Cara menyelesaikan nilai terbesar suatu fungsi. Nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi

Biarkan fungsinya kamu =F(X) kontinu pada interval [ a, b]. Seperti diketahui, fungsi tersebut mencapai nilai maksimum dan minimumnya pada segmen ini. Fungsi tersebut dapat mengambil nilai-nilai ini baik di titik dalam segmen [ a, b], atau pada batas segmen.

Mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada ruas [ a, b] diperlukan:

1) temukan titik kritis fungsi tersebut pada interval ( a, b);

2) menghitung nilai fungsi pada titik kritis yang ditemukan;

3) menghitung nilai fungsi pada ujung-ujung ruas, yaitu kapan X=A dan x = B;

4) dari semua nilai fungsi yang dihitung, pilih yang terbesar dan terkecil.

Contoh. Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi

pada segmen tersebut.

Menemukan poin-poin penting:

Titik-titik ini terletak di dalam segmen; kamu(1) = ‒ 3; kamu(2) = ‒ 4; kamu(0) = ‒ 8; kamu(3) = 1;

pada intinya X= 3 dan pada intinya X= 0.

Mempelajari fungsi konveksitas dan titik belok.

Fungsi kamu = F (X) ditelepon cembung diantara (A, B) , jika grafiknya terletak di bawah garis singgung yang ditarik pada titik mana pun dalam interval ini, dan disebut cembung ke bawah (cekung), jika grafiknya terletak di atas garis singgung.

Titik dimana konveksitas digantikan oleh cekungan atau sebaliknya disebut titik belok.

Algoritma pemeriksaan konveksitas dan titik belok:

1. Carilah titik-titik kritis jenis kedua, yaitu titik-titik yang turunan keduanya sama dengan nol atau tidak ada.

2. Gambarkan titik-titik kritis pada garis bilangan, bagi menjadi beberapa interval. Temukan tanda turunan kedua pada setiap interval; jika , maka fungsinya cembung ke atas, jika , maka fungsinya cembung ke bawah.

3. Jika ketika melewati suatu titik kritis jenis kedua tandanya berubah dan pada titik tersebut turunan keduanya sama dengan nol, maka titik tersebut adalah absis titik belok. Temukan ordinatnya.

Asimtot grafik suatu fungsi. Studi tentang fungsi asimtot.

Definisi. Asimtot grafik suatu fungsi disebut lurus, yang mempunyai sifat bahwa jarak dari titik mana pun pada grafik ke garis ini cenderung nol karena titik pada grafik bergerak tanpa batas dari titik asal.

Ada tiga jenis asimtot: vertikal, horizontal dan miring.

Definisi. Garis lurus disebut asimtot vertikal grafik fungsi kamu = f(x), jika setidaknya salah satu batas satu sisi fungsi pada titik ini sama dengan tak terhingga, yaitu

dimana adalah titik diskontinuitas fungsi tersebut, artinya tidak termasuk dalam domain definisi.

Contoh.

D ( kamu) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

X= 2 – titik istirahat.

Definisi. Lurus kamu =A ditelepon asimtot horizontal grafik fungsi kamu = f(x) di , jika

Contoh.

Definisi. Lurus kamu =kx+B (k≠ 0) dipanggil asimtot miring grafik fungsi kamu = f(x) dimana

Skema umum untuk mempelajari fungsi dan membuat grafik.

Algoritma Penelitian Fungsikamu = f(x) :

1. Temukan domain dari fungsi tersebut D (kamu).

2. Temukan (jika mungkin) titik potong grafik dengan sumbu koordinat (jika X= 0 dan pada kamu = 0).

3. Periksa kegenapan dan keanehan fungsi tersebut ( kamu (‒ X) = kamu (X) ‒ keseimbangan; kamu(‒ X) = ‒ kamu (X) ‒ aneh).

4. Temukan asimtot grafik fungsi tersebut.

5. Temukan interval monotonisitas fungsi tersebut.

6. Temukan ekstrem dari fungsi tersebut.

7. Tentukan interval kecembungan (concavity) dan titik belok grafik fungsi.

8. Berdasarkan penelitian yang dilakukan, buatlah grafik fungsi tersebut.

Contoh. Jelajahi fungsinya dan buat grafiknya.

1) D (kamu) =

X= 4 – titik istirahat.

