Udhëzimet

Nëse keni nevojë të gjeni kosinusin këndi në një trekëndësh arbitrar, duhet të përdorni teoremën e kosinusit:
nëse këndi është i mprehtë: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
nëse këndi: cos? = (c2 – a2 – b2)/(2ab), ku a, b janë gjatësitë e brinjëve ngjitur me këndin, c është gjatësia e anës përballë këndit.

Këshilla të dobishme

Shënimi matematik për kosinusin është cos.
Vlera e kosinusit nuk mund të jetë më e madhe se 1 dhe më e vogël se -1.

Burimet:

• si të llogaritet kosinusi i një këndi
• Funksionet trigonometrike në rrethin e njësisë

Kosinusiështë një funksion bazë trigonometrik i këndit. Aftësia për të përcaktuar kosinusin është e dobishme në algjebrën vektoriale kur përcaktohen projeksionet e vektorëve në boshte të ndryshme.

Udhëzimet

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

Ekziston një trekëndësh me brinjët a, b, c të barabarta me përkatësisht 3, 4, 5 mm.

Gjej kosinusi këndi ndërmjet anëve më të mëdha.

Le të shënojmë këndin përballë anës a me ?, atëherë, sipas formulës së nxjerrë më sipër, kemi:

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0,8

Përgjigje: 0.8.

Nëse trekëndëshi është kënddrejtë, atëherë për të gjetur kosinusi dhe për një kënd mjafton të dimë gjatësinë e vetëm dy anëve ( kosinusi kënd i drejtëështë e barabartë me 0).

Le të jetë një trekëndësh kënddrejtë me brinjë a, b, c, ku c është hipotenuza.

Le të shqyrtojmë të gjitha opsionet:

Gjeni cos?, nëse dihen gjatësitë e brinjëve a dhe b (të trekëndëshit).

Le të përdorim gjithashtu teoremën e Pitagorës:

сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

Për të siguruar që formula që rezulton është e saktë, ne e zëvendësojmë atë nga shembulli 1, d.m.th.

Pasi kemi bërë disa llogaritje bazë, marrim:

Gjetur në mënyrë të ngjashme kosinusi në një formë drejtkëndëshe trekëndëshi në raste të tjera:

Të njohura a dhe c (hipotenuza dhe ana e kundërt), gjeni cos?

сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?)) =(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.

Duke zëvendësuar vlerat a=3 dhe c=5 nga shembulli, marrim:

Të njohura b dhe c (hipotenuza dhe këmba ngjitur).

Gjej cos?

Pasi kemi bërë transformime të ngjashme (treguar në shembujt 2 dhe 3), marrim atë në këtë rast kosinusi V trekëndëshi llogaritet duke përdorur një formulë shumë të thjeshtë:

Thjeshtësia e formulës së prejardhur mund të shpjegohet thjesht: në fakt, ngjitur me këndin? këmba është një projeksion i hipotenuzës, gjatësia e saj është e barabartë me gjatësinë e hipotenuzës shumëzuar me cos?.

Duke zëvendësuar vlerat b=4 dhe c=5 nga shembulli i parë, marrim:

Kjo do të thotë që të gjitha formulat tona janë të sakta.

Këshilla 5: Si të gjeni një kënd të mprehtë në një trekëndësh kënddrejtë

Direkt karbonike trekëndëshi është ndoshta një nga figurat gjeometrike më të famshme, nga pikëpamja historike. "Pantallonat" e Pitagorës mund të konkurrojnë vetëm me "Eureka!" Arkimedi.

Do t'ju duhet

• - vizatimi i një trekëndëshi;
• - sundimtar;
• - raportor

Udhëzimet

Shuma e këndeve të një trekëndëshi është 180 gradë. Në një formë drejtkëndëshe trekëndëshi një kënd (drejt) do të jetë gjithmonë 90 gradë, dhe pjesa tjetër janë akute, d.m.th. më pak se 90 gradë secila. Për të përcaktuar se cili kënd është në një drejtkëndësh trekëndëshiështë i drejtë, përdorni një vizore për të matur brinjët e trekëndëshit dhe për të përcaktuar më të madhin. Është hipotenuza (AB) dhe ndodhet përballë këndit të drejtë (C). Dy anët e mbetura formojnë një kënd dhe këmbë të drejta (AC, BC).

Pasi të keni përcaktuar se cili kënd është i mprehtë, mund të përdorni ose një raportor për të llogaritur këndin duke përdorur formula matematikore.

Për të përcaktuar këndin duke përdorur një raportor, rreshtoni majën e tij (le ta shënojmë me shkronjën A) me një shenjë të veçantë në vizoren në qendër të raportuesit; këmba AC duhet të përkojë me skajin e sipërm të saj. Shënoni në pjesën gjysmërrethore të raportorit pikën nëpër të cilën hipotenuza AB. Vlera në këtë pikë korrespondon me këndin në gradë. Nëse ka 2 vlera të treguara në raportor, atëherë për një kënd akut duhet të zgjidhni atë më të vogël, për një kënd të mpirë - më të madhin.

Gjeni vlerën që rezulton në librat e referencës Bradis dhe përcaktoni se cilit kënd i korrespondon vlera numerike që rezulton. Gjyshet tona e përdornin këtë metodë.

Në tonën mjafton të marrim me funksionin e llogaritjes së formulave trigonometrike. Për shembull, kalkulatori i integruar i Windows. Hapni aplikacionin "Llogaritësi", në artikullin e menusë "Shiko", zgjidhni "Inxhinieri". Llogaritni sinusin e këndit të dëshiruar, për shembull, sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

Kaloni kalkulatorin në funksionet e anasjellta, duke klikuar në butonin INV në ekranin e kalkulatorit, më pas klikoni në butonin e funksionit të harkut (tregohet në ekran si mëkat ndaj fuqisë minus të parë). Në dritaren e llogaritjes do të shfaqet mesazhi i mëposhtëm: asind (0.5) = 30. D.m.th. vlera e këndit të dëshiruar është 30 gradë.

