Turunan dari fungsi kompleks. Contoh solusi

Dalam pelajaran ini kita akan belajar bagaimana menemukan turunan dari fungsi kompleks. Pelajaran tersebut merupakan kelanjutan logis dari pelajaran tersebut Bagaimana cara mencari turunannya?, di mana kami memeriksa turunan paling sederhana, dan juga mengenal aturan diferensiasi dan beberapa teknik teknis untuk menemukan turunan. Oleh karena itu, jika Anda kurang mahir dengan turunan fungsi atau ada beberapa poin dalam artikel ini yang kurang jelas, maka bacalah dulu pelajaran di atas. Silakan serius - materinya tidak sederhana, namun saya akan tetap berusaha menyajikannya secara sederhana dan jelas.

Dalam praktiknya, Anda harus sering berurusan dengan turunan suatu fungsi kompleks, bahkan saya katakan, hampir selalu, ketika Anda diberi tugas untuk mencari turunan.

Kita lihat tabel aturan (No. 5) untuk membedakan fungsi kompleks:

Mari kita cari tahu. Pertama-tama, mari kita perhatikan entrinya. Di sini kita memiliki dua fungsi - dan , dan fungsi tersebut, secara kiasan, bersarang di dalam fungsi tersebut. Fungsi jenis ini (ketika satu fungsi bertumpu pada fungsi lain) disebut fungsi kompleks.

Saya akan memanggil fungsinya fungsi eksternal, dan fungsinya – fungsi internal (atau bersarang)..

! Definisi-definisi ini tidak bersifat teoretis dan tidak boleh muncul dalam desain akhir tugas. Saya menggunakan ungkapan informal “fungsi eksternal”, fungsi “internal” hanya untuk memudahkan Anda memahami materi.

Untuk memperjelas situasinya, pertimbangkan:

Contoh 1

Temukan turunan suatu fungsi

Di bawah sinus kita tidak hanya memiliki huruf "X", tetapi seluruh ekspresi, jadi mencari turunannya langsung dari tabel tidak akan berhasil. Kami juga memperhatikan bahwa tidak mungkin menerapkan empat aturan pertama di sini, tampaknya ada perbedaan, tetapi faktanya sinus tidak dapat “dipecah-pecah”:

DI DALAM dalam contoh ini Dari penjelasan saya sudah jelas secara intuitif bahwa suatu fungsi adalah fungsi kompleks, dan polinomial adalah fungsi internal (penyematan), dan fungsi eksternal.

Langkah pertama yang perlu Anda lakukan saat mencari turunan fungsi kompleks adalah memahami fungsi mana yang internal dan mana yang eksternal.

Kapan contoh sederhana Tampak jelas bahwa polinomial tertanam di bawah sinus. Tapi bagaimana jika semuanya tidak jelas? Bagaimana cara menentukan secara akurat fungsi mana yang eksternal dan mana yang internal? Untuk melakukan ini, saya sarankan menggunakan teknik berikut, yang dapat dilakukan secara mental atau dalam bentuk draf.

Mari kita bayangkan bahwa kita perlu menghitung nilai ekspresi di pada kalkulator (bukannya satu, bisa ada angka berapa pun).

Apa yang akan kita hitung terlebih dahulu? Pertama Anda perlu melakukan tindakan berikut: , oleh karena itu polinomialnya akan menjadi fungsi internal:

Kedua perlu ditemukan, jadi sinus – akan menjadi fungsi eksternal:

Setelah kita TERJUAL HABIS Dengan fungsi internal dan eksternal, saatnya menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks.

Mari kita mulai memutuskan. Dari kelas Bagaimana cara mencari turunannya? kita ingat bahwa desain solusi untuk turunan apa pun selalu dimulai seperti ini - kita menyertakan ekspresi dalam tanda kurung dan memberi tanda guratan di kanan atas:

Pertama cari turunan fungsi luar (sinus), lihat tabel turunannya fungsi dasar dan kami memperhatikan itu. Semua rumus tabel juga berlaku jika “x” diganti dengan ekspresi kompleks, pada kasus ini:

Harap dicatat bahwa fungsi bagian dalam tidak berubah, kami tidak menyentuhnya.

Ya, sudah jelas sekali

Hasil akhir dari penerapan rumus tersebut adalah sebagai berikut:

Faktor konstanta biasanya ditempatkan di awal ekspresi:

Jika ada kesalahpahaman, tuliskan penyelesaiannya di atas kertas dan baca kembali penjelasannya.

Contoh 2

Temukan turunan suatu fungsi

Contoh 3

Temukan turunan suatu fungsi

Seperti biasa, kami menulis:

Mari kita cari tahu di mana kita memiliki fungsi eksternal dan di mana kita memiliki fungsi internal. Untuk melakukan ini, kami mencoba (secara mental atau dalam konsep) menghitung nilai ekspresi di . Apa yang harus Anda lakukan pertama kali? Pertama-tama, Anda perlu menghitung basisnya: oleh karena itu, polinomial adalah fungsi internal:

Dan baru kemudian eksponensial dilakukan, oleh karena itu, fungsi pangkat adalah fungsi eksternal:

Berdasarkan rumusnya, pertama-tama Anda perlu mencari turunan fungsi eksternal, dalam hal ini derajat. Kami mencari rumus yang diperlukan di tabel: . Kami ulangi lagi: rumus tabel apa pun berlaku tidak hanya untuk "X", tetapi juga untuk ekspresi kompleks. Jadi, hasil penerapan aturan diferensiasi fungsi kompleks adalah sebagai berikut:

Saya tekankan lagi bahwa ketika kita mengambil turunan dari fungsi eksternal, fungsi internal kita tidak berubah:

Sekarang yang tersisa hanyalah mencari turunan yang sangat sederhana dari fungsi internal dan sedikit mengubah hasilnya:

Contoh 4

Temukan turunan suatu fungsi

Ini adalah contoh yang bisa Anda pecahkan sendiri (jawaban di akhir pelajaran).

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang turunan fungsi kompleks, saya akan memberikan contoh tanpa komentar, coba cari tahu sendiri, alasannya di mana fungsi eksternal dan di mana fungsi internal, mengapa tugas diselesaikan dengan cara ini?

Contoh 5

a) Temukan turunan dari fungsi tersebut

b) Temukan turunan dari fungsi tersebut

Contoh 6

Temukan turunan suatu fungsi

Di sini kita memiliki akar, dan untuk membedakan akar tersebut, akar tersebut harus direpresentasikan sebagai suatu pangkat. Jadi, pertama-tama kita bawa fungsinya ke dalam bentuk yang sesuai untuk diferensiasi:

Menganalisis fungsi tersebut, kita sampai pada kesimpulan bahwa penjumlahan ketiga suku tersebut merupakan fungsi internal, dan menaikkan pangkat adalah fungsi eksternal. Kami menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks:

Kami kembali menyatakan derajat sebagai akar (akar), dan untuk turunan fungsi internal kami menerapkan aturan sederhana untuk membedakan jumlah:

Siap. Anda juga dapat mengurangi ekspresi menjadi penyebut yang sama dalam tanda kurung dan menuliskan semuanya sebagai satu pecahan. Itu indah, tentu saja, tetapi ketika Anda mendapatkan turunan panjang yang rumit, lebih baik tidak melakukan ini (mudah bingung, membuat kesalahan yang tidak perlu, dan akan merepotkan guru untuk memeriksanya).

Contoh 7

Temukan turunan suatu fungsi

Ini adalah contoh yang bisa Anda pecahkan sendiri (jawaban di akhir pelajaran).

Menarik untuk dicatat bahwa terkadang alih-alih menggunakan aturan untuk membedakan fungsi kompleks, Anda dapat menggunakan aturan untuk membedakan hasil bagi. , tapi solusi seperti itu akan terlihat seperti penyimpangan yang lucu. Berikut adalah contoh tipikal:

Contoh 8

Temukan turunan suatu fungsi

Di sini Anda dapat menggunakan aturan diferensiasi hasil bagi , tetapi jauh lebih menguntungkan untuk mencari turunannya melalui aturan diferensiasi fungsi kompleks:

Kami menyiapkan fungsi untuk diferensiasi - kami memindahkan tanda minus dari tanda turunannya, dan menaikkan kosinus ke dalam pembilangnya:

Cosinus adalah fungsi internal, eksponensial adalah fungsi eksternal.
Mari gunakan aturan kita:

Kami menemukan turunan dari fungsi internal dan mengembalikan kosinusnya ke bawah:

Siap. Dalam contoh yang dibahas, penting untuk tidak bingung dengan tanda-tandanya. Ngomong-ngomong, coba selesaikan menggunakan aturan , jawabannya harus cocok.