2) Kapan X = 0,

(0; ‒ 5) – titik potong dengan Oh.

Pada kamu = 0,

3) kamu(‒ X)= fungsi pandangan umum(tidak genap maupun ganjil).

4) Kami memeriksa asimtotnya.

a) vertikal

b) horisontal

c) temukan asimtot miring di mana

‒persamaan asimtot miring

5) Dalam persamaan ini tidak perlu mencari interval monotonisitas suatu fungsi.

6)

Titik kritis ini membagi seluruh domain definisi fungsi ke dalam interval (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) dan (10; +∞). Lebih mudah untuk menyajikan hasil yang diperoleh dalam bentuk tabel berikut.

Bagaimana cara mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada suatu segmen?

Untuk ini kami mengikuti algoritma yang terkenal:

1 . Menemukan fungsi ODZ.

2 . Menemukan turunan dari fungsi tersebut

3 . Menyamakan turunannya dengan nol

4 . Kami menemukan interval di mana turunan mempertahankan tandanya, dan dari interval tersebut kami menentukan interval kenaikan dan penurunan fungsi:

Jika pada interval I turunan fungsinya adalah 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} meningkat selama interval ini.

Jika pada interval I turunan dari fungsi tersebut , maka fungsi tersebut menurun selama interval ini.

5 . Kami menemukan titik maksimum dan minimum dari fungsi tersebut.

DI DALAM pada titik maksimum fungsi tersebut, turunannya berubah tanda dari “+” menjadi “-”.

DI DALAM titik minimum dari fungsi tersebutturunannya berubah tanda dari "-" menjadi "+".

6 . Kami menemukan nilai fungsi di ujung segmen,

• kemudian kita bandingkan nilai fungsi di ujung ruas dan di titik maksimum, dan pilih yang terbesar jika Anda perlu menemukannya nilai tertinggi fungsi
• atau bandingkan nilai fungsi di ujung segmen dan di titik minimum, dan pilih yang terkecil jika Anda ingin mencari nilai fungsi terkecil

Namun, bergantung pada bagaimana fungsi berperilaku pada segmen tersebut, algoritme ini dapat dikurangi secara signifikan.

Pertimbangkan fungsinya . Grafik fungsi ini terlihat seperti ini:

Mari kita lihat beberapa contoh penyelesaian masalah dari Open Task Bank untuk

1 . Tugas B15 (No. 26695)

Di segmen tersebut.

1. Fungsi tersebut didefinisikan untuk semua nilai riil x

Jelas sekali persamaan ini tidak memiliki solusi, dan turunannya positif untuk semua nilai x. Akibatnya, fungsi tersebut bertambah dan mengambil nilai terbesar di ujung kanan interval, yaitu pada x=0.

Jawaban: 5.

2 . Tugas B15 (No. 26702)

Temukan nilai terbesar dari fungsi tersebut pada segmen tersebut.

1. Fungsi ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(dalam)(bbZ)">!}

Turunannya sama dengan nol di , namun pada titik-titik ini tidak berubah tanda:

Oleh karena itu, judul="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} meningkat dan mengambil nilai terbesar di ujung kanan interval, di .

Untuk memperjelas mengapa turunan tidak berubah tanda, kita ubah ekspresi turunannya menjadi berikut:

Judul="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Jawaban: 5.

3. Tugas B15 (No. 26708)

Temukan nilai terkecil dari fungsi pada segmen tersebut.

1. Fungsi ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Mari kita tempatkan akar-akar persamaan ini pada lingkaran trigonometri.

Interval berisi dua angka: dan

Mari kita memasang tanda. Untuk melakukannya, kita tentukan tanda turunannya di titik x=0: . Ketika melewati titik dan, turunannya berubah tanda.

Mari kita gambarkan perubahan tanda turunan suatu fungsi pada garis koordinat:

Jelasnya, titik tersebut adalah titik minimum (yang turunannya berubah tanda dari “-” menjadi “+”), dan untuk mencari nilai fungsi terkecil pada ruas tersebut, Anda perlu membandingkan nilai fungsi di titik minimum dan di ujung kiri segmen, .

