Saat menyelesaikan banyak hal masalah matematika, terutama yang terjadi sebelum kelas 10, urutan tindakan yang dilakukan yang akan mengarah pada tujuan telah ditentukan dengan jelas. Masalah-masalah tersebut misalnya persamaan linier dan kuadrat, linier dan pertidaksamaan kuadrat, persamaan pecahan dan persamaan yang direduksi menjadi persamaan kuadrat. Prinsip keberhasilan penyelesaian setiap masalah yang disebutkan adalah sebagai berikut: Anda perlu menentukan jenis masalah apa yang sedang Anda pecahkan, mengingat urutan tindakan yang diperlukan yang akan mengarah pada hasil yang diinginkan, yaitu. jawab dan ikuti langkah berikut.
Jelaslah bahwa keberhasilan atau kegagalan dalam menyelesaikan suatu masalah tertentu terutama bergantung pada seberapa benar jenis persamaan yang diselesaikan ditentukan, seberapa benar urutan semua tahapan penyelesaiannya direproduksi. Tentunya dalam hal ini diperlukan keterampilan untuk melakukan transformasi dan perhitungan yang identik.
Situasinya berbeda dengan persamaan trigonometri. Sama sekali tidak sulit untuk menetapkan fakta bahwa persamaan tersebut bersifat trigonometri. Kesulitan muncul ketika menentukan urutan tindakan yang akan menghasilkan jawaban yang benar.
Oleh penampilan persamaan, terkadang sulit untuk menentukan jenisnya. Dan tanpa mengetahui jenis persamaannya, hampir tidak mungkin memilih persamaan yang tepat dari beberapa lusin rumus trigonometri.
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, Anda perlu mencoba:
1. membawa semua fungsi yang termasuk dalam persamaan ke “sudut yang sama”;
2. membawa persamaan ke “fungsi identik”;
3. faktorkan ruas kiri persamaan, dst.
Mari kita pertimbangkan metode dasar untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.
I. Reduksi ke persamaan trigonometri paling sederhana
Diagram solusi
Langkah 1. Nyatakan fungsi trigonometri dalam komponen-komponen yang diketahui.
Langkah 2. Temukan argumen fungsi menggunakan rumus:
karena x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
dosa x = a; x = (-1) n busursin a + πn, n Z.
tan x = a; x = arctan a + πn, n Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Z.
Langkah 3. Temukan variabel yang tidak diketahui.
Contoh.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Larutan.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Z.
Jawaban: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Penggantian variabel
Diagram solusi
Langkah 1. Ubah persamaan tersebut menjadi bentuk aljabar terhadap salah satu dari fungsi trigonometri.
Langkah 2. Nyatakan fungsi yang dihasilkan dengan variabel t (jika perlu, berikan batasan pada t).
Langkah 3. Tuliskan dan selesaikan persamaan aljabar yang dihasilkan.
Langkah 4. Lakukan penggantian terbalik.
Langkah 5. Selesaikan persamaan trigonometri paling sederhana.
Contoh.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Larutan.
1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;
2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.
2) Misalkan sin (x/2) = t, dimana |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 atau e = -3/2, tidak memenuhi syarat |t| ≤ 1.
4) dosa(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Z;
x = π + 4πn, n Z.
Jawaban: x = π + 4πn, n Z.
AKU AKU AKU. Metode pengurangan orde persamaan
Diagram solusi
Langkah 1. Gantikan persamaan ini dengan persamaan linier, menggunakan rumus pengurangan derajat:
dosa 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Langkah 2. Selesaikan persamaan yang dihasilkan menggunakan metode I dan II.
Contoh.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Larutan.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Z;
x = ±π/6 + πn, n Z.
Jawaban: x = ±π/6 + πn, n Z.
IV. Persamaan homogen
Diagram solusi
Langkah 1. Kurangi persamaan ini ke bentuk
a) a sin x + b cos x = 0 (persamaan homogen derajat satu)
atau ke pemandangan
b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (persamaan homogen derajat kedua).
Langkah 2. Bagilah kedua ruas persamaan dengan
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
dan dapatkan persamaan untuk tan x:
a) tan x + b = 0;
b) tan 2 x + b arctan x + c = 0.
Langkah 3. Selesaikan persamaan menggunakan metode yang diketahui.
Contoh.
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.
Larutan.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) Misalkan tg x = t
t 2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 atau t = -4 yang artinya
tg x = 1 atau tg x = -4.
