Çfarë është një derivat?

Tabela e derivateve.

Derivati ​​është një nga konceptet kryesore të matematikës së lartë. Në këtë mësim do të prezantojmë këtë koncept. Le të njihemi, pa formulime dhe prova të rrepta matematikore.

Ky njohje do t'ju lejojë të:

Të kuptojë thelbin e detyrave të thjeshta me derivate;

Zgjidhja me sukses pikërisht këto probleme detyra të vështira;

Përgatituni për mësime më serioze mbi derivatet.

Së pari - një surprizë e këndshme.)

Përkufizimi i rreptë i derivatit bazohet në teorinë e kufijve dhe gjëja është mjaft e ndërlikuar. Kjo është shqetësuese. Por zbatimi praktik i derivateve, si rregull, nuk kërkon njohuri kaq të gjera dhe të thella!

Për të përfunduar me sukses shumicën e detyrave në shkollë dhe universitet, mjafton të dini vetëm disa terma- për të kuptuar detyrën, dhe vetëm disa rregulla- për ta zgjidhur atë. Kjo është e gjitha. Kjo më bën të lumtur.

Le të fillojmë të njihemi?)

Termat dhe emërtimet.

Ka shumë operacione të ndryshme matematikore në matematikën elementare. Mbledhja, zbritja, shumëzimi, fuqizimi, logaritmi etj. Nëse këtyre veprimeve u shtoni edhe një operacion, matematika elementare bëhet më e lartë. Ky operacion i ri quhet diferencimi. Përkufizimi dhe kuptimi i këtij operacioni do të diskutohet në mësime të veçanta.

Është e rëndësishme të kuptohet këtu se diferencimi është thjesht një veprim matematikor mbi një funksion. Ne marrim çdo funksion dhe, sipas rregullave të caktuara, e transformojmë atë. Rezultati do të jetë një funksion i ri. Ky funksion i ri quhet: derivat.

Diferencimi- veprim në një funksion.

Derivat- rezultati i këtij veprimi.

Ashtu si, për shembull, shuma- rezultati i shtimit. Ose private- rezultati i ndarjes.

Duke ditur termat, të paktën mund t'i kuptoni detyrat.) Formulimet janë si më poshtë: gjeni derivatin e një funksioni; merr derivatin; të dallojë funksionin; llogarit derivatin etj. Kjo është e gjitha e njejta gje. Sigurisht, ka edhe detyra më komplekse, ku gjetja e derivatit (diferencimit) do të jetë vetëm një nga hapat në zgjidhjen e problemit.

Derivati ​​tregohet me një vizë në krye të djathtë të funksionit. Si kjo: y" ose f"(x) ose S"(t) e kështu me radhë.

Leximi igrek stroke, ef stroke from x, es stroke from te, Epo, e kuptoni ...)

Një i thjeshtë mund të tregojë gjithashtu derivatin e një funksioni të caktuar, për shembull: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" etj. Shpesh derivatet shënohen duke përdorur diferenciale, por ne nuk do ta konsiderojmë një shënim të tillë në këtë mësim.

Le të supozojmë se kemi mësuar të kuptojmë detyrat. Gjithçka që mbetet është të mësoni se si t'i zgjidhni ato.) Më lejoni t'ju kujtoj edhe një herë: gjetja e derivatit është transformimi i një funksioni sipas rregullave të caktuara.Çuditërisht, ka shumë pak nga këto rregulla.

Për të gjetur derivatin e një funksioni, duhet të dini vetëm tre gjëra. Tre shtylla mbi të cilat qëndron i gjithë diferencimi. Këto janë tre shtyllat:

1. Tabela e derivateve (formula e diferencimit).

3. Derivat i një funksioni kompleks.

Le të fillojmë me radhë. Në këtë mësim do të shikojmë tabelën e derivateve.

Tabela e derivateve.

Ka një numër të pafund funksionesh në botë. Midis kësaj shumëllojshmërie, ka funksione që janë më të rëndësishme për aplikim praktik. Këto funksione gjenden në të gjitha ligjet e natyrës. Nga këto funksione, si nga tullat, mund të ndërtoni të gjitha të tjerat. Kjo klasë funksionesh quhet funksionet elementare. Janë këto funksione që studiohen në shkollë - lineare, kuadratike, hiperbola, etj.

Diferencimi i funksioneve "nga e para", d.m.th. Bazuar në përkufizimin e derivatit dhe teorinë e kufijve, kjo është një gjë mjaft punë intensive. Dhe matematikanët janë gjithashtu njerëz, po, po!) Kështu ata thjeshtuan jetën e tyre (dhe neve). Ata llogaritën derivatet funksionet elementare para nesh. Rezultati është një tabelë e derivateve, ku gjithçka është gati.)

Këtu është, kjo pjatë për funksionet më të njohura. Në të majtë është një funksion elementar, në të djathtë është derivati ​​i tij.

	Funksioni y	Derivati ​​i funksionit y y"
1	C (vlera konstante)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - çdo numër)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	mëkat x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	harku x
	arccos x
	arktan x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	log a x
	n x ( a = e)

Unë rekomandoj t'i kushtoni vëmendje grupit të tretë të funksioneve në këtë tabelë të derivateve. Derivati ​​i një funksioni fuqie është një nga formulat më të zakonshme, nëse jo më e zakonshme! A e kuptoni aludimin?) Po, këshillohet të njihni përmendësh tabelën e derivateve. Nga rruga, kjo nuk është aq e vështirë sa mund të duket. Mundohuni të zgjidhni më shumë shembuj, vetë tabela do të mbahet mend!)

Gjetja e vlerës së tabelës së derivatit, siç e kuptoni, nuk është detyra më e vështirë. Prandaj, shumë shpesh në detyra të tilla ka çipa shtesë. Ose në formulimin e detyrës, ose në funksionin origjinal, i cili nuk duket të jetë në tabelë...

