Pada bagian sebelumnya, yang membahas tentang analisis makna geometris integral tertentu, kami menerima sejumlah rumus untuk menghitung luas trapesium lengkung:
Yandex.RTB RA-339285-1
S (G) = ∫ a b f (x) d x untuk fungsi kontinu dan non-negatif y = f (x) pada interval [ a ; B ] ,
S (G) = - ∫ a b f (x) d x untuk fungsi kontinu dan non-positif y = f (x) pada interval [ a ; B ] .
Rumus ini dapat diterapkan untuk menyelesaikannya tugas-tugas sederhana. Pada kenyataannya, kita sering kali harus bekerja dengan figur yang lebih kompleks. Dalam hal ini, bagian ini akan kami persembahkan untuk analisis algoritma untuk menghitung luas bangun yang dibatasi oleh fungsi dalam bentuk eksplisit, yaitu. seperti y = f(x) atau x = g(y).
DalilMisalkan fungsi y = f 1 (x) dan y = f 2 (x) terdefinisi dan kontinu pada interval [ a ; b ] , dan f 1 (x) ≤ f 2 (x) untuk nilai apa pun x dari [ a ; B ] . Maka rumus menghitung luas bangun G, dibatasi oleh garis x = a, x = b, y = f 1 (x) dan y = f 2 (x) akan berbentuk S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x.
Rumus serupa juga berlaku untuk luas bangun yang dibatasi oleh garis y = c, y = d, x = g 1 (y) dan x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (kamu) - g 1 (kamu) d kamu .
Bukti
Mari kita lihat tiga kasus yang rumusnya valid.
Dalam kasus pertama, dengan mempertimbangkan sifat penjumlahan luas, jumlah luas gambar asli G dan trapesium lengkung G 1 sama dengan luas gambar G 2. Artinya
Jadi, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Kita dapat melakukan transisi terakhir dengan menggunakan sifat ketiga dari integral tertentu.
Dalam kasus kedua, persamaannya benar: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) dx
Ilustrasi grafisnya akan terlihat seperti:
Jika kedua fungsi tersebut non-positif, diperoleh: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Ilustrasi grafisnya akan terlihat seperti:
Mari kita beralih ke kasus umum ketika y = f 1 (x) dan y = f 2 (x) berpotongan dengan sumbu O x.
Titik potongnya kita nyatakan sebagai x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Titik-titik ini membagi segmen [a; b ] menjadi n bagian x i - 1 ; x saya, saya = 1, 2, . . . , n, dimana α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Karena itu,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Kita dapat melakukan transisi terakhir menggunakan sifat kelima dari integral tertentu.
Mari kita ilustrasikan kasus umum pada grafik.
Rumus S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x dianggap terbukti.
Sekarang mari kita beralih ke menganalisis contoh menghitung luas bangun yang dibatasi oleh garis y = f (x) dan x = g (y).
Kami akan memulai pertimbangan kami terhadap salah satu contoh dengan membuat grafik. Gambar ini akan memungkinkan kita untuk merepresentasikan bentuk kompleks sebagai gabungan dari bentuk yang lebih sederhana. Jika membuat grafik dan gambar di atasnya sulit bagi Anda, Anda dapat mempelajari bagian fungsi dasar dasar, transformasi geometri grafik fungsi, serta membuat grafik sambil mempelajari suatu fungsi.
Contoh 1
Perlu ditentukan luas bangun yang dibatasi oleh parabola y = - x 2 + 6 x - 5 dan garis lurus y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.
Larutan
Mari kita menggambar garis pada grafik dalam sistem koordinat kartesius.
Di segmen [ 1 ; 4 ] grafik parabola y = - x 2 + 6 x - 5 terletak di atas garis lurus y = - 1 3 x - 1 2. Sehubungan dengan itu, untuk memperoleh jawabannya kita menggunakan rumus yang telah diperoleh sebelumnya, serta cara menghitung integral tertentu dengan menggunakan rumus Newton-Leibniz:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Jawaban: S(G) = 13
Mari kita lihat contoh yang lebih kompleks.
Contoh 2
Kita perlu menghitung luas bangun yang dibatasi oleh garis y = x + 2, y = x, x = 7.
Larutan
Dalam hal ini, kita hanya mempunyai satu garis lurus yang terletak sejajar dengan sumbu x. Ini adalah x = 7. Hal ini mengharuskan kita untuk menemukan sendiri batas integrasi kedua.
Mari kita membuat grafik dan memplot garis-garis yang diberikan dalam rumusan masalah di atasnya.
Dengan adanya grafik di depan mata kita, kita dapat dengan mudah menentukan bahwa batas bawah integrasi adalah absis titik potong grafik garis lurus y = x dan setengah parabola y = x + 2. Untuk mencari absis kita menggunakan persamaan:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ
Ternyata absis titik potongnya adalah x = 2.
Kami menarik perhatian Anda pada fakta bahwa dalam contoh umum pada gambar, garis y = x + 2, y = x berpotongan di titik (2; 2), sehingga perhitungan mendetail seperti itu mungkin tampak tidak diperlukan. Kami membawa ini ke sini solusi terperinci hanya karena masih banyak lagi kasus-kasus sulit solusinya mungkin tidak begitu jelas. Artinya, selalu lebih baik menghitung koordinat perpotongan garis secara analitis.