Dari persamaan pertama x = π/4 + πn, n Є Z; dari persamaan kedua x = -arctg 4 + πk, k Z.
Jawaban: x = π/4 + πn, n Z; x = -arctg 4 + πk, k Z.
V. Metode transformasi persamaan menggunakan rumus trigonometri
Diagram solusi
Langkah 1. Dengan menggunakan semua rumus trigonometri yang mungkin, kurangi persamaan ini menjadi persamaan yang diselesaikan dengan metode I, II, III, IV.
Langkah 2. Selesaikan persamaan yang dihasilkan menggunakan metode yang diketahui.
Contoh.
dosa x + dosa 2x + dosa 3x = 0.
Larutan.
1) (dosa x + dosa 3x) + dosa 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) dosa 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 atau 2cos x + 1 = 0;
Dari persamaan pertama 2x = π/2 + πn, n Є Z; dari persamaan kedua cos x = -1/2.
Kita mempunyai x = π/4 + πn/2, n Є Z; dari persamaan kedua x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Hasilnya, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Z.
Jawaban: x = π/4 + πn/2, n Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Z.
Kemampuan dan keterampilan menyelesaikan persamaan trigonometri sangat baik 
Yang terpenting, pengembangannya memerlukan usaha yang besar, baik dari pihak siswa maupun dari pihak guru.
Banyak masalah stereometri, fisika, dll yang terkait dengan penyelesaian persamaan trigonometri.Proses penyelesaian masalah tersebut mewujudkan banyak pengetahuan dan keterampilan yang diperoleh dengan mempelajari unsur-unsur trigonometri.
Persamaan trigonometri menempati tempat penting dalam proses pembelajaran matematika dan pengembangan pribadi secara umum.
Masih ada pertanyaan? Tidak tahu cara menyelesaikan persamaan trigonometri?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor, daftarlah.
Pelajaran pertama gratis!
situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.
Membutuhkan pengetahuan tentang rumus dasar trigonometri - jumlah kuadrat sinus dan kosinus, ekspresi garis singgung melalui sinus dan kosinus, dan lain-lain. Bagi yang lupa atau belum mengetahuinya, kami sarankan membaca artikel "".
Jadi, kita sudah mengetahui rumus dasar trigonometri, sekarang saatnya mempraktikkannya. Memecahkan persamaan trigonometri dengan pendekatan yang tepat, ini merupakan aktivitas yang cukup mengasyikkan, seperti misalnya memecahkan kubus Rubik.
Berdasarkan namanya sendiri, jelas bahwa persamaan trigonometri adalah persamaan yang tidak diketahui persamaannya yang berada di bawah tanda fungsi trigonometri.
Ada yang disebut persamaan trigonometri paling sederhana. Berikut penampakannya: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Mari kita pertimbangkan bagaimana menyelesaikan persamaan trigonometri tersebut, untuk lebih jelasnya kita akan menggunakan lingkaran trigonometri yang sudah kita kenal.
sinx = a
karena x = a
tan x = a
tempat tidur x = a
Persamaan trigonometri apa pun diselesaikan dalam dua tahap: kita mereduksi persamaan tersebut ke bentuk paling sederhana dan kemudian menyelesaikannya sebagai persamaan trigonometri sederhana.
Ada 7 metode utama untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.
Substitusi variabel dan metode substitusi
Menyelesaikan persamaan trigonometri melalui faktorisasi
Reduksi menjadi persamaan homogen
Memecahkan persamaan melalui transisi ke setengah sudut
Pengenalan sudut bantu
Selesaikan persamaan 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0
Dengan menggunakan rumus reduksi kita peroleh:
2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
Ganti cos(x + /6) dengan y untuk menyederhanakan dan mendapatkan persamaan kuadrat biasa:
2 tahun 2 – 3 tahun + 1 + 0
Akar-akarnya adalah y 1 = 1, y 2 = 1/2
Sekarang mari kita lakukan dalam urutan terbalik
Kami mengganti nilai y yang ditemukan dan mendapatkan dua pilihan jawaban:
Bagaimana cara menyelesaikan persamaan sin x + cos x = 1?
