Problemet që përfshijnë ndërtimin e pjesëve të një kubi duke përdorur një plan janë, si rregull, më të thjeshta sesa, për shembull, problemet që përfshijnë seksione të një piramide.

Mund të vizatojmë një vijë të drejtë përmes dy pikave nëse ato shtrihen në të njëjtin rrafsh. Kur ndërtoni seksione të një kubi, një opsion tjetër është i mundur për të ndërtuar një gjurmë të një avioni prerës. Meqenëse rrafshi i tretë kryqëzon dy plane paralele përgjatë vijave paralele, atëherë nëse një vijë e drejtë tashmë është ndërtuar në njërën nga fytyrat, dhe në tjetrën ka një pikë nëpër të cilën kalon seksioni, atëherë mund të vizatojmë një vijë paralele me këtë tregoni këtë pikë.

Le të shohim shembuj specifik se si të ndërtojmë seksione të një kubi duke përdorur një aeroplan.

1) Ndërtoni një seksion të kubit me një plan që kalon nëpër pikat A, C dhe M.

Problemet e këtij lloji janë më të thjeshtat nga të gjitha problemet për ndërtimin e seksioneve të një kubi. Meqenëse pikat A dhe C shtrihen në të njëjtin rrafsh (ABC), ne mund të vizatojmë një vijë të drejtë përmes tyre. Gjurma e tij është segmenti AC. Është e padukshme, kështu që ne përshkruajmë AC me një goditje. Në mënyrë të ngjashme, ne lidhim pikat M dhe C, të cilat shtrihen në të njëjtin rrafsh (CDD1), dhe pikat A dhe M, të cilat shtrihen në të njëjtin plan (ADD1). Trekëndëshi ACM është seksioni i kërkuar.

2) Ndërtoni një seksion të kubit me një plan që kalon nëpër pikat M, N, P.

Këtu vetëm pikat M dhe N shtrihen në të njëjtin plan (ADD1), kështu që ne tërheqim një vijë të drejtë përmes tyre dhe marrim një gjurmë MN (të padukshme). Meqenëse faqet e kundërta të kubit shtrihen në plane paralele, rrafshi i prerjes kryqëzon planet paralele (ADD1) dhe (BCC1) përgjatë vijave paralele. Ne kemi ndërtuar tashmë një nga linjat paralele - kjo është MN.

Nëpër pikën P vizatojmë një drejtëz paralele me MN. Ai kryqëzon skajin BB1 në pikën S. PS është gjurma e rrafshit të prerjes në fytyrë (BCC1).

Ne tërheqim një vijë të drejtë përmes pikave M dhe S të shtrira në të njëjtin rrafsh (ABB1). Kemi marrë një gjurmë të MS (të dukshme).

Planet (ABB1) dhe (CDD1) janë paralele. Tashmë ekziston një drejtëz MS në rrafsh (ABB1), kështu që përmes pikës N në rrafsh (CDD1) vizatojmë një vijë të drejtë paralele me MS. Kjo drejtëzë pret buzën D1C1 në pikën L. Gjurma e saj është NL (e padukshme). Pikat P dhe L shtrihen në të njëjtin rrafsh (A1B1C1), kështu që ne vizatojmë një vijë të drejtë përmes tyre.

Pentagoni MNLPS është seksioni i kërkuar.

3) Ndërtoni një seksion të kubit me një plan që kalon nëpër pikat M, N, P.

Pikat M dhe N shtrihen në të njëjtin rrafsh (ВСС1), kështu që një vijë e drejtë mund të vizatohet përmes tyre. Marrim gjurmën MN (të dukshme). Rrafshi (BCC1) është paralel me rrafshin (ADD1), prandaj, përmes pikës P që shtrihet në (ADD1), vizatojmë një vijë paralele me MN. Ai pret buzën AD në pikën E. Kemi marrë një gjurmë PE (të padukshme).

Nuk ka më pika të shtrira në të njëjtin rrafsh, ose një vijë të drejtë dhe pika në plane paralele. Prandaj, duhet të vazhdojmë një nga linjat ekzistuese për të marrë një pikë shtesë.

Nëse vazhdojmë drejtëzën MN, atëherë, meqenëse ajo shtrihet në rrafshin (BCC1), duhet të kërkojmë pikën e kryqëzimit të MN me një nga drejtëzat e këtij rrafshi. Tashmë ka pika kryqëzimi me CC1 dhe B1C1 - këto janë M dhe N. Ajo që mbetet janë linjat e drejta BC dhe BB1. Le të vazhdojmë BC dhe MN derisa të kryqëzohen në pikën K. Pika K shtrihet në vijën BC, që do të thotë se i përket rrafshit (ABC), kështu që mund të vizatojmë një vijë të drejtë përmes saj dhe pikën E, e cila shtrihet në këtë rrafsh. Ai kryqëzon buzë CD në pikën H. EH është gjurma e saj (e padukshme). Meqenëse H dhe N shtrihen në të njëjtin rrafsh (CDD1), një vijë e drejtë mund të vizatohet përmes tyre. Ne marrim një gjurmë HN (të padukshme).

Planet (ABC) dhe (A1B1C1) janë paralele. Në njërën prej tyre ka një drejtëz EH, në tjetrën është një pikë M. Mund të vizatojmë një drejtëz paralele me EH përmes M. Marrim gjurmën MF (të dukshme). Vizatoni një vijë të drejtë përmes pikave M dhe F.

Gjashtëkëndëshi MNHEPF është seksioni i kërkuar.

Nëse do të vazhdonim drejtëzën MN derisa të kryqëzohet me një rrafsh tjetër të drejtë (BCC1), BB1, do të merrnim pikën G që i përket rrafshit (ABB1). Kjo do të thotë se përmes G dhe P mund të vizatojmë një vijë të drejtë, gjurma e së cilës është PF. Më pas, vizatojmë vija të drejta nëpër pika të shtrira në plane paralele dhe arrijmë në të njëjtin rezultat.

Puna me PE të drejtë jep të njëjtin seksion MNHEPF.

4) Ndërtoni një seksion të kubit me një plan që kalon nëpër pikën M, N, P.

Këtu mund të vizatojmë një vijë të drejtë përmes pikave M dhe N që shtrihen në të njëjtin rrafsh (A1B1C1). Gjurma e saj është MN (e dukshme). Nuk ka më pika të shtrira në të njëjtin rrafsh ose në plane paralele.

Vazhdojmë vijën e drejtë MN. Ai shtrihet në rrafsh (A1B1C1), kështu që mund të kryqëzohet vetëm me një nga linjat e këtij rrafshi. Tashmë ka pika kryqëzimi me A1D1 dhe C1D1 - N dhe M. Dy vija të tjera të drejta të këtij plani - A1B1 dhe B1C1. Pika e kryqëzimit të A1B1 dhe MN është S. Meqenëse shtrihet në drejtëzën A1B1, ajo i përket rrafshit (ABB1), që do të thotë se përmes tij mund të tërhiqet një vijë e drejtë dhe pika P, e cila shtrihet në të njëjtin rrafsh. Vija PS pret buzën AA1 në pikën E. PE është gjurma e saj (e dukshme). Nëpër pikat N dhe E, të shtrira në të njëjtin rrafsh (ADD1), mund të vizatoni një vijë të drejtë, gjurma e së cilës është NE (e padukshme). Në rrafshin (ADD1) është drejtëza NE, në rrafshin paralel me të (BCC1) është pika P. Nëpër pikën P mund të vizatojmë drejtëzën PL paralele me NE. Ai pret buzën CC1 në pikën L. PL është gjurma e kësaj vije (e dukshme). Pikat M dhe L shtrihen në të njëjtin rrafsh (CDD1), që do të thotë se një vijë e drejtë mund të vizatohet përmes tyre. Gjurma e saj është ML (e padukshme). Pentagoni MLPEN është seksioni i kërkuar.

U bë e mundur të vazhdohej drejtëza NM në të dy drejtimet dhe të kërkoheshin pikat e saj të kryqëzimit jo vetëm me vijën e drejtë A1B1, por edhe me vijën e drejtë B1C1, e cila gjithashtu shtrihet në rrafsh (A1B1C1). Në këtë rast, përmes pikës P ne tërheqim dy vija të drejta njëherësh: njëra në rrafsh (ABB1) përmes pikave P dhe S, dhe e dyta në plan (BCC1), përmes pikave P dhe R. Pas së cilës mbetet për t'u lidhur pikat që shtrihen në të njëjtin rrafsh: M c L, E - me N.

Ekzistojnë 2 metoda kryesore për ndërtimin e seksioneve të poliedrës:

Metoda aksiomatike për ndërtimin e seksioneve

1. Metoda e gjurmës

Shembulli 1.

Në skajet AA" dhe B"C" të prizmit ABCA"B"C përcaktojmë përkatësisht pikat P dhe Q Ne ndërtojmë një seksion të prizmit me një rrafsh (PQR), pikën R të së cilës e përcaktojmë një nga fytyrat e mëposhtme:
a) VSSV"S";
b) A"B"C";
c) ABC

Zgjidhje.

A) 1) Meqenëse pikat Q dhe R shtrihen në rrafsh (ВСС), atëherë vija e drejtë QR qëndron në këtë rrafsh. Le ta vizatojmë atë. Kjo është gjurma e rrafshit (PQR) në rrafsh (ВСС"). (Fig. 1)

2) Gjeni pikat B" dhe C" në të cilat drejtëza QR kryqëzon drejtëzat BB" dhe SS, përkatësisht. Pikat B" dhe C" janë gjurmë të rrafshit (PQR) në drejtëzat BB" dhe SS, përkatësisht.

3) Meqenëse pikat B"" dhe P shtrihen në rrafsh (ABV"), atëherë drejtëza B""P shtrihet në këtë rrafsh. Le ta vizatojmë atë. Segmenti B**P është gjurma e rrafshit (PQR) në fytyrë ABC"A".

4) Meqenëse pikat P dhe C shtrihen në rrafsh (ACC"), atëherë drejtëza PC"" qëndron në këtë rrafsh. Le ta vizatojmë atë. Kjo është gjurma e rrafshit (PQR) në rrafsh (ACC").

5) Gjeni pikën V në të cilën drejtëza PC"" pret skajin A"C". Kjo është gjurma e planit (PQR) në skajin A"C".

6) Karroca meqenëse pikat Q dhe V shtrihen në rrafsh (A"B"C"), atëherë në këtë rrafsh shtrihet drejtëza QV. Le të vizatojmë drejtëzën QV. Segmenti QV është gjurma e rrafshit (PQR ) në fytyrë ABC Pra, marrim poligonin QB "" PV - seksioni i kërkuar.

b) 1) Meqenëse pikat Q dhe R shtrihen në rrafsh (A"B"C"), atëherë drejtëza QR shtrihet në këtë rrafsh. Le ta vizatojmë atë. Kjo është gjurma e rrafshit (PQR) në rrafshin (A" B"C" (Fig. 2)

2) Gjeni pikat D" dhe E" në të cilat drejtëza QR kryqëzon drejtëzat A"B" dhe B"C", përkatësisht. Meqenëse pika D" shtrihet në skajin A"B", segmenti QD" është një gjurmë e rrafshit (PQR) në skajin A"B"C".

3) Meqenëse pikat D" dhe P shtrihen në rrafsh (ABB"), atëherë drejtëza D"P shtrihet në këtë rrafsh. Le ta vizatojmë atë. Kjo është gjurma e rrafshit (PQR) në rrafsh (ABB") , dhe segmenti D"P është rrafshi i gjurmës (PQR) në faqen АВВ "А".

4) Meqenëse pikat P dhe E "shtrihen në rrafsh" (ACC), atëherë vija e drejtë PE shtrihet në këtë rrafsh.

5) Gjeni pikën C""=PE""CC". Meqë pika C"" shtrihet në skajin CC", atëherë segmenti PC"" është gjurma e rrafshit (PQR) në faqen ACC"A".

6) Meqenëse pikat Q dhe C "" shtrihen në rrafsh (ВСС"), atëherë vija e drejtë QC "" shtrihet në këtë plan. Le ta vizatojmë atë. Kjo është gjurma e rrafshit (PQR) në aeroplan (ВСС" ), dhe segmenti QC "" është gjurmë e rrafshët (PQR) në fytyrë ВСС "В". Pra, ne kemi marrë poligonin QD "PC" - ky është seksioni i dëshiruar.

V) 1) Nga tre pikat e dhëna P, Q dhe R, nuk ndodhen dy në asnjë nga rrafshet e faqeve të prizmit, kështu që gjejmë gjurmën kryesore të planit (PQR) (d.m.th., vijën e kryqëzimit të planit ( PQR) me rrafshin (ABC), të zgjedhur si kryesor). Për ta bërë këtë, së pari gjejmë projeksionet e pikave P, Q dhe R në rrafshin (ABC) në drejtimin paralel me skajin anësor të prizmit. Meqenëse pika P shtrihet në skajin AA, atëherë pika P përkon me pikën A. Meqenëse pika Q shtrihet në rrafshin (BCC), atëherë në këtë rrafsh përmes pikës Q vizatojmë një drejtëz paralele me drejtëzën BB" dhe gjejmë pikën Q ", në të cilën drejtëza e vizatuar e pret drejtëzën BC Meqenëse pika R, sipas gjendjes, shtrihet në rrafshin e zgjedhur si kryesor, atëherë pika R" përkon me pikën R. (Fig. 3).

