Si të zgjidhni vlerën më të madhe të një funksioni. Vlera më e madhe dhe më e vogël e një funksioni

Lëreni funksionin y =f(X)është e vazhdueshme në intervalin [ a, b]. Siç dihet, një funksion i tillë arrin vlerat e tij maksimale dhe minimale në këtë segment. Funksioni mund t'i marrë këto vlera ose në pikën e brendshme të segmentit [ a, b], ose në kufirin e segmentit.

Për të gjetur vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni në segmentin [ a, b] e nevojshme:

1) gjeni pikat kritike të funksionit në intervalin ( a, b);

2) llogaritni vlerat e funksionit në pikat kritike të gjetura;

3) llogaritni vlerat e funksionit në skajet e segmentit, domethënë kur x=A dhe x = b;

4) nga të gjitha vlerat e llogaritura të funksionit, zgjidhni më të madhin dhe më të voglin.

Shembull. Gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni

në segment.

Gjetja e pikave kritike:

Këto pika shtrihen brenda segmentit; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

në pikën x= 3 dhe në pikën x= 0.

Studimi i një funksioni për konveksitetin dhe pikën e lakimit.

Funksioni y = f (x) thirrur konveksoze në mes (a, b) , nëse grafiku i tij shtrihet nën tangjenten e vizatuar në çdo pikë të këtij intervali, dhe quhet konveks poshtë (konkave), nëse grafiku i tij qëndron mbi tangjenten.

Quhet pika përmes së cilës konveksiteti zëvendësohet me konkavitetin ose anasjelltas pika e lakimit.

Algoritmi për ekzaminimin e konveksitetit dhe pikës së lakimit:

1. Gjeni pika kritike të llojit të dytë, pra pika në të cilat derivati ​​i dytë është i barabartë me zero ose nuk ekziston.

2. Paraqitni pikat kritike në vijën numerike, duke e ndarë atë në intervale. Gjeni shenjën e derivatit të dytë në çdo interval; nëse , atëherë funksioni është konveks lart, nëse, atëherë funksioni është konveks poshtë.

3. Nëse, kur kalon një pikë kritike të llojit të dytë, shenja ndryshon dhe në këtë pikë derivati ​​i dytë është i barabartë me zero, atëherë kjo pikë është abshisa e pikës së lakimit. Gjeni ordinatorin e saj.

Asimptotat e grafikut të një funksioni. Studimi i një funksioni për asimptotat.

Përkufizimi. Asimptota e grafikut të një funksioni quhet drejt, e cila ka vetinë që distanca nga çdo pikë e grafikut në këtë drejtëz tenton në zero ndërsa pika në grafik lëviz pafundësisht nga origjina.

Ekzistojnë tre lloje të asimptotave: vertikale, horizontale dhe të pjerrëta.

Përkufizimi. Vija e drejtë quhet asimptotë vertikale grafika e funksionit y = f(x), nëse të paktën një nga kufijtë e njëanshëm të funksionit në këtë pikë është i barabartë me pafundësinë, d.m.th.

ku është pika e ndërprerjes së funksionit, pra nuk i përket fushës së përkufizimit.

Shembull.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - pika e thyerjes.

Përkufizimi. Drejt y =A thirrur asimptotë horizontale grafika e funksionit y = f(x) në , nëse

Shembull.

Përkufizimi. Drejt y =kx +b (k≠ 0) quhet asimptotë e zhdrejtë grafika e funksionit y = f(x) në , ku

Skema e përgjithshme për studimin e funksioneve dhe ndërtimin e grafikëve.

Algoritmi i Kërkimit të Funksionity = f(x) :

1. Gjeni domenin e funksionit D (y).

2. Gjeni (nëse është e mundur) pikat e prerjes së grafikut me boshtet e koordinatave (nëse x= 0 dhe në y = 0).

3. Shqyrtoni barazinë dhe çuditshmërinë e funksionit ( y (‒ x) = y (x) ‒ barazi; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ i rastësishëm).

4. Gjeni asimptotat e grafikut të funksionit.

5. Gjeni intervalet e monotonitetit të funksionit.

6. Gjeni ekstremin e funksionit.

7. Gjeni intervalet e konveksitetit (konkavitetit) dhe pikat e lakimit të grafikut të funksionit.

8. Në bazë të hulumtimit të bërë ndërtoni një grafik të funksionit.

Shembull. Eksploroni funksionin dhe ndërtoni grafikun e tij.

1) D (y) =

x= 4 – pika e thyerjes.

2) Kur x = 0,

(0; ‒ 5) – pika e kryqëzimit me oh.

