Përgjysmuesja e një trekëndëshi ndan anën e kundërt në një raport. Përgjysmues i një trekëndëshi dhe vetitë e tij

Përgjysmuesja e një trekëndëshi është një segment që ndan një kënd të një trekëndëshi në dy kënde të barabarta. Për shembull, nëse këndi i një trekëndëshi është 120 0, atëherë duke vizatuar një përgjysmues, do të ndërtojmë dy kënde me nga 60 0 secili.

Dhe duke qenë se ka tre kënde në një trekëndësh, mund të vizatohen tre përgjysmues. Ata të gjithë kanë një pikë ndërprerjeje. Kjo pikë është qendra e rrethit të gdhendur në trekëndësh. Në një mënyrë tjetër, kjo pikë kryqëzimi quhet qendra e trekëndëshit.

Kur kryqëzohen dy përgjysmues të një këndi të brendshëm dhe të jashtëm, fitohet një kënd prej 90 0. Një kënd i jashtëm në një trekëndësh është këndi ngjitur me këndin e brendshëm të një trekëndëshi.

Oriz. 1. Një trekëndësh që përmban 3 përgjysmues

Përgjysmuesja ndan anën e kundërt në dy segmente që lidhen me anët:

$$(CL\mbi(LB)) = (AC\mbi(AB))$$

Pikat përgjysmuese janë të barabarta nga anët e këndit, që do të thotë se ato janë në të njëjtën distancë nga anët e këndit. Kjo do të thotë, nëse nga çdo pikë e përgjysmuesit hedhim pingul në secilën nga anët e këndit të trekëndëshit, atëherë këto pingule do të jenë të barabarta.

Nëse vizatoni një mesatare, përgjysmues dhe lartësi nga një kulm, atëherë mediana do të jetë segmenti më i gjatë dhe lartësia do të jetë më e shkurtra.

Disa veti të përgjysmuesit

Në disa lloje trekëndëshash, përgjysmuesi ka veti të veçanta. Kjo vlen kryesisht për një trekëndësh izosceles. Kjo figurë ka dy anë identike, dhe e treta quhet bazë.

Nëse vizatoni një përgjysmues nga kulmi i një këndi të një trekëndëshi dykëndësh në bazë, atëherë ai do të ketë vetitë e lartësisë dhe mesatares. Prandaj, gjatësia e përgjysmuesit përkon me gjatësinë e mesatares dhe lartësisë.

Përkufizimet:

• Lartësia- një pingul i tërhequr nga kulmi i një trekëndëshi në anën e kundërt.
• mesatare– segment që lidh kulmin e trekëndëshit dhe mesin e anës së kundërt.

Oriz. 2. Përgjysmues në një trekëndësh dykëndësh

Kjo vlen edhe për një trekëndësh barabrinjës, domethënë një trekëndësh në të cilin të tre anët janë të barabarta.

Shembull i detyrës

Në trekëndëshin ABC: BR është përgjysmues, me AB = 6 cm, BC = 4 cm dhe RC = 2 cm Zbrisni gjatësinë e brinjës së tretë.

Oriz. 3. Përgjysmues në një trekëndësh

Zgjidhja:

Përgjysmuesja ndan brinjën e trekëndëshit në një proporcion të caktuar. Le të përdorim këtë proporcion dhe të shprehim AR. Pastaj do të gjejmë gjatësinë e brinjës së tretë si shumën e segmenteve në të cilat kjo anë është ndarë me përgjysmues.

• $(AB\mbi(BC)) = (AR\mbi(RC))$
• $RC=(6\mbi(4))*2=3 cm$

Pastaj i gjithë segmenti AC = RC+ AR

AC = 3+2=5 cm.

Gjithsej vlerësimet e marra: 107.

Sa është përgjysmuesja e një këndi të një trekëndëshi? Për këtë pyetje, miu i njohur që vrapon nëpër qoshe dhe ndan këndin përgjysmë, del nga goja e disa njerëzve." Nëse përgjigja duhet të jetë "humor", atëherë ndoshta është e saktë. Por nga pikëpamja shkencore e Në pamje, përgjigja për këtë pyetje duhet të jetë: diçka e tillë: duke filluar nga maja e një këndi dhe duke e ndarë këtë të fundit në dy pjesë të barabarta." Në gjeometri, kjo figurë perceptohet gjithashtu si një segment i përgjysmuesit derisa të kryqëzohet me anën e kundërt të trekëndëshit. Ky nuk është një keqkuptim. Çfarë dihet tjetër për përgjysmuesin e një këndi, përveç përcaktimit të tij?

