Si të zgjidhim saktë ekuacionet racionale. "zgjidhja e ekuacioneve racionale të pjesshme"

Le të vazhdojmë të flasim për zgjidhjen e ekuacioneve. Në këtë artikull ne do të hyjmë në detaje rreth ekuacionet racionale dhe parimet e zgjidhjes së ekuacioneve racionale me një ndryshore. Së pari, le të kuptojmë se çfarë lloj ekuacionesh quhen racionale, të japim një përkufizim të ekuacioneve të plota racionale dhe të pjesshme dhe të japim shembuj. Më pas, do të marrim algoritme për zgjidhjen e ekuacioneve racionale dhe, natyrisht, do të shqyrtojmë zgjidhjet e shembujve tipikë me të gjitha shpjegimet e nevojshme.

Navigimi i faqes.

Bazuar në përkufizimet e dhëna, ne japim disa shembuj të ekuacioneve racionale. Për shembull, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , janë të gjitha ekuacione racionale.

Nga shembujt e treguar, shihet qartë se ekuacionet racionale, si dhe ekuacionet e llojeve të tjera, mund të jenë me një ndryshore, ose me dy, tre, etj. variablave. Në paragrafët e mëposhtëm do të flasim për zgjidhjen e ekuacioneve racionale me një ndryshore. Zgjidhja e ekuacioneve në dy ndryshore dhe numri i madh i tyre meriton vëmendje të veçantë.

Përveç pjesëtimit të ekuacioneve racionale me numrin e ndryshoreve të panjohura, ato ndahen edhe në numër të plotë dhe të pjesshëm. Le të japim përkufizimet përkatëse.

Përkufizimi.

Ekuacioni racional quhet e tërë, nëse të dyja anët e majta dhe të djathta të saj janë shprehje racionale me numër të plotë.

Përkufizimi.

Nëse të paktën një nga pjesët e një ekuacioni racional është një shprehje thyesore, atëherë një ekuacion i tillë quhet fraksionalisht racionale(ose racionale thyesore).

Është e qartë se ekuacionet e plota nuk përmbajnë pjesëtim me një ndryshore, përkundrazi, ekuacionet racionale të pjesshme përmbajnë domosdoshmërisht pjesëtimin me një ndryshore (ose një ndryshore në emërues). Pra 3 x+2=0 dhe (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5– këto janë ekuacione të tëra racionale, të dyja pjesët e tyre janë shprehje të tëra. A dhe x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 janë shembuj të ekuacioneve racionale thyesore.

Duke përfunduar këtë pikë, le t'i kushtojmë vëmendje faktit se ekuacionet lineare dhe ekuacionet kuadratike të njohura në këtë pikë janë ekuacione të tëra racionale.

Zgjidhja e ekuacioneve të tëra

Një nga qasjet kryesore për zgjidhjen e ekuacioneve të tëra është reduktimi i tyre në ekuivalente ekuacionet algjebrike. Kjo mund të bëhet gjithmonë duke kryer transformimet ekuivalente të mëposhtme të ekuacionit:

• së pari, shprehja nga ana e djathtë e ekuacionit të numrit të plotë origjinal transferohet në anën e majtë me shenjën e kundërt për të marrë zero në anën e djathtë;
• pas kësaj, në anën e majtë të ekuacionit rezulton pamje standarde.

Rezultati është një ekuacion algjebrik që është ekuivalent me ekuacionin e numrit të plotë origjinal. Kështu, në rastet më të thjeshta, zgjidhja e ekuacioneve të tëra reduktohet në zgjidhjen e ekuacioneve lineare ose kuadratike, dhe në rastin e përgjithshëm, në zgjidhjen e një ekuacioni algjebrik të shkallës n. Për qartësi, le të shohim zgjidhjen e shembullit.

Shembull.

Gjeni rrënjët e të gjithë ekuacionit 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)-3.

Zgjidhje.

Le ta zvogëlojmë zgjidhjen e gjithë këtij ekuacioni në zgjidhjen e një ekuacioni algjebrik ekuivalent. Për ta bërë këtë, së pari, ne transferojmë shprehjen nga ana e djathtë në të majtë, si rezultat arrijmë në ekuacionin 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. Dhe, së dyti, ne e transformojmë shprehjen e formuar në anën e majtë në një polinom të formës standarde duke plotësuar të nevojshmen: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Kështu, zgjidhja e ekuacionit të numrit të plotë origjinal reduktohet në zgjidhjen e ekuacionit kuadratik x 2 −5·x−6=0.

Ne llogarisim diskriminuesin e tij D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, është pozitiv, që do të thotë se ekuacioni ka dy rrënjë reale, të cilat i gjejmë duke përdorur formulën për rrënjët e një ekuacioni kuadratik:

Për të qenë plotësisht të sigurt, le ta bëjmë atë duke kontrolluar rrënjët e gjetura të ekuacionit. Së pari kontrollojmë rrënjën 6, e zëvendësojmë atë në vend të ndryshores x në ekuacionin e numrit të plotë origjinal: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)-3, e cila është e njëjtë, 63=63. Ky është një ekuacion numerik i vlefshëm, prandaj x=6 është me të vërtetë rrënja e ekuacionit. Tani kontrollojmë rrënjën −1, kemi 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, nga ku, 0=0 . Kur x=−1, ekuacioni origjinal gjithashtu kthehet në një barazi numerike të saktë, prandaj, x=−1 është gjithashtu një rrënjë e ekuacionit.

