Cara menyelesaikan persamaan rasional dengan benar. "menyelesaikan persamaan rasional pecahan"

Mari kita lanjutkan pembicaraannya menyelesaikan persamaan. Pada artikel ini kita akan membahas secara detail persamaan rasional dan prinsip penyelesaian persamaan rasional dengan satu variabel. Pertama, mari kita cari tahu jenis persamaan apa yang disebut rasional, berikan definisi persamaan rasional utuh dan persamaan rasional pecahan, dan berikan contohnya. Selanjutnya, kita akan mendapatkan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional, dan, tentu saja, kita akan mempertimbangkan solusi dari contoh-contoh tipikal dengan semua penjelasan yang diperlukan.

Navigasi halaman.

Berdasarkan definisi di atas, kami memberikan beberapa contoh persamaan rasional. Misalnya, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , semuanya merupakan persamaan rasional.

Dari contoh yang diberikan terlihat jelas bahwa persamaan rasional, maupun persamaan jenis lainnya, bisa dengan satu variabel, atau dengan dua, tiga, dan seterusnya. variabel. Pada paragraf berikut kita akan membahas tentang penyelesaian persamaan rasional dengan satu variabel. Memecahkan persamaan dalam dua variabel dan jumlah mereka yang besar patut mendapat perhatian khusus.

Selain membagi persamaan rasional dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui, persamaan tersebut juga dibagi menjadi bilangan bulat dan pecahan. Mari kita berikan definisi yang sesuai.

Definisi.

Persamaan rasional disebut utuh, jika ruas kiri dan kanannya merupakan ekspresi rasional bilangan bulat.

Definisi.

Jika paling sedikit salah satu bagian persamaan rasional merupakan ekspresi pecahan, maka persamaan tersebut disebut rasional secara fraksional(atau rasional pecahan).

Jelas bahwa persamaan utuh tidak memuat pembagian dengan variabel, sebaliknya persamaan rasional pecahan harus memuat pembagian dengan variabel (atau variabel dalam penyebutnya). Jadi 3 x+2=0 dan (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5– ini adalah persamaan rasional utuh, kedua bagiannya merupakan ekspresi utuh. A dan x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 adalah contoh persamaan rasional pecahan.

Sebagai penutup poin ini, mari kita perhatikan fakta bahwa persamaan linier dan persamaan kuadrat yang diketahui sampai saat ini adalah persamaan rasional keseluruhan.

Memecahkan seluruh persamaan

Salah satu pendekatan utama untuk menyelesaikan seluruh persamaan adalah dengan mereduksinya menjadi persamaan yang setara persamaan aljabar. Hal ini selalu dapat dilakukan dengan melakukan transformasi persamaan ekuivalen berikut:

• pertama, ekspresi dari ruas kanan persamaan bilangan bulat asli dipindahkan ke ruas kiri yang bertanda berlawanan untuk mendapatkan nol di ruas kanan;
• setelah ini, di sisi kiri persamaan hasilnya tampilan standar.

Hasilnya adalah persamaan aljabar yang ekuivalen dengan persamaan bilangan bulat aslinya. Jadi, dalam kasus paling sederhana, penyelesaian seluruh persamaan direduksi menjadi penyelesaian persamaan linier atau kuadrat, dan dalam kasus umum, hingga penyelesaian persamaan aljabar derajat n. Untuk lebih jelasnya, mari kita lihat solusinya dengan menggunakan contoh.

Contoh.

Temukan akar seluruh persamaan 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Larutan.

Mari kita reduksi solusi seluruh persamaan ini menjadi solusi persamaan aljabar ekuivalen. Untuk melakukan ini, pertama-tama kita pindahkan ekspresi dari ruas kanan ke kiri, sebagai hasilnya kita sampai pada persamaannya 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. Dan kedua, kita mengubah ekspresi yang dibentuk di sisi kiri menjadi polinomial bentuk standar dengan menyelesaikan yang diperlukan: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Jadi, menyelesaikan persamaan bilangan bulat asli direduksi menjadi menyelesaikan persamaan kuadrat x 2 −5·x−6=0.

Kami menghitung diskriminannya D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, bernilai positif, artinya persamaan tersebut mempunyai dua akar real, yang dicari menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat:

Untuk benar-benar yakin, mari kita lakukan memeriksa akar persamaan yang ditemukan. Pertama kita periksa akar 6, gantikan variabel x ke persamaan bilangan bulat asli: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, yang sama, 63=63. Ini adalah persamaan numerik yang valid, oleh karena itu x=6 memang merupakan akar persamaan tersebut. Sekarang kita periksa root −1, kita punya 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, dari mana, 0=0 . Jika x=−1, persamaan awal juga berubah menjadi persamaan numerik yang benar, oleh karena itu, x=−1 juga merupakan akar persamaan.

Menjawab:

6 , −1 .

Di sini perlu juga diperhatikan bahwa istilah “derajat seluruh persamaan” dikaitkan dengan representasi seluruh persamaan dalam bentuk persamaan aljabar. Mari kita berikan definisi yang sesuai:

Definisi.

