Derivat i një funksioni kompleks. Shembuj zgjidhjesh

Në këtë mësim do të mësojmë se si të gjejmë derivat i një funksioni kompleks. Mësimi është një vazhdim logjik i mësimit Si të gjeni derivatin?, në të cilin shqyrtuam derivatet më të thjeshta, si dhe u njohëm me rregullat e diferencimit dhe disa teknika teknike për gjetjen e derivateve. Kështu, nëse nuk jeni shumë të mirë me derivatet e funksioneve ose disa pika në këtë artikull nuk janë plotësisht të qarta, atëherë së pari lexoni mësimin e mësipërm. Ju lutemi merrni një humor serioz - materiali nuk është i thjeshtë, por unë do të përpiqem ta paraqes atë thjesht dhe qartë.

Në praktikë, duhet të merreni me derivatin e një funksioni kompleks shumë shpesh, madje do të thosha, pothuajse gjithmonë, kur ju jepen detyra për të gjetur derivatet.

Ne shikojmë në tabelën në rregullin (Nr. 5) për diferencimin e një funksioni kompleks:

Le ta kuptojmë. Para së gjithash, le t'i kushtojmë vëmendje hyrjes. Këtu kemi dy funksione - dhe , dhe funksioni, në mënyrë figurative, është i vendosur brenda funksionit. Një funksion i këtij lloji (kur një funksion është i vendosur brenda një tjetri) quhet funksion kompleks.

Unë do të thërrasë funksionin funksioni i jashtëm, dhe funksionin – funksion i brendshëm (ose i mbivendosur)..

! Këto përkufizime nuk janë teorike dhe nuk duhet të shfaqen në hartimin përfundimtar të detyrave. Unë përdor shprehjet joformale "funksion i jashtëm", ​​"funksion i brendshëm" vetëm për ta bërë më të lehtë për ju të kuptoni materialin.

Për të sqaruar situatën, merrni parasysh:

Shembulli 1

Gjeni derivatin e një funksioni

Nën sinus nuk kemi vetëm shkronjën "X", por një shprehje të tërë, kështu që gjetja e derivatit menjëherë nga tabela nuk do të funksionojë. Vëmë re gjithashtu se është e pamundur të zbatohen katër rregullat e para këtu, duket se ka një ndryshim, por fakti është se sinusi nuk mund të "bëhet në copa":

NË në këtë shembullËshtë tashmë intuitivisht e qartë nga shpjegimet e mia se një funksion është një funksion kompleks, dhe polinomi është një funksion i brendshëm (ngulitje) dhe një funksion i jashtëm.

Hapi i parë ajo që duhet të bëni kur gjeni derivatin e një funksioni kompleks është që kuptojnë se cili funksion është i brendshëm dhe cili është i jashtëm.

Kur shembuj të thjeshtë Duket qartë se një polinom është i ngulitur nën sinus. Por çfarë nëse gjithçka nuk është e qartë? Si të përcaktohet me saktësi se cili funksion është i jashtëm dhe cili është i brendshëm? Për ta bërë këtë, unë sugjeroj të përdorni teknikën e mëposhtme, e cila mund të bëhet mendërisht ose në një draft.

Le të imagjinojmë se duhet të llogarisim vlerën e shprehjes at në një kalkulator (në vend të një mund të ketë çdo numër).

Çfarë do të llogarisim së pari? Para së gjithash do t'ju duhet të kryeni veprimin e mëposhtëm: , prandaj polinomi do të jetë një funksion i brendshëm:

Së dyti do të duhet të gjendet, kështu që sinus - do të jetë një funksion i jashtëm:

Pasi ne E SHITUR Me funksionet e brendshme dhe të jashtme, është koha për të zbatuar rregullin e diferencimit të funksioneve komplekse.

Le të fillojmë të vendosim. Nga klasa Si të gjeni derivatin? kujtojmë se dizajni i një zgjidhjeje për çdo derivat gjithmonë fillon kështu - ne e mbyllim shprehjen në kllapa dhe vendosim një goditje lart djathtas:

Ne fillim gjeni derivatin e funksionit të jashtëm (sinus), shikoni tabelën e derivateve funksionet elementare dhe vërejmë se. Të gjitha formulat e tabelës janë gjithashtu të zbatueshme nëse "x" zëvendësohet me një shprehje komplekse, në këtë rast:

Ju lutemi vini re se funksioni i brendshëm nuk ka ndryshuar, nuk e prekim.

Epo, është mjaft e qartë se

Rezultati përfundimtar i aplikimit të formulës duket si ky:

Faktori konstant zakonisht vendoset në fillim të shprehjes:

Nëse ka ndonjë keqkuptim, shkruajeni zgjidhjen në letër dhe lexoni përsëri shpjegimet.

Shembulli 2

Gjeni derivatin e një funksioni

Shembulli 3

Gjeni derivatin e një funksioni

Si gjithmonë, ne shkruajmë:

Le të kuptojmë se ku kemi një funksion të jashtëm dhe ku kemi një funksion të brendshëm. Për ta bërë këtë, ne përpiqemi (mendërisht ose në një draft) të llogarisim vlerën e shprehjes në . Çfarë duhet të bëni së pari? Para së gjithash, duhet të llogaritni se me çfarë është e barabartë baza: prandaj, polinomi është funksioni i brendshëm:

Dhe vetëm atëherë kryhet fuqia, prandaj, funksioni i fuqisë është një funksion i jashtëm:

Sipas formulës, së pari duhet të gjeni derivatin e funksionit të jashtëm, në këtë rast, shkallën. Ne kërkojmë formulën e kërkuar në tabelë: . E përsërisim përsëri: çdo formulë tabelare është e vlefshme jo vetëm për "X", por edhe për një shprehje komplekse. Kështu, rezultati i zbatimit të rregullit për diferencimin e një funksioni kompleks është si më poshtë:

E theksoj përsëri se kur marrim derivatin e funksionit të jashtëm, funksioni ynë i brendshëm nuk ndryshon:

Tani gjithçka që mbetet është të gjejmë një derivat shumë të thjeshtë të funksionit të brendshëm dhe të rregullojmë pak rezultatin:

Shembulli 4

Gjeni derivatin e një funksioni

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë (përgjigjuni në fund të mësimit).

Për të konsoliduar kuptimin tuaj për derivatin e një funksioni kompleks, unë do të jap një shembull pa komente, do të përpiqeni ta kuptoni vetë, arsyetoni se ku është funksioni i jashtëm dhe ku është i brendshëm, pse detyrat zgjidhen në këtë mënyrë?

Shembulli 5

a) Gjeni derivatin e funksionit

b) Gjeni derivatin e funksionit

Shembulli 6

Gjeni derivatin e një funksioni

Këtu kemi një rrënjë, dhe për të dalluar rrënjën, ajo duhet të përfaqësohet si një fuqi. Kështu, së pari e sjellim funksionin në formën e duhur për diferencim:

Duke analizuar funksionin, arrijmë në përfundimin se shuma e tre termave është një funksion i brendshëm, dhe ngritja në fuqi është një funksion i jashtëm. Ne zbatojmë rregullin e diferencimit të funksioneve komplekse:

Ne përsëri përfaqësojmë shkallën si një radikal (rrënjë), dhe për derivatin e funksionit të brendshëm zbatojmë një rregull të thjeshtë për diferencimin e shumës:

Gati. Ju gjithashtu mund ta zvogëloni shprehjen në një emërues të përbashkët në kllapa dhe të shkruani gjithçka si një thyesë. Është e bukur, sigurisht, por kur merrni derivate të rënda të gjata, është më mirë të mos e bëni këtë (është e lehtë të ngatërrohesh, të bësh një gabim të panevojshëm dhe do të jetë e papërshtatshme për mësuesin të kontrollojë).

Shembulli 7

Gjeni derivatin e një funksioni

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë (përgjigjuni në fund të mësimit).

Është interesante të theksohet se ndonjëherë në vend të rregullit për diferencimin e një funksioni kompleks, mund të përdorni rregullin për diferencimin e një koeficienti , por një zgjidhje e tillë do të duket si një perversion qesharak. Këtu është një shembull tipik:

Shembulli 8

Gjeni derivatin e një funksioni

Këtu mund të përdorni rregullin e diferencimit të herësit , por është shumë më e dobishme të gjesh derivatin përmes rregullit të diferencimit të një funksioni kompleks:

Ne përgatisim funksionin për diferencim - e zhvendosim minusin nga shenja e derivatit dhe e ngremë kosinusin në numërues:

Kosinusi është një funksion i brendshëm, fuqizimi është një funksion i jashtëm.
Le të përdorim rregullin tonë:

Ne gjejmë derivatin e funksionit të brendshëm dhe rivendosim kosinusin poshtë:

Gati. Në shembullin e marrë, është e rëndësishme të mos ngatërroheni në shenja. Nga rruga, përpiquni ta zgjidhni atë duke përdorur rregullin , përgjigjet duhet të përputhen.