Përgjigje:

6 , −1 .

Këtu duhet theksuar gjithashtu se termi "shkalla e të gjithë ekuacionit" shoqërohet me paraqitjen e një ekuacioni të tërë në formën e një ekuacioni algjebrik. Le të japim përkufizimin përkatës:

Përkufizimi.

Fuqia e të gjithë ekuacionit quhet shkalla e një ekuacioni algjebrik ekuivalent.

Sipas këtij përkufizimi, i gjithë ekuacioni nga shembulli i mëparshëm ka shkallën e dytë.

Ky mund të kishte qenë fundi i zgjidhjes së të gjithë ekuacioneve racionale, nëse jo për një gjë…. Siç dihet, zgjidhja e ekuacioneve algjebrike të shkallës mbi të dytën shoqërohet me vështirësi të konsiderueshme, dhe për ekuacionet e shkallës mbi të katërtën nuk ka fare formula të përgjithshme rrënjësore. Prandaj, për të zgjidhur të gjitha ekuacionet e shkallës së tretë, të katërt dhe më të lartë, shpesh është e nevojshme të drejtoheni në metoda të tjera zgjidhjeje.

Në raste të tilla, një qasje për zgjidhjen e të gjitha ekuacioneve racionale bazuar në metoda e faktorizimit. Në këtë rast, zbatohet algoritmi i mëposhtëm:

• Së pari, ata sigurojnë që ka një zero në anën e djathtë të ekuacionit për ta bërë këtë, ata transferojnë shprehjen nga ana e djathtë e të gjithë ekuacionit në të majtë;
• më pas, shprehja që rezulton në anën e majtë paraqitet si produkt i disa faktorëve, gjë që na lejon të kalojmë në një grup ekuacionesh më të thjeshta.

Algoritmi i dhënë për zgjidhjen e një ekuacioni të tërë përmes faktorizimit kërkon një shpjegim të detajuar duke përdorur një shembull.

Shembull.

Zgjidh të gjithë ekuacionin (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Zgjidhje.

Së pari, si zakonisht, ne transferojmë shprehjen nga ana e djathtë në anën e majtë të ekuacionit, duke mos harruar të ndryshojmë shenjën, marrim (x 2 -1)·(x 2 -10·x+13)- 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Këtu është mjaft e qartë se nuk këshillohet të shndërrohet ana e majtë e ekuacionit që rezulton në një polinom të formës standarde, pasi kjo do të japë një ekuacion algjebrik të shkallës së katërt të formës. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0 zgjidhja e të cilave është e vështirë.

Nga ana tjetër, është e qartë se në anën e majtë të ekuacionit që rezulton mund të x 2 −10 x+13, duke e paraqitur atë si produkt. ne kemi (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Ekuacioni që rezulton është ekuivalent me ekuacionin e plotë origjinal, dhe ai, nga ana tjetër, mund të zëvendësohet me një grup prej dy ekuacionesh kuadratike x 2 −10·x+13=0 dhe x 2 −2·x−1=0. Gjetja e rrënjëve të tyre duke përdorur formula të njohura rrënjësore përmes një diskriminuesi nuk është e vështirë. Ato janë rrënjët e dëshiruara të ekuacionit origjinal.

Përgjigje:

Gjithashtu i dobishëm për zgjidhjen e ekuacioneve të tëra racionale Metoda për futjen e një ndryshoreje të re. Në disa raste, ju lejon të kaloni në ekuacione, shkalla e të cilave është më e ulët se shkalla e ekuacionit të tërë origjinal.

Shembull.

Gjeni rrënjët reale të një ekuacioni racional (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Zgjidhje.

Reduktimi i gjithë këtij ekuacioni racional në një ekuacion algjebrik, për ta thënë më butë, nuk është një ide shumë e mirë, pasi në këtë rast do të vijmë te nevoja për të zgjidhur një ekuacion të shkallës së katërt që nuk ka rrënjë racionale. Prandaj, do të duhet të kërkoni një zgjidhje tjetër.

Këtu është e lehtë të shihet se mund të prezantoni një ndryshore të re y dhe të zëvendësoni shprehjen x 2 +3·x me të. Ky zëvendësim na çon në të gjithë ekuacionin (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , i cili, pas zhvendosjes së shprehjes −2·(y−4) në anën e majtë dhe transformimit të mëvonshëm të shprehjes. e formuar aty, reduktohet në një ekuacion kuadratik y 2 +4·y+3=0. Rrënjët e këtij ekuacioni y=−1 dhe y=−3 janë të lehta për t'u gjetur, për shembull, ato mund të zgjidhen në bazë të teoremës së kundërt me teoremën e Vietës.

Tani kalojmë në pjesën e dytë të metodës së prezantimit të një ndryshoreje të re, domethënë në kryerjen e një zëvendësimi të kundërt. Pas kryerjes së zëvendësimit të kundërt, fitojmë dy ekuacione x 2 +3 x=−1 dhe x 2 +3 x=−3, të cilat mund të rishkruhen si x 2 +3 x+1=0 dhe x 2 +3 x+3. =0. Duke përdorur formulën për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, gjejmë rrënjët e ekuacionit të parë. Dhe ekuacioni i dytë kuadratik nuk ka rrënjë reale, pasi diskriminuesi i tij është negativ (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Përgjigje:

Në përgjithësi, kur kemi të bëjmë me ekuacione të tëra të shkallëve të larta, duhet të jemi gjithmonë të përgatitur për të kërkuar një metodë jo standarde ose një teknikë artificiale për zgjidhjen e tyre.