Kekuatan seluruh persamaan disebut derajat persamaan aljabar ekuivalen.

Menurut definisi ini, seluruh persamaan dari contoh sebelumnya mempunyai derajat kedua.

Ini bisa menjadi akhir dari penyelesaian seluruh persamaan rasional, jika bukan karena satu hal…. Seperti diketahui, menyelesaikan persamaan aljabar derajat di atas derajat kedua dikaitkan dengan kesulitan yang signifikan, dan untuk persamaan derajat di atas derajat keempat tidak ada rumus akar umum sama sekali. Oleh karena itu, untuk menyelesaikan seluruh persamaan derajat ketiga, keempat, dan derajat yang lebih tinggi, sering kali perlu menggunakan metode penyelesaian lain.

Dalam kasus seperti itu, pendekatan untuk menyelesaikan seluruh persamaan rasional berdasarkan metode faktorisasi. Dalam hal ini, algoritma berikut dipatuhi:

• pertama, mereka memastikan bahwa ada angka nol di ruas kanan persamaan, untuk melakukan ini, mereka memindahkan ekspresi dari ruas kanan seluruh persamaan ke kiri;
• kemudian, ekspresi yang dihasilkan di sisi kiri disajikan sebagai produk dari beberapa faktor, yang memungkinkan kita beralih ke himpunan beberapa persamaan yang lebih sederhana.

Algoritma yang diberikan untuk menyelesaikan seluruh persamaan melalui faktorisasi memerlukan penjelasan rinci dengan menggunakan contoh.

Contoh.

Selesaikan seluruh persamaan (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Larutan.

Pertama, seperti biasa, kita pindahkan ekspresi dari ruas kanan ke ruas kiri persamaan, jangan lupa mengubah tandanya, kita peroleh (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Di sini cukup jelas bahwa tidak disarankan untuk mengubah ruas kiri persamaan yang dihasilkan menjadi polinomial bentuk standar, karena ini akan menghasilkan persamaan aljabar bentuk derajat keempat. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, solusinya sulit.

Di sisi lain, jelas bahwa di ruas kiri persamaan yang dihasilkan kita dapat x 2 −10 x+13 , sehingga menyajikannya sebagai hasil kali. Kita punya (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Persamaan yang dihasilkan setara dengan persamaan utuh aslinya, dan selanjutnya dapat diganti dengan satu set dua persamaan kuadrat x 2 −10·x+13=0 dan x 2 −2·x−1=0. Menemukan akar-akarnya menggunakan rumus akar yang diketahui melalui diskriminan tidaklah sulit; akar-akarnya sama. Mereka adalah akar-akar yang diinginkan dari persamaan awal.

Menjawab:

Juga berguna untuk menyelesaikan seluruh persamaan rasional metode untuk memperkenalkan variabel baru. Dalam beberapa kasus, ini memungkinkan Anda berpindah ke persamaan yang derajatnya lebih rendah dari derajat seluruh persamaan aslinya.

Contoh.

Temukan akar real dari persamaan rasional (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Larutan.

Mereduksi seluruh persamaan rasional ini menjadi persamaan aljabar, secara halus, bukanlah ide yang baik, karena dalam kasus ini kita perlu menyelesaikan persamaan derajat keempat yang tidak memiliki akar rasional. Oleh karena itu, Anda harus mencari solusi lain.

Di sini mudah untuk melihat bahwa Anda dapat memasukkan variabel baru y dan mengganti ekspresi x 2 +3·x dengan variabel tersebut. Penggantian ini membawa kita ke seluruh persamaan (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , yang, setelah memindahkan ekspresi −2·(y−4) ke ruas kiri dan transformasi ekspresi selanjutnya terbentuk di sana, direduksi menjadi persamaan kuadrat y 2 +4·y+3=0. Akar persamaan y=−1 dan y=−3 mudah ditemukan, misalnya dapat dipilih berdasarkan teorema kebalikan dari teorema Vieta.

Sekarang kita beralih ke bagian kedua dari metode memasukkan variabel baru, yaitu melakukan penggantian terbalik. Setelah melakukan substitusi terbalik, kita memperoleh dua persamaan x 2 +3 x=−1 dan x 2 +3 x=−3, yang dapat ditulis ulang menjadi x 2 +3 x+1=0 dan x 2 +3 x+3 =0 . Dengan menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat, kita mencari akar-akar persamaan pertama. Dan persamaan kuadrat kedua tidak memiliki akar real, karena diskriminannya negatif (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Menjawab:

Secara umum, ketika kita berhadapan dengan seluruh persamaan derajat tinggi, kita harus selalu siap mencari metode non-standar atau teknik buatan untuk menyelesaikannya.

Memecahkan persamaan rasional pecahan

Pertama, akan berguna untuk memahami cara menyelesaikan persamaan rasional pecahan berbentuk , di mana p(x) dan q(x) adalah ekspresi rasional bilangan bulat. Dan kemudian kami akan menunjukkan cara mereduksi solusi persamaan rasional pecahan lainnya menjadi solusi persamaan tipe yang ditunjukkan.