Shembulli 9

Gjeni derivatin e një funksioni

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë (përgjigjuni në fund të mësimit).

Deri më tani kemi parë raste kur kemi pasur vetëm një fole në një funksion kompleks. Në detyrat praktike, shpesh mund të gjesh derivate, ku, si kukulla fole, njëra brenda tjetrës, 3 ose edhe 4-5 funksione janë fole në të njëjtën kohë.

Shembulli 10

Gjeni derivatin e një funksioni

Le të kuptojmë bashkëngjitjet e këtij funksioni. Le të përpiqemi të llogarisim shprehjen duke përdorur vlerën eksperimentale. Si do të llogarisim në një kalkulator?

Së pari ju duhet të gjeni, që do të thotë se arksina është ngulitja më e thellë:

Ky hark i një duhet më pas të vihet në katror:

Dhe së fundi, ne ngremë shtatë në një fuqi:

Kjo do të thotë, në këtë shembull kemi tre funksione të ndryshme dhe dy ngulitje, ndërsa funksioni më i brendshëm është arksina, dhe funksioni më i jashtëm është funksioni eksponencial.

Le të fillojmë të vendosim

Sipas rregullit, së pari duhet të merrni derivatin e funksionit të jashtëm. Shikojmë tabelën e derivateve dhe gjejmë derivatin e funksionit eksponencial: I vetmi ndryshim është se në vend të “x” kemi një shprehje komplekse, e cila nuk e mohon vlefshmërinë e kësaj formule. Pra, rezultati i zbatimit të rregullit për diferencimin e një funksioni kompleks është si më poshtë:

Nën goditje kemi përsëri një funksion kompleks! Por tashmë është më e thjeshtë. Është e lehtë të verifikohet se funksioni i brendshëm është arksina, funksioni i jashtëm është shkalla. Sipas rregullit për diferencimin e një funksioni kompleks, së pari duhet të merrni derivatin e fuqisë.

Niveli i parë

Derivat i një funksioni. Udhëzues gjithëpërfshirës (2019)

Le të imagjinojmë një rrugë të drejtë që kalon nëpër një zonë kodrinore. Kjo do të thotë, shkon lart e poshtë, por nuk kthehet djathtas ose majtas. Nëse aksi drejtohet horizontalisht përgjatë rrugës dhe vertikalisht, atëherë vija e rrugës do të jetë shumë e ngjashme me grafikun e ndonjë funksioni të vazhdueshëm:

Aksi është një nivel i caktuar i lartësisë zero; në jetë ne përdorim nivelin e detit si ai.

Ndërsa ecim përpara përgjatë një rruge të tillë, ne gjithashtu lëvizim lart ose poshtë. Mund të themi gjithashtu: kur ndryshon argumenti (lëvizja përgjatë boshtit të abshisës), vlera e funksionit ndryshon (lëvizja përgjatë boshtit të ordinatave). Tani le të mendojmë se si të përcaktojmë "pjerrësinë" e rrugës sonë? Çfarë lloj vlere mund të jetë kjo? Është shumë e thjeshtë: sa do të ndryshojë lartësia kur lëvizni përpara një distancë të caktuar. Në fund të fundit, në zona të ndryshme rrugëve, duke lëvizur përpara (përgjatë boshtit x) me një kilometër, ne do të ngrihemi ose do të zbresim me një numër të ndryshëm metrash në krahasim me nivelin e detit (përgjatë boshtit y).

Le të shënojmë përparimin (lexoni "delta x").

Shkronja greke (delta) përdoret zakonisht në matematikë si parashtesë që do të thotë "ndryshim". Kjo është - ky është një ndryshim në sasi, - një ndryshim; atëherë çfarë është ajo? Kjo është e drejtë, një ndryshim në madhësi.

E rëndësishme: një shprehje është një tërësi e vetme, një ndryshore. Asnjëherë mos e ndani "deltën" nga "x" ose ndonjë shkronjë tjetër! Kjo është, për shembull,.

Pra, ne kemi ecur përpara, horizontalisht, nga. Nëse krahasojmë vijën e rrugës me grafikun e funksionit, atëherë si e shënojmë ngritjen? Sigurisht,. Domethënë, ndërsa ecim përpara, ngrihemi më lart.

Vlera është e lehtë për t'u llogaritur: nëse në fillim ishim në një lartësi, dhe pas lëvizjes e gjetëm veten në një lartësi, atëherë. Nëse pika e fundit është më e ulët se pika e fillimit, ajo do të jetë negative - kjo do të thotë që ne nuk jemi duke u ngjitur, por duke zbritur.

Le të kthehemi te "pjerrësia": kjo është një vlerë që tregon se sa (pjerrët) rritet lartësia kur lëvizni përpara një njësi distancë:

Le të supozojmë se në një pjesë të rrugës, kur ecim përpara me një kilometër, rruga ngrihet për një kilometër. Atëherë pjerrësia në këtë vend është e barabartë. Dhe nëse rruga, duke ecur përpara me m, ka rënë me km? Atëherë pjerrësia është e barabartë.

Tani le të shohim majën e një kodre. Nëse e merrni fillimin e seksionit gjysmë kilometër përpara majës, dhe fundin gjysmë kilometër pas tij, mund të shihni se lartësia është pothuajse e njëjtë.

Kjo do të thotë, sipas logjikës sonë, rezulton se pjerrësia këtu është pothuajse e barabartë me zero, gjë që nuk është qartë e vërtetë. Pak më shumë se një distancë prej kilometrash shumë mund të ndryshojnë. Është e nevojshme të merren parasysh zona më të vogla për një vlerësim më adekuat dhe më të saktë të pjerrësisë. Për shembull, nëse matni ndryshimin në lartësi ndërsa lëvizni një metër, rezultati do të jetë shumë më i saktë. Por edhe kjo saktësi mund të mos jetë e mjaftueshme për ne - në fund të fundit, nëse ka një shtyllë në mes të rrugës, ne thjesht mund ta kalojmë atë. Çfarë distancë duhet të zgjedhim atëherë? Centimetri? Milimetri? Më pak është më mirë!

NË jeta reale Matja e distancave në milimetrin më të afërt është më se e mjaftueshme. Por matematikanët gjithmonë përpiqen për përsosmëri. Prandaj, koncepti u shpik pafundësisht i vogël, domethënë, vlera absolute është më e vogël se çdo numër që mund të emërtojmë. Për shembull, ju thoni: një triliontë! Sa më pak? Dhe ju e ndani këtë numër me - dhe do të jetë edhe më pak. Dhe kështu me radhë. Nëse duam të shkruajmë se një sasi është e pafundme, shkruajmë kështu: (lexojmë “x tenton në zero”). Është shumë e rëndësishme të kuptohet se ky numër nuk është zero! Por shumë afër saj. Kjo do të thotë që ju mund të ndani me të.

Koncepti i kundërt me infinitimalin është pafundësisht i madh (). Me siguri e keni hasur tashmë kur po punonit për pabarazitë: ky numër është modulo më i madh se çdo numër që mund të mendoni. Nëse arrini numrin më të madh të mundshëm, thjesht shumëzojeni atë me dy dhe do të merrni një numër edhe më të madh. Dhe pafundësia është edhe më e madhe se ajo që ndodh. Në fakt, pafundësisht i madhi dhe pafundësisht i vogël janë anasjellta e njëra-tjetrës, pra në, dhe anasjelltas: në.

Tani le të kthehemi në rrugën tonë. Pjerrësia e llogaritur në mënyrë ideale është pjerrësia e llogaritur për një segment pafundësisht të vogël të shtegut, domethënë:

Vërej se me një zhvendosje pafundësisht, ndryshimi në lartësi do të jetë gjithashtu pafundësisht i vogël. Por më lejoni t'ju kujtoj se infinite vogël nuk do të thotë e barabartë me zero. Nëse ndani numra pafundësisht të vegjël me njëri-tjetrin, mund të merrni një numër krejtësisht të zakonshëm, për shembull, . Kjo do të thotë, një vlerë e vogël mund të jetë saktësisht herë më e madhe se një tjetër.

Për çfarë është e gjithë kjo? Rruga, pjerrësia... Ne nuk do të shkojmë në një miting makinash, por po mësojmë matematikë. Dhe në matematikë gjithçka është saktësisht e njëjtë, vetëm quhet ndryshe.

Koncepti i derivatit

Derivati ​​i një funksioni është raporti i rritjes së funksionit ndaj rritjes së argumentit për një rritje infiniteminale të argumentit.

Në mënyrë incrementale në matematikë e quajnë ndryshim. Shkalla në të cilën argumenti () ndryshon ndërsa lëviz përgjatë boshtit quhet rritje argumenti dhe është caktuar.Sa ka ndryshuar funksioni (lartësia) kur lëvizim përpara përgjatë boshtit me një distancë quhet rritja e funksionit dhe është caktuar.