Mari kita pindahkan semuanya ke kiri sehingga 0 tetap di kanan:
dosa x + cos x – 1 = 0
Mari kita gunakan identitas yang dibahas di atas untuk menyederhanakan persamaan:
dosa x - 2 dosa 2 (x/2) = 0
Mari kita faktorkan:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * = 0
Kami mendapatkan dua persamaan
Suatu persamaan dikatakan homogen terhadap sinus dan kosinus jika semua sukunya relatif terhadap sinus dan kosinus yang berderajat sama dan sudut yang sama. Untuk menyelesaikan persamaan homogen, lakukan sebagai berikut:
a) memindahkan seluruh anggotanya ke sisi kiri;
b) keluarkan semua faktor persekutuan dari tanda kurung;
c) menyamakan semua faktor dan tanda kurung dengan 0;
d) persamaan homogen dengan derajat yang lebih rendah diperoleh dalam tanda kurung, yang selanjutnya dibagi dengan sinus atau kosinus dengan derajat yang lebih tinggi;
e) selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk tg.
Selesaikan persamaan 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Mari kita gunakan rumus sin 2 x + cos 2 x = 1 dan hilangkan dua bilangan terbuka di sebelah kanan:
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
Bagi dengan cos x:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Gantikan tan x dengan y dan dapatkan persamaan kuadrat:
y 2 + 4y +3 = 0, yang akar-akarnya adalah y 1 =1, y 2 = 3
Dari sini kita menemukan dua solusi persamaan awal:
x 2 = arctan 3 + k
Selesaikan persamaan 3sin x – 5cos x = 7
Mari kita lanjutkan ke x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Mari kita pindahkan semuanya ke kiri:
2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Bagi dengan cos(x/2):
tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0
Sebagai pertimbangan, mari kita ambil persamaan bentuk: a sin x + b cos x = c,
di mana a, b, c adalah beberapa koefisien sembarang, dan x tidak diketahui.
Mari kita bagi kedua ruas persamaan dengan:
Sekarang koefisien-koefisien persamaan tersebut menurut rumus trigonometri mempunyai sifat sin dan cos, yaitu: modulusnya tidak lebih dari 1 dan jumlah kuadratnya = 1. Mari kita nyatakan masing-masing sebagai cos dan sin, dimana - ini adalah yang disebut sudut bantu. Maka persamaannya akan berbentuk:
cos * sin x + sin * cos x = C
atau dosa(x + ) = C
Penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana ini adalah
x = (-1) k * arcsin C - + k, dimana
Perlu dicatat bahwa notasi cos dan sin dapat dipertukarkan.
Selesaikan persamaan sin 3x – cos 3x = 1
Koefisien dalam persamaan ini adalah:
a = , b = -1, jadi bagi kedua ruasnya dengan = 2
Kursus video "Dapatkan nilai A" mencakup semua topik yang diperlukan untuk berhasil lulus Ujian Negara Bersatu dalam matematika dengan 60-65 poin. Sepenuhnya semua soal 1-13 Profil Ujian Negara Terpadu matematika. Juga cocok untuk lulus Ujian Negara Terpadu Dasar dalam matematika. Jika Anda ingin lulus Ujian Negara Bersatu dengan poin 90-100, Anda harus menyelesaikan bagian 1 dalam 30 menit dan tanpa kesalahan!
Kursus persiapan Ujian Negara Terpadu untuk kelas 10-11, serta untuk guru. Semua yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan Bagian 1 Ujian Negara Bersatu dalam matematika (12 soal pertama) dan Soal 13 (trigonometri). Dan ini lebih dari 70 poin pada Ujian Negara Bersatu, dan baik siswa dengan nilai 100 poin maupun siswa humaniora tidak dapat melakukannya tanpa poin tersebut.
Semua teori yang diperlukan. Cara cepat solusi, jebakan dan rahasia Ujian Negara Bersatu. Seluruh tugas saat ini bagian 1 dari Bank Tugas FIPI telah dianalisis. Kursus ini sepenuhnya memenuhi persyaratan Ujian Negara Bersatu 2018.
Kursus ini berisi 5 topik besar, masing-masing 2,5 jam. Setiap topik diberikan dari awal, sederhana dan jelas.
Ratusan tugas Ujian Negara Bersatu. Masalah kata dan teori probabilitas. Algoritma yang sederhana dan mudah diingat untuk memecahkan masalah. Geometri. Teori, materi referensi, analisis semua jenis tugas Unified State Examination. Stereometri. Solusi rumit, lembar contekan yang berguna, pengembangan imajinasi spasial. Trigonometri dari awal ke soal 13. Pemahaman bukannya menjejalkan. Penjelasan yang jelas tentang konsep yang kompleks. Aljabar. Akar, pangkat dan logaritma, fungsi dan turunannya. Dasar penyelesaian tugas yang kompleks 2 bagian dari Ujian Negara Bersatu.