2) Aeroplani përcaktohet nga drejtëza paralele PP" dhe QQ". Të vizatojmë drejtëza PQ dhe P"Q" në këtë rrafsh dhe të gjejmë pikën S=PQ që pret P"Q". Meqenëse pika S" shtrihet në drejtëzën PQ, atëherë ajo shtrihet në rrafsh (PQR), dhe meqenëse pika S" shtrihet në drejtëzën P"Q, atëherë ajo shtrihet në rrafsh (ABC). Kështu, pika S" është një pikë e përbashkët e rrafsheve (PQR) dhe (ABC). Kjo do të thotë se rrafshet (PQR) dhe (ABC) kryqëzohen përgjatë një vije të drejtë që kalon nga pika S".

3) Meqenëse pika R përkon me pikën R", atëherë pika R është një tjetër pikë e përbashkët e rrafsheve (PQR) dhe (ABC). Pra, drejtëza S"R është gjurma kryesore e rrafshit (PQR). Le ta vizatojmë këtë vijë. Siç shohim nga figura, drejtëza S"R pret skajet AB dhe BC të bazës së prizmit, përkatësisht, në pikat S" "dhe S""".

4) Meqenëse pikat S""" dhe Q shtrihen në rrafsh (ВСС"), atëherë drejtëza S""" Q shtrihet në këtë rrafsh. Le ta vizatojmë atë. Kjo është gjurma e rrafshit (PQR) në aeroplan (ВСС"). Dhe segmenti S""" Q, është gjurma e aeroplanit (PQR) në fytyrë ВСС"В".

5) Në mënyrë të ngjashme, gjejmë segmentin S"" P - gjurmën e rrafshit (PQR) në faqen ABC"A".

7) Gjeni pikën F=PC"" pret A"C" dhe më pas merrni segmentin PF - gjurmën e rrafshit (PQR) në faqen ACC"A".

8) Pikat Q dhe F shtrihen në rrafshin A"B"C, prandaj drejtëza QF shtrihet në rrafsh (A"B"C"). Të vizatojmë drejtëzën QF dhe të marrim segmentin QF - gjurmën e rrafshit (PQR) në faqen A "B" C. Pra, kemi marrë poligonin QS"""S""PF - seksioni i dëshiruar.

3 shënim. Le të tregojmë një mënyrë tjetër për të gjetur pikën C"", në të cilën nuk gjejmë pikën e prerjes së drejtëzës S""" Q me drejtëzën C"C". Ne do të arsyetojmë si më poshtë. Nëse gjurma e rrafshit (PQR) në drejtëzën CC" është një pikë e caktuar V, atëherë projeksioni i tij në rrafsh (ABC) përkon me pikën C. Atëherë pika S""""= V"P" kryqëzohet VP shtrihet në gjurmën kryesore S"R të aeroplanit (PQR). Ne e ndërtojmë këtë pikë S"""" si pikëprerjen e drejtëzave V"P" (kjo është drejtëza SA) dhe S"R. Dhe më pas vizatojmë drejtëzën S"""P". në pikën V.

Shembulli 2.

Në skajin MB të piramidës МАВСD përcaktojmë pikën P, në faqen e saj MCD përcaktojmë pikën Q. Le të ndërtojmë një seksion të piramidës me një rrafsh (PQR), pikën R të së cilës përcaktojmë:
a) në buzë të MS;
b) në prag të MAD;
c) në rrafsh (MAS), jashtë piramidës.

Zgjidhje.

a) Gjurma e planit (PQR) në faqen MBC është segmenti PR, dhe gjurma e tij në fytyrë MCD është segmenti RD", ku pika D" është pika e kryqëzimit të drejtëzës RQ me skajin MD. Është e qartë se rrafshi (PQR) ka gjurmë në faqet MAD dhe MAB (pasi rrafshi (PQR) ka pika të përbashkëta me këto fytyra). Le të gjejmë gjurmën e rrafshit (PQR) në vijën e drejtë MA. Le ta bëjmë kështu:

1) Ndërtoni pikat P, Q" dhe R" - projeksionet e pikave P, Q dhe R nga qendra M në rrafsh (ABC), duke marrë kështu si planin kryesor. (Fig. 4)

3) Nëse rrafshi (PQR) pret drejtëzën MA në një pikë V, atëherë pika V" përkon me pikën A dhe pika S""" = VQ pret V"Q" shtrihet në drejtëzën S" S" ". Me fjalë të tjera, në pikën S""" kryqëzohen tre drejtëza: VQ, V"Q"" dhe S" S"". Dy linjat e fundit të drejta nga këto tre janë tashmë në vizatim. Prandaj pikën S""" do ta ndërtojmë si pikëprerje të drejtëzave V"Q" dhe SS"".

4) Le të vizatojmë një vijë QS""" (ajo përkon me vijën VQ, pasi vija VQ duhet të kalojë nëpër pikën S""", d.m.th. pikat V, Q dhe S""" shtrihen në të njëjtën vijë).

5) Gjeni pikën V në të cilën drejtëza QS"" "pret drejtëzën MA. Pika V është gjurma e rrafshit (PQR) në buzë të MA. Më tej, është e qartë se segmentet PV dhe VD" janë gjurmët e rrafshit (PQR) përkatësisht në faqet e MAB dhe MAD. Kështu, poligoni PRD"V është seksioni i kërkuar.

b) 1) Marrim rrafshin (ABC) si plan kryesor dhe ndërtojmë pikat P, Q" dhe R" - projeksionet e pikave P, Q dhe R, përkatësisht, në rrafsh (ABC). Qendra e këtij projeksioni të brendshëm është pika M. (Fig. 5.)

2) Ne ndërtojmë një vijë të drejtë S"S"" - gjurma kryesore e aeroplanit (PQR).

3) Nëse rrafshi (PQR) pret vijën e drejtë MA në pikën V, atëherë pika V" - projeksioni i pikës V në rrafsh (ABC) nga qendra M - përkon me pikën A, dhe vijat e drejta S" S "", V "R" dhe drejtëza VR, pikën V të së cilës ende nuk e kemi ndërtuar, priten në pikën S""". Këtë pikë e gjejmë S"""=V"R" pret S"S. "" ."", dhe gjeni pikën V=RS""" MA ndërpritet. Ndërtimi i mëtejshëm është i qartë. Seksioni i kërkuar është shumëkëndëshi PVD"T.

V)

(Fig. 6.) Le të jetë pika R e vendosur në rrafsh (MAC) siç tregohet në Fig. 6.

1) Marrim rrafshin (ABC) si plan kryesor dhe ndërtojmë pikat P, Q" dhe R" - projeksionet e pikave P, Q dhe R, përkatësisht, në rrafsh (ABC). (Qendra e projektimit është pika M .)

2) Ndërtojmë një vijë të drejtë S"S"", - gjurma kryesore e aeroplanit (PQR).

3) Gjeni pikën V - gjurmë plani (PQR) në vijën e drejtë MA. Pika V" - projeksioni i pikës V në rrafsh (ABC) nga qendra M - përkon në këtë rast me pikën A.

4) Gjeni pikën S"""= P"V" pret S"S"", dhe më pas pika V =PS""" pret MA.

5) Ne marrim një gjurmë të planit PV (PQR) në aeroplan (MAB).

6) Gjeni pikën T - gjurmën e rrafshit (PQR) në drejtëzën MO. Është e qartë se pika T" në këtë rast përkon me pikën D. Për të ndërtuar pikën T, ndërtojmë pikën S""""=Q"T" të prerë nga S"S"", dhe më pas pika T = QS""" "Kryqëzohet nga MT" .

7) Grupi i gjurmëve PV, VT, TC" dhe C"P, d.m.th. poligoni PVTC" është seksioni i dëshiruar.

Metoda e kombinuar për ndërtimin e seksioneve

Thelbi i metodës së kombinuar për ndërtimin e seksioneve të poliedrave është aplikimi i teoremave për paralelizmin e vijave dhe planeve në hapësirë ​​në kombinim me metodën aksiomatike.

Shembulli nr. 1.

Në skajet AB dhe AD të piramidës MABCD, përcaktojmë pikat P dhe Q, përkatësisht, pikat e mesit të këtyre skajeve, dhe në skajin MC përcaktojmë një pikë R. Le të ndërtojmë një seksion të piramidës me një rrafsh që kalon. pikat P, Q dhe R.

Zgjidhje

(Figura 14):

1). Është e qartë se gjurma kryesore e planit PQR është vija e drejtë PQ.

2). Le të gjejmë pikën K në të cilën rrafshi MAC pret drejtëzën PQ. Pikat K dhe R i përkasin si rrafshit PQR ashtu edhe rrafshit MAC. Prandaj, duke vizatuar drejtëzën KR, marrim vijën e kryqëzimit të këtyre planeve.

3). Le të gjejmë pikën N=AC BD, të vizatojmë një drejtëz MN dhe të gjejmë pikën F=KR MN.

4). Pika F është pika e përbashkët e rrafsheve PQR dhe MDB, d.m.th., këto plane kryqëzohen përgjatë një vije të drejtë që kalon nga pika F. Në të njëjtën kohë, meqenëse PQ është mesi i trekëndëshit ABD, atëherë PQ është paralel me BD, pra drejtëza PQ është paralele me rrafshin MDB. Pastaj rrafshi PQR që kalon nëpër vijën e drejtë PQ kryqëzon rrafshin MDB përgjatë një vije të drejtë paralele me vijën e drejtë PQ, domethënë BD paralele dhe e drejtë. Prandaj, në rrafshin MDB përmes pikës F ne tërheqim një drejtëz paralele me drejtëzën BD.

5). Ndërtime të mëtejshme janë të qarta nga figura. Si rezultat, marrim poligonin PQD"RB" - seksioni i dëshiruar.

1. Ndërtimi i një seksioni që kalon nëpër një drejtëz të caktuar paralel me një drejtëz tjetër të caktuar.

Le të, për shembull, duhet të ndërtoni një seksion të një shumëkëndëshi me një rrafsh @ që kalon nëpër një drejtëz të caktuar p paralel me një vijë të dytë të caktuar q. Në përgjithësi, zgjidhja e këtij problemi kërkon disa ndërtime paraprake, të cilat mund të kryhen sipas planit të mëposhtëm:

1). Përmes vijës së dytë q dhe një pike W të vijës së parë p vizatojmë një plan betta (Fig.

2). Në rrafshin betta, përmes pikës W vizatojmë një drejtëz q" paralele me q.

3). Vijat prerëse p dhe q." Përcaktohet rrafshi @. Në këtë pikë, ndërtimet paraprake përfundojnë dhe mund të vazhdoni me ndërtimin e seksionit të drejtpërdrejtë të poliedrit nga rrafshi @. Në disa raste, veçoritë e një të veçantë problemi ju lejon të zbatoni një plan më të shkurtër zgjidhjeje.

Shembulli nr. 2.

Në skajet BC dhe MA të piramidës MABC, përcaktojmë përkatësisht pikat P dhe Q Ne ndërtojmë një seksion të piramidës me një rrafsh @ që kalon në vijën e drejtë PQ paralel me drejtëzën AR, një pikë R, të cilën e kemi. definoni si më poshtë: a). Në buzë MB; b). Përkon me pikën B; V). Në prag të MAB.

Zgjidhja:

A)

.(figura) Aeroplani që kalon në vijën e dytë, pra, vijën AR, dhe pika Q e marrë në rreshtin e parë, janë tashmë në figurë.

2). Në rrafshin MAB, përmes pikës Q vizatojmë një drejtëz QF paralel me AR.

3). Linjat kryqëzuese PQ dhe QF përcaktojnë rrafshin @ (ky plan PQF) - rrafshin e seksionit të dëshiruar. Le ta ndërtojmë këtë seksion duke përdorur metodën e gjurmës.

4). Pika B përkon me pikën F" - projeksioni i pikës F në rrafshin ABC (nga qendra M), dhe pika A përkon me pikën Q" - projeksioni i pikës Q në këtë plan. Atëherë pika S"=FQ F"Q" shtrihet në gjurmën kryesore të rrafshit prerës @. Meqenëse pika P shtrihet në gjurmën kryesore të rrafshit prerës, drejtëza S"P është gjurma kryesore e rrafshit @, dhe segmenti S""P është gjurma e rrafshit @ në prag të ABC. Është më tej e qartë se pika P duhet të lidhet me pikën F. Si rezultat, ne marrim katërkëndëshin PFQS" - seksioni i dëshiruar.

b)

(Figura: Një rrafsh që kalon përmes vijës AB dhe pikës P të vijës PQ është ndërtuar tashmë në imazh. Ky është rrafshi ABC. Le të vazhdojmë ndërtimin sipas planit të mësipërm.