Proses pencarian nilai terkecil dan terbesar suatu fungsi pada suatu segmen mengingatkan pada penerbangan menarik mengelilingi suatu objek (grafik fungsi) dengan helikopter, menembakkan meriam jarak jauh pada titik-titik tertentu dan memilih sangat titik khusus dari titik ini untuk tembakan kontrol. Poin dipilih dengan cara tertentu dan menurut aturan tertentu. Berdasarkan aturan apa? Kami akan membicarakan hal ini lebih lanjut.

Jika fungsinya kamu = F(X) kontinu pada interval [ A, B] , lalu mencapai segmen ini paling sedikit Dan nilai tertinggi . Ini bisa terjadi di dalam titik ekstrem, atau di ujung segmen. Oleh karena itu, untuk menemukan paling sedikit Dan nilai terbesar dari fungsi tersebut , kontinu pada interval [ A, B] , Anda perlu menghitung nilainya secara keseluruhan poin kritis dan di ujung ruas, lalu pilih yang terkecil dan terbesar.

Misalnya, Anda ingin menentukan nilai terbesar suatu fungsi F(X) pada segmen [ A, B] . Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukan semua titik kritisnya di [ A, B] .

Titik kritis disebut titik di mana fungsi ditentukan, dan dia turunan sama dengan nol atau tidak ada. Maka Anda harus menghitung nilai fungsi pada titik kritis. Dan terakhir, kita harus membandingkan nilai fungsi pada titik kritis dan di ujung segmen ( F(A) Dan F(B)). Yang terbesar dari angka-angka ini adalah nilai fungsi terbesar pada segmen tersebut [A, B] .

Masalah penemuan nilai fungsi terkecil .

Kami mencari nilai terkecil dan terbesar dari fungsi tersebut bersama-sama

Contoh 1. Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen tersebut [-1, 2] .

Larutan. Temukan turunan dari fungsi ini. Mari kita samakan turunannya dengan nol () dan dapatkan dua titik kritis: dan . Untuk mencari nilai terkecil dan terbesar suatu fungsi pada suatu segmen tertentu, cukup dengan menghitung nilainya di ujung-ujung segmen dan di suatu titik, karena titik tersebut bukan milik segmen tersebut [-1, 2]. Nilai fungsi tersebut adalah: , , . Oleh karena itu nilai fungsi terkecil(ditunjukkan dengan warna merah pada grafik di bawah), sama dengan -7, dicapai di ujung kanan segmen - di titik , dan terbesar(juga berwarna merah pada grafik), sama dengan 9, - pada titik kritis.

Jika suatu fungsi kontinu dalam interval tertentu dan interval ini bukan merupakan suatu segmen (tetapi, misalnya, suatu interval; perbedaan antara suatu interval dan suatu segmen: titik-titik batas dari interval tersebut tidak termasuk dalam interval tersebut, tetapi titik-titik batas ruas tersebut termasuk dalam ruas tersebut), maka di antara nilai-nilai fungsinya tidak boleh ada yang terkecil dan terbesar. Jadi, misalnya fungsi pada gambar di bawah kontinu pada ]-∞, +∞[ dan tidak mempunyai nilai terbesar.

Namun, untuk interval apa pun (tertutup, terbuka, atau tak terhingga), sifat fungsi kontinu berikut ini benar.

Contoh 4. Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen tersebut [-1, 3] .

Larutan. Kami menemukan turunan dari fungsi ini sebagai turunan dari hasil bagi:

.

Kita menyamakan turunannya dengan nol, yang memberi kita satu titik kritis: . Itu milik segmen [-1, 3] . Untuk mencari nilai terkecil dan terbesar suatu fungsi pada suatu segmen tertentu, kita mencari nilainya di ujung segmen dan pada titik kritis yang ditemukan:

Mari kita bandingkan nilai-nilai ini. Kesimpulan: sama dengan -5/13, di titik dan nilai tertinggi sama dengan 1 di titik .

Kami terus mencari nilai terkecil dan terbesar dari fungsi tersebut bersama-sama

Ada guru yang pada topik mencari nilai terkecil dan terbesar suatu fungsi tidak memberikan contoh penyelesaian yang lebih kompleks kepada siswa dari yang baru saja dibahas, yaitu yang fungsinya polinomial atau a. pecahan yang pembilang dan penyebutnya adalah polinomial. Namun kami tidak akan membatasi diri pada contoh-contoh tersebut, karena di kalangan guru ada yang suka memaksa siswa untuk berpikir utuh (tabel turunan). Oleh karena itu, fungsi logaritma dan trigonometri akan digunakan.