Pra, derivati ​​i një funksioni është raporti me kur. Derivatin e shënojmë me të njëjtën shkronjë si funksioni, vetëm me një kryeministër lart djathtas: ose thjesht. Pra, le të shkruajmë formulën e derivatit duke përdorur këto shënime:

Ashtu si në analogjinë me rrugën, edhe këtu kur funksioni rritet, derivati ​​është pozitiv dhe kur zvogëlohet është negativ.

A mund të jetë derivati ​​i barabartë me zero? Sigurisht. Për shembull, nëse jemi duke vozitur në një rrugë të sheshtë horizontale, pjerrësia është zero. Dhe është e vërtetë, lartësia nuk ndryshon fare. Kështu është me derivatin: derivati ​​i një funksioni konstant (konstante) është i barabartë me zero:

pasi rritja e një funksioni të tillë është e barabartë me zero për çdo.

Le të kujtojmë shembullin në majë të kodrës. Doli se ishte e mundur të rregulloheshin skajet e segmentit në anët e kundërta të kulmit në atë mënyrë që lartësia në skajet të rezultojë e njëjtë, domethënë segmenti të jetë paralel me boshtin:

Por segmentet e mëdha janë një shenjë e matjes së pasaktë. Ne do ta ngremë segmentin tonë paralelisht me vetveten, atëherë gjatësia e tij do të ulet.

Përfundimisht, kur jemi pafundësisht afër majës, gjatësia e segmentit do të bëhet pafundësisht e vogël. Por në të njëjtën kohë, ai mbeti paralel me boshtin, domethënë, ndryshimi në lartësi në skajet e tij është i barabartë me zero (nuk ka tendencë, por është i barabartë me). Pra derivati

Kjo mund të kuptohet në këtë mënyrë: kur qëndrojmë në majë, një zhvendosje e vogël majtas ose djathtas ndryshon lartësinë tonë në mënyrë të papërfillshme.

Ekziston gjithashtu një shpjegim thjesht algjebrik: në të majtë të kulmit funksioni rritet, dhe në të djathtë zvogëlohet. Siç kuptuam më herët, kur një funksion rritet, derivati ​​është pozitiv, dhe kur zvogëlohet, është negativ. Por ndryshon pa probleme, pa kërcime (pasi rruga nuk e ndryshon ndjeshëm pjerrësinë askund). Prandaj, midis negative dhe vlerat pozitive patjetër duhet të ketë. Do të jetë aty ku funksioni as nuk rritet e as nuk zvogëlohet - në pikën e kulmit.

E njëjta gjë vlen edhe për luginën (zona ku funksioni në të majtë zvogëlohet dhe në të djathtë rritet):

Pak më shumë rreth rritjeve.

Pra, ne e ndryshojmë argumentin në madhësi. Nga çfarë vlere ndryshojmë? Çfarë është bërë (argumenti) tani? Ne mund të zgjedhim çdo pikë, dhe tani do të kërcejmë prej saj.

Konsideroni një pikë me një koordinatë. Vlera e funksionit në të është e barabartë. Pastaj bëjmë të njëjtën rritje: e rrisim koordinatën me. Cili është argumenti tani? Shumë e lehtë: . Cila është vlera e funksionit tani? Aty ku shkon argumenti, shkon edhe funksioni: . Po në lidhje me rritjen e funksionit? Asgjë e re: kjo është ende shuma me të cilën funksioni ka ndryshuar:

Praktikoni gjetjen e rritjeve:

1. Gjeni rritjen e funksionit në një pikë kur rritja e argumentit është e barabartë me.
2. E njëjta gjë vlen edhe për funksionin në një pikë.

Zgjidhjet:

Në pika të ndryshme me të njëjtin rritje argumenti, rritja e funksionit do të jetë e ndryshme. Kjo do të thotë që derivati ​​në secilën pikë është i ndryshëm (e diskutuam që në fillim - pjerrësia e rrugës është e ndryshme në pika të ndryshme). Prandaj, kur shkruajmë një derivat, duhet të tregojmë se në cilën pikë:

Funksioni i fuqisë.

Një funksion fuqie është një funksion ku argumenti është në një farë mase (logjik, apo jo?).

Për më tepër - në çdo masë: .

Rasti më i thjeshtë është kur eksponenti është:

Le të gjejmë derivatin e tij në një pikë. Le të kujtojmë përkufizimin e një derivati:

Pra, argumenti ndryshon nga në. Sa është rritja e funksionit?

Rritja është kjo. Por një funksion në çdo pikë është i barabartë me argumentin e tij. Kjo është arsyeja pse:

Derivati ​​është i barabartë me:

Derivati ​​i është i barabartë me:

b) Tani merrni parasysh funksionin kuadratik (): .

Tani le ta kujtojmë atë. Kjo do të thotë që vlera e rritjes mund të neglizhohet, pasi ajo është infinite e vogël, dhe për këtë arsye e parëndësishme në sfondin e termit tjetër:

Pra, ne dolëm me një rregull tjetër:

c) Vazhdojmë serinë logjike: .

Kjo shprehje mund të thjeshtohet në mënyra të ndryshme: hapni kllapin e parë duke përdorur formulën për shumëzimin e shkurtuar të kubit të shumës, ose faktorizoni të gjithë shprehjen duke përdorur formulën e diferencës së kubeve. Mundohuni ta bëni vetë duke përdorur ndonjë nga metodat e sugjeruara.

Pra, mora sa vijon:

Dhe përsëri le ta kujtojmë atë. Kjo do të thotë që ne mund të neglizhojmë të gjitha termat që përmbajnë:

Ne marrim:.

d) Rregulla të ngjashme mund të merren për fuqitë e mëdha:

e) Rezulton se ky rregull mund të përgjithësohet për një funksion fuqie me një eksponent arbitrar, madje as një numër të plotë:

Rregulli mund të formulohet me fjalët: "shkalla paraqitet si koeficient, dhe më pas zvogëlohet me ."

Këtë rregull do ta vërtetojmë më vonë (pothuajse në fund). Tani le të shohim disa shembuj. Gjeni derivatin e funksioneve:

1. (në dy mënyra: me formulë dhe duke përdorur përkufizimin e derivatit - duke llogaritur rritjen e funksionit);

1. . Besoni apo jo, ky është një funksion fuqie. Nëse keni pyetje si "Si është kjo? Ku është diploma?”, mbani mend temën “”!
   Po, po, edhe rrënja është shkallë, vetëm thyesore: .
   Kjo do të thotë që rrënja jonë katrore është vetëm një fuqi me një eksponent:
   .
   Ne kërkojmë derivatin duke përdorur formulën e mësuar së fundmi:

   Nëse në këtë pikë bëhet përsëri e paqartë, përsërisni temën ""!!! (rreth një shkallë me një eksponent negativ)

2. . Tani eksponenti:

   Dhe tani përmes përkufizimit (e keni harruar akoma?):
   ;
   .
   Tani, si zakonisht, ne e neglizhojmë termin që përmban:
   .

3. . Kombinimi i rasteve të mëparshme: .

Funksionet trigonometrike.

Këtu do të përdorim një fakt nga matematika e lartë:

Me shprehje.

Provën do ta mësoni në vitin e parë të institutit (dhe për të arritur atje, duhet të kaloni mirë Provimin e Shtetit të Unifikuar). Tani do ta tregoj vetëm grafikisht:

Ne shohim se kur funksioni nuk ekziston - pika në grafik është prerë. Por sa më afër vlerës, aq më afër është funksioni. Kjo është ajo që "synon".

Për më tepër, mund ta kontrolloni këtë rregull duke përdorur një kalkulator. Po, po, mos ki turp, merr një kalkulator, nuk jemi ende në Provimin e Unifikuar të Shtetit.

Pra, le të provojmë: ;

Mos harroni të kaloni kalkulatorin tuaj në modalitetin Radians!

etj. Shohim se sa më i vogël, aq më afër është vlera e raportit.

a) Konsideroni funksionin. Si zakonisht, le të gjejmë rritjen e tij:

Le ta kthejmë diferencën e sinuseve në produkt. Për ta bërë këtë, ne përdorim formulën (kujtoni temën ""): .

Tani derivati:

Le të bëjmë një zëvendësim: . Atëherë për infinitevogël është edhe infinite vogël: . Shprehja për merr formën:

Dhe tani e kujtojmë këtë me shprehjen. Dhe gjithashtu, çka nëse një sasi infinitimale mund të neglizhohet në shumë (që është, në).

Pra, marrim rregullin e mëposhtëm: derivati ​​i sinusit është i barabartë me kosinusin:

Këto janë derivate bazë ("tabelore"). Këtu ato janë në një listë:

Më vonë do t'u shtojmë disa të tjera, por këto janë më të rëndësishmet, pasi ato përdoren më shpesh.