Contoh 9

Temukan turunan suatu fungsi

Ini adalah contoh yang bisa Anda pecahkan sendiri (jawaban di akhir pelajaran).

Sejauh ini kita telah melihat kasus di mana kita hanya memiliki satu sarang dalam fungsi yang kompleks. Dalam tugas-tugas praktis, Anda sering dapat menemukan turunan, di mana, seperti boneka bersarang, satu di dalam yang lain, 3 atau bahkan 4-5 fungsi disarangkan sekaligus.

Contoh 10

Temukan turunan suatu fungsi

Mari kita pahami lampiran dari fungsi ini. Mari kita coba menghitung ekspresi menggunakan nilai eksperimen. Bagaimana kita mengandalkan kalkulator?

Pertama, Anda perlu mencari , yang berarti arcsine adalah penyematan terdalam:

Sinus satu ini kemudian harus dikuadratkan:

Dan akhirnya, kami menaikkan tujuh pangkat:

Artinya, dalam contoh ini kita memiliki tiga fungsi berbeda dan dua embeddings, sedangkan fungsi terdalam adalah arcsinus, dan fungsi terluar adalah fungsi eksponensial.

Mari kita mulai memutuskan

Menurut aturan, pertama-tama Anda harus mengambil turunan dari fungsi eksternal. Kita melihat tabel turunan dan mencari turunan dari fungsi eksponensial: Satu-satunya perbedaan adalah bahwa alih-alih “x” kita memiliki ekspresi kompleks, yang tidak meniadakan validitas rumus ini. Jadi, hasil penerapan aturan diferensiasi fungsi kompleks adalah sebagai berikut:

Di bawah pukulan kita memiliki fungsi yang kompleks lagi! Tapi ini sudah lebih sederhana. Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa fungsi dalam adalah arcsinus, fungsi luar adalah derajat. Menurut aturan untuk mendiferensiasikan fungsi kompleks, pertama-tama Anda harus mengambil turunan pangkatnya.

Tingkat pertama

Turunan dari suatu fungsi. Panduan Komprehensif (2019)

Bayangkan sebuah jalan lurus melewati daerah perbukitan. Artinya, naik turun, tetapi tidak berbelok ke kanan atau ke kiri. Jika sumbu diarahkan secara horizontal sepanjang jalan dan vertikal, maka garis jalan akan sangat mirip dengan grafik beberapa fungsi kontinu:

Sumbunya adalah tingkat ketinggian nol tertentu, dalam kehidupan kita menggunakan permukaan laut sebagai itu.

Saat kita bergerak maju di sepanjang jalan tersebut, kita juga bergerak ke atas atau ke bawah. Kita juga dapat mengatakan: ketika argumen berubah (pergerakan sepanjang sumbu absis), nilai fungsi berubah (pergerakan sepanjang sumbu ordinat). Sekarang mari kita pikirkan bagaimana cara menentukan “kecuraman” jalan kita? Nilai macam apa ini? Sederhana saja: seberapa besar perubahan ketinggian ketika bergerak maju dalam jarak tertentu. Lagi pula, aktif daerah yang berbeda jalan raya, bergerak maju (sepanjang sumbu x) sejauh satu kilometer, kita akan naik atau turun beberapa meter relatif terhadap permukaan laut (sepanjang sumbu y).

Mari kita nyatakan kemajuan (baca “delta x”).

Huruf Yunani (delta) umumnya digunakan dalam matematika sebagai awalan yang berarti "perubahan". Yaitu - ini adalah perubahan kuantitas, - perubahan; lalu apa itu? Itu benar, perubahan besarnya.

Penting: suatu ekspresi adalah satu kesatuan, satu variabel. Jangan pernah memisahkan “delta” dari “x” atau huruf lainnya! Misalnya, .

Jadi, kita telah bergerak maju, secara horizontal. Jika kita bandingkan garis jalan dengan grafik fungsinya, lalu bagaimana kita menyatakan tanjakannya? Tentu, . Artinya, saat kita bergerak maju, kita naik lebih tinggi.

Nilainya mudah dihitung: jika pada awalnya kita berada di ketinggian, dan setelah bergerak kita menemukan diri kita berada di ketinggian, maka. Jika titik akhir lebih rendah dari titik awal, maka akan negatif - artinya kita tidak naik, tetapi turun.

Mari kita kembali ke "kecuraman": ini adalah nilai yang menunjukkan seberapa besar (curam) ketinggian bertambah ketika bergerak maju satu satuan jarak:

Mari kita asumsikan bahwa di beberapa bagian jalan, ketika bergerak maju satu kilometer, jalan tersebut naik satu kilometer. Maka kemiringan di tempat ini adalah sama. Dan bagaimana jika jalan tersebut, ketika bergerak maju sejauh m, turun sejauh km? Maka kemiringannya sama.

Sekarang mari kita lihat puncak sebuah bukit. Jika kita mengambil bagian awal setengah kilometer sebelum puncak, dan akhir setengah kilometer setelahnya, terlihat bahwa tingginya hampir sama.

Artinya, menurut logika kita, ternyata kemiringan di sini hampir sama dengan nol, yang jelas tidak benar. Hanya dalam jarak beberapa kilometer, banyak hal bisa berubah. Penting untuk mempertimbangkan area yang lebih kecil agar penilaian kecuraman lebih memadai dan akurat. Misalnya, jika Anda mengukur perubahan ketinggian saat Anda bergerak satu meter, hasilnya akan jauh lebih akurat. Namun keakuratan ini pun mungkin belum cukup bagi kita - lagipula, jika ada tiang di tengah jalan, kita bisa melewatinya begitu saja. Jarak apa yang harus kita pilih? Sentimeter? Milimeter? Lebih sedikit lebih baik!

DI DALAM kehidupan nyata Mengukur jarak hingga milimeter terdekat sudah lebih dari cukup. Namun matematikawan selalu berusaha mencapai kesempurnaan. Oleh karena itu, konsep tersebut diciptakan kecil sekali, yaitu nilai mutlaknya lebih kecil dari bilangan apa pun yang dapat kita sebutkan. Misalnya, Anda berkata: sepertriliun! Berapa banyak lagi? Dan Anda membagi angka ini dengan - dan jumlahnya akan lebih sedikit. Dan seterusnya. Jika kita ingin menuliskan suatu besaran yang sangat kecil, kita menulis seperti ini: (kita membaca “x cenderung nol”). Sangat penting untuk dipahami bahwa angka ini bukan nol! Tapi sangat dekat dengannya. Artinya, Anda dapat membaginya.

Konsep kebalikan dari sangat kecil adalah sangat besar (). Anda mungkin pernah menemukannya saat mengerjakan pertidaksamaan: bilangan ini modulo lebih besar dari bilangan mana pun yang dapat Anda pikirkan. Jika kamu berhasil mendapatkan angka terbesar, kalikan saja dengan dua dan kamu akan mendapatkan angka yang lebih besar lagi. Dan ketidakterbatasan bahkan lebih besar dari apa yang terjadi. Faktanya, besar tak terhingga dan kecil tak terhingga merupakan kebalikan satu sama lain, yaitu pada, dan sebaliknya: pada.

Sekarang mari kita kembali ke jalan kita. Kemiringan yang dihitung secara ideal adalah kemiringan yang dihitung untuk suatu ruas jalan yang sangat kecil, yaitu:

Saya perhatikan bahwa dengan perpindahan yang sangat kecil, perubahan ketinggian juga akan sangat kecil. Namun izinkan saya mengingatkan Anda bahwa sangat kecil tidak berarti sama dengan nol. Jika Anda membagi bilangan yang sangat kecil satu sama lain, Anda bisa mendapatkan bilangan biasa, misalnya, . Artinya, satu nilai kecil bisa saja berukuran beberapa kali lebih besar dari nilai lainnya.

Untuk apa semua ini? Jalannya, kecuramannya... Kami tidak ikut reli mobil, tapi kami mengajar matematika. Dan dalam matematika semuanya persis sama, hanya disebut berbeda.

Konsep turunan

Turunan suatu fungsi adalah rasio pertambahan fungsi terhadap pertambahan argumen untuk pertambahan argumen yang sangat kecil.

Secara bertahap dalam matematika mereka menyebutnya perubahan. Sejauh mana argumen () berubah seiring pergerakannya sepanjang sumbu disebut peningkatan argumen dan dilambangkan Berapa banyak perubahan fungsi (ketinggian) ketika bergerak maju sepanjang sumbu dengan suatu jarak disebut peningkatan fungsi dan ditunjuk.

