Konstruksi bagian

Bagian - gambar suatu bangun yang diperoleh dengan membedah secara mental suatu benda dengan bidang datar. Bagian ini hanya menunjukkan apa yang langsung berada di bidang pemotongan.

Bagian yang bukan bagian dibagi menjadi: diperpanjang (Gbr. 27) dan ditumpangkan (Gbr. 28).

Bagian yang diperpanjang lebih disukai dan dapat ditempatkan di celah antara bagian-bagian yang sejenis (Gbr. 29).

Kontur bagian yang diperluas, serta bagian yang termasuk dalam bagian tersebut, digambarkan dengan garis-garis utama padat, dan kontur bagian yang ditumpangkan digambarkan dengan garis-garis tipis padat, dan kontur gambar pada lokasi yang ditumpangkan. bagian tidak terputus (Gbr. 28).

Sumbu simetri bagian yang diperpanjang atau ditumpangkan (Gbr. 28) ditunjukkan dengan garis putus-putus tipis tanpa huruf atau panah.

Dan garis bagian tidak digambar.

DI DALAM kasus serupa dengan yang ditunjukkan pada Gambar. 29, dengan gambar bagian yang simetris, garis bagian tidak digambar.

Dalam semua kasus lainnya, garis terbuka digunakan untuk garis bagian, yang menunjukkan arah pandang dengan panah dan dilambangkan dengan huruf kapital yang sama dari alfabet Rusia. Bagian tersebut disertai dengan tulisan seperti “A - A” (Gbr. 27).

Untuk bagian asimetris yang terletak di celah atau ditumpangkan (Gbr. 30), garis bagian digambar dengan panah, tetapi tidak ditandai dengan huruf. Jika bidang potong melewati sumbu permukaan rotasi yang membatasi lubang atau lekukan, maka kontur lubang atau lekukan pada bagian tersebut diperlihatkan secara lengkap (Gbr. 31).

Elemen detail

Elemen detail- gambar tambahan yang terpisah (biasanya diperbesar) dari setiap bagian suatu objek yang memerlukan penjelasan grafis dan lainnya mengenai bentuk, ukuran, dan data lainnya.

Elemen detail mungkin berisi detail yang tidak ditunjukkan pada gambar terkait, dan mungkin berbeda kontennya (misalnya, gambar mungkin berupa tampilan, dan elemen detail mungkin berupa bagian).

Ketika menggunakan elemen ekstensi tempat yang sesuai ditandai pada tampilan, bagian atau bagian dengan garis tipis padat tertutup - lingkaran, oval, dll. dengan penunjukan elemen pemimpin dengan huruf kapital alfabet Rusia di rak garis pemimpin. Di atas gambar elemen ekstensi, tunjukkan penunjukan dan skala pembuatannya

Elemen jarak jauh ditempatkan dalam gambar sedekat mungkin dengan tempat yang sesuai pada gambar objek.

Konstruksi proyeksi aksonometri

Dalam aksonometri, biasanya dibuat potongan seperempat bagian, dan potongan tersebut tidak selalu mengulangi potongan yang dibuat pada gambar ortogonal. Sudut yang dibentuk oleh bidang pemotongan harus terbuka.

Pada Gambar. 34 – 37 menunjukkan isometri langkah demi langkah suatu bagian dengan

potong ¼ bagian. Untuk kemudahan konstruksi, kita akan berasumsi bahwa bidang bawah bagian tersebut bertepatan dengan bidang proyeksi horizontal, dan sumbu z bertepatan dengan sumbu permukaan kerucut dan silinder.

Beras. 34 Gambar. 35

Beras. 36 Gambar. 37

Kita memulai tugas dengan membuat sumbu aksonometri dan garis besar bangun datar yang diperoleh dengan memotong suatu bagian dengan bidang vertikal yang ditarik sepanjang sumbu simetri bagian tersebut (Gbr. 34).

Kami menandai pusat lingkaran kerucut dan silinder yang terpotong - titik O1, O2, O3, O4 dan membuat proyeksi isometrik dari bagian lingkaran yang tersisa setelah pemotongan (Gbr. 35). Kami selesai membuat garis persegi panjang dari bagian tersebut (Gbr. 36). Setelah mengarsir gambar datar yang terbentuk saat memotong bagian dengan bidang vertikal (menggambar garis arsir sejajar dengan arah yang ditunjukkan pada gambar), kami menelusuri garis luar bagian tersebut (Gbr. 37).

