Ku është shenja e këndit në Word? Këndi i figurës gjeometrike: përcaktimi i këndit, matja e këndeve, simbolet dhe shembujt

Në këtë artikull do të analizojmë në mënyrë gjithëpërfshirëse një nga format themelore gjeometrike - një kënd. Le të fillojmë me koncepte dhe përkufizime ndihmëse që do të na çojnë në përcaktimin e një këndi. Pas kësaj, ne paraqesim mënyrat e pranuara të përcaktimit të këndeve. Më tej, ne do të shikojmë në detaje procesin e matjes së këndeve. Si përfundim, ne do të tregojmë se si mund të shënoni qoshet në vizatim. Të gjithë teorinë e kemi siguruar me vizatimet dhe ilustrimet grafike të nevojshme për memorizimin më të mirë të materialit.

Navigimi i faqes.

Përkufizimi i këndit.

Këndi është një nga figurat më të rëndësishme në gjeometri. Përkufizimi i një këndi jepet përmes përkufizimit të një rrezeje. Nga ana tjetër, një ide e një rrezeje nuk mund të merret pa njohuri për figura të tilla gjeometrike si një pikë, një vijë e drejtë dhe një plan. Prandaj, përpara se të njiheni me përkufizimin e një këndi, ju rekomandojmë të freskoni teorinë nga seksionet dhe.

Pra, do të nisemi nga konceptet e një pike, një vijë në një rrafsh dhe një plan.

Le të japim fillimisht përkufizimin e një rrezeje.

Le të na jepet një vijë e drejtë në aeroplan. Le ta shënojmë me shkronjën a. Le të jetë O një pikë e drejtëzës a. Pika O e ndan vijën a në dy pjesë. Secila nga këto pjesë, së bashku me pikën O, quhet rreze, dhe pika O quhet fillimi i rrezes. Ju gjithashtu mund të dëgjoni se si quhet rreze gjysmë i drejtpërdrejtë.

Për shkurtësi dhe lehtësi, u prezantua shënimi i mëposhtëm për rrezet: një rreze shënohet ose me një shkronjë të vogël latine (për shembull, rreze p ose rreze k), ose me dy shkronja të mëdha latine, e para prej të cilave korrespondon me fillimin e rrezja, dhe e dyta tregon një pikë të kësaj rreze (për shembull, rreze OA ose rreze CD). Le të tregojmë imazhin dhe përcaktimin e rrezeve në vizatim.

Tani mund të japim përkufizimin e parë të një këndi.

Përkufizimi.

Këndi- kjo është një figurë gjeometrike e sheshtë (d.m.th., e shtrirë tërësisht në një plan të caktuar), e cila përbëhet nga dy rreze divergjente me një origjinë të përbashkët. Secila prej rrezeve quhet anën e këndit, quhet origjina e përbashkët e brinjëve të këndit kulmi i këndit.

Është e mundur që anët e një këndi të formojnë një vijë të drejtë. Ky kënd ka emrin e vet.

Përkufizimi.

Nëse të dyja anët e një këndi shtrihen në të njëjtën drejtëz, atëherë një kënd i tillë quhet zgjeruar.

Ne paraqesim në vëmendjen tuaj një ilustrim grafik të një këndi të rrotulluar.

Për të treguar një kënd, përdorni ikonën e këndit "". Nëse anët e një këndi përcaktohen me shkronja të vogla latine (për shembull, njëra anë e këndit është k, dhe tjetra është h), atëherë për të përcaktuar këtë kënd, pas ikonës së këndit, shkronjat që korrespondojnë me anët shkruhen në një rresht, dhe rendi i shkrimit nuk ka rëndësi (domethënë ose). Nëse anët e një këndi përcaktohen me dy shkronja të mëdha latine (për shembull, njëra anë e këndit është OA, dhe ana e dytë e këndit është OB), atëherë këndi caktohet si më poshtë: pas ikonës së këndit, tre shkruhen shkronja që janë të përfshira në përcaktimin e anëve të këndit, dhe shkronja që korrespondon me kulmin e këndit ndodhet në mes (në rastin tonë, këndi do të caktohet si ose ). Nëse kulmi i një këndi nuk është kulmi i një këndi tjetër, atëherë një kënd i tillë mund të shënohet me një shkronjë që korrespondon me kulmin e këndit (për shembull, ). Ndonjëherë mund të shihni se këndet në vizatime janë shënuar me numra (1, 2, etj.), Këto kënde janë caktuar si dhe kështu me radhë. Për qartësi, ne paraqesim një vizatim në të cilin këndet përshkruhen dhe tregohen.

Çdo kënd e ndan rrafshin në dy pjesë. Për më tepër, nëse këndi nuk është i kthyer, atëherë quhet një pjesë e aeroplanit zona e këndit të brendshëm, dhe tjetra - zona e këndit të jashtëm. Imazhi i mëposhtëm shpjegon se cila pjesë e aeroplanit korrespondon me zonën e brendshme të këndit dhe cila me atë të jashtme.

Secila nga dy pjesët në të cilat këndi i shpalosur ndan rrafshin mund të konsiderohet rajoni i brendshëm i këndit të shpalosur.

Përcaktimi i rajonit të brendshëm të një këndi na sjell në përkufizimin e dytë të një këndi.

Përkufizimi.

Këndiështë një figurë gjeometrike që përbëhet nga dy rreze divergjente me një origjinë të përbashkët dhe zonën e brendshme përkatëse të këndit.