Burimet:

• Tabelat Bradis (sinus, kosinus)

Teorema e kosinusit në matematikë përdoret më shpesh kur është e nevojshme të gjendet ana e tretë e një këndi dhe dy brinjët. Sidoqoftë, ndonjëherë gjendja e problemit vendoset anasjelltas: ju duhet të gjeni një kënd me tre anët e dhëna.

Udhëzimet

Imagjinoni që ju jepet një trekëndësh në të cilin dihen gjatësitë e dy brinjëve dhe vlera e një këndi. Të gjitha këndet e këtij trekëndëshi nuk janë të barabartë me njëri-tjetrin, dhe anët e tij janë gjithashtu të ndryshme në madhësi. Këndi γ shtrihet përballë faqes së trekëndëshit, të caktuar AB, që është kjo figurë. Nëpërmjet këtij këndi, si dhe përmes brinjëve të mbetura AC dhe BC, mund të gjeni anën e trekëndëshit që është e panjohur duke përdorur teoremën e kosinusit, duke nxjerrë prej saj formulën e paraqitur më poshtë:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, ku a=BC, b=AB, c=AC
Teorema e kosinusit quhet ndryshe teorema e përgjithësuar e Pitagorës.

Tani imagjinoni që të tre anët e figurës janë dhënë, por këndi i saj γ është i panjohur. Duke ditur se forma a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, transformojeni këtë shprehje në mënyrë që vlera e dëshiruar të bëhet këndi γ: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
Pastaj vendoseni ekuacionin e mësipërm në një formë paksa të ndryshme: b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ.
Kjo shprehje më pas duhet të konvertohet në atë më poshtë: cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc.
E tëra që mbetet është të zëvendësohen numrat në formulë dhe të kryhen llogaritjet.

Për të gjetur kosinusin, të shënuar γ, ai duhet të shprehet në terma të inversit të trigonometrisë, i quajtur kosinus i harkut. Kosinusi i harkut të numrit m është vlera e këndit γ për të cilin kosinusi i këndit γ është i barabartë me m. Funksioni y=arccos m është në rënie. Imagjinoni, për shembull, që kosinusi i këndit γ të jetë i barabartë me gjysmën. Pastaj këndi γ mund të përcaktohet përmes kosinusit të harkut si më poshtë:
γ = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, ku m = 1/2.
Në mënyrë të ngjashme, ju mund të gjeni këndet e mbetura të trekëndëshit me dy brinjët e tjera të panjohura të tij.

Sinusi dhe kosinusi janë dy funksione trigonometrike që quhen "të drejtpërdrejta". Janë ato që duhen llogaritur më shpesh se të tjerët dhe për të zgjidhur këtë problem sot secili prej nesh ka një zgjedhje të konsiderueshme opsionesh. Më poshtë janë disa nga më mënyra të thjeshta.

Udhëzimet

Përdorni një raportues, një laps dhe një copë letër nëse nuk ka mjete të tjera llogaritëse. Një nga përkufizimet e kosinusit është dhënë për sa i përket këndeve akute në një trekëndësh kënddrejtë - është i barabartë me raportin midis gjatësisë së këmbës përballë këtij këndi dhe gjatësisë. Vizatoni një trekëndësh në të cilin njëri nga këndet është i drejtë (90°) dhe tjetri është këndi që dëshironi të llogaritni. Gjatësia e anëve nuk ka rëndësi - vizatoni ato në mënyrën që është më e përshtatshme për ju për t'i matur. Matni gjatësinë e këmbës dhe hipotenuzës së dëshiruar dhe ndani të parën me të dytën duke përdorur ndonjë në një mënyrë të përshtatshme.

Përfitoni nga vlera e funksioneve trigonometrike duke përdorur kalkulatorin e integruar në motorin e kërkimit Nigma nëse keni akses në internet. Për shembull, nëse duhet të llogaritni kosinusin e një këndi prej 20°, atëherë duke ngarkuar faqja kryesore shërbimi http://nigma.ru, shkruani "cosine 20" në fushën e pyetjes së kërkimit dhe klikoni butonin "Gjeni!". Ju mund të hiqni "gradat" dhe të zëvendësoni fjalën "kosinus" me cos - në çdo rast, motori i kërkimit do të tregojë rezultatin me saktësi në 15 shifra dhjetore (0.939692620785908).

Hapni programin standard të instaluar me sistemin operativ Windows nëse nuk keni akses në internet. Ju mund ta bëni këtë, për shembull, duke shtypur njëkohësisht tastet win dhe r, më pas duke futur komandën calc dhe duke klikuar butonin OK. Për të llogaritur funksionet trigonometrike, këtu është një ndërfaqe e quajtur "inxhinierike" ose "shkencore" (në varësi të versionit të OS) - zgjidhni artikullin e dëshiruar në seksionin "Shiko" të menysë së kalkulatorit. Pas kësaj, futni vlerën e këndit dhe klikoni në butonin cos në ndërfaqen e programit.

Video mbi temën

Këshilla 8: Si të përcaktoni këndet në një trekëndësh të drejtë

Drejtkëndëshi karakterizohet nga marrëdhënie të caktuara midis qosheve dhe anëve. Duke ditur vlerat e disa prej tyre, ju mund të llogaritni të tjerët. Për këtë qëllim, përdoren formula, të bazuara, nga ana tjetër, në aksiomat dhe teoremat e gjeometrisë.