Salah satu pendekatan untuk menyelesaikan persamaan ini didasarkan pada pernyataan berikut: pecahan numerik u/v, di mana v adalah bilangan bukan nol (jika tidak, kita akan menemukan , yang tidak terdefinisi), sama dengan nol jika dan hanya jika pembilangnya adalah sama dengan nol, maka adalah, jika dan hanya jika u=0 . Berdasarkan pernyataan ini, penyelesaian persamaan dikurangi menjadi pemenuhan dua kondisi p(x)=0 dan q(x)≠0.

Kesimpulan ini sesuai dengan berikut ini algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan. Untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan berbentuk , Anda memerlukan

• selesaikan seluruh persamaan rasional p(x)=0 ;
• dan periksa apakah kondisi q(x)≠0 terpenuhi untuk setiap akar yang ditemukan, sementara
• jika benar, maka akar ini adalah akar persamaan aslinya;
• jika tidak terpenuhi, maka akar tersebut asing, artinya bukan akar persamaan aslinya.

Mari kita lihat contoh penggunaan algoritma yang diumumkan saat menyelesaikan persamaan rasional pecahan.

Contoh.

Temukan akar persamaannya.

Larutan.

Ini adalah persamaan rasional pecahan, dan berbentuk , di mana p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Menurut algoritma penyelesaian persamaan rasional pecahan jenis ini, pertama-tama kita perlu menyelesaikan persamaan 3 x−2=0. Ini adalah persamaan linier yang akarnya x=2/3.

Tetap memeriksa root ini, yaitu memeriksa apakah memenuhi kondisi 5 x 2 −2≠0. Kita substitusikan bilangan 2/3 ke dalam persamaan 5 x 2 −2 sebagai pengganti x, dan kita peroleh . Syaratnya terpenuhi, jadi x=2/3 adalah akar persamaan awal.

Menjawab:

2/3 .

Anda dapat menyelesaikan persamaan rasional pecahan dari posisi yang sedikit berbeda. Persamaan ini ekuivalen dengan persamaan bilangan bulat p(x)=0 pada variabel x persamaan awal. Artinya, Anda bisa tetap berpegang pada ini algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan :

• selesaikan persamaan p(x)=0 ;
• temukan ODZ variabel x;
• mengambil akar yang termasuk dalam wilayah nilai yang dapat diterima - itu adalah akar yang diinginkan dari persamaan rasional pecahan asli.

Misalnya, mari kita selesaikan persamaan rasional pecahan menggunakan algoritma ini.

Contoh.

Selesaikan persamaannya.

Larutan.

Pertama, kita selesaikan persamaan kuadrat x 2 −2·x−11=0. Akar-akarnya dapat dihitung menggunakan rumus akar untuk koefisien kedua genap yang kita miliki D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, Dan .

Kedua, kita mencari ODZ variabel x untuk persamaan aslinya. Terdiri dari semua bilangan yang x 2 +3·x≠0, yang sama dengan x·(x+3)≠0, sehingga x≠0, x≠−3.

Tinggal memeriksa apakah akar yang ditemukan pada langkah pertama termasuk dalam ODZ. Jelas ya. Oleh karena itu, persamaan rasional pecahan asli memiliki dua akar.

Menjawab:

Perhatikan bahwa pendekatan ini lebih menguntungkan daripada pendekatan pertama jika ODZ mudah ditemukan, dan khususnya bermanfaat jika akar-akar persamaan p(x) = 0 tidak rasional, misalnya, atau rasional, tetapi dengan pembilang yang agak besar dan /atau penyebut, misalnya 127/1101 dan −31/59. Hal ini disebabkan fakta bahwa dalam kasus seperti itu, memeriksa kondisi q(x)≠0 akan memerlukan upaya komputasi yang signifikan, dan lebih mudah untuk mengecualikan akar asing menggunakan ODZ.

Dalam kasus lain, saat menyelesaikan persamaan, terutama jika akar persamaan p(x) = 0 adalah bilangan bulat, akan lebih menguntungkan jika menggunakan algoritma pertama yang diberikan. Artinya, disarankan untuk segera mencari akar-akar persamaan p(x)=0, lalu memeriksa apakah kondisi q(x)≠0 terpenuhi, daripada mencari ODZ, lalu menyelesaikan persamaan tersebut p(x)=0 pada ODZ ini. Hal ini disebabkan fakta bahwa dalam kasus seperti itu biasanya lebih mudah untuk memeriksa daripada menemukan DZ.

Mari kita pertimbangkan solusi dari dua contoh untuk menggambarkan nuansa yang ditentukan.

Contoh.

Temukan akar persamaannya.

Larutan.