Persamaan trigonometri bukanlah topik yang mudah. Mereka terlalu beragam.) Misalnya, ini:
dosa 2 x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
Dll...
Tapi monster trigonometri ini (dan semua lainnya) memiliki dua ciri umum dan wajib. Pertama - Anda tidak akan percaya - ada fungsi trigonometri dalam persamaan tersebut.) Kedua: semua ekspresi dengan x ditemukan dalam fungsi yang sama. Dan hanya di sana! Jika X muncul di suatu tempat di luar, Misalnya, sin2x + 3x = 3, ini sudah menjadi persamaan tipe campuran. Persamaan seperti itu memerlukan pendekatan individual. Kami tidak akan mempertimbangkannya di sini.
Kami juga tidak akan menyelesaikan persamaan jahat dalam pelajaran ini.) Di sini kami akan membahasnya persamaan trigonometri paling sederhana. Mengapa? Ya karena solusinya setiap persamaan trigonometri terdiri dari dua tahap. Pada tahap pertama, persamaan jahat direduksi menjadi persamaan sederhana melalui berbagai transformasi. Pada tahap kedua, persamaan paling sederhana ini terpecahkan. Tidak ada jalan lain.
Jadi, jika Anda mempunyai masalah pada tahap kedua, tahap pertama tidak masuk akal.)
Seperti apa persamaan trigonometri dasar?
sinx = a
karenax = a
tgx = a
ctgx = a
Di Sini A singkatan dari nomor apa pun. Setiap.
Ngomong-ngomong, di dalam suatu fungsi mungkin tidak ada X murni, tapi semacam ekspresi, seperti:
cos(3x+π /3) = 1/2
dll. Hal ini memperumit hidup, tetapi tidak mempengaruhi metode penyelesaian persamaan trigonometri.
Bagaimana cara menyelesaikan persamaan trigonometri?
Persamaan trigonometri dapat diselesaikan dengan dua cara. Cara pertama: menggunakan logika dan lingkaran trigonometri. Kami akan melihat jalan ini di sini. Cara kedua - menggunakan memori dan rumus - akan dibahas pada pelajaran berikutnya.
Cara pertama jelas, dapat diandalkan, dan sulit untuk dilupakan.) Cara ini bagus untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, pertidaksamaan, dan segala macam contoh rumit yang tidak standar. Logika lebih kuat dari ingatan!)
Menyelesaikan persamaan menggunakan lingkaran trigonometri.
Kami menyertakan logika dasar dan kemampuan menggunakan lingkaran trigonometri. Apakah kamu tidak tahu caranya? Namun... Anda akan kesulitan dalam trigonometri...) Tapi itu tidak masalah. Lihatlah pelajaran "Lingkaran trigonometri...... Apa itu?" dan "Mengukur sudut pada lingkaran trigonometri." Semuanya sederhana di sana. Berbeda dengan buku teks...)
Oh, kamu tahu!? Dan bahkan menguasai “Kerja Praktek dengan lingkaran trigonometri”!? Selamat. Topik ini akan dekat dan dapat dimengerti oleh Anda.) Yang paling menyenangkan adalah lingkaran trigonometri tidak peduli persamaan apa yang Anda selesaikan. Sinus, cosinus, tangen, kotangen - semuanya sama baginya. Hanya ada satu prinsip solusi.
Jadi kita ambil persamaan trigonometri dasar apa pun. Setidaknya ini:
karenax = 0,5
Kita perlu menemukan X. Berbicara dalam bahasa manusia, Anda perlu tentukan sudut (x) yang kosinusnya 0,5.
Bagaimana kita sebelumnya menggunakan lingkaran? Kami menggambar sudut di atasnya. Dalam derajat atau radian. Dan segera gergaji fungsi trigonometri sudut ini. Sekarang mari kita lakukan yang sebaliknya. Mari kita menggambar cosinus pada lingkaran sama dengan 0,5 dan segera kita lihat saja nanti sudut. Yang tersisa hanyalah menuliskan jawabannya.) Ya, ya!