Pada interval [ 2 ; 7] grafik fungsi y = x terletak di atas grafik fungsi y = x + 2. Mari kita terapkan rumus untuk menghitung luas:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Jawaban: S (G) = 59 6
Contoh 3
Kita perlu menghitung luas bangun yang dibatasi oleh grafik fungsi y = 1 x dan y = - x 2 + 4 x - 2.
Larutan
Mari kita gambarkan garis pada grafik.
Mari kita tentukan batasan integrasi. Caranya, kita menentukan koordinat titik potong garis dengan menyamakan ekspresi 1 x dan - x 2 + 4 x - 2. Asalkan x bukan nol, persamaan 1 x = - x 2 + 4 x - 2 menjadi ekuivalen dengan persamaan derajat ketiga - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 dengan koefisien bilangan bulat. Untuk menyegarkan ingatan Anda tentang algoritme penyelesaian persamaan tersebut, kita dapat merujuk ke bagian “Menyelesaikan persamaan kubik”.
Akar persamaan ini adalah x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Membagi ekspresi - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 dengan binomial x - 1, kita mendapatkan: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Kita dapat mencari akar-akar yang tersisa dari persamaan x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3
Kami menemukan intervalnya x ∈ 1; 3 + 13 2, dimana gambar G terdapat di atas garis biru dan di bawah garis merah. Ini membantu kita menentukan luas gambar:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Jawaban: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Contoh 4
Perlu dilakukan perhitungan luas bangun yang dibatasi oleh kurva y = x 3, y = - log 2 x + 1 dan sumbu absis.
Larutan
Mari kita gambarkan semua garis pada grafik. Grafik fungsi y = - log 2 x + 1 dapat kita peroleh dari grafik y = log 2 x jika kita menempatkannya secara simetris terhadap sumbu x dan memindahkannya ke atas satu satuan. Persamaan sumbu x adalah y = 0.
Mari kita tandai titik potong garis tersebut.
Terlihat dari gambar, grafik fungsi y = x 3 dan y = 0 berpotongan di titik (0; 0). Hal ini terjadi karena x = 0 merupakan satu-satunya akar real dari persamaan x 3 = 0.
x = 2 merupakan akar tunggal persamaan - log 2 x + 1 = 0, jadi grafik fungsi y = - log 2 x + 1 dan y = 0 berpotongan di titik (2; 0).
x = 1 adalah satu-satunya akar persamaan x 3 = - log 2 x + 1 . Sehubungan dengan itu, grafik fungsi y = x 3 dan y = - log 2 x + 1 berpotongan di titik (1; 1). Pernyataan terakhir mungkin tidak jelas, tetapi persamaan x 3 = - log 2 x + 1 tidak boleh memiliki lebih dari satu akar, karena fungsi y = x 3 meningkat tajam, dan fungsi y = - log 2 x + 1 adalah sangat menurun.
Solusi selanjutnya melibatkan beberapa pilihan.
Pilihan 1
Kita dapat membayangkan bangun G sebagai hasil penjumlahan dua buah trapesium lengkung yang terletak di atas sumbu x, yang pertama terletak di bawah garis tengah ruas x ∈ 0; 1, dan garis kedua di bawah garis merah pada ruas x ∈ 1; 2. Artinya luasnya akan sama dengan S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Opsi No.2
Gambar G dapat direpresentasikan sebagai selisih dua angka, yang pertama terletak di atas sumbu x dan di bawah garis biru pada ruas x ∈ 0; 2, dan garis kedua antara garis merah dan biru pada ruas x ∈ 1; 2. Hal ini memungkinkan kita untuk mencari luas sebagai berikut:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 dx - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
Dalam hal ini, untuk mencari luasnya, Anda harus menggunakan rumus berbentuk S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Faktanya, garis yang membatasi gambar tersebut dapat direpresentasikan sebagai fungsi dari argumen y.
Mari kita selesaikan persamaan y = x 3 dan - log 2 x + 1 terhadap x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Kami mendapatkan area yang dibutuhkan:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Jawaban: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Contoh 5
Kita perlu menghitung luas bangun yang dibatasi oleh garis y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.
Larutan
Dengan garis merah kita memplot garis yang didefinisikan oleh fungsi y = x. Kita menggambar garis y = - 1 2 x + 4 dengan warna biru, dan garis y = 2 3 x - 3 dengan warna hitam.
Mari kita tandai titik persimpangannya.
Mari kita cari titik potong grafik fungsi y = x dan y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Periksa: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 tidak Apakah penyelesaian persamaan x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 adalah penyelesaian persamaan ⇒ (4; 2) titik potong i y = x dan y = - 1 2 x + 4
Mari kita cari titik potong grafik fungsi y = x dan y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Periksa: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 adalah penyelesaian persamaan ⇒ (9 ; 3) titik a s y = x dan y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian
Cari titik potong garis y = - 1 2 x + 4 dan y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) titik potong y = - 1 2 x + 4 dan y = 2 3 x - 3
Metode No.1
Mari kita bayangkan luas bangun yang diinginkan sebagai jumlah luas masing-masing bangun.
Maka luas gambar tersebut adalah:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Metode nomor 2
Luas bangun asli dapat direpresentasikan sebagai penjumlahan dari dua bangun lainnya.