Membangun bagian miring

Penampang miring diperoleh dari perpotongan suatu benda dengan suatu bidang yang membentuk sudut selain sudut siku-siku dengan bidang proyeksi mendatar.

Pada gambar, bagian miring dibuat menurut jenis bagian yang diperpanjang dan sesuai dengan arah yang ditunjukkan oleh panah pada garis bagian. Saat membuat suatu bagian, tidak perlu secara ketat mematuhi hubungan proyeksi antara gambar, di mana jejak bidang potong ditentukan, dan gambar bagian. Bentuk bagiannya bisa diposisikan dimana saja tempat yang nyaman bidang gambar, gbr. 38,b,c. Apalagi jika orientasi bagian pada gambar tidak sesuai dengan arah pandang yang ditunjukkan oleh tanda panah pada guratan garis bagian, maka penunjukan bagian tersebut harus disertai dengan tanda diputar, Gambar. 38, v.

Dalam metode ini, tindakan pertama (setelah menemukan proyeksi sekunder dari titik-titik tersebut) adalah membuat jejak bidang potong pada bidang alas atas atau bawah prisma atau limas terpotong atau pada alas limas.

Kembali 2. Diberikan gambar prisma segitiga ABCA 1 B 1 C 1 dan tiga poinM, N, P, yang terletak masing-masing di tepi CC 1 dan tepian ABB 1 A 1 , SMK 1 B 1 . Bangunlah bagian prisma dengan bidang datar, melewati M, N, P.

Larutan. Kita sudah mempunyai satu titik di alas atas prisma, jadi kita akan membuat jejak di alas atas. Membangun proyeksi titik sekunder N Dan P ke pangkalan atas. Kemudian: 1 .NPN 3 P 3 =X; 2 .MX=P-melacak; 3 .PB 1 C 1 =D.

Tindakan lebih lanjut telah ditunjukkan pada gambar di atas.

Kembali 3. Desember. Kita akan membuat jejak bidang potong di dasar bawah prisma.

Kami membangun:1. MNED=X, MPE.P. 3 =Y;

2. P=XY– jejak;3. PBC=G, PDC=H.

Kita perlu menemukan titik di tepinya BB 1 atau di tepi A A. 1 .

DI DALAM tepian ABB 1 A 1 kita sudah memiliki satu poin P. Oleh karena itu, tepi bawah muka ini, mis. AB, kita lanjutkan sampai persimpangan dengan jalan setapak.

4. ABP=Z.

5. PZA A. 1 =F; PZBB 1 =K.Tindakan lebih lanjut sudah ditunjukkan di atas.

Kalau ternyata garisnya AB tidak bersinggungan dengan jejak, maka yang diinginkan FK juga akan sejajar dengan jalan setapak. Kembali 4. Desember. 1. PNP Hai N o = X;

2. MNCN o = Y;3. P=XY- jejak;

3. CBP=Z;4. ZMSB=E;

5. ENSA=G 6. PERMATA– bagian klaim.

17. Konstruksi bagian silinder.

Jika bidang potong diberikan oleh tiga titik, maka kita selalu dapat menemukan jejaknya pada bidang alas silinder atau kerucut dan titik tersebut ( P, HAI) pada porosnya. Oleh karena itu, kami yakin bahwa bidang potong ditentukan oleh elemen-elemen ini.

DENGAN Kami mulai mempertimbangkan kasus ketika bidang hanya memotong permukaan samping silinder. Maka penampang silindernya adalah elips (;¯ dan bayangannya juga elips. Kita mengetahui cara membuat elips jika kedua diameter konjugasinya diketahui. Sekarang kita akan menunjukkan cara mencari bayangannya dari diameter utama elips (;¯.

