +∞) përkon me shenjën e vlerës së funksionit y=a·x+b në çdo pikë të këtij intervali. Por ju mund të bëni pa këto llogaritje dhe të nxirrni përfundime për shenjat bazuar në vlerën e koeficientit a: nëse a>0, atëherë në intervalet (−∞, x 0) dhe (x 0, +∞) do të ketë Shenjat − dhe +, përkatësisht, dhe nëse a >0, atëherë + dhe −.
Nëse po zgjidhen pabarazitë me shenja > ose ≥, atëherë mbi boshllëk vendoset një çelës me një shenjë plus dhe nëse zgjidhen pabarazitë me shenja< или ≤, то – со знаком минус. В результате получается , которое и является искомым решением линейного неравенства.

Le të shqyrtojmë një shembull të zgjidhjes së një pabarazie lineare duke përdorur metodën e intervalit.

Shembull.

Të zgjidhet pabarazia −3·x+12>0.

Zgjidhje.

Meqenëse po analizojmë metodën e intervalit, do ta përdorim atë. Sipas algoritmit, fillimisht gjejmë rrënjën e ekuacionit −3·x+12=0, −3·x=−12, x=4. Më pas, vizatojmë një vijë koordinative dhe shënojmë një pikë në të me koordinatën 4, dhe e bëjmë këtë pikë të shpuar, pasi po zgjidhim një pabarazi strikte:

Tani ne përcaktojmë shenjat në intervale. Për të përcaktuar shenjën në intervalin (−∞, 4), mund të llogarisni vlerën e funksionit y=−3·x+12, për shembull, në x=3. Kemi −3·3+12=3>0, që do të thotë se ka një shenjë + në këtë interval. Për të përcaktuar shenjën në një interval tjetër (4, +∞), mund të llogarisni vlerën e funksionit y=−3 x+12, për shembull, në pikën x=5. Kemi −3·5+12=−3<0 , значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x : так как он равен −3 , то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4) будет знак +, а на промежутке (4, +∞) знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:

Duke qenë se po zgjidhim pabarazinë me shenjën >, vizatojmë hijezimin mbi boshllëkun me shenjën +, vizatimi merr formën

Bazuar në imazhin që rezulton, arrijmë në përfundimin se zgjidhja e dëshiruar është (−∞, 4) ose në një shënim tjetër x<4 .

Përgjigje:

(−∞, 4) ose x<4 .

Grafikisht

Është e dobishme të keni një kuptim të interpretimit gjeometrik të zgjidhjes së pabarazive lineare në një ndryshore. Për ta marrë atë, le të shqyrtojmë katër pabarazi lineare me të njëjtën anë të majtë: 0,5 x−1<0 , 0,5·x−1≤0 , 0,5·x−1>0 dhe 0,5 x−1≥0 , zgjidhjet e tyre janë x<2 , x≤2 , x>2 dhe x≥2, si dhe vizatoni një grafik të funksionit linear y=0,5 x−1.

Është e lehtë të vërehet kjo

zgjidhja e mosbarazimit 0,5 x−1<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
zgjidhja e pabarazisë 0,5 x−1≤0 paraqet intervalin në të cilin grafiku i funksionit y=0,5 x−1 është nën boshtin Ox ose përkon me të (me fjalë të tjera, jo mbi boshtin e abshisave),
në mënyrë të ngjashme, zgjidhja e pabarazisë 0,5 x−1>0 është intervali në të cilin grafiku i funksionit është mbi boshtin Ox (kjo pjesë e grafikut tregohet me të kuqe),
dhe zgjidhja e pabarazisë 0,5·x−1≥0 është intervali në të cilin grafiku i funksionit është më i lartë ose përkon me boshtin e abshisave.

Metoda grafike për zgjidhjen e pabarazive, në veçanti lineare, dhe nënkupton gjetjen e intervaleve në të cilat grafiku i funksionit që i përgjigjet anës së majtë të pabarazisë ndodhet sipër, poshtë, jo poshtë ose jo mbi grafikun e funksionit që i përgjigjet anës së djathtë të pabarazisë. Në rastin tonë të pabarazisë lineare, funksioni që i përgjigjet anës së majtë është y=a·x+b, dhe ana e djathtë është y=0, që përkon me boshtin Ox.

Duke pasur parasysh informacionin e dhënë, është e lehtë të formulohet algoritmi për zgjidhjen grafike të pabarazive lineare:

Ndërtohet grafiku i funksionit y=a x+b (e mundur skematikisht) dhe

kur zgjidhet inekuacioni a x+b<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox ,
kur zgjidhet pabarazia a x+b≤0, përcaktohet intervali në të cilin grafiku është më i ulët ose përkon me boshtin Ox,
kur zgjidhet pabarazia a x+b>0, përcaktohet intervali në të cilin grafiku është mbi boshtin Ox,
kur zgjidhet pabarazia a·x+b≥0, përcaktohet intervali në të cilin grafiku është më i lartë ose përkon me boshtin Ox.