Duhet të theksohet se përkufizimi i dytë i këndit është më i rreptë se i pari, pasi përmban më shumë kushte. Megjithatë, përkufizimi i parë i këndit nuk duhet të hidhet poshtë dhe as përkufizimi i parë dhe i dytë i këndit nuk duhet të konsiderohen veçmas. Le ta sqarojmë këtë pikë. Kur flasim për një kënd si figurë gjeometrike, atëherë një kënd kuptohet si një figurë e përbërë nga dy rreze me origjinë të përbashkët. Nëse ka nevojë për të kryer ndonjë veprim me këtë kënd (për shembull, matja e një këndi), atëherë këndi duhet kuptuar tashmë si dy rreze me një fillim të përbashkët dhe një zonë të brendshme (përndryshe do të lindte një situatë e dyfishtë për shkak të prania e zonave të brendshme dhe të jashtme të këndit).

Le të japim edhe përkufizime të këndeve ngjitur dhe vertikale.

Përkufizimi.

Kënde ngjitur- këto janë dy kënde në të cilat njëra anë është e përbashkët, dhe dy të tjerat formojnë një kënd të shpalosur.

Nga përkufizimi rezulton se këndet ngjitur plotësojnë njëri-tjetrin deri në një kënd të drejtë.

Përkufizimi.

Kënde vertikale- këto janë dy kënde në të cilat brinjët e njërit kënd janë vazhdimësi e brinjëve të tjetrit.

Figura tregon kënde vertikale.

Natyrisht, dy vija të kryqëzuara formojnë katër palë kënde ngjitur dhe dy palë kënde vertikale.

Krahasimi i këndeve.

Në këtë paragraf të artikullit do të kuptojmë përkufizimet e këndeve të barabarta dhe të pabarabarta dhe gjithashtu në rastin e këndeve të pabarabarta do të shpjegojmë se cili kënd konsiderohet më i madh dhe cili më i vogël.

Kujtojmë se dy figura gjeometrike quhen të barabarta nëse mund të kombinohen me mbivendosje.

Le të na jepen dy kënde. Le të japim disa arsyetime që do të na ndihmojnë të marrim një përgjigje për pyetjen: "A janë këto dy kënde të barabarta apo jo?"

Natyrisht, ne gjithmonë mund të përputhim kulmet e dy qosheve, si dhe njërën anë të këndit të parë me secilën anë të këndit të dytë. Le të rreshtojmë anën e këndit të parë me atë anë të këndit të dytë në mënyrë që anët e mbetura të këndeve të jenë në të njëjtën anë të vijës së drejtë në të cilën shtrihen anët e kombinuara të këndeve. Atëherë, nëse dy anët e tjera të këndeve përkojnë, atëherë quhen këndet të barabartë.

Nëse dy anët e tjera të këndeve nuk përputhen, atëherë quhen këndet të pabarabartë, dhe më të vogla konsiderohet këndi që është pjesë e një tjetri ( i madhështë këndi që përmban plotësisht një kënd tjetër).

Natyrisht, dy këndet e drejta janë të barabarta. Është gjithashtu e qartë se një kënd i zhvilluar është më i madh se çdo kënd i pazhvilluar.

Matja e këndeve.

Matja e këndeve bazohet në krahasimin e këndit që matet me këndin e marrë si njësi matëse. Procesi i matjes së këndeve duket kështu: duke filluar nga njëra nga anët e këndit që matet, zona e brendshme e tij mbushet në mënyrë sekuenciale me kënde të vetme, duke i vendosur ato fort pranë njëri-tjetrit. Në të njëjtën kohë, mbahet mend numri i këndeve të vendosura, i cili jep masën e këndit të matur.

Në fakt, çdo kënd mund të miratohet si njësi matëse për këndet. Megjithatë, ka shumë njësi të pranuara përgjithësisht të këndeve matëse që lidhen me fusha të ndryshme të shkencës dhe teknologjisë, ato kanë marrë emra të veçantë.

Një nga njësitë për matjen e këndeve është shkallë.

Përkufizimi.

Një shkallë- ky është një kënd i barabartë me njëqind e tetëdhjetën e një këndi të kthyer.

Një shkallë shënohet me simbolin "", prandaj një shkallë shënohet si .

Kështu, në një kënd të rrotulluar mund të vendosim 180 kënde në një shkallë. Do të duket si një gjysmë byreku e rrumbullakët e prerë në 180 pjesë të barabarta. Shumë e rëndësishme: "copat e byrekut" përshtaten fort së bashku (d.m.th., anët e qosheve janë të rreshtuara), me anën e këndit të parë të lidhur me njërën anë të këndit të shpalosur dhe anën e këndit të fundit të njësisë. përkon me anën tjetër të këndit të shpalosur.

Kur matni këndet, zbuloni se sa herë është vendosur një shkallë (ose njësi tjetër matëse e këndeve) në këndin që matet derisa zona e brendshme e këndit që matet të mbulohet plotësisht. Siç e kemi parë tashmë, në një kënd të rrotulluar shkalla është saktësisht 180 herë. Më poshtë janë shembuj të këndeve në të cilët një kënd prej një gradë përshtatet saktësisht 30 herë (një kënd i tillë është një e gjashta e këndit të shpalosur) dhe saktësisht 90 herë (gjysma e këndit të shpalosur).