Mësuesit besojnë se çdo nxënës duhet të jetë në gjendje të kryejë llogaritjet dhe të njohë formulat trigonometrike, por jo çdo mësues shpjegon se çfarë janë sinusi dhe kosinusi. Cili është kuptimi i tyre, ku përdoren? Pse po flasim për trekëndësha, por teksti tregon një rreth? Le të përpiqemi të lidhim të gjitha faktet së bashku.

Lënda shkollore

Studimi i trigonometrisë zakonisht fillon në klasat 7-8 gjimnaz. Në këtë kohë nxënësve u shpjegohet se çfarë janë sinusi dhe kosinusi dhe u kërkohet të zgjidhin probleme gjeometrike duke përdorur këto funksione. Më shumë shfaqen më vonë formula komplekse dhe shprehjet që duhen shndërruar në mënyrë algjebrike (formulat e këndit të dyfishtë dhe gjysmë, funksionet e fuqisë), kryhet puna me rrethin trigonometrik.

Megjithatë, mësuesit nuk janë gjithmonë në gjendje të shpjegojnë qartë kuptimin e koncepteve të përdorura dhe zbatueshmërinë e formulave. Prandaj, studenti shpesh nuk e sheh pikën në këtë temë, dhe informacioni i memorizuar harrohet shpejt. Megjithatë, sapo t'i shpjegoni një nxënësi të shkollës së mesme, për shembull, lidhjen midis një funksioni dhe lëvizjes lëkundëse, lidhja logjike do të mbahet mend për shumë vite dhe batutat për padobishmërinë e temës do të bëhen një gjë e së shkuarës.

Përdorimi

Për hir të kuriozitetit, le të shohim degë të ndryshme të fizikës. Dëshironi të përcaktoni rrezen e një predheje? Apo po llogaritni forcën e fërkimit midis një objekti dhe një sipërfaqe të caktuar? Duke lëkundur lavjerrësin, duke parë rrezet që kalojnë nëpër xhami, duke llogaritur induksionin? Konceptet trigonometrike shfaqen pothuajse në çdo formulë. Pra, çfarë janë sinusi dhe kosinusi?

Përkufizimet

Sinusi i një këndi është raporti i anës së kundërt me hipotenuzën, kosinusi është raporti i anës ngjitur me të njëjtën hipotenuzë. Nuk ka absolutisht asgjë të komplikuar këtu. Ndoshta studentët zakonisht hutohen nga vlerat që shohin në tabelën e trigonometrisë, sepse ajo përfshin rrënjë katrore. Po, marrja e numrave dhjetorë prej tyre nuk është shumë e përshtatshme, por kush tha që të gjithë numrat në matematikë duhet të jenë të barabartë?

Në fakt, mund të gjeni një sugjerim qesharak në librat e problemeve të trigonometrisë: shumica e përgjigjeve këtu janë të njëtrajtshme dhe, në rastin më të keq, përmbajnë rrënjën e dy ose tre. Përfundimi është i thjeshtë: nëse përgjigja juaj rezulton të jetë një fraksion "shumëkatëshe", kontrolloni dy herë zgjidhjen për gabime në llogaritjet ose arsyetimin. Dhe me shumë mundësi do t'i gjeni.

Çfarë duhet mbajtur mend

Si çdo shkencë, trigonometria ka të dhëna që duhen mësuar.

Së pari, duhet të mbani mend vlerat numerike për sinuset, kosinuset e një trekëndëshi kënddrejtë 0 dhe 90, si dhe 30, 45 dhe 60 gradë. Këta tregues gjenden në nëntë nga dhjetë probleme shkollore. Duke i parë këto vlera në një libër shkollor, do të humbni shumë kohë dhe nuk do të ketë ku t'i shikoni fare gjatë një testi ose provimi.

Duhet mbajtur mend se vlera e të dy funksioneve nuk mund të kalojë një. Nëse diku në llogaritjet tuaja merrni një vlerë jashtë intervalit 0-1, ndaloni dhe provoni përsëri problemin.

Shuma e katrorëve të sinusit dhe kosinusit është e barabartë me një. Nëse e keni gjetur tashmë një nga vlerat, përdorni këtë formulë për të gjetur vlerën e mbetur.

Teorema

Ekzistojnë dy teorema themelore në trigonometrinë bazë: sinuset dhe kosinuset.

I pari thotë se raporti i secilës anë të një trekëndëshi me sinusin e këndit të kundërt është i njëjtë. E dyta është se katrori i cilësdo anë mund të merret duke shtuar katrorët e dy brinjëve të mbetura dhe duke zbritur produktin e tyre të dyfishtë të shumëzuar me kosinusin e këndit që shtrihet midis tyre.

Kështu, nëse e zëvendësojmë vlerën e një këndi prej 90 gradë në teoremën e kosinusit, marrim... teoremën e Pitagorës. Tani, nëse duhet të llogarisni sipërfaqen e një figure që nuk është trekëndësh kënddrejtë, nuk duhet të shqetësoheni më - dy teoremat e diskutuara do të thjeshtojnë ndjeshëm zgjidhjen e problemit.

Qellime dhe objektiva

Mësimi i trigonometrisë do të bëhet shumë më i lehtë kur të kuptoni një fakt të thjeshtë: të gjitha veprimet që kryeni synojnë të arrini vetëm një qëllim. Çdo parametër i një trekëndëshi mund të gjendet nëse e dini minimumin e informacionit rreth tij - kjo mund të jetë vlera e një këndi dhe gjatësia e dy anëve ose, për shembull, tre anëve.