Zgjidhja e ekuacioneve racionale thyesore

Së pari, do të jetë e dobishme të kuptojmë se si të zgjidhen ekuacionet racionale thyesore të formës , ku p(x) dhe q(x) janë shprehje racionale me numër të plotë. Dhe pastaj do të tregojmë se si të zvogëlojmë zgjidhjen e ekuacioneve të tjera racionale të pjesshme në zgjidhjen e ekuacioneve të llojit të treguar.

Një qasje për zgjidhjen e ekuacionit bazohet në pohimin e mëposhtëm: thyesa numerike u/v, ku v është një numër jo zero (përndryshe do të hasim , i cili është i papërcaktuar), është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse numëruesi i tij është e barabartë me zero, atëherë është, nëse dhe vetëm nëse u=0 . Në bazë të këtij pohimi, zgjidhja e ekuacionit reduktohet në plotësimin e dy kushteve p(x)=0 dhe q(x)≠0.

Ky përfundim korrespondon me sa vijon algoritmi për zgjidhjen e një ekuacioni racional thyesor. Për të zgjidhur një ekuacion racional thyesor të formës , ju duhet

• zgjidh të gjithë ekuacionin racional p(x)=0 ;
• dhe kontrolloni nëse kushti q(x)≠0 plotësohet për secilën rrënjë të gjetur, ndërsa
• nëse është e vërtetë, atëherë kjo rrënjë është rrënja e ekuacionit origjinal;
• nëse nuk kënaqet, atëherë kjo rrënjë është e jashtme, domethënë nuk është rrënja e ekuacionit origjinal.

Le të shohim një shembull të përdorimit të algoritmit të shpallur kur zgjidhim një ekuacion racional thyesor.

Shembull.

Gjeni rrënjët e ekuacionit.

Zgjidhje.

Ky është një ekuacion racional thyesor, dhe i formës , ku p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Sipas algoritmit për zgjidhjen e ekuacioneve racionale thyesore të këtij lloji, fillimisht duhet të zgjidhim ekuacionin 3 x−2=0. Ky është një ekuacion linear rrënja e të cilit është x=2/3.

Mbetet të kontrollohet për këtë rrënjë, domethënë të kontrollohet nëse plotëson kushtin 5 x 2 −2≠0. Ne e zëvendësojmë numrin 2/3 në shprehjen 5 x 2 −2 në vend të x, dhe marrim . Kushti plotësohet, pra x=2/3 është rrënja e ekuacionit origjinal.

Përgjigje:

2/3 .

Ju mund t'i qaseni zgjidhjes së një ekuacioni racional thyesor nga një pozicion paksa i ndryshëm. Ky ekuacion është ekuivalent me ekuacionin e plotë p(x)=0 në ndryshoren x të ekuacionit origjinal. Kjo do të thotë, ju mund t'i përmbaheni kësaj algoritmi për zgjidhjen e një ekuacioni racional thyesor :

• të zgjidhë ekuacionin p(x)=0 ;
• gjeni ODZ të ndryshores x;
• marrin rrënjë që i përkasin rajonit të vlerave të pranueshme - ato janë rrënjët e dëshiruara të ekuacionit racional të pjesshëm origjinal.

Për shembull, le të zgjidhim një ekuacion racional thyesor duke përdorur këtë algoritëm.

Shembull.

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhje.

Së pari, zgjidhim ekuacionin kuadratik x 2 −2·x−11=0. Rrënjët e tij mund të llogariten duke përdorur formulën rrënjësore për koeficientin edhe të dytë, ne kemi D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, Dhe .

Së dyti, gjejmë ODZ të ndryshores x për ekuacionin origjinal. Ai përbëhet nga të gjithë numrat për të cilët x 2 +3·x≠0, që është i njëjtë me x·(x+3)≠0, prej nga x≠0, x≠−3.

Mbetet për të kontrolluar nëse rrënjët e gjetura në hapin e parë janë përfshirë në ODZ. Padyshim që po. Prandaj, ekuacioni racional thyesor origjinal ka dy rrënjë.

Përgjigje:

Vini re se kjo qasje është më fitimprurëse se e para nëse ODZ është e lehtë për t'u gjetur, dhe është veçanërisht e dobishme nëse rrënjët e ekuacionit p(x) = 0 janë iracionale, për shembull, ose racionale, por me një numërues mjaft të madh dhe / ose emërues, për shembull, 127/1101 dhe -31/59. Kjo për faktin se në raste të tilla, kontrollimi i kushtit q(x)≠0 do të kërkojë përpjekje të konsiderueshme llogaritëse dhe është më e lehtë të përjashtohen rrënjët e jashtme duke përdorur ODZ.

Në raste të tjera, kur zgjidhet ekuacioni, veçanërisht kur rrënjët e ekuacionit p(x) = 0 janë numra të plotë, është më fitimprurëse të përdoret i pari nga algoritmet e dhëna. Kjo do të thotë, këshillohet që menjëherë të gjenden rrënjët e të gjithë ekuacionit p(x)=0, dhe më pas të kontrollohet nëse kushti q(x)≠0 është i kënaqur për to, në vend që të gjendet ODZ dhe më pas të zgjidhet ekuacioni. p(x)=0 në këtë ODZ. Kjo për faktin se në raste të tilla zakonisht është më e lehtë të kontrollosh sesa të gjesh DZ.