Misalkan  dan  1 adalah elips yang mewakili alas bawah dan atas silinder, HAI Dan HAI 1 – pusatnya. Mari kita menggambar diameternya A 3 B 3 alas bawah, sejajar dengan lintasan dan diameter konjugasinya C 3 D 3. Untuk bangunan C 3 D 3 kita menggunakan akord K 3 L 3, salah satu ujungnya termasuk dalam generatrix kontur. Izinkan kami mengingatkan Anda akan hal itu A 3 B 3 dan C 3 D 3 menunjukkan diameter tegak lurus. Ayo lanjutkan C 3 D 3 ke persimpangan dengan jalan setapak. Mari kita cari tahu persisnya X. Lurus. PX disebut sumbu bagian.

Ayo tingkatkan poinnya C 3 dan D 3 ke sumbu bagian. Kita mendapatkan C Dan D. Segmen garis CD adalah gambar dengan diameter penampang besar. Mari kita naikkan segmennya A 3 B 3 ke ketinggian op. Kami mendapatkan segmennya AB, yaitu gambar dengan diameter penampang kecil. Negatif AB Dan CD – kawin dia. elips .

N Temukan lebih banyak titik di mana elips berpindah dari sisi silinder yang terlihat ke sisi silinder yang tidak terlihat, yang berarti garis padat berubah menjadi garis putus-putus. Ini adalah titik perpotongan bidang potong dengan generatris kontur. Membiarkan Y 3 =K 3 L 3 C 3 D 3. Mari kita tingkatkan Y 3 ke sumbu bagian. Mari kita ambil satu poin Y. Mari kita naikkan nadanya K 3 L 3 ke ketinggian Y Y 3. Kami mendapatkan segmennya KL. Kami telah menemukan titik yang diperlukan K, dan sepanjang prosesnya, satu poin tambahan lagi L. Dot M, menggambarkan perpotongan bidang garis potong dengan generatrix kontur kedua yang simetris terhadap titik K relatif terhadap intinya P.Selain itu, kami akan membuat yang tepat N, simetris L titik-relatif P

Mari kita tunjukkan cara mencari sejumlah titik pada suatu bagian tanpa menggunakan diameter ini.

pilih apa saja titik V 3 pada elips . Kami menggambar diameternya V 3 T 3 dan lanjutkan sampai berpotongan dengan jejak, kita paham maksudnya kamu. Meningkatkan poin V 3 dan T 3 menjadi lurus KE ATAS.. Kami mendapat dua poin V Dan T pada bagian tersebut. Memilih sebagai gantinya V 3 poin lagi, kita mendapat 2 poin lagi per bagian. Jika Anda memilih satu poin K 3 terletak pada generatrix kontur, kita akan menemukan titik-titiknya K Dan M, di mana garis padat pada bagian tersebut harus berubah menjadi garis putus-putus.

1. Konsep masalah posisi. Ingatlah bahwa pesawat itu disebut memotong pesawat polihedron jika terdapat titik-titik polihedron pada kedua sisi bidang tersebut. Bagian dari polihedron Bidang adalah poligon yang sisi-sisinya merupakan ruas-ruas sepanjang bidang potong yang memotong permukaan polihedron.

Pada Gambar. 30 menunjukkan prisma segitiga. (Dalam gambar proyeksi ini, gambar titik-titik ditandai dengan huruf yang sama dengan titik aslinya). Bayangkan kita perlu menandai poin-poinnya: a) M, berbaring di pinggir; B) N, berbaring telungkup; c) berbaring di dalam prisma.

Jika kita menggambarkan titik-titik ini seperti yang dilakukan pada Gambar a), maka hanya tentang titik tersebut M secara kasar kita dapat mengatakan bahwa itu terletak di tepian . Posisi titik N Dan K Tidak mungkin untuk menentukan dari gambar ini. Gambar b) sudah memungkinkan kita untuk menyimpulkan bahwa intinya N terletak di wajah, dan intinya adalah

Jika kita menunjukkan bahwa ketika mendesain sejajar dengan tepi lateral prisma, maka titiknya M diproyeksikan ke pangkalan pada suatu titik A, maka kepercayaan diri tersebut muncul.

Situasi serupa ditunjukkan pada Gambar. 31. Di sini Anda perlu menandai poin-poin: a) M di tepi samping S.A.; B) N- di ambang SAB;
V) KE- di dalam piramida. Bedanya, gambar kanan menggunakan proyeksi sentral dari titik-titik yang ditandai pada bidang dasar limas dari puncaknya S.