Për të përcaktuar sinusin, kosinusin, tangjentën e çdo këndi, këto të dhëna janë të mjaftueshme dhe me ndihmën e tyre mund të llogaritni lehtësisht sipërfaqen e figurës. Pothuajse gjithmonë, përgjigja kërkon një nga vlerat e përmendura, dhe ato mund të gjenden duke përdorur të njëjtat formula.

Mospërputhjet në mësimin e trigonometrisë

Një nga pyetjet konfuze që studentët preferojnë të shmangin është zbulimi i lidhjeve midis koncepteve të ndryshme në trigonometri. Duket se trekëndëshat përdoren për të studiuar sinuset dhe kosinuset e këndeve, por për disa arsye simbolet shpesh gjenden në figurën me një rreth. Për më tepër, ekziston një grafik krejtësisht i pakuptueshëm i ngjashëm me valën, i quajtur valë sinus, e cila nuk ka ngjashmëri të jashtme as me rrethin, as me trekëndëshat.

Për më tepër, këndet maten ose në gradë ose në radianë, dhe numri Pi, i shkruar thjesht si 3.14 (pa njësi), për disa arsye shfaqet në formula, që korrespondon me 180 gradë. Si lidhet e gjithë kjo?

Njësitë

Pse Pi është saktësisht 3.14? A ju kujtohet se çfarë kuptimi është ky? Ky është numri i rrezeve që përshtaten në një hark në gjysmë rrethi. Nëse diametri i rrethit është 2 centimetra, perimetri do të jetë 3.14 * 2 ose 6.28.

Pika e dytë: ju mund të keni vënë re ngjashmërinë midis fjalëve "radian" dhe "radius". Fakti është se një radian është numerikisht i barabartë me këndin e marrë nga qendra e rrethit në një hark të gjatë një rreze.

Tani do të kombinojmë njohuritë e marra dhe do të kuptojmë pse "Pi në gjysmë" është shkruar në krye të boshtit të koordinatave në trigonometri, dhe "Pi" është shkruar në të majtë. Kjo është një vlerë këndore e matur në radianë, sepse një gjysmërreth është 180 gradë, ose 3,14 radianë. Dhe ku ka shkallë, ka sinus dhe kosinus. Është e lehtë të vizatoni një trekëndësh nga pika e dëshiruar, duke lënë mënjanë segmentet në qendër dhe në boshtin koordinativ.

Le të shohim në të ardhmen

Trigonometria, e studiuar në shkollë, merret me një sistem koordinativ drejtvizor, ku, sado e çuditshme të tingëllojë, një vijë e drejtë është një vijë e drejtë.

Por ka më shumë mënyra komplekse duke punuar me hapësirën: shuma e këndeve të trekëndëshit këtu do të jetë më shumë se 180 gradë, dhe vija e drejtë në pamjen tonë do të duket si një hark i vërtetë.

Le të kalojmë nga fjalët në veprim! Merrni një mollë. Bëni tre prerje me thikë në mënyrë që kur të shikoni nga lart të merrni një trekëndësh. Nxirreni copën e mollës që rezulton dhe shikoni "brinjët" ku mbaron lëvozhga. Ata nuk janë aspak të drejtë. Fruti në duart tuaja mund të quhet konvencionalisht i rrumbullakët, por tani imagjinoni sa komplekse duhet të jenë formulat me të cilat mund të gjeni zonën e pjesës së prerë. Por disa specialistë zgjidhin probleme të tilla çdo ditë.

Funksionet trigonometrike në jetë

A keni vënë re se rruga më e shkurtër për një aeroplan nga pika A në pikën B në sipërfaqen e planetit tonë ka një formë harku të theksuar? Arsyeja është e thjeshtë: Toka është sferike, që do të thotë se nuk mund të llogaritësh shumë duke përdorur trekëndëshat - duhet të përdorësh formula më komplekse.

Ju nuk mund të bëni pa sinusin/kosinusin e një këndi akut në çdo pyetje që lidhet me hapësirën. Është interesante që një sërë faktorësh bashkohen këtu: funksionet trigonometrike kërkohen kur llogaritet lëvizja e planetëve përgjatë rrathëve, elipsave dhe trajektoreve të ndryshme. forma komplekse; procesi i lëshimit të raketave, satelitëve, anijeve, shkyçjes së mjeteve kërkimore; vëzhgimi i yjeve të largët dhe studimi i galaktikave që njerëzit nuk do të jenë në gjendje t'i arrijnë në të ardhmen e parashikueshme.

Në përgjithësi, fusha e veprimtarisë për një person që njeh trigonometri është shumë e gjerë dhe, me sa duket, do të zgjerohet vetëm me kalimin e kohës.

konkluzioni

Sot mësuam, ose të paktën përsëritëm, se çfarë janë sinusi dhe kosinusi. Këto janë koncepte nga të cilat nuk duhet të keni frikë - thjesht dëshironi ato dhe do ta kuptoni kuptimin e tyre. Mos harroni se trigonometria nuk është një qëllim, por vetëm një mjet që mund të përdoret për të kënaqur nevojat reale të njeriut: ndërtoni shtëpi, siguroni sigurinë e trafikut, madje eksploroni pafundësinë e universit.

Në të vërtetë, vetë shkenca mund të duket e mërzitshme, por sapo të gjeni në të një mënyrë për të arritur qëllimet tuaja dhe vetë-realizimin, procesi i të mësuarit do të bëhet interesant dhe motivimi juaj personal do të rritet.

Si detyre shtepie Mundohuni të gjeni mënyra për të aplikuar funksionet trigonometrike në një fushë aktiviteti që ju intereson personalisht. Imagjinoni, përdorni imagjinatën tuaj dhe atëherë me siguri do të zbuloni se njohuritë e reja do të jenë të dobishme për ju në të ardhmen. Dhe përveç kësaj, matematika është e dobishme për zhvillimin e përgjithshëm duke menduar.