Le të shqyrtojmë zgjidhjen e dy shembujve për të ilustruar nuancat e specifikuara.

Shembull.

Gjeni rrënjët e ekuacionit.

Zgjidhje.

Së pari, le të gjejmë rrënjët e të gjithë ekuacionit (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, i përbërë duke përdorur numëruesin e thyesës. Ana e majtë e këtij ekuacioni është produkt, kurse ana e djathtë është zero, prandaj, sipas metodës së zgjidhjes së ekuacioneve përmes faktorizimit, ky ekuacion është i barabartë me një grup prej katër ekuacionesh 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Tre nga këto ekuacione janë lineare dhe njëra është kuadratike; Nga ekuacioni i parë gjejmë x=1/2, nga i dyti - x=6, nga i treti - x=7, x=−2, nga i katërti - x=−1.

Me rrënjët e gjetura, është mjaft e lehtë të kontrollohet nëse emëruesi i fraksionit në anën e majtë të ekuacionit origjinal zhduket, por përcaktimi i ODZ, përkundrazi, nuk është aq i lehtë, pasi për këtë do të duhet të zgjidhni një ekuacioni algjebrik i shkallës së pestë. Prandaj, ne do të braktisim gjetjen e ODZ në favor të kontrollit të rrënjëve. Për ta bërë këtë, ne i zëvendësojmë ato një nga një në vend të ndryshores x në shprehje x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, të marra pas zëvendësimit dhe krahasojini ato me zero: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Kështu, 1/2, 6 dhe -2 janë rrënjët e dëshiruara të ekuacionit racional thyesor origjinal, dhe 7 dhe -1 janë rrënjë të jashtme.

Përgjigje:

1/2 , 6 , −2 .

Shembull.

Gjeni rrënjët e një ekuacioni racional thyesor.

Zgjidhje.

Së pari, le të gjejmë rrënjët e ekuacionit (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Ky ekuacion është i barabartë me një grup prej dy ekuacionesh: katror 5·x 2 −7·x−1=0 dhe linear x−2=0. Duke përdorur formulën për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, gjejmë dy rrënjë dhe nga ekuacioni i dytë kemi x=2.

Kontrollimi nëse emëruesi shkon në zero në vlerat e gjetura të x është mjaft e pakëndshme. Dhe përcaktimi i diapazonit të vlerave të lejuara të ndryshores x në ekuacionin origjinal është mjaft i thjeshtë. Prandaj, ne do të veprojmë përmes ODZ.

Në rastin tonë, ODZ e ndryshores x të ekuacionit racional thyesor origjinal përbëhet nga të gjithë numrat përveç atyre për të cilët plotësohet kushti x 2 +5·x−14=0. Rrënjët e këtij ekuacioni kuadratik janë x=−7 dhe x=2, nga të cilat nxjerrim një përfundim për ODZ: ai përbëhet nga të gjitha x të tilla që .

Mbetet të kontrollohet nëse rrënjët e gjetura dhe x=2 i përkasin diapazonit të vlerave të pranueshme. Rrënjët i përkasin, pra janë rrënjë të ekuacionit fillestar dhe x=2 nuk i përket, pra është rrënjë e jashtme.

Përgjigje:

Do të jetë gjithashtu e dobishme të ndalemi veçmas në rastet kur në një ekuacion racional thyesor të formës ka një numër në numërues, domethënë kur p(x) përfaqësohet nga një numër. Në të njëjtën kohë

• nëse ky numër është jo zero, atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë, pasi një thyesë është e barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse numëruesi i saj është i barabartë me zero;
• nëse ky numër është zero, atëherë rrënja e ekuacionit është çdo numër nga ODZ.

Shembull.

Zgjidhje.

Meqenëse numëruesi i thyesës në anën e majtë të ekuacionit përmban një numër jo zero, atëherë për çdo x vlera e kësaj thyese nuk mund të jetë e barabartë me zero. Prandaj, ky ekuacion nuk ka rrënjë.

Përgjigje:

pa rrënjë.

Shembull.

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhje.

Numëruesi i thyesës në anën e majtë të këtij ekuacioni racional thyesor përmban zero, kështu që vlera e kësaj thyese është zero për çdo x për të cilin ka kuptim. Me fjalë të tjera, zgjidhja e këtij ekuacioni është çdo vlerë e x nga ODZ e kësaj ndryshoreje.

Mbetet për të përcaktuar këtë varg vlerash të pranueshme. Ai përfshin të gjitha vlerat e x për të cilat x 4 +5 x 3 ≠0. Zgjidhjet e ekuacionit x 4 +5 x 3 =0 janë 0 dhe −5, pasi ky ekuacion është ekuivalent me ekuacionin x 3 (x+5)=0, dhe ai nga ana tjetër është i barabartë me kombinimin e dy ekuacioneve x 3 =0 dhe x +5=0, nga ku duken këto rrënjë. Prandaj, diapazoni i dëshiruar i vlerave të pranueshme është çdo x përveç x=0 dhe x=−5.

Kështu, një ekuacion racional thyesor ka pafundësisht shumë zgjidhje, të cilat janë çdo numër përveç zeros dhe minus pesë.