2). Në rrafshin ABC, përmes pikës P vizatojmë një drejtëz PD paralele me drejtëzën AB.

3). Linjat kryqëzuese PQ dhe PD përcaktojnë rrafshin alfa (ky është rrafshi PQD) - rrafshi i seksionit të dëshiruar. Le të ndërtojmë këtë seksion.

4). Është e qartë se gjurma e planit alfa në faqen MAC është segmenti DQ.

5). Ne do të kryejmë ndërtime të mëtejshme duke marrë parasysh konsideratat e mëposhtme. Meqenëse drejtëza PD është paralele me drejtëzën AB, atëherë drejtëza PD është paralele me rrafshin MAB. Pastaj rrafshi alfa që kalon nëpër vijën e drejtë PD pret rrafshin MAB përgjatë një vije të drejtë paralele me drejtëzën PD, domethënë me të drejtën AB. Pra, në rrafshin MAB përmes pikës Q vizatojmë një drejtëz QE paralele me AB. Segmenti QE është gjurma e planit alfa në faqen MAB.

6). Le të lidhim pikën P me pikën E. Segmenti PE është gjurma e rrafshit alfa në faqen e MBC. Kështu, PEQD katërkëndëshi është seksioni i kërkuar. përkon me pikën A, dhe pika L" përkon me R"=MR BC. Atëherë pika S"=LQ L"Q" shtrihet në gjurmën kryesore të rrafshit të prerjes alfa. Kjo gjurmë kryesore është drejtëza S"P, dhe gjurma e rrafshit alfa në faqen ABC është segmenti S"" P. Më tej, vija e drejtë PL është gjurma e rrafshit alfa në rrafshin MVS, dhe segmenti PN është gjurma e planit alfa në faqen e MVS. Pra, katërkëndëshi PS""QN është seksioni i kërkuar.

Shembulli 3.

Në diagonalet AC dhe C"E" të bazave të prizmit ABCDEA"B"C"D"E vendosim përkatësisht pikat P dhe Q. Le të ndërtojmë një seksion të prizmit nga rrafshi alfa që kalon nëpër rreshti PQ paralel me njërën nga vijat e mëposhtme: a) .AS; V). BC" Zgjidhja:

A)

(Figura Plani që kalon nëpër drejtëzën AB - vija e dytë e dhënë dhe pika P, e marrë në vijën e parë, tashmë është ndërtuar. Ky është rrafshi ABC.

2). Në rrafshin ABC, përmes pikës P vizatojmë një drejtëz paralele me drejtëzën AB dhe gjejmë pikat K dhe L në të cilat kjo drejtëzë pret respektivisht drejtëzat BC dhe AE. B"C" janë gjithashtu paralele me njëra-tjetrën. Duke marrë parasysh se KL është paralele me AB dhe A"B" është paralele me AB, le të vizatojmë një drejtëz paralele me drejtëzën A"B" në rrafshin A"B"C" përmes pikës Q dhe të gjejmë pikat F dhe T në të cilat kjo drejtëz i pret, përkatësisht drejtëza C"D" dhe A"E Më pas fitojmë segmentin TL - gjurma e rrafshit alfa në faqen AEE"A", pika S"=KL CD, drejtëza". S"F - gjurma e planit alfa në rrafshin CDD", segmenti FC"" - gjurma e planit alfa në fytyrë CDD"C" dhe, së fundi, segmenti C""K - gjurma e rrafshi alfa në fytyrën BCC"B". Si rezultat, marrim poligonin KLTFC"" - seksioni i dëshiruar.

b)

(Figura Le të vizatojmë një rrafsh përmes drejtëzës AC" - vija e dytë e dhënë, dhe pika P e marrë në vijën e parë. Ky është rrafshi ACC".

2). Në rrafshin ACC, përmes pikës P vizatojmë një drejtëz paralele me drejtëzën AC" dhe gjejmë pikën C" në të cilën kjo drejtëzë pret drejtëzën CC".

3). Linjat kryqëzuese PQ dhe PC"" përcaktojnë rrafshin alfa (aeroplani C""PQ) - rrafshi i seksionit të dëshiruar. Le të ndërtojmë këtë seksion, për shembull, duke përdorur metodën e gjurmës. Një pikë që i përket gjurmës së planit alfa në rrafshin ABC, të cilën e marrim si kryesore, është tashmë në vizatim. Kjo është pika P. Le të gjejmë një pikë tjetër në këtë gjurmë.

4). Projeksioni i pikës C"" në planin ABC është pika C, dhe projeksioni i pikës Q është pika Q" - pika e kryqëzimit të drejtëzës CE me një drejtëz që kalon në rrafshin CEE" përmes pikës Q paralel me drejtëzën EE ." Pika S"=C""Q CQ" është pika e dytë e gjurmës kryesore të rrafshit alfa. Pra, gjurma kryesore e rrafshit alfa është drejtëza S"P. Ai i pret brinjët BC dhe AE të bazës së prizmit, përkatësisht në pikat S"" dhe S""". Pastaj segmenti S""S""" është gjurma e rrafshit të prerjes alfa në faqen ABCDE. Dhe segmenti S""C"" është gjurma e rrafshit alfa në faqen BCC"B". Është e lehtë të shihet se drejtëzat C"" Q dhe EE" shtrihen në të njëjtin rrafsh. Le të gjejmë pikën E"" = C""Q EE". Pastaj është e qartë për të marrë gjurmë të mëtejshme të rrafshit alfa: S"""S"", S""""T, TF dhe FC"". Si rezultat, marrim poligonin S""S"""TFC"" - seksioni i dëshiruar.

V)

(Figura: Përmes drejtëzës së dytë të dhënë - drejtëza BC" - dhe, për shembull, përmes pikës P që shtrihet në drejtëzën e parë të dhënë, vizatojmë një rrafsh. Këtë do ta bëjmë duke përdorur metodën e gjurmës. Është e lehtë të përcaktohet se gjurma kryesore e këtij rrafshi BC "P është drejtëza BP. Pastaj gjejmë pikën S"=BP CD dhe gjurmën S"C" të rrafshit BC"P dhe rrafshin CDD".

2).Në rrafshin BC"P, përmes pikës P vizatojmë një drejtëz paralele me drejtëzën BC". Le të shënojmë pikën e kryqëzimit të vijës së tërhequr me drejtëzën S "C" si V.

3). Linjat kryqëzuese PQ dhe PV përcaktojnë rrafshin alfa (aeroplani PQV) - ​​rrafshi i seksionit të dëshiruar. Le të ndërtojmë këtë seksion.

4). Ne gjejmë pikat Q" dhe V" - projeksionet e pikave Q dhe V, përkatësisht, në rrafshin ABC, të cilin e marrim si plan kryesor. Më pas gjejmë pikën S""=QV Q"V". Kjo është një nga pikat kryesore të gjurmës së rrafshit alfa. Dhe tashmë ka një pikë tjetër në këtë gjurmë. Kjo është një pikë e dhënë P. Pra, drejtëza S""P është gjurma kryesore e rrafshit alfa, dhe segmenti që rezulton S""""S"""" është gjurma e rrafshit alfa në faqen ABCDE. kursi i mëtejshëm i ndërtimit është i qartë: S"""" "=S""P CD, S""""""V, pika C""=S"""""V CC" dhe F=S"""" "V C"D", pastaj FQ dhe pika T= FQ A"E" dhe në fund TS"""". Si rezultat, marrim poligonin S"""C""FTS"""" - seksioni i dëshiruar.

Shënim: Le të përshkruajmë shkurtimisht procesin e zgjidhjes së shembullit 3,c, në të cilin pika Q është marrë në vijën e parë të dhënë, dhe jo pika P (Figura 22).

1). Ne ndërtojmë rrafshin BC"Q (ky është rrafshi BC"E").

2). Plani BC"Q kryqëzon rrafshin ABC përgjatë vijës së drejtë BN paralel me C"E" (për ndërtim, mund të përdorni faktin që BN është paralel me CE).

3). Në rrafshin BC"Q, përmes pikës Q vizatojmë një drejtëz QM paralel me BC" (M=QM BN).

4). Ne ndërtojmë një seksion të prizmit nga rrafshi i përcaktuar nga linjat kryqëzuese PQ dhe QM. Kjo mund të bëhet në porosia e radhës: MP, S"=MP AE dhe S""=MP BC, S""""=MP CE, C""=S""""Q CC", S""""C"", F=S" ""C"" C"D", FQ, T=FQ A"E", TS. Poligoni S""C""FTS" është seksioni i kërkuar.

2. Ndërtimi i një seksioni që kalon në një pikë të caktuar paralel me dy drejtëza të dhëna ndërprerëse.

Le të kërkohet të ndërtohet një seksion i një shumëkëndëshi me një rrafsh që kalon nëpër një pikë të dhënë K paralel me dy drejtëza të dhëna kryqëzuese l dhe m. Në sfond:#FFCCCC; kufiri: fillimi #CC33FF 1.5pt">

1. Zgjidhni një pikë W. (Kjo pikë mund të shtrihet në një nga vijat e dhëna kryqëzuese, ose mund të përkojë me pikën K.)

2. Vizatoni vija të drejta l" dhe m" përmes pikës W. (Natyrisht, nëse pika W shtrihet në një nga rreshtat, për shembull në rreshtin l, atëherë rreshti l" përkon me vijën l.)

3. Vijat prerëse l" dhe m" përcaktojnë rrafshin betta - rrafshin e seksionit ndihmës të poliedrit. Ne ndërtojmë një seksion të shumëkëndëshit nga rrafshi betta.

4. Ndërtoni pjesë të shumëfaqëshit me rrafshin alfa që kalon nga pika K, paralel me rrafshin beta.

Le të shohim shembuj të aplikimit të planit të përshkruar.

Shembulli 4.

Në skajet AD dhe C"D" të prizmit ABCDA"B"C"D", përcaktojmë përkatësisht pikat P dhe Q, dhe në skajin DD" përcaktojmë pikën K. Le të ndërtojmë një seksion të prizmit me rrafshi alfa që kalon nëpër pikën K paralel me drejtëzën PQ dhe një nga vijat e drejta vijuese: a) AB b) A"B; c) BR, pika R e së cilës është vendosur në buzën A"D".

Zgjidhje. a)

(Fig. 2 Le të përputhet pika W me pikën P.

2) Në rrafshin ABC përmes pikës P vizatojmë një drejtëz paralele me drejtëzën AB. Le të gjejmë pikën E në të cilën drejtëza e vizatuar e pret drejtëzën BC.

3) Linjat kryqëzuese PQ dhe PE përcaktojnë rrafshin betta - rrafshin e seksionit ndihmës. Le të ndërtojmë një seksion të prizmit duke përdorur planin beta. PE direkte dhe pikat C"" dhe D"" janë gjurmë të rrafshit betta, përkatësisht, në vijat e drejta CC" dhe DD". Më pas ndërtojmë një drejtëz D""P dhe marrim pikën F në skajin A"D". Kështu, seksioni kryq i prizmit nga rrafshi beta është poligoni PEC""QF.

4) Tani ndërtojmë një seksion të prizmit me rrafshin alfa që kalon nëpër pikën K paralel me rrafshin beta. Si rezultat, marrim trekëndëshin KLN - seksionin e dëshiruar.

b)

(Fig. Le të përputhet pika W me pikën Q. Për të tërhequr një vijë të drejtë përmes pikës Q paralel me drejtëzën A"B, fillimisht vizatoni një plan gama përmes drejtëzës A"B dhe pikën Q. Le ta bëjmë kështu. Gjeni pika Q" - projeksioni i pikës Q në rrafshin ABC dhe vizatoni drejtëzën AQ" Është e qartë se AQ" është paralele me A"Q". drejtëzat prerëse A"B dhe l" përcaktojnë rrafshin gama Në rrafshin gama përmes pikës Q vizatoni një drejtëz l"" paralele me A"B.

3) Linjat kryqëzuese PQ dhe l"" përcaktojnë rrafshin betta - rrafshin e seksionit ndihmës të prizmit. Le të ndërtojmë këtë seksion. Për këtë gjejmë pikën S"=l" pret l"", dhe më pas drejtëzën PS" - gjurma kryesore e rrafshit betta. Më pas gjejmë pikën s""=PS" pret CD dhe vizatojmë të drejtën. rreshti S""Q - gjurma e rrafshit betta në rrafshin CDD ". Marrim pikën D" - gjurmën e planit betta në vijën e drejtë DD". Pika D"" dhe pika P shtrihen në rrafshin ADD". Prandaj, drejtëza PD"" është gjurma e rrafshit betta në rrafshin ADD", dhe segmenti PF është gjurma e rrafshit betta në faqen ADD" A". Kështu, seksioni i prizmit nga rrafshi betta është katërkëndëshi PS""QF. (Ju lutemi vini re: QF është paralel me PS." Dhe kjo, natyrisht, është kështu. Në fund të fundit, bazat e prizmit qëndrojnë në plane paralele. Kjo rrethanë mund të përdoret kur ndërtohet një seksion i prizmit me rrafshin betta.)