Së pari, merrni parasysh një rreth me rreze 1 dhe qendër në (0;0). Për çdo αЄR, rrezja 0A mund të vizatohet në mënyrë që masa radiane e këndit ndërmjet 0A dhe boshtit 0x të jetë e barabartë me α. Drejtimi në drejtim të kundërt të akrepave të orës konsiderohet pozitiv. Le të ketë fundi i rrezes A me koordinatat (a,b).

Përkufizimi i sinusit

Përkufizim: Numri b, i barabartë me ordinatën e rrezes njësi të ndërtuar në mënyrën e përshkruar, shënohet me sinα dhe quhet sinus i këndit α.

Shembull: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0

Përkufizimi i kosinusit

Përkufizim: Numri a, i barabartë me abshisën e skajit të rrezes njësi të ndërtuar në mënyrën e përshkruar, shënohet me cosα dhe quhet kosinus i këndit α.

Shembull: cos0 cos3π + cos3.5π = 1 (-1) + 0 = 2

Këta shembuj përdorin përkufizimin e sinusit dhe kosinusit të një këndi për sa i përket koordinatave të fundit të rrezes së njësisë dhe rrethit të njësisë. Për një paraqitje më vizuale, duhet të vizatoni një rreth njësi dhe të vizatoni pikat përkatëse në të, dhe më pas të numëroni abshisat e tyre për të llogaritur kosinusin dhe ordinatat për të llogaritur sinusin.

Përkufizimi i tangjentës

Përkufizim: Funksioni tgx=sinx/cosx për x≠π/2+πk, kЄZ, quhet kotangjent i këndit x. Fusha e përcaktimit të funksionit tgx janë të gjithë numrat realë, përveç x=π/2+πn, nЄZ.

Shembull: tg0 tgπ = 0 0 = 0

Ky shembull është i ngjashëm me atë të mëparshëm. Për të llogaritur tangjentën e një këndi, duhet të ndani ordinatën e një pike me abshisën e saj.

Përkufizimi i kotangjentës

Përkufizim: Funksioni ctgx=cosx/sinx për x≠πk, kЄZ quhet kotangjent i këndit x. Fusha e përcaktimit të funksionit ctgx = është të gjithë numrat realë përveç pikave x=πk, kЄZ.

Le të shohim një shembull duke përdorur një trekëndësh të rregullt kënddrejtë

Për ta bërë më të qartë se çfarë janë kosinusi, sinusi, tangjentja dhe kotangjenta. Le të shohim një shembull duke përdorur një trekëndësh të rregullt kënddrejtë me kënd y dhe anët a,b,c. Hipotenuza c, respektivisht këmbët a dhe b. Këndi ndërmjet hipotenuzës c dhe këmbës b y.

Përkufizimi: Sinusi i këndit y është raporti i anës së kundërt me hipotenuzën: siny = a/c

Përkufizimi: Kosinusi i këndit y është raporti i këmbës ngjitur me hipotenuzën: komod = v/c

Përkufizimi: Tangjentja e këndit y është raporti i anës së kundërt me anën fqinje: tgy = a/b

Përkufizimi: Kotangjentja e këndit y është raporti i anës ngjitur me anën e kundërt: ctgy= in/a

Sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja quhen gjithashtu funksione trigonometrike. Çdo kënd ka sinusin dhe kosinusin e vet. Dhe pothuajse të gjithë kanë tangjenten dhe kotangjenten e tyre.

Besohet se nëse na jepet një kënd, atëherë sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjenta e tij janë të njohura për ne! Dhe anasjelltas. Duke pasur parasysh një sinus, ose ndonjë funksion tjetër trigonometrik, përkatësisht, ne e dimë këndin. Madje janë krijuar edhe tabela të veçanta ku shkruhen funksione trigonometrike për çdo kënd.

Një nga fushat e matematikës me të cilën studentët luftojnë më shumë është trigonometria. Nuk është për t'u habitur: për të zotëruar lirshëm këtë fushë të njohurive, ju nevojitet të menduarit hapësinor, aftësia për të gjetur sinus, kosinus, tangjente, kotangjente duke përdorur formula, për të thjeshtuar shprehjet dhe për të qenë në gjendje të përdorni numrin pi në llogaritjet. Përveç kësaj, ju duhet të jeni në gjendje të përdorni trigonometrinë kur provoni teorema, dhe kjo kërkon ose një memorie të zhvilluar matematikore ose aftësi për të nxjerrë zinxhirë logjikë kompleksë.

Origjina e trigonometrisë

Njohja me këtë shkencë duhet të fillojë me përkufizimin e sinusit, kosinusit dhe tangjentës së një këndi, por së pari duhet të kuptoni se çfarë bën trigonometria në përgjithësi.

Historikisht, objekti kryesor i studimit në këtë degë të shkencës matematikore ishin trekëndëshat kënddrejtë. Prania e një këndi prej 90 gradë bën të mundur kryerjen e operacioneve të ndryshme që lejojnë përcaktimin e vlerave të të gjithë parametrave të figurës në fjalë duke përdorur dy anë dhe një kënd ose dy kënde dhe një anë. Në të kaluarën, njerëzit e vunë re këtë model dhe filluan ta përdorin atë në mënyrë aktive në ndërtimin e ndërtesave, navigimin, astronominë dhe madje edhe në art.

Faza e parë

Fillimisht, njerëzit folën për marrëdhëniet midis këndeve dhe brinjëve ekskluzivisht duke përdorur shembullin e trekëndëshave kënddrejtë. Më pas u zbuluan formula të veçanta që bënë të mundur zgjerimin e kufijve të përdorimit në Jeta e përditshme këtë degë të matematikës.