Le të shohim disa shembuj:

1. Gjeni derivatin e funksionit y = x 3

Nuk ka një funksion të tillë në tabelë. Por ekziston një derivat i funksionit të fuqisë në pamje e përgjithshme(grupi i tretë). Në rastin tonë n=3. Pra, ne zëvendësojmë tre në vend të n dhe shkruajmë me kujdes rezultatin:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Kjo është ajo.

Përgjigje: y" = 3x 2

2. Gjeni vlerën e derivatit të funksionit y = sinx në pikën x = 0.

Kjo detyrë do të thotë që së pari duhet të gjeni derivatin e sinusit dhe më pas të zëvendësoni vlerën x = 0 në të njëjtin derivat. Pikërisht në atë rend! Përndryshe, ndodh që ata të zëvendësojnë menjëherë zeron në funksionin origjinal... Na kërkohet të gjejmë jo vlerën e funksionit origjinal, por vlerën. derivati ​​i tij. Derivati, më lejoni t'ju kujtoj, është një funksion i ri.

Duke përdorur tabletën gjejmë sinusin dhe derivatin përkatës:

y" = (mëkat x)" = cosx

Ne e zëvendësojmë zeron në derivatin:

y"(0) = cos 0 = 1

Kjo do të jetë përgjigja.

3. Diferenconi funksionin:

Çfarë, a frymëzon?) Nuk ka një funksion të tillë në tabelën e derivateve.

Më lejoni t'ju kujtoj se të diferencosh një funksion do të thotë thjesht të gjesh derivatin e këtij funksioni. Nëse harroni trigonometrinë elementare, kërkimi i derivatit të funksionit tonë është mjaft i mundimshëm. Tabela nuk ndihmon...

Por nëse shohim se funksioni ynë është kosinus me kënd të dyfishtë, atëherë gjithçka bëhet më mirë menjëherë!

Po, po! Mos harroni se transformimi i funksionit origjinal para diferencimit mjaft e pranueshme! Dhe ndodh që ta bëjë jetën shumë më të lehtë. Duke përdorur formulën e kosinusit me kënd të dyfishtë:

Ato. funksioni ynë i ndërlikuar nuk është gjë tjetër veçse y = cosx. Dhe ky është një funksion i tabelës. Ne marrim menjëherë:

Përgjigje: y" = - mëkat x.

Shembull për të diplomuarit dhe studentët e avancuar:

4. Gjeni derivatin e funksionit:

Nuk ka një funksion të tillë në tabelën e derivateve, natyrisht. Por nëse ju kujtohet matematika elementare, veprimet me fuqi... Atëherë është mjaft e mundur të thjeshtohet ky funksion. Si kjo:

Dhe x në fuqinë e një të dhjetës është tashmë një funksion tabelor! Grupi i tretë, n=1/10. Ne shkruajmë drejtpërdrejt sipas formulës:

Kjo është ajo. Kjo do të jetë përgjigja.

Shpresoj që gjithçka të jetë e qartë me shtyllën e parë të diferencimit - tabelën e derivateve. Mbetet të merremi me dy balenat e mbetura. Në mësimin e ardhshëm do të mësojmë rregullat e diferencimit.

• Tabela e derivateve të funksioneve eksponenciale dhe logaritmike

Derivatet e funksioneve të thjeshta

Shpjegimi:
Derivati ​​tregon shpejtësinë me të cilën ndryshon vlera e një funksioni kur ndryshon argumenti i tij. Meqenëse numri nuk ndryshon në asnjë mënyrë në asnjë kusht, shkalla e ndryshimit të tij është gjithmonë zero.

2. Derivat i një ndryshoreje e barabartë me një
x´ = 1

Shpjegimi:
Me çdo rritje të argumentit (x) me një, vlera e funksionit (rezultati i llogaritjeve) rritet me të njëjtën sasi. Kështu, shpejtësia e ndryshimit në vlerën e funksionit y = x është saktësisht e barabartë me shpejtësinë e ndryshimit në vlerën e argumentit.

3. Derivati ​​i një ndryshoreje dhe një faktori është i barabartë me këtë faktor
сx´ = c
Shembull:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Shpjegimi:
Në këtë rast, sa herë që ndryshon argumenti i funksionit ( X) vlera e tij (y) rritet në Me një herë. Kështu, shkalla e ndryshimit të vlerës së funksionit në raport me shpejtësinë e ndryshimit të argumentit është saktësisht e barabartë me vlerën Me.

Nga rrjedh se
(cx + b)" = c
pra diferenciali i funksionit linear y=kx+b është i barabartë me pjerrësinë e drejtëzës (k).

5. Derivati ​​i një ndryshoreje në një fuqi e barabartë me produktin e një numri të kësaj fuqie dhe një ndryshore me fuqinë e reduktuar me një
(x c)"= cx c-1, me kusht që x c dhe cx c-1 të jenë të përcaktuara dhe c ≠ 0
Shembull:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Për të kujtuar formulën:
Zhvendosni shkallën e ndryshores poshtë si faktor dhe më pas zvogëloni vetë shkallën me një. Për shembull, për x 2 - të dy ishin përpara x, dhe më pas fuqia e reduktuar (2-1 = 1) thjesht na dha 2x. E njëjta gjë ndodhi për x 3 - ne "lëvizim poshtë" trefishin, e zvogëlojmë atë me një dhe në vend të një kubi kemi një katror, ​​domethënë 3x 2. Pak "joshkencore", por shumë e lehtë për t'u mbajtur mend.

6.Derivat i një thyese 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Shembull:
Meqenëse një fraksion mund të përfaqësohet si ngritje në një fuqi negative
(1/x)" = (x -1)", atëherë mund të aplikoni formulën nga rregulli 5 i tabelës së derivateve
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Derivat i një thyese me një variabël të shkallës arbitrare në emërues
(1 / x c)" = - c / x c+1
Shembull:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. Derivat i rrënjës(derivati ​​i ndryshores nën rrënjë katrore)
(√x)" = 1 / (2√x) ose 1/2 x -1/2
Shembull:
(√x)" = (x 1/2)" do të thotë se mund të aplikoni formulën nga rregulli 5
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Derivat i një ndryshoreje nën rrënjën e një shkalle arbitrare
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

Si të gjeni derivatin?