Pertama, mari kita cari akar-akar persamaannya (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, disusun menggunakan pembilang pecahan. Ruas kiri persamaan ini adalah hasil kali, dan ruas kanannya adalah nol, oleh karena itu menurut cara penyelesaian persamaan melalui faktorisasi, persamaan ini ekuivalen dengan himpunan empat persamaan 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Tiga dari persamaan ini linier dan satu persamaan kuadrat; kita dapat menyelesaikannya. Dari persamaan pertama kita menemukan x=1/2, dari persamaan kedua - x=6, dari persamaan ketiga - x=7, x=−2, dari persamaan keempat - x=−1.

Jika akar-akarnya ditemukan, cukup mudah untuk memeriksa apakah penyebut pecahan di ruas kiri persamaan awal hilang, tetapi sebaliknya, menentukan ODZ tidak sesederhana itu, karena untuk ini Anda harus menyelesaikan sebuah persamaan aljabar derajat kelima. Oleh karena itu, kami akan mengabaikan pencarian ODZ demi memeriksa akarnya. Untuk melakukan ini, kita menggantinya satu per satu sebagai pengganti variabel x dalam ekspresi x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, diperoleh setelah substitusi, dan bandingkan dengan nol: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Jadi, 1/2, 6 dan −2 adalah akar-akar yang diinginkan dari persamaan rasional pecahan asli, dan 7 dan −1 adalah akar-akar asing.

Menjawab:

1/2 , 6 , −2 .

Contoh.

Temukan akar persamaan rasional pecahan.

Larutan.

Pertama, mari kita cari akar persamaannya (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Persamaan ini setara dengan himpunan dua persamaan: kuadrat 5 x 2 −7 x−1=0 dan linier x−2=0. Dengan menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat, kita menemukan dua akar, dan dari persamaan kedua kita mendapatkan x=2.

Memeriksa apakah penyebutnya menjadi nol pada nilai x yang ditemukan cukup tidak menyenangkan. Dan menentukan kisaran nilai yang diizinkan dari variabel x dalam persamaan aslinya cukup sederhana. Oleh karena itu, kami akan bertindak melalui ODZ.

Dalam kasus kita, ODZ variabel x dari persamaan rasional pecahan asli terdiri dari semua bilangan kecuali bilangan yang memenuhi kondisi x 2 +5·x−14=0. Akar persamaan kuadrat ini adalah x=−7 dan x=2, yang darinya kita menarik kesimpulan tentang ODZ: ODZ terdiri dari semua x sedemikian rupa sehingga .

Tetap memeriksa apakah akar yang ditemukan dan x=2 termasuk dalam kisaran nilai yang dapat diterima. Akar-akar tersebut termasuk, oleh karena itu, merupakan akar-akar persamaan awal, dan x=2 tidak termasuk, oleh karena itu, merupakan akar asing.

Menjawab:

Akan berguna juga untuk membahas secara terpisah kasus-kasus ketika dalam bentuk persamaan rasional pecahan terdapat bilangan pada pembilangnya, yaitu ketika p(x) diwakili oleh suatu bilangan. Di mana

• jika bilangan ini bukan nol, maka persamaan tersebut tidak mempunyai akar, karena suatu pecahan sama dengan nol jika dan hanya jika pembilangnya sama dengan nol;
• jika bilangan ini nol, maka akar persamaannya adalah bilangan apa pun dari ODZ.

Contoh.

Larutan.

Karena pembilang pecahan di ruas kiri persamaan mengandung bilangan bukan nol, maka untuk sembarang x nilai pecahan tersebut tidak boleh sama dengan nol. Oleh karena itu, persamaan ini tidak mempunyai akar.

Menjawab:

tidak ada akar.

Contoh.

Selesaikan persamaannya.

Larutan.

Pembilang pecahan di sebelah kiri persamaan rasional pecahan ini mengandung nol, sehingga nilai pecahan ini adalah nol untuk setiap x yang masuk akal. Dengan kata lain, solusi persamaan ini adalah nilai x apa pun dari ODZ variabel ini.

Masih menentukan kisaran nilai yang dapat diterima. Ini mencakup semua nilai x yang x 4 +5 x 3 ≠0. Penyelesaian persamaan x 4 +5 x 3 =0 adalah 0 dan −5, karena persamaan ini ekuivalen dengan persamaan x 3 (x+5)=0, dan ekuivalen dengan kombinasi dua persamaan x 3 =0 dan x +5=0, dari tempat akar-akar tersebut terlihat. Oleh karena itu, rentang nilai yang dapat diterima yang diinginkan adalah sembarang x kecuali x=0 dan x=−5.

Jadi, persamaan rasional pecahan mempunyai banyak solusi yang tak terhingga, yaitu bilangan apa pun kecuali nol dan minus lima.

Menjawab:

Terakhir, saatnya berbicara tentang penyelesaian persamaan rasional pecahan dalam bentuk sembarang. Mereka dapat ditulis sebagai r(x)=s(x), di mana r(x) dan s(x) adalah ekspresi rasional, dan setidaknya salah satunya adalah pecahan. Ke depan, katakanlah solusi mereka direduksi menjadi penyelesaian persamaan bentuk yang sudah kita kenal.