Studimi i trigonometrisë në shkollë sot fillon me trekëndëshat kënddrejtë, pas së cilës nxënësit përdorin njohuritë e marra në fizikë dhe zgjidhjen e problemeve abstrakte. ekuacionet trigonometrike, puna me të cilën fillon në shkollën e mesme.

Trigonometria sferike

Më vonë, kur shkenca arriti nivelin tjetër të zhvillimit, formulat me sinus, kosinus, tangjentë dhe kotangjent filluan të përdoren në gjeometrinë sferike, ku zbatohen rregulla të ndryshme dhe shuma e këndeve në një trekëndësh është gjithmonë më shumë se 180 gradë. Ky seksion nuk studiohet në shkollë, por është e nevojshme të dihet për ekzistencën e tij, të paktën sepse sipërfaqja e tokës dhe sipërfaqja e çdo planeti tjetër është konveks, që do të thotë se çdo shenjë sipërfaqësore do të jetë "në formë harku". hapësirë ​​tredimensionale.

Merrni globin dhe fillin. Lidheni fillin në çdo dy pika të globit në mënyrë që të jetë e tendosur. Ju lutemi vini re - ka marrë formën e një harku. Gjeometria sferike merret me forma të tilla, e cila përdoret në gjeodezi, astronomi dhe fusha të tjera teorike dhe aplikative.

Trekëndësh kënddrejtë

Pasi mësuam pak për mënyrat e përdorimit të trigonometrisë, le të kthehemi në trigonometrinë bazë për të kuptuar më tej se çfarë janë sinusi, kosinusi, tangjentja, cilat llogaritje mund të kryhen me ndihmën e tyre dhe cilat formula të përdoren.

Hapi i parë është të kuptoni konceptet që lidhen me një trekëndësh kënddrejtë. Së pari, hipotenuza është ana përballë këndit 90 gradë. Është më i gjati. Kujtojmë se sipas teoremës së Pitagorës, vlera e saj numerike është e barabartë me rrënjën e shumës së katrorëve të dy anëve të tjera.

Për shembull, nëse të dy anët janë përkatësisht 3 dhe 4 centimetra, gjatësia e hipotenuzës do të jetë 5 centimetra. Nga rruga, egjiptianët e lashtë e dinin për këtë rreth katër mijë e gjysmë vjet më parë.

Dy anët e mbetura, të cilat formojnë një kënd të drejtë, quhen këmbë. Përveç kësaj, duhet të kujtojmë se shuma e këndeve në një trekëndësh në një sistem koordinativ drejtkëndor është e barabartë me 180 gradë.

Përkufizimi

Së fundi, me një kuptim të fortë të bazës gjeometrike, mund t'i drejtohemi përkufizimit të sinusit, kosinusit dhe tangjentës së një këndi.

Sinusi i një këndi është raporti i anës së kundërt (d.m.th., faqes së vendosur përballë këndi i dëshiruar) në hipotenuzë. Kosinusi i një këndi është raporti i anës ngjitur me hipotenuzën.

Mos harroni se as sinusi dhe as kosinusi nuk mund të jenë më të mëdhenj se një! Pse? Sepse si parazgjedhje hipotenuza është më e gjata.Pavarësisht sa e gjatë është këmba, ajo do të jetë më e shkurtër se hipotenuza, që do të thotë se raporti i tyre do të jetë gjithmonë më i vogël se një. Kështu, nëse në përgjigjen tuaj për një problem ju merrni një sinus ose kosinus me një vlerë më të madhe se 1, kërkoni një gabim në llogaritjet ose arsyetimin. Kjo përgjigje është qartësisht e pasaktë.

Së fundi, tangjentja e një këndi është raporti i anës së kundërt me anën ngjitur. Pjesëtimi i sinusit me kosinusin do të japë të njëjtin rezultat. Shikoni: sipas formulës, gjatësinë e anës e ndajmë me hipotenuzën, pastaj pjesëtojmë me gjatësinë e anës së dytë dhe shumëzojmë me hipotenuzën. Kështu, marrim të njëjtën marrëdhënie si në përkufizimin e tangjentes.

Kotangjenti, në përputhje me rrethanat, është raporti i anës ngjitur me këndin me anën e kundërt. Ne marrim të njëjtin rezultat duke pjesëtuar një me tangjenten.

Pra, ne kemi parë përkufizimet se çfarë janë sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja dhe mund të kalojmë te formula.

Formulat më të thjeshta

Në trigonometri nuk mund të bësh pa formula - si të gjesh sinus, kosinus, tangjentë, kotangjent pa to? Por kjo është pikërisht ajo që kërkohet kur zgjidhen problemet.

Formula e parë që duhet të dini kur filloni të studioni trigonometrinë thotë se shuma e katrorëve të sinusit dhe kosinusit të një këndi është e barabartë me një. Kjo formulë është një pasojë e drejtpërdrejtë e teoremës së Pitagorës, por kursen kohë nëse duhet të dini madhësinë e këndit dhe jo anën.

Shumë studentë nuk mund ta mbajnë mend formulën e dytë, e cila është gjithashtu shumë e njohur gjatë zgjidhjes së problemeve të shkollës: shuma e një dhe katrorit të tangjentes së një këndi është e barabartë me një të ndarë me katrorin e kosinusit të këndit. Hidhni një vështrim më të afërt: kjo është e njëjta deklaratë si në formulën e parë, vetëm të dy anët e identitetit ndaheshin me katrorin e kosinusit. Rezulton se një veprim i thjeshtë matematikor e bën formulën trigonometrike plotësisht të panjohur. Mbani mend: duke ditur se çfarë janë sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja, rregullat e transformimit dhe disa formula themelore, në çdo kohë mund të nxirrni formulat më komplekse të kërkuara në një fletë letre.