Gambarlah sebuah lingkaran dan tandai cosinusnya sama dengan 0,5. Tentu saja pada sumbu cosinus. Seperti ini:
Sekarang mari kita menggambar sudut yang dihasilkan kosinus ini. Arahkan mouse Anda ke atas gambar (atau sentuh gambar di tablet Anda), dan Anda akan melihat sudut ini X.
Kosinus sudut manakah yang besarnya 0,5?
x = π /3
karena 60°= karena( /3) = 0,5
Beberapa orang akan tertawa skeptis, ya... Seperti, apakah layak membuat lingkaran ketika semuanya sudah jelas... Anda tentu saja bisa tertawa...) Tapi faktanya ini adalah jawaban yang salah. Atau lebih tepatnya, tidak cukup. Penikmat lingkaran memahami bahwa ada banyak sudut lain di sini yang juga memberikan kosinus 0,5.
Jika Anda memutar sisi bergerak OA putaran penuh, titik A akan kembali ke posisi semula. Dengan kosinus yang sama sama dengan 0,5. Itu. sudutnya akan berubah sebesar 360° atau 2π radian, dan kosinus - tidak. Sudut baru 60° + 360° = 420° juga akan menjadi solusi persamaan kita, karena
Jumlah putaran penuh yang tak terhingga dapat dilakukan... Dan semua sudut baru ini akan menjadi solusi persamaan trigonometri kita. Dan semuanya perlu ditulis sebagai tanggapan. Semua. Kalau tidak, keputusannya tidak masuk hitungan ya..)
Matematika dapat melakukan ini dengan sederhana dan elegan. Tuliskan dalam satu jawaban singkat himpunan tak terbatas keputusan. Berikut tampilan persamaan kita:
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
Saya akan menguraikannya. Masih menulis secara bermakna Itu lebih menyenangkan daripada dengan bodohnya menggambar beberapa huruf misterius, kan?)
/3 - ini adalah sudut yang sama dengan kita gergaji pada lingkaran dan bertekad sesuai dengan tabel cosinus.
2π adalah satu revolusi lengkap dalam radian.
N - ini adalah jumlah yang lengkap, mis. utuh rpm Hal ini jelas bahwa N bisa sama dengan 0, ±1, ±2, ±3.... dan seterusnya. Seperti yang ditunjukkan oleh entri singkat:
n ∈ Z
N milik ( ∈ ) himpunan bilangan bulat ( Z ). Ngomong-ngomong, bukannya surat N huruf mungkin dapat digunakan k, m, t dll.
Notasi ini berarti Anda dapat mengambil bilangan bulat apa pun N . Setidaknya -3, setidaknya 0, setidaknya +55. Apapun yang kamu mau. Jika Anda mengganti angka ini ke dalam jawabannya, Anda akan mendapatkan sudut tertentu, yang pasti akan menjadi solusi persamaan kasar kita.)
Atau, dengan kata lain, x = π /3 adalah satu-satunya akar dari himpunan tak hingga. Untuk mendapatkan semua akar lainnya, cukup dengan menambahkan sejumlah putaran penuh ke π /3 ( N ) dalam radian. Itu. 2πn radian.
Semua? TIDAK. Aku sengaja memperpanjang kenikmatannya. Untuk mengingat lebih baik.) Kami hanya menerima sebagian jawaban atas persamaan kami. Saya akan menulis bagian pertama dari solusi ini seperti ini:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - bukan hanya satu akar saja, melainkan serangkaian akar yang utuh, dituliskan dalam bentuk yang singkat.
Namun ada juga sudut yang juga memberikan kosinus 0,5!
Mari kita kembali ke gambar tempat kita menuliskan jawabannya. Ini dia:
Arahkan mouse Anda ke atas gambar dan kami melihat sudut lain itu juga memberikan kosinus 0,5. Menurutmu itu setara dengan apa? Segitiganya sama... Ya! Itu sama dengan sudut X , hanya tertunda ke arah negatif. Ini adalah sudutnya -X. Tapi kita sudah menghitung x. π /3 atau 60°. Oleh karena itu, kita dapat dengan aman menulis:
x 2 = - /3
Tentu saja kita jumlahkan semua sudut yang diperoleh melalui putaran penuh:
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Itu saja sekarang.) Pada lingkaran trigonometri kita gergaji(siapa yang mengerti, tentu saja)) Semua sudut yang menghasilkan kosinus 0,5. Dan kami menuliskan sudut-sudut ini dalam bentuk matematika singkat. Jawabannya menghasilkan dua rangkaian akar tak terhingga:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Ini adalah jawaban yang benar.