Untuk memperjelas gambar, dalam contoh yang dibahas perlu menggunakan bukan hanya satu desain, tetapi dua. Desain pertama yang digunakan untuk membuat gambar polihedron disebut luar Desain kedua bersifat tambahan. Ini dikaitkan dengan gambar itu sendiri - ini, sebagai suatu peraturan, adalah proyeksi ke bidang yang berisi salah satu permukaan polihedron. Kami hanya akan membahas prisma dan piramida, dan paling sering memilih bidang alasnya sebagai bidang tersebut. Desain berbantuan disebut intern. Dari contoh yang dipertimbangkan, jelas bahwa untuk prisma akan lebih mudah menggunakan desain paralel internal, dan untuk piramida - pusat.

Membiarkan F 0 – suatu bangun ruang yang diproyeksikan secara paralel ke bidang P(desain luar). Agar gambaran bangunnya terlihat jelas, kita pilih bidang tertentu di ruang selain bidang tersebut P, dan pertimbangkan desain baru, paralel atau tengah, dari titik-titik pada gambar F 0 ke bidang ini (proyeksi internal).

Pertimbangkan suatu titik di ruang angkasa M 0 dan proyeksinya ke bidang hal 0 ¢ selama desain internal. Mari kita proyeksikan kedua titik ini ke dalam bidang P. Dalam hal ini proyeksi M poin M 0 dipanggil dasar(atau sekedar proyeksi), dan proyeksi M¢ titik – sekunder.

Jika untuk suatu hal M 0 angka F Jika proyeksi dan proyeksi sekundernya diketahui, maka dari gambar tersebut kita dapat menilai posisi titik tersebut terhadap aslinya. Dalam hal ini mereka mengatakan itu intinya M 0 milik gambar tersebut F 0 adalah diberikan pada gambar proyeksi. Gambar gambar F 0, di mana setiap titik pada gambar diberikan, disebut penuh.

Dalam gambar proyeksi, sering kali diperlukan pemecahan masalah dalam menemukan perpotongan berbagai gambar. Tugas seperti ini disebut posisional. Jika beberapa gambar sudah lengkap, maka masalah posisi apa pun dapat diselesaikan pada gambar ini.

Sebagai kesimpulan, kami mencatat hal berikut. Jika M 0 ¢ , N 0 ¢, K 0 ¢, ... – gambar titik M 0 , N 0 , K 0 , ... untuk desain internal, lalu untuk gambar desain eksternal (paralel). MM¢, NN¢, KK¢, ... garis sejajar M 0 M 0 ¢, N 0 N 0 ¢, K 0 K 0 ¢, ... di permukaan P juga akan paralel. Jika M 0 ¢, N 0 ¢, K 0 ¢, ... – gambar titik M 0 , N 0 , K 0, ... dengan desain pusat internal dengan pusat S 0 , lalu gambar MM¢, NN¢, KK¢, ... langsung M 0 M 0 ¢, N 0 N 0 ¢, K 0 K 0 ¢, ... selama desain luar berpotongan pada bidang P di satu titik S. Titik ini akan menjadi gambaran titik tersebut S 0 .

Di antara masalah posisi, kami hanya akan tertarik pada masalah yang berkaitan dengan konstruksi bagian poligon. Mari kita pertimbangkan metode utama untuk membangun bagian tersebut. Biasanya, ketika menyelesaikan masalah steremetri, bayangan titik-titik pada gambar proyeksi dilambangkan dengan huruf yang sama dengan titik-titik yang bersesuaian pada gambar aslinya. Kami juga akan mematuhi aturan ini di masa mendatang.

2. Konstruksi penampang berdasarkan sifat-sifat garis dan bidang sejajar. Metode ini terutama sering digunakan ketika membuat bagian paralelepiped. Hal ini dijelaskan oleh fakta bahwa sisi-sisi yang berlawanan dari paralelepiped adalah sejajar. Menurut teorema perpotongan bidang sejajar dengan bidang ketiga, garis perpotongan permukaan sejajar adalah segmen sejajar.

Tugas 1. Dasar piramida segi empat SABCD adalah jajar genjang. Buatlah bagian piramida dengan bidang yang melewati titik yang terletak di sisi sisinya SEBAGAI, sejajar dengan diagonal BD alasan.