Si çdo vend gjeometrik i pikave, ai ka karakteristikat e veta. E para prej tyre nuk është, përkundrazi, as një shenjë, por një teoremë, e cila mund të shprehet shkurt si më poshtë: "Nëse ana përballë saj ndahet në dy pjesë nga një përgjysmues, atëherë raporti i tyre do të korrespondojë me raportin e anët e një trekëndëshi të madh.”

Vetia e dytë që ka: pika e prerjes së përgjysmuesve të të gjitha këndeve quhet qendër.

Shenja e tretë: përgjysmuesit e një këndi të brendshëm dhe dy këndit të jashtëm të një trekëndëshi kryqëzohen në qendër të njërit prej tre rrathëve të brendashkruar.

Vetia e katërt e përgjysmuesit të këndit të një trekëndëshi është se nëse secili është i barabartë, atëherë ky i fundit është dykëndësh.

Shenja e pestë ka të bëjë gjithashtu me një trekëndësh dykëndësh dhe është udhëzuesi kryesor për njohjen e tij në një vizatim nga përgjysmuesit, domethënë: në një trekëndësh dykëndësh shërben njëkohësisht si mesatare dhe lartësi.

Përgjysmuesi i këndit mund të ndërtohet duke përdorur një busull dhe vizore:

Rregulli i gjashtë thotë se është e pamundur të ndërtohet një trekëndësh duke përdorur këtë të fundit vetëm me përgjysmuesit ekzistues, ashtu siç është e pamundur të ndërtohet në këtë mënyrë dyfishimi i një kubi, katrorimi i një rrethi dhe treprerja e një këndi. Në mënyrë rigoroze, këto janë të gjitha vetitë e përgjysmuesit të këndit të një trekëndëshi.

Nëse e lexoni me kujdes paragrafin e mëparshëm, atëherë ndoshta ju interesonte një frazë. "Çfarë është treprerja e një këndi?" - ndoshta do të pyesni. Tresektori është pak i ngjashëm me përgjysmuesin, por nëse e vizatoni këtë të fundit, këndi do të ndahet në dy pjesë të barabarta dhe kur ndërtohet një treprerje, ai do të ndahet në tre. Natyrisht, përgjysmuesja e një këndi është më e lehtë për t'u mbajtur mend, sepse triseksioni nuk mësohet në shkollë. Por për hir të plotësimit, do t'ju tregoj edhe për këtë.

Një trisektor, siç e thashë tashmë, nuk mund të ndërtohet vetëm me një busull dhe një vizore, por ai mund të krijohet duke përdorur rregullat e Fujita-s dhe disa kthesa: kërmijtë e Paskalit, katërkëndëshat, konkoidet e Nicomedes, seksionet konike,

Problemet në treprerjen e një këndi zgjidhen thjesht duke përdorur nevsis.

Në gjeometri ekziston një teoremë për trisektorët e këndit. Quhet teorema e Morlit. Ajo thotë se pikat e kryqëzimit të tresektorëve të çdo këndi të vendosur në mes do të jenë kulmet

Një trekëndësh i vogël i zi brenda një të madhi do të jetë gjithmonë barabrinjës. Kjo teoremë u zbulua nga shkencëtari britanik Frank Morley në 1904.

Ja sa shumë mund të mësoni për ndarjen e një këndi: Tresektori dhe përgjysmuesi i një këndi kërkojnë gjithmonë shpjegime të hollësishme. Por këtu u dhanë shumë përkufizime që nuk i kisha zbuluar ende: kërmilli i Paskalit, konkoidi i Nicomedes, etj. Jini të sigurt, ka shumë më tepër për të shkruar rreth tyre.

Sot do të jetë një mësim shumë i lehtë. Ne do të shqyrtojmë vetëm një objekt - përgjysmuesin e këndit - dhe do të vërtetojmë vetinë e tij më të rëndësishme, e cila do të jetë shumë e dobishme për ne në të ardhmen.

Thjesht mos u relaksoni: ndonjëherë studentët që duan të marrin një rezultat të lartë në të njëjtin Provim të Unifikuar të Shtetit ose Provim të Unifikuar të Shtetit nuk mund të formulojnë me saktësi përkufizimin e një përgjysmimi në mësimin e parë.