Contoh 6. Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen tersebut .

Larutan. Kami menemukan turunan dari fungsi ini sebagai turunan dari produk tersebut :

Kami menyamakan turunannya dengan nol, yang memberikan satu titik kritis: . Itu milik segmen tersebut. Untuk mencari nilai terkecil dan terbesar suatu fungsi pada suatu segmen tertentu, kita mencari nilainya di ujung segmen dan pada titik kritis yang ditemukan:

Hasil dari semua tindakan: fungsi mencapai nilai minimumnya, sama dengan 0, di titik dan di titik dan nilai tertinggi, setara e², pada intinya.

Contoh 7. Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen tersebut .

Larutan. Temukan turunan dari fungsi ini:

Kami menyamakan turunannya dengan nol:

Satu-satunya titik kritis adalah milik segmen tersebut. Untuk mencari nilai terkecil dan terbesar suatu fungsi pada suatu segmen tertentu, kita mencari nilainya di ujung segmen dan pada titik kritis yang ditemukan:

Kesimpulan: fungsi mencapai nilai minimumnya, sama dengan , pada titik dan nilai tertinggi, sama , pada intinya .

Dalam masalah ekstrem yang diterapkan, mencari nilai terkecil (maksimum) suatu fungsi, biasanya, dilakukan dengan mencari nilai minimum (maksimum). Namun bukan nilai minimum atau maksimum itu sendiri yang memiliki kepentingan praktis yang lebih besar, melainkan nilai-nilai argumen yang menjadi dasar pencapaiannya. Saat memecahkan masalah terapan, kesulitan tambahan muncul - menyusun fungsi yang menggambarkan fenomena atau proses yang sedang dipertimbangkan.

Contoh 8. Sebuah tangki berkapasitas 4 orang, berbentuk paralelepiped dengan alas persegi dan terbuka di bagian atas, harus dikalengkan. Berapa ukuran tangki yang seharusnya agar jumlah bahan yang digunakan untuk menutupinya paling sedikit?

Larutan. Membiarkan X- sisi dasar, H- tinggi tangki, S- luas permukaannya tanpa penutup, V- volumenya. Luas permukaan tangki dinyatakan dengan rumus yaitu. adalah fungsi dari dua variabel. Untuk mengekspresikan S sebagai fungsi dari satu variabel, kita menggunakan fakta bahwa, dari mana. Mengganti ekspresi yang ditemukan H ke dalam rumus untuk S:

Mari kita periksa fungsi ini secara ekstrem. Itu didefinisikan dan dapat dibedakan di mana saja di ]0, +∞[ , dan

.

Kita samakan turunannya dengan nol () dan cari titik kritisnya. Selain itu, jika turunannya tidak ada, tetapi nilainya tidak termasuk dalam domain definisi sehingga tidak dapat menjadi titik ekstrem. Jadi, ini adalah satu-satunya titik kritis. Mari kita periksa keberadaan ekstremnya menggunakan tanda cukup kedua. Mari kita cari turunan keduanya. Ketika turunan keduanya lebih besar dari nol (). Artinya ketika fungsinya mencapai minimum . Sejak ini minimum adalah satu-satunya ekstrem dari fungsi ini, ini adalah nilai terkecilnya. Jadi, sisi dasar tangki harus 2 m dan tinggi tangki harus .

Contoh 9. Dari titik A terletak di jalur kereta api, sampai ke titik DENGAN, terletak agak jauh darinya aku, kargo harus diangkut. Biaya pengangkutan satu satuan berat per satuan jarak dengan kereta api sama dengan , dan melalui jalan raya sama dengan . Sampai pada titik apa M garis kereta api jalan raya harus dibangun untuk mengangkut kargo A V DENGAN adalah yang paling ekonomis (bagian AB rel kereta api diasumsikan lurus)?

Mari kita lihat cara memeriksa suatu fungsi menggunakan grafik. Ternyata dengan melihat grafik tersebut kita bisa mengetahui semua hal yang menarik perhatian kita, yaitu:

• domain suatu fungsi
• rentang fungsi
• fungsi nol
• interval kenaikan dan penurunan
• poin maksimum dan minimum
• nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada suatu segmen.