Rregullat e diferencimit.

Për të gjetur derivatin e çdo funksioni, duhet të zotëroni vetëm tre koncepte:

2. Rregullat e diferencimit.

3. Derivat i një funksioni kompleks.

Pikërisht në atë rend. Ky është një aluzion.)

Sigurisht, do të ishte mirë të kishim një ide për derivatet në përgjithësi). Çfarë është një derivat dhe si të punohet me tabelën e derivateve është shpjeguar qartë në mësimin e mëparshëm. Këtu do të merremi me rregullat e diferencimit.

Diferencimi është operacioni i gjetjes së derivatit. Nuk ka asgjë më të fshehur pas këtij termi. Ato. shprehjet "gjeni derivatin e një funksioni" Dhe "diferenconi një funksion"- është e njëjta gjë.

Shprehje "rregullat e diferencimit" i referohet gjetjes së derivatit nga veprimet aritmetike. Ky kuptim ndihmon shumë për të shmangur konfuzionin në kokën tuaj.

Le të përqendrohemi dhe të kujtojmë të gjitha, të gjitha, të gjitha veprimet aritmetike. Janë katër prej tyre). Mbledhja (shuma), zbritja (ndryshimi), shumëzimi (produkti) dhe pjesëtimi (herësi). Këtu janë rregullat e diferencimit:

Pllaka tregon pesë rregullat mbi katër veprimet aritmetike. Unë nuk kam ndryshuar.) Vetëm se rregulli 4 është një pasojë elementare e rregullit 3. Por është aq popullor sa ka kuptim ta shkruajmë (dhe ta mbajmë mend!) si një formulë e pavarur.

Nën emërtimet U Dhe V nënkuptohen disa (absolutisht çdo!) funksione U(x) Dhe V(x).

Le të shohim disa shembuj. Së pari - ato më të thjeshtat.

Gjeni derivatin e funksionit y=sinx - x 2

Këtu kemi ndryshim dy funksione elementare. Ne zbatojmë rregullin 2. Do të supozojmë se sinx është një funksion U, dhe x 2 është funksioni V. Kemi çdo të drejtë të shkruajmë:

y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"

Kjo është më mirë, apo jo?) Gjithçka që mbetet është të gjejmë derivatet e sinusit dhe katrorit të x. Ekziston një tabelë e derivateve për këtë qëllim. Ne thjesht kërkojmë funksionet që na duhen në tabelë ( sinx Dhe x 2), shikoni çfarë derivatesh kanë dhe shkruani përgjigjen:

y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x

Kjo është ajo. Rregulli 1 i diferencimit të shumës funksionon saktësisht njësoj.

Po sikur të kemi disa terma? Nuk ka problem.) Ne e ndajmë funksionin në terma dhe kërkojmë derivatin e secilit term në mënyrë të pavarur nga të tjerët. Për shembull:

Gjeni derivatin e funksionit y=sinx - x 2 +cosx - x +3

Ne shkruajmë me guxim:

y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"

Në fund të mësimit do të jap këshilla për ta bërë jetën më të lehtë kur dallojmë.)

Këshilla praktike:

1. Përpara diferencimit, shikoni nëse është e mundur të thjeshtoni funksionin origjinal.

2. Në shembujt e ndërlikuar, ne përshkruajmë zgjidhjen në detaje, me të gjitha kllapat dhe vizat.

3. Kur dallojmë thyesat me numër konstant në emërues, pjesëtimin e kthejmë në shumëzim dhe përdorim rregullin 4.

Niveli i hyrjes

Derivat i një funksioni. Udhëzues gjithëpërfshirës (2019)

Le të imagjinojmë një rrugë të drejtë që kalon nëpër një zonë kodrinore. Kjo do të thotë, shkon lart e poshtë, por nuk kthehet djathtas ose majtas. Nëse aksi drejtohet horizontalisht përgjatë rrugës dhe vertikalisht, atëherë vija e rrugës do të jetë shumë e ngjashme me grafikun e ndonjë funksioni të vazhdueshëm:

Aksi është një nivel i caktuar i lartësisë zero në jetë ne përdorim nivelin e detit;

Ndërsa ecim përpara përgjatë një rruge të tillë, ne gjithashtu lëvizim lart ose poshtë. Mund të themi gjithashtu: kur ndryshon argumenti (lëvizja përgjatë boshtit të abshisës), vlera e funksionit ndryshon (lëvizja përgjatë boshtit të ordinatave). Tani le të mendojmë se si të përcaktojmë "pjerrësinë" e rrugës sonë? Çfarë lloj vlere mund të jetë kjo? Është shumë e thjeshtë: sa do të ndryshojë lartësia kur lëvizni përpara një distancë të caktuar. Në fund të fundit, në zona të ndryshme rrugëve, duke lëvizur përpara (përgjatë boshtit x) me një kilometër, ne do të ngrihemi ose do të zbresim me një numër të ndryshëm metrash në krahasim me nivelin e detit (përgjatë boshtit y).

Le të shënojmë përparimin (lexoni "delta x").

Shkronja greke (delta) përdoret zakonisht në matematikë si parashtesë që do të thotë "ndryshim". Kjo është - ky është një ndryshim në sasi, - një ndryshim; atëherë çfarë është ajo? Kjo është e drejtë, një ndryshim në madhësi.

E rëndësishme: një shprehje është një tërësi e vetme, një ndryshore. Asnjëherë mos e ndani "deltën" nga "x" ose ndonjë shkronjë tjetër!

Kjo është, për shembull,.

Pra, ne kemi ecur përpara, horizontalisht, nga. Nëse krahasojmë vijën e rrugës me grafikun e një funksioni, atëherë si e shënojmë ngritjen? Sigurisht,. Domethënë, ndërsa ecim përpara, ngrihemi më lart.

Vlera është e lehtë për t'u llogaritur: nëse në fillim ishim në një lartësi, dhe pas lëvizjes e gjetëm veten në një lartësi, atëherë. Nëse pika e fundit është më e ulët se pika e fillimit, ajo do të jetë negative - kjo do të thotë që ne nuk jemi duke u ngjitur, por duke zbritur.