Dhe në vend që të bëjmë detyra vërtet interesante, ne humbim kohë në gjëra kaq të thjeshta. Pra, lexoni, shikoni dhe miratoni atë. :)

Për të filluar, një pyetje paksa e çuditshme: çfarë është një kënd? Kjo është e drejtë: një kënd është thjesht dy rreze që dalin nga e njëjta pikë. Për shembull:

Siç mund ta shihni nga fotografia, këndet mund të jenë akute, të mpirë, të drejtë - nuk ka rëndësi tani. Shpesh, për lehtësi, në secilën rreze shënohet një pikë shtesë dhe thonë se para nesh është këndi $AOB$ (i shkruar si $\këndi AOB$).

Kapiteni Obviousness duket se lë të kuptohet se përveç rrezeve $OA$ dhe $OB$, është gjithmonë e mundur të vizatohen një tufë më shumë rreze nga pika $O$. Por midis tyre do të ketë një të veçantë - ai quhet përgjysmues.

Përkufizimi. Përgjysmuesja e një këndi është rrezja që del nga kulmi i atij këndi dhe e përgjysmon këndin.

Për këndet e mësipërme, përgjysmuesit do të duken kështu:

Shembuj të përgjysmuesve për kënde akute, të mpirë dhe të drejtë

Meqenëse në vizatimet reale nuk është gjithmonë e qartë se një rreze e caktuar (në rastin tonë është rrezja $OM$) e ndan këndin origjinal në dy të barabarta, në gjeometri është zakon të shënohen kënde të barabarta me të njëjtin numër harqesh ( në vizatimin tonë kjo është 1 hark për një kënd akut, dy për të mpirë, tre për të drejtë).

Mirë, ne e kemi rregulluar përkufizimin. Tani ju duhet të kuptoni se çfarë karakteristikash ka përgjysmuesi.

Vetia kryesore e përgjysmuesit të këndit

Në fakt, përgjysmuesi ka shumë veti. Dhe ne patjetër do t'i shikojmë ato në mësimin e ardhshëm. Por ka një truk që duhet ta kuptoni tani:

Teorema. Përgjysmuesja e një këndi është vendndodhja e pikave të barabarta nga anët e një këndi të caktuar.

E përkthyer nga matematika në rusisht, kjo do të thotë dy fakte njëherësh:

1. Çdo pikë e shtrirë në përgjysmuesin e një këndi të caktuar është në të njëjtën distancë nga anët e këtij këndi.
2. Dhe anasjelltas: nëse një pikë shtrihet në të njëjtën distancë nga anët e një këndi të caktuar, atëherë është e garantuar të shtrihet në përgjysmuesin e këtij këndi.

Para se të vërtetojmë këto pohime, le të sqarojmë një pikë: si quhet saktësisht distanca nga një pikë në anën e një këndi? Këtu përcaktimi i mirë i vjetër i distancës nga një pikë në një vijë do të na ndihmojë:

Përkufizimi. Distanca nga një pikë në një vijë është gjatësia e pingulit të tërhequr nga një pikë e caktuar në këtë drejtëz.

Për shembull, merrni parasysh një vijë $l$ dhe një pikë $A$ që nuk shtrihet në këtë vijë. Le të vizatojmë një pingul me $AH$, ku $H\në l$. Atëherë gjatësia e kësaj pingule do të jetë distanca nga pika $A$ deri te drejtëza $l$.

Meqenëse një kënd është thjesht dy rreze, dhe secila rreze është një pjesë e një vije të drejtë, është e lehtë të përcaktohet distanca nga një pikë në anët e një këndi. Këto janë vetëm dy pingule:

Kjo eshte e gjitha! Tani e dimë se çfarë është distanca dhe çfarë është një përgjysmues. Prandaj, ne mund të vërtetojmë pronën kryesore.

Siç u premtuam, ne do ta ndajmë provën në dy pjesë:

1. Distancat nga pika në përgjysmues në brinjët e këndit janë të njëjta

Konsideroni një kënd arbitrar me kulmin $O$ dhe përgjysmues $OM$:

Le të vërtetojmë se pikërisht kjo pikë $M$ është në të njëjtën distancë nga anët e këndit.