Për të matur këndet më të vogla se një shkallë (ose njësi tjetër matëse të këndeve) dhe në rastet kur këndi nuk mund të matet me një numër të plotë gradësh (njësi matëse të marra), është e nevojshme të përdoren pjesë të një shkalle (pjesë të njësitë e marra matëse). Disa pjesë të një diplome u jepen emra të veçantë. Më të zakonshmet janë të ashtuquajturat minuta dhe sekonda.

Përkufizimi.

Minutaështë një e gjashtëdhjeta e shkallës.

Përkufizimi.

Së dytiështë një e gjashtëdhjetë e minutës.

Me fjalë të tjera, ka gjashtëdhjetë sekonda në një minutë, dhe gjashtëdhjetë minuta në një shkallë (3600 sekonda). Simboli "" përdoret për të treguar minutat, dhe simboli "" përdoret për të treguar sekondat (mos e ngatërroni me shenjat e derivatit dhe të derivatit të dytë). Pastaj, me përkufizimet dhe shënimet e prezantuara, kemi , dhe këndi në të cilin përshtaten 17 gradë 3 minuta dhe 59 sekonda mund të shënohet si .

Përkufizimi.

Masa e shkallës së kënditështë një numër pozitiv që tregon sa herë një shkallë dhe pjesët e saj përshtaten në një kënd të caktuar.

Për shembull, masa e shkallës së një këndi të zhvilluar është njëqind e tetëdhjetë, dhe masa e shkallës së një këndi është e barabartë me .

Ekzistojnë instrumente të veçanta matëse për matjen e këndeve, më i famshmi prej të cilëve është raportori.

Nëse dihen edhe përcaktimi i këndit (për shembull, ) dhe masa e shkallës së tij (le të jetë 110), atëherë përdorni një shënim të shkurtër të formës dhe thonë: “Këndi AOB është i barabartë me njëqind e dhjetë gradë”.

Nga përkufizimet e një këndi dhe masa e shkallës së një këndi, rezulton se në gjeometri, masa e një këndi në gradë shprehet me një numër real nga intervali (0, 180] (në trigonometri, kënde me një shkallë arbitrare konsiderohen masa, quhen një kënd prej nëntëdhjetë gradësh ka një emër të veçantë, quhet). kënd i drejtë. Një kënd më i vogël se 90 gradë quhet kënd akut. Një kënd më i madh se nëntëdhjetë gradë quhet kënd i mpirë. Pra, masa e një këndi akut në gradë shprehet me një numër nga intervali (0, 90), masa e një këndi të mpirë shprehet me një numër nga intervali (90, 180), një kënd i drejtë është i barabartë me nëntëdhjetë gradë. Këtu janë ilustrime të një këndi akut, një këndi të mpirë dhe një këndi të drejtë.

Nga parimi i matjes së këndeve rezulton se masat e shkallës së këndeve të barabarta janë të njëjta, masa e shkallës së një këndi më të madh është më e madhe se masa e shkallës së një këndi më të vogël dhe masa e shkallës së një këndi që përbëhet nga disa këndet është e barabartë me shumën e masave të shkallës së këndeve përbërëse. Figura më poshtë tregon këndin AOB, i cili përbëhet nga këndet AOC, COD dhe DOB, në këtë rast.

Kështu, shuma e këndeve ngjitur është njëqind e tetëdhjetë gradë, pasi ato formojnë një kënd të drejtë.

Nga kjo deklaratë del se. Në të vërtetë, nëse këndet AOB dhe COD janë vertikale, atëherë këndet AOB dhe BOC janë fqinjë dhe këndet COD dhe BOC janë gjithashtu fqinjë, pra, barazitë dhe janë të vlefshme, që nënkupton barazinë.

Së bashku me shkallën, quhet një njësi matëse e përshtatshme për këndet radian. Masa e radianit përdoret gjerësisht në trigonometri. Le të përcaktojmë një radian.

Përkufizimi.

Këndi një radian- Kjo kënd qendror, e cila korrespondon me një gjatësi harku të barabartë me gjatësinë e rrezes së rrethit përkatës.

Le të japim një ilustrim grafik të një këndi prej një radian. Në vizatim, gjatësia e rrezes OA (si dhe rrezes OB) është e barabartë me gjatësinë e harkut AB, prandaj, sipas përkufizimit, këndi AOB është i barabartë me një radian.

Shkurtesa "rad" përdoret për të treguar radianet. Për shembull, hyrja 5 rad do të thotë 5 radianë. Megjithatë, në shkrim emërtimi "rad" shpesh hiqet. Për shembull, kur shkruhet se këndi është i barabartë me pi, do të thotë pi rad.

Vlen të përmendet veçmas se madhësia e këndit, e shprehur në radianë, nuk varet nga gjatësia e rrezes së rrethit. Kjo për faktin se figurat e kufizuara nga një kënd i caktuar dhe një hark rrethi me qendër në kulmin e një këndi të caktuar janë të ngjashme me njëra-tjetrën.

Matja e këndeve në radiane mund të bëhet në të njëjtën mënyrë si matja e këndeve në gradë: zbuloni sa herë një kënd i një radiani (dhe pjesëve të tij) përshtatet në një kënd të caktuar. Ose mund të llogarisni gjatësinë e harkut të këndit qendror përkatës dhe më pas ta ndani atë me gjatësinë e rrezes.