4) Tani ndërtojmë një seksion të prizmit me rrafshin alfa që kalon nëpër pikën K paralel me rrafshin beta. Ky ndërtim nuk është i vështirë për t'u përfunduar. Si rezultat, marrim trekëndëshin KLN - seksionin e dëshiruar.

V)

(Fig. Zgjedhim pikën Q si pikë W.

2) Përmes drejtëzës BR dhe pikës Q vizatojmë rrafshin gama. Plani gama kryqëzon rrafshin ABC përgjatë një linje të drejtë l" paralele me QR. Për të ndërtuar një vijë të drejtë l" ndërtojmë pikat R" dhe Q" - projeksionet e pikave R dhe Q në rrafshin ABC, përkatësisht - dhe vizatojmë një të drejtë drejtëza Q "R", dhe më pas në rrafshin ABC nëpër pikën B, vizatoni një vijë të drejtë l" paralele me Q"R. Në rrafshin gama, përmes pikës Q, vizatoni një vijë të drejtë l"" paralele me BR. Marrim pikën S"=l" pret l"".

3) Drejtimet e kryqëzuara PQ dhe l"" përcaktojnë rrafshin betta - rrafshin e seksionit ndihmës të prizmit. Le të ndërtojmë këtë seksion. Është e qartë se drejtëza PS" është gjurma kryesore e rrafshit betta. Më pas gjejmë pikat S""= PS" pret CD, S"""= RS" pret BC dhe C"" = QS"" pret CC". Ne marrim segmentet RS"" ", S"""C"" dhe C""Q janë gjurmë të rrafshit betta, përkatësisht, në fytyrat ABCD, ВСС"В dhe CDD"С". Më pas, ose vizatojmë një vijë të drejtë në rrafshin A"B"C" paralel me gjurmën PS" dhe marrim pikën F, ose gjejmë pikën D""=S""Q pret DD" dhe vizatojmë një drejtëz D"" P. Kjo drejtëz do të presë drejtëzën A "D" në pikën F. Kështu, marrim dy gjurmë të tjera të rrafshit betta: QF n FP Pra, shumëkëndëshi PS"""C""QF është një seksion i prizmit me aeroplanin betta.

4) Tani le të ndërtojmë një seksion të prizmit me rrafshin alfa që kalon nëpër pikën K paralel me rrafshin beta. Si rezultat, marrim trekëndëshin KLN - seksionin e dëshiruar.

Shembulli 5.

Në skajet MB dhe MA të piramidës МАВСD do të përcaktojmë përkatësisht pikat P dhe K, dhe në segmentin AC do të përcaktojmë pikën Q. Do të ndërtojmë një seksion të piramidës me rrafshin alfa që kalon në pikën K paralel me drejtëza PQ dhe një nga drejtëzat e mëposhtme: a) CD; b) MS; c) RV, pikat R dhe V të së cilës do të vendosen përkatësisht në skajet AB dhe MC të piramidës.

Zgjidhje.

a)

(Fig. 2 Në rrafshin ABC, përmes pikës Q, vizatoni një vijë paralele me vijën e drejtë CD dhe gjeni pikat S". S"" dhe S""", në të cilat kjo drejtëzë pret respektivisht drejtëzat BC, AD dhe AB .

2) Drejtëzat ndërprerëse PQ dhe S"S"" përcaktojnë rrafshin betta - rrafshin e seksionit ndihmës të piramidës. Të ndërtojmë këtë seksion. Gjurma kryesore e rrafshit betta është drejtëza S"S"". Segmenti PS" është gjurma e planit betta në fytyrën MBC, vija e drejtë PS""" është gjurma e saj në planin MAB, segmenti PA" është në fytyrë MAB, segmenti A"S"" është në fytyra MAD.

b)

(Fig. 27.) Le të ndërtojmë seksionin e dhënë në rendin e mëposhtëm:

1) Në rrafshin MAC përmes
pika Q vizatoni një drejtëz QA paralele me MC

2) Le të ndërtojmë një seksion ndihmës të piramidës me një plan të përcaktuar nga. Për këtë do të gjejmë pikën S"=PA" që pret AB, vizatojmë një drejtëz S"Q, e cila është gjurma kryesore e rrafshit PQA", marrim pikat S""=S"Q pret AD dhe S. ""=S"Q pret BC dhe lidh pikën A" me pikën S"", dhe pikën P me pikën S""". Katërkëndëshi PA"S""S""" është një seksion ndihmës i piramidës. Rrafshi i këtij seksioni është paralel me drejtëzat PQ dhe MC, por nuk kalon nga pika K. .

3) Tani le të ndërtojmë një seksion të piramidës me një plan që kalon përmes pikës K paralel me rrafshin PQA." Si rezultat, marrim katërkëndëshin B"KFE - seksioni i dëshiruar.

a)

(Fig. 28.) Le të ndërtojmë një seksion të caktuar të piramidës duke ndërtuar fillimisht një seksion ndihmës të saj me një rrafsh që kalon përmes drejtëzës PQ paralel me drejtëzën RV. Le ta bëjmë këtë në rendin e mëposhtëm:

1) Ndërtoni një pikë S"=PV pret BC dhe vizatoni një drejtëz S"R.

2) Vijat prerëse S"V dhe S"R përcaktojnë rrafshin. Në këtë rrafsh, përmes pikës P vizatojmë një drejtëz PS"" paralele me RV.

3) Vijat prerëse PQ dhe PS"" përcaktojnë rrafshin e seksionit ndihmës të piramidës. Le të ndërtojmë këtë seksion. Gjejmë në mënyrë sekuenciale drejtëzën S""Q - gjurmën kryesore të rrafshit të seksionit ndihmës, pastaj pikat T"=S""Q pret BC, T""=S""Q pret AB dhe T""= S""Q pret CD, Le të kryejmë pastaj drejtëzën T"P dhe gjejmë pikën E = T"P pret "MC. Le të lidhim pikën P me pikën T" dhe pikën E me T""". Katërkëndëshi PT""T""E është një seksion ndihmës i piramidës Rrafshi i këtij seksioni është paralel me drejtëzat PQ dhe RV, por nuk kalon nga pika K. Tani ndërtojmë një seksion të piramidës me një. rrafshi që kalon në pikën K paralelisht me rrafshin e seksionit ndihmës Si rezultat, fitojmë katërkëndëshin KV "C"D" është seksioni i kërkuar.

Gjetja e sipërfaqes së prerjes tërthore në poliedra.

Detyra nr. 1.

Detyra nr. 2

Detyra nr. 3.

Detyra nr 4.

Detyra nr 5.

Detyra nr. 6.

Problemi nr. 7

Detyra nr 8.

Përdorimi i vetive të trekëndëshave të ngjashëm.

Prandaj, më poshtë janë paraqitur disa probleme të thjeshta në të cilat trekëndësha të tillë luajnë rolin kryesor - veçanërisht pasi ato gjithashtu duhet të ndërtohen (dhe të shihen!!!) duke përdorur një teknikë standarde stereometrike: kryqëzoni një plan me një plan tjetër dhe ndërtoni vijën e tyre të kryqëzimit përgjatë dy pikat e përbashkëta për aeroplanët.

Detyra nr. 1.

Detyra nr. 2

Detyra nr. 3

Detyra nr. 4

Problemi numër 5

Për të gjetur distancën midis vijave të kryqëzuara, mund të përdorni katër metoda kryesore:

1) Gjetja e gjatësisë së pingules së përbashkët të dy drejtëzave të kryqëzuara, domethënë një segment me skaje në këto drejtëza dhe pingul me të dyja.

2) Gjetja e distancës nga njëra prej drejtëzave kryqëzuese në një rrafsh paralel me të, që kalon nëpër vijën tjetër.

3) Gjetja e distancës ndërmjet dy rrafsheve paralele që kalojnë nëpër drejtëza të dhëna prerëse.

4) Gjetja e distancës nga një pikë - e cila është projeksioni i njërës prej drejtëzave prerëse në një rrafsh pingul me të - në projeksionin e një drejtëze tjetër në të njëjtin rrafsh.

Problemi nr. 18

Problemi nr. 19

Paraqisni 4 opsione për zgjidhjen e këtij problemi dhe zgjidhni atë më racionalen. Arsyetoni zgjedhjen tuaj.

Problemi nr. 20

Problemi nr. 21

Problemi nr. 22

Gjetja e distancës dhe këndit ndërmjet vijave të kryqëzuara në një shumëfaqësh.

Detyra nr. 1.

Detyra nr. 2.

Detyra nr. 3.

që kalon nëpër skajin anësor dhe mesoren e bazës që kryqëzohet me të, dhe një rrafsh që kalon nëpër të njëjtën mesatare dhe në mes të çdo skaji tjetër anësor.

Seksionet.

Detyra nr. 1.

Detyra nr. 2.

Detyra nr. 3.

Dy skajet e kundërta të një tetraedri janë pingul, dhe gjatësia e tyre është e barabartë me a dhe b, distanca midis tyre është c. Një kub është i gdhendur në një katërkëndor, katër skajet e të cilit janë pingul me këto dy skaje të katërkëndëshit, dhe në secilën faqe të katërkëndëshit ka saktësisht dy kulme të kubit. Gjeni skajin e kubit.

Detyra nr 4.

Detyra nr 5.

Detyra nr. 6.

Detyra nr 7.

Detyra nr 8.

Detyra nr. 9.

Raporti i vëllimeve të pjesëve të një poliedri.

Detyra nr. 1.

Detyra nr. 2.

Detyra nr. 3.

Detyra nr 4.

Projeksionet dhe seksionet e poliedrave të rregullt.

Detyra nr. 1.

Tregoni se projeksionet e dodekaedrit dhe ikozaedrit në rrafshet paralele me faqet e tyre janë shumëkëndësha të rregullt.

Detyra nr. 2.

Tregoni se projeksioni i një dodekaedri mbi një rrafsh pingul me vijën që kalon nga qendra e tij dhe nga mesi i skajit është një gjashtëkëndësh (dhe jo një dhjetëkëndësh).

Detyra nr. 3.

a) tregojnë se projeksioni i ikozaedrit në rrafsh. pingul me drejtëzën që kalon nga qendra dhe kulmi i saj është një dhjetëkëndësh i rregullt. b). Vërtetoni se projeksioni i një dodekaedri mbi një rrafsh pingul me vijën që kalon nga qendra dhe kulmi i tij është një 12-këndësh i parregullt.

Detyra nr 4.

A ka një pjesë të një kubi që është një hetagon i rregullt?

Detyra nr 5.

A ka një seksion të tetëkëndëshit që është një gjashtëkëndësh i rregullt?

Detyra nr. 6.

A ka një seksion të dodekaedrit që është një gjashtëkëndësh i rregullt?

Detyra nr 7.

Të gjitha faqet ABC dhe ABD të ikozaedrit kanë një skaj të përbashkët AB. Një rrafsh paralel me rrafshin ABC vizatohet përmes kulmit D. A është e vërtetë se pjesa e ikozaedrit pranë këtij rrafshi është një gjashtëkëndësh i rregullt?

Përgjigjet e problemeve sipas temës:

4. Këndi ndërmjet planeve.

5. Seksionet

6. Raporti i vëllimeve të pjesëve të një poliedri.

7. Projeksionet dhe seksionet e poliedrave të rregullt.

1. Gjetja e sipërfaqes së prerjes tërthore në poliedra.

Zgjidhja e problemit

№1 №2 №3 №4 №5 №6 №7 №8

Detyra nr. 1.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image040_59.gif" width="597" height="292 src=">

Detyra nr. 2.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image042_56.gif" width="577" height="277 src=">

Detyra nr. 3.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image044_53.gif" width="630" height="275 src=">

Detyra nr 4.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image046_49.gif" width="641" height="332 src=">

Detyra nr 5.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image048_46.gif" width="642" height="245 src=">

Detyra nr. 6.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image050_46.gif" width="680" height="340 src=">

Detyra nr 7.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image052_47.gif" width="659" height="340 src=">left" style="margin-left: 6.75pt;margin-right:6.75 pt">

2. Përdorimi i vetive të trekëndëshave të ngjashëm.

Zgjidhja e problemit

№1 №2 №3 №4 №5

Detyra nr. 1.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image055_46.gif" width="605" height="254">

Rasti i 2-të

Detyra nr. 2.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image058_41.gif" width="683" height="260 src=">

Detyra nr. 3.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image061_42.gif" width="536" height="203">

https://pandia.ru/text/78/375/images/image063_41.gif" width="341" height="107 src=">MsoNormalTable">

Pika C i përket rrafshit CB"A"D (pasi CD" është pingul me C"D si diagonale e një katrori dhe meqenëse B"C" është pingul me rrafshin CC"D"D, nga i cili rezulton se B "C" është pingul me CE, marrim CE është pingul me B"C" dhe CE është pingul me C"D). Pastaj vizatojmë EF pingul me B"D dhe më pas marrim B"D është pingul me CF (nga teorema e tre pingulave: CF në lidhje me rrafshin AB"C"D është i pjerrët, CE - pingul dhe EF - projeksioni i CF-së së pjerrët, atëherë ajo është pingul me vetë CF-në e pjerrët të dy rrafshet, këndi ph (këndi CFE) është ai i dëshiruari.