Kemudian kita selesaikan persamaan garis relatif terhadap x, dan baru setelah itu kita terapkan rumus menghitung luas bangun tersebut.
y = x ⇒ x = y 2 garis merah y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 garis hitam y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e
Jadi luasnya adalah:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Seperti yang Anda lihat, nilainya sama.
Jawaban: S (G) = 11 3
HasilUntuk mencari luas bangun yang terbatas garis yang diberikan kita perlu membuat garis pada bidang tersebut, mencari titik potongnya, dan menerapkan rumus untuk mencari luasnya. Di bagian ini, kami memeriksa varian tugas yang paling umum.
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter
Bagaimana cara menyisipkan rumus matematika pada website?
Jika Anda perlu menambahkan satu atau dua rumus matematika ke halaman web, maka cara termudah untuk melakukannya adalah seperti yang dijelaskan dalam artikel: rumus matematika dengan mudah dimasukkan ke situs dalam bentuk gambar yang dibuat secara otomatis oleh Wolfram Alpha . Selain kesederhanaannya, metode universal ini akan membantu meningkatkan visibilitas situs di mesin pencari. Ini telah berfungsi sejak lama (dan, menurut saya, akan berfungsi selamanya), tetapi secara moral sudah ketinggalan zaman.
Jika Anda sering menggunakan rumus matematika di situs Anda, saya sarankan Anda menggunakan MathJax - pustaka JavaScript khusus yang menampilkan notasi matematika di browser web menggunakan markup MathML, LaTeX, atau ASCIIMathML.
Ada dua cara untuk mulai menggunakan MathJax: (1) menggunakan kode sederhana, Anda dapat dengan cepat menghubungkan skrip MathJax ke situs web Anda, yang akan secara otomatis dimuat dari server jauh pada waktu yang tepat (daftar server); (2) unduh skrip MathJax dari server jauh ke server Anda dan sambungkan ke semua halaman situs Anda. Metode kedua - lebih rumit dan memakan waktu - akan mempercepat pemuatan halaman situs Anda, dan jika server induk MathJax untuk sementara tidak tersedia karena alasan tertentu, ini tidak akan memengaruhi situs Anda dengan cara apa pun. Terlepas dari kelebihan ini, saya memilih metode pertama karena lebih sederhana, lebih cepat dan tidak memerlukan keahlian teknis. Ikuti contoh saya, dan hanya dalam 5 menit Anda akan dapat menggunakan semua fitur MathJax di situs Anda.
Anda dapat menghubungkan skrip perpustakaan MathJax dari server jauh menggunakan dua opsi kode yang diambil dari situs web utama MathJax atau di halaman dokumentasi:
Salah satu opsi kode ini perlu disalin dan ditempelkan ke dalam kode laman web Anda, sebaiknya di antara tag dan atau tepat setelah tag. Menurut opsi pertama, MathJax memuat lebih cepat dan memperlambat halaman. Namun opsi kedua secara otomatis memantau dan memuat MathJax versi terbaru. Jika Anda memasukkan kode pertama, kode tersebut perlu diperbarui secara berkala. Jika Anda memasukkan kode kedua, halaman akan dimuat lebih lambat, tetapi Anda tidak perlu terus-menerus memantau pembaruan MathJax.
Cara termudah untuk menghubungkan MathJax adalah di Blogger atau WordPress: di panel kontrol situs, tambahkan widget yang dirancang untuk memasukkan kode JavaScript pihak ketiga, salin versi pertama atau kedua dari kode unduhan yang disajikan di atas ke dalamnya, dan letakkan widget lebih dekat ke awal template (omong-omong, ini sama sekali tidak diperlukan, karena skrip MathJax dimuat secara asinkron). Itu saja. Sekarang pelajari sintaks markup MathML, LaTeX, dan ASCIIMathML, dan Anda siap memasukkan rumus matematika ke halaman web situs Anda.
Setiap fraktal dibangun menurut aturan tertentu, yang diterapkan secara konsisten dalam jumlah yang tidak terbatas. Setiap waktu tersebut disebut iterasi.
Algoritme berulang untuk membuat spons Menger cukup sederhana: kubus asli dengan sisi 1 dibagi dengan bidang yang sejajar dengan permukaannya menjadi 27 kubus yang sama besar. Satu kubus pusat dan 6 kubus yang berdekatan di sepanjang sisinya dikeluarkan darinya. Hasilnya adalah satu set yang terdiri dari sisa 20 kubus kecil. Melakukan hal yang sama dengan masing-masing kubus ini, kita mendapatkan satu set yang terdiri dari 400 kubus yang lebih kecil. Melanjutkan proses ini tanpa henti, kita mendapatkan spons Menger.
Integral pasti. Cara menghitung luas suatu bangunMari kita beralih ke penerapan kalkulus integral. Dalam pelajaran ini kita akan menganalisis masalah yang umum dan paling umum - bagaimana menghitung luas bangun datar menggunakan integral tertentu. Akhirnya, mereka yang mencari makna dalam matematika tingkat tinggi – semoga menemukannya. Kau tak pernah tahu. Kita harus mendekatkannya dalam hidup area pondok pedesaan fungsi dasar dan mencari luasnya menggunakan integral tertentu.
Agar berhasil menguasai materi, Anda harus:
1) Memahami integral tak tentu setidaknya pada tingkat menengah. Oleh karena itu, orang bodoh harus terlebih dahulu membiasakan diri dengan pelajaran Not.