Berapa banyak pesawat seperti itu yang bisa dibuat? Bentuk apa saja yang dapat diperoleh pada penampang?

Larutan. Pada bidang dasar piramida kita menggambar garis lurus sembarang A, sejajar dengan diagonal BD. Sebuah pesawat melewati garis dan titik ini A, dan satu-satunya yang seperti itu. Berdasarkan paralelisme garis lurus dan bidang, dan oleh karena itu, bidang A itulah yang kami cari.

Pada bidang alas terdapat banyak sekali garis yang sejajar dengan garis tersebut B.D. oleh karena itu, ada banyak sekali bidang yang memenuhi kondisi permasalahan.

Pada Gambar. 32 menunjukkan berbagai kasus letak garis lurus A relatif terhadap jajaran genjang ABCD. Tentunya, tergantung pada lokasi ini, jenis bagian poligon akan ditentukan.

Di sebelah kiri pada Gambar. 33 Kasus dianggap bila garis lurus A 1 melintasi sisi IKLAN,AB di poin M, N masing-masing, dan terletak pada suatu titik pada setengah ruang yang sama dengan batasnya BSD. Di sini penampangnya adalah segitiga MKN.

Gambar di sebelah kanan menunjukkan kasus ketika garis lurus A 3 terletak dengan sebuah titik pada sisi bidang yang berlawanan BSD dan melintasi sisinya DC, SM pangkalan di titik-titik M, N masing-masing. Mari kita nyatakan dengan X titik potong garis IKLAN Dan A 3 . Karena itu lurus IKLAN terletak pada bidang wajah ASD., maka intinya terletak pada wajah ini X. Di sisi lain, titik X milik garis A 3 tergeletak di bidang pemotongan. Oleh karena itu, garis lurus akan menjadi garis perpotongan bidang potong dan bidang muka ASD. Ini memungkinkan Anda menemukan maksudnya R = SDÇ KX. Demikian pula, sebuah titik memungkinkan Anda membuat sebuah titik TÎ BS bagian yang diinginkan. Dalam kasus yang dipertimbangkan, bidang potong memotong semua permukaan piramida dan bagian tersebut adalah segi lima.

Kasus lain mengenai posisi relatif garis A dan periksa sendiri dasar piramidanya.

Mari pertimbangkan metode khusus untuk membuat bagian.

4. Metode penelusuran. Jika bidang potong tidak sejajar dengan muka polihedron, maka bidang tersebut memotong bidang muka tersebut dalam suatu garis lurus. Garis lurus yang memotong bidang potong dengan bidang muka polihedron disebut mengikuti bidang potong di bidang wajah ini. Salah satu metode pembuatan bagian polihedra didasarkan pada penggunaan jejak bidang potong pada bidang salah satu wajahnya. Paling sering, ketika membangun bagian prisma dan piramida terpotong, bidang alas bawah dipilih sebagai bidang tersebut, dan dalam kasus piramida, bidang alasnya.

Mari kita lihat konstruksi bagian menggunakan metode penelusuran menggunakan contoh.

Tugas 2. Diberikan gambar prisma segi empat ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Tentukan tiga titik milik sisi-sisinya yang berbeda dan buatlah bagian yang melalui ketiga titik tersebut.

Larutan. Ingatlah bahwa untuk menentukan suatu titik dalam gambar proyeksi, perlu ditentukan proyeksi primer dan sekundernya. Dalam kasus prisma, kami sepakat untuk menggunakan desain paralel internal untuk menentukan proyeksi sekunder. Oleh karena itu, untuk menetapkan intinya M, berbaring di wajah ABB 1 A 1, tunjukkan proyeksinya M 1 pada bidang alas yang sejajar dengan tepi sisi prisma. Poinnya ditetapkan dengan cara yang sama N Dan K, berbaring di wajah IKLAN 1 D.A. 1 , CDD 1 C 1 masing-masing (Gbr. 34). Mari kita buat jejak bidang potong pada bidang alas bawah prisma. Garis sejajar MM 1 terletak pada bidang yang sama dan, oleh karena itu, pada umumnya garis lurus berpotongan di suatu titik X. Karena garis lurus terletak pada bidang potong, dan garis lurus terletak pada bidang alas bawah, maka titik X termasuk jejak bidang potong pada bidang alas bawah prisma. Demikian pula poin K, N dan proyeksi sekundernya K 1 , N 1 memungkinkan Anda menemukan poin kedua Y, milik jejak yang diinginkan.