Dëshmi. Le të vizatojmë pingule nga pika $M$ në anët e këndit. Le t'i quajmë $M((H)_(1))$ dhe $M((H)_(2))$:

Vizatoni pingulet në anët e këndit

Ne morëm dy trekëndësha kënddrejtë: $\vartrekëndësh OM((H)_(1))$ dhe $\vartrekëndësh OM((H)_(2))$. Ata kanë një hipotenuzë të përbashkët $OM$ dhe kënde të barabarta:

1. $\këndi MO((H)_(1))=\këndi MO((H)_(2))$ sipas kushtit (pasi $OM$ është një përgjysmues);
2. $\këndi M((H)_(1))O=\këndi M((H)_(2))O=90()^\rreth $ sipas ndërtimit;
3. $\kënd OM((H)_(1))=\kënd OM((H)_(2))=90()^\circ -\kënd MO((H)_(1))$, meqenëse shuma qoshe të mprehta i një trekëndëshi kënddrejtë është gjithmonë 90 gradë.

Rrjedhimisht, trekëndëshat janë të barabartë në anë dhe dy kënde ngjitur (shih shenjat e barazisë së trekëndëshave). Prandaj, në veçanti, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, d.m.th. distancat nga pika $O$ deri te brinjët e këndit janë vërtet të barabarta. Q.E.D. :)

2. Nëse largësitë janë të barabarta, atëherë pika qëndron në përgjysmues

Tani situata është e kundërt. Le të jepet një kënd $O$ dhe një pikë $M$ e barabartë nga anët e këtij këndi:

Le të vërtetojmë se rrezja $OM$ është një përgjysmues, d.m.th. $\kënd MO((H)_(1))=\kënd MO((H)_(2))$.

Dëshmi. Së pari, le të vizatojmë këtë rreze $OM$, përndryshe nuk do të ketë asgjë për të provuar:

Përçuar rreze $OM$ brenda këndit

Përsëri marrim dy trekëndësha kënddrejtë: $\vartrekëndësh OM((H)_(1))$ dhe $\vartrekëndësh OM((H)_(2))$. Është e qartë se ata janë të barabartë sepse:

1. Hipotenuza $OM$ - e përgjithshme;
2. Këmbët $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ sipas gjendjes (në fund të fundit, pika $M$ është e barabartë nga anët e këndit);
3. Këmbët e mbetura janë gjithashtu të barabarta, sepse nga teorema e Pitagorës $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Prandaj, trekëndëshat $\vartrekëndësh OM((H)_(1))$ dhe $\vartrekëndësh OM((H)_(2))$ në tre anët. Në veçanti, këndet e tyre janë të barabartë: $\kënd MO((H)_(1))=\kënd MO((H)_(2))$. Dhe kjo thjesht do të thotë se $OM$ është një përgjysmues.

Për të përfunduar provën, ne shënojmë këndet e barabarta që rezultojnë me harqe të kuq:

Përgjysmuesja ndan këndin $\kënd ((H)_(1))O((H)_(2))$ në dy të barabarta

Siç mund ta shihni, asgjë e komplikuar. Ne kemi vërtetuar se përgjysmuesja e një këndi është vendndodhja e pikave të barabarta me anët e këtij këndi. :)

Tani që pak a shumë kemi vendosur për terminologjinë, është koha për të kaluar në nivelin tjetër. Në mësimin tjetër do të shikojmë vetitë më komplekse të përgjysmuesit dhe do të mësojmë se si t'i zbatojmë ato për të zgjidhur problemet reale.

Përgjysmuesja e një trekëndëshi është një koncept gjeometrik i zakonshëm që nuk shkakton shumë vështirësi në të mësuar. Duke pasur njohuri për vetitë e tij, ju mund të zgjidhni shumë probleme pa shumë vështirësi. Çfarë është një përgjysmues? Ne do të përpiqemi ta njohim lexuesin me të gjitha sekretet e kësaj linje matematikore.

Në kontakt me

Thelbi i konceptit

Emri i konceptit vjen nga përdorimi i fjalëve në latinisht, kuptimi i të cilave është "bi" - dy, "sectio" - për të prerë. Ata në mënyrë specifike tregojnë për kuptimi gjeometrik konceptet - thyerja e hapësirës midis rrezeve në dy pjesë të barabarta.

Përgjysmuesja e trekëndëshit është një segment që buron nga kulmi i figurës dhe skaji tjetër vendoset në anën që ndodhet përballë tij, duke e ndarë hapësirën në dy pjesë identike.

Për të mësuar përmendësh shpejt në mënyrë asociative konceptet matematikore, shumë mësues përdorin terminologji të ndryshme, e cila pasqyrohet në poezi ose shoqata. Sigurisht, përdorimi i këtij përkufizimi rekomandohet për fëmijët më të rritur.