Praktikoni:

1. Gjeni derivatin e funksionit në një pikë;
2. Gjeni derivatin e funksionit.

Zgjidhjet:

1. Së pari, le të gjejmë derivatin në pamje e përgjithshme, dhe më pas zëvendësoni vlerën e tij:
   ;
   .
2. Këtu kemi diçka të ngjashme me një funksion fuqie. Le të përpiqemi ta sjellim atë
   pamje normale:
   .
   E shkëlqyeshme, tani mund të përdorni formulën:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. cfare eshte kjo????

Mirë, ke të drejtë, ne nuk dimë ende si të gjejmë derivate të tillë. Këtu kemi një kombinim të disa llojeve të funksioneve. Për të punuar me ta, duhet të mësoni disa rregulla të tjera:

Logaritmi eksponent dhe natyror.

Ekziston një funksion në matematikë, derivati ​​i të cilit për çdo vlerë është i barabartë me vlerën e vetë funksionit në të njëjtën kohë. Ai quhet "eksponent" dhe është një funksion eksponencial

Baza e këtij funksioni - një konstante - është një thyesë dhjetore e pafundme, domethënë një numër irracional (si p.sh.). Quhet "numri Euler", prandaj shënohet me një shkronjë.

Pra, rregulli:

Shumë e lehtë për t'u mbajtur mend.

Epo, le të mos shkojmë larg, le ta shohim menjëherë funksioni i anasjelltë. Cili funksion është inversi i funksionit eksponencial? Logaritmi:

Në rastin tonë, baza është numri:

Një logaritëm i tillë (d.m.th., një logaritëm me bazë) quhet "natyror" dhe ne përdorim një shënim të veçantë për të: ne shkruajmë në vend të tij.

Me çfarë është e barabartë? Sigurisht, .

Derivati ​​i logaritmit natyror është gjithashtu shumë i thjeshtë:

Shembuj:

1. Gjeni derivatin e funksionit.
2. Cili është derivati ​​i funksionit?

Përgjigjet: Logaritmi eksponencial dhe natyror janë funksione unike të thjeshta nga një këndvështrim derivat. Funksionet eksponenciale dhe logaritmike me çdo bazë tjetër do të kenë një derivat të ndryshëm, të cilin do ta analizojmë më vonë, pasi të kalojmë rregullat e diferencimit.

Rregullat e diferencimit

Rregullat e çfarë? Sërish një mandat i ri, sërish?!...

Diferencimiështë procesi i gjetjes së derivatit.

Kjo eshte e gjitha. Çfarë tjetër mund ta quani këtë proces me një fjalë? Jo derivat... Matematikanët e quajnë diferencialin të njëjtën rritje të një funksioni në. Ky term vjen nga latinishtja diferencia - dallim. Këtu.

Kur nxjerrim të gjitha këto rregulla, ne do të përdorim dy funksione, për shembull, dhe. Do të na duhen gjithashtu formula për shtimet e tyre:

Gjithsej janë 5 rregulla.

Konstanta hiqet nga shenja derivatore.

Nëse - një numër konstant (konstant), atëherë.

Natyrisht, ky rregull funksionon edhe për ndryshimin: .

Le ta vërtetojmë. Le të jetë, ose më e thjeshtë.

Shembuj.

Gjeni derivatet e funksioneve:

1. në një pikë;
2. në një pikë;
3. në një pikë;
4. në pikën.

Zgjidhjet:

1. (derivati ​​është i njëjtë në të gjitha pikat, pasi është funksion linear, mbani mend?);

Derivat i produktit

Gjithçka është e ngjashme këtu: le të prezantojmë një funksion të ri dhe të gjejmë rritjen e tij:

Derivat:

Shembuj:

1. Gjeni derivatet e funksioneve dhe;
2. Gjeni derivatin e funksionit në një pikë.

Zgjidhjet:

Derivat i një funksioni eksponencial

Tani njohuritë tuaja janë të mjaftueshme për të mësuar se si të gjeni derivatin e çdo funksioni eksponencial, dhe jo vetëm eksponentë (e keni harruar akoma se çfarë është?).

Pra, ku është një numër.

Ne tashmë e dimë derivatin e funksionit, kështu që le të përpiqemi ta reduktojmë funksionin tonë në një bazë të re:

Për këtë do të përdorim rregull i thjeshtë: . Pastaj:

Epo, funksionoi. Tani përpiquni të gjeni derivatin dhe mos harroni se ky funksion është kompleks.

Ka ndodhur?

Këtu, kontrolloni veten:

Formula doli të ishte shumë e ngjashme me derivatin e një eksponenti: siç ishte, ajo mbetet e njëjtë, u shfaq vetëm një faktor, i cili është vetëm një numër, por jo një ndryshore.

Shembuj:
Gjeni derivatet e funksioneve:

Përgjigjet:

Ky është vetëm një numër që nuk mund të llogaritet pa një kalkulator, domethënë nuk mund të shkruhet më në formë të thjeshtë. Prandaj, e lëmë në këtë formë në përgjigje.

Derivat i një funksioni logaritmik

Është e ngjashme këtu: ju tashmë e dini derivatin e logaritmit natyror:

Prandaj, për të gjetur një logaritëm arbitrar me një bazë të ndryshme, për shembull:

Duhet ta zvogëlojmë këtë logaritëm në bazë. Si të ndryshoni bazën e një logaritmi? Shpresoj ta mbani mend këtë formulë:

Vetëm tani do të shkruajmë në vend të kësaj:

Emëruesi është thjesht një konstante (një numër konstant, pa një ndryshore). Derivati ​​merret shumë thjesht:

Derivatet e funksioneve eksponenciale dhe logaritmike nuk gjenden pothuajse kurrë në Provimin e Unifikuar të Shtetit, por nuk do të jetë e tepërt t'i njihni ato.

Derivat i një funksioni kompleks.

Çfarë është një "funksion kompleks"? Jo, ky nuk është një logaritëm dhe as një arktangjent. Këto funksione mund të jenë të vështira për t'u kuptuar (edhe pse nëse logaritmi ju duket i vështirë, lexoni temën "Logaritmet" dhe do të jeni mirë), por nga pikëpamja matematikore, fjala "kompleks" nuk do të thotë "e vështirë".

Imagjinoni një rrip të vogël transportues: dy persona janë ulur dhe bëjnë disa veprime me disa objekte. Për shembull, i pari mbështjell një çokollatë me një mbështjellës dhe i dyti e lidh me një fjongo. Rezultati është një objekt i përbërë: një çokollatë e mbështjellë dhe e lidhur me një fjongo. Për të ngrënë një çokollatë, duhet të bëni hapat e kundërt në rend të kundërt.

Le të krijojmë një tubacion të ngjashëm matematikor: së pari do të gjejmë kosinusin e një numri, dhe më pas do të vendosim në katror numrin që rezulton. Pra, na jepet një numër (çokollatë), unë gjej kosinusin e saj (mbështjellësin) dhe pastaj ju katrore atë që kam marrë (lidheni me një fjongo). Cfare ndodhi? Funksioni. Ky është një shembull i një funksioni kompleks: kur, për të gjetur vlerën e tij, ne kryejmë veprimin e parë drejtpërdrejt me variablin, dhe më pas një veprim të dytë me atë që rezultoi nga i pari.

Ne mund t'i bëjmë lehtësisht të njëjtat hapa në rend të kundërt: fillimisht ju e vendosni në katror dhe unë më pas kërkoj kosinusin e numrit që rezulton: . Është e lehtë të merret me mend se rezultati pothuajse gjithmonë do të jetë i ndryshëm. Një tipar i rëndësishëm i funksioneve komplekse: kur ndryshon rendi i veprimeve, funksioni ndryshon.

Me fjale te tjera, një funksion kompleks është një funksion, argumenti i të cilit është një funksion tjetër: .

Për shembullin e parë,.

Shembulli i dytë: (e njëjta gjë). .

Veprimi që bëjmë i fundit do të quhet funksioni "i jashtëm"., dhe veprimi i kryer së pari - në përputhje me rrethanat funksioni "i brendshëm".(këto janë emra joformalë, i përdor vetëm për të shpjeguar materialin në gjuhë të thjeshtë).

Mundohuni të përcaktoni vetë se cili funksion është i jashtëm dhe cili i brendshëm:

Përgjigjet: Ndarja e funksioneve të brendshme dhe të jashtme është shumë e ngjashme me ndryshimin e variablave: për shembull, në një funksion

1. Çfarë veprimi do të kryejmë së pari? Së pari, le të llogarisim sinusin, dhe vetëm pastaj ta kubikeojmë atë. Kjo do të thotë se është një funksion i brendshëm, por i jashtëm.
   Dhe funksioni origjinal është përbërja e tyre: .
2. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .
3. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .
4. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .
5. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .

Ne ndryshojmë variablat dhe marrim një funksion.

Epo, tani do të nxjerrim shiritin tonë të çokollatës dhe do të kërkojmë derivatin. Procedura është gjithmonë e kundërt: fillimisht kërkojmë derivatin e funksionit të jashtëm, pastaj shumëzojmë rezultatin me derivatin e funksionit të brendshëm. Në lidhje me shembullin origjinal, duket kështu:

Një shembull tjetër:

Pra, le të formulojmë më në fund rregullin zyrtar:

Algoritmi për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:

Duket e thjeshtë, apo jo?

Le të kontrollojmë me shembuj:

Zgjidhjet:

1) E brendshme: ;

E jashtme: ;

2) E brendshme: ;

(Vetëm mos u përpiqni ta shkurtoni deri tani! Asgjë nuk del nga kosinusi, mbani mend?)

3) E brendshme: ;

E jashtme: ;

Është menjëherë e qartë se ky është një funksion kompleks me tre nivele: në fund të fundit, ky tashmë është një funksion kompleks në vetvete, dhe ne gjithashtu nxjerrim rrënjën prej tij, domethënë kryejmë veprimin e tretë (e vendosim çokollatën në një mbështjellës dhe me një fjongo në çantë). Por nuk ka asnjë arsye për t'u frikësuar: ne ende do ta "zhpaketojmë" këtë funksion në të njëjtin rend si zakonisht: nga fundi.

Domethënë, së pari dallojmë rrënjën, pastaj kosinusin dhe vetëm më pas shprehjen në kllapa. Dhe pastaj ne i shumëzojmë të gjitha.

Në raste të tilla, është e përshtatshme të numërohen veprimet. Kjo do të thotë, le të imagjinojmë atë që dimë. Me çfarë radhe do të kryejmë veprimet për të llogaritur vlerën e kësaj shprehjeje? Le të shohim një shembull:

Sa më vonë të kryhet veprimi, aq më "i jashtëm" do të jetë funksioni përkatës. Sekuenca e veprimeve është e njëjtë si më parë:

Këtu foleja është përgjithësisht me 4 nivele. Le të përcaktojmë rrjedhën e veprimit.

1. Shprehje radikale. .

2. Rrënja. .

3. Sinus. .

4. Sheshi. .

5. Duke i bashkuar të gjitha:

DERIVATIV. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Derivat i një funksioni- raporti i rritjes së funksionit ndaj rritjes së argumentit për një rritje infinite të vogël të argumentit:

Derivatet bazë:

Rregullat e diferencimit:

Konstanta hiqet nga shenja derivatore:

Derivati ​​i shumës:

Derivati ​​i produktit:

Derivati ​​i herësit:

Derivati ​​i një funksioni kompleks:

Algoritmi për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:

1. Përcaktojmë funksionin "të brendshëm" dhe gjejmë derivatin e tij.
2. Përcaktojmë funksionin "të jashtëm" dhe gjejmë derivatin e tij.
3. Ne shumëzojmë rezultatet e pikës së parë dhe të dytë.

Funksionet e një lloji kompleks nuk përshtaten gjithmonë me përkufizimin e një funksioni kompleks. Nëse ka një funksion të formës y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, atëherë ai nuk mund të konsiderohet kompleks, ndryshe nga y = sin 2 x.

Ky artikull do të tregojë konceptin e një funksioni kompleks dhe identifikimin e tij. Të punojmë me formula për gjetjen e derivatit me shembuj zgjidhjesh në përfundim. Përdorimi i tabelës së derivateve dhe rregullave të diferencimit redukton ndjeshëm kohën për gjetjen e derivatit.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Përkufizimet bazë

Një funksion kompleks është ai, argumenti i të cilit është gjithashtu një funksion.

Shënohet në këtë mënyrë: f (g (x)). Kemi që funksioni g (x) konsiderohet argument f (g (x)).

Përkufizimi 2

Nëse ka një funksion f dhe është një funksion kotangjent, atëherë g(x) = ln x është funksioni i logaritmit natyror. Gjejmë se funksioni kompleks f (g (x)) do të shkruhet si arctg(lnx). Ose një funksion f, i cili është një funksion i ngritur në fuqinë e 4-të, ku g (x) = x 2 + 2 x - 3 konsiderohet një funksion i tërë racional, marrim se f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Natyrisht g(x) mund të jetë kompleks. Nga shembulli y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 shihet qartë se vlera e g ka rrënjën kubike të thyesës. Kjo shprehje mund të shënohet si y = f (f 1 (f 2 (x))). Nga ku kemi se f është një funksion sinus, dhe f 1 është një funksion i vendosur nën rrenja katrore, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - funksion racional thyesor.

Përkufizimi 3

Shkalla e foleve përcaktohet nga çdo numër natyror dhe shkruhet si y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

Përkufizimi 4

Koncepti i përbërjes së funksionit i referohet numrit të funksioneve të mbivendosur sipas kushteve të problemit. Për të zgjidhur, përdorni formulën për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks të formës

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Shembuj

Gjeni derivatin e një funksioni kompleks të formës y = (2 x + 1) 2.

Zgjidhje

Kushti tregon se f është një funksion katror dhe g(x) = 2 x + 1 konsiderohet funksion linear.

Le të zbatojmë formulën e derivatit për një funksion kompleks dhe të shkruajmë:

f "(g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Është e nevojshme të gjendet derivati ​​me një formë origjinale të thjeshtuar të funksionit. Ne marrim:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Nga këtu e kemi atë

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Rezultatet ishin të njëjta.

Gjatë zgjidhjes së problemeve të këtij lloji, është e rëndësishme të kuptohet se ku do të vendoset funksioni i formës f dhe g (x).

Shembulli 2

Ju duhet të gjeni derivatet e funksioneve komplekse të formës y = sin 2 x dhe y = sin x 2.

Zgjidhje

Shënimi i parë i funksionit thotë se f është funksioni katror dhe g(x) është funksioni sinus. Atëherë e marrim atë

y " = (mëkat 2 x) " = 2 mëkat 2 - 1 x (mëkat x) " = 2 mëkat x cos x

Hyrja e dytë tregon se f është një funksion sinus, dhe g(x) = x 2 tregon një funksion fuqie. Nga kjo rrjedh se produktin e një funksioni kompleks e shkruajmë si

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Formula për derivatin y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) do të shkruhet si y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . )) )) · . . . fn "(x)

Shembulli 3

Gjeni derivatin e funksionit y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Zgjidhje

Ky shembull tregon vështirësinë e shkrimit dhe përcaktimit të vendndodhjes së funksioneve. Atëherë y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) shënoni ku f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) është funksioni sinus, funksioni i ngritjes në 3 gradë, funksion me logaritëm dhe bazë e, funksion arktangjent dhe linear.

Nga formula për përcaktimin e një funksioni kompleks kemi që

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3" (f 4 (x)) f 4" (x)

Ne marrim atë që duhet të gjejmë

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) si derivat i sinusit sipas tabelës së derivateve, pastaj f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x))))) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) si derivat i një funksioni fuqie, pastaj f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2" (f 3 (f 4 (x))) si një derivat logaritmik, pastaj f 2" (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) si derivat i arktangjentes, pastaj f 3" (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Kur gjeni derivatin f 4 (x) = 2 x, hiqni 2 nga shenja e derivatit duke përdorur formulën për derivatin e një funksioni fuqie me një eksponent të barabartë me 1, pastaj f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Ne kombinojmë rezultatet e ndërmjetme dhe e marrim atë

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analiza e funksioneve të tilla të kujton kukullat me fole. Rregullat e diferencimit nuk mund të zbatohen gjithmonë në mënyrë eksplicite duke përdorur një tabelë derivative. Shpesh ju duhet të përdorni një formulë për gjetjen e derivateve të funksioneve komplekse.

Ka disa ndryshime midis pamjes komplekse dhe funksioneve komplekse. Me një aftësi të qartë për ta dalluar këtë, gjetja e derivateve do të jetë veçanërisht e lehtë.

Shembulli 4

Është e nevojshme të merret parasysh dhënia e një shembulli të tillë. Nëse ka një funksion të formës y = t g 2 x + 3 t g x + 1, atëherë mund të konsiderohet si një funksion kompleks i formës g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Natyrisht, është e nevojshme të përdoret formula për një derivat kompleks:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Një funksion i formës y = t g x 2 + 3 t g x + 1 nuk konsiderohet kompleks, pasi ka shumën e t g x 2, 3 t g x dhe 1. Megjithatë, t g x 2 konsiderohet një funksion kompleks, atëherë marrim një funksion fuqie të formës g (x) = x 2 dhe f, i cili është një funksion tangjent. Për ta bërë këtë, dalloni sipas sasisë. Ne e kuptojmë atë

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

Le të kalojmë në gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Marrim se y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funksionet e një lloji kompleks mund të përfshihen në funksione komplekse, dhe vetë funksionet komplekse mund të jenë përbërës të funksioneve të një lloji kompleks.