Në y = 0,

3) y(‒ x)= funksionin pamje e përgjithshme(as çift dhe as tek).

4) Ne ekzaminojmë për asimptota.

a) vertikale

b) horizontale

c) gjeni asimptotat e zhdrejta ku

‒ekuacioni i zhdrejtë i asimptotës

5) Në këtë ekuacion nuk është e nevojshme të gjenden intervalet e monotonitetit të funksionit.

6)

Këto pika kritike ndajnë të gjithë domenin e përkufizimit të funksionit në intervalin (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) dhe (10; +∞). Është e përshtatshme që rezultatet e marra të paraqiten në formën e tabelës së mëposhtme.

Si të gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni në një segment?

Për këtë ne ndjekim një algoritëm të njohur:

1 . Gjetja e funksioneve ODZ.

2 . Gjetja e derivatit të funksionit

3 . Barazimi i derivatit me zero

4 . Gjejmë intervalet mbi të cilat derivati ​​ruan shenjën e tij dhe prej tyre përcaktojmë intervalet e rritjes dhe uljes së funksionit:

Nëse në intervalin I derivati ​​i funksionit është 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} rritet gjatë këtij intervali.

Nëse në intervalin I derivati ​​i funksionit , atëherë funksioni zvogëlohet gjatë këtij intervali.

5 . Ne gjejme pikët maksimale dhe minimale të funksionit.

NË në pikën maksimale të funksionit, derivati ​​ndryshon shenjën nga "+" në "-".

NË pika minimale e funksionitderivati ​​ndryshon shenjën nga "-" në "+".

6 . Ne gjejmë vlerën e funksionit në skajet e segmentit,

• atëherë krahasojmë vlerën e funksionit në skajet e segmentit dhe në pikat maksimale, dhe zgjidhni më të madhin prej tyre nëse keni nevojë të gjeni vlerën më të lartë funksione
• ose krahasoni vlerën e funksionit në skajet e segmentit dhe në pikat minimale, dhe zgjidhni më të voglin prej tyre nëse duhet të gjeni vlerën më të vogël të funksionit

Megjithatë, në varësi të mënyrës se si funksioni sillet në segment, ky algoritëm mund të reduktohet ndjeshëm.

Merrni parasysh funksionin . Grafiku i këtij funksioni duket si ky:

Le të shohim disa shembuj të zgjidhjes së problemeve nga Open Task Bank për

1 . Detyra B15 (Nr. 26695)

Në segmentin.

1. Funksioni është përcaktuar për të gjitha vlerat reale të x

Natyrisht, ky ekuacion nuk ka zgjidhje, dhe derivati ​​është pozitiv për të gjitha vlerat e x. Rrjedhimisht, funksioni rritet dhe merr vlerën më të madhe në skajin e djathtë të intervalit, pra në x=0.

Përgjigje: 5.

2 . Detyra B15 (Nr. 26702)

Gjeni vlerën më të madhe të funksionit në segment.

1. Funksionet ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(në)(bbZ)">!}

Derivati ​​është i barabartë me zero në , megjithatë, në këto pika nuk ndryshon shenjë:

Prandaj, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} rritet dhe merr vlerën më të madhe në skajin e djathtë të intervalit, në .

Për ta bërë të qartë pse derivati ​​nuk ndryshon shenjë, ne e transformojmë shprehjen për derivatin si më poshtë:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Përgjigje: 5.

3. Detyra B15 (Nr. 26708)

Gjeni vlerën më të vogël të funksionit në segment.

1. Funksionet ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Le t'i vendosim rrënjët e këtij ekuacioni në rrethin trigonometrik.

Intervali përmban dy numra: dhe

Le të vendosim shenja. Për ta bërë këtë, ne përcaktojmë shenjën e derivatit në pikën x=0: . Kur kalon nëpër pika dhe, derivati ​​ndryshon shenjën.

Le të përshkruajmë ndryshimin e shenjave të derivatit të një funksioni në vijën koordinative:

Natyrisht, pika është një pikë minimale (në të cilën derivati ​​ndryshon shenjën nga "-" në "+"), dhe për të gjetur vlerën më të vogël të funksionit në segment, duhet të krahasoni vlerat e funksionit në pika minimale dhe në skajin e majtë të segmentit, .