Jadi, turunan suatu fungsi adalah perbandingan terhadap kapan. Kami menyatakan turunannya dengan huruf yang sama dengan fungsinya, hanya dengan bilangan prima di kanan atas: atau sederhananya. Jadi, mari kita tulis rumus turunannya menggunakan notasi berikut:

Seperti analogi jalan, di sini jika fungsinya naik, turunannya bernilai positif, dan jika turun, turunannya negatif.

Bisakah turunannya sama dengan nol? Tentu. Misalnya kita berkendara di jalan datar mendatar maka kecuramannya nol. Dan memang benar, tingginya tidak berubah sama sekali. Begitu pula dengan turunannya: turunan suatu fungsi konstanta (konstanta) sama dengan nol:

karena kenaikan fungsi tersebut sama dengan nol untuk sembarang.

Mari kita ingat contoh di puncak bukit. Ternyata ujung-ujung ruas dapat disusun pada sisi-sisi yang berlawanan dari titik sudut sedemikian rupa sehingga tinggi ujung-ujungnya menjadi sama, yaitu ruas tersebut sejajar dengan sumbu:

Namun segmen yang besar merupakan tanda pengukuran yang tidak akurat. Kita angkat ruas kita sejajar dengan dirinya, lalu panjangnya akan berkurang.

Akhirnya, ketika kita sudah sangat dekat dengan puncak, panjang segmen tersebut akan menjadi sangat kecil. Tetapi pada saat yang sama, ia tetap sejajar dengan sumbu, yaitu perbedaan ketinggian di ujung-ujungnya sama dengan nol (tidak cenderung, tetapi sama dengan). Jadi turunannya

Hal ini dapat dipahami sebagai berikut: ketika kita berdiri di puncak, pergeseran kecil ke kiri atau ke kanan akan mengubah tinggi badan kita secara signifikan.

Ada juga penjelasan aljabar murni: di sebelah kiri titik, fungsinya bertambah, dan di sebelah kanan turun. Seperti yang telah kita ketahui sebelumnya, jika suatu fungsi meningkat, turunannya bernilai positif, dan jika turun, maka turunannya negatif. Tapi perubahannya mulus, tanpa lompatan (karena kemiringan jalan tidak berubah tajam di mana pun). Oleh karena itu, antara negatif dan nilai-nilai positif pasti ada. Di sinilah fungsinya tidak bertambah atau berkurang - di titik puncak.

Hal yang sama berlaku untuk palung (area dimana fungsi di sebelah kiri berkurang dan di sebelah kanan bertambah):

Sedikit lagi tentang peningkatan.

Jadi kita ubah argumennya menjadi besaran. Kita berubah dari nilai apa? Apa jadinya (argumennya) sekarang? Kita dapat memilih titik mana saja, dan sekarang kita akan menari dari titik tersebut.

Pertimbangkan sebuah titik dengan koordinat. Nilai fungsi di dalamnya adalah sama. Kemudian kita melakukan kenaikan yang sama: kita menambah koordinat sebesar. Apa argumennya sekarang? Sangat mudah: . Berapa nilai fungsinya sekarang? Ke mana argumennya pergi, begitu pula fungsinya: . Bagaimana dengan peningkatan fungsi? Bukan hal baru: ini masih merupakan jumlah perubahan fungsi:

Berlatihlah menemukan peningkatan:

1. Temukan pertambahan fungsi pada titik ketika pertambahan argumen sama dengan.
2. Hal yang sama berlaku untuk fungsi pada suatu titik.

Solusi:

Pada titik berbeda dengan kenaikan argumen yang sama, kenaikan fungsi akan berbeda. Artinya turunan di setiap titik berbeda (kita sudah membahasnya di awal - kecuraman jalan berbeda di titik yang berbeda). Oleh karena itu, ketika kita menulis turunan, kita harus menunjukkan pada titik mana:

Fungsi daya.

Fungsi pangkat adalah fungsi yang argumennya sampai taraf tertentu (logis, bukan?).

Selain itu - sampai batas tertentu: .

Kasus paling sederhana adalah ketika eksponennya adalah:

Mari kita cari turunannya di suatu titik. Mari kita ingat kembali definisi turunan:

Jadi argumennya berubah dari menjadi. Berapa kenaikan fungsinya?

Peningkatannya adalah ini. Namun suatu fungsi di titik mana pun sama dengan argumennya. Itu sebabnya:

Turunannya sama dengan:

Turunan dari sama dengan:

b) Sekarang perhatikan fungsi kuadrat (): .

Sekarang mari kita ingat itu. Artinya, nilai kenaikan dapat diabaikan, karena sangat kecil, dan oleh karena itu tidak signifikan dibandingkan dengan suku lainnya:

Jadi, kami membuat aturan lain:

c) Kami melanjutkan rangkaian logika: .

Ekspresi ini dapat disederhanakan dengan berbagai cara: buka tanda kurung pertama menggunakan rumus perkalian pangkat tiga yang disingkat, atau faktorkan seluruh ekspresi menggunakan rumus selisih pangkat tiga. Cobalah melakukannya sendiri menggunakan salah satu metode yang disarankan.

Jadi, saya mendapatkan yang berikut ini:

Dan sekali lagi mari kita ingat itu. Artinya kita bisa mengabaikan semua istilah yang mengandung:

Kita mendapatkan: .

d) Aturan serupa dapat diperoleh untuk kekuatan besar:

e) Ternyata aturan ini dapat digeneralisasikan untuk fungsi pangkat dengan eksponen sembarang, bahkan bukan bilangan bulat:

Aturannya dapat dirumuskan dengan kata-kata: “derajat dimajukan sebagai koefisien, dan kemudian dikurangi sebesar .”

Kami akan membuktikan aturan ini nanti (hampir di bagian paling akhir). Sekarang mari kita lihat beberapa contoh. Temukan turunan dari fungsi:

1. (dalam dua cara: dengan rumus dan menggunakan definisi turunan - dengan menghitung kenaikan fungsi);

1. . Percaya atau tidak, ini adalah fungsi kekuasaan. Jika Anda memiliki pertanyaan seperti “Bagaimana ini? Dimana gelarnya?”, ingat topik “”!
   Ya, akarnya juga merupakan derajat, hanya pecahan: .
   Artinya, akar kuadrat kita hanyalah pangkat dengan eksponen:
   .
   Kami mencari turunannya menggunakan rumus yang baru dipelajari:

   Jika pada titik ini menjadi tidak jelas lagi, ulangi topik “”!!! (tentang derajat dengan eksponen negatif)

2. . Sekarang eksponennya:

   Dan sekarang melalui definisinya (apakah Anda sudah lupa?):
   ;
   .
   Sekarang, seperti biasa, kita mengabaikan istilah yang mengandung:
   .

3. . Kombinasi kasus sebelumnya: .

Fungsi trigonometri.

Di sini kita akan menggunakan satu fakta dari matematika tingkat tinggi:

Dengan ekspresi.

Anda akan mempelajari buktinya di tahun pertama institut (dan untuk mencapainya, Anda harus lulus Ujian Negara Bersatu dengan baik). Sekarang saya akan menunjukkannya secara grafis:

Kita melihat bahwa ketika fungsinya tidak ada, titik pada grafik terpotong. Namun semakin dekat nilainya, semakin dekat fungsinya. Inilah yang “dituju”.

Selain itu, Anda dapat memeriksa aturan ini menggunakan kalkulator. Iya iya jangan malu-malu ambil kalkulator, kita belum ada di Unified State Examination.

Jadi, mari kita coba: ;

Jangan lupa untuk mengalihkan kalkulator Anda ke mode Radian!

dll. Kita melihat bahwa semakin kecil, semakin dekat nilai rasionya.

a) Perhatikan fungsinya. Seperti biasa, mari kita cari kenaikannya:

Mari kita ubah perbedaan sinus menjadi sebuah hasil kali. Untuk melakukan ini, kami menggunakan rumus (ingat topik “”): .

Sekarang turunannya:

Mari kita buat penggantinya: . Lalu untuk yang sangat kecil juga sangat kecil: . Ekspresi untuk berbentuk:

Dan sekarang kita mengingatnya dengan ungkapan. Dan juga, bagaimana jika suatu kuantitas yang sangat kecil dapat diabaikan dalam jumlah tersebut (yaitu, di).

Jadi, kita mendapatkan aturan berikut: turunan sinus sama dengan kosinus:

Ini adalah turunan dasar (“tabel”). Ini dia dalam satu daftar:

Nanti kita akan menambahkan beberapa lagi, tapi ini yang paling penting, karena paling sering digunakan.