Harapan, prinsip umum untuk menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan lingkaran sudah jelas. Kami menandai cosinus (sinus, tangen, kotangen) dari persamaan yang diberikan pada sebuah lingkaran, menggambar sudut-sudut yang bersesuaian dan menuliskan jawabannya. Tentu saja, kita perlu mencari tahu di sudut mana kita berada gergaji di lingkaran. Terkadang tidak begitu jelas. Yah, saya katakan bahwa logika diperlukan di sini.)
Misalnya, mari kita lihat persamaan trigonometri lainnya:
Harap diingat bahwa angka 0,5 bukanlah satu-satunya angka yang mungkin ada dalam persamaan!) Hanya saja lebih mudah bagi saya untuk menuliskannya daripada akar dan pecahan.
Kami bekerja berdasarkan prinsip umum. Kami menggambar sebuah lingkaran, tandai (pada sumbu sinus, tentu saja!) 0,5. Kami menggambar semua sudut yang bersesuaian dengan sinus ini sekaligus. Kami mendapatkan gambar ini:
Mari kita bahas sudutnya dulu X di kuartal pertama. Kita mengingat tabel sinus dan menentukan nilai sudut ini. Ini masalah sederhana:
x = /6
Kami mengingat putaran penuh dan, dengan hati nurani yang bersih, menuliskan rangkaian jawaban pertama:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
Separuh pekerjaan sudah selesai. Tapi sekarang kita perlu menentukannya tikungan kedua... Memang lebih rumit dari pada menggunakan cosinus ya... Tapi logika akan menyelamatkan kita! Cara menentukan sudut kedua melalui x? Ya Mudah! Segitiga pada gambar sama, dan sudutnya berwarna merah X sama dengan sudut X . Hanya saja dihitung dari sudut π ke arah negatif. Makanya warnanya merah.) Dan untuk jawabannya kita perlu sudut yang diukur dengan benar dari semi-sumbu positif OX, yaitu. dari sudut 0 derajat.
Kami mengarahkan kursor ke gambar dan melihat semuanya. Saya menghapus sudut pertama agar tidak mempersulit gambar. Sudut yang kita minati (digambar dengan warna hijau) akan sama dengan:
π - x
X kita tahu ini /6 . Oleh karena itu, sudut kedua adalah:
π - π /6 = 5π /6
Sekali lagi kita ingat tentang menjumlahkan putaran penuh dan menuliskan rangkaian jawaban kedua:
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Itu saja. Jawaban lengkap terdiri dari dua rangkaian akar:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Persamaan tangen dan kotangen dapat diselesaikan dengan mudah menggunakan prinsip umum yang sama untuk menyelesaikan persamaan trigonometri. Jika tentunya anda mengetahui cara menggambar garis singgung dan kotangen pada lingkaran trigonometri.
Pada contoh di atas, saya menggunakan tabel nilai sinus dan cosinus: 0,5. Itu. salah satu makna yang diketahui siswa harus. Sekarang mari kita kembangkan kemampuan kita menjadi semua nilai lainnya. Putuskan, jadi putuskan!)
Jadi, misalkan kita perlu menyelesaikan persamaan trigonometri ini:
Tidak ada nilai cosinus dalam tabel pendek. Kami dengan dingin mengabaikan fakta buruk ini. Gambarlah sebuah lingkaran, tandai 2/3 pada sumbu kosinus dan gambarlah sudut-sudut yang bersesuaian. Kami mendapatkan gambar ini.
Mari kita lihat, pertama, sudut pada kuarter pertama. Seandainya kita mengetahui x sama dengan apa, kita akan segera menuliskan jawabannya! Kami tidak tahu... Gagal!? Tenang! Matematika tidak membiarkan bangsanya sendiri dalam kesulitan! Dia datang dengan arc cosinus untuk kasus ini. Tidak tahu? Sia-sia. Cari tahu, Ini jauh lebih mudah dari yang Anda kira. Tidak ada satu pun mantra rumit tentang "fungsi trigonometri terbalik" di tautan ini... Ini tidak berguna dalam topik ini.