Procesi i kërkimit të vlerave më të vogla dhe më të mëdha të një funksioni në një segment të kujton një fluturim magjepsës rreth një objekti (grafiku i funksionit) në një helikopter, duke gjuajtur në pika të caktuara nga një top me rreze të gjatë dhe duke zgjedhur pika shumë të veçanta. nga këto pika për gjuajtje kontrolli. Pikët zgjidhen në një mënyrë të caktuar dhe sipas rregullave të caktuara. Me çfarë rregullash? Ne do të flasim për këtë më tej.

Nëse funksioni y = f(x) është e vazhdueshme në intervalin [ a, b] , pastaj arrin në këtë segment më së paku Dhe vlerat më të larta . Kjo mund të ndodhë ose në pika ekstreme, ose në skajet e segmentit. Prandaj, për të gjetur më së paku Dhe vlerat më të mëdha të funksionit , e vazhdueshme në intervalin [ a, b] , duhet të llogaritni vlerat e tij në të gjitha pikat kritike dhe në skajet e segmentit, dhe më pas zgjidhni më të voglin dhe më të madhin prej tyre.

Le të, për shembull, dëshironi të përcaktoni vlerën më të madhe të funksionit f(x) në segmentin [ a, b] . Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni të gjitha pikat e tij kritike që shtrihen në [ a, b] .

Pikë kritike quhet pika në të cilën funksioni i përcaktuar, edhe ajo derivat ose e barabartë me zero ose nuk ekziston. Pastaj duhet të llogaritni vlerat e funksionit në pikat kritike. Dhe së fundi, duhet të krahasohen vlerat e funksionit në pikat kritike dhe në skajet e segmentit ( f(a) Dhe f(b)). Më i madhi nga këta numra do të jetë vlera më e madhe e funksionit në segment [a, b] .

Problemet e gjetjes vlerat më të vogla të funksionit .

Ne kërkojmë vlerat më të vogla dhe më të mëdha të funksionit së bashku

Shembulli 1. Gjeni vlerat më të vogla dhe më të mëdha të një funksioni në segment [-1, 2] .

Zgjidhje. Gjeni derivatin e këtij funksioni. Le të barazojmë derivatin me zero () dhe të marrim dy pika kritike: dhe . Për të gjetur vlerat më të vogla dhe më të mëdha të një funksioni në një segment të caktuar, mjafton të llogariten vlerat e tij në skajet e segmentit dhe në pikën, pasi pika nuk i përket segmentit [-1, 2]. Këto vlera të funksionit janë: , , . Nga kjo rrjedh se vlera më e vogël e funksionit(tregohet me të kuqe në grafikun më poshtë), e barabartë me -7, arrihet në skajin e djathtë të segmentit - në pikën , dhe më i madhi(gjithashtu e kuqe në grafik), është e barabartë me 9, - në pikën kritike.

Nëse një funksion është i vazhdueshëm në një interval të caktuar dhe ky interval nuk është një segment (por është, për shembull, një interval; ndryshimi midis një intervali dhe një segmenti: pikat kufitare të intervalit nuk përfshihen në interval, por pikat kufitare të segmentit përfshihen në segment), atëherë midis vlerave të funksionit mund të mos ketë më të voglin dhe më të madhin. Kështu, për shembull, funksioni i paraqitur në figurën më poshtë është i vazhdueshëm në ]-∞, +∞[ dhe nuk ka vlerën më të madhe.

Megjithatë, për çdo interval (të mbyllur, të hapur ose të pafund), vetia e mëposhtme e funksioneve të vazhdueshme është e vërtetë.

Shembulli 4. Gjeni vlerat më të vogla dhe më të mëdha të një funksioni në segment [-1, 3] .

Zgjidhje. Derivatin e këtij funksioni e gjejmë si derivat të herësit:

.

Derivatin e barazojmë me zero, që na jep një pikë kritike: . I përket segmentit [-1, 3]. Për të gjetur vlerat më të vogla dhe më të mëdha të një funksioni në një segment të caktuar, gjejmë vlerat e tij në skajet e segmentit dhe në pikën kritike të gjetur:

Le t'i krahasojmë këto vlera. Përfundim: i barabartë me -5/13, në pikën dhe vlerën më të lartë e barabartë me 1 në pikë.

Ne vazhdojmë të kërkojmë së bashku vlerat më të vogla dhe më të mëdha të funksionit

Ka mësues që në temën e gjetjes së vlerave më të vogla dhe më të mëdha të një funksioni, nuk u japin nxënësve shembuj për të zgjidhur që janë më të ndërlikuar se ata që sapo u diskutuan, pra ata në të cilët funksioni është një polinom ose një. thyesë, numëruesi dhe emëruesi i së cilës janë polinome. Por ne nuk do të kufizohemi në shembuj të tillë, pasi midis mësuesve ka nga ata që duan t'i detyrojnë studentët të mendojnë plotësisht (tabela e derivateve). Prandaj, do të përdoret logaritmi dhe funksioni trigonometrik.