Praktik:

1. Temukan turunan fungsi di suatu titik;
2. Temukan turunan dari fungsi tersebut.

Solusi:

1. Pertama, mari kita cari turunannya pandangan umum, lalu substitusikan nilainya:
   ;
   .
2. Di sini kita memiliki sesuatu yang mirip dengan fungsi pangkat. Mari kita coba membawanya ke
   tampilan biasa:
   .
   Bagus, sekarang Anda bisa menggunakan rumus:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Apa ini????

Oke, Anda benar, kami belum tahu cara mencari turunan tersebut. Di sini kita memiliki kombinasi beberapa jenis fungsi. Untuk mengatasinya, Anda perlu mempelajari beberapa aturan lagi:

Logaritma eksponen dan natural.

Ada suatu fungsi dalam matematika yang turunannya untuk suatu nilai sama dengan nilai fungsi itu sendiri pada waktu yang sama. Ini disebut “eksponen”, dan merupakan fungsi eksponensial

Basis fungsi ini - sebuah konstanta - adalah pecahan desimal tak hingga, yaitu bilangan irasional (seperti). Ini disebut “bilangan Euler”, oleh karena itu dilambangkan dengan huruf.

Jadi, aturannya:

Sangat mudah diingat.

Baiklah, tidak usah jauh-jauh, langsung saja kita simak fungsi terbalik. Fungsi manakah yang merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial? Logaritma:

Dalam kasus kami, basisnya adalah angka:

Logaritma seperti itu (yaitu, logaritma dengan basis) disebut “alami”, dan kami menggunakan notasi khusus untuk itu: kami menulisnya.

Sama dengan apa? Tentu saja, .

Turunan dari logaritma natural juga sangat sederhana:

Contoh:

1. Temukan turunan dari fungsi tersebut.
2. Berapakah turunan dari fungsi tersebut?

Jawaban: Logaritma eksponensial dan natural adalah fungsi unik dan sederhana dari perspektif turunan. Fungsi eksponensial dan logaritma dengan basis lain akan mempunyai turunan yang berbeda, yang akan kita analisis nanti, setelah kita membahas aturan diferensiasi.

Aturan diferensiasi

Aturan apa? Lagi istilah baru, lagi?!...

Diferensiasi adalah proses mencari turunannya.

Itu saja. Apa lagi yang bisa Anda sebut proses ini dalam satu kata? Bukan turunan... Matematikawan menyebut diferensial sebagai pertambahan fungsi yang sama di. Istilah ini berasal dari bahasa Latin differential – perbedaan. Di Sini.

Saat menurunkan semua aturan ini, kita akan menggunakan dua fungsi, misalnya, dan. Kita juga memerlukan rumus untuk kenaikannya:

Total ada 5 aturan.

Konstanta tersebut dikeluarkan dari tanda turunannya.

Jika - suatu bilangan konstan (konstan), maka.

Tentu saja, aturan ini juga berlaku untuk perbedaannya: .

Mari kita buktikan. Biarlah, atau lebih sederhana.

Contoh.

Temukan turunan dari fungsi:

1. pada suatu titik;
2. pada suatu titik;
3. pada suatu titik;
4. pada intinya.

Solusi:

1. (turunannya sama di semua titik, karena merupakan fungsi linier, ingat?);

Turunan dari produk

Semuanya serupa di sini: mari perkenalkan fungsi baru dan temukan kenaikannya:

Turunan:

Contoh:

1. Temukan turunan dari fungsi dan;
2. Temukan turunan fungsi di suatu titik.

Solusi:

Turunan dari fungsi eksponensial

Sekarang pengetahuan Anda sudah cukup untuk mempelajari cara mencari turunan dari fungsi eksponensial apa pun, dan bukan hanya eksponen (apakah Anda sudah lupa apa itu?).

Jadi, di mana nomornya.

Kita sudah mengetahui turunan dari fungsi tersebut, jadi mari kita coba mereduksi fungsi kita ke basis baru:

Untuk ini kami akan menggunakan aturan sederhana: . Kemudian:

Ya, itu berhasil. Sekarang coba cari turunannya, dan jangan lupa bahwa fungsi ini kompleks.

Telah terjadi?

Di sini, periksa diri Anda:

Rumusnya ternyata sangat mirip dengan turunan eksponen: tetap sama, hanya muncul faktor yang hanya berupa bilangan, bukan variabel.

Contoh:
Temukan turunan dari fungsi:

Jawaban:

Ini hanyalah angka yang tidak dapat dihitung tanpa kalkulator, yaitu tidak dapat dituliskan lagi dalam bentuk yang sederhana. Oleh karena itu, kami membiarkannya dalam bentuk ini dalam jawabannya.

Turunan dari fungsi logaritma

Di sini serupa: Anda sudah mengetahui turunan dari logaritma natural:

Oleh karena itu, untuk mencari logaritma sembarang dengan basis berbeda, misalnya:

Kita perlu mengurangi logaritma ini ke basis. Bagaimana cara mengubah basis logaritma? Saya harap Anda ingat rumus ini:

Hanya sekarang kami akan menulis:

Penyebutnya hanyalah sebuah konstanta (bilangan konstan, tanpa variabel). Turunannya diperoleh dengan sangat sederhana:

Turunan dari fungsi eksponensial dan logaritma hampir tidak pernah ditemukan dalam Unified State Examination, namun tidak akan berlebihan untuk mengetahuinya.

Turunan dari fungsi kompleks.

Apa yang dimaksud dengan "fungsi kompleks"? Tidak, ini bukan logaritma, dan bukan tangen busur. Fungsi-fungsi ini mungkin sulit untuk dipahami (walaupun jika Anda merasa logaritmanya sulit, bacalah topik “Logaritma” dan Anda akan baik-baik saja), tetapi dari sudut pandang matematika, kata “kompleks” tidak berarti “sulit”.

Bayangkan sebuah ban berjalan kecil: dua orang sedang duduk dan melakukan beberapa tindakan dengan beberapa benda. Misalnya, yang pertama membungkus sebatang coklat dengan bungkusnya, dan yang kedua mengikatnya dengan pita. Hasilnya adalah sebuah benda gabungan: sebatang coklat yang dibungkus dan diikat dengan pita. Untuk memakan sebatang coklat, Anda perlu melakukan langkah sebaliknya dalam urutan terbalik.

Mari kita membuat alur matematika serupa: pertama kita akan mencari kosinus suatu bilangan, lalu mengkuadratkan bilangan yang dihasilkan. Jadi, kita diberi nomor (cokelat), saya mencari cosinusnya (pembungkusnya), lalu Anda mengkuadratkan apa yang saya dapat (ikat dengan pita). Apa yang telah terjadi? Fungsi. Ini adalah contoh fungsi kompleks: ketika, untuk mencari nilainya, kita melakukan tindakan pertama secara langsung dengan variabel, dan kemudian tindakan kedua dengan hasil yang pertama.

Kita dapat dengan mudah melakukan langkah yang sama dalam urutan terbalik: pertama Anda mengkuadratkannya, lalu saya mencari kosinus dari bilangan yang dihasilkan: . Mudah ditebak bahwa hasilnya hampir selalu berbeda. Fitur penting dari fungsi kompleks: ketika urutan tindakan berubah, fungsinya pun berubah.

Dengan kata lain, fungsi kompleks adalah fungsi yang argumennya merupakan fungsi lain: .

Sebagai contoh pertama, .

Contoh kedua: (hal yang sama). .

Tindakan yang terakhir kita lakukan akan dipanggil fungsi "eksternal"., dan tindakan yang dilakukan pertama kali - sesuai fungsi "internal".(ini nama informal, saya menggunakannya hanya untuk menjelaskan materi dalam bahasa sederhana).

Coba tentukan sendiri mana fungsi eksternal dan mana internal:

Jawaban: Memisahkan fungsi dalam dan luar sangat mirip dengan mengubah variabel: misalnya, dalam suatu fungsi

1. Tindakan apa yang akan kita lakukan pertama kali? Pertama, mari kita hitung sinusnya, lalu pangkatkan. Artinya, ini adalah fungsi internal, tetapi fungsi eksternal.
   Dan fungsi aslinya adalah komposisinya: .
2. Dalaman: ; eksternal: .
   Penyelidikan: .
3. Dalaman: ; eksternal: .
   Penyelidikan: .
4. Dalaman: ; eksternal: .
   Penyelidikan: .
5. Dalaman: ; eksternal: .
   Penyelidikan: .