Si është caktuar kjo linjë? Këtu ne mbështetemi në rregullat për përcaktimin e segmenteve ose rrezeve. Nëse po flasim për përcaktimin e përgjysmuesit të një këndi të një figure trekëndore, atëherë zakonisht shkruhet si një segment, skajet e të cilit janë kulmin dhe pikën e prerjes me anën përballë kulmit. Për më tepër, fillimi i shënimit shkruhet pikërisht nga kulmi.

Kujdes! Sa përgjysmues ka një trekëndësh? Përgjigja është e qartë: aq sa ka kulme - tre.

Vetitë

Përveç përkufizimit, jo shumë veti të këtij koncepti gjeometrik mund të gjenden në një tekst shkollor. Vetia e parë e përgjysmuesit të një trekëndëshi me të cilën njihen nxënësit e shkollës është qendra e mbishkruar, dhe e dyta, e lidhur drejtpërdrejt me të, është proporcionaliteti i segmenteve. Përfundimi është ky:

1. Cilado qoftë vija ndarëse, ka pika në të që janë në të njëjtën distancë nga anët, të cilat përbëjnë hapësirën ndërmjet rrezeve.
2. Për të vendosur një rreth në një figurë trekëndore, është e nevojshme të përcaktohet pika në të cilën këto segmente do të kryqëzohen. Kjo është pika qendrore e rrethit.
3. Janë të vendosura pjesët e faqes së një figure gjeometrike trekëndore në të cilën e ndan vija ndarëse në proporcion me anët që formojnë këndin.

Ne do të përpiqemi të sjellim veçoritë e mbetura në sistem dhe të paraqesim fakte shtesë që do të ndihmojnë për të kuptuar më mirë avantazhet e këtij koncepti gjeometrik.

Gjatësia

Një nga llojet e problemeve që shkakton vështirësi për nxënësit e shkollës është gjetja e gjatësisë së përgjysmuesit të një këndi të një trekëndëshi. Opsioni i parë, i cili përmban gjatësinë e tij, përmban të dhënat e mëposhtme:

• sasia e hapësirës ndërmjet rrezeve nga kulmi i së cilës del një segment i caktuar;
• gjatësitë e brinjëve që formojnë këtë kënd.

Për të zgjidhur problemin formula e përdorur, kuptimi i të cilit është gjetja e raportit të prodhimit të vlerave të brinjëve që përbëjnë këndin, i rritur me 2 herë, me kosinusin e gjysmës së tij me shumën e brinjëve.

Le të shohim një shembull specifik. Supozoni se na është dhënë një figurë ABC, në të cilën një segment është tërhequr nga këndi A dhe pret anën BC në pikën K. Vlerën e A-së e shënojmë si Y. Bazuar në këtë, AK = (2*AB*AC*cos(Y /2))/(AB+ AC).

Versioni i dytë i problemit, në të cilin përcaktohet gjatësia e përgjysmuesit të një trekëndëshi, përmban të dhënat e mëposhtme:

• janë të njohura kuptimet e të gjitha anëve të figurës.

Kur zgjidhni një problem të këtij lloji, fillimisht përcaktoni gjysmëperimetrin. Për ta bërë këtë, duhet të shtoni vlerat e të gjitha anëve dhe të ndani në gjysmë: p=(AB+BC+AC)/2. Më pas, ne aplikojmë formulën llogaritëse që është përdorur për të përcaktuar gjatësinë e këtij segmenti në problemin e mëparshëm. Është e nevojshme vetëm të bëhen disa ndryshime në thelbin e formulës në përputhje me parametrat e rinj. Pra, është e nevojshme të gjendet raporti i rrënjës së dyfishuar të fuqisë së dytë të produktit të gjatësive të anëve që janë ngjitur me kulmin me gjysmëperimetrin dhe ndryshimin midis gjysmëperimetrit dhe gjatësisë së anën përballë saj me shumën e brinjëve që përbëjnë këndin. Kjo është, AK = (2٦AB*AC*p*(p-BC))/(AB+AC).

Kujdes! Për ta bërë më të lehtë zotërimin e materialit, mund t'i drejtoheni tregimeve komike të disponueshme në internet që tregojnë për "aventurat" e kësaj linje.