Shembulli 6. Gjeni vlerat më të vogla dhe më të mëdha të një funksioni në segment .

Zgjidhje. Derivatin e këtij funksioni e gjejmë si derivat i produktit :

Derivatin e barazojmë me zero, i cili jep një pikë kritike: . I përket segmentit. Për të gjetur vlerat më të vogla dhe më të mëdha të një funksioni në një segment të caktuar, gjejmë vlerat e tij në skajet e segmentit dhe në pikën kritike të gjetur:

Rezultati i të gjitha veprimeve: funksioni arrin vlerën e tij minimale, e barabartë me 0, në pikën dhe në pikën dhe vlerën më të lartë, të barabartë e², në pikën.

Shembulli 7. Gjeni vlerat më të vogla dhe më të mëdha të një funksioni në segment .

Zgjidhje. Gjeni derivatin e këtij funksioni:

Ne e barazojmë derivatin me zero:

E vetmja pikë kritike i përket segmentit. Për të gjetur vlerat më të vogla dhe më të mëdha të një funksioni në një segment të caktuar, gjejmë vlerat e tij në skajet e segmentit dhe në pikën kritike të gjetur:

konkluzioni: funksioni arrin vlerën e tij minimale, e barabartë me , në pikën dhe vlerën më të lartë, e barabartë , në pikën .

Në problemet ekstreme të aplikuara, gjetja e vlerave më të vogla (maksimale) të një funksioni, si rregull, zbret në gjetjen e minimumit (maksimumit). Por nuk janë vetë minimumet apo maksimumet që kanë një interes më të madh praktik, por ato vlera të argumentit me të cilat ato arrihen. Gjatë zgjidhjes së problemeve të aplikuara, lind një vështirësi shtesë - kompozimi i funksioneve që përshkruajnë fenomenin ose procesin në shqyrtim.

Shembulli 8. Një rezervuar me kapacitet 4, që ka formën e një paralelipipedi me bazë katrore dhe i hapur në krye, duhet të kallajohet. Çfarë madhësie duhet të jetë rezervuari në mënyrë që të përdoret sa më pak material për ta mbuluar?

Zgjidhje. Le x- ana e bazës, h- lartësia e rezervuarit, S- sipërfaqja e saj pa mbulesë, V- vëllimi i tij. Sipërfaqja e rezervuarit shprehet me formulën, d.m.th. është funksion i dy ndryshoreve. Për të shprehur S si funksion të një ndryshoreje, përdorim faktin se , nga ku . Zëvendësimi i shprehjes së gjetur h në formulën për S:

Le ta shqyrtojmë këtë funksion në maksimum. Është i përcaktuar dhe i diferencueshëm kudo në ]0, +∞[ , dhe

.

E barazojmë derivatin me zero () dhe gjejmë pikën kritike. Përveç kësaj, kur derivati ​​nuk ekziston, por kjo vlerë nuk përfshihet në domenin e përkufizimit dhe për këtë arsye nuk mund të jetë një pikë ekstreme. Pra, kjo është e vetmja pikë kritike. Le ta kontrollojmë për praninë e një ekstremi duke përdorur shenjën e dytë të mjaftueshme. Le të gjejmë derivatin e dytë. Kur derivati ​​i dytë është më i madh se zero (). Kjo do të thotë se kur funksioni arrin një minimum . Që nga kjo minimumi është ekstremi i vetëm i këtij funksioni, është vlera më e vogël e tij. Pra, ana e bazës së rezervuarit duhet të jetë 2 m, dhe lartësia e saj duhet të jetë .

Shembulli 9. Nga pika A ndodhet në vijën hekurudhore, deri në pikën ME, i vendosur në një distancë prej tij l, ngarkesa duhet të transportohet. Kostoja e transportit të një njësie peshë për njësi distancë me hekurudhë është e barabartë me , dhe me autostradë është e barabartë me . Deri në çfarë pike M linjat hekurudhor duhet të ndërtohet një autostradë për të transportuar mallra nga A V ME ishte më ekonomike (seksioni AB hekurudha supozohet të jetë e drejtë)?

Le të shohim se si të ekzaminojmë një funksion duke përdorur një grafik. Rezulton se duke parë grafikun, ne mund të zbulojmë gjithçka që na intereson, përkatësisht:

• domeni i një funksioni
• diapazoni i funksionit
• funksioni zero
• intervalet e rritjes dhe zvogëlimit
• pikë maksimale dhe minimale
• vlera më e madhe dhe më e vogël e një funksioni në një segment.