Shembull.

Zgjidh pabarazinë grafikisht.

Zgjidhje.

Le të skicojmë një grafik të një funksioni linear . Kjo është një vijë e drejtë që është në rënie, pasi koeficienti i x është negativ. Na duhet gjithashtu koordinata e pikës së kryqëzimit të saj me boshtin x, është rrënja e ekuacionit , e cila është e barabartë me . Për nevojat tona, ne as nuk kemi nevojë të përshkruajmë boshtin Oy. Pra, vizatimi ynë skematik do të duket kështu

Duke qenë se po zgjidhim një pabarazi me shenjën >, na intereson intervali në të cilin grafiku i funksionit është mbi boshtin Ox. Për qartësi, le të theksojmë me të kuqe këtë pjesë të grafikut dhe për të përcaktuar lehtësisht intervalin që i përgjigjet kësaj pjese, le të theksojmë me të kuqe pjesën e planit koordinativ në të cilin ndodhet pjesa e zgjedhur e grafikut, si në figura më poshtë:

Hendeku që na intereson është pjesa e boshtit Ox që është e theksuar me të kuqe. Natyrisht, ky është një rreze numrash të hapur . Kjo është zgjidhja që ne po kërkojmë. Vini re se nëse do të zgjidhnim pabarazinë jo me shenjën >, por me shenjën e mosbarazimit jo të rreptë ≥, atëherë do të duhej të shtonim në përgjigje, pasi në këtë pikë grafiku i funksionit përkon me boshtin Ox .y=0·x+7, i cili është i njëjtë me y=7, përcakton një vijë të drejtë në rrafshin koordinativ paralel me boshtin Ox dhe i shtrirë mbi të. Prandaj, pabarazia 0 x+7<=0 не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7 ниже оси абсцисс.

Dhe grafiku i funksionit y=0·x+0, i cili është i njëjtë me y=0, është një drejtëz që përkon me boshtin Ox. Prandaj, zgjidhja e pabarazisë 0·x+0≥0 është bashkësia e të gjithë numrave realë.

Përgjigje:

pabarazia e dytë, zgjidhja e saj është çdo numër real.

Pabarazitë që reduktohen në lineare

Një numër i madh i pabarazive mund të zëvendësohet nga pabarazitë ekuivalente lineare duke përdorur transformime ekuivalente, me fjalë të tjera, të reduktuara në një pabarazi lineare. Pabarazi të tilla quhen pabarazitë që reduktohen në lineare.

Në shkollë, pothuajse njëkohësisht me zgjidhjen e pabarazive lineare, merren parasysh edhe pabarazitë e thjeshta që reduktohen në ato lineare. Janë raste të veçanta pabarazi të tëra, përkatësisht në pjesën e majtë dhe të djathtë të tyre ka shprehje të tëra që paraqesin ose binomet lineare, ose janë konvertuar në to nga dhe . Për qartësi, japim disa shembuj të pabarazive të tilla: 5−2·x>0, 7·(x−1)+3≤4·x−2+x, .

Pabarazitë që janë të ngjashme në formë me ato të treguara më sipër mund të reduktohen gjithmonë në ato lineare. Kjo mund të bëhet duke hapur kllapa, duke sjellë terma të ngjashëm, duke rirregulluar termat dhe duke lëvizur termat nga njëra anë e pabarazisë në tjetrën me shenjën e kundërt.

Për shembull, për të reduktuar pabarazinë 5−2 x>0 në lineare, mjafton të riorganizojmë termat në anën e majtë të saj, kemi −2 x+5>0. Për të reduktuar pabarazinë e dytë 7·(x−1)+3≤4·x−2+x në lineare, ju duhen edhe pak hapa: në anën e majtë hapim kllapat 7·x−7+3≤4· x−2+x , pasi Për ta bërë këtë, ne paraqesim terma të ngjashëm në të dyja anët 7 x−4≤5 x−2, pastaj i transferojmë termat nga ana e djathtë në të majtë 7 x−4−5 x+2≤ 0, në fund, ne paraqesim terma të ngjashëm në anën e majtë 2 ·x−2≤0. Në mënyrë të ngjashme, pabarazia e tretë mund të reduktohet në një pabarazi lineare.

Për shkak të faktit se pabarazitë e tilla gjithmonë mund të reduktohen në ato lineare, disa autorë madje i quajnë ato edhe lineare. Por ne ende do t'i konsiderojmë ato të reduktueshme në lineare.

Tani bëhet e qartë pse pabarazitë e tilla konsiderohen së bashku me pabarazitë lineare. Dhe parimi i zgjidhjes së tyre është absolutisht i njëjtë: duke kryer transformime ekuivalente, ato mund të reduktohen në pabarazi elementare që përfaqësojnë zgjidhjet e dëshiruara.