Shembulli 5

Për shembull, merrni parasysh një funksion kompleks të formës y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Ky funksion mund të përfaqësohet si y = f (g (x)), ku vlera e f është funksion i logaritmit bazë 3, dhe g (x) konsiderohet shuma e dy funksioneve të formës h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 dhe k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Natyrisht, y = f (h (x) + k (x)).

Konsideroni funksionin h(x). Ky është raporti l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 me m (x) = e x 2 + 3 3

Kemi që l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) është shuma e dy funksioneve n (x) = x 2 + 7 dhe p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , ku p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) është një funksion kompleks me koeficient numerik 3, dhe p 1 është një funksion kub, p 2 nga një funksion kosinus, p 3 (x) = 2 x + 1 nga një funksion linear.

Ne zbuluam se m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) është shuma e dy funksioneve q (x) = e x 2 dhe r (x) = 3 3, ku q (x) = q 1 (q 2 (x)) është një funksion kompleks, q 1 është një funksion me një eksponencial, q 2 (x) = x 2 është një funksion fuqie.

Kjo tregon se h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Kur kalojmë në një shprehje të formës k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), është e qartë se funksioni paraqitet në formën e një kompleksi s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) me një numër të plotë racional t (x) = x 2 + 1, ku s 1 është një funksion katror dhe s 2 (x) = ln x është logaritmik me bazë e.

Nga kjo rrjedh se shprehja do të marrë formën k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Atëherë e marrim atë

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Bazuar në strukturat e funksionit, u bë e qartë se si dhe cilat formula duhen përdorur për të thjeshtuar shprehjen gjatë diferencimit të saj. Për t'u njohur me probleme të tilla dhe për konceptin e zgjidhjes së tyre, duhet t'i drejtohemi pikës së diferencimit të një funksioni, pra gjetjes së derivatit të tij.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Që kur keni ardhur këtu, me siguri e keni parë tashmë këtë formulë në tekstin shkollor

dhe bëni një fytyrë si kjo:

Mik, mos u shqetëso! Në fakt, gjithçka është thjesht e egër. Ju patjetër do të kuptoni gjithçka. Vetëm një kërkesë - lexoni artikullin ngadalë, përpiquni të kuptoni çdo hap. Unë shkrova sa më thjeshtë dhe qartë, por ju ende duhet ta kuptoni idenë. Dhe sigurohuni që të zgjidhni detyrat nga artikulli.

Çfarë është një funksion kompleks?

Imagjinoni që po zhvendoseni në një apartament tjetër dhe për këtë arsye po i paketoni gjërat në kuti të mëdha. Supozoni se duhet të mbledhim disa sende të vogla, për shembull, materialet e shkrimit të shkollës. Nëse thjesht i hidhni në një kuti të madhe, ato do të humbasin ndër të tjera. Për të shmangur këtë, fillimisht i vendosni për shembull në një qese, të cilën e vendosni më pas në një kuti të madhe dhe më pas e mbyllni. Ky proces "kompleks" është paraqitur në diagramin e mëposhtëm:

Do të duket, çfarë lidhje ka matematika me të? Po, përkundër faktit se një funksion kompleks është formuar në të njëjtën mënyrë! Vetëm ne “paketojmë” jo fletoret dhe stilolapsat, por \(x\), ndërsa “paketat” dhe “kutitë” janë të ndryshme.

Për shembull, le të marrim x dhe ta "paketojmë" atë në një funksion:

Si rezultat, ne marrim, natyrisht, \(\cos⁡x\). Kjo është "çanta jonë e gjërave". Tani le ta vendosim në një "kuti" - paketojmë, për shembull, në një funksion kub.

Çfarë do të ndodhë në fund? Po, është e drejtë, do të ketë një "çantë me gjëra në një kuti", domethënë "kosinus me kub X".

Dizajni që rezulton është një funksion kompleks. Ai ndryshon nga i thjeshti në këtë DISA "influenca" (pako) aplikohen për një X me radhë dhe rezulton sikur "funksioni nga funksioni" - "paketimi brenda paketimit".

Në kursin shkollor ka shumë pak lloje të këtyre "paketave", vetëm katër:

Le ta "paketojmë" X fillimisht në një funksion eksponencial me bazën 7, dhe më pas në një funksion trigonometrik. Ne marrim:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Tani le të "paketojmë" X dy herë në të funksionet trigonometrike, fillimisht në , dhe më pas në:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

E thjeshtë, apo jo?

Tani shkruani vetë funksionet, ku x:
- së pari "paketohet" në një kosinus, dhe më pas në një funksion eksponencial me bazën \(3\);
- së pari në fuqinë e pestë, dhe më pas në tangjente;
- së pari te logaritmi në bazë \(4\) , pastaj në fuqinë \(-2\).

Gjeni përgjigjet për këtë detyrë në fund të artikullit.

A mund ta "paketojmë" X jo dy, por tre herë? Nuk ka problem! Dhe katër, pesë dhe njëzet e pesë herë. Këtu, për shembull, është një funksion në të cilin x është "paketuar" \(4\) herë:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Por formula të tilla nuk do të gjenden në praktikën shkollore (nxënësit janë më me fat - e tyre mund të jetë më e ndërlikuar☺).

"Shpaketimi" i një funksioni kompleks

Shikoni sërish funksionin e mëparshëm. A mund ta kuptoni sekuencën e "paketimit"? Në çfarë X u fut fillimisht, çfarë pastaj, e kështu me radhë deri në fund. Domethënë, cili funksion ndodhet brenda cilit? Merrni një copë letër dhe shkruani atë që mendoni. Ju mund ta bëni këtë me një zinxhir me shigjeta siç kemi shkruar më lart ose në ndonjë mënyrë tjetër.

Tani përgjigjja e saktë është: së pari, x ishte "paketuar" në fuqinë \(4\)-të, më pas rezultati u paketua në një sinus, ai, nga ana tjetër, u vendos në logaritëm në bazën \(2\) , dhe në fund i gjithë ky konstruksion u fut në një pesëshe me fuqi.

Kjo do të thotë, ju duhet të zbërtheni sekuencën në REND TË KUNDËRT. Dhe këtu është një sugjerim se si ta bëni më lehtë: shikoni menjëherë X - duhet të kërceni prej tij. Le të shohim disa shembuj.

Për shembull, këtu është funksioni i mëposhtëm: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Ne shikojmë X - çfarë ndodh së pari me të? Marrë prej tij. Dhe pastaj? Merret tangjentja e rezultatit. Sekuenca do të jetë e njëjtë:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Një shembull tjetër: \(y=\cos⁡((x^3))\). Le të analizojmë - së pari ne kubuam X, dhe më pas morëm kosinusin e rezultatit. Kjo do të thotë se sekuenca do të jetë: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Kushtojini vëmendje, funksioni duket se është i ngjashëm me atë të parën (ku ka foto). Por ky është një funksion krejtësisht i ndryshëm: këtu në kub është x (d.m.th., \(\cos⁡((x·x·x)))\), dhe atje në kub është kosinusi \(x\) ( që është, \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Ky ndryshim lind nga sekuenca të ndryshme "paketimi".

Shembulli i fundit (me informacion i rendesishem në të): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Është e qartë se këtu ata fillimisht bënë veprime aritmetike me x, më pas morën sinusin e rezultatit: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Dhe kjo pikë e rëndësishme: pavarësisht se veprimet aritmetike nuk janë funksione në vetvete, këtu ato veprojnë edhe si një mënyrë "paketimi". Le të thellohemi pak më thellë në këtë hollësi.

Siç thashë më lart, në funksione të thjeshta x "paketohet" një herë, dhe në funksione komplekse - dy ose më shumë. Për më tepër, çdo kombinim i funksioneve të thjeshta (d.m.th., shuma, ndryshimi, shumëzimi ose pjesëtimi i tyre) është gjithashtu një funksion i thjeshtë. Për shembull, \(x^7\) është një funksion i thjeshtë dhe po kështu është \(ctg x\). Kjo do të thotë që të gjitha kombinimet e tyre janë funksione të thjeshta:

\(x^7+ ctg x\) - e thjeshtë,
\(x^7· ahur x\) – e thjeshtë,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – e thjeshtë, etj.

Sidoqoftë, nëse një funksion më shumë zbatohet për një kombinim të tillë, ai do të bëhet një funksion kompleks, pasi do të ketë dy "pako". Shih diagramin:

Mirë, vazhdo tani. Shkruani sekuencën e funksioneve të "mbështjelljes":
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Përgjigjet janë përsëri në fund të artikullit.