Kami mengubah variabel dan mendapatkan fungsi.

Nah, sekarang kita akan mengekstrak coklat batangan kita dan mencari turunannya. Prosedurnya selalu terbalik: pertama kita mencari turunan fungsi luar, lalu kita mengalikan hasilnya dengan turunan fungsi dalam. Sehubungan dengan contoh aslinya, tampilannya seperti ini:

Contoh lain:

Jadi, mari kita rumuskan aturan resminya:

Algoritma untuk mencari turunan fungsi kompleks:

Tampaknya sederhana, bukan?

Mari kita periksa dengan contoh:

Solusi:

1) Dalaman: ;

Eksternal: ;

2) Dalaman: ;

(Hanya saja, jangan mencoba memotongnya sekarang! Tidak ada yang keluar dari bawah kosinus, ingat?)

3) Dalaman: ;

Eksternal: ;

Jelas sekali bahwa ini adalah fungsi kompleks tiga tingkat: lagi pula, ini sudah merupakan fungsi kompleks itu sendiri, dan kami juga mengekstrak akarnya, yaitu, kami melakukan tindakan ketiga (kami memasukkan coklat ke dalam a pembungkus dan dengan pita di tas kerja). Namun tidak ada alasan untuk takut: kami akan tetap “membongkar” fungsi ini dengan urutan yang sama seperti biasanya: dari akhir.

Artinya, pertama-tama kita bedakan akarnya, lalu kosinusnya, dan baru kemudian ekspresi dalam tanda kurung. Dan kemudian kita kalikan semuanya.

Dalam kasus seperti itu, akan lebih mudah untuk memberi nomor pada tindakan. Artinya, mari kita bayangkan apa yang kita ketahui. Dalam urutan apa kita akan melakukan tindakan untuk menghitung nilai ekspresi ini? Mari kita lihat sebuah contoh:

Semakin lama suatu tindakan dilakukan, semakin “eksternal” fungsi yang bersangkutan. Urutan tindakannya sama seperti sebelumnya:

Di sini sarangnya umumnya 4 tingkat. Mari kita tentukan tindakannya.

1. Ekspresi radikal. .

2. Akar. .

3. Sinus. .

4. Persegi. .

5. Menyatukan semuanya:

TURUNAN. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

Turunan dari suatu fungsi- rasio pertambahan fungsi dengan pertambahan argumen untuk pertambahan argumen yang sangat kecil:

Turunan dasar:

Aturan diferensiasi:

Konstanta dikeluarkan dari tanda turunannya:

Turunan dari jumlah:

Turunan dari produk:

Turunan dari hasil bagi:

Turunan dari fungsi kompleks:

Algoritma untuk mencari turunan fungsi kompleks:

1. Kami mendefinisikan fungsi "internal" dan mencari turunannya.
2. Kami mendefinisikan fungsi "eksternal" dan mencari turunannya.
3. Kita kalikan hasil poin pertama dan kedua.

Fungsi bertipe kompleks tidak selalu sesuai dengan definisi fungsi kompleks. Jika terdapat fungsi berbentuk y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, maka tidak dapat dianggap kompleks, berbeda dengan y = sin 2 x.

Artikel ini akan menunjukkan konsep fungsi kompleks dan identifikasinya. Mari kita bekerja dengan rumus untuk mencari turunan dengan contoh solusi di kesimpulan. Penggunaan tabel turunan dan aturan diferensiasi secara signifikan mengurangi waktu untuk mencari turunan.

Yandex.RTB RA-339285-1

Definisi dasar

Fungsi kompleks adalah fungsi yang argumennya juga merupakan suatu fungsi.

Dilambangkan sebagai berikut: f (g (x)). Kita mengetahui bahwa fungsi g (x) dianggap sebagai argumen f (g (x)).

Definisi 2

Jika terdapat fungsi f dan merupakan fungsi kotangen, maka g(x) = ln x adalah fungsi logaritma natural. Kami menemukan bahwa fungsi kompleks f (g (x)) akan ditulis sebagai arctg(lnx). Atau fungsi f, yaitu fungsi yang dipangkatkan ke 4, dimana g (x) = x 2 + 2 x - 3 dianggap sebagai fungsi rasional keseluruhan, kita memperoleh f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Jelas sekali g(x) bisa jadi kompleks. Dari contoh y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 jelas bahwa nilai g mempunyai akar pangkat tiga dari pecahan tersebut. Ekspresi ini dapat dilambangkan sebagai y = f (f 1 (f 2 (x))). Dari sini kita mengetahui bahwa f adalah fungsi sinus, dan f 1 adalah fungsi yang terletak di bawah akar pangkat dua, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - fungsi rasional pecahan.

Definisi 3

Derajat penumpukan ditentukan oleh sembarang bilangan asli dan ditulis sebagai y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

Definisi 4

Konsep komposisi fungsi mengacu pada jumlah fungsi yang disarangkan sesuai dengan kondisi permasalahan. Untuk menyelesaikannya, gunakan rumus mencari turunan fungsi kompleks yang bentuknya

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Contoh

Temukan turunan dari fungsi kompleks berbentuk y = (2 x + 1) 2.

Larutan

Kondisi tersebut menunjukkan bahwa f merupakan fungsi kuadrat, dan g(x) = 2 x + 1 dianggap sebagai fungsi linier.

Mari terapkan rumus turunan untuk fungsi kompleks dan tulis:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Turunan harus dicari dengan bentuk asli fungsi yang disederhanakan. Kita mendapatkan:

kamu = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Dari sini kita memilikinya

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Hasilnya sama saja.

Saat menyelesaikan masalah jenis ini, penting untuk memahami di mana fungsi bentuk f dan g (x) akan ditempatkan.

Contoh 2

Anda harus mencari turunan fungsi kompleks berbentuk y = sin 2 x dan y = sin x 2.

Larutan

Notasi fungsi pertama menyatakan bahwa f adalah fungsi kuadrat dan g(x) adalah fungsi sinus. Lalu kita mendapatkannya

y" = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

Entri kedua menunjukkan bahwa f adalah fungsi sinus, dan g(x) = x 2 menyatakan fungsi pangkat. Oleh karena itu, kita menulis hasil kali fungsi kompleks sebagai

y" = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Rumus turunan y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) ditulis sebagai y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x) )) )) · . . . fn "(x)

Contoh 3

Tentukan turunan dari fungsi y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Larutan

Contoh ini menunjukkan sulitnya menulis dan menentukan letak fungsi. Maka y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) menyatakan dimana f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) adalah fungsi sinus, fungsi menaikkan sampai 3 derajat, fungsi dengan logaritma dan basis e, fungsi tangen busur dan linier.

Dari rumus untuk mendefinisikan fungsi kompleks kita mendapatkan rumus tersebut

y" = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Kami mendapatkan apa yang perlu kami temukan

1. f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) sebagai turunan sinus sesuai tabel turunan, maka f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) sebagai turunan fungsi pangkat, maka f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) sebagai turunan logaritma, maka f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3" (f 4 (x)) sebagai turunan dari garis singgung busur, maka f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Saat mencari turunan f 4 (x) = 2 x, hilangkan 2 dari tanda turunannya menggunakan rumus turunan fungsi pangkat yang eksponennya sama dengan 1, maka f 4" (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Kami menggabungkan hasil antara dan mendapatkannya

y" = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3" (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analisis fungsi tersebut mengingatkan kita pada boneka bersarang. Aturan diferensiasi tidak selalu dapat diterapkan secara eksplisit menggunakan tabel turunan. Seringkali Anda perlu menggunakan rumus untuk mencari turunan fungsi kompleks.

Ada beberapa perbedaan antara tampilan kompleks dan fungsi kompleks. Dengan kemampuan yang jelas untuk membedakannya, menemukan turunannya akan menjadi sangat mudah.

Contoh 4

Penting untuk mempertimbangkan untuk memberikan contoh seperti itu. Jika terdapat fungsi berbentuk y = t g 2 x + 3 t g x + 1, maka dapat dianggap sebagai fungsi kompleks yang berbentuk g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Jelasnya, perlu menggunakan rumus turunan kompleks:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Suatu fungsi berbentuk y = t g x 2 + 3 t g x + 1 tidak dianggap kompleks, karena mempunyai jumlah t g x 2, 3 t g x dan 1. Namun jika t g x 2 dianggap sebagai fungsi kompleks, maka diperoleh fungsi pangkat berbentuk g (x) = x 2 dan f yang merupakan fungsi tangen. Untuk melakukan ini, bedakan berdasarkan jumlah. Kami mengerti

y" = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 karena 2 x

Mari kita lanjutkan mencari turunan dari fungsi kompleks (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Kita peroleh bahwa y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Fungsi bertipe kompleks dapat dimasukkan ke dalam fungsi kompleks, dan fungsi kompleks itu sendiri dapat menjadi komponen fungsi bertipe kompleks.