Këndet e brendshme të një trekëndëshi quhen përgjysmues trekëndëshi.
Përgjysmuesja e një këndi të një trekëndëshi kuptohet gjithashtu si segmenti ndërmjet kulmit të tij dhe pikës së prerjes së përgjysmuesit me anën e kundërt të trekëndëshit.
Teorema 8. Tre përgjysmuesit e një trekëndëshi kryqëzohen në një pikë.
Në të vërtetë, le të shqyrtojmë së pari pikën P të kryqëzimit të dy përgjysmuesve, për shembull AK 1 dhe VK 2. Kjo pikë është po aq e largët nga brinjët AB dhe AC, pasi shtrihet në përgjysmuesin e këndit A, dhe po aq larg nga brinjët AB dhe BC, pasi i përket përgjysmuesit të këndit B. Kjo do të thotë se është po aq larg nga anët AC dhe BC dhe në këtë mënyrë i përket përgjysmuesit të tretë CK 3, domethënë në pikën P kryqëzohen të tre përgjysmuesit.
Vetitë e përgjysmuesve të këndeve të brendshme dhe të jashtme të një trekëndëshi
Teorema 9. përgjysmues këndi i brendshëm i një trekëndëshi ndan anën e kundërt në pjesë proporcionale me brinjët ngjitur.
Dëshmi. Le të shqyrtojmë trekëndëshin ABC dhe përgjysmuesin e këndit të tij B. Le të vizatojmë përmes kulmit C një drejtëz CM, paralele me përgjysmuesin BC, derisa të kryqëzohet në pikën M me vazhdimin e brinjës AB. Meqenëse VC është përgjysmues i këndit ABC, atëherë ∠ ABC = ∠ KBC. Më tej, ∠ АВК=∠ ВСМ, si kënde përkatëse për drejtëzat paralele, dhe ∠ КВС=∠ ВСМ, si kënde tërthore për drejtëzat paralele. Prandaj ∠ ВСМ=∠ ВМС, dhe për këtë arsye trekëndëshi ВСМ është dykëndësh, pra ВС=ВМ. Sipas teoremës për drejtëzat paralele që kryqëzojnë brinjët e një këndi, kemi AK:K C=AB:VM=AB:BC, që është ajo që duhej vërtetuar.
Teorema 10 Përgjysmuesja e këndit të jashtëm B të trekëndëshit ABC ka një veti të ngjashme: segmentet AL dhe CL nga kulmet A dhe C deri në pikën L të kryqëzimit të përgjysmimit me vazhdimin e brinjës AC janë proporcionale me brinjët e trekëndëshit: AL: C.L.=AB: BC.
Kjo veti vërtetohet në të njëjtën mënyrë si ajo e mëparshme: në figurë është tërhequr një drejtëz ndihmëse SM paralel me përgjysmuesin BL. Këndet BMC dhe BC janë të barabartë, që do të thotë se brinjët BM dhe BC të trekëndëshit BMC janë të barabarta. Nga ku dalim në përfundimin AL:CL=AB:BC.

Teorema d4. (formula e parë për përgjysmuesin): Nëse në trekëndëshin ABC segmenti AL është përgjysmues i këndit A, atëherë AL? = AB·AC - LB·LC.

Dëshmi: Le të jetë M pika e prerjes së drejtëzës AL me rrethin e rrethuar rreth trekëndëshit ABC (Fig. 41). Këndi BAM është i barabartë me këndin MAC sipas konventës. Këndet BMA dhe BCA janë kongruentë si kënde të brendashkruara të nënshtruara nga e njëjta kordë. Kjo do të thotë se trekëndëshat BAM dhe LAC janë të ngjashëm në dy kënde. Prandaj, AL: AC = AB: AM. Pra AL · AM = AB · AC<=>AL (AL + LM) = AB AC<=>AL? = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Kjo është ajo që duhej vërtetuar. Shënim: për teoremën rreth segmenteve të kordave të kryqëzuara në një rreth dhe rreth këndeve të brendashkruara, shihni temën rrethi dhe rrethi.

Teorema d5. (formula e dytë për përgjysmuesin): Në një trekëndësh ABC me brinjë AB=a, AC=b dhe kënd A të barabartë me 2? dhe përgjysmues l, barazia vlen:
l = (2ab / (a+b)) cos?.

Dëshmi: Le të jetë ABC trekëndëshi i dhënë, AL përgjysmues i tij (Fig. 42), a=AB, b=AC, l=AL. Pastaj S ABC = S ALB + S ALC. Prandaj, absin2? = alsin? +blsin?<=>2absin?·cos? = (a + b) lsin?<=>l = 2·(ab / (a+b))· cos?. Teorema është vërtetuar.