2) Mampu menerapkan rumus Newton-Leibniz dan menghitung integral tentu. Anda dapat menjalin hubungan persahabatan yang hangat dengan integral pasti di halaman Integral Pasti. Contoh solusi.
Sebenarnya, untuk mencari luas suatu bangun, Anda tidak memerlukan banyak pengetahuan tentang integral tak tentu dan integral pasti. Tugas “menghitung luas menggunakan integral tertentu” selalu melibatkan pembuatan gambar, jadi lebih dari itu masalah topikal akan menjadi pengetahuan dan keterampilan Anda dalam menggambar. Dalam hal ini, berguna untuk menyegarkan ingatan Anda tentang grafik-grafik utama fungsi dasar, dan minimal mampu membuat garis lurus, parabola, dan hiperbola. Ini dapat dilakukan (bagi banyak orang, hal ini perlu) dengan menggunakan materi metodologis dan artikel tentang transformasi geometri graf.
Sebenarnya semua orang sudah familiar dengan tugas mencari luas menggunakan integral tertentu sejak sekolah, dan kita tidak akan membahas lebih jauh dari kurikulum sekolah. Artikel ini mungkin tidak ada sama sekali, tetapi faktanya masalahnya terjadi pada 99 dari 100 kasus, ketika seorang siswa menderita sekolah yang dibenci dan dengan antusias menguasai mata pelajaran matematika yang lebih tinggi.
Materi workshop ini disajikan secara sederhana, detail dan minim teori.
Mari kita mulai dengan trapesium melengkung.
Trapesium lengkung adalah bangun datar yang dibatasi oleh sumbu, garis lurus, dan grafik fungsi kontinu pada suatu ruas yang tidak berubah tanda pada interval tersebut. Biarkan angka ini ditemukan tidak kurang sumbu x:
Maka luas trapesium lengkung secara numerik sama dengan integral tertentu. Integral pasti apa pun (yang ada) mempunyai nilai yang sangat baik makna geometris. Dalam pelajaran Integral Pasti. Contoh penyelesaian Saya katakan bahwa integral tertentu adalah suatu bilangan. Dan sekarang saatnya menyatakan fakta bermanfaat lainnya. Dilihat dari geometri, integral tentu adalah AREA.
Artinya, integral tertentu (jika ada) secara geometris bersesuaian dengan luas bangun tertentu. Misalnya, pertimbangkan integral tertentu. Integran mendefinisikan suatu kurva pada bidang yang terletak di atas sumbu (siapa pun dapat membuat gambar), dan integral tertentu itu sendiri secara numerik sama dengan luas trapesium lengkung yang bersangkutan.
Contoh 1
Ini adalah pernyataan tugas yang khas. Pertama dan momen yang paling penting solusi - menggambar. Selain itu, gambarnya harus dibuat dengan BENAR.
Saat membuat gambar, saya sarankan pesanan selanjutnya: pertama lebih baik membuat semua garis lurus (jika ada) dan baru kemudian – parabola, hiperbola, dan grafik fungsi lainnya. Lebih menguntungkan untuk membuat grafik fungsi secara titik, teknik konstruksi titik dapat ditemukan di materi referensi Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar. Di sana Anda juga dapat menemukan materi yang sangat berguna untuk pelajaran kita - cara cepat membuat parabola.
Dalam masalah ini, solusinya mungkin terlihat seperti ini.
Mari kita menggambarnya (perhatikan bahwa persamaan mendefinisikan sumbu):
Saya tidak akan membuat bayangan trapesium melengkung, di sini jelas area mana yang sedang kita bicarakan. Solusinya berlanjut seperti ini:
Pada segmen tersebut grafik fungsinya terletak di atas sumbu, oleh karena itu:
Menjawab:
Yang mengalami kesulitan dalam menghitung integral tentu dan menerapkan rumus Newton-Leibniz 
, lihat kuliah Integral Pasti. Contoh solusi.
Setelah tugas selesai, selalu berguna untuk melihat gambarnya dan mencari tahu apakah jawabannya nyata. Dalam hal ini, kami menghitung jumlah sel dalam gambar "dengan mata" - yah, akan ada sekitar 9, sepertinya benar. Sangat jelas bahwa jika kita mendapat, katakanlah, jawabannya: 20 unit persegi, maka jelas ada kesalahan yang terjadi di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan gambar yang dimaksud, paling banyak selusin. Jika jawabannya negatif, maka tugas tersebut juga diselesaikan dengan salah.
Contoh 2
Menghitung luas bangun yang dibatasi oleh garis,, dan sumbu
Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.
Apa yang harus dilakukan jika trapesium lengkung terletak di bawah sumbu?
Contoh 3
Hitung luas bangun yang dibatasi garis dan sumbu koordinat.
Solusi: Mari kita membuat gambar: 
Jika trapesium lengkung terletak di bawah sumbu (atau setidaknya tidak lebih tinggi sumbu tertentu), maka luasnya dapat dicari dengan rumus:
Pada kasus ini: 
Perhatian! Kedua jenis tugas ini tidak boleh disamakan:
1) Jika Anda diminta menyelesaikan integral tertentu tanpa makna geometri apa pun, maka integral tersebut mungkin negatif.
2) Jika diminta mencari luas suatu bangun dengan menggunakan integral tertentu, maka luasnya selalu positif! Itu sebabnya minus muncul pada rumus yang baru saja dibahas.