Ky justifikim pasohet nga një pjesë e thjeshtë llogaritëse.

"B"EF dhe D"C"EF), si rezultat i të cilave pingulet A""M dhe D""M, të tërhequra në të dyja figurat në vijën e tyre të kryqëzimit, do të përfundojnë në një pikë M, dhe - brenda , dhe jo jashtë, prizmin , pasi këndet B"A""D dhe C"D""A janë të mpirë (B"D dhe më i madh se BD=AC=A""C"" dhe C"A më i madh se AC= BD=B""D"" Më pas, pasi të keni gjetur diagonalet dhe anët e rombit, mund të gjeni segmentet A""M dhe D""M duke përdorur, për shembull, dy formula për sipërfaqen e një rombi. .

Shënim: Sigurisht, në këtë dhe probleme të ngjashme, nuk nevojiten dimensione të poliedronit (për shembull, "a"), prandaj, kur zgjidhni vlerat numerike të parametrit "k" për opsione të ndryshme problemi, përmbajtja e gjendjes së tij në vendin e duhur duhet formuluar, p.sh., kështu: “... në një prizëm, lartësia e të cilit është shumë herë më e madhe se ana e bazës...”, etj. .

3. Gjetja e distancës dhe këndit ndërmjet drejtëzave të kryqëzuara në një shumëfaqësh.

Zgjidhja e problemit

№1 №2 №3 №4 №5

Detyra nr. 1.

MsoNormalTable">

№1 Zgjidhja e problemit në mënyrën e parë supozon:
- një justifikim i vështirë për faktin se pingulja e dëshiruar (h skr.) me skajet në dy vija të dhëna kryqëzuese ndodhet brenda kubit (dhe jo jashtë tij);
- përcaktimi i përafërt i vendndodhjes së kësaj pingule;
- hamendja që për të gjetur gjatësinë e segmentit h skr. Shtë e nevojshme, duke përdorur teoremën e tre pinguleve, ta projektoni atë në faqet ngjitur të kubit, të cilit i përkasin vijat e drejta të kryqëzimit (diagonalet) dhe vetëm atëherë t'i qaseni një zgjidhjeje të thjeshtë:

Ndërtimi i një rrafshi tjetër prerës që kalon nëpër diagonalen B"D dhe që kryqëzon të dytën nga vijat e drejta kryqëzuese A"C"; është e përshtatshme të zgjidhni seksionin diagonal BB"D"D me këtë plan, kjo shenjë e pingulitetit të dy plane, rrafshi BB"D"D është pingul me rrafshin ACD", pasi rrafshi BB"D"D kalon nëpër një drejtëz (B"D) pingul me një rrafsh tjetër (ACD"). Më pas, ndërtohet një vijë kryqëzimi e të dy rrafsheve përgjatë 2 pikave të tyre të përbashkëta (D"O) dhe fiksohet nga kryqëzimi i kësaj drejtëze me diagonalen B"D (pika N);
-dhe së fundi, sipas teoremës se nëse një rrafsh është pingul me njërën nga drejtëzat paralele, atëherë ai është edhe pingul me tjetrin, nga pika O" i përket A"C" vizatojmë një segment O në rrafshin e seksionit BB. "D"D derisa të kryqëzohet me D"O "M është paralel me B"D; në këtë rast O"M do të jetë pingul me rrafshin ACD" dhe prandaj O"M = h skr.;
- më pas në pjesën llogaritëse të zgjidhjes, duke pasur parasysh seksionin BB"D'D dhe në të trekëndëshin kënddrejtë OO'D", gjejmë: Siç e shohim, të dyja metodat e para janë pak të dobishme për problemet që paraqesin të paktën disa kompleksitet

Dhe së fundi, në pjesën llogaritëse të zgjidhjes, mund të përdorni teknikën nga metoda e mëparshme e zgjidhjes ose të drejtoheni në ngjashmërinë e trekëndëshave:

Detyra nr. 3.

Në këtë problem, për të zgjedhur një metodë zgjidhjeje, faktori përcaktues është pinguliteti i drejtëzës AC me rrafshin diagonal ВB'D'D (pasi AC është pingul me ВD dhe AC është pingul me BB'), ndaj të cilit një tjetër drejt Linja B'F i përket, d.m.th., rrafshi i prerjes BB' D'D është i përshtatshëm për ta zgjedhur atë si plan projeksioni. Dhe pastaj vjen pjesa e thjeshtë llogaritëse:
1). Bazuar në ngjashmërinë ndërmjet trekëndëshit DFT dhe trekëndëshit D'FB', gjejmë DT = kd;
2). Nga ngjashmëria e trekëndëshit NOT dhe trekëndëshit BB'T gjejmë ON:

Detyra nr 4.

Ky problem është paraqitur këtu për të demonstruar zbatimin e metodës së dytë (ndërtimi i një pingule nga vija e parë në një plan paralel që përmban vijën e dytë) në situatat më të thjeshta të vendndodhjes së vijave të kryqëzimit në një shumëkëndor kaq kompleks si një prizëm i rregullt gjashtëkëndor. .

https://pandia.ru/text/78/375/images/image077_33.gif" width="186" height="87 src=">

Detyra nr 5.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image079_29.gif" width="347" height="326 src=">

5. Seksionet.

Zgjidhja e problemit

№1 №2 №3 №4 №5 №6

Detyra nr. 1.

Në çdo rast, pikat A, B dhe C shtrihen në të njëjtin rrafsh, dhe për këtë arsye ne mund të konsiderojmë një seksion nga rrafshi që përmban këto pika. Meqenëse rrafshi i seksionit kalon nëpër pikën e kontaktit të sferave (sferat e rrafshit), dhe seksionet janë tangjente me rrethin (rrethi dhe vija e drejtë). Le të jenë O' dhe 0'' qendrat e rrethit të parë dhe të dytë. Që nga O'A || 0''B dhe pikat O', C dhe 0'' shtrihen në të njëjtën drejtëz, këndi AO'C = këndi BO''C. Prandaj, këndi ACO' = këndi BCO'', pra pikat A, B dhe C shtrihen në të njëjtën drejtëz.

Detyra nr. 2.

Seksioni boshtor i këtij koni të cunguar është një trapez i rrethuar ABCD me baza AD = 2R dhe BC = 2r. Le të jetë P pika e kontaktit të rrethit të brendashkruar me anën AB, O qendra e rrethit të brendashkruar. Në trekëndëshin ABO, shuma e këndeve në kulmet A dhe B është 90°, pra është drejtkëndëshe. Prandaj, AR: RO - RO: BP, d.m.th. RO'2 = AR*BP. Është gjithashtu e qartë se AP = R dhe BP = r. Prandaj, rrezja RO e sferës së gdhendur në kon është e barabartë me rrënjë katrore nga prodhimi i R dhe r, që do të thotë S = 4n(R2 + Rr+ r2). Duke shprehur vëllimin e një koni të caktuar të cunguar duke përdorur formula, gjejmë se sipërfaqja e tij sipërfaqe të plotëështë e barabartë me 2n(R2 + Rr+ r2) = S/2 (duhet pasur parasysh se lartësia e një koni të cunguar është e barabartë me dyfishin e rrezes së sferës rreth së cilës përshkruhet).

Detyra nr. 3.

Perpendikularja e përbashkët me këto skaje ndahet nga rrafshet e faqeve të kubit paralel me to në segmente me gjatësi y, x dhe z (x është gjatësia e skajit të kubit; një segment me gjatësi y është ngjitur me skajin a) . Rrafshët e faqeve të kubit, paralel me këto skaje, kryqëzojnë katërkëndëshin përgjatë dy drejtkëndëshave. Brinjët më të vogla të këtyre drejtkëndëshave janë të barabarta me skajin e kubit x. Meqenëse brinjët e këtyre drejtkëndëshave janë të lehta për t'u llogaritur, marrim x = bу/с dhe x = az/с. Rrjedhimisht, c = x + y + g = x + cx/b + ex/a, pra x = abc/(ab + bc + ca).

Detyra nr 4.

Secila anë e shumëkëndëshit që rezulton i përket njërës prej faqeve të kubit, kështu që numri i anëve të tij nuk i kalon 6. Përveç kësaj, anët që u përkasin fytyrave të kundërta të kubit janë paralele, pasi vijat e kryqëzimit të një rrafshi me dy plane paralele janë paralele. Rrjedhimisht, seksioni kryq i një kubi nuk mund të jetë një pesëkëndësh i rregullt, pasi ai nuk ka anët paralele. Është e lehtë të kontrollohet që një trekëndësh i rregullt, një katror dhe një gjashtëkëndësh i rregullt mund të jenë pjesë të një kubi.

Detyra nr 5.

Le të shqyrtojmë një rreth, i cili është një seksion i një trupi të caktuar, dhe të vizatojmë një vijë të drejtë l përmes qendrës së tij, pingul me rrafshin e tij. Kjo vijë e pret trupin e dhënë përgjatë një segmenti të caktuar AB. Të gjitha seksionet që kalojnë nëpër vijën l janë rrathë me diametër AB.

Detyra nr. 6.

Le të shqyrtojmë një seksion arbitrar që kalon nga kulmi A. Ky seksion është një trekëndësh ABC, dhe anët e tij AB dhe AC janë gjeneratorë të një koni, d.m.th. kanë një gjatësi konstante. Prandaj, sipërfaqja e prerjes tërthore është proporcionale me sinusin e këndit BAC. Këndi BAC ndryshon nga 0° në f,

MsoNormalTable">

Detyra nr. 2.

Konsideroni një kub, kulmet e të cilit ndodhen në kulmet e një dodekaedri. Në problemin tonë ne po flasim për një projeksion në një plan paralel me faqen e këtij kubi. Tani është e lehtë të verifikohet se projeksioni i dodekaedrit është me të vërtetë një gjashtëkëndësh (Fig. 70).

Detyra nr. 3.

a) Projeksioni i ikozaedronit në shqyrtim shndërrohet në vetvete kur rrotullohet me 36° (në këtë rast, projeksionet e faqeve të sipërme shndërrohen në projeksione të faqeve të poshtme). Rrjedhimisht, është një 10-gonal i rregullt (Fig. 71, a).

b) Projeksioni i dodekaedronit në shqyrtim është 12-këndësh, duke u shndërruar në vetvete kur rrotullohet me 60° (Fig. 71. b). Gjysma e anëve të saj janë projeksione të skajeve paralele me rrafshin e projektimit, dhe gjysma tjetër e anëve të saj janë projeksione të skajeve jo paralele me rrafshin e projektimit. Prandaj, ky 12-gon është i parregullt.

MsoNormalTable">

Detyra nr 4.

ekziston. Pikat e mesme të paraqitura në Fig. 72 skajet e kubit janë kulmet e një gjashtëkëndëshi të rregullt. Kjo rrjedh nga fakti se brinjët e këtij gjashtëkëndëshi janë paralele me brinjët e trekëndëshit të rregullt PQR, dhe gjatësitë e tyre janë gjysma e gjatësisë së brinjëve të këtij trekëndëshi.

Detyra nr 7.

Jo, kjo nuk është e vërtetë. Le të shqyrtojmë projeksionin e ikozaedronit në rrafshin ABC. Është një gjashtëkëndësh i rregullt (shih Fig. 69). Prandaj, seksioni në shqyrtim do të ishte një gjashtëkëndësh i rregullt vetëm nëse të 6 kulmet e lidhura nga skajet me pikat A, B dhe C (dhe të ndryshme nga A, B dhe C) shtrihen në të njëjtin plan. Por, siç mund ta shihni lehtësisht, kjo nuk është e vërtetë (përndryshe do të rezultonte se të gjitha kulmet e ikozaedrit janë të vendosura në tre plane paralele).

DETYRAT

2. Përdorimi i vetive të trekëndëshave të ngjashëm.

Zgjidhja e problemit

№1 №2 №3 №4 №5

Detyra nr. 1.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image055_46.gif" width="605" height="254">

Rasti i 2-të

Detyra nr. 2.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image058_41.gif" width="683" height="260 src=">

Detyra nr. 3.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image060_43.gif" width="570" height="264 src=">

Detyra nr 4.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image063_41.gif" width="341" height="107 src=">djathtas">

MINISTRIA E ARSIMIT, SHKENCËSDHE RINIA E REPUBLIKËS SË KRIMES

AKADEMIA E VOGLA E SHKENCAVE "KËRKUES"

Departamenti: matematikë

Seksioni: matematikë

METODAT PËR NDËRTIMIN E SEKSIONIVE TË POLIEDRONËVE

Puna e përfunduar:

_______________

nxënës i klasës

Drejtues shkencor:

Tezat

Metodat për ndërtimin e seksioneve të poliedrave

Departamenti: matematikë

Seksioni: matematikë

Drejtues shkencor:

Qëllimi i studimit është studimi i metodave të ndryshme për ndërtimin e seksioneve të poliedrave. Për këtë dheështë studiuar materiali teorik për këtë temë, sistematizohen metodat për zgjidhjen e problemeve në ndërtimin e seksioneve, jepen shembuj të problemeve për përdorimin e secilës metodë, shembuj të problemeve të një të vetme provimin e shtetit për ndërtimin e seksioneve dhe llogaritjen e elementeve të tyre.