Për qëllime praktike, është e dobishme të dihet se si matjet e shkallës dhe radianit lidhen me njëra-tjetrën, pasi mjaft prej tyre duhet të kryhen. Ky artikull vendos një lidhje midis shkallës dhe masës radian të këndit dhe jep shembuj të konvertimit të shkallëve në radiane dhe anasjelltas.

Përcaktimi i këndeve në vizatim.

Në vizatime, për lehtësi dhe qartësi, qoshet mund të shënohen me harqe, të cilat zakonisht vizatohen në zonën e brendshme të qoshes nga njëra anë e këndit në tjetrën. Këndet e barabarta shënohen me të njëjtin numër harqesh, këndet e pabarabarta me numër të ndryshëm harqesh. Këndet e drejta në vizatim tregohen nga një simbol i formës "", i cili përshkruhet në zonën e brendshme të këndit të duhur nga njëra anë e këndit në tjetrën.

Nëse duhet të shënoni shumë kënde të ndryshme në një vizatim (zakonisht më shumë se tre), atëherë kur shënoni kënde, përveç harqeve të zakonshëm, lejohet të përdorni harqe të një lloji të veçantë. Për shembull, ju mund të përshkruani harqe të dhëmbëzuara ose diçka të ngjashme.

Duhet të theksohet se nuk duhet të tërhiqeni me përcaktimin e këndeve në vizatime dhe të mos i ngatërroni vizatimet. Ne rekomandojmë të shënoni vetëm ato kënde që janë të nevojshme në procesin e zgjidhjes ose provës.

Referencat.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Gjeometria. Klasat 7 – 9: tekst shkollor për institucionet e arsimit të përgjithshëm.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Gjeometria. Libër mësuesi për klasat 10-11 të shkollës së mesme.
• Pogorelov A.V., Gjeometri. Libër mësuesi për klasat 7-11 në institucionet e arsimit të përgjithshëm.

Shumë shpesh dëgjoj pyetjen "Si të marrim një simbol të shenjës në Word?" Përgjigjet janë njëra më e mençur se tjetra! Mënyra më e lehtë është të shtypni butonin Alt dhe, pa e lëshuar, shkruani numrin 10003 në tastierën numerike anësore. Vetëm se të dy këta numra janë të barabartë me njëri-tjetrin: 10003 ( dhjetore) = 2713 ( heksadecimal).

Kur punoni shumë në Word dhe Excel, filloni të kuptoni se të hedhësh tutje tastierën, të kapësh mausin dhe më pas të kalosh përsëri në tastierë është e papërshtatshme, joergonomike, jo... - vazhdoni. Kjo është ndoshta arsyeja pse u shpikën kombinime të ndryshme të butonave, çelësave të nxehtë etj. Në këtë drejtim, më pëlqen shumë tasti i funksionit F4, duke shtypur i cili përsërit çdo veprim që sapo është kryer. Për shembull, duhet të theksoni 8 fjalë në vende të ndryshme në tekst me shkronja të zeza. Ju mund ta bëni fjalën e parë "të guximshme" duke klikuar në shkronjën "dhe" në meny ose duke shtypur njëkohësisht dy taste Ctrl dhe b (shkronja ruse i). Për fjalë të tjera, thjesht kliko me të djathtën në çdo vend në fjalën e dëshiruar dhe shtyp tastin F4 me dorën e majtë. "Dhe kështu përsëri."

Shumë njerëz dridhen nga fjala "makro", por nuk ka asgjë të frikshme apo të rrezikshme tek ata. Në përgjithësi, makrot janë një gjë shumë e dobishme! Krijimi i një makro në Word është po aq i lehtë sa granatimi i dardhave. Le të themi se shpesh duhet të futni emrin e një organizate kur shkruani: LLC "Brirët dhe thundrat". Ose printoni në fund të dokumentit: Interpretues - Vasya Pupkin. Le të shohim se si të shtypni tekstin e parë duke shtypur vetëm dy çelësa, dhe të dytin - me një klik në një buton me çdo foto të krijuar në panelin e hyrjes së shpejtë.

Pra, le të provojmë: hapni Word dhe zgjidhni "Service-Macros" ose "View-Macros" (në varësi të faktit nëse është 2003 ose 2007) dhe klikoni "Regjistro makro ...". Në dritaren që shfaqet, mund të dilni me një emër për makro dhe të bëni një përshkrim të tij, por mund të lini emrin e paracaktuar "Macro1" dhe të mos përshkruani asgjë - siç dëshironi. Por ju duhet të klikoni në ikonën me imazhin e një tastierë ose një çekiç. Në rastin e parë, do t'ju kërkohet të dilni me ndonjë kombinim kyç, dhe në të dytën - një buton në panel. Për tekstin e parë, zgjidhni kombinimin Ctrl+P (për ta bërë më të lehtë për t'u mbajtur mend, merrni shkronjën e parë të Horns), pastaj klikoni "Cakto" dhe "Mbyll". Dritarja më pas zhduket dhe një ikonë e kasetës shfaqet pranë kursorit, që do të thotë se "të gjitha lëvizjet regjistrohen". Në Word 2003, ende shfaqet një panel i vogël lundrues. Për herë të parë dhe të fundit (atëherë kompjuteri do ta bëjë për ju), ne shtypim tekstin e kërkuar me emrin e kompanisë dhe ndalojmë regjistrimin. Në Word-in e vjetër, thjesht klikoni katrorin në panelin lundrues, dhe në atë të ri, shkoni te menyja "View-Macros-Stop Recording". Tani dhe gjithmonë (derisa të riinstaloni Office ose të fshini makro), shtypja e kombinimit të tastit që zgjidhni do t'ju japë atë që keni shkruar gjatë regjistrimit të makro.