Formula për kënde të dyfishta dhe mbledhje argumentesh

Dy formula të tjera që duhet të mësoni lidhen me vlerat e sinusit dhe kosinusit për shumën dhe ndryshimin e këndeve. Ato janë paraqitur në figurën e mëposhtme. Ju lutemi vini re se në rastin e parë, sinusi dhe kosinusi shumëzohen të dyja herë, dhe në të dytën, shtohet prodhimi çift i sinusit dhe kosinusit.

Ekzistojnë gjithashtu formula që lidhen me argumentet me kënd të dyfishtë. Ato rrjedhin plotësisht nga ato të mëparshmet - si praktikë, përpiquni t'i merrni vetë duke marrë këndin alfa të barabartë me këndin beta.

Së fundi, vini re se formulat e këndit të dyfishtë mund të riorganizohen për të zvogëluar fuqinë e sinusit, kosinusit, alfa tangjente.

Teorema

Dy teoremat kryesore në trigonometrinë bazë janë teorema e sinusit dhe teorema e kosinusit. Me ndihmën e këtyre teoremave, mund të kuptoni lehtësisht se si të gjeni sinusin, kosinusin dhe tangjentën, dhe për këtë arsye sipërfaqen e figurës dhe madhësinë e secilës anë, etj.

Teorema e sinusit thotë se pjesëtimi i gjatësisë së secilës anë të një trekëndëshi me këndin e kundërt rezulton në të njëjtin numër. Për më tepër, ky numër do të jetë i barabartë me dy rreze të rrethit të rrethuar, domethënë rrethin që përmban të gjitha pikat e një trekëndëshi të caktuar.

Teorema e kosinusit përgjithëson teoremën e Pitagorës, duke e projektuar atë në çdo trekëndësh. Rezulton se nga shuma e katrorëve të dy anëve, zbritni produktin e tyre të shumëzuar me kosinusin e dyfishtë të këndit ngjitur - vlera që rezulton do të jetë e barabartë me katrorin e anës së tretë. Kështu, teorema e Pitagorës rezulton të jetë një rast i veçantë i teoremës së kosinusit.

Gabimet e pakujdesshme

Edhe duke ditur se çfarë janë sinusi, kosinusi dhe tangjentja, është e lehtë të bësh një gabim për shkak të mungesës së mendjes ose një gabimi në llogaritjet më të thjeshta. Për të shmangur gabime të tilla, le të hedhim një vështrim në ato më të njohurat.

Së pari, nuk duhet t'i konvertoni thyesat në dhjetore derisa të merrni rezultatin përfundimtar - mund ta lini përgjigjen si thyesë e zakonshme, përveç nëse përcaktohet ndryshe në kushte. Një transformim i tillë nuk mund të quhet gabim, por duhet mbajtur mend se në çdo fazë të problemit mund të shfaqen rrënjë të reja, të cilat, sipas idesë së autorit, duhet të zvogëlohen. Në këtë rast, ju do të humbni kohën tuaj në operacione të panevojshme matematikore. Kjo është veçanërisht e vërtetë për vlera të tilla si rrënja e tre ose rrënja e dy, sepse ato gjenden në probleme në çdo hap. E njëjta gjë vlen edhe për rrumbullakimin e numrave "të shëmtuar".

Më tej, vini re se teorema e kosinusit zbatohet për çdo trekëndësh, por jo për teoremën e Pitagorës! Nëse gabimisht harroni të zbrisni dyfishin e produktit të anëve të shumëzuar me kosinusin e këndit midis tyre, jo vetëm që do të merrni një rezultat krejtësisht të gabuar, por gjithashtu do të demonstroni një mungesë të plotë të të kuptuarit të temës. Kjo është më e keqe se një gabim i pakujdesshëm.

Së treti, mos i ngatërroni vlerat për këndet 30 dhe 60 gradë për sinuset, kosinuset, tangjentet, kotangjentet. Mos harroni këto vlera, sepse sinusi 30 gradë është i barabartë me kosinusin 60 dhe anasjelltas. Është e lehtë t'i ngatërroni ato, si rezultat i së cilës në mënyrë të pashmangshme do të merrni një rezultat të gabuar.

Aplikacion

Shumë studentë nuk nxitojnë të fillojnë të studiojnë trigonometrinë sepse nuk e kuptojnë kuptimin praktik të saj. Çfarë është sinusi, kosinusi, tangjenta për një inxhinier apo astronom? Këto janë koncepte me të cilat mund të llogarisni distancën nga yjet e largët, të parashikoni rënien e një meteori ose të dërgoni një sondë kërkimore në një planet tjetër. Pa to, është e pamundur të ndërtohet një ndërtesë, të projektohet një makinë, të llogaritet ngarkesa në një sipërfaqe ose trajektorja e një objekti. Dhe këta janë vetëm shembujt më të dukshëm! Në fund të fundit, trigonometria në një formë ose në një tjetër përdoret kudo, nga muzika te mjekësia.

Së fundi

Pra, ju jeni sinus, kosinus, tangent. Ju mund t'i përdorni ato në llogaritjet dhe të zgjidhni me sukses problemet e shkollës.

E gjithë pika e trigonometrisë zbret në faktin se duke përdorur parametrat e njohur të një trekëndëshi ju duhet të llogaritni të panjohurat. Gjithsej janë gjashtë parametra: gjatësia e tre anëve dhe madhësia e tre këndeve. Dallimi i vetëm në detyra qëndron në faktin se jepen të dhëna të ndryshme hyrëse.