Funksionet e brendshme dhe të jashtme

Pse duhet të kuptojmë folenë e funksionit? Çfarë na jep kjo? Fakti është se pa një analizë të tillë nuk do të jemi në gjendje të gjejmë me besueshmëri derivate të funksioneve të diskutuara më sipër.

Dhe për të ecur përpara, do të na duhen dy koncepte të tjera: funksionet e brendshme dhe të jashtme. Kjo është një gjë shumë e thjeshtë, për më tepër, në fakt, ne i kemi analizuar tashmë ato më lart: nëse kujtojmë analogjinë tonë që në fillim, atëherë funksioni i brendshëm është një "paketë", dhe funksioni i jashtëm është një "kuti". ato. ajo që X është "mbështjellë" në fillim është një funksion i brendshëm, dhe ajo me të cilën është "mbështjellë" funksioni i brendshëm është tashmë i jashtëm. Epo, është e qartë pse - ajo është jashtë, kjo do të thotë e jashtme.

Në këtë shembull: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), funksioni \(\log_2⁡x\) është i brendshëm, dhe
- e jashtme.

Dhe në këtë: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) është i brendshëm, dhe
- e jashtme.

Plotësoni praktikën e fundit të analizimit të funksioneve komplekse dhe më në fund le të kalojmë tek ajo për të cilën filluam të gjithë - do të gjejmë derivate të funksioneve komplekse:

Plotësoni vendet bosh në tabelë:

Derivat i një funksioni kompleks

Bravo për ne, më në fund arritëm te "bosi" i kësaj teme - në fakt, derivati ​​i një funksioni kompleks, dhe konkretisht, tek ajo formulë shumë e tmerrshme që nga fillimi i artikullit.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Kjo formulë lexohet kështu:

Derivati ​​i një funksioni kompleks është i barabartë me produktin e derivatit të funksionit të jashtëm në lidhje me një funksion të brendshëm konstant dhe derivatin e funksionit të brendshëm.

Dhe menjëherë shikoni diagramin e analizës, sipas fjalëve, në mënyrë që të kuptoni se çfarë të bëni me çfarë:

Shpresoj që termat "derivativ" dhe "produkt" të mos shkaktojnë ndonjë vështirësi. "Funksioni kompleks" - ne e kemi zgjidhur tashmë atë. Kapja është në "derivatin e një funksioni të jashtëm në lidhje me një funksion të brendshëm konstant". Cfare eshte?

Përgjigje: Ky është derivati ​​i zakonshëm i një funksioni të jashtëm, në të cilin ndryshon vetëm funksioni i jashtëm, dhe ai i brendshëm mbetet i njëjtë. Ende nuk është e qartë? Mirë, le të përdorim një shembull.

Le të kemi një funksion \(y=\sin⁡(x^3)\). Është e qartë se funksioni i brendshëm këtu është \(x^3\), dhe i jashtëm
. Le të gjejmë tani derivatin e jashtme në lidhje me brendësinë konstante.

Derivatet komplekse. Derivat logaritmik.
Derivat i një funksioni fuqi-eksponencial

Ne vazhdojmë të përmirësojmë teknikën tonë të diferencimit. Në këtë mësim, ne do të konsolidojmë materialin që kemi trajtuar, do të shikojmë derivate më komplekse dhe gjithashtu do të njihemi me teknika dhe truket e reja për gjetjen e një derivati, në veçanti, me derivatin logaritmik.

Ata lexues që kanë një nivel të ulët përgatitjeje duhet t'i referohen artikullit Si të gjeni derivatin? Shembuj zgjidhjesh, e cila do t'ju lejojë të ngrini aftësitë tuaja pothuajse nga e para. Tjetra, duhet të studioni me kujdes faqen Derivat i një funksioni kompleks, kuptojnë dhe zgjidhin Të gjitha shembujt që dhashë. Ky mësim është logjikisht i treti me radhë, dhe pasi ta zotëroni atë, do të dalloni me besim funksione mjaft komplekse. Është e padëshirueshme të marrësh pozicionin "Ku tjetër? Po, mjafton!”, pasi të gjithë shembujt dhe zgjidhjet janë marrë nga realja testet dhe hasen shpesh në praktikë.

Le të fillojmë me përsëritjen. Në mësim Derivat i një funksioni kompleks Ne shikuam një numër shembujsh me komente të hollësishme. Gjatë studimit të llogaritjes diferenciale dhe degëve të tjera të analizës matematikore, do t'ju duhet të diferenconi shumë shpesh, dhe nuk është gjithmonë e përshtatshme (dhe jo gjithmonë e nevojshme) të përshkruani shembuj në detaje. Prandaj, ne do të praktikojmë gjetjen e derivateve me gojë. "Kandidatët" më të përshtatshëm për këtë janë derivatet e funksioneve më të thjeshta komplekse, për shembull:

Sipas rregullit të diferencimit të funksioneve komplekse :

Kur studioni tema të tjera matan në të ardhmen, një regjistrim kaq i detajuar më shpesh nuk kërkohet; supozohet se studenti di të gjejë derivate të tilla në autopilot. Le të imagjinojmë se në orën 3 të mëngjesit ra telefoni dhe një zë i këndshëm pyeti: "Cili është derivati ​​i tangjentës së dy X-ve?" Kjo duhet të pasohet nga një përgjigje pothuajse e menjëhershme dhe e sjellshme: .

Shembulli i parë do të synohet menjëherë për zgjidhje të pavarur.

Shembulli 1

Gjeni me gojë derivatet e mëposhtme, në një veprim, p.sh.: . Për të përfunduar detyrën ju duhet vetëm të përdorni tabela e derivateve të funksioneve elementare(nëse nuk e keni mbajtur mend akoma). Nëse keni ndonjë vështirësi, ju rekomandoj ta rilexoni mësimin Derivat i një funksioni kompleks.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Përgjigjet në fund të orës së mësimit

Derivatet komplekse

Pas përgatitjes paraprake të artilerisë, shembujt me 3-4-5 fole funksionesh do të jenë më pak të frikshëm. Dy shembujt e mëposhtëm mund të duken të komplikuar për disa, por nëse i kuptoni (dikush do të vuajë), atëherë pothuajse gjithçka tjetër në llogaritjen diferenciale do të duket si shaka e një fëmije.

Shembulli 2

Gjeni derivatin e një funksioni

Siç është vërejtur tashmë, kur gjejmë derivatin e një funksioni kompleks, para së gjithash, është e nevojshme E drejta KUPTONI investimet tuaja. Në rastet kur ka dyshime, ju kujtoj një teknikë të dobishme: marrim vlerën eksperimentale të "x", për shembull, dhe përpiqemi (mendërisht ose në një draft) ta zëvendësojmë këtë vlerë në "shprehjen e tmerrshme".

1) Së pari duhet të llogarisim shprehjen, që do të thotë se shuma është ngulitja më e thellë.

2) Pastaj ju duhet të llogarisni logaritmin:

4) Pastaj kubike kosinusin:

5) Në hapin e pestë ndryshimi:

6) Dhe së fundi, funksioni më i jashtëm është rrënja katrore:

Formula për diferencimin e një funksioni kompleks aplikohen në rend të kundërt, nga funksioni më i jashtëm tek ai më i brendshëm. Ne vendosim:

Duket se nuk ka gabime...

(1) Merrni derivatin e rrënjës katrore.

(2) Marrim derivatin e diferencës duke përdorur rregullin

(3) Derivati ​​i një treshe është zero. Në termin e dytë marrim derivatin e shkallës (kub).

(4) Merrni derivatin e kosinusit.

(5) Merrni derivatin e logaritmit.

(6) Dhe së fundi, marrim derivatin e ngulitjes më të thellë.

Mund të duket shumë e vështirë, por ky nuk është shembulli më brutal. Merrni, për shembull, koleksionin e Kuznetsov dhe do të vlerësoni të gjithë bukurinë dhe thjeshtësinë e derivatit të analizuar. Vura re se atyre u pëlqen të japin një gjë të ngjashme në një provim për të kontrolluar nëse një student e kupton se si të gjejë derivatin e një funksioni kompleks apo nuk e kupton.

Shembulli i mëposhtëm është që ju ta zgjidhni vetë.

Shembulli 3

Gjeni derivatin e një funksioni

Këshillë: Fillimisht zbatojmë rregullat e linearitetit dhe rregullin e diferencimit të produktit

Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Është koha për të kaluar në diçka më të vogël dhe më të bukur.
Nuk është e pazakontë që një shembull të tregojë produktin e jo dy, por tre funksioneve. Si të gjejmë derivatin e produktit të tre faktorëve?

Shembulli 4

Gjeni derivatin e një funksioni

Fillimisht shikojmë, a është e mundur që produkti i tre funksioneve të kthehet në produkt të dy funksioneve? Për shembull, nëse do të kishim dy polinome në produkt, atëherë mund të hapnim kllapat. Por në shembullin në shqyrtim, të gjitha funksionet janë të ndryshme: shkalla, eksponenti dhe logaritmi.