Nëse në fazën fillestare klikoni në çekiç, atëherë në vitin 2003 do të shfaqet një dritare e Cilësimeve me një ikonë makro standarde, të cilën duhet ta kapni me miun dhe të tërhiqni në çdo vend në shiritin e menysë së sipërme, dhe më pas klikoni në " Butoni "Ndrysho objektin e zgjedhur" dhe në rreshtin "Zgjidh një ikonë për butonin" zgjidhni një emoticon ose çdo dizajn që ju pëlqen. Nëse klikoni në rreshtin "Ndrysho ikonën në butonin...", do të hapet një redaktues i thjeshtë grafik në të cilin mund të vizatoni një ikonë sipas shijes tuaj.

Në vitin 2007, një rrugë e ngjashme: kur zgjidhni një çekiç, shfaqet Konfigurimi i Shiritit të Veglave të Qasjes së Shpejtë, ku është e nevojshme, theksoni makronë në dritaren e majtë dhe klikoni butonin "Shto". Pas kësaj, një ikonë standarde makro me emrin tuaj do të shtohet në dritaren e djathtë, ku mund ta zgjidhni përsëri dhe të klikoni butonin "Ndrysho". Zgjedhja e vizatimeve do të jetë më e madhe se në Word-in e vjetër, por aftësia për të vizatuar ikonën tuaj është hequr dhe mund të vendoset vetëm në panelin e aksesit të shpejtë.

Veprimet e mëtejshme janë të njëjta si në vitin 2003: shtypja e tekstit të kërkuar dhe ndalimi i regjistrimit. Ju mund të krijoni sa më shumë makro të ngjashme që dëshironi, si rezultat do të jeni në gjendje të merrni tekstin e dëshiruar ose çdo sekuencë operacionesh me një klikim në ikonën tuaj (të cilën, mos harroni, asnjë nga kolegët tuaj nuk e ka!).

Si dhe çfarë duhet të shkruani në tastierë për të marrë një imazh të zemrës në një dokument teksti? Mënyra më e lehtë është të shtypni butonin Alt dhe, pa e lëshuar, shtypni numrin 3 në anën e djathtë të tastierës. Një mënyrë tjetër: thirrni numrin 2665 dhe shtypni kombinimin e tastit Alt+x. Ju gjithashtu mund të thirrni numrat 2765, 2764 ose 2661 për të marrë zemrat. +x.

Në përgjithësi, për të marrë ndonjë karakter, thjesht shkruani atë Kodi ASCII dhe shtypni Alt+x. Për shembull, për të shtypur shenjën e dollarit "$", është më e lehtë dhe më e shpejtë, pa kaluar në fontin anglisht, të shtypni numrin 24 dhe më pas shtypni Alt+x. Mund të merrni shpejt shenjën e shumës "∑" (kodi - 2211), simboli i këndit "∠" (kodi - 2220), barazia e përafërt« ≈ » (kodi - 2248), shigjeta të ndryshme etj. Kjo është arsyeja pse ndonjëherë në vend të fjalës "qen" ata thonë "dyzet alt x" që do të thotë @.

Këtu është një tabelë e kodeve për disa karaktere:

Dy rreze që dalin nga një pikë kufizojnë një pjesë të rrafshit që ndodhet midis rrezeve. Figura që formohet quhet kënd. Rrezet me kulm të përbashkët në pikën e origjinës së rrezeve quhen anët e këndit. Kulmi i këndit ndodhet në pikën e origjinës së rrezeve.

Këndi - një pjesë e aeroplanit e kufizuar nga dy rreze që dalin nga një pikë.

Këndi është një figurë gjeometrike që ka një kulm, brinjë dhe masën e vet të shkallës.

Aeroplani ndahet nga anët e këndit në dy pjesë. Sa më i vogël nga këndet quhet i brendshëm, aq më i madh - i jashtëm. Për të shmangur interpretimet e ndryshme se për cilin kënd po flasim, anët e tij në vizatim janë të lidhura me një hark. (shiko foton)

Masa këndore e këndit

• kënde të barabarta korrespondojnë me masa të barabarta këndore;
• një kënd më i vogël korrespondon me një masë këndore më të vogël;
• një kënd anët e të cilit përputhen (këndi zero) ka masë këndore të barabartë me zero (e njëjta gjë vlen edhe për këndin ndërmjet drejtëzave paralele);
• çdo kënd jo zero ka një masë këndore të caktuar më të madhe se zero;
• (aditiviteti) masa këndore e një këndi është e barabartë me shumën e masave këndore të këndeve në të cilat ai ndahet nga çdo rreze që kalon ndërmjet anëve të tij (shih aksiomën e matjes së këndit).

1 rrotullim = 360 gradë = 2π radianë = 400 gradë

Konsideroni një kënd anët e të cilit përputhen ( ∠ VAV 1 ). Masa e shkallës së saj është 0°

Nëse njëra anë e këndit ( AB ) mbërthejeni dhe anën e dytë ( AB 1 ) rrotullohet në drejtim të kundërt të akrepave të orës derisa të përputhet me anën e parë (AB), atëherë rrafshi i një këndi të tillë do të jetë kënd i plotë(Fig. 5). Prandaj, këndi A (shënohet ∠ A ) është një kënd i plotë.