Contoh 5

Misalnya, perhatikan fungsi kompleks berbentuk y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Fungsi ini dapat direpresentasikan sebagai y = f (g (x)), dimana nilai f adalah fungsi dari logaritma basis 3, dan g (x) dianggap sebagai jumlah dari dua fungsi berbentuk h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 dan k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Jelasnya, y = f (h (x) + k (x)).

Perhatikan fungsi h(x). Ini perbandingan l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 dengan m (x) = e x 2 + 3 3

Diketahui l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) adalah jumlah dua fungsi n (x) = x 2 + 7 dan p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , dimana p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) adalah fungsi kompleks dengan koefisien numerik 3, dan p 1 adalah fungsi kubus, p 2 dengan fungsi kosinus, p 3 (x) = 2 x + 1 dengan fungsi linier.

Diketahui bahwa m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) adalah jumlah dua fungsi q (x) = e x 2 dan r (x) = 3 3, di mana q (x) = q 1 (q 2 (x)) adalah fungsi kompleks, q 1 adalah fungsi eksponensial, q 2 (x) = x 2 adalah fungsi pangkat.

Hal ini menunjukkan bahwa h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Jika berpindah ke ekspresi bentuk k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), jelas bahwa fungsi tersebut direpresentasikan dalam bentuk kompleks s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) dengan bilangan bulat rasional t (x) = x 2 + 1, dimana s 1 adalah fungsi kuadrat, dan s 2 (x) = ln x adalah logaritma dengan dasar e.

Oleh karena itu, ekspresi tersebut akan berbentuk k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Lalu kita mendapatkannya

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Berdasarkan struktur fungsinya, menjadi jelas bagaimana dan rumus apa yang perlu digunakan untuk menyederhanakan ekspresi ketika membedakannya. Untuk memahami permasalahan tersebut dan untuk memahami konsep penyelesaiannya, kita perlu beralih ke diferensiasi suatu fungsi, yaitu mencari turunannya.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Sejak Anda datang ke sini, Anda mungkin sudah melihat rumus ini di buku teks

dan buatlah wajah seperti ini:

Teman, jangan khawatir! Faktanya, semuanya sungguh keterlaluan. Anda pasti akan mengerti segalanya. Hanya satu permintaan - baca artikelnya perlahan-lahan, cobalah untuk memahami setiap langkah. Saya menulis sesederhana dan sejelas mungkin, tetapi Anda tetap perlu memahami idenya. Dan pastikan untuk menyelesaikan tugas-tugas dari artikel tersebut.

Apa yang dimaksud dengan fungsi kompleks?

Bayangkan Anda pindah ke apartemen lain dan karena itu mengemas barang-barang ke dalam kotak besar. Misalkan kita perlu mengumpulkan beberapa barang-barang kecil, misalnya, bahan tulis sekolah. Jika Anda membuangnya begitu saja ke dalam kotak besar, antara lain mereka akan hilang. Untuk menghindarinya, masukkan dulu, misalnya ke dalam tas, lalu masukkan ke dalam kotak besar, lalu tutup rapat. Proses “kompleks” ini disajikan dalam diagram di bawah ini:

Tampaknya, apa hubungannya matematika dengan itu? Ya, meskipun fungsi kompleks dibentuk dengan cara yang PERSIS! Hanya saja kita “mengemas” bukan buku catatan dan pulpen, melainkan \(x\), sedangkan “paket” dan “kotak” berbeda.

Sebagai contoh, mari kita ambil x dan “mengemasnya” ke dalam sebuah fungsi:

Sebagai hasilnya, tentu saja kita mendapatkan \(\cos⁡x\). Ini adalah “kantong barang” kami. Sekarang mari kita masukkan ke dalam “kotak” - kemas, misalnya, ke dalam fungsi kubik.

Apa yang akan terjadi pada akhirnya? Ya, benar, akan ada “sekantong barang di dalam kotak”, yaitu “kosinus X pangkat tiga”.

Desain yang dihasilkan merupakan fungsi yang kompleks. Ini berbeda dari yang sederhana dalam hal itu BEBERAPA “pengaruh” (paket) diterapkan pada satu X berturut-turut dan ternyata “fungsi dari fungsi” - “pengemasan di dalam kemasan”.

Di sekolah, hanya ada sedikit jenis “paket” ini, hanya empat:

Sekarang mari kita “mengemas” X terlebih dahulu ke dalam fungsi eksponensial dengan basis 7, lalu ke dalam fungsi trigonometri. Kita mendapatkan:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Sekarang mari kita “mengemas” X dua kali ke dalamnya fungsi trigonometri, pertama di , dan kemudian di:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Sederhana, bukan?

Sekarang tulis sendiri fungsinya, di mana x:
- pertama “dikemas” ke dalam kosinus, dan kemudian ke dalam fungsi eksponensial dengan basis \(3\);
- pertama pangkat kelima, lalu singgung;
- pertama ke logaritma ke basis \(4\) , lalu pangkat \(-2\).

Temukan jawaban atas tugas ini di akhir artikel.

Bisakah kita “mengemas” X bukan dua, tapi tiga kali? Tidak masalah! Dan empat, dan lima, dan dua puluh lima kali. Di sini, misalnya, adalah fungsi di mana x “dikemas” \(4\) kali:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Namun rumus seperti itu tidak akan ditemukan dalam praktik sekolah (siswa lebih beruntung - rumusnya mungkin lebih rumit☺).

"Membongkar" fungsi yang kompleks

Lihat kembali fungsi sebelumnya. Bisakah Anda mengetahui urutan “pengemasan”? X apa yang dimasukkan terlebih dahulu, lalu apa, dan seterusnya hingga akhir. Artinya, fungsi mana yang bersarang di dalamnya? Ambil selembar kertas dan tuliskan apa yang Anda pikirkan. Anda dapat melakukan ini dengan rantai dengan panah seperti yang kami tulis di atas atau dengan cara lain.

Sekarang jawaban yang benar adalah: pertama, x “dikemas” ke dalam pangkat \(4\), kemudian hasilnya dimasukkan ke dalam sinus, selanjutnya dimasukkan ke dalam logaritma ke basis \(2\) , dan pada akhirnya seluruh konstruksi ini dimasukkan ke dalam kekuatan lima.

Artinya, Anda perlu melepas urutannya DALAM URUTAN TERBALIK. Dan inilah petunjuk bagaimana melakukannya dengan lebih mudah: segera lihat X – Anda harus menari darinya. Mari kita lihat beberapa contoh.

Misalnya, berikut adalah fungsi berikut: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Kita melihat X - apa yang terjadi pertama kali? Diambil darinya. Kemudian? Garis singgung dari hasilnya diambil. Urutannya akan sama:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Contoh lain: \(y=\cos⁡((x^3))\). Mari kita analisis - pertama kita potong dadu X, lalu ambil kosinus hasilnya. Artinya barisannya adalah: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Perhatikan, fungsinya sepertinya mirip dengan yang pertama (yang ada gambarnya). Namun fungsi ini sangat berbeda: di sini, di dalam kubus terdapat x (yaitu, \(\cos⁡((x·x·x))))\), dan di dalam kubus terdapat kosinus \(x\) ( yaitu \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Perbedaan ini muncul dari urutan “pengemasan” yang berbeda.

Contoh terakhir (dengan informasi penting di dalamnya): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Jelas di sini mereka terlebih dahulu melakukan operasi aritmatika dengan x, lalu mengambil sinus hasilnya: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Dan ini poin penting: meskipun operasi aritmatika bukanlah fungsi itu sendiri, di sini operasi aritmatika juga bertindak sebagai cara untuk “mengemas”. Mari kita selidiki lebih dalam kehalusan ini.

Seperti yang saya katakan di atas, dalam fungsi sederhana x “dikemas” satu kali, dan dalam fungsi kompleks - dua atau lebih. Selain itu, setiap kombinasi fungsi sederhana (yaitu jumlah, selisih, perkalian, atau pembagiannya) juga merupakan fungsi sederhana. Misalnya, \(x^7\) adalah fungsi sederhana dan begitu pula \(ctg x\). Artinya semua kombinasinya merupakan fungsi sederhana:

\(x^7+ ctg x\) - sederhana,
\(x^7· tempat tidur x\) – sederhana,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – sederhana, dll.

Namun, jika fungsi lain diterapkan pada kombinasi tersebut, maka akan menjadi fungsi kompleks, karena akan ada dua “paket”. Lihat diagram:

Oke, silakan sekarang. Tuliskan urutan fungsi “pembungkus”:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Jawabannya ada lagi di akhir artikel.

Fungsi internal dan eksternal

Mengapa kita perlu memahami fungsi yang bersarang? Apa manfaatnya bagi kita? Faktanya adalah tanpa analisis seperti itu kita tidak akan dapat menemukan turunan dari fungsi yang dibahas di atas dengan andal.

Dan untuk melanjutkan, kita memerlukan dua konsep lagi: fungsi internal dan eksternal. Ini adalah hal yang sangat sederhana, apalagi sebenarnya kita sudah menganalisisnya di atas: jika kita mengingat analogi kita di awal, maka fungsi internal adalah "paket", dan fungsi eksternal adalah "kotak". Itu. apa yang “dibungkus” X terlebih dahulu adalah fungsi internal, dan apa yang “dibungkus” dengan fungsi internal sudah menjadi fungsi eksternal. Yah, jelas alasannya - dia di luar, itu berarti di luar.

Dalam contoh ini: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), fungsi \(\log_2⁡x\) bersifat internal, dan
- eksternal.

Dan dalam hal ini: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) adalah internal, dan
- eksternal.

Selesaikan latihan terakhir dalam menganalisis fungsi kompleks, dan akhirnya mari kita lanjutkan ke tujuan awal kita - kita akan menemukan turunan dari fungsi kompleks:

Isilah bagian yang kosong pada tabel:

Turunan dari fungsi kompleks

Bravo bagi kami, kami akhirnya sampai pada "bos" dari topik ini - sebenarnya, turunan dari fungsi kompleks, dan khususnya, rumus yang sangat buruk dari awal artikel.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Rumusnya berbunyi seperti ini:

Turunan fungsi kompleks sama dengan hasil kali turunan fungsi luar terhadap konstanta fungsi dalam dan turunan fungsi dalam.

Dan segera lihat diagram parsingnya, sesuai dengan kata-katanya, agar anda mengerti apa yang harus dilakukan dengan apa:

Saya berharap istilah “turunan” dan “produk” tidak menimbulkan kesulitan. "Fungsi kompleks" - kami telah mengatasinya. Tangkapannya ada pada “turunan dari fungsi eksternal terhadap fungsi internal yang konstan.” Apa itu?

Jawaban: Ini adalah turunan biasa dari fungsi eksternal, yang hanya fungsi eksternalnya yang berubah, dan fungsi internalnya tetap sama. Masih belum jelas? Oke, mari kita gunakan sebuah contoh.

Misalkan kita mempunyai fungsi \(y=\sin⁡(x^3)\). Jelas bahwa fungsi internal di sini adalah \(x^3\), dan eksternal
. Sekarang mari kita cari turunan eksterior terhadap konstanta interior.

Turunan kompleks. Turunan logaritmik.
Turunan dari fungsi eksponensial pangkat

Kami terus meningkatkan teknik diferensiasi kami. Pada pembelajaran kali ini kita akan memantapkan materi yang telah kita bahas, melihat turunan yang lebih kompleks, serta mengenal teknik dan trik baru dalam mencari turunan, khususnya turunan logaritma.

Bagi pembaca yang tingkat persiapannya rendah sebaiknya merujuk pada artikel tersebut Bagaimana cara mencari turunannya? Contoh solusi, yang memungkinkan Anda meningkatkan keterampilan Anda hampir dari awal. Selanjutnya, Anda perlu mempelajari halaman tersebut dengan cermat Turunan dari fungsi kompleks, memahami dan menyelesaikan Semua contoh yang saya berikan. Pelajaran ini secara logis merupakan pelajaran ketiga berturut-turut, dan setelah menguasainya Anda akan dengan percaya diri membedakan fungsi yang cukup kompleks. Tidak diinginkan untuk mengambil posisi “Di mana lagi? Ya, cukup!”, karena semua contoh dan solusi diambil dari kenyataan tes dan sering ditemui dalam praktek.

Mari kita mulai dengan pengulangan. Di pelajaran Turunan dari fungsi kompleks Kami melihat sejumlah contoh dengan komentar terperinci. Dalam mempelajari kalkulus diferensial dan cabang analisis matematika lainnya, Anda harus sering melakukan diferensiasi, dan tidak selalu mudah (dan tidak selalu diperlukan) untuk menjelaskan contoh dengan sangat rinci. Oleh karena itu, kita akan berlatih mencari turunannya secara lisan. “Kandidat” yang paling cocok untuk ini adalah turunan dari fungsi kompleks yang paling sederhana, misalnya:

Menurut aturan diferensiasi fungsi kompleks :

Saat mempelajari topik matan lain di masa mendatang, catatan mendetail seperti itu seringkali tidak diperlukan, diasumsikan bahwa siswa mengetahui cara mencari turunan tersebut dengan autopilot. Bayangkan pada jam 3 pagi telepon berdering dan terdengar suara merdu bertanya: “Berapa turunan garis singgung dua huruf X?” Ini harus diikuti dengan tanggapan yang segera dan sopan: .

Contoh pertama akan segera ditujukan untuk solusi independen.

Contoh 1

Temukan turunan berikut secara lisan, dalam satu tindakan, misalnya: . Untuk menyelesaikan tugas Anda hanya perlu menggunakan tabel turunan fungsi dasar(jika Anda belum mengingatnya). Jika Anda mengalami kesulitan, saya sarankan membaca kembali pelajaran ini Turunan dari fungsi kompleks.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Jawaban di akhir pelajaran

Turunan kompleks

Setelah persiapan artileri awal, contoh dengan fungsi bersarang 3-4-5 tidak akan terlalu menakutkan. Dua contoh berikut mungkin tampak rumit bagi sebagian orang, tetapi jika Anda memahaminya (seseorang akan menderita), maka hampir semua hal lain dalam kalkulus diferensial akan tampak seperti lelucon anak-anak.

Contoh 2

Temukan turunan suatu fungsi

Seperti yang telah disebutkan, ketika mencari turunan dari suatu fungsi kompleks, hal pertama yang perlu dilakukan adalah Benar PAHAMI investasi Anda. Jika ada keraguan, saya mengingatkan Anda tentang teknik yang berguna: kita mengambil nilai eksperimen "x", misalnya, dan mencoba (secara mental atau dalam konsep) untuk mengganti nilai ini ke dalam "ekspresi buruk".

1) Pertama kita perlu menghitung ekspresi, yang berarti jumlah tersebut adalah penyematan terdalam.

2) Maka Anda perlu menghitung logaritma:

4) Kemudian pangkatkan kosinusnya:

5) Pada langkah kelima perbedaannya:

6) Dan terakhir, fungsi terluar adalah akar kuadrat:

Rumus untuk mendiferensiasikan fungsi kompleks diterapkan dalam urutan terbalik, dari fungsi terluar ke fungsi terdalam. Kami memutuskan:

Sepertinya tidak ada kesalahan...

(1) Ambil turunan dari akar kuadrat.

(2) Kita ambil turunan selisihnya dengan menggunakan aturan

(3) Turunan rangkap tiga adalah nol. Pada suku kedua kita ambil turunan derajat (kubus).

(4) Ambil turunan dari kosinus.

(5) Ambil turunan dari logaritma.

(6) Dan terakhir, kita ambil turunan dari penyematan terdalam.

Ini mungkin tampak terlalu sulit, tapi ini bukanlah contoh yang paling brutal. Ambil contoh, koleksi Kuznetsov dan Anda akan menghargai semua keindahan dan kesederhanaan turunan yang dianalisis. Saya perhatikan bahwa mereka suka memberikan hal serupa dalam ujian untuk memeriksa apakah siswa memahami cara mencari turunan fungsi kompleks atau tidak.

Contoh berikut adalah untuk Anda pecahkan sendiri.

Contoh 3

Temukan turunan suatu fungsi

Petunjuk: Pertama kita terapkan aturan linearitas dan aturan diferensiasi produk

Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Saatnya beralih ke sesuatu yang lebih kecil dan lebih bagus.
Tidak jarang sebuah contoh menunjukkan hasil perkalian bukan dua, melainkan tiga fungsi. Bagaimana cara mencari turunan hasil kali tiga faktor?

Contoh 4

Temukan turunan suatu fungsi

Pertama kita lihat, mungkinkah mengubah hasil kali tiga fungsi menjadi hasil kali dua fungsi? Misalnya, jika kita mempunyai dua polinomial dalam hasil perkaliannya, maka kita dapat membuka tanda kurung. Namun dalam contoh yang dibahas, semua fungsinya berbeda: derajat, eksponen, dan logaritma.

Dalam kasus seperti itu, hal itu diperlukan secara berurutan menerapkan aturan diferensiasi produk dua kali

Triknya adalah dengan “y” kita menyatakan hasil kali dua fungsi: , dan dengan “ve” kita menyatakan logaritma: . Mengapa hal ini bisa dilakukan? Benarkah? – ini bukan produk dari dua faktor dan aturannya tidak berfungsi?! Tidak ada yang rumit:

Sekarang tinggal menerapkan aturan tersebut untuk kedua kalinya untuk mengurung:

Anda juga dapat memutarbalikkan dan mengeluarkan sesuatu dari tanda kurung, tetapi dalam hal ini lebih baik membiarkan jawabannya persis dalam bentuk ini - akan lebih mudah untuk memeriksanya.

Contoh yang dipertimbangkan dapat diselesaikan dengan cara kedua:

Kedua solusi tersebut benar-benar setara.

Contoh 5

Temukan turunan suatu fungsi

Ini adalah contoh untuk solusi independen; dalam sampel diselesaikan menggunakan metode pertama.

Mari kita lihat contoh serupa dengan pecahan.

Contoh 6

Temukan turunan suatu fungsi

Ada beberapa cara yang bisa Anda lakukan di sini:

Atau seperti ini:

Namun penyelesaiannya akan ditulis lebih ringkas jika kita terlebih dahulu menggunakan aturan diferensiasi hasil bagi , ambil seluruh pembilangnya:

Prinsipnya contoh sudah terselesaikan, dan jika dibiarkan apa adanya tidak akan terjadi error. Namun jika Anda punya waktu, selalu disarankan untuk memeriksa drafnya untuk melihat apakah jawabannya bisa disederhanakan? Mari kita kurangi ekspresi pembilangnya menjadi penyebut yang sama dan mari kita singkirkan pecahan tiga lantai:

Kerugian dari penyederhanaan tambahan adalah adanya risiko kesalahan bukan saat mencari turunannya, tetapi saat melakukan transformasi sekolah yang dangkal. Di sisi lain, guru seringkali menolak tugas tersebut dan meminta untuk “mengingatnya” turunannya.

Contoh sederhana untuk diselesaikan sendiri:

Contoh 7

Temukan turunan suatu fungsi

Kami terus menguasai metode mencari turunannya, dan sekarang kami akan mempertimbangkan kasus umum ketika logaritma "mengerikan" diusulkan untuk diferensiasi

Contoh 8

Temukan turunan suatu fungsi

Di sini Anda dapat melakukan lebih banyak hal, menggunakan aturan untuk membedakan fungsi kompleks:

Tetapi langkah pertama segera membuat Anda putus asa - Anda harus mengambil turunan yang tidak menyenangkan dari pangkat pecahan, dan kemudian juga dari pecahan.

Itu sebabnya sebelum cara mengambil turunan dari logaritma “canggih”, disederhanakan terlebih dahulu menggunakan sifat-sifat sekolah yang sudah terkenal:

! Jika Anda memiliki buku latihan, salin rumus ini langsung ke sana. Jika Anda tidak memiliki buku catatan, salinlah ke selembar kertas, karena contoh pelajaran selanjutnya akan berkisar pada rumus-rumus ini.

Solusinya sendiri dapat ditulis seperti ini:

Mari kita ubah fungsinya:

Menemukan turunannya:

Pra-konversi fungsi itu sendiri sangat menyederhanakan solusinya. Jadi, ketika logaritma serupa diusulkan untuk diferensiasi, selalu disarankan untuk “memecahnya”.

Dan sekarang beberapa contoh sederhana untuk Anda pecahkan sendiri:

Contoh 9

Temukan turunan suatu fungsi

Contoh 10

Temukan turunan suatu fungsi

Semua transformasi dan jawaban ada di akhir pelajaran.

Turunan logaritma

Jika turunan logaritma adalah musik yang begitu manis, maka timbul pertanyaan: apakah mungkin dalam beberapa kasus mengatur logaritma secara artifisial? Bisa! Dan bahkan perlu.

Contoh 11

Temukan turunan suatu fungsi

Kami baru-baru ini melihat contoh serupa. Apa yang harus dilakukan? Anda dapat menerapkan aturan diferensiasi hasil bagi secara berurutan, dan kemudian aturan diferensiasi produk. Kerugian dari metode ini adalah Anda akan mendapatkan pecahan tiga lantai yang sangat besar, yang tidak ingin Anda tangani sama sekali.

Namun dalam teori dan praktik, ada hal yang luar biasa seperti turunan logaritma. Logaritma dapat diatur secara artifisial dengan “menggantungnya” di kedua sisi:

Sekarang Anda perlu "menghancurkan" logaritma sisi kanan sebanyak mungkin (rumus di depan mata Anda?). Saya akan menjelaskan proses ini dengan sangat rinci:

Mari kita mulai dengan diferensiasi.
Kami menyimpulkan kedua bagian di bawah bilangan prima:

Turunan dari ruas kanan cukup sederhana, saya tidak akan mengomentarinya, karena jika Anda membaca teks ini, Anda seharusnya bisa menanganinya dengan percaya diri.

Bagaimana dengan sisi kiri?

Di sisi kiri kita punya fungsi yang kompleks. Saya meramalkan pertanyaan: “Mengapa, ada satu huruf “Y” di bawah logaritma?”

Faktanya adalah "permainan satu huruf" ini - ADALAH FUNGSI SENDIRI(jika kurang jelas, lihat artikel Turunan dari suatu fungsi yang ditentukan secara implisit). Oleh karena itu, logaritma adalah fungsi eksternal, dan “y” adalah fungsi internal. Dan kami menggunakan aturan untuk membedakan fungsi kompleks :

Di sisi kiri, seolah-olah disihir tongkat sihir kami memiliki turunan. Selanjutnya, sesuai aturan proporsi, kita pindahkan “y” dari penyebut ruas kiri ke atas ruas kanan:

Dan sekarang mari kita ingat fungsi “pemain” seperti apa yang kita bicarakan selama diferensiasi? Mari kita lihat kondisinya:

Jawaban akhir:

Contoh 12

Temukan turunan suatu fungsi

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Contoh desain contoh jenis ini ada di akhir pelajaran.

Dengan menggunakan turunan logaritma, salah satu contoh No. 4-7 dapat diselesaikan, hal lainnya adalah fungsinya lebih sederhana, dan, mungkin, penggunaan turunan logaritma tidak terlalu dibenarkan.

Turunan dari fungsi eksponensial pangkat

Kami belum mempertimbangkan fungsi ini. Fungsi eksponensial pangkat adalah fungsi yang baik derajat maupun alasnya bergantung pada “x”. Contoh klasik yang akan diberikan kepada Anda dalam buku teks atau kuliah apa pun:

Bagaimana cara mencari turunan fungsi eksponensial pangkat?

Penting untuk menggunakan teknik yang baru saja dibahas - turunan logaritma. Kami menggantung logaritma di kedua sisi:

Sebagai aturan, di sisi kanan derajat diambil dari bawah logaritma:

Hasilnya, di sisi kanan kita memiliki hasil kali dua fungsi, yang akan dibedakan menurut rumus standar .

Kami menemukan turunannya; untuk melakukan ini, kami menyertakan kedua bagian di bawah garis:

Tindakan selanjutnya sederhana:

Akhirnya:

Jika ada konversi yang kurang jelas, harap baca kembali penjelasan Contoh #11 dengan cermat.

DI DALAM tugas-tugas praktis Fungsi eksponensial pangkat akan selalu lebih kompleks daripada contoh yang dibahas dalam kuliah.

Contoh 13

Temukan turunan suatu fungsi

Kami menggunakan turunan logaritmik.

Di sisi kanan kita memiliki konstanta dan produk dari dua faktor - "x" dan "logaritma dari logaritma x" (logaritma lain bersarang di bawah logaritma). Saat melakukan diferensiasi, seingat kita, sebaiknya segera keluarkan konstanta dari tanda turunannya agar tidak mengganggu; dan, tentu saja, kami menerapkan aturan yang sudah lazim :

Seperti yang Anda lihat, algoritme untuk menggunakan turunan logaritmik tidak mengandung trik atau trik khusus, dan mencari turunan fungsi eksponensial pangkat biasanya tidak dikaitkan dengan “siksaan”.