Lurus AB, berbaring di wajah ABB 1 A 1, melintasi jalan setapak XY pada intinya Z, oleh karena itu lurus MZ terletak pada bidang wajah ABB 1 A 1 dan di bidang garis potong. Segmen garis TR, Di mana T=MZÇ A A. 1 , P=MZÇ BB 1 akan menjadi sisi poligon bagian. Selanjutnya, kita membangun sisi-sisinya secara berurutan TR Dan RQ, melewati titik-titik ini N Dan K masing-masing. Terakhir, kami membangun sisinya PQ.

Masalah 3 . Diberikan gambar piramida pentagonal SABCDE. Tetapkan poin N Dan K, milik tepi lateral S.C., SD sesuai dengan intinya M, berbaring di wajah ASE. Buatlah bagian yang melalui titik-titik tertentu.

Larutan. Untuk menetapkan poin K,N Dan M Mari kita gunakan proyeksi pusat internal dengan pusat di bagian atas piramida. Dalam hal ini, proyeksi titik K Dan N akan ada titik-titik D Dan C, dan proyeksi titiknya M– titik (Gbr. 35).

Garis dan letak pada bidang pada umumnya berpotongan di suatu titik X, tergeletak di pesawat pemotongan. Di sisi lain, titik X terletak pada bidang alas, dan oleh karena itu, termasuk dalam jejak bidang potong pada bidang alas. Poin kedua dari jejak yang diinginkan akan menjadi intinya. Lurus AE, berbaring di wajah ASE piramida, melintasi jalan setapak XY pada intinya Z. Menggambar garis lurus ZM, temukan sisinya LP bagian poligon. Untuk mencari titik sudut suatu penampang, kita buatlah sebuah titik dan kemudian sebuah garis lurus.

5. Metode desain internal. Inti dari metode ini adalah bahwa di sini, dengan menggunakan proyeksi internal, titik-titik bagian dicari berdasarkan proyeksi sekundernya yang diketahui. Metode desain internal sangat nyaman digunakan dalam kasus di mana jejak bidang pemotongan jauh dari gambar yang diberikan. Cara ini juga sangat diperlukan bila beberapa garis yang memuat sisi-sisi alas polihedron memotong jejak di luar gambar. Mari kita lihat penerapan metode ini dengan menggunakan contoh.

Soal 4. Diberikan bayangan prisma heksagonal dan tiga titik yang terletak pada tiga sisi sisinya, tidak ada dua titik yang berdekatan. Bangunlah bagian prisma dengan bidang yang melalui titik-titik tertentu.

Larutan. Biarkan poin yang diberikan M,L,K berbaring di wajah , , , dan M¢,L¢,K¢– proyeksi sekunder mereka
(Gbr. 36).

Mari kita cari titik di mana bidang potong memotong sisi samping. Untuk melakukan ini, dengan menggunakan proyeksi internal suatu titik, kita menemukan proyeksi utama X, tergeletak di pesawat pemotongan. Titik yang dicari X adalah titik potong garis yang melalui titik tersebut X¢ sejajar dengan tepi lateral prisma, dan lurus M.L., tergeletak di pesawat pemotongan. Dot X memungkinkan Anda membangun titik sudut dan kemudian sisi QR bagian. Demikian pula, dengan menggunakan titik, kita membuat sebuah titik Y, lurus KY dan temukan yang teratas R bagian. Selanjutnya, sisi-sisinya dibangun PQ Dan PO. bagian.

Kami melakukan konstruksi lainnya dalam urutan berikut:

1) membangun sebuah poin Z¢=AK¢Ç BD;

2) temukan intinya Z (ZÎ hal);

3) kami melakukan direct ONS dan temukan yang teratas S (SÎ DD 1) bagian;

4) membangun sisi-sisinya secara berurutan S.R.,ST Dan KE bagian.

Masalah 5 . Diberikan gambar piramida segi empat dan tiga titik yang terletak di tepi lateralnya. Buatlah bagian yang melalui titik-titik tertentu.