Mari kita perjelas terminologinya:

Absis adalah koordinat horizontal suatu titik.
Ordinat- koordinat vertikal.
Sumbu absis- sumbu horizontal, paling sering disebut sumbu.
sumbu Y- sumbu vertikal, atau sumbu.

Argumen- variabel independen yang menjadi sandaran nilai fungsi. Paling sering ditunjukkan.
Dengan kata lain, kita memilih , mengganti fungsi ke dalam rumus dan mendapatkan .

Domain fungsi - himpunan nilai argumen (dan hanya itu) yang fungsinya ada.
Ditunjukkan oleh: atau .

Pada gambar kita, domain definisi fungsi adalah segmen. Di segmen inilah grafik fungsi digambar. Ini adalah satu-satunya tempat di mana fungsi ini ada.

Rentang Fungsi adalah himpunan nilai yang diambil suatu variabel. Dalam gambar kami, ini adalah segmen - dari nilai terendah hingga tertinggi.

Fungsi nol- titik di mana nilai fungsinya nol, yaitu. Dalam gambar kami ini adalah poin dan .

Nilai fungsinya positif Di mana . Pada gambar kita, ini adalah interval dan .
Nilai fungsi negatif Di mana . Bagi kami, ini adalah interval (atau interval) dari ke .

Konsep yang paling penting - fungsi naik dan turun pada beberapa set. Sebagai suatu himpunan, Anda dapat mengambil suatu segmen, interval, gabungan interval, atau seluruh garis bilangan.

Fungsi meningkat

Dengan kata lain, semakin , semakin banyak, artinya grafiknya bergerak ke kanan dan ke atas.

Fungsi berkurang pada suatu himpunan jika untuk sembarang dan termasuk dalam himpunan tersebut, maka pertidaksamaan tersebut berarti pertidaksamaan .

Untuk fungsi menurun, nilai yang lebih besar berarti nilai yang lebih kecil. Grafiknya mengarah ke kanan dan ke bawah.

Pada gambar kita, fungsi bertambah pada interval dan berkurang pada interval dan .

Mari kita definisikan apa itu titik maksimum dan minimum dari fungsi tersebut.

Poin maksimal- ini adalah titik internal dari domain definisi, sehingga nilai fungsi di dalamnya lebih besar daripada di semua titik yang cukup dekat dengannya.
Dengan kata lain, titik maksimum adalah titik dimana nilai fungsi tersebut berada lagi daripada di negara tetangga. Ini adalah “bukit” lokal pada grafik.

Pada gambar kita ada titik maksimal.

Poin minimal- titik dalam domain definisi, sehingga nilai fungsi di dalamnya lebih kecil daripada di semua titik yang cukup dekat dengannya.
Artinya, titik minimumnya sedemikian rupa sehingga nilai fungsi di dalamnya lebih kecil dibandingkan di tetangganya. Ini adalah “lubang” lokal pada grafik.

Ada titik minimum dalam gambar kami.

Intinya adalah batasnya. Ini bukan merupakan titik internal dari domain definisi dan oleh karena itu tidak sesuai dengan definisi titik maksimum. Lagi pula, dia tidak punya tetangga di sebelah kiri. Dengan cara yang sama, pada grafik kita tidak boleh ada titik minimum.

Poin maksimum dan minimum bersama-sama disebut titik ekstrem dari fungsi tersebut. Dalam kasus kami ini adalah dan .

Apa yang harus dilakukan jika Anda perlu mencari, misalnya, fungsi minimal di segmen tersebut? Dalam hal ini jawabannya adalah: . Karena fungsi minimal adalah nilainya pada titik minimum.

Demikian pula, fungsi maksimum kita adalah . Hal ini tercapai pada titik .

Kita dapat mengatakan bahwa ekstrem dari fungsi tersebut sama dengan dan .

Terkadang masalah memerlukan penemuan nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada segmen tertentu. Hal-hal tersebut belum tentu sejalan dengan hal-hal ekstrem.

Dalam kasus kami nilai fungsi terkecil pada segmen tersebut sama dengan dan berimpit dengan fungsi minimum. Namun nilai terbesarnya pada segmen ini adalah . Itu dicapai di ujung kiri segmen.

Bagaimanapun, nilai terbesar dan terkecil dari fungsi kontinu pada suatu segmen dicapai baik pada titik ekstrem atau di ujung segmen.