Dalam praktiknya, paling sering gambar tersebut terletak di setengah bidang atas dan bawah, dan oleh karena itu, dari soal sekolah yang paling sederhana, kita beralih ke contoh yang lebih bermakna.
Contoh 4
Hitunglah luas bangun datar yang dibatasi oleh garis , .
Solusi: Pertama, Anda perlu membuat gambar. Secara umum, ketika membuat gambar dalam soal luas, kita paling tertarik pada titik potong garis. Mari kita cari titik potong parabola dan garis lurus. Hal ini dapat dilakukan dengan dua cara. Metode pertama adalah analitis. Kami memecahkan persamaan:
Artinya batas bawah integrasi adalah , batas atas integrasi adalah .
Jika memungkinkan, lebih baik tidak menggunakan metode ini.
Jauh lebih menguntungkan dan lebih cepat untuk membangun garis titik demi titik, dan batas integrasi menjadi jelas “dengan sendirinya”. Teknik konstruksi titik untuk berbagai grafik dibahas secara rinci dalam bantuan Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar. Namun demikian, metode analitis untuk mencari limit terkadang masih harus digunakan jika, misalnya, grafiknya cukup besar, atau konstruksi detailnya tidak mengungkapkan limit integrasi (bisa berupa pecahan atau irasional). Dan kami juga akan mempertimbangkan contoh seperti itu.
Mari kita kembali ke tugas kita: lebih rasional untuk membuat garis lurus terlebih dahulu, baru kemudian parabola. Mari kita membuat gambarnya: 
Saya ulangi bahwa ketika membangun secara pointwise, batas integrasi paling sering ditemukan “secara otomatis”.
Dan sekarang rumus kerjanya: Jika pada suatu ruas suatu fungsi kontinu lebih besar atau sama dengan suatu fungsi kontinu, maka luas bangun yang dibatasi oleh grafik fungsi tersebut dan garis lurus dapat dicari dengan menggunakan rumus: 
Di sini Anda tidak perlu lagi memikirkan di mana letak gambar tersebut - di atas sumbu atau di bawah sumbu, dan secara kasar, yang penting adalah grafik mana yang LEBIH TINGGI (relatif terhadap grafik lain) dan mana yang DI BAWAH.
Pada contoh yang dibahas, terlihat jelas bahwa pada ruas parabola terletak di atas garis lurus, oleh karena itu perlu dilakukan pengurangan dari
Solusi lengkapnya mungkin terlihat seperti ini:
Bentuk yang diinginkan dibatasi oleh parabola di atas dan garis lurus di bawah.
Di segmen tersebut, sesuai dengan rumus yang sesuai:
Menjawab:
Faktanya, rumus sekolah untuk luas trapesium lengkung pada setengah bidang bawah (lihat contoh sederhana No. 3) adalah kasus spesial rumus 
. Karena sumbu ditentukan oleh persamaan, dan grafik fungsinya berada tidak lebih tinggi kapak, kalau begitu 
Dan sekarang beberapa contoh untuk solusi Anda sendiri
Contoh 5
Contoh 6
Hitunglah luas bangun yang dibatasi oleh garis , .
Saat menyelesaikan soal penghitungan luas menggunakan integral tertentu, terkadang terjadi kejadian lucu. Gambarnya dibuat dengan benar, perhitungannya benar, tetapi karena kecerobohan... ditemukan luas bangun yang salah, begitulah beberapa kali hambamu yang rendah hati melakukan kesalahan. Inilah kasus kehidupan nyata:
Contoh 7
Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis , , , .
Solusi: Pertama, mari kita buat gambarnya: 
...Eh, gambarnya jelek sekali, tapi sepertinya semuanya bisa terbaca.
Gambar yang luasnya perlu kita cari diarsir dengan warna biru (perhatikan baik-baik kondisinya - betapa terbatasnya gambar tersebut!). Namun dalam prakteknya, karena kurang perhatian, sering muncul “kesalahan” sehingga perlu mencari luas bangun yang diarsir. hijau!
Contoh ini juga berguna karena menghitung luas suatu bangun menggunakan dua integral tertentu. Benar-benar:
1) Pada ruas di atas sumbu terdapat grafik garis lurus;
2) Pada ruas di atas sumbu terdapat grafik hiperbola.
Jelas sekali bahwa area tersebut dapat (dan harus) ditambahkan, oleh karena itu:
Menjawab:
Mari beralih ke tugas penting lainnya.
Contoh 8
Menghitung luas bangun yang dibatasi garis,
Mari kita sajikan persamaan dalam bentuk “sekolah” dan buatlah gambar poin demi poin: 
Dari gambar tersebut terlihat jelas bahwa batas atas kita “baik”: .
Tapi berapa batas bawahnya?! Jelas bahwa ini bukan bilangan bulat, tapi apa itu? Mungkin ? Tapi di manakah jaminan bahwa gambar itu dibuat dengan akurasi yang sempurna, bisa jadi... Atau akarnya. Bagaimana jika kita salah membuat grafik?
Dalam kasus seperti itu, Anda harus meluangkan waktu tambahan dan memperjelas batasan integrasi secara analitis.
Mari kita cari titik potong garis lurus dan parabola.
Untuk melakukan ini, kita selesaikan persamaan: 
,
Benar-benar, .