Përcaktimi i këndit

Një kënd mund të shënohet si një kombinim i shenjës së këndit dhe kulmit të tij, për shembull ∠ A ; (Fig. 1)

Gjithashtu, këndi mund të tregohet duke përdorur shkronja të mëdha latine. Për shembull ∠ABC- ky është një kënd me kulm B, anët e të cilit janë rrezet BA dhe BC (Fig. 2).

Mund të ketë një përcaktim të tillë si një ikonë këndi që tregon anët e këndit (për shembull ∠ ab ). (Fig. 3)

Këndi mund të shënohet me shkronja greke α, β, γ e kështu me radhë. (Fig. 4) Përjashtimi i vetëm është shkronja "π". Nuk përdoret për të treguar këndet.

Masa e shkallës së këndit

Nëse merrni një kënd të plotë dhe e ndani në 360 pjesë (kënde), atëherë çdo pjesë që përbën 1/360 një pjesë e këndit të plotë quhet rrezja e këndit (e shënuar me 1°).

Prandaj, këndi total është 1 ° *360=360°.

Gjysma e një këndi të plotë do të jetë një kënd i drejtë, i cili është i barabartë me 360°:2=180°.

Kënde qendrore dhe të brendashkruara

Këndi i brendashkruarështë një kënd, kulmi i të cilit shtrihet në rreth dhe anët e të cilit e ndërpresin atë (Figura 1). Madhësia e një këndi të tillë është e barabartë me gjysmën e masës këndore të harkut të një rrethi, i cili është i mbyllur midis anëve të tij.

Vetitë e këndeve të gdhendura në një rreth:

• Këndet e brendashkruara që nënshtrojnë të njëjtin hark të një rrethi janë të barabartë.
• Madhësia e një këndi të brendashkruar të nënshtruar nga i njëjti hark i një rrethi si një kënd qendror është i barabartë me gjysmën e madhësisë së një këndi të tillë qendror.

Këndi është figura kryesore gjeometrike, të cilën do ta analizojmë gjatë gjithë temës. Përkufizimet, metodat e vendosjes, shënimit dhe matjes së këndit. Le të shohim parimet e nxjerrjes në pah të qosheve në vizatime. E gjithë teoria është e ilustruar dhe ka një numër të madh vizatimesh vizuale.

Këndi– një figurë e thjeshtë e rëndësishme në gjeometri. Këndi varet drejtpërdrejt nga përkufizimi i një rrezeje, e cila nga ana tjetër përbëhet nga konceptet themelore të një pike, një vijë të drejtë dhe një plan. Për një studim të plotë, ju duhet të thelloheni në tema vijë e drejtë në aeroplan - informacion i nevojshëm Dhe aeroplan - informacion i nevojshëm.

Koncepti i një këndi fillon me konceptet e një pike, një rrafshi dhe një vijë të drejtë të përshkruar në këtë plan.

Përkufizimi 2

Jepet një vijë e drejtë a në rrafsh. Le të shënojmë një pikë të caktuar O në të. Një vijë e drejtë ndahet nga një pikë në dy pjesë, secila prej të cilave ka një emër rreze, dhe pika O - fillimi i rrezes.

Me fjalë të tjera, rrezja ose gjysmë i drejtë -është një pjesë e një linje që përbëhet nga pika të një linje të caktuar të vendosura në të njëjtën anë në lidhje me pikën e fillimit, domethënë pikën O.

Emërtimi i rrezes lejohet në dy variante: një shkronja të vogla ose dy shkronja të mëdha të alfabetit latin. Kur përcaktohet me dy shkronja, rrezja ka një emër të përbërë nga dy shkronja. Le të hedhim një vështrim më të afërt në vizatim.

Le të kalojmë në konceptin e përcaktimit të një këndi.

Përkufizimi 3

Këndiështë një figurë e vendosur në një rrafsh të caktuar, e formuar nga dy rreze divergjente që kanë një origjinë të përbashkët. Ana këndoreështë një rreze kulm– origjina e përbashkët e anëve.

Ekziston një rast kur anët e një këndi mund të veprojnë si një vijë e drejtë.

Përkufizimi 4

Kur të dyja anët e një këndi janë të vendosura në të njëjtën drejtëz ose anët e tij shërbejnë si gjysmëdrejtëza shtesë të një vije të drejtë, atëherë një kënd i tillë quhet zgjeruar.

Fotografia më poshtë tregon një kënd të rrotulluar.

Një pikë në një vijë të drejtë është kulmi i një këndi. Më shpesh caktohet nga pika O.

Një kënd në matematikë shënohet me shenjën "∠". Kur anët e një këndi përcaktohen me shkronja të vogla latine, atëherë për të përcaktuar saktë këndin, shkronjat shkruhen në një rresht që korrespondon me anët. Nëse dy brinjë caktohen k dhe h, atëherë këndi caktohet ∠ k h ose ∠ h k.

Kur emërtimi është me shkronja të mëdha, atëherë, përkatësisht, brinjët e këndit emërtohen O A dhe O B. Në këtë rast, këndi ka një emër të përbërë nga tre shkronja të alfabetit latin, të shkruar në një rresht, në qendër me një kulm - ∠ A O B dhe ∠ B O A. Ekziston një emërtim në formën e numrave kur këndet nuk kanë emra ose emërtime shkronjash. Më poshtë është një fotografi ku këndet tregohen në mënyra të ndryshme.