Le të kthehemi te "pjerrësia": kjo është një vlerë që tregon se sa (pjerrët) rritet lartësia kur lëvizni përpara një njësi distancë:

Le të supozojmë se në një pjesë të rrugës, kur ecim përpara me një kilometër, rruga ngrihet për një kilometër. Atëherë pjerrësia në këtë vend është e barabartë. Dhe nëse rruga, duke ecur përpara me m, ka rënë me km? Atëherë pjerrësia është e barabartë.

Tani le të shohim majën e një kodre. Nëse e merrni fillimin e seksionit gjysmë kilometër përpara majës, dhe fundin gjysmë kilometër pas tij, mund të shihni se lartësia është pothuajse e njëjtë.

Kjo do të thotë, sipas logjikës sonë, rezulton se pjerrësia këtu është pothuajse e barabartë me zero, gjë që nuk është qartë e vërtetë. Pak më shumë se një distancë prej kilometrash shumë mund të ndryshojnë. Është e nevojshme të merren parasysh zona më të vogla për një vlerësim më adekuat dhe më të saktë të pjerrësisë. Për shembull, nëse matni ndryshimin në lartësi ndërsa lëvizni një metër, rezultati do të jetë shumë më i saktë. Por edhe kjo saktësi mund të mos jetë e mjaftueshme për ne - në fund të fundit, nëse ka një shtyllë në mes të rrugës, ne thjesht mund ta kalojmë atë. Çfarë distancë duhet të zgjedhim atëherë? Centimetri? Milimetri? Më pak është më shumë! NË jeta reale Matja e distancave në milimetrin më të afërt është më se e mjaftueshme. Por matematikanët gjithmonë përpiqen për përsosmëri. Prandaj, koncepti u shpik pafundësisht i vogël , domethënë, vlera absolute është më e vogël se çdo numër që mund të emërtojmë. Për shembull, ju thoni: një triliontë! Sa më pak? Dhe ju e ndani këtë numër me - dhe do të jetë edhe më pak. Dhe kështu me radhë. Nëse duam të shkruajmë se një sasi është e pafundme, shkruajmë kështu: (lexojmë “x tenton në zero”). Është shumë e rëndësishme të kuptohet se ky numër nuk është zero!

Koncepti i kundërt me infinitimalin është pafundësisht i madh (). Me siguri e keni hasur tashmë kur po punonit për pabarazitë: ky numër është modulo më i madh se çdo numër që mund të mendoni. Nëse arrini numrin më të madh të mundshëm, thjesht shumëzojeni atë me dy dhe do të merrni një numër edhe më të madh. Dhe pafundësia është edhe më e madhe se ajo që ndodh. Në fakt, pafundësisht i madhi dhe pafundësisht i vogël janë anasjellta e njëra-tjetrës, pra në, dhe anasjelltas: në.

Tani le të kthehemi në rrugën tonë. Pjerrësia e llogaritur në mënyrë ideale është pjerrësia e llogaritur për një segment pafundësisht të vogël të shtegut, domethënë:

Vërej se me një zhvendosje pafundësisht, ndryshimi në lartësi do të jetë gjithashtu pafundësisht i vogël. Por më lejoni t'ju kujtoj se infinite vogël nuk do të thotë e barabartë me zero. Nëse ndani numra pafundësisht të vegjël me njëri-tjetrin, mund të merrni një numër krejtësisht të zakonshëm, për shembull, . Kjo do të thotë, një vlerë e vogël mund të jetë saktësisht herë më e madhe se një tjetër.

Për çfarë është e gjithë kjo? Rruga, pjerrësia... Ne nuk do të shkojmë në një miting makinash, por po mësojmë matematikë. Dhe në matematikë gjithçka është saktësisht e njëjtë, vetëm quhet ndryshe.

Koncepti i derivatit

Derivati ​​i një funksioni është raporti i rritjes së funksionit ndaj rritjes së argumentit për një rritje infiniteminale të argumentit.

Në mënyrë incrementale në matematikë e quajnë ndryshim. Shkalla në të cilën argumenti () ndryshon ndërsa lëviz përgjatë boshtit quhet rritje argumenti dhe caktohet se sa ka ndryshuar funksioni (lartësia) kur lëvizim përpara përgjatë boshtit me një distancë rritja e funksionit dhe është caktuar.

Pra, derivati ​​i një funksioni është raporti me kur. Derivatin e shënojmë me të njëjtën shkronjë si funksioni, vetëm me një kryeministër lart djathtas: ose thjesht. Pra, le të shkruajmë formulën e derivatit duke përdorur këto shënime:

Ashtu si në analogjinë me rrugën, edhe këtu kur funksioni rritet, derivati ​​është pozitiv dhe kur zvogëlohet është negativ.

A mund të jetë derivati ​​i barabartë me zero? Sigurisht. Për shembull, nëse jemi duke vozitur në një rrugë të sheshtë horizontale, pjerrësia është zero. Dhe është e vërtetë, lartësia nuk ndryshon fare. Kështu është me derivatin: derivati ​​i një funksioni konstant (konstante) është i barabartë me zero:

pasi rritja e një funksioni të tillë është e barabartë me zero për çdo.

Le të kujtojmë shembullin në majë të kodrës. Doli se ishte e mundur të rregulloheshin skajet e segmentit në anët e kundërta të kulmit në atë mënyrë që lartësia në skajet të rezultojë e njëjtë, domethënë segmenti të jetë paralel me boshtin:

Por segmentet e mëdha janë një shenjë e matjes së pasaktë. Ne do ta ngremë segmentin tonë paralelisht me vetveten, atëherë gjatësia e tij do të ulet.

Përfundimisht, kur jemi pafundësisht afër majës, gjatësia e segmentit do të bëhet pafundësisht e vogël. Por në të njëjtën kohë, ai mbeti paralel me boshtin, domethënë, ndryshimi në lartësi në skajet e tij është i barabartë me zero (nuk ka tendencë, por është i barabartë me). Pra derivati

Kjo mund të kuptohet në këtë mënyrë: kur qëndrojmë në majë, një zhvendosje e vogël majtas ose djathtas ndryshon lartësinë tonë në mënyrë të papërfillshme.