Penyelesaian selanjutnya adalah hal yang sepele, yang utama jangan sampai bingung dalam substitusi dan tanda, perhitungan di sini bukan yang paling sederhana.
Di segmen tersebut 
, menurut rumus yang sesuai: 
Menjawab: 
Nah, sebagai penutup pelajaran, mari kita lihat dua tugas yang lebih sulit.
Contoh 9
Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis , ,
Solusi: Mari kita gambarkan sosok ini dalam gambar. 
Sial, saya lupa menandatangani jadwalnya, dan maaf, saya tidak ingin mengulang gambarnya. Bukan hari menggambar, singkatnya, hari ini adalah harinya =)
Untuk konstruksi poin demi poin yang perlu Anda ketahui penampilan sinusoidal (dan secara umum berguna untuk mengetahui grafik semua fungsi dasar), serta beberapa nilai sinus, dapat ditemukan di tabel trigonometri. Dalam beberapa kasus (seperti dalam kasus ini), dimungkinkan untuk membuat gambar skema, di mana grafik dan batas integrasi pada dasarnya harus ditampilkan dengan benar.
Tidak ada masalah dengan batas integrasi di sini; mereka mengikuti langsung dari kondisi: “x” berubah dari nol menjadi “pi”. Mari kita buat keputusan lebih lanjut:
Pada segmen tersebut grafik fungsinya terletak di atas sumbu, oleh karena itu:
Sebenarnya, untuk mencari luas suatu bangun, Anda tidak memerlukan banyak pengetahuan tentang integral tak tentu dan integral pasti. Tugas “menghitung luas menggunakan integral tertentu” selalu melibatkan pembuatan gambar, sehingga pengetahuan dan keterampilan Anda dalam membuat gambar akan menjadi pertanyaan yang jauh lebih mendesak. Berkaitan dengan hal tersebut, berguna untuk menyegarkan kembali ingatan Anda tentang grafik fungsi dasar dasar, dan minimal dapat membuat garis lurus dan hiperbola.
Trapesium lengkung adalah bangun datar yang dibatasi oleh sumbu, garis lurus, dan grafik fungsi kontinu pada suatu ruas yang tidak berubah tanda pada interval tersebut. Biarkan angka ini ditemukan tidak kurang sumbu x:
Maka luas trapesium lengkung secara numerik sama dengan integral tertentu. Setiap integral tertentu (yang ada) mempunyai arti geometri yang sangat baik.
Dari sudut pandang geometri, integral tentu adalah AREA.
Artinya, integral tertentu (jika ada) secara geometris bersesuaian dengan luas bangun tertentu. Misalnya, pertimbangkan integral tertentu. Integran mendefinisikan suatu kurva pada bidang yang terletak di atas sumbu (siapa pun dapat membuat gambar), dan integral tertentu itu sendiri secara numerik sama dengan luas trapesium lengkung yang bersangkutan.
Contoh 1
Ini adalah pernyataan tugas yang khas. Poin pertama dan terpenting dalam pengambilan keputusan adalah menggambar. Selain itu, gambarnya harus dibuat dengan BENAR.
Saat membuat gambar, saya merekomendasikan urutan berikut: pertama, lebih baik membuat semua garis lurus (jika ada) dan baru kemudian - parabola, hiperbola, dan grafik fungsi lainnya. Lebih menguntungkan untuk membuat grafik fungsi poin demi poin.
Dalam masalah ini, solusinya mungkin terlihat seperti ini.
Mari kita menggambarnya (perhatikan bahwa persamaan mendefinisikan sumbu):
Pada segmen tersebut grafik fungsinya terletak di atas sumbu, oleh karena itu:
Menjawab:
Setelah tugas selesai, selalu berguna untuk melihat gambarnya dan mencari tahu apakah jawabannya nyata. Dalam hal ini, "dengan mata" kita menghitung jumlah sel dalam gambar - yah, akan ada sekitar 9, tampaknya benar. Sangat jelas bahwa jika kita mendapat, katakanlah, jawabannya: 20 unit persegi, maka jelas ada kesalahan yang terjadi di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan gambar yang dimaksud, paling banyak selusin. Jika jawabannya negatif, maka tugas tersebut juga diselesaikan dengan salah.
Contoh 3
Hitung luas bangun yang dibatasi garis dan sumbu koordinat.
Solusi: Mari kita membuat gambar:
Jika trapesium lengkung terletak di bawah sumbu (atau setidaknya tidak lebih tinggi sumbu tertentu), maka luasnya dapat dicari dengan rumus:
Pada kasus ini:
Perhatian! Kedua jenis tugas ini tidak boleh disamakan:
1) Jika Anda diminta menyelesaikan integral tertentu tanpa makna geometri apa pun, maka integral tersebut mungkin negatif.
2) Jika diminta mencari luas suatu bangun dengan menggunakan integral tertentu, maka luasnya selalu positif! Itu sebabnya minus muncul pada rumus yang baru saja dibahas.
Dalam praktiknya, paling sering gambar tersebut terletak di setengah bidang atas dan bawah, dan oleh karena itu, dari soal sekolah yang paling sederhana, kita beralih ke contoh yang lebih bermakna.
Contoh 4
Hitunglah luas bangun datar yang dibatasi oleh garis , .