Për të zgjidhur një pabarazi të këtij lloji, fillimisht mund ta zvogëloni në një pabarazi lineare dhe më pas të zgjidhni këtë pabarazi lineare. Por është më racionale dhe më e përshtatshme për ta bërë këtë:

pasi hapni kllapat, mblidhni të gjithë termat me ndryshoren në anën e majtë të pabarazisë dhe të gjithë numrat në të djathtë,
pastaj sillni terma të ngjashëm,
dhe pastaj pjesëtoni të dyja anët e pabarazisë që rezulton me koeficientin x (nëse është, natyrisht, i ndryshëm nga zero). Kjo do të japë përgjigjen.

Shembull.

Të zgjidhet pabarazia 5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1.

Zgjidhje.

Së pari, le të hapim kllapat, si rezultat arrijmë te pabarazia 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1 . Tani le të japim terma të ngjashëm: 6 x+15≤6 x−17 . Pastaj i zhvendosim termat nga ana e majtë, marrim 6 x+15−6 x+17≤0, dhe përsëri sjellim terma të ngjashëm (që na çon në pabarazinë lineare 0 x+32≤0) dhe kemi 32≤ 0. Kështu arritëm në një pabarazi numerike të pasaktë, nga e cila konkludojmë se pabarazia fillestare nuk ka zgjidhje.

Përgjigje:

asnjë zgjidhje.

Si përfundim, vërejmë se ka shumë pabarazi të tjera që mund të reduktohen në pabarazi lineare, ose në pabarazi të llojit të konsideruar më sipër. Për shembull, zgjidhja pabarazia eksponenciale 5 2 x−1 ≥1 reduktohet në zgjidhjen e pabarazisë lineare 2 x−1≥0 . Por ne do të flasim për këtë kur analizojmë zgjidhjet e pabarazive të llojit përkatës.

Bibliografi.

Algjebra: teksti shkollor për klasën e 8-të. arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; e Redaktuar nga S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2008. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Algjebra: Klasa e 9-të: arsimore. për arsimin e përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; e Redaktuar nga S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2009. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Mordkovich A.G. Algjebër. klasën e 8-të. Në orën 14:00 Pjesa 1. Libër mësuesi për nxënësit institucionet arsimore/ A. G. Mordkovich. - Botimi i 11-të, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 f.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
Mordkovich A.G. Algjebër. klasa e 9-të. Në 2 orë. Pjesa 1. Libër mësuesi për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Botimi i 13-të, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 f.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
Mordkovich A.G. Algjebra dhe fillimi i analizës matematikore. Klasa 11. Në 2 orë. Pjesa 1. Libër mësuesi për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm (niveli i profilit) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Botimi i 2-të, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 f.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.

Për shembull, pabarazia është shprehja \(x>5\).

Llojet e pabarazive:

Nëse \(a\) dhe \(b\) janë numra ose , atëherë thirret pabarazia numerike. Në fakt është vetëm krahasimi i dy numrave. Pabarazi të tilla ndahen në besnik Dhe i pabesë.

Për shembull:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) është një pabarazi numerike e pasaktë, pasi \(17+3=20\), dhe \(20\) është më e vogël se \(115\) (dhe jo më e madhe ose e barabartë me) .

Nëse \(a\) dhe \(b\) janë shprehje që përmbajnë një ndryshore, atëherë kemi pabarazia me ndryshore. Pabarazi të tilla ndahen në lloje në varësi të përmbajtjes:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				E ndryshueshme vetëm për fuqinë e parë
\(3x^2-x+5>0\)				Ekziston një ndryshore në fuqinë e dytë (katrore), por nuk ka fuqi më të larta (e treta, e katërta, etj.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... dhe kështu me radhë.

Cila është zgjidhja e një pabarazie?

Nëse zëvendësoni një numër në vend të një ndryshoreje në një pabarazi, ai do të kthehet në një numerik.

Nëse një vlerë e dhënë për x e kthen pabarazinë origjinale në një numerike të vërtetë, atëherë ajo quhet zgjidhje për pabarazinë. Nëse jo, atëherë kjo vlerë nuk është zgjidhje. Dhe te zgjidhni pabarazinë– duhet të gjeni të gjitha zgjidhjet e tij (ose të tregoni se nuk ka).

Për shembull, nëse e zëvendësojmë numrin \(7\) me pabarazinë lineare \(x+6>10\), marrim pabarazinë numerike të saktë: \(13>10\). Dhe nëse zëvendësojmë \(2\), do të ketë një pabarazi numerike të gabuar \(8>10\). Kjo do të thotë, \(7\) është një zgjidhje për pabarazinë origjinale, por \(2\) nuk është.