Ekziston gjithashtu një shpjegim thjesht algjebrik: në të majtë të kulmit funksioni rritet, dhe në të djathtë zvogëlohet. Siç kuptuam më herët, kur një funksion rritet, derivati ​​është pozitiv, dhe kur zvogëlohet, është negativ. Por ndryshon pa probleme, pa kërcime (pasi rruga nuk e ndryshon ndjeshëm pjerrësinë askund). Prandaj, midis negative dhe vlerat pozitive patjetër duhet të ketë. Do të jetë aty ku funksioni as nuk rritet e as nuk zvogëlohet - në pikën e kulmit.

E njëjta gjë vlen edhe për luginën (zona ku funksioni në të majtë zvogëlohet dhe në të djathtë rritet):

Pak më shumë rreth rritjeve.

Pra, ne e ndryshojmë argumentin në madhësi. Nga çfarë vlere ndryshojmë? Çfarë është bërë (argumenti) tani? Ne mund të zgjedhim çdo pikë, dhe tani do të kërcejmë prej saj.

Konsideroni një pikë me një koordinatë. Vlera e funksionit në të është e barabartë. Pastaj bëjmë të njëjtën rritje: e rrisim koordinatën me. Cili është argumenti tani? Shumë e lehtë:. Cila është vlera e funksionit tani? Aty ku shkon argumenti, shkon edhe funksioni: . Po në lidhje me rritjen e funksionit? Asgjë e re: kjo është ende shuma me të cilën funksioni ka ndryshuar:

Praktikoni gjetjen e rritjeve:

1. Gjeni rritjen e funksionit në një pikë kur rritja e argumentit është e barabartë me.
2. E njëjta gjë vlen edhe për funksionin në një pikë.

Zgjidhjet:

Në pika të ndryshme me të njëjtin rritje argumenti, rritja e funksionit do të jetë e ndryshme. Kjo do të thotë që derivati ​​në secilën pikë është i ndryshëm (e diskutuam që në fillim - pjerrësia e rrugës është e ndryshme në pika të ndryshme). Prandaj, kur shkruajmë një derivat, duhet të tregojmë se në cilën pikë:

Funksioni i fuqisë.

Një funksion fuqie është një funksion ku argumenti është në një farë mase (logjik, apo jo?).

Për më tepër - në çdo masë: .

Rasti më i thjeshtë është kur eksponenti është:

Le të gjejmë derivatin e tij në një pikë. Le të kujtojmë përkufizimin e një derivati:

Pra, argumenti ndryshon nga në. Sa është rritja e funksionit?

Rritja është kjo. Por një funksion në çdo pikë është i barabartë me argumentin e tij. Kjo është arsyeja pse:

Derivati ​​është i barabartë me:

Derivati ​​i është i barabartë me:

b) Tani merrni parasysh funksionin kuadratik (): .

Tani le ta kujtojmë atë. Kjo do të thotë që vlera e rritjes mund të neglizhohet, pasi ajo është infinite e vogël, dhe për këtë arsye e parëndësishme në sfondin e termit tjetër:

Pra, ne dolëm me një rregull tjetër:

c) Vazhdojmë serinë logjike: .

Kjo shprehje mund të thjeshtohet në mënyra të ndryshme: hapni kllapin e parë duke përdorur formulën për shumëzimin e shkurtuar të kubit të shumës, ose faktorizoni të gjithë shprehjen duke përdorur formulën e diferencës së kubeve. Mundohuni ta bëni vetë duke përdorur ndonjë nga metodat e sugjeruara.

Pra, mora sa vijon:

Dhe përsëri le ta kujtojmë atë. Kjo do të thotë që ne mund të neglizhojmë të gjitha termat që përmbajnë:

Ne marrim: .

d) Rregulla të ngjashme mund të merren për fuqitë e mëdha:

e) Rezulton se ky rregull mund të përgjithësohet për një funksion fuqie me një eksponent arbitrar, madje as një numër të plotë:

Rregulli mund të formulohet me fjalët: "shkalla paraqitet si koeficient, dhe më pas zvogëlohet me ."

Këtë rregull do ta vërtetojmë më vonë (pothuajse në fund). Tani le të shohim disa shembuj. Gjeni derivatin e funksioneve:

1. (në dy mënyra: me formulë dhe duke përdorur përkufizimin e derivatit - duke llogaritur rritjen e funksionit);

1. . Besoni apo jo, ky është një funksion i fuqisë. Nëse keni pyetje si "Si është kjo? Ku është diploma?”, mbani mend temën “”!
   Po, po, edhe rrënja është shkallë, vetëm thyesore: .
   Pra e jona rrënjë katrore- kjo është vetëm një diplomë me një tregues:
   .
   Ne kërkojmë derivatin duke përdorur formulën e mësuar së fundmi:

   Nëse në këtë pikë bëhet përsëri e paqartë, përsërisni temën ""!!! (rreth një shkallë me një eksponent negativ)

2. . Tani eksponenti:

   Dhe tani përmes përkufizimit (e keni harruar akoma?):
   ;
   .
   Tani, si zakonisht, ne e neglizhojmë termin që përmban:
   .

3. . Kombinimi i rasteve të mëparshme: .

Funksionet trigonometrike.

Këtu do të përdorim një fakt nga matematika e lartë:

Me shprehje.

Provat do t'i mësoni në vitin e parë të institutit (dhe për të arritur atje, duhet të kaloni mirë Provimin e Shtetit të Unifikuar). Tani do ta tregoj vetëm grafikisht:

Ne shohim se kur funksioni nuk ekziston - pika në grafik është prerë. Por sa më afër vlerës, aq më afër është funksioni me këtë "qëllim".

Për më tepër, mund ta kontrolloni këtë rregull duke përdorur një kalkulator. Po, po, mos ki turp, merr një kalkulator, nuk jemi ende në Provimin e Unifikuar të Shtetit.