Jika Anda sudah mengetahuinya, katakan saja pada diri sendiri: “X adalah sudut yang kosinusnya sama dengan 2/3.” Dan segera, berdasarkan definisi arc cosinus, kita dapat menulis:
Kami mengingat putaran tambahan dan dengan tenang menuliskan deret pertama akar persamaan trigonometri kami:
x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Rangkaian akar kedua untuk sudut kedua hampir otomatis dituliskan. Semuanya sama, hanya X (arccos 2/3) yang minus:
x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Dan itu saja! Ini adalah jawaban yang benar. Bahkan lebih mudah dibandingkan dengan nilai tabel. Tidak perlu mengingat apa pun.) Ngomong-ngomong, orang yang paling penuh perhatian akan melihat bahwa gambar ini menunjukkan solusi melalui arc cosinus pada intinya tidak berbeda dengan gambaran persamaan cosx = 0,5.
Tepat! Prinsip umum Itu sebabnya hal itu biasa terjadi! Saya sengaja menggambar dua gambar yang hampir identik. Lingkaran menunjukkan sudutnya X oleh kosinusnya. Apakah itu kosinus tabel atau bukan, tidak diketahui semua orang. Sudut macam apa ini, π /3, atau berapa arc cosinusnya - terserah kita untuk memutuskan.
Lagu yang sama dengan sinus. Misalnya:
Gambarlah sebuah lingkaran lagi, tandai sinusnya sama dengan 1/3, gambarlah sudut-sudutnya. Inilah gambaran yang kami dapatkan:
Dan sekali lagi gambarannya hampir sama dengan persamaannya sinx = 0,5. Sekali lagi kita mulai dari tendangan sudut di kuarter pertama. Berapakah nilai X jika sinusnya 1/3? Tidak masalah!
Sekarang paket akar pertama sudah siap:
x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Mari kita bahas sudut kedua. Pada contoh dengan nilai tabel 0,5 sama dengan:
π - x
Di sini juga akan sama persis! Hanya x saja yang berbeda, arcsin 1/3. Terus!? Anda dapat dengan aman menuliskan paket akar kedua:
x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Ini adalah jawaban yang sepenuhnya benar. Meski kelihatannya tidak terlalu familiar. Tapi sudah jelas, saya harap.)
Beginilah cara menyelesaikan persamaan trigonometri dengan menggunakan lingkaran. Jalan ini jelas dan dapat dimengerti. Dialah yang menyimpan persamaan trigonometri dengan pemilihan akar pada interval tertentu, dalam pertidaksamaan trigonometri - umumnya hampir selalu diselesaikan dalam lingkaran. Singkatnya, dalam tugas apa pun yang sedikit lebih sulit daripada tugas standar.
Mari kita terapkan ilmunya dalam praktik?)
Selesaikan persamaan trigonometri:
Pertama, lebih sederhana, langsung dari pelajaran ini.
Sekarang lebih rumit.
Petunjuk: di sini Anda harus memikirkan tentang lingkaran. Sendiri.)
Dan sekarang mereka tampak sederhana... Mereka juga disebut kasus khusus.
dosa = 0
dosa = 1
karena = 0
karena = -1
Petunjuk: di sini Anda perlu mencari tahu dalam lingkaran di mana ada dua rangkaian jawaban dan di mana ada satu... Dan bagaimana cara menulis satu, bukan dua rangkaian jawaban. Ya, agar tidak ada satu akar pun dari bilangan tak terhingga yang hilang!)
Ya, sangat sederhana):
dosa = 0,3
karena = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Petunjuk : disini anda perlu mengetahui apa itu arcsinus dan arccosine? Apa itu tangen busur, tangen busur? Yang paling definisi sederhana. Namun Anda tidak perlu mengingat nilai tabel apa pun!)
Jawabannya tentu saja berantakan):
x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2
Tidak semuanya berhasil? Terjadi. Bacalah pelajaran itu lagi. Hanya dengan penuh pertimbangan(ada seperti itu kata usang...) Dan ikuti tautannya. Tautan utamanya adalah tentang lingkaran. Tanpanya, trigonometri ibarat menyeberang jalan dengan mata tertutup. Kadang-kadang berhasil.)
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)
Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.
Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.
Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi
Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.
Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.
Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:
- Saat Anda mengirimkan permintaan di situs, kami dapat mengumpulkannya berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.
Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:
- Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
- Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
- Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal seperti audit, analisis data, dan berbagai penelitian dalam rangka meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberikan Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
- Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk menyelenggarakan program tersebut.
Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga
Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Apabila diperlukan - sesuai dengan peraturan perundang-undangan, acara peradilan, proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan masyarakat atau permohonan dari agensi pemerintahan di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
- Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.
Perlindungan informasi pribadi
Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.
Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan
Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.