Megjithatë, pabarazia \(x+6>10\) ka zgjidhje të tjera. Në të vërtetë, ne do të marrim pabarazitë numerike të sakta kur zëvendësojmë \(5\), dhe \(12\), dhe \(138\)... Dhe si mund t'i gjejmë të gjitha zgjidhjet e mundshme? Për këtë ata përdorin Për rastin tonë ne kemi:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Kjo do të thotë, çdo numër më i madh se katër është i përshtatshëm për ne. Tani ju duhet të shkruani përgjigjen. Zgjidhjet e pabarazive zakonisht shkruhen numerikisht, duke i shënuar ato në boshtin e numrave me hije. Për rastin tonë kemi:

Përgjigje: \(x\in(4;+\infty)\)

Kur ndryshon shenja e një pabarazie?

Ekziston një kurth i madh në pabarazitë në të cilat studentët me të vërtetë "pëlqejnë" të bien:

Kur shumëzoni (ose pjesëtoni) një pabarazi me një numër negativ, ai përmbyset ("më shumë" me "më pak", "më shumë ose e barabartë" me "më pak se ose e barabartë" dhe kështu me radhë)

Pse po ndodh kjo? Për ta kuptuar këtë, le të shohim transformimet e pabarazisë numerike \(3>1\). Është e saktë, tre është me të vërtetë më e madhe se një. Së pari, le të përpiqemi ta shumëzojmë atë me çdo numër pozitiv, për shembull, dy:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Siç mund ta shohim, pas shumëzimit pabarazia mbetet e vërtetë. Dhe pa marrë parasysh se me cilin numër pozitiv do të shumëzojmë, gjithmonë do të marrim pabarazinë e saktë. Tani le të përpiqemi të shumëzojmë me një numër negativ, për shembull, minus tre:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Rezultati është një pabarazi e pasaktë, sepse minus nëntë është më pak se minus tre! Kjo do të thotë, në mënyrë që pabarazia të bëhet e vërtetë (dhe për këtë arsye, transformimi i shumëzimit me negativ ishte "ligjor"), ju duhet të ktheni shenjën e krahasimit, si kjo: \(-9<− 3\).
Me ndarje do të funksionojë në të njëjtën mënyrë, mund ta kontrolloni vetë.

Rregulli i shkruar më sipër vlen për të gjitha llojet e pabarazive, jo vetëm për ato numerike.

Shembull: Zgjidhet pabarazia \(2(x+1)-1<7+8x\)
Zgjidhja:


\(2x+2-1<7+8x\)	Le të lëvizim \(8x\) në të majtë, dhe \(2\) dhe \(-1\) në të djathtë, duke mos harruar të ndryshojmë shenjat
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(\|:(-6)\)	Le të ndajmë të dy anët e pabarazisë me \(-6\), duke mos harruar të ndryshojmë nga "më pak" në "më shumë"
	Le të shënojmë një interval numerik në bosht. Pabarazia, prandaj ne "shpojmë" vetë vlerën \(-1\) dhe nuk e marrim si përgjigje
	Le ta shkruajmë përgjigjen si një interval

Përgjigje: \(x\in (-1;\infty)\)

Pabarazitë dhe paaftësia

Pabarazitë, ashtu si ekuacionet, mund të kenë kufizime në , domethënë në vlerat e x. Prandaj, ato vlera që janë të papranueshme sipas DZ duhet të përjashtohen nga gama e zgjidhjeve.

Shembull: Zgjidhja e pabarazisë \(\sqrt(x+1)<3\)

Zgjidhja: Është e qartë se në mënyrë që ana e majtë të jetë më e vogël se \(3\), shprehja radikale duhet të jetë më e vogël se \(9\) (në fund të fundit, nga \(9\) vetëm \(3\)). Ne marrim:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Të gjitha? Do të na përshtatet ndonjë vlerë x më e vogël se \(8\)? Jo! Sepse nëse marrim, për shembull, vlerën \(-5\) që duket se i përshtatet kërkesës, nuk do të jetë një zgjidhje për pabarazinë fillestare, pasi do të na çojë në llogaritjen e rrënjës së një numri negativ.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Prandaj, duhet të marrim parasysh edhe kufizimet në vlerën e X - nuk mund të jetë e tillë që të ketë një numër negativ nën rrënjë. Kështu, ne kemi kërkesën e dytë për x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Dhe që x të jetë zgjidhja përfundimtare, duhet të plotësojë të dyja kërkesat njëherësh: duhet të jetë më e vogël se \(8\) (për të qenë zgjidhje) dhe më e madhe se \(-1\) (për të qenë e pranueshme në parim). Duke e vizatuar në vijën numerike, kemi përgjigjen përfundimtare:

Përgjigje: \(\majtas[-1;8\djathtas)\)