Tani e dini se si të gjeni sinusin, kosinusin, tangjentën bazuar në gjatësinë e njohur të këmbëve ose hipotenuzën. Meqenëse këto terma nuk nënkuptojnë asgjë më shumë se një raport, dhe një raport është një fraksion, qëllimi kryesor i një problemi të trigonometrisë është të gjejë rrënjët e një ekuacioni të zakonshëm ose një sistemi ekuacionesh. Dhe këtu matematika e rregullt e shkollës do t'ju ndihmojë.

Sinusi është një nga funksionet bazë trigonometrike, përdorimi i të cilit nuk kufizohet vetëm në gjeometri. Tabelat për llogaritjen e funksioneve trigonometrike, si kalkulatorët inxhinierikë, nuk janë gjithmonë pranë, dhe llogaritja e sinusit ndonjëherë nevojitet për të zgjidhur probleme të ndryshme. Në përgjithësi, llogaritja e sinusit do të ndihmojë në konsolidimin e aftësive të vizatimit dhe njohurive të identiteteve trigonometrike.

Lojëra me vizore dhe laps

Një detyrë e thjeshtë: si të gjeni sinusin e një këndi të vizatuar në letër? Për të zgjidhur, do t'ju duhet një sundimtar i rregullt, një trekëndësh (ose busull) dhe një laps. Mënyra më e thjeshtë për të llogaritur sinusin e një këndi është pjesëtimi i këmbës së largët të një trekëndëshi me një kënd të drejtë me anën e gjatë - hipotenuzën. Kështu, së pari duhet të plotësoni këndin akut në formën e një trekëndëshi kënddrejtë duke tërhequr një vijë pingul me njërën prej rrezeve në një distancë arbitrare nga kulmi i këndit. Do të na duhet të mbajmë një kënd prej saktësisht 90°, për të cilin na duhet një trekëndësh klerik.

Përdorimi i një busull është pak më i saktë, por do të marrë më shumë kohë. Në njërën nga rrezet duhet të shënoni 2 pika në një distancë të caktuar, të vendosni një rreze në busull afërsisht të barabartë me distancën midis pikave dhe të vizatoni gjysmërrethe me qendra në këto pika derisa të merren kryqëzimet e këtyre linjave. Duke lidhur pikat e kryqëzimit të rrathëve tanë me njëri-tjetrin, marrim një pingul të rreptë me rrezen e këndit tonë; gjithçka që mbetet është të zgjasim vijën derisa të kryqëzohet me një rreze tjetër.

Në trekëndëshin që rezulton, duhet të përdorni një sundimtar për të matur anën përballë qoshes dhe anën e gjatë në njërën prej rrezeve. Raporti i dimensionit të parë me të dytin do të jetë vlera e dëshiruar e sinusit të këndit akut.

Gjeni sinusin për një kënd më të madh se 90°

Për një kënd të mpirë, detyra nuk është shumë më e vështirë. Ju duhet të vizatoni një rreze nga kulmi në anën e kundërt duke përdorur një vizore për të formuar një vijë të drejtë me një nga rrezet e këndit që na intereson. Këndi akut që rezulton duhet të trajtohet siç përshkruhet më sipër; sinuset e këndeve ngjitur që së bashku formojnë një kënd të kundërt prej 180° janë të barabarta.

Llogaritja e sinusit duke përdorur funksione të tjera trigonometrike

Gjithashtu, llogaritja e sinusit është e mundur nëse dihen vlerat e funksioneve të tjera trigonometrike të këndit ose të paktën gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit. Identitetet trigonometrike do të na ndihmojnë për këtë. Le të shohim shembuj të zakonshëm.

Si të gjeni sinusin me një kosinus të njohur të një këndi? Identiteti i parë trigonometrik, bazuar në teoremën e Pitagorës, thotë se shuma e katrorëve të sinusit dhe kosinusit të të njëjtit kënd është e barabartë me një.

Si të gjeni sinusin me një tangjente të njohur të një këndi? Tangjenti fitohet duke pjesëtuar anën e largët me anën e afërt ose duke pjesëtuar sinusin me kosinusin. Kështu, sinusi do të jetë prodhimi i kosinusit dhe tangjentes, dhe katrori i sinusit do të jetë katrori i këtij produkti. Zëvendësojmë kosinusin katror me diferencën midis unitetit dhe sinusit katror sipas identitetit të parë trigonometrik dhe, nëpërmjet manipulimeve të thjeshta, e zvogëlojmë ekuacionin në llogaritjen e sinusit katror përmes tangjentes; në përputhje me rrethanat, për të llogaritur sinusin, do të duhet të nxjerrin rrënjën e rezultatit të marrë.

Si të gjeni sinusin me një kotangjent të njohur të një këndi? Vlera e kotangjentës mund të llogaritet duke pjesëtuar gjatësinë e këmbës më të afërt me këndin me gjatësinë e asaj të largët, si dhe duke pjesëtuar kosinusin me sinusin, domethënë, kotangjentja është një funksion i kundërt me relativin tangjent. në numrin 1. Për të llogaritur sinusin, mund të llogarisni tangjenten duke përdorur formulën tg α = 1 / ctg α dhe përdorni formulën në opsionin e dytë. Ju gjithashtu mund të nxirrni një formulë të drejtpërdrejtë me analogji me tangjenten, e cila do të duket kështu.

Si të gjeni sinusin e tre brinjëve të një trekëndëshi

Ekziston një formulë për gjetjen e gjatësisë së anës së panjohur të çdo trekëndëshi, jo vetëm të një trekëndëshi kënddrejtë, nga dy brinjë të njohura duke përdorur funksionin trigonometrik të kosinusit të këndit të kundërt. Ajo duket si kjo.