Përgjigje:

Më në fund, është koha të flasim për zgjidhjen e ekuacioneve racionale thyesore të formës arbitrare. Ato mund të shkruhen si r(x)=s(x), ku r(x) dhe s(x) janë shprehje racionale dhe të paktën njëra prej tyre është thyesore. Duke parë përpara, le të themi se zgjidhja e tyre zbret në zgjidhjen e ekuacioneve të formës tashmë të njohur për ne.

Dihet se transferimi i një termi nga një pjesë e ekuacionit në tjetrin me shenjën e kundërt çon në një ekuacion ekuivalent, prandaj ekuacioni r(x)=s(x) është ekuivalent me ekuacionin r(x)−s(x )=0.

Ne gjithashtu e dimë se çdo , identikisht e barabartë me këtë shprehje, është e mundur. Kështu, ne gjithmonë mund ta transformojmë shprehjen racionale në anën e majtë të ekuacionit r(x)−s(x)=0 në një fraksion racional identikisht të barabartë të formës .

Pra, kalojmë nga ekuacioni racional thyesor origjinal r(x)=s(x) në ekuacion, dhe zgjidhja e tij, siç zbuluam më lart, reduktohet në zgjidhjen e ekuacionit p(x)=0.

Por këtu është e nevojshme të merret parasysh fakti që kur zëvendësoni r(x)−s(x)=0 me , dhe më pas me p(x)=0, diapazoni i vlerave të lejuara të ndryshores x mund të zgjerohet. .

Rrjedhimisht, ekuacioni origjinal r(x)=s(x) dhe ekuacioni p(x)=0 në të cilin arritëm mund të rezultojnë të pabarabartë dhe duke zgjidhur ekuacionin p(x)=0, mund të marrim rrënjë që do të jenë rrënjë të jashtme të ekuacionit origjinal r(x)=s(x) . Ju mund të identifikoni dhe të mos përfshini rrënjë të jashtme në përgjigje ose duke kryer një kontroll ose duke kontrolluar që ato i përkasin ODZ-së së ekuacionit origjinal.

Le ta përmbledhim këtë informacion në algoritmi për zgjidhjen e ekuacionit racional thyesor r(x)=s(x). Për të zgjidhur ekuacionin racional thyesor r(x)=s(x) , ju duhet

• Merrni zero në të djathtë duke lëvizur shprehjen nga ana e djathtë me shenjën e kundërt.
• Kryeni veprime me thyesa dhe polinome në anën e majtë të ekuacionit, duke e shndërruar atë në një pjesë racionale të formës.
• Zgjidhet ekuacioni p(x)=0.
• Identifikoni dhe eliminoni rrënjët e jashtme, gjë që bëhet duke i zëvendësuar ato në ekuacionin origjinal ose duke kontrolluar përkatësinë e tyre në ODZ të ekuacionit origjinal.

Për qartësi më të madhe, ne do të tregojmë të gjithë zinxhirin e zgjidhjes së ekuacioneve racionale të pjesshme:
.

Le të shohim zgjidhjet e disa shembujve me një shpjegim të detajuar të procesit të zgjidhjes për të sqaruar bllokun e dhënë të informacionit.

Shembull.

Zgjidh një ekuacion racional thyesor.

Zgjidhje.

Ne do të veprojmë në përputhje me algoritmin e zgjidhjes së sapo marrë. Dhe së pari i lëvizim termat nga ana e djathtë e ekuacionit në të majtë, si rezultat kalojmë në ekuacion.

Në hapin e dytë, duhet të konvertojmë shprehjen racionale thyesore në anën e majtë të ekuacionit që rezulton në formën e një fraksioni. Për ta bërë këtë, ne reduktojmë thyesat racionale në një emërues të përbashkët dhe thjeshtojmë shprehjen që rezulton: . Kështu vijmë te ekuacioni.

Në hapin tjetër, duhet të zgjidhim ekuacionin −2·x−1=0. Gjejmë x=−1/2.

Mbetet për të kontrolluar nëse numri i gjetur -1/2 nuk është një rrënjë e jashtme e ekuacionit origjinal. Për ta bërë këtë, mund të kontrolloni ose gjeni VA të ndryshores x të ekuacionit origjinal. Le të demonstrojmë të dyja qasjet.

Le të fillojmë me kontrollin. Zëvendësojmë numrin −1/2 në ekuacionin origjinal në vend të ndryshores x, dhe marrim të njëjtën gjë, −1=−1. Zëvendësimi jep barazinë numerike të saktë, kështu që x=−1/2 është rrënja e ekuacionit origjinal.

Tani do të tregojmë se si kryhet pika e fundit e algoritmit përmes ODZ. Gama e vlerave të pranueshme të ekuacionit origjinal është bashkësia e të gjithë numrave përveç −1 dhe 0 (në x=−1 dhe x=0 emëruesit e thyesave zhduken). Rrënja x=−1/2 e gjetur në hapin e mëparshëm i përket ODZ, prandaj, x=−1/2 është rrënja e ekuacionit origjinal.

Përgjigje:

−1/2 .

Le të shohim një shembull tjetër.

Shembull.

Gjeni rrënjët e ekuacionit.

Zgjidhje.

Duhet të zgjidhim një ekuacion racional thyesor, le të kalojmë nëpër të gjitha hapat e algoritmit.

Së pari, ne e lëvizim termin nga ana e djathtë në të majtë, marrim .

Së dyti, transformojmë shprehjen e formuar në anën e majtë: . Si rezultat, arrijmë në ekuacionin x=0.

Rrënja e saj është e qartë - është zero.