HYRJE………………………………………………………………………………….3

SEKSIONI 1. NDËRTIMI I SEKSIONIVE TË POLIEDRONËVE NË BAZUAR NË SISTEMIN E AXIOMËS TË SEREOMETRISË………………………………………………………4

SEKSIONI 2. METODA E GJURMEVE NË NDËRTIMIN E SEKSIONET TË POLIEDRONËVE………………………………………………………………………………………………

SEKSIONI 3. METODA E PROJEKTIMIT TË BRENDSHËM

NË NDËRTIMIN E SEKSIONVE TË POLIHEDEVE…………………………………………

SEKSIONI 4. METODA E KOMBINUAR PËR NDËRTIMIN E SEKSIONET

POLYhedra……………………………………………………………………………………………………

SEKSIONI 5. METODA KOORDINATARE PËR NDËRTIMIN E SEKSIONEVE TË POLIHEDEVE………………………………………………………………………………………….19

KONKLUZION…………………………………………………………………………………………………………

REFERENCAT………………………………………………………26

HYRJE

Maturantët do të duhet të japin një provim në matematikë, dhe njohuritë dhe aftësitë për zgjidhjen e problemeve stereometrike janë të nevojshme në mënyrë, për të shkruar këtë provim nëpikë maksimale. Rëndësia

Kjo punë konsiston në nevojën për t'u përgatitur në mënyrë të pavarur për provimin, dhe tema në shqyrtim është një nga më të rëndësishmet. A, analiza e demonstrimit diagnostike dhe opsionet e trajnimit Provimi i Unifikuar i Shtetit me 2009-2014 tregoi se 70% Detyrat gjeometrike përbëhen nga detyra për ndërtimin e seksioneve dhe llogaritjen e elementeve të tyre

– kënde, zona. 2 Në kurrikul caktohen detyra për ndërtimin e seksioneve të poliedrave, orë akademike. gjë që nuk mjafton për të studiuar këtë temë

Në shkollë, seksionet e rrafshët të poliedrave ndërtohen vetëm në bazë të aksiomave dhe teoremave të stereometrisë. Në të njëjtën kohë, ekzistojnë metoda të tjera për ndërtimin e seksioneve të sheshta të poliedrave. Më efektive janë metoda e gjurmës, metoda e projektimit të brendshëm dhe metoda e kombinuar. Metoda e koordinatave është shumë interesante dhe premtuese për sa i përket aplikimit për zgjidhjen e problemeve të ndryshme. Nëse poliedri vendoset në një sistem koordinativ, dhe rrafshi i prerjes specifikohet me një ekuacion, atëherë ndërtimi i seksionit do të reduktohet në gjetjen e koordinatave të pikave të kryqëzimit të planit me skajet e poliedrit. Objekti i studimit:

metodat për ndërtimin e seksioneve të poliedrave. Qëllimi i studimit: studim metoda të ndryshme

ndërtimi i seksioneve të poliedrave.

1) Objektivat e kërkimit:.

Studioni materialin teorik për këtë temë

2) Sistematizoni metodat për zgjidhjen e problemeve në ndërtimin e seksioneve.

3) Jepni shembuj të detyrave për përdorimin e secilës metodë.

4) Konsideroni shembuj të problemeve në Provimin e Unifikuar të Shtetit për ndërtimin e seksioneve dhe llogaritjen e elementeve të tyre.

SEKSIONI 1

NDËRTIMI I SEKSIONIVE TË POLIEDRONËVE

BAZUAR NË SISTEMIN E AXIOMËS TË SEREOMETRISË

Sipërfaqja e një poliedri përbëhet nga skajet - segmente dhe faqe - poligone të sheshta. Meqenëse një vijë e drejtë dhe një rrafsh kryqëzohen në një pikë, dhe dy plane kryqëzohen përgjatë një vije të drejtë, atëherë seksioni i një shumëkëndëshi nga një rrafsh është një shumëkëndësh i rrafshët; kulmet e këtij shumëkëndëshi janë pikat e prerjes së rrafshit të prerjes me skajet e shumëkëndëshit dhe anët janë segmentet përgjatë të cilave rrafshi prerës i pret faqet e tij. Kjo do të thotë që të ndërtohet seksioni i dëshiruar i një poliedri të caktuar me rrafshin α mjafton të ndërtohen pikat e kryqëzimit të tij me skajet e shumëfaqëshit. Pastaj lidhni këto pika në mënyrë sekuenciale me segmente.

Rrafshi i prerjes α mund të specifikohet nga: tri pika që nuk shtrihen në të njëjtën vijë; një vijë e drejtë dhe një pikë që nuk i përket asaj; kushte të tjera që përcaktojnë pozicionin e tij në lidhje me një shumëkëndësh të caktuar. Për shembull, në Fig. 1 seksioni është paraqitur piramidë katërkëndore PABCD nga rrafshi α, i përcaktuar nga pikat M, K dhe H, që u përkasin përkatësisht skajeve PC, PD dhe PB;

Fig.1

Detyrë. Në paralelipiped ABC DA 1 B 1 C 1 D 1 ndërtoni një seksion me aeroplan, duke kaluar nëpër majat C dhe D 1 dhe pika K e segmentit B 1 C 1 (Fig. 2, a).

Zgjidhje. 1. T. te . ME ∈ DD 1 C 1, D 1 ∈ DD 1 C 1, pastaj sipas aksiomës (përmes dy pikave, që i përkasin aeroplanit, kalon nëpër një vijë të drejtë, dhe vetëm një) le të ndërtojmë një gjurmë CD 1 në rrafshin DD 1 C 1 (Fig. 2, b).

2. Në mënyrë të ngjashme në aeroplanin A 1 B 1 C 1 do të ndërtojmë një gjurmë DK, në rrafshin BB 1 C 1 do të ndërtojmë një gjurmë CK.

3. D 1 KC – seksioni i dëshiruar (Fig..2, c)

a) b) c)

Fig.2

Detyrë. Ndërtoni një seksion të piramidës RABC me rrafshin α = (MKH), ku M, K dhe H janë pikat e brendshme të skajeve përkatësisht RS, PB dhe AB (Fig. 3, a).

Zgjidhje. hapi 1. Pikat M dhe K ndodhen në secilin nga dy rrafshet α dhe RVS. Prandaj, sipas aksiomës së kryqëzimit të dy rrafsheve, rrafshi α pret rrafshin RVS përgjatë vijës së drejtë MK. Rrjedhimisht, segmenti MK është një nga anët e seksionit të dëshiruar (Fig. 3, b).

hapi i 2-të. Në mënyrë të ngjashme, segmenti KN është ana tjetër e seksionit të dëshiruar (Fig. 3, c).

hapi i 3-të. Pikat M dhe H nuk shtrihen njëkohësisht në asnjë nga faqet e piramidës RABC, prandaj segmenti MH nuk është një anë e seksionit të kësaj piramide. Vijat e drejta KN dhe RA shtrihen në rrafshin e faqes AVR dhe kryqëzohen. Le të ndërtojmë pikën T= KH ∩AP (Fig. 3, d).

Meqenëse drejtëza KN shtrihet në rrafshin α, atëherë pika T shtrihet në rrafshin α. Tani shohim se rrafshet α dhe APC kanë pika të përbashkëta M dhe T. Rrjedhimisht, sipas aksiomës së kryqëzimit të dy rrafsheve, plani α dhe rrafshi APC kryqëzohen përgjatë vijës së drejtë MT, e cila, nga ana tjetër, kryqëzon buzën AC në pikën R (Fig. 3, e) .

hapi i 4-të. Tani, në të njëjtën mënyrë si në hapin 1, ne përcaktojmë se rrafshi α kryqëzon faqet ACP dhe ABC përgjatë segmenteve MR dhe HR, përkatësisht. Rrjedhimisht, seksioni i kërkuar është katërkëndëshi MKHR (Fig. 3, f).

Fig.3

Le të shqyrtojmë një problem më kompleks.

Detyrë . Ndërtoni një pjesë të piramidës pesëkëndore PABCDE me aeroplan

α = (KQR), ku K, Q janë pikat e brendshme të skajeve RA dhe RS, përkatësisht, dhe pika R shtrihet brenda faqes DPE (Fig. 4, a).

Zgjidhje . Drejtëzat QK dhe AC shtrihen në të njëjtin rrafsh ACP (sipas aksiomës së drejtëzës dhe rrafshit) dhe kryqëzohen në një pikë T 1 , (Fig. 4,b), ndërsa T 1 є α, meqë QК є α.

Vija e drejtë PR kryqëzon DE në një pikë F (Fig. 4, c), e cila është pika e kryqëzimit të planit ARR dhe anës DE të bazës së piramidës. Pastaj linjat KR dhe AF shtrihen në të njëjtin plan ARR dhe kryqëzohen në një pikë T 2 (Fig. 4, d), ndërsa T 2 є α , si pikë e drejtëzës KR є α (sipas aksiomës së drejtëzës dhe rrafshit).

Marrë: drejt T 1 T 2 shtrihet në rrafshin sekant α dhe në rrafshin e bazës së piramidës (sipas aksiomës së drejtëzës dhe rrafshit), ndërsa drejtëza pret përkatësisht brinjët DE dhe AE të bazës ABCDE të piramidës, në pikat M dhe N (Fig. 4, e), të cilat janë pikat e prerjes së rrafshit α me skajet DE dhe AE të piramidës dhe shërbejnë si kulme të seksionit të dëshiruar.

Më tej, vija e drejtë MR shtrihet në rrafshin e fytyrës DPE dhe në rrafshin e prerjes α (sipas aksiomës së një vije të drejtë dhe një rrafshi), ndërsa kryqëzon skajin PD në një pikë H - një kulm tjetër i seksionit të dëshiruar. (Fig. 4, f).

Më pas, le të ndërtojmë pikën T 3 - T 1 T 2 ∩ AB (Fig. 4, g), e cila, si pikë e drejtëzës T 1 T 2 є α, shtrihet në rrafshin a (sipas aksiomës së drejtëzës dhe rrafshit). Tani rrafshi i fytyrës RAB i përket dy pikave T 3 dhe në rrafshin e prerjes α, që do të thotë vijë e drejtë T 3 K është vija e drejtë e kryqëzimit të këtyre planeve. Drejt T 3 K kryqëzon skajin PB në pikën L (Fig. 4, h), e cila shërben si kulmi tjetër i seksionit të dëshiruar.

Kështu, "zinxhiri" i sekuencës për ndërtimin e seksionit të dëshiruar është si më poshtë:

1. T 1 = QK∩ AC ; 2. F = PR ∩ DE;

3. T 2 = KR ∩ AF; 4. M = T 1 T 2 ∩ DE;

5.N= T 1 T 2 ∩ AE ; 6. N = MR ∩ PD;

7. T 3 = T 1 T 2 ∩ AB ; 8.L=T 3 K ∩ PB.

Gjashtëkëndëshi MNKLQH është seksioni i kërkuar.

Fig.4

Një seksion i një poliedri me faqe paralele (prizëm, kub paralelipiped) mund të ndërtohet duke përdorur vetitë e planeve paralele.

Detyrë . Pikat M, P dhe R janë të vendosura në skajet e paralelopipedit. Duke përdorur vetitë e drejtëzave dhe planeve paralele, ndërtoni një seksion të këtij paralelepipedi duke përdorur rrafshin MPR.

Zgjidhje. Le të vendosen pikat M, P dhe R përkatësisht në skajet e DD 1, BB 1 dhe SS 1 ABCBA paralelipiped 1 B 1 C 1 B 1 (Fig. 5, a).

Le të shënojmë: (MPR) = α - rrafshi i prerjes. Ne vizatojmë segmentet MR dhe PR (Fig. 5, b), përgjatë të cilave rrafshi α pret përkatësisht faqet CC 1 D 1 D dhe BB 1 C 1 Nga ky paralelipiped. Segmentet MR dhe PR janë anët e seksionit të dëshiruar. Më pas përdorim teorema në kryqëzimin e dy rrafsheve paralele me një të tretë.