Solusi: Pertama, Anda perlu membuat gambar. Secara umum, ketika membuat gambar dalam soal luas, kita paling tertarik pada titik potong garis. Mari kita cari titik potong parabola dan garis lurus. Hal ini dapat dilakukan dengan dua cara. Metode pertama adalah analitis. Kami memecahkan persamaan:
Artinya batas bawah integrasi adalah , batas atas integrasi adalah .
Jika memungkinkan, lebih baik tidak menggunakan metode ini.
Jauh lebih menguntungkan dan lebih cepat untuk membangun garis titik demi titik, dan batas integrasi menjadi jelas “dengan sendirinya”. Namun demikian, metode analitis untuk mencari limit terkadang masih harus digunakan jika, misalnya, grafiknya cukup besar, atau konstruksi detailnya tidak mengungkapkan limit integrasi (bisa berupa pecahan atau irasional). Dan kami juga akan mempertimbangkan contoh seperti itu.
Mari kita kembali ke tugas kita: lebih rasional untuk membuat garis lurus terlebih dahulu, baru kemudian parabola. Mari kita membuat gambarnya:
Dan sekarang rumus kerjanya: Jika pada suatu ruas suatu fungsi kontinu lebih besar atau sama dengan suatu fungsi kontinu, maka luas bangun yang dibatasi oleh grafik fungsi tersebut dan garis lurus dapat dicari dengan menggunakan rumus: 
Di sini Anda tidak perlu lagi memikirkan di mana letak gambar tersebut - di atas sumbu atau di bawah sumbu, dan secara kasar, yang penting adalah grafik mana yang LEBIH TINGGI (relatif terhadap grafik lain) dan mana yang DI BAWAH.
Pada contoh yang dibahas, terlihat jelas bahwa pada ruas parabola terletak di atas garis lurus, oleh karena itu perlu dilakukan pengurangan dari
Solusi lengkapnya mungkin terlihat seperti ini:
Bentuk yang diinginkan dibatasi oleh parabola di atas dan garis lurus di bawah.
Di segmen tersebut, sesuai dengan rumus yang sesuai:
Menjawab:
Contoh 4
Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis , , , .
Solusi: Pertama, mari kita buat gambarnya:
Gambar yang luasnya perlu kita cari diarsir dengan warna biru (perhatikan baik-baik kondisinya - betapa terbatasnya gambar tersebut!). Namun dalam prakteknya, karena kurang perhatian, sering terjadi “kesalahan” sehingga Anda perlu mencari luas bangun yang diarsir warna hijau!
Contoh ini juga berguna karena menghitung luas suatu bangun menggunakan dua integral tertentu.
Benar-benar :
1) Pada ruas di atas sumbu terdapat grafik garis lurus;
2) Pada ruas di atas sumbu terdapat grafik hiperbola.
Jelas sekali bahwa area tersebut dapat (dan harus) ditambahkan, oleh karena itu:
Soal 1 (tentang menghitung luas trapesium lengkung).
Dalam sistem koordinat persegi panjang kartesius xOy, diberikan suatu bangun (lihat gambar) yang dibatasi oleh sumbu x, garis lurus x = a, x = b (a oleh trapesium lengkung. Diperlukan untuk menghitung luas lengkung trapesium.
Larutan. Geometri memberi kita resep untuk menghitung luas poligon dan beberapa bagian lingkaran (sektor, segmen). Dengan menggunakan pertimbangan geometris, kita hanya dapat menemukan nilai perkiraan luas yang dibutuhkan, dengan alasan sebagai berikut.
Mari kita bagi segmen [a; b] (alas trapesium lengkung) menjadi n bagian yang sama; partisi ini dilakukan dengan menggunakan titik x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Mari kita tarik garis lurus melalui titik-titik ini sejajar dengan sumbu y. Kemudian trapesium lengkung yang diberikan akan dibagi menjadi n bagian, menjadi n kolom sempit. Luas seluruh trapesium sama dengan jumlah luas kolom.
Mari kita perhatikan kolom ke-k secara terpisah, mis. trapesium melengkung yang alasnya berupa ruas. Mari kita ganti dengan persegi panjang yang alasnya sama dan tingginya sama dengan f(x k) (lihat gambar). Luas persegi panjang sama dengan \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), dengan \(\Delta x_k \) adalah panjang ruas; Wajar jika produk yang dihasilkan dianggap sebagai nilai perkiraan luas kolom ke-k. 
Jika sekarang kita melakukan hal yang sama dengan semua kolom lainnya, kita akan sampai pada hasil berikut: luas S dari trapesium lengkung tertentu kira-kira sama dengan luas S n dari bangun bertingkat yang terdiri dari n persegi panjang (lihat gambar):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \titik + f(x_k)\Delta x_k + \titik + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Di sini, demi keseragaman notasi, kita asumsikan a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - panjang segmen, \(\Delta x_1 \) - panjang segmen, dll.; dalam hal ini, seperti yang kita sepakati di atas, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Jadi, \(S \kira-kira S_n \), dan persamaan perkiraan ini lebih akurat, semakin besar n.
Menurut definisi, luas trapesium lengkung yang diperlukan sama dengan limit barisan (S n):
$$ S = \lim_(n \hingga \infty) S_n $$
Soal 2 (tentang perpindahan suatu titik)
Bergerak dalam garis lurus poin materi. Ketergantungan kecepatan terhadap waktu dinyatakan dengan rumus v = v(t). Temukan pergerakan suatu titik selama periode waktu [a; B].