Larutan. Membiarkan S.A.B.C.D. piramida ini, dan M,N, K– data titik (Gbr. 37). Proyeksi titik sekunder M, N, K dalam proyeksi pusat interior dari atas S titik pada bidang dasar A, C Dan D masing-masing. Perhatikan bahwa dalam soal ini sisi dan buku bagian segera dibangun. Yang tersisa hanyalah menemukan titik puncak bagian tersebut L, berbaring di tepi samping S.B.. Untuk melakukan ini, kita akan membuat sebuah titik dan “menaikkannya” ke bidang potong menggunakan proyeksi internal. Gambaran awal suatu titik X¢ dalam hal ini desain sentral akan menjadi intinya X=X¢SÇ M N. Puncak L, milik edge S.B., terletak pada garis lurus KX.

6. Metode gabungan. Inti dari metode ini adalah menggabungkan metode penelusuran atau metode desain internal dengan konstruksi berdasarkan sifat-sifat garis dan bidang sejajar.

Perhatikan contoh berikut.

Soal 6. Poin M adalah titik tengah tepi IKLAN Kuba ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Bangunlah bagian kubus yang bidangnya melalui suatu titik M sejajar dengan diagonalnya ВD alas dan diagonal AB 1 tepi samping A A 1 DI DALAM 1 DI DALAM.

Larutan. Memotong pesawat A sejajar dengan diagonalnya BD alas dan melalui titik tersebut M, juga terletak pada alas, sehingga memotong alas pada suatu garis lurus
(Gbr. 38).

Lurus aku akan menjadi jejak pesawat A pada bidang alas bawah kubus. Mari kita nyatakan . Melacak M pesawat A di bidang muka ABB 1 A 1 dibangun dengan cara yang sama. Jejak ini melewati titik tersebut N, paralel AB 1 . Mari kita nyatakan .

Anda dapat terus membuat bagian tersebut tanpa harus melakukannya metode khusus. Namun, kami akan menggunakan metode penelusuran. Biarlah lurus Matahari melintasi jalan setapak aku pada intinya X. Poin X dan pesawat yang diinginkan A juga berbaring di bidang wajah VSS 1 DI DALAM 1 . Mari kita nyatakan dengan L titik potong suatu garis dan suatu rusuk DI DALAM 1 DENGAN 1 . Selanjutnya, akan lebih mudah untuk menggunakan teorema tentang perpotongan dua bidang sejajar dengan bidang ketiga. Berdasarkan teorema ini, . Di Sini RÎ DD 1 ,PÎ C 1 D 1 .

Buktikan bahwa segi enam yang diperoleh pada bagian tersebut beraturan.

Gambar lingkaran

1. Elips dan sifat-sifatnya. Saat menggambarkan silinder, kerucut dan bola (bola), kita harus menggambar elips. Elips dapat didefinisikan cara yang berbeda. Mari kita kurangi definisinya dengan mengompresi bidang menjadi garis lurus.

Jika sebuah lingkaran, garis lurus yang melalui pusatnya, dan rasio kompresi diberikan, dengan menggunakan definisi di atas, mudah untuk membuat gambar titik mana pun pada lingkaran tersebut. Dengan membuat beberapa titik gambar dan menghubungkannya dengan garis halus, Anda dapat menggambar elips, yaitu gambar lingkaran.

Oks sehingga porosnya Sapi bertepatan dengan kompresi langsung aku, dan permulaan TENTANG adalah pusat lingkaran w radius A(Gbr. 40). Dalam sistem koordinat ini, lingkaran w ditentukan oleh persamaan: atau

Artinya setiap titik yang koordinatnya memenuhi persamaan (1) termasuk dalam lingkaran w, dan suatu titik yang koordinatnya tidak memenuhi (1) tidak termasuk dalam titik tersebut.

Membiarkan adalah rasio kompresi, adalah titik sembarang pada bidang, dan M 0 – proyeksinya ke garis aku. Ketika dikompresi ke suatu titik M pergi ke titik seperti itu . Karena itu lurus MM 1 sejajar dengan sumbu Oi, lalu , dan proyeksinya M 0 titik-titik ini pada garis kompresi Sapi ditentukan oleh koordinatnya.