Diketahui bahwa perpindahan suatu suku dari suatu bagian persamaan ke bagian persamaan yang lain yang bertanda berlawanan akan menghasilkan persamaan ekuivalen, oleh karena itu persamaan r(x)=s(x) ekuivalen dengan persamaan r(x)−s(x )=0.

Kita juga tahu bahwa sembarang , yang identik dengan ungkapan ini, adalah mungkin. Jadi, kita selalu dapat mengubah ekspresi rasional di sisi kiri persamaan r(x)−s(x)=0 menjadi pecahan rasional yang identik dalam bentuk .

Jadi kita beralih dari persamaan rasional pecahan awal r(x)=s(x) ke persamaan tersebut, dan penyelesaiannya, seperti yang kita temukan di atas, direduksi menjadi penyelesaian persamaan p(x)=0.

Namun di sini perlu diperhitungkan fakta bahwa ketika mengganti r(x)−s(x)=0 dengan , dan kemudian dengan p(x)=0, kisaran nilai yang diizinkan dari variabel x dapat diperluas .

Akibatnya, persamaan awal r(x)=s(x) dan persamaan p(x)=0 yang kita peroleh mungkin menjadi tidak sama, dan dengan menyelesaikan persamaan p(x)=0, kita bisa mendapatkan akar-akarnya itu akan menjadi akar asing dari persamaan asli r(x)=s(x) . Anda dapat mengidentifikasi dan tidak memasukkan akar-akar asing dalam jawaban dengan melakukan pemeriksaan atau dengan memeriksa apakah akar-akar tersebut termasuk dalam ODZ persamaan asli.

Mari kita rangkum informasi ini algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan r(x)=s(x). Untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan r(x)=s(x) , Anda perlu

• Dapatkan nol di sebelah kanan dengan memindahkan ekspresi dari sisi kanan dengan tanda berlawanan.
• Lakukan operasi dengan pecahan dan polinomial di sisi kiri persamaan, sehingga mengubahnya menjadi bentuk pecahan rasional.
• Selesaikan persamaan p(x)=0.
• Identifikasi dan hilangkan akar-akar asing, yang dilakukan dengan mensubstitusikannya ke dalam persamaan asli atau dengan memeriksa apakah akar-akar tersebut termasuk dalam ODZ persamaan asli.

Untuk lebih jelasnya, kami akan menunjukkan seluruh rantai penyelesaian persamaan rasional pecahan:
.

Mari kita lihat solusi dari beberapa contoh dengan penjelasan rinci tentang proses solusi untuk memperjelas blok informasi yang diberikan.

Contoh.

Memecahkan persamaan rasional pecahan.

Larutan.

Kami akan bertindak sesuai dengan algoritma solusi yang baru saja diperoleh. Dan pertama-tama kita pindahkan suku-suku dari ruas kanan persamaan ke kiri, sebagai hasilnya kita beralih ke persamaan.

Pada langkah kedua, kita perlu mengubah ekspresi rasional pecahan di sisi kiri persamaan yang dihasilkan menjadi bentuk pecahan. Untuk melakukan ini, kita mengurangi pecahan rasional menjadi penyebut yang sama dan menyederhanakan ekspresi yang dihasilkan: . Jadi kita sampai pada persamaannya.

Pada langkah selanjutnya, kita perlu menyelesaikan persamaan −2·x−1=0. Kami menemukan x=−1/2.

Masih harus diperiksa apakah bilangan yang ditemukan −1/2 bukan merupakan akar asing dari persamaan aslinya. Untuk melakukan ini, Anda dapat memeriksa atau mencari VA dari variabel x dari persamaan awal. Mari kita tunjukkan kedua pendekatan tersebut.

Mari kita mulai dengan memeriksa. Kita substitusikan bilangan −1/2 ke dalam persamaan awal dan bukan variabel x, dan kita mendapatkan hasil yang sama, −1=−1. Substitusi ini menghasilkan persamaan numerik yang benar, jadi x=−1/2 adalah akar persamaan awal.

Sekarang kami akan menunjukkan bagaimana poin terakhir dari algoritma dilakukan melalui ODZ. Kisaran nilai yang diperbolehkan dari persamaan awal adalah himpunan semua bilangan kecuali −1 dan 0 (pada x=−1 dan x=0 penyebut pecahannya hilang). Akar x=−1/2 yang ditemukan pada langkah sebelumnya termasuk dalam ODZ, oleh karena itu, x=−1/2 adalah akar persamaan awal.

Menjawab:

−1/2 .

Mari kita lihat contoh lainnya.

Contoh.

Temukan akar persamaannya.

Larutan.

Kita perlu menyelesaikan persamaan rasional pecahan, mari kita melalui semua langkah algoritmanya.

Pertama, kita pindahkan suku dari sisi kanan ke kiri, kita peroleh .

Kedua, kita mengubah ekspresi yang terbentuk di sisi kiri: . Hasilnya, kita sampai pada persamaan x=0.

Akarnya jelas - nol.