Një kënd e ndan një rrafsh në dy pjesë. Nëse këndi nuk është i kthyer, atëherë quhet një pjesë e rrafshit zona e këndit të brendshëm, tjetra - zona e këndit të jashtëm. Më poshtë është një imazh që shpjegon se cilat pjesë të aeroplanit janë të jashtme dhe cilat janë të brendshme.

Kur ndahet me një kënd të zhvilluar në një plan, çdo pjesë e tij konsiderohet të jetë rajoni i brendshëm i këndit të zhvilluar.

Zona e brendshme e këndit është një element që shërben për përcaktimin e dytë të këndit.

Përkufizimi 5

Këndi quhet një figurë gjeometrike e përbërë nga dy rreze divergjente që kanë një origjinë të përbashkët dhe një zonë këndi të brendshëm përkatës.

Ky përkufizim është më i rreptë se ai i mëparshmi, pasi ka më shumë kushte. Nuk këshillohet që të dy përkufizimet të merren veçmas, sepse një kënd është një figurë gjeometrike e transformuar duke përdorur dy rreze që dalin nga një pikë. Kur është e nevojshme të kryhen veprime me një kënd, përkufizimi nënkupton praninë e dy rrezeve me një fillim të përbashkët dhe një zonë të brendshme.

Të dy këndet quhen ngjitur, nëse ka një anë të përbashkët, dhe dy të tjerat janë gjysmë vija shtesë ose formojnë një kënd të drejtë.

Figura tregon se këndet ngjitur plotësojnë njëri-tjetrin, pasi ato janë vazhdimësi e njëri-tjetrit.

Përkufizimi 7

Të dy këndet quhen vertikale, nëse brinjët e njërës janë gjysmëdrejtëza plotësuese të tjetrës ose janë vazhdimësi e brinjëve të tjetrës. Fotografia më poshtë tregon një imazh të këndeve vertikale.

Kur vijat e drejta ndërpriten, fitohen 4 palë kënde ngjitur dhe 2 palë kënde vertikale. Më poshtë është treguar në foto.

Artikulli tregon përkufizimet e këndeve të barabarta dhe të pabarabarta. Le të shohim se cili kënd konsiderohet më i madh, cili është më i vogël dhe vetitë e tjera të këndit. Dy shifra konsiderohen të barabarta nëse, kur mbivendosen, ato përkojnë plotësisht. E njëjta veti vlen edhe për krahasimin e këndeve.

Janë dhënë dy kënde. Është e nevojshme të arrihet në një përfundim nëse këto kënde janë të barabarta apo jo.

Dihet se ka një mbivendosje të kulmeve të dy këndeve dhe brinjëve të këndit të parë me çdo anë tjetër të të dytit. Kjo do të thotë, nëse ka një rastësi të plotë kur këndet janë mbivendosur, anët e këndeve të dhëna do të rreshtohen plotësisht, këndet të barabartë.

Mund të ndodhë që kur mbivendosen, anët mund të mos rreshtohen, pastaj qoshet i pabarabartë, më i vogël nga i cili përbëhet nga një tjetër, dhe më shumë përmban një kënd krejtësisht të ndryshëm. Më poshtë janë kënde të pabarabarta që nuk janë rreshtuar kur janë mbivendosur.

Këndet e drejta janë të barabarta.

Matja e këndeve fillon me matjen e anës së këndit që matet dhe sipërfaqes së tij të brendshme, duke e mbushur atë me kënde njësi dhe duke i aplikuar ato me njëri-tjetrin. Është e nevojshme të numërohet numri i këndeve të vendosura, ato paracaktojnë masën e këndit të matur.

Njësia e këndit mund të shprehet me çdo kënd të matshëm. Ka njësi matëse të pranuara përgjithësisht që përdoren në shkencë dhe teknologji. Ata janë të specializuar në tituj të tjerë.

Koncepti i përdorur më shpesh shkallë.

Përkufizimi 8

Një shkallë quhet një kënd që ka një pjesë të njëqind e tetëdhjetë të një këndi të drejtë.

Emërtimi standard për një diplomë është "°", pastaj një shkallë është 1°. Prandaj, një kënd i drejtë përbëhet nga 180 kënde të tilla të një shkalle. Të gjitha qoshet e disponueshme janë të vendosura fort me njëri-tjetrin dhe anët e të mëparshmit janë të lidhura me atë tjetër.

Dihet se numri i shkallëve në një kënd është vetë masa e këndit. Një kënd i shpalosur ka 180 kënde të grumbulluara në përbërjen e tij. Figura më poshtë tregon shembuj ku këndi është vendosur 30 herë, domethënë një e gjashta e të shpalosurit dhe 90 herë, domethënë gjysma.

Minutat dhe sekondat përdoren për të matur me saktësi këndet. Ato përdoren kur vlera e këndit nuk është një përcaktim i tërë shkallës. Këto fraksione të një shkalle lejojnë përllogaritje më të sakta.

Përkufizimi 9

në një minutë quhet një e gjashtëdhjeta e shkallës.

Përkufizimi 10

Në një sekondë thirri një të gjashtëdhjetën e minutës.

Një shkallë përmban 3600 sekonda. Minutat caktohen """, dhe sekondat janë "" Përcaktimi zhvillohet:

1 ° = 60 " = 3600 "", 1 " = (1 60) ° , 1 " = 60 "" , 1 "" = (1 60) " = (1 3600) ° ,

dhe përcaktimi për një kënd prej 17 gradë 3 minuta e 59 sekonda është 17 ° 3 "59"".