Në hapin e katërt, mbetet për të gjetur nëse rrënja e gjetur është e jashtme për ekuacionin racional thyesor origjinal. Kur zëvendësohet në ekuacionin origjinal, fitohet shprehja. Natyrisht, nuk ka kuptim sepse përmban pjesëtim me zero. Prej nga arrijmë në përfundimin se 0 është një rrënjë e jashtme. Prandaj, ekuacioni origjinal nuk ka rrënjë.

7, që çon në barazimin. Nga kjo mund të konkludojmë se shprehja në emëruesin e anës së majtë duhet të jetë e barabartë me atë të anës së djathtë, domethënë . Tani ne zbresim nga të dy anët e treshes: . Për analogji, nga ku dhe më tej.

Kontrolli tregon se të dyja rrënjët e gjetura janë rrënjë të ekuacionit racional thyesor origjinal.

Përgjigje:

Referencat.

• Algjebra: teksti shkollor për klasën e 8-të. arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; redaktuar nga S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2008. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algjebër. klasën e 8-të. Në orën 14:00 Pjesa 1. Libër mësuesi për nxënësit institucionet arsimore/ A. G. Mordkovich. - Botimi i 11-të, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 f.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algjebra: Klasa e 9-të: arsimore. për arsimin e përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; redaktuar nga S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2009. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Smirnova Anastasia Yurievna

Lloji i mësimit: mësim i mësimit të materialit të ri.

Forma e organizimit veprimtari edukative : ballore, individuale.

Qëllimi i mësimit: të prezantoni një lloj të ri ekuacionesh - ekuacione racionale të pjesshme, të jepni një ide të algoritmit për zgjidhjen e ekuacioneve racionale të pjesshme.

Objektivat e mësimit.

Edukative:

• formimi i konceptit të një ekuacioni racional thyesor;
• konsideroni një algoritëm për zgjidhjen e ekuacioneve racionale thyesore, duke përfshirë kushtin që thyesa të jetë e barabartë me zero;
• mësojnë zgjidhjen e ekuacioneve racionale thyesore duke përdorur një algoritëm.

Zhvillimore:

• të krijojë kushte për zhvillimin e aftësive në zbatimin e njohurive të fituara;
• nxisin zhvillimin e interesit kognitiv të studentëve për këtë temë;
• zhvillimi i aftësisë së nxënësve për të analizuar, krahasuar dhe nxjerrë përfundime;
• zhvillimi i aftësive të kontrollit të ndërsjellë dhe vetëkontrollit, vëmendjes, kujtesës, të folurit me gojë dhe me shkrim, pavarësisë.

Edukimi:

• nxitja e interesit njohës për këtë temë;
• nxitja e pavarësisë në zgjidhjen e problemeve arsimore;
• kultivimi i vullnetit dhe këmbënguljes për të arritur rezultate përfundimtare.

Pajisjet: tekst shkollor, dërrasë e zezë, shkumësa me ngjyra.

Libër mësuesi “Algjebra 8”. Yu.N. Makarychev, N.G. Neshkov, S.B. Moska "Iluminizmi". 2010

Për këtë temë janë ndarë pesë orë. Ky është mësimi i parë. Gjëja kryesore është të studiojmë algoritmin për zgjidhjen e ekuacioneve racionale të pjesshme dhe ta praktikojmë këtë algoritëm në ushtrime.

Përparimi i mësimit

1. Momenti organizativ.

Përshëndetje djema! Sot do të doja të filloja mësimin tonë me një katrain:
Për ta bërë jetën më të lehtë për të gjithë,
Çfarë do të vendosej, çfarë do të ishte e mundur,
Buzëqeshni, fat të mirë për të gjithë,
Që të mos ketë probleme,
Ne i buzëqeshëm njëri-tjetrit dhe krijuam humor të mirë dhe filloi punën.

Ka ekuacione të shkruara në tabelë, shikojini me kujdes. A mund t'i zgjidhni të gjitha këto ekuacione? Cilat nuk janë dhe pse?

Ekuacionet në të cilat ana e majtë dhe e djathtë janë shprehje racionale thyesore quhen ekuacione racionale thyesore. Çfarë mendoni se do të studiojmë sot në klasë? Formuloni temën e mësimit. Pra, hapni fletoret tuaja dhe shkruani temën e mësimit "Zgjidhja e ekuacioneve racionale thyesore".

2. Përditësimi i njohurive. Vrojtim frontal, punë me gojë me klasën.

Dhe tani do të përsërisim materialin kryesor teorik që do të na duhet për të studiuar një temë të re. Ju lutemi përgjigjuni pyetjeve të mëposhtme:

1. Çfarë është një ekuacion? ( Barazia me një ndryshore ose ndryshore.)
2. Cili është emri i ekuacionit numër 1? ( Linear.) Një metodë për zgjidhjen e ekuacioneve lineare. ( Zhvendosni gjithçka me të panjohurën në anën e majtë të ekuacionit, të gjithë numrat në të djathtë. Jepni terma të ngjashëm. Gjeni faktor të panjohur).
3. Cili është emri i ekuacionit numër 3? ( Sheshi.) Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike. (P rreth formulave)
4. Çfarë është proporcioni? ( Barazia e dy raporteve.) Vetia kryesore e proporcionit. ( Nëse proporcioni është i saktë, atëherë prodhimi i termave të tij ekstremë është i barabartë me produktin e termave të mesëm.)
5. Cilat veti përdoren gjatë zgjidhjes së ekuacioneve? ( 1. Nëse zhvendosni një term në një ekuacion nga një pjesë në tjetrën, duke ndryshuar shenjën e tij, do të merrni një ekuacion të barabartë me atë të dhënë. 2. Nëse të dyja anët e ekuacionit shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër jozero, ju merrni një ekuacion të barabartë me atë të dhënë..)
6. Kur një thyesë është e barabartë me zero? ( Një thyesë është e barabartë me zero kur numëruesi është zero dhe emëruesi nuk është zero..)