Pada langkah keempat, masih harus dicari apakah akar yang ditemukan asing dengan persamaan rasional pecahan asli. Ketika disubstitusikan ke persamaan awal, diperoleh ekspresi. Jelas tidak masuk akal karena mengandung pembagian dengan nol. Oleh karena itu kita menyimpulkan bahwa 0 adalah akar asing. Oleh karena itu, persamaan aslinya tidak memiliki akar.

7, yang mengarah ke Persamaan. Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa penyebut ruas kiri harus sama dengan penyebut ruas kanan, yaitu . Sekarang kita kurangi kedua sisi tripelnya: . Dengan analogi, dari mana, dan selanjutnya.

Pemeriksaan menunjukkan bahwa kedua akar yang ditemukan merupakan akar persamaan rasional pecahan asli.

Menjawab:

Bibliografi.

• Aljabar: buku pelajaran untuk kelas 8. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8. Pukul 14.00 Bagian 1. Buku Ajar untuk Siswa lembaga pendidikan/ A.G. Mordkovich. - Edisi ke-11, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Aljabar: kelas 9: mendidik. untuk pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2009. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Smirnova Anastasia Yurievna

Jenis pelajaran: pelajaran mempelajari materi baru.

Bentuk organisasi kegiatan pendidikan : depan, individu.

Tujuan pelajaran: untuk memperkenalkan jenis persamaan baru - persamaan rasional pecahan, untuk memberikan gambaran tentang algoritma penyelesaian persamaan rasional pecahan.

Tujuan pelajaran.

Pendidikan:

• pembentukan konsep persamaan rasional pecahan;
• pertimbangkan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan, termasuk syarat pecahan sama dengan nol;
• mengajarkan penyelesaian persamaan rasional pecahan dengan menggunakan algoritma.

Pembangunan:

• menciptakan kondisi untuk mengembangkan keterampilan dalam menerapkan pengetahuan yang diperoleh;
• mempromosikan pengembangan minat kognitif siswa terhadap mata pelajaran;
• mengembangkan kemampuan siswa dalam menganalisis, membandingkan dan menarik kesimpulan;
• pengembangan keterampilan saling mengendalikan dan mengendalikan diri, perhatian, ingatan, ucapan lisan dan tulisan, kemandirian.

Mendidik:

• menumbuhkan minat kognitif terhadap mata pelajaran;
• menumbuhkan kemandirian dalam memecahkan masalah pendidikan;
• memupuk kemauan dan ketekunan untuk mencapai hasil akhir.

Peralatan: buku teks, papan tulis, krayon.

Buku teks "Aljabar 8". Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova, diedit oleh S.A. Telyakovsky. Moskow "Pencerahan". 2010

Lima jam dialokasikan untuk topik ini. Ini adalah pelajaran pertama. Hal utama adalah mempelajari algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan dan mempraktikkan algoritma ini dalam latihan.

Selama kelas

1. Momen organisasi.

Hallo teman-teman! Hari ini saya ingin memulai pelajaran kita dengan syair:
Untuk membuat hidup lebih mudah bagi semua orang,
Apa yang akan diputuskan, apa yang mungkin,
Tersenyumlah, semoga sukses untuk semuanya,
Agar tidak ada masalah,
Kami tersenyum satu sama lain dan menciptakan suasana hati yang baik dan mulai bekerja.

Ada persamaan yang tertulis di papan tulis, perhatikan baik-baik. Bisakah kamu menyelesaikan semua persamaan ini? Mana yang tidak dan mengapa?

Persamaan yang ruas kiri dan kanannya merupakan ekspresi rasional pecahan disebut persamaan rasional pecahan. Menurut Anda apa yang akan kita pelajari di kelas hari ini? Merumuskan topik pelajaran. Jadi, bukalah buku catatanmu dan tuliskan topik pelajaran “Menyelesaikan persamaan rasional pecahan”.

2. Memperbarui pengetahuan. Survei frontal, pekerjaan lisan dengan kelas.

Dan sekarang kita akan mengulangi materi teori utama yang kita perlukan untuk mempelajari topik baru. Silakan jawab pertanyaan-pertanyaan berikut:

1. Apa itu persamaan? ( Kesetaraan dengan variabel atau variabel.)
2. Apa nama persamaan nomor 1? ( Linier.) Suatu metode untuk menyelesaikan persamaan linear. ( Pindahkan semua bilangan yang tidak diketahui ke ruas kiri persamaan, semua bilangan ke kanan. Berikan istilah serupa. Temukan faktor yang tidak diketahui).
3. Apa nama persamaan nomor 3? ( Persegi.) Metode penyelesaian persamaan kuadrat. (P tentang rumus)
4. Apa itu proporsi? ( Kesetaraan dua rasio.) Sifat utama proporsi. ( Jika proporsinya benar, maka hasil kali suku ekstrimnya sama dengan hasil kali suku tengahnya.)
5. Properti apa yang digunakan saat menyelesaikan persamaan? ( 1. Jika Anda memindahkan suatu suku dalam suatu persamaan dari satu bagian ke bagian lain, mengubah tandanya, Anda akan mendapatkan persamaan yang setara dengan persamaan yang diberikan. 2. Jika kedua ruas persamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan bukan nol yang sama, maka diperoleh persamaan yang ekuivalen dengan bilangan yang diberikan.)
6. Kapan pecahan sama dengan nol? ( Pecahan sama dengan nol jika pembilangnya nol dan penyebutnya bukan nol..)