Në raste të tilla është e nevojshme në mënyrë sekuenciale zbatoni rregullin e diferencimit të produktit dy herë

Truku është se me “y” shënojmë prodhimin e dy funksioneve: , dhe me “ve” shënojmë logaritmin: . Pse mund të bëhet kjo? A është me të vërtetë – ky nuk është produkt i dy faktorëve dhe rregulli nuk funksionon?! Nuk ka asgjë të komplikuar:

Tani mbetet të zbatohet rregulli për herë të dytë në kllapa:

Ju gjithashtu mund të shtrembëroheni dhe të vendosni diçka jashtë kllapave, por në këtë rast është më mirë të lini përgjigjen pikërisht në këtë formë - do të jetë më e lehtë të kontrolloni.

Shembulli i konsideruar mund të zgjidhet në mënyrën e dytë:

Të dyja zgjidhjet janë absolutisht ekuivalente.

Shembulli 5

Gjeni derivatin e një funksioni

Ky është një shembull për një zgjidhje të pavarur; në mostër zgjidhet duke përdorur metodën e parë.

Le të shohim shembuj të ngjashëm me thyesa.

Shembulli 6

Gjeni derivatin e një funksioni

Ka disa mënyra që mund të shkoni këtu:

Ose si kjo:

Por zgjidhja do të shkruhet më kompakte nëse fillimisht përdorim rregullin e diferencimit të herësit , duke marrë për të gjithë numëruesin:

Në parim, shembulli zgjidhet dhe nëse lihet ashtu siç është, nuk do të jetë gabim. Por nëse keni kohë, këshillohet gjithmonë të kontrolloni një draft për të parë nëse përgjigjja mund të thjeshtohet? Le ta reduktojmë shprehjen e numëruesit në një emërues të përbashkët dhe le të heqim qafe thyesën trekatëshe:

Disavantazhi i thjeshtimeve shtesë është se ekziston rreziku për të bërë një gabim jo gjatë gjetjes së derivatit, por gjatë transformimeve banale të shkollës. Nga ana tjetër, mësuesit shpesh e refuzojnë detyrën dhe kërkojnë "të sjellin në mendje" derivatin.

Një shembull më i thjeshtë për t'u zgjidhur vetë:

Shembulli 7

Gjeni derivatin e një funksioni

Ne vazhdojmë të zotërojmë metodat e gjetjes së derivatit, dhe tani do të shqyrtojmë një rast tipik kur logaritmi "i tmerrshëm" propozohet për diferencim

Shembulli 8

Gjeni derivatin e një funksioni

Këtu mund të shkoni shumë, duke përdorur rregullin për diferencimin e një funksioni kompleks:

Por hapi i parë ju zhyt menjëherë në dëshpërim - ju duhet të merrni derivatin e pakëndshëm nga një fuqi fraksionale, dhe më pas edhe nga një fraksion.

Kjo është arsyeja pse përpara se si të merret derivati ​​i një logaritmi "të sofistikuar", ai së pari thjeshtohet duke përdorur vetitë e njohura të shkollës:

! Nëse keni në dorë një fletore praktike, kopjoni këto formula direkt atje. Nëse nuk keni një fletore, kopjojini ato në një copë letër, pasi shembujt e mbetur të mësimit do të rrotullohen rreth këtyre formulave.

Vetë zgjidhja mund të shkruhet diçka si kjo:

Le të transformojmë funksionin:

Gjetja e derivatit:

Konvertimi paraprak i vetë funksionit e thjeshtoi shumë zgjidhjen. Kështu, kur një logaritëm i ngjashëm propozohet për diferencim, është gjithmonë e këshillueshme që të "zbërthehet".

Dhe tani disa shembuj të thjeshtë për t'i zgjidhur vetë:

Shembulli 9

Gjeni derivatin e një funksioni

Shembulli 10

Gjeni derivatin e një funksioni

Të gjitha transformimet dhe përgjigjet janë në fund të mësimit.

Derivat logaritmik

Nëse derivati ​​i logaritmeve është një muzikë kaq e ëmbël, atëherë lind pyetja: a është e mundur në disa raste të organizohet logaritmi në mënyrë artificiale? Mund! Dhe madje e nevojshme.

Shembulli 11

Gjeni derivatin e një funksioni

Kohët e fundit kemi parë shembuj të ngjashëm. Çfarë duhet bërë? Ju mund të aplikoni në mënyrë sekuenciale rregullin e diferencimit të herësit, dhe më pas rregullin e diferencimit të produktit. Disavantazhi i kësaj metode është se ju përfundoni me një fraksion të madh trekatësh, me të cilin nuk dëshironi të merreni fare.

Por në teori dhe praktikë ekziston një gjë kaq e mrekullueshme si derivati ​​logaritmik. Logaritmet mund të organizohen artificialisht duke i "varur" ato në të dyja anët:

Tani ju duhet të "shpërbërni" logaritmin e anës së djathtë sa më shumë që të jetë e mundur (formula para syve?). Unë do ta përshkruaj këtë proces në shumë detaje:

Le të fillojmë me diferencimin.
Ne i përfundojmë të dy pjesët nën krye:

Derivati ​​i krahut të djathtë është mjaft i thjeshtë, nuk do ta komentoj, sepse nëse po e lexoni këtë tekst, duhet të jeni në gjendje ta trajtoni me besim.

Po në anën e majtë?

Në anën e majtë kemi funksion kompleks. Unë parashikoj pyetjen: "Pse, ka një shkronjë "Y" nën logaritëm?"

Fakti është se kjo "lojë me një shkronjë" - ËSHTË VETË NJË FUNKSION(nëse nuk është shumë e qartë, referojuni artikullit Derivati ​​i një funksioni të specifikuar në mënyrë implicite). Prandaj, logaritmi është një funksion i jashtëm, dhe "y" është një funksion i brendshëm. Dhe ne përdorim rregullin për diferencimin e një funksioni kompleks :

Në anën e majtë, si me magji shkop magjik kemi një derivat . Tjetra, sipas rregullit të proporcionit, ne transferojmë "y" nga emëruesi i anës së majtë në majë të anës së djathtë:

Dhe tani le të kujtojmë se për çfarë lloj funksioni "lojtar" folëm gjatë diferencimit? Le të shohim gjendjen:

Përgjigja përfundimtare:

Shembulli 12

Gjeni derivatin e një funksioni

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Një model modeli i një shembulli të këtij lloji është në fund të mësimit.

Duke përdorur derivatin logaritmik u arrit të zgjidhej ndonjë nga shembujt nr. 4-7, tjetër gjë është se funksionet atje janë më të thjeshta dhe, ndoshta, përdorimi i derivatit logaritmik nuk është shumë i justifikuar.

Derivat i një funksioni fuqi-eksponencial

Ne nuk e kemi konsideruar ende këtë funksion. Funksioni fuqi-eksponencial është një funksion për të cilin si shkalla ashtu edhe baza varen nga "x". Një shembull klasik që do t'ju jepet në çdo libër shkollor ose leksion:

Si të gjejmë derivatin e një funksioni fuqi-eksponencial?

Është e nevojshme të përdoret teknika e sapo diskutuar - derivati ​​logaritmik. Ne varim logaritmet në të dy anët:

Si rregull, në anën e djathtë shkalla nxirret nga logaritmi:

Si rezultat, në anën e djathtë kemi produktin e dy funksioneve, të cilët do të diferencohen sipas formulës standarde. .

Ne gjejmë derivatin; për ta bërë këtë, ne mbyllim të dy pjesët nën goditje:

Veprimet e mëtejshme janë të thjeshta:

Së fundi:

Nëse ndonjë konvertim nuk është plotësisht i qartë, ju lutemi rilexoni me kujdes shpjegimet e Shembullit #11.

NË detyra praktike Funksioni fuqi-eksponencial do të jetë gjithmonë më kompleks se shembulli i diskutuar në leksion.

Shembulli 13

Gjeni derivatin e një funksioni

Ne përdorim derivatin logaritmik.

Në anën e djathtë kemi një konstante dhe produktin e dy faktorëve - "x" dhe "logaritmi i logaritmit x" (një logaritëm tjetër është i vendosur nën logaritëm). Kur diferencojmë, siç e kujtojmë, është më mirë që konstantja të zhvendoset menjëherë nga shenja e derivatit në mënyrë që të mos pengohet; dhe, natyrisht, ne zbatojmë rregullin e njohur :

Siç mund ta shihni, algoritmi për përdorimin e derivatit logaritmik nuk përmban ndonjë mashtrim ose mashtrim të veçantë, dhe gjetja e derivatit të një funksioni eksponencial të fuqisë zakonisht nuk shoqërohet me "vuajtje".