Meqenëse fytyra AA është 1 B 1 B është paralel me fytyrën CC 1 D 1 D, pastaj vija e drejtë e prerjes së rrafshit α me rrafshin e faqes AA 1 ne 1 B duhet të jetë paralel me drejtëzën MR. Prandaj vizatojmë segmentin PQ || MR, Q є AB (Fig. 5, c); segmenti PQ është ana tjetër e seksionit të dëshiruar. Në mënyrë të ngjashme, që nga fytyra AA 1 D 1 D është paralel me fytyrën CC 1 ne 1 B, pastaj drejtëza e prerjes së rrafshit α me rrafshin e faqes AA 1 D 1 D duhet të jetë paralel me vijën PR. Prandaj, vizatojmë segmentin MH || PR, H = AD (Fig. 5, c); segmenti MN është një anë tjetër e seksionit të dëshiruar. Në skajet AB dhe AD të faqes ABCD, u ndërtuan pikat Q є AB dhe H є AD, të cilat janë kulmet e seksionit të dëshiruar. Ne tërheqim segmentin QH dhe marrim pesëkëndëshin MRPQH - seksionin e dëshiruar të paralelopipedit.

a) b) c)

Oriz. 5

SEKSIONI 2

METODA E GJURMEVE NË NDËRTIMIN E SEKSIONET TË POLIEDRONËVE

Përkufizimi. Vija e drejtë përgjatë së cilës rrafshi prerës α pret rrafshin e bazës së shumëfaqëshit quhet gjurmë e rrafshit α në rrafshin e kësaj baze.

Nga përkufizimi i një gjurme marrim: në secilën nga pikat e saj kryqëzohen drejtëza, njëra prej të cilave shtrihet në rrafshin sekant, tjetra në rrafshin e bazës. Është kjo veti e gjurmës që përdoret gjatë ndërtimit të seksioneve të rrafshët të poliedrave duke përdorur metodën e gjurmës. Në këtë rast, në rrafshin e prerjes është i përshtatshëm të përdoren linja të drejta që kryqëzojnë skajet e poliedrit.

Së pari, ne përcaktojmë rrafshin sekant me gjurmën e tij në rrafshin e bazës së prizmit (piramidës) dhe me një pikë që i përket sipërfaqes së prizmit (piramidës).

Detyrë. Ndërtoni një prerje tërthore të prizmit ABCVEA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 rrafshi α, i cili jepet nga sa vijonl në rrafshin ABC të bazës së prizmit dhe pikës M që i përket skajit DD 1 (Fig. 7, a).

Zgjidhje. Analiza. Le të supozojmë se pentagoni MNPQR është seksioni i dëshiruar (Fig. 6). Për të ndërtuar këtë pesëkëndësh të sheshtë, mjafton të ndërtohen kulmet e tij N, P, Q, R (është dhënë pika M) - pikat e kryqëzimit të planit të prerjes α me skajet, përkatësisht CC. 1, BB 1, AA 1, EE 1 të këtij prizmi.

Oriz. 6

Për të ndërtuar pikën N = α ∩ СС 1 mjafton të ndërtohet vija e drejtë e kryqëzimit të rrafshit të prerjes α me rrafshin e faqes СDD 1 C 1 . Për ta bërë këtë, nga ana tjetër, mjafton të ndërtohet një pikë tjetër në rrafshin e kësaj faqeje, që i përket rrafshit të prerjes α. Si të ndërtohet një pikë e tillë?

Meqenëse është e drejtë l shtrihet në rrafshin e bazës së prizmit, atëherë mund të presë rrafshin e fytyrës CDD 1 C 1 vetëm në pikën që i përket linjës CD = (CDD 1 ) ∩ (ABC), d.m.th. pika X =l∩CD = l∩ (CDD 1 ) i përket rrafshit të prerjes α. Kështu, për të ndërtuar pikën N = α ∩ СС 1 mjafton të ndërtohet pika X =l ∩CD. Në mënyrë të ngjashme, për të ndërtuar pika P = α ∩ BB 1, Q = α ∩ AA 1 dhe R = α ∩ EE 1 mjafton të ndërtohen pikat në përputhje me rrethanat: Y =l∩ BC, Z = l∩ AB dhe T = l∩ AE. Nga këtu

Ndërtimi.

X = l∩ CD (Fig. 7, b);

N = MX ∩ СС 1 (Fig. 7, b);

Y = l∩ BC (Fig. 7, c);

P = NY ∩ BB 1 (Fig. 7, c);

Z= l∩ AB (Fig. 7, c);

Q= PZ ∩ AA 1 (Fig. 7, d);

T= l∩ AE (Fig. 6);

R= QT ∩ EE 1 (Fig. 6).

Pentagoni MNPQR është seksioni i kërkuar (Fig. 6).

Dëshmi . Meqenëse është e drejtë l është gjurma e rrafshit të prerjes α, atëherë pikat X =l∩ CD, Y = l∩ BC, Z = l∩ AB dhe T= l ∩ AE i përkasin këtij rrafshi.

Prandaj kemi:

М є α , X є α => МХ є α, pastaj МХ ∩ СС 1 = N є α, që do të thotë N = α ∩ СС 1 ;

N є α, Y є α => NY є α, pastaj NY ∩ ВВ 1 = Р є α, që do të thotë Р = α ∩ ВВ 1 ;

Р є α, Z є α => РZ є α, pastaj PZ ∩ AA 1 = Q є α, që do të thotë Q = α ∩ AA 1 ;

Q є α, T є α => QТ є α, pastaj QТ ∩ EE 1 =R є α, që do të thotë R = α ∩ Е 1 .

Prandaj, MNPQR është seksioni i kërkuar.

a) b)

c) d)

Oriz. 7

Studimi. Pista l rrafshi i prerjes α nuk e pret bazën e prizmit, dhe pika M e rrafshit të prerjes i përket skajit anësor DD 1 prizmat. Prandaj, rrafshi i prerjes α nuk është paralel me skajet anësore. Për rrjedhojë, pikat N, P, Q dhe R të kryqëzimit të këtij rrafshi me skajet anësore të prizmit (ose zgjatimet e këtyre skajeve) ekzistojnë gjithmonë. Dhe meqenëse, përveç kësaj, pika M nuk i përket gjurmësl , atëherë rrafshi α i përcaktuar prej tyre është unik. Kjo do të thotë se problemi ka një zgjidhje unike.

Detyrë. Ndërtoni një seksion të piramidës pesëkëndore PABCDE duke përdorur rrafshin e dhënë nga sa vijonl dhe pika e brendshme K e skajit PE.

Zgjidhje. Skematikisht, ndërtimi i seksionit të dëshiruar mund të përshkruhet si më poshtë (Fig. 8): T 1 → Q → T 2 → R → T 3 → M → T 4 → N.

Pentagoni MNKQR është seksioni i kërkuar.

"Zinxhiri" i sekuencës së ndërtimit të kulmeve të seksionit është si më poshtë:

1. T 1 = l∩ AE; 2. Q = T 1 K ∩ RA;

3. T 2 = l∩ AB; 4. R = T 2 Q ∩ РВ;

5. T 3 = l∩ para Krishtit; 6. M = T 3 R ∩ RS;

7. T 4 = l∩CD; 8. N = T 4 M ∩ РD.

Oriz. 8

Plani i prerjes shpesh përcaktohet nga tre pika që i përkasin poliedrit. Në këtë rast, për të ndërtuar seksionin e dëshiruar duke përdorur metodën e gjurmës, së pari ndërtoni një gjurmë të planit të prerjes në rrafshin e bazës së poliedrit të dhënë.

SEKSIONI 3

METODA E DIZAJNIMIT TË BRENDSHËM

NË NDËRTIMIN E SEKSIONIVE TË POLIEDRONËVE

Metoda e projektimit të brendshëm quhet edhe metoda e korrespondencës, ose metoda e seksioneve diagonale.

Kur aplikohet kjo metodë, çdo pikë e dhënë projektohet në planin bazë. Janë dy llojet e mundshme dizajni: qendror dhe paralel. Projeksioni qendror përdoret zakonisht gjatë ndërtimit të seksioneve të piramidave, ku maja e piramidës është qendra e projeksionit. Dizajni paralel përdoret kur ndërtohen seksione prizmash.

Detyrë . Ndërtoni një seksion të piramidës PABCDE me rrafshin α = (MFR), nëse pikat M, F dhe R janë pika të brendshme të skajeve përkatësisht RA, RS dhe PE (Fig. 9, a).

Zgjidhje . Le ta shënojmë rrafshin e bazës së piramidës si β. Për të ndërtuar seksionin e dëshiruar, ndërtojmë pikat e kryqëzimit të rrafshit të prerjes α me skajet e piramidës.

Le të ndërtojmë pikën e kryqëzimit të rrafshit të prerjes me skajin PD të kësaj piramide.

Planet APD dhe CPE kryqëzojnë rrafshin β përgjatë vijave të drejta AD dhe CE, përkatësisht, të cilat kryqëzohen në një pikë K (Fig. 9, c). Drejtëza PK=(APD) ∩(CPE) pret drejtëzën FR є α në një pikë K 1: K 1 = RK ∩ FR (Fig. 9, d), ndërsa K 1 є α. Pastaj: M є α, K 1 є α => drejtëz MK є a. Prandaj pika Q = MK 1 ∩ PD (Fig. 9, e) është pika e kryqëzimit të skajit PD dhe planit të prerjes: Q = α ∩ PD. Pika Q është kulmi i seksionit të dëshiruar. Në mënyrë të ngjashme, ne ndërtojmë pikën e kryqëzimit të rrafshit α dhe skajit PB. Rrafshët BPE dhe АD kryqëzojnë rrafshin β përgjatë vijave të drejta BE dhe AD, përkatësisht, të cilat kryqëzohen në pikën H (Fig. 9, e). Drejtëza PH = (BPE) ∩ (APD) pret drejtëzën MQ në pikën H 1 (Fig. 9, g). Pastaj vija e drejtë RN 1 pret skajin PB në pikën N = α ∩ PB - kulmi i seksionit (Fig. 9, h).

1. K = AD ∩ EC; 2. K 1 = RK ∩ RF;

3.Q= MK 1 ∩ R D; 4. H = BE ∩ Kjo punë konsiston në nevojën për t'u përgatitur në mënyrë të pavarur për provimin, dhe tema në shqyrtim është një nga më të rëndësishmet. D;

5. Н 1 = РН ∩ МQ; 6. N = RН 1 ∩ РВ.

Pentagoni MNFQR është seksioni i kërkuar (Fig. 9, i).

a) b) c)

ku)

g) h) i)

Oriz. 9

Detyrë . Ndërtoni një prerje tërthore të prizmit ABCDEA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 , rrafshi α, i përcaktuar nga pikat M є BB 1, P DD 1, Q EE 1 (Fig. 10).

Zgjidhje. Të shënojmë: β - rrafshin e bazës së poshtme të prizmit. Për të ndërtuar seksionin e dëshiruar, ndërtojmë pikat e kryqëzimit të rrafshit α = (MPQ) me skajet e prizmit.

Le të ndërtojmë pikën e prerjes së rrafshit α me buzën AA 1 .

Planet A 1 pas Krishtit dhe BEE 1 rrafshin β e prenë në vija të drejta përkatësisht AD dhe BE, të cilat priten në një pikë K. Meqenëse rrafshet A 1 pas Krishtit dhe BLETA 1 kalojnë nëpër skajet paralele AA 1 dhe BB 1 prizmat dhe kanë një pikë të përbashkët K, pastaj drejtëzën KK 1 kryqëzimi i tyre kalon në pikën K dhe është paralel me skajin BB 1 . Le të shënojmë pikën e kryqëzimit të kësaj drejtëze me drejtëzën QM: K 1 = KK 1 ∩ QM, KK 1 ║ BB 1 . Meqenëse QM є α, atëherë K 1 є α.

Oriz. 10

Marrë: Р є α, K 1 є α => drejt RK 1 є α, ndërsa RK 1 ∩ AA 1 = R. Pika R shërben si pikë kryqëzimi i rrafshit α dhe buzës AA 1 (R = α ∩ AA 1 ), pra është kulmi i seksionit të dëshiruar. Në mënyrë të ngjashme, ne ndërtojmë pikën N = α ∩ СС 1 .

Kështu, sekuenca e "hapave" për ndërtimin e seksionit të dëshiruar është si më poshtë:

K = AD ∩ BE; 2. K 1 = KK 1 ∩ MQ, KK 1 || BB 1;

R = RK 1 ∩ AA 1; 4. H = EC ∩AD;

H 1 – HH 1 ∩ РR, НН 1 || CC 1; 6.N = QН 1 ∩ СС 1.

Pentagoni MNPQR është seksioni i kërkuar.

A e dini se çfarë quhet seksioni i shumëfaqëshve me një rrafsh? Nëse ende dyshoni në saktësinë e përgjigjes suaj për këtë pyetje, mund ta kontrolloni veten mjaft thjesht. Ne ju sugjerojmë të bëni një test të shkurtër më poshtë.

Pyetje. Sa është numri i figurës që tregon prerjen e një paralelipipedi me një rrafsh?

Pra, përgjigja e saktë është në Figurën 3.

Nëse përgjigjeni saktë, konfirmon se e kuptoni se me çfarë keni të bëni. Por, për fat të keq, edhe përgjigjja e saktë për një pyetje testimi nuk ju garanton notat më të larta në mësimet me temën "Seksionet e poliedrave". Në fund të fundit, gjëja më e vështirë është mosnjohja e seksioneve në vizatimet e përfunduara, megjithëse kjo është gjithashtu shumë e rëndësishme, por ndërtimi i tyre.