3. Penjelasan materi baru.

Selesaikan persamaan No. 2 di buku catatan Anda dan di papan tulis.

Menjawab: 10.

Persamaan rasional pecahan apa yang dapat kamu coba selesaikan dengan menggunakan sifat dasar proporsi? (Nomor 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Selesaikan persamaan No. 4 di buku catatan Anda dan di papan tulis.

Menjawab: 1,5.

Persamaan rasional pecahan apa yang dapat kamu selesaikan dengan mengalikan kedua ruas persamaan tersebut dengan penyebutnya? (No.6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Menjawab: 3;4.

Kita akan melihat penyelesaian persamaan seperti persamaan No. 7 dalam pelajaran berikut.

Jelaskan mengapa ini terjadi? Mengapa ada tiga akar dalam satu kasus dan dua akar dalam kasus lainnya? Berapakah akar-akar persamaan rasional pecahan tersebut?

Sampai saat ini siswa belum menemukan konsep akar asing, bahkan sangat sulit bagi mereka untuk memahami mengapa hal tersebut terjadi. Jika tidak ada seorang pun di kelas yang dapat memberikan penjelasan yang jelas tentang situasi ini, maka guru akan mengajukan pertanyaan-pertanyaan yang mengarahkan.

• Apa perbedaan persamaan no 2 dan 4 dengan persamaan no 5 dan 6? ( Dalam persamaan No. 2 dan 4 ada angka dalam penyebut, No. 5-6 - ekspresi dengan variabel.)
• Apa akar persamaan? ( Nilai variabel yang persamaannya menjadi benar.)
• Bagaimana cara mengetahui apakah suatu bilangan merupakan akar persamaan? ( Lakukan pemeriksaan.)

Saat pengujian, beberapa siswa memperhatikan bahwa mereka harus membagi dengan nol. Mereka menyimpulkan bahwa angka 0 dan 5 bukanlah akar persamaan tersebut. Timbul pertanyaan: apakah ada cara untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan yang memungkinkan kita menghilangkan kesalahan ini? Ya, cara ini didasarkan pada syarat pecahan sama dengan nol.

Mari kita coba merumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan dengan cara ini. Anak-anak merumuskan sendiri algoritmanya.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan:

1. Pindahkan semuanya ke sisi kiri.
2. Kurangi pecahan menjadi penyebut yang sama.
3. Buatlah sistem: pecahan sama dengan nol jika pembilangnya sama dengan nol dan penyebutnya tidak sama dengan nol.
4. Selesaikan persamaannya.
5. Periksa pertidaksamaan untuk mengecualikan akar-akar asing.
6. Tuliskan jawabannya.

4. Pemahaman awal materi baru.

Bekerja berpasangan. Siswa memilih sendiri cara menyelesaikan persamaan tergantung pada jenis persamaannya. Tugas dari buku teks “Aljabar 8”, Yu.N. Makarychev, 2007: No.600(b,c); Nomor 601(a,e). Guru memantau penyelesaian tugas, menjawab setiap pertanyaan yang muncul, dan memberikan bantuan kepada siswa yang berprestasi rendah. Tes mandiri: jawaban ditulis di papan tulis.

b) 2 - akar asing. Jawaban: 3.

c) 2 - akar asing. Jawaban: 1.5.

a) Jawaban: -12.5.

5. Menetapkan pekerjaan rumah.

1. Baca paragraf 25 dari buku teks, analisis contoh 1-3.
2. Pelajari algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan.
3. Selesaikan dalam buku catatan No. 600 (d, d); No.601(g,h).

6. Menyimpulkan pelajaran.

Jadi, hari ini dalam pelajaran kita berkenalan dengan persamaan rasional pecahan, belajar bagaimana menyelesaikan persamaan tersebut cara yang berbeda. Terlepas dari cara Anda menyelesaikan persamaan rasional pecahan, apa yang harus Anda ingat? Apa yang dimaksud dengan “liciknya” persamaan rasional pecahan?

Terima kasih semuanya, pelajaran sudah selesai.

Presentasi dan pembelajaran dengan topik: "Persamaan rasional. Algoritma dan contoh penyelesaian persamaan rasional"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, ulasan, keinginan Anda! Semua materi telah diperiksa oleh program anti-virus.

Alat peraga dan simulator pendidikan di toko online Integral untuk kelas 8
Sebuah manual untuk buku teks oleh Makarychev Yu.N. Manual untuk buku teks oleh Mordkovich A.G.