Pra, le të provojmë: ;

Mos harroni të kaloni kalkulatorin tuaj në modalitetin Radians!

etj. Shohim se sa më i vogël, aq më afër është vlera e raportit.

a) Merrni parasysh funksionin. Si zakonisht, le të gjejmë rritjen e tij:

Le ta kthejmë diferencën e sinuseve në produkt. Për ta bërë këtë, ne përdorim formulën (kujtoni temën ""): .

Tani derivati:

Le të bëjmë një zëvendësim: . Atëherë për infinitevogël është edhe infinite vogël: . Shprehja për merr formën:

Dhe tani e kujtojmë këtë me shprehjen. Dhe gjithashtu, çka nëse një sasi infinitimale mund të neglizhohet në shumë (që është, në).

Pra, marrim rregullin e mëposhtëm: derivati ​​i sinusit është i barabartë me kosinusin:

Këto janë derivate bazë ("tabelore"). Këtu ato janë në një listë:

Më vonë do t'u shtojmë disa të tjera, por këto janë më të rëndësishmet, pasi ato përdoren më shpesh.

Praktikoni:

1. Gjeni derivatin e funksionit në një pikë;
2. Gjeni derivatin e funksionit.

Zgjidhjet:

1. Së pari, le të gjejmë derivatin në formën e përgjithshme dhe më pas të zëvendësojmë vlerën e tij:
   ;
   .
2. Këtu kemi diçka të ngjashme me një funksion fuqie. Le të përpiqemi ta sjellim atë
   pamje normale:
   .
   E shkëlqyeshme, tani mund të përdorni formulën:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. cfare eshte kjo????

Mirë, ke të drejtë, ne nuk dimë ende si të gjejmë derivate të tillë. Këtu kemi një kombinim të disa llojeve të funksioneve. Për të punuar me ta, duhet të mësoni disa rregulla të tjera:

Logaritmi eksponent dhe natyror.

Ekziston një funksion në matematikë, derivati ​​i të cilit për çdo vlerë është i barabartë me vlerën e vetë funksionit në të njëjtën kohë. Ai quhet "eksponent" dhe është një funksion eksponencial

Baza e këtij funksioni - një konstante - është një thyesë dhjetore e pafundme, domethënë një numër irracional (si p.sh.). Quhet "numri Euler", prandaj shënohet me një shkronjë.

Pra, rregulli:

Shumë e lehtë për t'u mbajtur mend.

Epo, le të mos shkojmë larg, le ta shohim menjëherë funksioni i anasjelltë. Cili funksion është inversi i funksionit eksponencial? Logaritmi:

Në rastin tonë, baza është numri:

Një logaritëm i tillë (d.m.th., një logaritëm me bazë) quhet "natyror" dhe ne përdorim një shënim të veçantë për të: ne shkruajmë në vend të tij.

Me çfarë është e barabartë? sigurisht.

Derivati ​​i logaritmit natyror është gjithashtu shumë i thjeshtë:

Shembuj:

1. Gjeni derivatin e funksionit.
2. Cili është derivati ​​i funksionit?

Përgjigjet: Logaritmi eksponencial dhe natyror janë funksione unike të thjeshta nga një këndvështrim derivat. Funksionet eksponenciale dhe logaritmike me çdo bazë tjetër do të kenë një derivat të ndryshëm, të cilin do ta analizojmë më vonë, pasi të kalojmë rregullat e diferencimit.

Rregullat e diferencimit

Rregullat e çfarë? Sërish një mandat i ri, sërish?!...

Diferencimiështë procesi i gjetjes së derivatit.

Kjo është e gjitha. Çfarë tjetër mund ta quani këtë proces me një fjalë? Jo derivat... Diferenciali i matematikanëve është i njëjti rritje i një funksioni në. Ky term vjen nga latinishtja diferencia - dallim. Këtu.

Kur nxjerrim të gjitha këto rregulla, ne do të përdorim dy funksione, për shembull, dhe. Do të na duhen gjithashtu formula për shtimet e tyre:

Gjithsej janë 5 rregulla.

Konstanta hiqet nga shenja derivatore.

Nëse - një numër konstant (konstant), atëherë.

Natyrisht, ky rregull funksionon edhe për ndryshimin: .

Le ta vërtetojmë. Le të jetë, ose më e thjeshtë.

Shembuj.

Gjeni derivatet e funksioneve:

1. në një pikë;
2. në një pikë;
3. në një pikë;
4. në pikën.

Zgjidhjet:

1. (derivati ​​është i njëjtë në të gjitha pikat, pasi kjo funksion linear, mbani mend?);

Derivat i produktit

Gjithçka është e ngjashme këtu: le të prezantojmë një funksion të ri dhe të gjejmë rritjen e tij:

Derivat:

Shembuj:

1. Gjeni derivatet e funksioneve dhe;
2. Gjeni derivatin e funksionit në një pikë.

Zgjidhjet:

Derivat i një funksioni eksponencial

Tani njohuritë tuaja janë të mjaftueshme për të mësuar se si të gjeni derivatin e çdo funksioni eksponencial, dhe jo vetëm eksponentë (e keni harruar akoma se çfarë është?).

Pra, ku është një numër.

Ne tashmë e dimë derivatin e funksionit, kështu që le të përpiqemi ta reduktojmë funksionin tonë në një bazë të re:

Për këtë do të përdorim rregull i thjeshtë: . Pastaj:

Epo, funksionoi. Tani përpiquni të gjeni derivatin dhe mos harroni se ky funksion është kompleks.

A funksionoi?

Këtu, kontrolloni veten:

Formula doli të ishte shumë e ngjashme me derivatin e një eksponenti: siç ishte, ajo mbetet e njëjtë, u shfaq vetëm një faktor, i cili është vetëm një numër, por jo një ndryshore.

Shembuj:
Gjeni derivatet e funksioneve:

Përgjigjet:

Ky është vetëm një numër që nuk mund të llogaritet pa një kalkulator, domethënë nuk mund të shkruhet më në formë të thjeshtë. Prandaj, e lëmë në këtë formë në përgjigje.