Përkufizimi 11

Le të japim një shembull të përcaktimit të masës së shkallës së një këndi të barabartë me 17 ° 3 "59 ". Hyrja ka një formë tjetër: 17 + 3 60 + 59 3600 = 17 239 3600.

Për të matur me saktësi këndet, përdorni një pajisje matëse siç është raportuesi. Kur shënoni këndin ∠ A O B dhe masën e shkallës së tij prej 110 gradë, përdoret një shënim më i përshtatshëm ∠ A O B = 110 °, i cili thotë "Këndi A O B është i barabartë me 110 gradë".

Në gjeometri, përdoret një masë këndi nga intervali (0, 180), dhe në trigonometri, një masë arbitrare e shkallës quhet këndet e rrotullimit. Vlera e këndeve shprehet gjithmonë si numër real. Këndi i drejtë- Ky është një kënd që ka 90 gradë. Këndi akut– një kënd që është më pak se 90 gradë, dhe topitur- më shumë.

Një kënd akut matet në intervalin (0, 90), dhe një kënd i mpirë - (90, 180). Më poshtë tregohen qartë tre lloje këndesh.

Çdo masë shkallë e çdo këndi ka të njëjtën vlerë. Një kënd më i madh ka një masë shkallë përkatësisht më të madhe se një më i vogël. Masa e shkallës së një këndi është shuma e të gjitha masave të shkallës së disponueshme të këndeve të brendshme. Më poshtë është një figurë që tregon këndin AOB, i përbërë nga këndet AOC, COD dhe DOB. Në detaje duket kështu: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45° + 30° + 60° = 135°.

Bazuar në këtë, mund të konkludojmë se shuma të gjithë këndet ngjitur janë të barabartë me 180 gradë, sepse të gjitha përbëjnë një kënd të drejtë.

Nga kjo rrjedh se çdo këndet vertikale janë të barabarta. Nëse e konsiderojmë këtë si shembull, konstatojmë se këndet A O B dhe C O D janë vertikale (në vizatim), atëherë çiftet e këndeve A O B dhe B O C, C O D dhe B O C konsiderohen të afërta. Në këtë rast, barazia ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° së bashku me ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° konsiderohen në mënyrë unike të vërteta. Prandaj kemi që ∠ A O B = ∠ C O D . Më poshtë është një shembull i imazhit dhe përcaktimit të kapjeve vertikale.

Përveç gradëve, minutave dhe sekondave, përdoret një njësi tjetër matëse. Është quajtur radian. Më shpesh mund të gjendet në trigonometri kur shënohen këndet e shumëkëndëshave. Si quhet radian?

Përkufizimi 12

Një kënd radian quhet këndi qendror, i cili ka një rreze rrethi të barabartë me gjatësinë e harkut.

Në figurë, radiani është paraqitur si një rreth, ku ka një qendër, të treguar me një pikë, me dy pika në rreth të lidhura dhe të shndërruara në rreze O A dhe O B. Sipas përkufizimit, ky trekëndësh A O B është barabrinjës, që do të thotë gjatësia e harkut A B është e barabartë me gjatësinë e rrezeve O B dhe O A.

Emërtimi i këndit merret si "rad". Domethënë, shkrimi i 5 radianeve shkurtohet si 5 rad. Ndonjëherë mund të gjeni një shënim të quajtur pi. Radianët nuk varen nga gjatësia e një rrethi të caktuar, pasi figurat kanë një kufizim të caktuar nga këndi dhe harku i tij me qendrën e vendosur në kulmin e këndit të caktuar. Ato konsiderohen të ngjashme.

Radianët kanë të njëjtin kuptim si shkallët, vetëm ndryshimi është në madhësinë e tyre. Për të përcaktuar këtë, është e nevojshme të ndahet gjatësia e llogaritur e harkut të këndit qendror me gjatësinë e rrezes së tij.

Në praktikë ata përdorin shndërrimi i shkallëve në radianë dhe radianëve në gradë për zgjidhje më të përshtatshme të problemeve. Ky artikull përmban informacione për lidhjen midis masës së shkallës dhe radianit, ku mund të studioni në detaje shndërrimet nga gradë në radian dhe anasjelltas.

Vizatimet përdoren për të përshkruar në mënyrë vizuale dhe të përshtatshme harqe dhe kënde. Nuk është gjithmonë e mundur të përshkruash dhe të shënosh saktë këtë apo atë kënd, hark ose emër. Këndet e barabarta përcaktohen nga i njëjti numër harqesh, dhe këndet e pabarabarta me një numër të ndryshëm. Vizatimi tregon përcaktimin e saktë të këndeve akute, të barabarta dhe të pabarabarta.

Kur duhet të shënohen më shumë se 3 qoshe, përdoren simbole të veçanta të harkut, të tilla si me onde ose të dhëmbëzuara. Nuk është aq e rëndësishme. Më poshtë është një foto që tregon përcaktimin e tyre.

Simbolet e këndit duhet të mbahen të thjeshta në mënyrë që të mos ndërhyjnë me kuptime të tjera. Gjatë zgjidhjes së një problemi, rekomandohet të nënvizoni vetëm këndet e nevojshme për zgjidhjen, në mënyrë që të mos rrëmbeni të gjithë vizatimin. Kjo nuk do të ndërhyjë në zgjidhjen dhe provën, dhe gjithashtu do t'i japë një pamje estetike vizatimit.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter