instruksi

Jika Anda perlu mencari cosinus sudut dalam segitiga sembarang, Anda perlu menggunakan teorema kosinus:
jika sudutnya lancip: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
jika sudut: cos? = (c2 – a2 – b2)/(2ab), dimana a, b adalah panjang sisi-sisi yang berdekatan dengan sudut, c adalah panjang sisi yang berhadapan dengan sudut.

Saran yang bermanfaat

Notasi matematika untuk cosinus adalah cos.
Nilai cosinus tidak boleh lebih besar dari 1 dan kurang dari -1.

Sumber:

• cara menghitung kosinus suatu sudut
• Fungsi trigonometri pada lingkaran satuan

Kosinus adalah fungsi trigonometri dasar sudut. Kemampuan menentukan kosinus berguna dalam aljabar vektor ketika menentukan proyeksi vektor ke berbagai sumbu.

instruksi

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

Ada sebuah segitiga yang panjang sisi a, b, c masing-masing sama dengan 3, 4, 5 mm.

Menemukan kosinus sudut antara sisi yang lebih besar.

Mari kita nyatakan sudut yang berhadapan dengan sisi a dengan ?, maka menurut rumus yang diturunkan di atas, kita peroleh:

os?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0,8

Jawaban: 0,8.

Jika segitiga tersebut siku-siku, maka carilah kosinus dan untuk suatu sudut, cukup mengetahui panjang kedua sisinya saja ( kosinus sudut kanan sama dengan 0).

Misalkan ada segitiga siku-siku dengan sisi a, b, c, dengan c adalah sisi miringnya.

Mari pertimbangkan semua opsi:

Tentukan cos? jika panjang sisi a dan b (segitiga) diketahui

Mari kita gunakan juga teorema Pythagoras:

cos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

Untuk memastikan rumus yang dihasilkan benar, kita substitusikan dari contoh 1 ke dalamnya, yaitu.

Setelah melakukan beberapa perhitungan dasar, kita mendapatkan:

Ditemukan serupa kosinus dalam persegi panjang segi tiga dalam kasus lain:

Diketahui a dan c (sisi miring dan berhadapan), carilah cos?

cos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?)) =(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.

Mengganti nilai a=3 dan c=5 dari contoh, kita mendapatkan:

Dikenal b dan c (sisi miring dan kaki yang berdekatan).

Temukan karena?

Setelah melakukan transformasi serupa (ditunjukkan pada contoh 2 dan 3), kita memperolehnya dalam kasus ini kosinus V segi tiga dihitung menggunakan rumus yang sangat sederhana:

Kesederhanaan rumus turunan tersebut dapat dijelaskan secara sederhana: sebenarnya berdekatan dengan sudut? kaki merupakan proyeksi sisi miring, panjangnya sama dengan panjang sisi miring dikali cos?.

Mengganti nilai b=4 dan c=5 dari contoh pertama, kita mendapatkan:

Artinya semua rumus kita sudah benar.

Tip 5: Cara mencari sudut lancip pada segitiga siku-siku

Secara langsung karbonat segitiga mungkin adalah salah satu figur geometris yang paling terkenal, dari sudut pandang sejarah. “Celana” Pythagoras hanya bisa bersaing dengan “Eureka!” Archimedes.

Anda akan perlu

• - menggambar segitiga;
• - penggaris;
• - busur derajat

instruksi

Jumlah sudut suatu segitiga adalah 180 derajat. Dalam bentuk persegi panjang segi tiga satu sudut (lurus) akan selalu 90 derajat, dan sisanya lancip, yaitu. masing-masing kurang dari 90 derajat. Untuk menentukan besar sudut pada suatu persegi panjang segi tiga lurus, gunakan penggaris untuk mengukur sisi-sisi segitiga dan menentukan yang terbesar. Itu adalah sisi miring (AB) dan terletak di seberang sudut siku-siku (C). Dua sisi sisanya membentuk sudut siku-siku dan kaki-kaki (AC, BC).

Setelah Anda menentukan sudut mana yang lancip, Anda dapat menggunakan busur derajat untuk menghitung sudut menggunakan rumus matematika.

Untuk menentukan sudut menggunakan busur derajat, sejajarkan bagian atasnya (sebut saja dengan huruf A) dengan tanda khusus pada penggaris di tengah busur derajat; kaki AC harus bertepatan dengan tepi atasnya. Tandai pada bagian setengah lingkaran busur derajat titik yang dilalui sisi miring AB. Nilai pada titik ini sesuai dengan sudut dalam derajat. Jika ada 2 nilai yang ditunjukkan pada busur derajat, maka untuk sudut lancip Anda harus memilih yang lebih kecil, untuk sudut tumpul - yang lebih besar.

Temukan nilai yang dihasilkan di buku referensi Bradis dan tentukan sudut mana yang sesuai dengan nilai numerik yang dihasilkan. Nenek kami menggunakan metode ini.

Di kita, cukup menggunakan fungsi menghitung rumus trigonometri. Misalnya, kalkulator Windows bawaan. Luncurkan aplikasi "Kalkulator", di item menu "Tampilan", pilih "Teknik". Hitung sinus sudut yang diinginkan, misalnya sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

Alihkan kalkulator ke fungsi terbalik, dengan mengklik tombol INV pada tampilan kalkulator, lalu klik tombol fungsi arcsine (ditunjukkan pada tampilan sebagai sin ke minus pangkat satu). Pesan berikut akan muncul di jendela perhitungan: asd (0.5) = 30. Yaitu. nilai sudut yang diinginkan adalah 30 derajat.

Sumber:

• Tabel Bradis (sinus, cosinus)

Teorema kosinus dalam matematika paling sering digunakan ketika diperlukan untuk mencari sisi ketiga suatu sudut dan dua sisinya. Namun, terkadang kondisi soal diatur sebaliknya: Anda perlu mencari sudut dengan tiga sisi tertentu.

instruksi

Bayangkan Anda diberi sebuah segitiga yang panjang kedua sisinya dan nilai salah satu sudutnya diketahui. Semua sudut segitiga ini tidak sama besar, dan ukuran sisi-sisinya juga berbeda. Sudut γ terletak di hadapan sisi segitiga yang diberi tanda AB, yaitu gambar ini. Melalui sudut ini, serta melalui sisi AC dan BC yang tersisa, Anda dapat mencari sisi segitiga yang tidak diketahui menggunakan teorema kosinus, yang diturunkan dari rumus di bawah ini:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, dimana a=BC, b=AB, c=AC
Teorema kosinus disebut juga teorema Pythagoras umum.

Sekarang bayangkan ketiga sisi gambar diberikan, tetapi sudutnya γ tidak diketahui. Mengetahui bentuk a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, ubah persamaan ini sehingga nilai yang diinginkan menjadi sudut γ: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
Kemudian ubah persamaan di atas ke dalam bentuk yang sedikit berbeda: b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ.
Ekspresi ini kemudian harus dikonversi ke yang di bawah ini: cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc.
Yang tersisa hanyalah mengganti angka ke dalam rumus dan melakukan perhitungan.

Untuk mencari kosinus yang dilambangkan dengan γ, kosinus harus dinyatakan dalam invers trigonometri, yang disebut arc cosinus. Kosinus busur bilangan m adalah nilai sudut γ yang kosinus sudut γ sama dengan m. Fungsi y=arccos m menurun. Bayangkan, misalnya, kosinus sudut γ sama dengan setengahnya. Maka sudut γ dapat didefinisikan melalui arc cosinus sebagai berikut:
γ = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, dimana m = 1/2.
Dengan cara serupa, Anda dapat mencari sisa sudut segitiga dengan dua sisi lainnya yang belum diketahui.

Sinus dan kosinus adalah dua fungsi trigonometri yang disebut "langsung". Merekalah yang harus dihitung lebih sering daripada yang lain, dan untuk mengatasi masalah ini saat ini kita masing-masing memiliki banyak pilihan. Di bawah ini adalah beberapa di antaranya cara sederhana.

instruksi

Gunakan busur derajat, pensil, dan selembar kertas jika tidak tersedia alat hitung lain. Salah satu definisi kosinus diberikan dalam sudut lancip pada segitiga siku-siku - kosinus sama dengan rasio antara panjang kaki yang berhadapan dengan sudut ini dan panjangnya. Gambarlah sebuah segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku (90°) dan sudut lainnya adalah sudut yang ingin Anda hitung. Panjang sisinya tidak menjadi masalah - gambarlah dengan cara yang lebih nyaman bagi Anda untuk mengukurnya. Ukur panjang kaki dan sisi miring yang diinginkan, lalu bagi yang pertama dengan yang kedua menggunakan apa saja dengan cara yang nyaman.

Manfaatkan nilai fungsi trigonometri menggunakan kalkulator yang ada di mesin pencari Nigma jika Anda memiliki akses internet. Misalnya, jika Anda perlu menghitung kosinus sudut 20°, maka dengan memuat halaman rumah layanan http://nigma.ru, ketik "cosine 20" di kolom permintaan pencarian dan klik tombol "Temukan!". Anda dapat menghilangkan "derajat" dan mengganti kata "cosinus" dengan cos - dalam hal apa pun, mesin pencari akan menampilkan hasil yang akurat hingga 15 tempat desimal (0,939692620785908).

Buka program standar yang diinstal dengan sistem operasi Windows jika Anda tidak memiliki akses ke Internet. Anda dapat melakukannya misalnya dengan menekan tombol win dan r secara bersamaan, lalu memasukkan perintah calc dan mengklik tombol OK. Untuk menghitung fungsi trigonometri, berikut adalah antarmuka yang disebut "rekayasa" atau "ilmiah" (tergantung pada versi OS) - pilih item yang diinginkan di bagian "Tampilan" pada menu kalkulator. Setelah ini, masukkan nilai sudut dan klik tombol cos di antarmuka program.

Video tentang topik tersebut

Tip 8: Cara Menentukan Sudut pada Segitiga Siku-siku

Persegi panjang dicirikan oleh hubungan tertentu antara sudut dan sisi. Mengetahui nilai beberapa di antaranya, Anda dapat menghitung yang lain. Untuk tujuan ini, rumus digunakan, yang pada gilirannya didasarkan pada aksioma dan teorema geometri.

Para guru berpandangan bahwa setiap siswa harus mampu melakukan perhitungan dan mengetahui rumus-rumus trigonometri, namun tidak semua guru menjelaskan apa itu sinus dan cosinus. Apa artinya, di mana digunakan? Mengapa kita berbicara tentang segitiga, tetapi buku pelajaran menunjukkan lingkaran? Mari kita coba menghubungkan semua fakta bersama-sama.

Pelajaran sekolah

Pembelajaran trigonometri biasanya dimulai pada kelas 7-8 sekolah menengah atas. Pada saat ini siswa dijelaskan apa itu sinus dan cosinus serta diminta menyelesaikan masalah geometri dengan menggunakan fungsi-fungsi tersebut. Lebih banyak muncul nanti rumus yang rumit dan ekspresi yang perlu diubah secara aljabar (rumus sudut ganda dan setengah, fungsi pangkat), pekerjaan dilakukan dengan lingkaran trigonometri.

Namun guru tidak selalu mampu menjelaskan dengan jelas makna konsep yang digunakan dan penerapan rumus. Oleh karena itu, siswa sering kali tidak memahami inti mata pelajaran ini, dan informasi yang dihafalnya cepat terlupakan. Namun, begitu Anda menjelaskan kepada seorang siswa sekolah menengah, misalnya, hubungan antara suatu fungsi dan gerak osilasi, hubungan logis tersebut akan diingat selama bertahun-tahun, dan lelucon tentang tidak bergunanya suatu benda akan menjadi masa lalu.

Penggunaan

Demi rasa penasaran, mari kita lihat berbagai cabang ilmu fisika. Apakah Anda ingin menentukan jangkauan proyektil? Atau apakah Anda sedang menghitung gaya gesekan antara suatu benda dan permukaan tertentu? Mengayunkan pendulum, mengamati sinar yang melewati kaca, menghitung induksi? Konsep trigonometri muncul di hampir semua rumus. Jadi apa itu sinus dan cosinus?

Definisi

Sinus suatu sudut adalah perbandingan sisi berhadapan dengan sisi miring, cosinus adalah perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi miring yang sama. Tidak ada yang rumit di sini. Mungkin siswa biasanya bingung dengan nilai yang dilihatnya pada tabel trigonometri karena menyangkut akar kuadrat. Ya, mendapatkan desimal darinya sangat tidak mudah, tapi siapa bilang semua angka dalam matematika harus sama?

Faktanya, Anda dapat menemukan petunjuk lucu di buku soal trigonometri: sebagian besar jawaban di sini genap dan, dalam kasus terburuk, mengandung akar dua atau tiga. Kesimpulannya sederhana: jika jawaban Anda ternyata berupa pecahan “bertingkat”, periksa kembali solusinya apakah ada kesalahan dalam perhitungan atau penalaran. Dan kemungkinan besar Anda akan menemukannya.

Apa yang perlu diingat

Seperti ilmu pengetahuan lainnya, trigonometri memiliki data yang perlu dipelajari.

Pertama, Anda harus ingat nilai numerik untuk sinus, cosinus segitiga siku-siku 0 dan 90, serta 30, 45 dan 60 derajat. Indikator-indikator ini terdapat pada sembilan dari sepuluh permasalahan sekolah. Dengan melihat nilai-nilai ini di buku teks, Anda akan kehilangan banyak waktu, dan tidak ada tempat untuk melihatnya sama sekali selama ujian atau ujian.

Harus diingat bahwa nilai kedua fungsi tidak boleh melebihi satu. Jika dalam perhitungan Anda Anda mendapatkan nilai di luar rentang 0-1, hentikan dan coba lagi soal tersebut.

Jumlah kuadrat sinus dan kosinus sama dengan satu. Jika Anda sudah menemukan salah satu nilainya, gunakan rumus ini untuk mencari nilai sisanya.

Teorema

Ada dua teorema dasar dalam trigonometri dasar: sinus dan cosinus.

Pernyataan pertama menyatakan bahwa perbandingan masing-masing sisi suatu segitiga dengan sinus sudut yang berhadapan adalah sama. Yang kedua adalah bahwa kuadrat suatu sisi dapat diperoleh dengan menjumlahkan kuadrat dari dua sisi yang tersisa dan mengurangkan hasil kali gandanya dengan kosinus sudut yang terletak di antara kedua sisi tersebut.

Jadi, jika kita substitusikan nilai sudut 90 derajat ke dalam teorema kosinus, kita peroleh... teorema Pythagoras. Sekarang, jika Anda perlu menghitung luas suatu bangun yang bukan segitiga siku-siku, Anda tidak perlu khawatir lagi - kedua teorema yang dibahas akan sangat menyederhanakan penyelesaian masalah.

Tujuan dan sasaran

Mempelajari trigonometri akan menjadi lebih mudah bila Anda menyadari satu fakta sederhana: semua tindakan yang Anda lakukan ditujukan untuk mencapai satu tujuan saja. Parameter segitiga apa pun dapat ditemukan jika Anda mengetahui informasi minimum tentangnya - ini bisa berupa nilai satu sudut dan panjang dua sisi atau, misalnya, tiga sisi.

Untuk menentukan sinus, cosinus, tangen sudut mana pun, data ini cukup, dan dengan bantuannya Anda dapat dengan mudah menghitung luas bangun tersebut. Hampir selalu, jawabannya memerlukan salah satu nilai yang disebutkan, dan nilai tersebut dapat ditemukan menggunakan rumus yang sama.

Inkonsistensi dalam pembelajaran trigonometri

Salah satu pertanyaan membingungkan yang sebaiknya dihindari siswa adalah menemukan hubungan antara berbagai konsep dalam trigonometri. Tampaknya segitiga digunakan untuk mempelajari sinus dan cosinus suatu sudut, tetapi karena alasan tertentu simbol-simbol tersebut sering ditemukan pada gambar dengan lingkaran. Selain itu, ada grafik seperti gelombang yang benar-benar tidak dapat dipahami yang disebut gelombang sinus, yang tidak memiliki kemiripan luar dengan lingkaran atau segitiga.

Selain itu, sudut diukur dalam derajat atau radian, dan angka Pi, yang ditulis hanya sebagai 3,14 (tanpa satuan), untuk beberapa alasan muncul dalam rumus, sesuai dengan 180 derajat. Bagaimana semua ini terhubung?

Satuan

Mengapa Pi persisnya 3,14? Apakah Anda ingat apa artinya ini? Ini adalah jumlah jari-jari yang membentuk busur pada setengah lingkaran. Jika diameter lingkaran adalah 2 sentimeter, maka kelilingnya adalah 3,14 * 2, atau 6,28.

Poin kedua: Anda mungkin telah memperhatikan kesamaan antara kata “radian” dan “radius”. Faktanya adalah bahwa satu radian secara numerik sama dengan sudut yang diambil dari pusat lingkaran ke busur yang panjangnya satu jari-jari.

Sekarang kita akan menggabungkan pengetahuan yang diperoleh dan memahami mengapa “Pi menjadi dua” ditulis di atas sumbu koordinat dalam trigonometri, dan “Pi” ditulis di sebelah kiri. Ini adalah nilai sudut yang diukur dalam radian, karena setengah lingkaran adalah 180 derajat, atau 3,14 radian. Dan di mana ada derajat, di situ ada sinus dan cosinus. Sangat mudah untuk menggambar segitiga dari titik yang diinginkan dengan menyisihkan segmen ke pusat dan ke sumbu koordinat.

Mari kita melihat ke masa depan

Trigonometri, yang dipelajari di sekolah, berkaitan dengan sistem koordinat bujursangkar, di mana, betapapun anehnya kedengarannya, garis lurus tetaplah garis lurus.

Tapi masih ada lagi cara yang rumit bekerja dengan ruang: jumlah sudut segitiga di sini akan lebih dari 180 derajat, dan garis lurus dalam pandangan kita akan terlihat seperti busur nyata.

Mari beralih dari kata ke tindakan! Ambil sebuah apel. Buatlah tiga potongan dengan pisau sehingga jika dilihat dari atas diperoleh segitiga. Keluarkan potongan apel yang dihasilkan dan lihat “tulang rusuk” di mana kulitnya berakhir. Mereka tidak lurus sama sekali. Buah di tangan Anda secara konvensional bisa disebut bulat, tetapi sekarang bayangkan betapa rumitnya rumus yang dapat digunakan untuk mencari luas potongan. Namun beberapa ahli memecahkan masalah seperti itu setiap hari.

Fungsi trigonometri dalam kehidupan

Pernahkah Anda memperhatikan bahwa rute terpendek pesawat dari titik A ke titik B di permukaan planet kita memiliki bentuk busur yang jelas? Alasannya sederhana: Bumi berbentuk bulat, artinya Anda tidak dapat menghitung banyak menggunakan segitiga - Anda harus menggunakan rumus yang lebih rumit.

Anda tidak dapat melakukannya tanpa sinus/kosinus sudut lancip dalam pertanyaan apa pun yang berkaitan dengan ruang. Sangat menarik bahwa banyak faktor yang bersatu di sini: fungsi trigonometri diperlukan saat menghitung pergerakan planet sepanjang lingkaran, elips, dan berbagai lintasan. bentuk yang kompleks; proses peluncuran roket, satelit, pesawat ulang-alik, pelepasan kendaraan penelitian; mengamati bintang-bintang jauh dan mempelajari galaksi-galaksi yang tidak akan dapat dijangkau manusia di masa mendatang.

Secara umum, bidang kegiatan seseorang yang mengetahui trigonometri sangat luas dan tampaknya hanya akan berkembang seiring berjalannya waktu.

Kesimpulan

Hari ini kita mempelajari, atau setidaknya mengulangi, apa itu sinus dan kosinus. Ini adalah konsep yang tidak perlu Anda takuti - cukup inginkan dan Anda akan memahami maknanya. Ingatlah bahwa trigonometri bukanlah tujuan, tetapi hanya alat yang dapat digunakan untuk memenuhi kebutuhan nyata manusia: membangun rumah, menjamin keselamatan lalu lintas, bahkan menjelajahi luasnya alam semesta.

Memang, sains itu sendiri mungkin tampak membosankan, tetapi begitu Anda menemukan cara untuk mencapai tujuan dan realisasi diri Anda, proses pembelajaran akan menjadi menarik, dan motivasi pribadi Anda akan meningkat.

Sebagai pekerjaan rumah Cobalah mencari cara untuk menerapkan fungsi trigonometri dalam bidang aktivitas yang Anda minati. Bayangkan, gunakan imajinasi Anda, dan Anda mungkin akan menemukan bahwa pengetahuan baru akan berguna bagi Anda di masa depan. Dan selain itu, matematika bermanfaat untuk perkembangan umum pemikiran.

Pertama, perhatikan sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 dan berpusat di (0;0). Untuk αЄR apa pun, jari-jari 0A dapat ditarik sehingga ukuran radian sudut antara 0A dan sumbu 0x sama dengan α. Arah berlawanan jarum jam dianggap positif. Misalkan ujung jari-jari A mempunyai koordinat (a,b).

Definisi sinus

Definisi: Bilangan b, sama dengan ordinat jari-jari satuan yang dibangun dengan cara yang dijelaskan, dilambangkan dengan sinα dan disebut sinus sudut α.

Contoh: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0

Definisi kosinus

Definisi: Bilangan a, sama dengan absis ujung jari-jari satuan yang dibangun dengan cara yang dijelaskan, dilambangkan dengan cosα dan disebut kosinus sudut α.

Contoh: cos0 cos3π + cos3.5π = 1 (-1) + 0 = 2

Contoh-contoh ini menggunakan definisi sinus dan kosinus suatu sudut dalam koordinat ujung jari-jari satuan dan lingkaran satuan. Untuk representasi yang lebih visual, Anda perlu menggambar lingkaran satuan dan memplot titik-titik yang sesuai di atasnya, lalu menghitung absisnya untuk menghitung kosinus dan ordinat untuk menghitung sinus.

Definisi garis singgung

Definisi: Fungsi tgx=sinx/cosx untuk x≠π/2+πk, kЄZ, disebut kotangen sudut x. Daerah definisi fungsi tgx adalah semua bilangan real, kecuali x=π/2+πn, nЄZ.

Contoh: tg0 tgπ = 0 0 = 0

Contoh ini mirip dengan contoh sebelumnya. Untuk menghitung garis singgung suatu sudut, Anda perlu membagi ordinat suatu titik dengan absisnya.

Definisi kotangen

Definisi: Fungsi ctgx=cosx/sinx untuk x≠πk, kЄZ disebut kotangen sudut x. Daerah definisi fungsi ctgx = adalah semua bilangan real kecuali titik x=πk, kЄZ.

Mari kita lihat contoh penggunaan segitiga siku-siku beraturan

Agar lebih jelas apa itu cosinus, sinus, tangen, dan kotangen. Mari kita lihat contoh penggunaan segitiga siku-siku beraturan dengan sudut y dan sisi a,b,c. Sisi miring c, masing-masing kaki a dan b. Sudut antara sisi miring c dan kaki b y.

Definisi: Sinus sudut y adalah perbandingan sisi berhadapan dengan sisi miring: siny = a/c

Definisi: Kosinus sudut y adalah perbandingan kaki yang berdekatan dengan sisi miring: nyaman = v/c

Definisi: Garis singgung sudut y adalah perbandingan sisi berhadapan dengan sisi berdekatan: tgy = a/b

Definisi: Kotangen sudut y adalah perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi yang berhadapan: ctgy= in/a

Sinus, kosinus, tangen, dan kotangen disebut juga fungsi trigonometri. Setiap sudut mempunyai sinus dan kosinusnya masing-masing. Dan hampir setiap orang memiliki garis singgung dan kotangennya masing-masing.

Dipercaya bahwa jika kita diberi sudut, maka sinus, kosinus, tangen, dan kotangennya akan kita ketahui! Dan sebaliknya. Diberikan sinus, atau fungsi trigonometri lainnya, kita mengetahui sudutnya. Bahkan tabel khusus telah dibuat dimana fungsi trigonometri ditulis untuk setiap sudut.

Salah satu bidang matematika yang paling sulit dikuasai siswa adalah trigonometri. Tidak mengherankan: untuk leluasa menguasai bidang ilmu ini, diperlukan pemikiran spasial, kemampuan mencari sinus, cosinus, garis singgung, kotangen dengan menggunakan rumus, menyederhanakan ekspresi, dan mampu menggunakan bilangan pi dalam perhitungan. Selain itu, Anda harus bisa menggunakan trigonometri saat membuktikan teorema, dan ini memerlukan memori matematika yang berkembang atau kemampuan untuk menyimpulkan rantai logika yang kompleks.

Asal usul trigonometri

Mengenal ilmu ini sebaiknya diawali dengan pengertian sinus, cosinus dan tangen suatu sudut, namun terlebih dahulu perlu dipahami terlebih dahulu apa fungsi trigonometri secara umum.

Secara historis, objek kajian utama cabang ilmu matematika ini adalah segitiga siku-siku. Kehadiran sudut 90 derajat memungkinkan untuk melakukan berbagai operasi yang memungkinkan seseorang untuk menentukan nilai semua parameter gambar yang bersangkutan dengan menggunakan dua sisi dan satu sudut atau dua sudut dan satu sisi. Di masa lalu, orang memperhatikan pola ini dan mulai menggunakannya secara aktif dalam konstruksi bangunan, navigasi, astronomi, dan bahkan seni.

Tahap pertama

Awalnya orang membicarakan hubungan sudut dan sisi hanya dengan menggunakan contoh segitiga siku-siku. Kemudian ditemukan formula khusus yang memungkinkan untuk memperluas batas penggunaan Kehidupan sehari-hari cabang matematika ini.

Pembelajaran trigonometri di sekolah saat ini dimulai dengan segitiga siku-siku, setelah itu siswa menggunakan pengetahuan yang diperoleh dalam fisika dan memecahkan masalah abstrak. persamaan trigonometri, pekerjaan yang dimulai di sekolah menengah.

Trigonometri bola

Belakangan, ketika ilmu pengetahuan mencapai tingkat perkembangan berikutnya, rumus dengan sinus, kosinus, tangen, dan kotangen mulai digunakan dalam geometri bola, yang menerapkan aturan berbeda, dan jumlah sudut dalam segitiga selalu lebih dari 180 derajat. Bagian ini tidak dipelajari di sekolah, namun perlu diketahui keberadaannya, paling tidak karena permukaan bumi, dan permukaan planet lain, berbentuk cembung, artinya setiap penandaan permukaan akan “berbentuk busur” di ruang tiga dimensi.

Ambil globe dan utasnya. Pasangkan benang ke dua titik mana pun pada bola bumi agar kencang. Harap dicatat - itu berbentuk busur. Geometri bola berkaitan dengan bentuk-bentuk seperti itu, yang digunakan dalam geodesi, astronomi, dan bidang teoretis dan terapan lainnya.

Segitiga siku-siku

Setelah mempelajari sedikit tentang cara penggunaan trigonometri, mari kita kembali ke trigonometri dasar agar lebih memahami apa itu sinus, kosinus, tangen, perhitungan apa yang dapat dilakukan dengan bantuannya, dan rumus apa yang digunakan.

Langkah pertama adalah memahami konsep-konsep yang berkaitan dengan segitiga siku-siku. Pertama, sisi miring adalah sisi yang berhadapan dengan sudut 90 derajat. Ini yang terpanjang. Kita ingat bahwa menurut teorema Pythagoras, nilai numeriknya sama dengan akar jumlah kuadrat dua sisi lainnya.

Misalnya, jika kedua sisinya masing-masing berukuran 3 dan 4 sentimeter, maka panjang sisi miringnya adalah 5 sentimeter. Ngomong-ngomong, orang Mesir kuno mengetahui hal ini sekitar empat setengah ribu tahun yang lalu.

Dua sisi sisanya yang membentuk sudut siku-siku disebut kaki. Selain itu, kita harus ingat bahwa jumlah sudut pada segitiga pada sistem koordinat persegi panjang adalah 180 derajat.

Definisi

Terakhir, dengan pemahaman yang kuat tentang dasar geometri, kita dapat beralih ke definisi sinus, kosinus, dan tangen suatu sudut.

Sinus suatu sudut adalah perbandingan sisi yang berhadapan (yaitu sisi yang berhadapan sudut yang diinginkan) ke sisi miring. Kosinus suatu sudut adalah perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi miring.

Ingatlah bahwa sinus dan cosinus tidak boleh lebih besar dari satu! Mengapa? Karena hipotenusa secara default adalah yang terpanjang, berapa pun panjang kakinya, ia akan lebih pendek dari sisi miring, yang berarti rasionya akan selalu kurang dari satu. Oleh karena itu, jika dalam jawaban suatu soal Anda mendapatkan sinus atau cosinus yang nilainya lebih besar dari 1, carilah kesalahan dalam perhitungan atau penalarannya. Jawaban ini jelas salah.

Terakhir, garis singgung suatu sudut adalah perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan. Membagi sinus dengan cosinus akan memberikan hasil yang sama. Lihat: sesuai rumus, kita membagi panjang sisi dengan sisi miring, lalu membaginya dengan panjang sisi kedua dan mengalikannya dengan sisi miring. Dengan demikian, kita memperoleh hubungan yang sama seperti pada definisi tangen.

Oleh karena itu, kotangen adalah perbandingan sisi yang berdekatan dengan sudut dengan sisi yang berlawanan. Kita mendapatkan hasil yang sama dengan membagi satu dengan garis singgung.

Jadi, kita telah melihat definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen, dan kita bisa beralih ke rumusnya.

Rumus paling sederhana

Dalam trigonometri Anda tidak dapat melakukannya tanpa rumus - bagaimana menemukan sinus, kosinus, tangen, kotangen tanpa rumus tersebut? Tapi inilah yang dibutuhkan ketika memecahkan masalah.

Rumus pertama yang perlu Anda ketahui saat mulai mempelajari trigonometri adalah jumlah kuadrat sinus dan cosinus suatu sudut sama dengan satu. Rumus ini merupakan konsekuensi langsung dari teorema Pythagoras, namun menghemat waktu jika Anda perlu mengetahui besar sudut, bukan sisinya.

Banyak siswa yang tidak dapat mengingat rumus kedua, yang juga sangat populer ketika menyelesaikan soal sekolah: jumlah satu dan kuadrat garis singgung suatu sudut sama dengan satu dibagi kuadrat kosinus sudut. Perhatikan lebih dekat: ini adalah pernyataan yang sama seperti pada rumus pertama, hanya kedua ruas identitasnya dibagi dengan kuadrat kosinus. Ternyata operasi matematika sederhana membuat rumus trigonometri tidak bisa dikenali sama sekali. Ingat: mengetahui apa itu sinus, cosinus, tangen, dan kotangen, aturan transformasi, dan beberapa rumus dasar, Anda dapat memperoleh rumus lebih kompleks yang diperlukan kapan saja di selembar kertas.

Rumus sudut ganda dan penjumlahan argumen

Dua rumus lagi yang perlu Anda pelajari terkait dengan nilai sinus dan cosinus jumlah dan selisih sudut. Mereka disajikan pada gambar di bawah ini. Harap dicatat bahwa dalam kasus pertama, sinus dan kosinus dikalikan dua kali, dan dalam kasus kedua, hasil kali berpasangan dari sinus dan kosinus ditambahkan.

Ada juga rumus yang terkait dengan argumen sudut ganda. Mereka sepenuhnya berasal dari yang sebelumnya - sebagai latihan, cobalah mendapatkannya sendiri dengan mengambil sudut alfa sama dengan sudut beta.

Terakhir, perhatikan bahwa rumus sudut ganda dapat disusun ulang untuk mengurangi pangkat sinus, kosinus, tangen alfa.

Teorema

Dua teorema utama dalam trigonometri dasar adalah teorema sinus dan teorema kosinus. Dengan menggunakan teorema ini, Anda dapat dengan mudah memahami cara mencari sinus, kosinus, dan tangen, dan luas bangun, ukuran setiap sisinya, dll.

Teorema sinus menyatakan bahwa membagi panjang masing-masing sisi segitiga dengan sudut yang berhadapan akan menghasilkan bilangan yang sama. Selain itu, bilangan ini akan sama dengan dua jari-jari lingkaran yang dibatasi, yaitu lingkaran yang memuat semua titik pada segitiga tertentu.

Teorema kosinus menggeneralisasi teorema Pythagoras dengan memproyeksikannya ke segitiga mana pun. Ternyata dari jumlah kuadrat kedua sisinya, kurangi hasil kali keduanya dengan kosinus ganda dari sudut yang berdekatan - nilai yang dihasilkan akan sama dengan kuadrat sisi ketiga. Jadi, teorema Pythagoras ternyata merupakan kasus khusus dari teorema kosinus.

Kesalahan yang ceroboh

Walaupun mengetahui apa itu sinus, cosinus, dan tangen, kita mudah saja melakukan kesalahan karena linglung atau kesalahan dalam perhitungan yang paling sederhana. Untuk menghindari kesalahan seperti itu, mari kita lihat kesalahan yang paling populer.

Pertama, Anda tidak boleh mengubah pecahan menjadi desimal sampai Anda mendapatkan hasil akhir - Anda dapat membiarkan jawabannya sebagai pecahan biasa, kecuali dinyatakan lain dalam ketentuan. Transformasi seperti itu tidak bisa disebut kesalahan, tetapi harus diingat bahwa pada setiap tahap masalah mungkin muncul akar-akar baru, yang menurut gagasan penulis, harus dikurangi. Dalam hal ini, Anda akan membuang waktu untuk operasi matematika yang tidak perlu. Hal ini terutama berlaku untuk nilai-nilai seperti akar tiga atau akar dua, karena nilai-nilai tersebut ditemukan dalam masalah di setiap langkah. Hal yang sama berlaku untuk pembulatan angka “jelek”.

Selanjutnya, perhatikan bahwa teorema kosinus berlaku untuk sembarang segitiga, tetapi tidak berlaku untuk teorema Pythagoras! Jika Anda secara keliru lupa mengurangi dua kali hasil kali sisi-sisinya dikalikan dengan kosinus sudut di antara keduanya, Anda tidak hanya akan mendapatkan hasil yang sepenuhnya salah, tetapi Anda juga akan menunjukkan kurangnya pemahaman tentang subjek tersebut. Ini lebih buruk daripada kesalahan yang ceroboh.

Ketiga, jangan bingung antara nilai sudut 30 dan 60 derajat untuk sinus, cosinus, garis singgung, kotangen. Ingat nilai-nilai ini, karena sinus 30 derajat sama dengan cosinus 60, dan sebaliknya. Sangat mudah untuk membingungkan mereka, akibatnya Anda pasti akan mendapatkan hasil yang salah.

Aplikasi

Banyak siswa yang tidak terburu-buru untuk mulai mempelajari trigonometri karena belum memahami makna praktisnya. Apa yang dimaksud dengan sinus, cosinus, tangen bagi seorang insinyur atau astronom? Ini adalah konsep yang dapat digunakan untuk menghitung jarak ke bintang-bintang jauh, memprediksi jatuhnya meteorit, atau mengirim wahana penelitian ke planet lain. Tanpa mereka, mustahil membangun gedung, merancang mobil, menghitung beban pada suatu permukaan atau lintasan suatu benda. Dan ini hanyalah contoh yang paling jelas! Bagaimanapun, trigonometri dalam satu atau lain bentuk digunakan di mana-mana, mulai dari musik hingga kedokteran.

Akhirnya

Jadi kamu sinus, kosinus, tangen. Anda dapat menggunakannya dalam perhitungan dan berhasil menyelesaikan masalah sekolah.

Inti dari trigonometri adalah bahwa dengan menggunakan parameter segitiga yang diketahui, Anda perlu menghitung yang tidak diketahui. Ada enam parameter total: panjang tiga sisi dan ukuran tiga sudut. Satu-satunya perbedaan dalam tugas terletak pada kenyataan bahwa data masukan yang diberikan berbeda.

Anda sekarang tahu cara mencari sinus, kosinus, tangen berdasarkan panjang kaki atau sisi miring yang diketahui. Karena istilah-istilah ini tidak lebih dari suatu rasio, dan rasio adalah pecahan, tujuan utama dari soal trigonometri adalah menemukan akar-akar persamaan biasa atau sistem persamaan. Dan di sini matematika sekolah reguler akan membantu Anda.

Sinus merupakan salah satu fungsi dasar trigonometri yang penggunaannya tidak terbatas pada geometri saja. Tabel untuk menghitung fungsi trigonometri, seperti kalkulator teknik, tidak selalu tersedia, dan menghitung sinus terkadang diperlukan untuk menyelesaikan berbagai masalah. Secara umum, menghitung sinus akan membantu mengkonsolidasikan keterampilan menggambar dan pengetahuan tentang identitas trigonometri.

Permainan dengan penggaris dan pensil

Tugas sederhana: bagaimana menemukan sinus sudut yang digambar di atas kertas? Untuk menyelesaikannya, Anda memerlukan penggaris biasa, segitiga (atau kompas), dan pensil. Cara paling sederhana untuk menghitung sinus suatu sudut adalah dengan membagi kaki terjauh suatu segitiga yang mempunyai sudut siku-siku dengan sisi yang panjang - sisi miring. Jadi, pertama-tama Anda harus melengkapi sudut lancip menjadi bentuk segitiga siku-siku dengan menggambar garis tegak lurus salah satu sinar pada jarak sembarang dari titik sudut. Kita perlu mempertahankan sudut tepat 90°, sehingga kita membutuhkan segitiga klerikal.

Menggunakan kompas sedikit lebih akurat, tetapi akan memakan waktu lebih lama. Pada salah satu sinar, Anda perlu menandai 2 titik pada jarak tertentu, mengatur radius pada kompas kira-kira sama dengan jarak antar titik, dan menggambar setengah lingkaran dengan pusat di titik-titik tersebut hingga diperoleh perpotongan garis-garis tersebut. Dengan menghubungkan titik potong lingkaran kita satu sama lain, kita mendapatkan garis tegak lurus terhadap sinar sudut kita; yang tersisa hanyalah memperpanjang garis sampai berpotongan dengan sinar lain.

Pada segitiga yang dihasilkan, Anda perlu menggunakan penggaris untuk mengukur sisi yang berhadapan dengan sudut dan sisi panjang salah satu sinarnya. Rasio dimensi pertama dan kedua akan menjadi nilai sinus sudut lancip yang diinginkan.

Temukan sinus untuk sudut yang lebih besar dari 90°

Untuk sudut tumpul, tugasnya tidak lebih sulit. Anda perlu menggambar sinar dari titik ke sisi yang berlawanan menggunakan penggaris untuk membentuk garis lurus dengan salah satu sinar sudut yang kita minati. Sudut lancip yang dihasilkan harus diperlakukan seperti dijelaskan di atas; sinus dari sudut-sudut yang berdekatan yang bersama-sama membentuk sudut terbalik 180° adalah sama besar.

Menghitung sinus menggunakan fungsi trigonometri lainnya

Selain itu, penghitungan sinus dapat dilakukan jika nilai fungsi trigonometri sudut lainnya atau setidaknya panjang sisi segitiga diketahui. Identitas trigonometri akan membantu kita dalam hal ini. Mari kita lihat contoh umum.

Bagaimana cara mencari sinus dengan kosinus suatu sudut yang diketahui? Identitas trigonometri pertama berdasarkan teorema Pythagoras menyatakan bahwa jumlah kuadrat sinus dan kosinus sudut yang sama sama dengan satu.

Bagaimana cara mencari sinus dengan garis singgung suatu sudut yang diketahui? Garis singgung diperoleh dengan membagi sisi jauh dengan sisi dekat atau membagi sinus dengan kosinus. Jadi, sinus akan menjadi hasil kali cosinus dan tangen, dan kuadrat sinus akan menjadi kuadrat hasil kali tersebut. Kami mengganti kosinus kuadrat dengan selisih antara kesatuan dan sinus kuadrat sesuai dengan identitas trigonometri pertama dan, melalui manipulasi sederhana, kami mengurangi persamaan tersebut menjadi penghitungan sinus kuadrat melalui garis singgung; oleh karena itu, untuk menghitung sinus, Anda akan harus mengekstrak akar dari hasil yang diperoleh.

Bagaimana cara mencari sinus dengan kotangen suatu sudut yang diketahui? Nilai kotangen dapat dihitung dengan membagi panjang kaki sudut yang paling dekat dengan panjang kaki terjauh, serta membagi kosinus dengan sinus, yaitu kotangen merupakan fungsi kebalikan dari garis singgung relatif. ke angka 1. Untuk menghitung sinus, kamu bisa menghitung tangen dengan menggunakan rumus tg α = 1 / ctg α dan menggunakan rumus pada pilihan kedua. Anda juga dapat memperoleh rumus langsung dengan analogi tangen, yang akan terlihat seperti ini.

Cara mencari sinus ketiga sisi segitiga

Ada rumus untuk mencari panjang sisi yang tidak diketahui suatu segitiga, bukan hanya segitiga siku-siku, dari dua sisi yang diketahui menggunakan fungsi trigonometri kosinus sudut yang berhadapan. Dia terlihat seperti ini.