Derivat i një funksioni logaritmik

Është e ngjashme këtu: ju tashmë e dini derivatin e logaritmit natyror:

Prandaj, për të gjetur një logaritëm arbitrar me një bazë të ndryshme, për shembull:

Duhet ta zvogëlojmë këtë logaritëm në bazë. Si të ndryshoni bazën e një logaritmi? Shpresoj ta mbani mend këtë formulë:

Vetëm tani do të shkruajmë në vend të kësaj:

Emëruesi është thjesht një konstante (një numër konstant, pa një ndryshore). Derivati ​​merret shumë thjesht:

Derivatet e funksioneve eksponenciale dhe logaritmike nuk gjenden pothuajse kurrë në Provimin e Unifikuar të Shtetit, por nuk do të jetë e tepërt t'i njihni ato.

Derivat i një funksioni kompleks.

cfare ka ndodhur" funksion kompleks"? Jo, ky nuk është një logaritëm dhe as një arktangjent. Këto funksione mund të jenë të vështira për t'u kuptuar (edhe pse nëse logaritmi ju duket i vështirë, lexoni temën "Logaritmet" dhe do të jeni mirë), por nga pikëpamja matematikore, fjala "kompleks" nuk do të thotë "e vështirë".

Imagjinoni një rrip të vogël transportues: dy persona janë ulur dhe bëjnë disa veprime me disa objekte. Për shembull, i pari mbështjell një çokollatë në një mbështjellës dhe i dyti e lidh me një fjongo. Rezultati është një objekt i përbërë: një çokollatë e mbështjellë dhe e lidhur me një fjongo. Për të ngrënë një çokollatë, duhet të bëni hapat e kundërt në rend të kundërt.

Le të krijojmë një tubacion të ngjashëm matematikor: së pari do të gjejmë kosinusin e një numri, dhe më pas do të vendosim në katror numrin që rezulton. Pra, na jepet një numër (çokollatë), unë gjej kosinusin e saj (mbështjellësin) dhe pastaj ju katrore atë që kam marrë (e lidhni me një fjongo). Çfarë ndodhi? Funksioni. Ky është një shembull i një funksioni kompleks: kur, për të gjetur vlerën e tij, ne kryejmë veprimin e parë drejtpërdrejt me variablin, dhe më pas një veprim të dytë me atë që rezultoi nga i pari.

Ne mund t'i bëjmë lehtësisht të njëjtat hapa në rend të kundërt: së pari ju e vendosni atë në katror dhe unë më pas kërkoj kosinusin e numrit që rezulton: . Është e lehtë të merret me mend se rezultati pothuajse gjithmonë do të jetë i ndryshëm. Një tipar i rëndësishëm i funksioneve komplekse: kur ndryshon rendi i veprimeve, funksioni ndryshon.

Me fjalë të tjera, një funksion kompleks është një funksion, argumenti i të cilit është një funksion tjetër: .

Për shembullin e parë,.

Shembulli i dytë: (e njëjta gjë). .

Veprimi që bëjmë i fundit do të quhet funksioni "i jashtëm"., dhe veprimi i kryer së pari - në përputhje me rrethanat funksioni "i brendshëm".(këto janë emra joformalë, i përdor vetëm për të shpjeguar materialin në gjuhë të thjeshtë).

Mundohuni të përcaktoni vetë se cili funksion është i jashtëm dhe cili i brendshëm:

Përgjigjet: Ndarja e funksioneve të brendshme dhe të jashtme është shumë e ngjashme me ndryshimin e variablave: për shembull, në një funksion

1. Çfarë veprimi do të kryejmë së pari? Së pari, le të llogarisim sinusin, dhe vetëm pastaj ta kubikeojmë atë. Kjo do të thotë se është një funksion i brendshëm, por i jashtëm.
   Dhe funksioni origjinal është përbërja e tyre: .
2. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .
3. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .
4. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .
5. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .

Ne ndryshojmë variablat dhe marrim një funksion.

Epo, tani do të nxjerrim shiritin tonë të çokollatës dhe do të kërkojmë derivatin. Procedura është gjithmonë e kundërt: fillimisht kërkojmë derivatin e funksionit të jashtëm, pastaj shumëzojmë rezultatin me derivatin e funksionit të brendshëm. Në lidhje me shembullin origjinal, duket kështu:

Një shembull tjetër:

Pra, le të formulojmë përfundimisht rregullin zyrtar:

Algoritmi për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:

Duket e thjeshtë, apo jo?

Le të kontrollojmë me shembuj:

Zgjidhjet:

1) E brendshme: ;

E jashtme: ;

2) E brendshme: ;

(Vetëm mos u përpiqni ta shkurtoni deri tani! Asgjë nuk del nga kosinusi, mbani mend?)

3) E brendshme: ;

E jashtme: ;

Është menjëherë e qartë se ky është një funksion kompleks me tre nivele: në fund të fundit, ky tashmë është një funksion kompleks në vetvete, dhe ne gjithashtu nxjerrim rrënjën prej tij, domethënë kryejmë veprimin e tretë (e vendosim çokollatën në një mbështjellës dhe me një fjongo në çantë). Por nuk ka asnjë arsye për t'u frikësuar: ne do ta "zhpaketojmë" këtë funksion në të njëjtin rend si zakonisht: nga fundi.

Domethënë, së pari dallojmë rrënjën, pastaj kosinusin dhe vetëm më pas shprehjen në kllapa. Dhe pastaj i shumëzojmë të gjitha.

Në raste të tilla, është e përshtatshme të numërohen veprimet. Kjo do të thotë, le të imagjinojmë atë që dimë. Me çfarë rendi do të kryejmë veprimet për të llogaritur vlerën e kësaj shprehjeje? Le të shohim një shembull:

Sa më vonë të kryhet veprimi, aq më "i jashtëm" do të jetë funksioni përkatës. Sekuenca e veprimeve është e njëjtë si më parë:

Këtu foleja është përgjithësisht me 4 nivele. Le të përcaktojmë rrjedhën e veprimit.