Për të filluar, le të formulojmë përkufizimin e një seksioni të një poliedri. Pra, një pjesë e një shumëkëndëshi është një shumëkëndësh, kulmet e të cilit shtrihen në skajet e shumëkëndëshit dhe anët e të cilit shtrihen në faqet e tij.

Tani le të praktikojmë ndërtimin e shpejtë dhe të saktë të pikave të kryqëzimit një drejtëz e dhënë me një rrafsh të caktuar. Për ta bërë këtë, le të zgjidhim problemin e mëposhtëm.

Ndërtoni pikat e kryqëzimit të drejtëzës MN me rrafshet e bazave të poshtme dhe të sipërme të prizmit trekëndor ABCA 1 B 1 C 1, me kusht që pika M t'i përkasë skajit anësor CC 1 dhe pika N t'i përkasë skajit BB 1.

Le të fillojmë duke shtrirë vijën e drejtë MN në të dy drejtimet në vizatim (Fig. 1). Më pas, për të marrë pikat e kryqëzimit të kërkuara nga problemi, ne zgjerojmë linjat që shtrihen në bazat e sipërme dhe të poshtme. Dhe tani vjen momenti më i vështirë në zgjidhjen e problemit: cilat rreshta në të dy bazat duhet të zgjerohen, pasi secila prej tyre ka tre rreshta.

Për të përfunduar saktë hapin përfundimtar të ndërtimit, është e nevojshme të përcaktohet se cilat nga bazat e drejtpërdrejta janë në të njëjtin rrafsh me vijën e drejtë MN që na intereson. Në rastin tonë, kjo është e drejtë CB në pjesën e poshtme dhe C 1 B 1 në bazat e sipërme. Dhe janë pikërisht këto që ne i zgjasim derisa të kryqëzohen me drejtëzën NM (Fig. 2).

Pikat rezultuese P dhe P 1 janë pikat e prerjes së drejtëzës MN me rrafshet e bazave të sipërme dhe të poshtme të prizmit trekëndor ABCA 1 B 1 C 1 .

Pasi të keni analizuar problemin e paraqitur, mund të vazhdoni drejtpërdrejt në ndërtimin e seksioneve të poliedrave. Pika kyçe Këtu do të ketë arsyetim që do t'ju ndihmojë të arrini në rezultatin e dëshiruar. Si rezultat, ne përfundimisht do të përpiqemi të krijojmë një shabllon që do të pasqyrojë sekuencën e veprimeve gjatë zgjidhjes së problemeve të këtij lloji.

Pra, le të shqyrtojmë problemin e mëposhtëm. Ndërtoni një seksion të një prizmi trekëndor ABCA 1 B 1 C 1 me një rrafsh që kalon nëpër pikat X, Y, Z që u përkasin përkatësisht skajeve AA 1, AC dhe BB 1.

Zgjidhje: Le të vizatojmë një vizatim dhe të përcaktojmë se cilat çifte pikash shtrihen në të njëjtin rrafsh.

Çiftet e pikave X dhe Y, X dhe Z mund të lidhen, sepse ata shtrihen në të njëjtin aeroplan.

Le të ndërtojmë një pikë shtesë që do të shtrihet në të njëjtën faqe me pikën Z. Për ta bërë këtë, ne do të zgjerojmë linjat XY dhe CC 1, sepse ato shtrihen në rrafshin e faqes AA 1 C 1 C. Le ta quajmë pikën që rezulton P.

Pikat P dhe Z shtrihen në të njëjtin plan - në rrafshin e fytyrës CC 1 B 1 B. Prandaj, ne mund t'i lidhim ato. Vija e drejtë PZ pret skajin CB në një pikë të caktuar, le ta quajmë T. Pikat Y dhe T shtrihen në rrafshin e poshtëm të prizmit, lidhini ato. Kështu, u formua katërkëndëshi YXZT, dhe ky është seksioni i dëshiruar.

Le të përmbledhim. Për të ndërtuar një seksion të një poliedri me një plan, duhet:

1) vizatoni vija të drejta nëpër çifte pikash që shtrihen në të njëjtin rrafsh.

2) gjeni linjat përgjatë të cilave kryqëzohen rrafshet e seksionit dhe faqet e poliedrit. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni pikat e kryqëzimit të një linje të drejtë që i përket rrafshit të seksionit me një vijë të drejtë që shtrihet në njërën nga fytyrat.

Procesi i ndërtimit të seksioneve të poliedrës është i ndërlikuar sepse është i ndryshëm në secilin rast specifik. Dhe asnjë teori nuk e përshkruan atë nga fillimi në fund. Në fakt, ekziston vetëm një mënyrë e sigurt për të mësuar se si të ndërtoni shpejt dhe saktë seksionet e çdo poliedre - kjo është praktikë e vazhdueshme. Si më shumë seksione ju ndërtoni, aq më e lehtë do të jetë për ju ta bëni atë në të ardhmen.

faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.

Le të shohim se si të ndërtojmë një seksion të një piramide duke përdorur shembuj specifikë. Meqenëse nuk ka plane paralele në piramidë, ndërtimi i vijës së kryqëzimit (gjurmë) të planit të prerjes me rrafshin e faqes më së shpeshti përfshin tërheqjen e një vije të drejtë përmes dy pikave që shtrihen në rrafshin e kësaj faqeje.

Në problemet më të thjeshta, ju duhet të ndërtoni një seksion të një piramide me një plan që kalon nëpër pika të dhëna që tashmë shtrihen në të njëjtën fytyrë.

Shembull.

Ndërtoni seksionin e planit (MNP)

Trekëndëshi MNP - seksioni piramidale

Pikat M dhe N shtrihen në të njëjtin plan ABS, prandaj, ne mund të vizatojmë një vijë të drejtë përmes tyre. Gjurma e kësaj linje është segmenti MN. Është e dukshme, që do të thotë se ne lidhim M dhe N me një vijë të fortë.

Pikat M dhe P shtrihen në të njëjtin plan ACS, kështu që ne vizatojmë një vijë të drejtë përmes tyre. Gjurma është një deputet i segmentit. Ne nuk e shohim atë, kështu që ne tërheqim segmentin MP me një goditje. Në të njëjtën mënyrë ndërtojmë gjurmën PN.

Trekëndëshi MNP është seksioni i kërkuar.

Nëse pika përmes së cilës dëshironi të vizatoni një seksion nuk qëndron në një skaj, por në një fytyrë, atëherë nuk do të jetë fundi i segmentit të gjurmës.

Shembull. Ndërtoni një seksion të piramidës me një rrafsh që kalon nëpër pikat B, M dhe N, ku pikat M dhe N u përkasin, përkatësisht, faqeve ABS dhe BCS.

Këtu pikat B dhe M shtrihen në të njëjtën faqe të ABS, kështu që ne mund të vizatojmë një vijë të drejtë përmes tyre.

Në mënyrë të ngjashme, vizatojmë një vijë të drejtë përmes pikave B dhe P. Kemi marrë përkatësisht gjurmët BK dhe BL.

Pikat K dhe L shtrihen në të njëjtën faqe të ACS, kështu që ne mund të vizatojmë një vijë të drejtë përmes tyre. Gjurma e tij është segmenti KL.

Trekëndëshi BKL është seksioni i kërkuar.

Megjithatë, nuk është gjithmonë e mundur të vizatoni një vijë të drejtë përmes të dhënave në gjendjen e pikës. Në këtë rast, ju duhet të gjeni një pikë të shtrirë në vijën e kryqëzimit të aeroplanëve që përmbajnë fytyrat.

Shembull. Ndërtoni një seksion të piramidës me një rrafsh që kalon nëpër pikat M, N, P.

Pikat M dhe N shtrihen në të njëjtin plan ABS, kështu që një vijë e drejtë mund të vizatohet përmes tyre. Marrim gjurmën MN. Po kështu - NP. Të dy shenjat janë të dukshme, kështu që ne i lidhim ato me një vijë të fortë.

Pikat M dhe P shtrihen në plane të ndryshme. Prandaj, ne nuk mund t'i lidhim ato me një vijë të drejtë.

Vazhdojmë vijën e drejtë NP.

Shtrihet në rrafshin e fytyrës BCS. NP kryqëzohet vetëm me vija që shtrihen në të njëjtin rrafsh. Ne kemi tre linja të tilla të drejtpërdrejta: BS, CS dhe BC. Linjat BS dhe CS tashmë kanë pika kryqëzimi - këto janë vetëm N dhe P. Kjo do të thotë se ne jemi duke kërkuar për kryqëzimin e NP me vijën BC.

Pika e kryqëzimit (le ta quajmë H) fitohet duke vazhduar drejtëzat NP dhe BC deri në kryqëzim.

Kjo pikë H i përket si rrafshit (BCS), pasi shtrihet në drejtëzën NP, ashtu edhe rrafshit (ABC), pasi shtrihet në vijën BC.

Kështu, morëm një pikë tjetër të aeroplanit prerës të shtrirë në aeroplan (ABC).

Mund të vizatojmë një vijë të drejtë përmes H dhe një pikë M të shtrirë në të njëjtin rrafsh.

Ne marrim gjurmën MT.

T është pika e kryqëzimit të drejtëzave MH dhe AC.

Meqenëse T i përket drejtëzës AC, ne mund të vizatojmë një vijë përmes saj dhe pikën P, pasi që të dyja shtrihen në të njëjtin rrafsh (ACS).

MNPT 4 këndësh është seksioni i dëshiruar i piramidës nga një rrafsh që kalon nëpër pikat e dhëna M,N,P.

Ne punuam me vijën NP, duke e shtrirë për të gjetur pikën e kryqëzimit të rrafshit të prerjes me rrafshin (ABC). Nëse punojmë me MN të drejtpërdrejtë, arrijmë në të njëjtin rezultat.

Ne arsyetojmë kështu: drejtëza MN shtrihet në rrafsh (ABS), prandaj mund të kryqëzohet vetëm me vijat që shtrihen në të njëjtin rrafsh. Kemi tre linja të tilla: AB, BS dhe AS. Por me linjat e drejta AB dhe BS tashmë ka pika kryqëzimi: M dhe N.

Kjo do të thotë se, duke zgjeruar MN, ne kërkojmë pikën e kryqëzimit të saj me drejtëzën AS. Le ta quajmë këtë pikë R.

Pika R shtrihet në vijën AS, që do të thotë se shtrihet edhe në rrafshin (ACS) të cilit i përket linja AS.

Meqenëse pika P shtrihet në rrafsh (ACS), ne mund të vizatojmë një vijë të drejtë përmes R dhe P. Ne marrim një gjurmë të PT.

Pika T shtrihet në rrafsh (ABC), kështu që ne mund të vizatojmë një vijë të drejtë përmes saj dhe pikën M.

Kështu, ne morëm të njëjtin seksion kryq MNPT.

Le të shohim një shembull tjetër të këtij lloji.

Ndërtoni një seksion të piramidës me një rrafsh që kalon nëpër pikat M, N, P.

Vizatoni një vijë të drejtë përmes pikave M dhe N që shtrihen në të njëjtin rrafsh (BCS). Marrim gjurmën MN (të dukshme).

Vizatoni një vijë të drejtë përmes pikave N dhe P që shtrihen në të njëjtin rrafsh (ACS). Ne marrim një gjurmë PN (të padukshme).

Nuk mund të vizatojmë një vijë të drejtë përmes pikave M dhe P.

1) Linja MN shtrihet në rrafsh (BCS), ku ka edhe tre linja të tjera: BC, SC dhe SB. Linjat SB dhe SC tashmë kanë pika kryqëzimi: M dhe N. Prandaj, ne po kërkojmë pikën e kryqëzimit MN me BC. Duke vazhduar këto rreshta, marrim pikën L.

Pika L i përket vijës BC, që do të thotë se shtrihet në rrafsh (ABC). Prandaj, ne mund të vizatojmë një vijë të drejtë përmes L dhe P, e cila gjithashtu shtrihet në rrafsh (ABC). Gjurma e saj është PF.

F shtrihet në drejtëzën AB, dhe rrjedhimisht në rrafsh (ABS). Prandaj, përmes F dhe pikës M, e cila gjithashtu shtrihet në rrafsh (ABS), vizatojmë një vijë të drejtë. Gjurma e saj është FM. Katërkëndëshi MNPF është seksioni i kërkuar.

2) Një mënyrë tjetër është të vazhdoni PN drejt. Ai shtrihet në rrafsh (ACS) dhe kryqëzon drejtëzat AC dhe CS që shtrihen në këtë plan në pikat P dhe N.

Kjo do të thotë se ne jemi duke kërkuar për pikën e kryqëzimit të PN me vijën e tretë të drejtë të këtij plani - me AS. Vazhdojmë AS dhe PN, në kryqëzim marrim pikën E. Meqenëse pika E shtrihet në drejtëzën AS, që i përket rrafshit (ABS), mund të vizatojmë një vijë të drejtë përmes E dhe pikës M, e cila gjithashtu shtrihet në (ABS) . Gjurma e saj është FM. Pikat P dhe F shtrihen në rrafshin e ujit (ABC), vizatoni një vijë të drejtë përmes tyre dhe merrni një gjurmë PF (të padukshme).