3. Shpjegimi i materialit të ri.

Zgjidheni ekuacionin nr. 2 në fletoret tuaja dhe në tabelë.

Përgjigju: 10.

Çfarë ekuacioni racional thyesor mund të përpiqeni të zgjidhni duke përdorur vetinë bazë të proporcionit? (Nr. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Zgjidheni ekuacionin nr. 4 në fletoret tuaja dhe në tabelë.

Përgjigju: 1,5.

Çfarë ekuacioni racional thyesor mund të përpiqeni të zgjidhni duke shumëzuar të dyja anët e ekuacionit me emëruesin? (Nr. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Përgjigju: 3;4.

Ne do të shikojmë zgjidhjen e ekuacioneve si ekuacioni nr. 7 në mësimet e mëposhtme.

Shpjegoni pse ndodhi kjo? Pse ka tre rrënjë në një rast dhe dy në tjetrin? Cilët numra janë rrënjët e këtij ekuacioni racional thyesor?

Deri më tani, studentët nuk kanë hasur në konceptin e një rrënjeje të jashtme, është vërtet shumë e vështirë për ta të kuptojnë pse ndodhi kjo. Nëse askush në klasë nuk mund të japë një shpjegim të qartë për këtë situatë, atëherë mësuesi bën pyetje kryesore.

• Si ndryshojnë ekuacionet nr. 2 dhe 4 nga ekuacionet nr. 5 dhe 6? ( Në ekuacionet nr. 2 dhe 4 ka numra në emërues, nr. 5-6 - shprehje me një ndryshore.)
• Cila është rrënja e një ekuacioni? ( Vlera e ndryshores në të cilën ekuacioni bëhet i vërtetë.)
• Si të zbuloni nëse një numër është rrënja e një ekuacioni? ( Bëni një kontroll.)

Gjatë testimit, disa nxënës vërejnë se duhet të pjesëtojnë me zero. Ata arrijnë në përfundimin se numrat 0 dhe 5 nuk janë rrënjët e këtij ekuacioni. Shtrohet pyetja: a ka një mënyrë për të zgjidhur ekuacionet racionale të pjesshme që na lejon të eliminojmë këtë gabim? Po, kjo metodë bazohet në kushtin që fraksioni të jetë i barabartë me zero.

Le të përpiqemi të formulojmë një algoritëm për zgjidhjen e ekuacioneve racionale thyesore në këtë mënyrë. Fëmijët e formulojnë vetë algoritmin.

Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve racionale thyesore:

1. Lëvizni gjithçka në anën e majtë.
2. Reduktoni thyesat në një emërues të përbashkët.
3. Krijo një sistem: një thyesë është e barabartë me zero kur numëruesi është i barabartë me zero dhe emëruesi nuk është i barabartë me zero.
4. Zgjidhe ekuacionin.
5. Kontrolloni pabarazinë për të përjashtuar rrënjët e jashtme.
6. Shkruani përgjigjen.

4. Kuptimi fillestar i materialit të ri.

Punoni në çifte. Nxënësit zgjedhin vetë mënyrën e zgjidhjes së ekuacionit në varësi të llojit të ekuacionit. Detyrat nga libri shkollor "Algjebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: Nr. 600(b,c); Nr 601(a,e). Mësuesi monitoron përfundimin e detyrës, i përgjigjet çdo pyetjeje që lind dhe u ofron ndihmë nxënësve me performancë të ulët. Vetëtesti: përgjigjet shkruhen në tabelë.

b) 2 - rrënjë e jashtme. Përgjigje: 3.

c) 2 - rrënjë e jashtme. Përgjigje: 1.5.

a) Përgjigje: -12.5.

5. Vendosja e detyrave të shtëpisë.

1. Lexoni paragrafin 25 nga teksti shkollor, analizoni shembujt 1-3.
2. Mësoni një algoritëm për zgjidhjen e ekuacioneve racionale thyesore.
3. Zgjidh në fletoret nr.600 (d, d); Nr. 601 (g,h).

6. Përmbledhja e mësimit.

Pra, sot në mësim u njohëm me ekuacionet racionale thyesore, mësuam se si t'i zgjidhim këto ekuacione në mënyra të ndryshme. Pavarësisht se si i zgjidhni ekuacionet racionale thyesore, çfarë duhet të keni parasysh? Cila është "dinakëri" e ekuacioneve racionale thyesore?

Faleminderit të gjithëve, mësimi ka mbaruar.

Prezantimi dhe mësimi me temën: "Ekuacionet racionale. Algoritmi dhe shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve racionale"

Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja! Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.

Ndihma edukative dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën 8
Një manual për librin shkollor nga Makarychev Yu.N. Një manual për librin shkollor nga Mordkovich A.G.