Pengantar Persamaan Irasional

Misalkan $r(x)$ menjadi ekspresi rasional. Ekspresi tersebut dapat berupa polinomial sederhana dalam variabel $x$ atau rasio polinomial (operasi pembagian diperkenalkan, seperti untuk bilangan rasional).
Persamaan $r(x)=0$ disebut persamaan rasional.
Persamaan apa pun yang berbentuk $p(x)=q(x)$, dengan $p(x)$ dan $q(x)$ adalah ekspresi rasional, juga akan menjadi persamaan rasional.

Mari kita lihat contoh penyelesaian persamaan rasional.

Larutan.
Mari kita pindahkan semua ekspresi ke sisi kiri: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Jika ruas kiri persamaan diwakili oleh bilangan biasa, maka kita akan mereduksi kedua pecahan tersebut menjadi penyebut yang sama.
Mari kita lakukan ini: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Kita mendapatkan persamaannya: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Suatu pecahan sama dengan nol jika dan hanya jika pembilang pecahan tersebut nol dan penyebutnya bukan nol. Kemudian kita secara terpisah menyamakan pembilangnya dengan nol dan mencari akar-akar pembilangnya.
$3(x^2+2x-3)=0$ atau $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Sekarang mari kita periksa penyebut pecahan: $(x-3)*x≠0$.
Hasil kali dua bilangan sama dengan nol jika paling sedikit salah satu bilangan tersebut sama dengan nol. Kemudian: $x≠0$ atau $x-3≠0$.
$x≠0$ atau $x≠3$.
Akar-akar yang diperoleh pada pembilang dan penyebutnya tidak berhimpitan. Jadi kita tuliskan kedua akar pembilangnya pada jawaban.
Jawaban: $x=1$ atau $x=-3$.

Jika tiba-tiba salah satu akar pembilangnya bertepatan dengan akar penyebutnya, maka harus dikeluarkan. Akar seperti itu disebut asing!

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional:

Contoh 2.
Selesaikan persamaan: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Larutan.
Mari kita selesaikan sesuai dengan poin-poin algoritma.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Samakan pembilangnya dengan nol: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Samakan penyebutnya dengan nol:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ dan $x=-1$.
Salah satu akar $x=1$ berimpit dengan akar pembilangnya, maka kita tidak menuliskannya pada jawaban.
Jawaban: $x=-1$.

Lebih mudah untuk menyelesaikan persamaan rasional menggunakan metode perubahan variabel. Mari kita tunjukkan ini.

Contoh 3.
Selesaikan persamaan: $x^4+12x^2-64=0$.

Larutan.
Mari kita perkenalkan penggantinya: $t=x^2$.
Maka persamaan kita akan berbentuk:
$t^2+12t-64=0$ - persamaan kuadrat biasa.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; $4.
Mari kita perkenalkan substitusi terbalik: $x^2=4$ atau $x^2=-16$.
Akar persamaan pertama adalah sepasang bilangan $x=±2$. Hal kedua adalah tidak memiliki akar.
Jawaban: $x=±2$.

Contoh 4.
Selesaikan persamaan: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Larutan.
Mari kita perkenalkan variabel baru: $t=x^2+x+1$.
Maka persamaannya akan berbentuk: $t=\frac(15)(t+2)$.
Selanjutnya kita akan melanjutkan sesuai algoritma.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2.$\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3.$t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; $3.
4. $t≠-2$ - akar-akarnya tidak berhimpitan.
Mari kita perkenalkan substitusi terbalik.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Mari selesaikan setiap persamaan secara terpisah:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - tidak akar.
Dan persamaan kedua: $x^2+x-2=0$.
Akar persamaan ini adalah bilangan $x=-2$ dan $x=1$.
Jawaban: $x=-2$ dan $x=1$.

Contoh 5.
Selesaikan persamaan: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Larutan.
Mari kita perkenalkan penggantinya: $t=x+\frac(1)(x)$.
Kemudian:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ atau $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Kita mendapatkan persamaannya: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Akar persamaan ini adalah pasangan:
$t=-3$ dan $t=2$.
Mari kita perkenalkan substitusi terbalik:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Kami akan memutuskan secara terpisah.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Mari selesaikan persamaan kedua:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Akar persamaan ini adalah bilangan $x=1$.
Jawaban: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Masalah untuk diselesaikan secara mandiri

1.$\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3.$x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5.$(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengirimkan permintaan di situs, kami dapat mengumpulkannya berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal seperti audit, analisis data, dan berbagai penelitian dalam rangka meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberikan Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
• Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk menyelenggarakan program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Apabila diperlukan - sesuai dengan peraturan perundang-undangan, acara peradilan, proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan masyarakat atau permohonan dari agensi pemerintahan di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Penyebut persekutuan terendah digunakan untuk menyederhanakan persamaan ini. Metode ini digunakan ketika Anda tidak dapat menulis persamaan tertentu dengan satu ekspresi rasional di setiap sisi persamaan (dan menggunakan metode perkalian silang). Cara ini digunakan jika diberikan persamaan rasional dengan 3 pecahan atau lebih (untuk dua pecahan, lebih baik menggunakan perkalian silang).