Le të sqarojmë terminologjinë:

Abshisaështë koordinata horizontale e pikës.
Ordinoni- koordinata vertikale.
Boshti i abshisave- boshti horizontal, më shpesh i quajtur bosht.
boshti Y- boshti vertikal, ose boshti.

Argumenti- një variabël i pavarur nga i cili varen vlerat e funksionit. Më shpesh tregohet.
Me fjalë të tjera, ne zgjedhim , zëvendësojmë funksionet në formulë dhe marrim .

Domeni funksionet - grupi i atyre (dhe vetëm atyre) vlerave të argumenteve për të cilat ekziston funksioni.
Tregohet nga: ose .

Në figurën tonë, fusha e përcaktimit të funksionit është segmenti. Pikërisht në këtë segment vizatohet grafiku i funksionit. Ky është i vetmi vend ku ekziston ky funksion.

Gama e funksionitështë grupi i vlerave që merr një ndryshore. Në figurën tonë, ky është një segment - nga vlera më e ulët në atë më të lartë.

Funksioni zero- pikat ku vlera e funksionit është zero, d.m.th. Në figurën tonë këto janë pika dhe .

Vlerat e funksionit janë pozitive ku . Në figurën tonë këto janë intervalet dhe .
Vlerat e funksionit janë negative ku . Për ne, ky është intervali (ose intervali) nga në .

Konceptet më të rëndësishme - funksion në rritje dhe në ulje në disa set. Si grup, mund të merrni një segment, një interval, një bashkim intervalesh ose të gjithë vijën numerike.

Funksioni rritet

Me fjalë të tjera, sa më shumë, aq më shumë, domethënë, grafiku shkon djathtas dhe lart.

Funksioni zvogëlohet në një grup nëse për ndonjë dhe që i përket grupit, pabarazia nënkupton pabarazinë .

Për një funksion në rënie, një vlerë më e madhe korrespondon me një vlerë më të vogël. Grafiku shkon djathtas dhe poshtë.

Në figurën tonë, funksioni rritet në interval dhe zvogëlohet në intervalet dhe .

Le të përcaktojmë se çfarë është pikët maksimale dhe minimale të funksionit.

Pika maksimale- kjo është një pikë e brendshme e fushës së përkufizimit, e tillë që vlera e funksionit në të është më e madhe se në të gjitha pikat mjaft afër tij.
Me fjalë të tjera, një pikë maksimale është një pikë në të cilën vlera e funksionit më shumë sesa në ato fqinje. Kjo është një "kodër" lokale në tabelë.

Në figurën tonë ka një pikë maksimale.

Pika minimale- një pikë e brendshme e fushës së përkufizimit, e tillë që vlera e funksionit në të është më e vogël se në të gjitha pikat mjaft afër tij.
Kjo do të thotë, pika minimale është e tillë që vlera e funksionit në të është më e vogël se në fqinjët e saj. Kjo është një "vrimë" lokale në grafik.

Në figurën tonë ka një pikë minimale.

Pika është kufiri. Nuk është një pikë e brendshme e fushës së përkufizimit dhe për këtë arsye nuk i përshtatet përkufizimit të një pike maksimale. Në fund të fundit, ajo nuk ka fqinjë në të majtë. Në të njëjtën mënyrë, në grafikun tonë nuk mund të ketë një pikë minimale.

Pikat maksimale dhe minimale së bashku quhen pikat ekstreme të funksionit. Në rastin tonë kjo është dhe .

Çfarë duhet të bëni nëse keni nevojë të gjeni, për shembull, funksioni minimal në segment? Në këtë rast përgjigja është: . Sepse funksioni minimalështë vlera e tij në pikën minimale.

Në mënyrë të ngjashme, maksimumi i funksionit tonë është . Është arritur në pikën.

Mund të themi se ekstremet e funksionit janë të barabarta me dhe .

Ndonjëherë problemet kërkojnë gjetje vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni në një segment të caktuar. Ato nuk përkojnë domosdoshmërisht me ekstremet.

Në rastin tonë vlera më e vogël e funksionit në segment është i barabartë dhe përkon me minimumin e funksionit. Por vlera e tij më e madhe në këtë segment është e barabartë me . Ajo arrihet në skajin e majtë të segmentit.

Në çdo rast, vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni të vazhdueshëm në një segment arrihen ose në pikat ekstreme ose në skajet e segmentit.