Hyrje në Ekuacionet Irracionale

Le të jetë $r(x)$ shprehje racionale. Një shprehje e tillë mund të jetë një polinom i thjeshtë në variablin $x$ ose një raport polinomësh (prezantohet një veprim ndarjeje, si për numrat racionalë).
Quhet ekuacioni $r(x)=0$ ekuacioni racional.
Çdo ekuacion i formës $p(x)=q(x)$, ku $p(x)$ dhe $q(x)$ janë shprehje racionale, do të jetë gjithashtu ekuacioni racional.

Le të shohim shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve racionale.

Zgjidhje.
Le t'i zhvendosim të gjitha shprehjet në anën e majtë: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Nëse ana e majtë e ekuacionit do të përfaqësohej me numra të zakonshëm, atëherë do t'i reduktonim dy thyesat në një emërues të përbashkët.
Le të bëjmë këtë: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Ne morëm ekuacionin: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Një thyesë është e barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse numëruesi i thyesës është zero dhe emëruesi është jo zero. Pastaj e barazojmë veçmas numëruesin me zero dhe gjejmë rrënjët e numëruesit.
$3(x^2+2x-3)=0$ ose $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Tani le të kontrollojmë emëruesin e thyesës: $(x-3)*x≠0$.
Prodhimi i dy numrave është i barabartë me zero kur të paktën njëri prej këtyre numrave është i barabartë me zero. Pastaj: $x≠0$ ose $x-3≠0$.
$x≠0$ ose $x≠3$.
Rrënjët e marra në numërues dhe emërues nuk përkojnë. Pra, ne shkruajmë të dy rrënjët e numëruesit në përgjigje.
Përgjigje: $x=1$ ose $x=-3$.

Nëse papritmas një nga rrënjët e numëruesit përkon me rrënjën e emëruesit, atëherë duhet të përjashtohet. Rrënjë të tilla quhen të jashtme!

Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve racionale:

Shembulli 2.
Zgjidheni ekuacionin: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Zgjidhje.
Të zgjidhim sipas pikave të algoritmit.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)(x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Barazoni numëruesin me zero: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1) (3); 1$.
4. Barazoni emëruesin me zero:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ dhe $x=-1$.
Njëra prej rrënjëve $x=1$ përkon me rrënjën e numëruesit, atëherë nuk e shkruajmë në përgjigje.
Përgjigje: $x=-1$.

Është i përshtatshëm për të zgjidhur ekuacionet racionale duke përdorur metodën e ndryshimit të ndryshoreve. Le ta demonstrojmë këtë.

Shembulli 3.
Zgjidheni ekuacionin: $x^4+12x^2-64=0$.

Zgjidhje.
Le të prezantojmë zëvendësimin: $t=x^2$.
Atëherë ekuacioni ynë do të marrë formën:
$t^2+12t-64=0$ - ekuacion i zakonshëm kuadratik.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 dollarë.
Le të prezantojmë zëvendësimin e kundërt: $x^2=4$ ose $x^2=-16$.
Rrënjët e ekuacionit të parë janë një çift numrash $x=±2$. Gjëja e dytë është se nuk ka rrënjë.
Përgjigje: $x=±2$.

Shembulli 4.
Zgjidheni ekuacionin: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Zgjidhje.
Le të prezantojmë një ndryshore të re: $t=x^2+x+1$.
Atëherë ekuacioni do të marrë formën: $t=\frac(15)(t+2)$.
Më pas do të vazhdojmë sipas algoritmit.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 dollarë.
4. $t≠-2$ - rrënjët nuk përkojnë.
Le të prezantojmë një zëvendësim të kundërt.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Le të zgjidhim secilin ekuacion veç e veç:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - jo rrënjët.
Dhe ekuacioni i dytë: $x^2+x-2=0$.
Rrënjët e këtij ekuacioni do të jenë numrat $x=-2$ dhe $x=1$.
Përgjigje: $x=-2$ dhe $x=1$.

Shembulli 5.
Zgjidheni ekuacionin: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Zgjidhje.
Le të prezantojmë zëvendësimin: $t=x+\frac(1)(x)$.
Pastaj:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ ose $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Ne morëm ekuacionin: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Rrënjët e këtij ekuacioni janë çifti:
$t=-3$ dhe $t=2$.
Le të prezantojmë zëvendësimin e kundërt:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Ne do të vendosim veçmas.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Le të zgjidhim ekuacionin e dytë:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Rrënja e këtij ekuacioni është numri $x=1$.
Përgjigje: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Probleme për t'u zgjidhur në mënyrë të pavarur

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur paraqisni një kërkesë në faqe, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin, numrin e telefonit, adresën tuaj email etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Mbledhur nga ne informacion personal na lejon t'ju kontaktojmë dhe t'ju informojmë për ofertat unike, promovimet dhe ngjarjet e tjera dhe ngjarjet e ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim informacionin personal për qëllime të brendshme si auditimi, analiza e të dhënave dhe studime të ndryshme në mënyrë që të përmirësojmë shërbimet që ne ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave ose kërkesave publike nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Emëruesi më i ulët i përbashkët përdoret për të thjeshtuar këtë ekuacion. Kjo metodë përdoret kur nuk mund të shkruani një ekuacion të caktuar me një shprehje racionale në secilën anë të ekuacionit (dhe përdorni metodën e kryqëzuar të shumëzimit). Kjo metodë përdoret kur ju jepet një ekuacion racional me 3 ose më shumë thyesa (në rastin e dy thyesave, është më mirë të përdorni shumëzim të kryqëzuar).