1. Shprehje radikale. .

2. Rrënja. .

3. Sinus. .

4. Sheshi. .

5. Duke i bashkuar të gjitha:

DERIVATIV. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Derivat i një funksioni- raporti i rritjes së funksionit ndaj rritjes së argumentit për një rritje infiniteminale të argumentit:

Derivatet bazë:

Rregullat e diferencimit:

Konstanta hiqet nga shenja derivatore:

Derivati ​​i shumës:

Derivati ​​i produktit:

Derivati ​​i herësit:

Derivati ​​i një funksioni kompleks:

Algoritmi për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:

1. Përcaktojmë funksionin "të brendshëm" dhe gjejmë derivatin e tij.
2. Përcaktojmë funksionin "të jashtëm" dhe gjejmë derivatin e tij.
3. Ne shumëzojmë rezultatet e pikës së parë dhe të dytë.

Në këtë mësim do të mësojmë të zbatojmë formulat dhe rregullat e diferencimit.

Shembuj. Gjeni derivatet e funksioneve.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Zbatimi i rregullit I, formulat 4, 2 dhe 1. Ne marrim:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. Ne zgjidhim në mënyrë të ngjashme, duke përdorur të njëjtat formula dhe formulë 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Zbatimi i rregullit I, formulat 3, 5 Dhe 6 Dhe 1.

Zbatimi i rregullit IV, formulat 5 Dhe 1 .

Në shembullin e pestë, sipas rregullit I derivati ​​i shumës është i barabartë me shumën e derivateve, dhe ne sapo gjetëm derivatin e termit të parë (shembull 4 ), pra, do të gjejmë derivate 2 Dhe 3 termat, dhe për 1 mbledhim dhe mund të shkruajmë menjëherë rezultatin.

Le të dallojmë 2 Dhe 3 termat sipas formulës 4 . Për ta bërë këtë, ne i transformojmë rrënjët e fuqisë së tretë dhe të katërt në emërues në fuqi me eksponentë negativ, dhe më pas, sipas 4 formula, gjejmë derivatet e fuqive.

Shikoni ky shembull dhe rezultatin e marrë. E keni kapur modelin? Mirë. Kjo do të thotë se ne kemi një formulë të re dhe mund ta shtojmë atë në tabelën tonë të derivateve.

Le të zgjidhim shembullin e gjashtë dhe të nxjerrim një formulë tjetër.

Le të përdorim rregullin IV dhe formula 4 . Le të zvogëlojmë fraksionet që rezultojnë.

Le të shohim këtë funksion dhe derivatin e tij. Ju, sigurisht, e kuptoni modelin dhe jeni gati të emërtoni formulën:

Mësoni formula të reja!

Shembuj.

1. Gjeni shtimin e argumentit dhe shtimin e funksionit y= x 2, Nëse vlera fillestare argumenti ishte i barabartë 4 , dhe e re - 4,01 .

Zgjidhje.

Vlera e re e argumentit x=x 0 +Δx. Le të zëvendësojmë të dhënat: 4.01=4+Δх, pra rritja e argumentit Δх=4,01-4=0,01. Rritja e një funksioni, sipas përkufizimit, është e barabartë me diferencën midis vlerave të reja dhe të mëparshme të funksionit, d.m.th. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Meqenëse kemi një funksion y=x2, Kjo Dy=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Përgjigje: rritje argumenti Δх=0,01; rritja e funksionit Dy=0,0801.

Rritja e funksionit mund të gjendet ndryshe: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.

2. Gjeni këndin e prirjes së tangjentes me grafikun e funksionit y=f(x) në pikën x 0, Nëse f "(x 0) = 1.

Zgjidhje.

Vlera e derivatit në pikën e tangjences x 0 dhe është vlera e tangjentes së këndit tangjente ( kuptimi gjeometrik derivat). Ne kemi: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, sepse tg45°=1.

Përgjigje: tangjentja me grafikun e këtij funksioni formon një kënd me drejtim pozitiv të boshtit Ox të barabartë me 45°.

3. Nxjerr formulën për derivatin e funksionit y=x n.

Diferencimiështë veprimi i gjetjes së derivatit të një funksioni.

Kur gjeni derivatet, përdorni formulat që janë nxjerrë bazuar në përkufizimin e një derivati, në të njëjtën mënyrë siç kemi nxjerrë formulën për shkallën e derivatit: (x n)" = nx n-1.

Këto janë formulat.

Tabela e derivateve Do të jetë më e lehtë të mësosh përmendësh duke shqiptuar formulime verbale:

1. Derivati ​​i një sasie konstante është zero.

2. X i thjeshtë është i barabartë me një.

3. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e derivatit.

4. Derivati ​​i një shkalle është i barabartë me prodhimin e eksponentit të kësaj shkalle me një shkallë me të njëjtën bazë, por eksponenti është një më pak.

5. Derivati ​​i rrënjës është i barabartë me një të ndarë me dy rrënjë të barabarta.

6. Derivati ​​i një pjesëtuar me x është i barabartë me minus një pjesëtuar me x në katror.

7. Derivati ​​i sinusit është i barabartë me kosinusin.

8. Derivati ​​i kosinusit është i barabartë me minus sinus.

9. Derivati ​​i tangjentes është i barabartë me një pjesëtuar me katrorin e kosinusit.

10. Derivati ​​i kotangjentës është i barabartë me minus një pjesëtuar me katrorin e sinusit.

Ne mësojmë rregullat e diferencimit.

1. Derivati ​​i një shume algjebrike është i barabartë me shumën algjebrike të derivateve të termave.

2. Derivati ​​i një produkti është i barabartë me produktin e derivatit të faktorit të parë dhe të dytit plus produktin e faktorit të parë dhe derivatin e të dytit.

3. Derivati ​​i "y" i pjesëtuar me "ve" është i barabartë me një thyesë në të cilën numëruesi është "y i thjeshtë shumëzuar me "ve" minus "y i shumëzuar me ve të thjeshtë", dhe emëruesi është "ve në katror".

4. Rast special formulat 3.

Le të mësojmë së bashku!

Faqja 1 nga 1 1