Larutan. Jika geraknya seragam, maka masalahnya akan diselesaikan dengan sangat sederhana: s = vt, yaitu. s = v(b-a). Untuk gerakan tidak rata, Anda harus menggunakan ide yang sama yang menjadi dasar solusi masalah sebelumnya.
1) Bagilah selang waktu [a; b] menjadi n bagian yang sama.
2) Perhatikan suatu periode waktu dan asumsikan bahwa selama periode waktu tersebut kecepatannya konstan, sama seperti pada waktu t k. Jadi kita asumsikan bahwa v = v(t k).
3) Mari kita cari nilai perkiraan pergerakan titik selama periode waktu tertentu; kita nyatakan nilai perkiraan ini sebagai s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Temukan perkiraan nilai perpindahan s:
\(s \kira-kira S_n \) dimana
\(S_n = s_0 + \titik + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \titik + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Perpindahan yang diperlukan sama dengan limit barisan (S n):
$$ s = \lim_(n \hingga \infty) S_n $$
Mari kita rangkum. Solusi terhadap berbagai masalah direduksi menjadi model matematika yang sama. Banyak permasalahan dari berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi yang mengarah pada model yang sama dalam proses penyelesaiannya. Artinya model matematika ini harus dipelajari secara khusus.
Konsep integral tertentuMari kita berikan deskripsi matematis dari model yang dibangun dalam tiga soal yang dipertimbangkan untuk fungsi y = f(x), kontinu (tetapi tidak harus non-negatif, seperti yang diasumsikan dalam soal yang dipertimbangkan) pada interval [a; B]:
1) membagi segmen [a; b] menjadi n bagian yang sama;
2) buat jumlah $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) hitung $$ \lim_(n \hingga \infty) S_n $$
Dalam analisis matematis terbukti bahwa limit ini ada pada kasus fungsi kontinu (atau kontinu sepotong-sepotong). Disebut integral tentu dari fungsi y = f(x) pada segmen [a; b] dan dilambangkan sebagai berikut:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Bilangan a dan b disebut limit integrasi (masing-masing bawah dan atas).
Mari kembali ke tugas yang dibahas di atas. Definisi luas yang diberikan pada Soal 1 sekarang dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
disini S adalah luas trapesium lengkung yang ditunjukkan pada gambar di atas. Inilah arti geometri dari integral tertentu.
Definisi perpindahan s suatu titik yang bergerak lurus dengan kecepatan v = v(t) selama periode waktu dari t = a ke t = b, yang diberikan pada Soal 2, dapat ditulis ulang sebagai berikut:
Pertama, mari kita jawab pertanyaannya: apa hubungan antara integral tertentu dan antiturunan?
Jawabannya terdapat pada Soal 2. Di satu sisi, perpindahan s suatu titik yang bergerak lurus dengan kecepatan v = v(t) selama periode waktu dari t = a ke t = b dihitung dengan rumusnya
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Di sisi lain, koordinat suatu titik bergerak merupakan antiturunan untuk kecepatan - mari kita nyatakan s(t); Artinya perpindahan s dinyatakan dengan rumus s = s(b) - s(a). Hasilnya kita mendapatkan:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
dimana s(t) adalah antiturunan dari v(t).
Teorema berikut dibuktikan dalam analisis matematis.
Dalil. Jika fungsi y = f(x) kontinu pada interval [a; b], maka rumus tersebut valid
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
dimana F(x) adalah antiturunan dari f(x).
Rumus di atas biasa disebut rumus Newton-Leibniz untuk menghormati fisikawan Inggris Isaac Newton (1643-1727) dan filsuf Jerman Gottfried Leibniz (1646-1716), yang memperolehnya secara independen satu sama lain dan hampir bersamaan.
Dalam praktiknya, alih-alih menulis F(b) - F(a), mereka menggunakan notasi \(\left.F(x)\right|_a^b \) (terkadang disebut substitusi ganda) dan, karenanya, menulis ulang Newton Rumus -Leibniz dengan cara ini membentuk:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \kiri. F(x)\kanan|_a^b \)
Saat menghitung integral tertentu, cari dulu antiturunannya, lalu lakukan substitusi ganda.
Berdasarkan rumus Newton-Leibniz, kita dapat memperoleh dua sifat integral tertentu.
Sifat 1. Integral jumlah fungsi sama dengan jumlah integral:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Sifat 2. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda integral:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Dengan menggunakan integral, Anda dapat menghitung luas tidak hanya trapesium lengkung, tetapi juga bangun datar dengan tipe yang lebih kompleks, misalnya yang ditunjukkan pada gambar. Gambar P dibatasi oleh garis lurus x = a, x = b dan grafik fungsi kontinu y = f(x), y = g(x), dan pada ruas [a; b] pertidaksamaan \(g(x) \leq f(x) \) berlaku. Untuk menghitung luas S dari gambar tersebut, kita akan melakukan hal berikut:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Jadi, luas S suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis lurus x = a, x = b dan grafik fungsi y = f(x), y = g(x), kontinu pada ruas tersebut dan sedemikian rupa sehingga untuk sembarang x dari ruas tersebut [A; b] pertidaksamaan \(g(x) \leq f(x) \) terpenuhi, dihitung dengan rumus
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)