Dari sini, . Oleh karena itu, rumus kompresinya berbentuk

Sebaliknya, rumus (2) menentukan kompresi bidang terhadap sumbu Sapi dengan rasio kompresi , di mana intinya menuju ke titik .

Dari rumus tersebut, . Mengganti X Dan kamu ke dalam persamaan (1), kita peroleh: . Artinya koordinat titiknya M 1, yang merupakan bayangan suatu titik pada lingkaran, memenuhi persamaan tersebut

Di mana . Ini adalah persamaan dalam sistem Oks mendefinisikan elips G, yang diperoleh dengan mengompresi lingkaran w ke sumbu Sapi. Ingatlah bahwa persamaan (3) disebut persamaan kanonik elips.

Dengan menggunakan persamaan kanonik elips, Anda dapat mempelajari sifat geometrisnya. Mari kita mengingat kembali beberapa konsep yang berhubungan dengan elips dan sifat-sifatnya.

Biarkan elips G diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang dengan persamaan kanonik (3). Karena X Dan kamu masuk ke persamaan ini sampai derajat kedua, kita dapat menarik kesimpulan sebagai berikut.

Jika , maka О G(Gbr. 41). Berikut ini asal usulnya TENTANG adalah pusat simetri elips. Pusat simetri elips disebut elips tengah.

Jika kemudian , . Ini mengikuti garis lurus Sapi Dan Oi adalah sumbu simetri elips. Sumbu simetri elips disebut sumbunya sumbu. Masing-masing sumbu memotong elips di dua titik. Sumbu Sapi mempunyai persamaan , maka dari persamaan (3) untuk absis titik-titiknya A 1 , Sebuah 2 kami memiliki persimpangan. Dari sini A 1 (A;0), A 2 (–A;0). Demikian pula, kita menemukan sumbu itu Oi memotong elips di titik-titik DI DALAM 1 (0;B) Dan DI DALAM 2 (0;–B). Titik potong elips dengan sumbunya disebut puncak elips. Segmen A 1 A 2 dan DI DALAM 1 DI DALAM 2 juga menelepon sumbu elips. Pusat elips TENTANG adalah titik tengah umum dari masing-masing segmen ini.

Perhatikan bahwa untuk , kita punya . Pada kasus ini A 1 A 2 >B 1 B 2 dan segmen A 1 A 2 , B 1 B 2 diberi nama yang sesuai sumbu mayor dan minor elips. Dalam hal ini, nomor-nomor tersebut dipanggil sesuai sumbu mayor dan minor elips. Sebaliknya, ketika . Di sini nama sumbu berubah.

Mari kita perhatikan persamaan parametrik elips dan metode membangun titik-titik elips berdasarkan persamaan tersebut.

Biarkan segmennya A 1 A 2 dan DI DALAM 1 DI DALAM 2 adalah sumbu elips. Mari kita buat lingkaran konsentris pada mereka, seperti pada diameter. w 1 dan w 2 masing-masing (Gbr. 42). Pertimbangkan sinarnya H dimulai dari suatu titik TENTANG. Sinar ini memotong lingkaran w 1 dan w 2 di titik M 1 dan M 2. Melalui intinya M 1 tariklah garis lurus yang sejajar dengan sumbu minor DI DALAM 1 DI DALAM 2, dan melalui titik M 2 – garis lurus sejajar sumbu mayor A 1 A 2. Mari kita tunjukkan maksudnya M perpotongan garis-garis ini termasuk dalam elips dengan sumbu tertentu.

Mari kita pilih sistem koordinat persegi panjang Oks dimulai dari suatu titik TENTANG. Biarlah ada benarnya dalam sistem ini M mempunyai koordinat ( X;kamu). Selanjutnya, biarkan sinarnya H bentuk dengan sinar OA 1 sudut T. Jika kemudian , . Sejak poinnya M Dan M 1 mempunyai absis dan poin yang sama M Dan M 2 – ordinat yang sama,

Dari persamaan (4) , , oleh karena itu, berdasarkan identitas trigonometri utama kita punya, yaitu titik yang dibangun milik elips dengan sumbu semi A Dan B.

Untuk nilai berapa pun TÎ}