Rumus persamaan paling sederhana. Metode penyelesaian persamaan trigonometri

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengirimkan permintaan di situs, kami dapat mengumpulkannya berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal seperti audit, analisis data, dan berbagai penelitian dalam rangka meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberikan Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
• Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk menyelenggarakan program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Apabila diperlukan - sesuai dengan peraturan perundang-undangan, acara peradilan, proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan masyarakat atau permohonan dari agensi pemerintahan di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
• Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk menyelenggarakan program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika diperlukan - sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan pemerintah di Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Saat menyelesaikan banyak hal masalah matematika, terutama yang terjadi sebelum kelas 10, urutan tindakan yang dilakukan yang akan mengarah pada tujuan telah ditentukan dengan jelas. Masalah-masalah tersebut misalnya persamaan linier dan kuadrat, linier dan pertidaksamaan kuadrat, persamaan pecahan dan persamaan yang direduksi menjadi persamaan kuadrat. Prinsip keberhasilan penyelesaian setiap masalah yang disebutkan adalah sebagai berikut: Anda perlu menentukan jenis masalah apa yang sedang Anda pecahkan, mengingat urutan tindakan yang diperlukan yang akan mengarah pada hasil yang diinginkan, yaitu. jawab dan ikuti langkah berikut.

Jelaslah bahwa keberhasilan atau kegagalan dalam menyelesaikan suatu masalah tertentu terutama bergantung pada seberapa benar jenis persamaan yang diselesaikan ditentukan, seberapa benar urutan semua tahapan penyelesaiannya direproduksi. Tentunya dalam hal ini diperlukan keterampilan untuk melakukan transformasi dan perhitungan yang identik.

Situasinya berbeda dengan persamaan trigonometri. Sama sekali tidak sulit untuk menetapkan fakta bahwa persamaan tersebut bersifat trigonometri. Kesulitan muncul ketika menentukan urutan tindakan yang akan menghasilkan jawaban yang benar.

Oleh penampilan persamaan, terkadang sulit untuk menentukan jenisnya. Dan tanpa mengetahui jenis persamaannya, hampir tidak mungkin memilih persamaan yang tepat dari beberapa lusin rumus trigonometri.

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, Anda perlu mencoba:

1. membawa semua fungsi yang termasuk dalam persamaan ke “sudut yang sama”;
2. membawa persamaan ke “fungsi identik”;
3. faktorkan ruas kiri persamaan, dst.

Mari kita pertimbangkan metode solusi dasar persamaan trigonometri.

I. Reduksi ke persamaan trigonometri paling sederhana

Diagram solusi

Langkah 1. Cepat fungsi trigonometri melalui komponen yang diketahui.

Langkah 2. Temukan argumen fungsi menggunakan rumus:

karena x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

dosa x = a; x = (-1) n busursin a + πn, n Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Z.

Langkah 3. Temukan variabel yang tidak diketahui.

Contoh.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Larutan.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Z.

Jawaban: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Penggantian variabel

Diagram solusi

Langkah 1. Ubah persamaan tersebut menjadi bentuk aljabar terhadap salah satu fungsi trigonometri.

Langkah 2. Nyatakan fungsi yang dihasilkan dengan variabel t (jika perlu, berikan batasan pada t).

Langkah 3. Tuliskan dan selesaikan persamaan aljabar yang dihasilkan.

Langkah 4. Lakukan penggantian terbalik.

Langkah 5. Selesaikan persamaan trigonometri paling sederhana.

Contoh.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Larutan.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Misalkan sin (x/2) = t, dimana |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 atau e = -3/2, tidak memenuhi syarat |t| ≤ 1.

4) dosa(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Z;

x = π + 4πn, n Z.

Jawaban: x = π + 4πn, n Z.

AKU AKU AKU. Metode pengurangan orde persamaan

Diagram solusi

Langkah 1. Gantikan persamaan ini dengan persamaan linier, menggunakan rumus pengurangan derajat:

dosa 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Langkah 2. Selesaikan persamaan yang dihasilkan menggunakan metode I dan II.

Contoh.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Larutan.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Z;

x = ±π/6 + πn, n Z.

Jawaban: x = ±π/6 + πn, n Z.

IV. Persamaan homogen

Diagram solusi

Langkah 1. Kurangi persamaan ini ke bentuk

a) a sin x + b cos x = 0 (persamaan homogen derajat satu)

atau ke pemandangan

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (persamaan homogen derajat kedua).

Langkah 2. Bagilah kedua ruas persamaan dengan

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

dan dapatkan persamaan untuk tan x:

a) tan x + b = 0;

b) tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Langkah 3. Selesaikan persamaan menggunakan metode yang diketahui.

Contoh.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Larutan.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Misalkan tg x = t

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 atau t = -4 yang artinya

tg x = 1 atau tg x = -4.

Dari persamaan pertama x = π/4 + πn, n Є Z; dari persamaan kedua x = -arctg 4 + πk, k Z.

Jawaban: x = π/4 + πn, n Z; x = -arctg 4 + πk, k Z.

V. Metode transformasi persamaan menggunakan rumus trigonometri

Diagram solusi

Langkah 1. Dengan menggunakan semua rumus trigonometri yang mungkin, kurangi persamaan ini menjadi persamaan yang diselesaikan dengan metode I, II, III, IV.

Langkah 2. Selesaikan persamaan yang dihasilkan menggunakan metode yang diketahui.

Contoh.

dosa x + dosa 2x + dosa 3x = 0.

Larutan.

1) (dosa x + dosa 3x) + dosa 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) dosa 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 atau 2cos x + 1 = 0;

Dari persamaan pertama 2x = π/2 + πn, n Є Z; dari persamaan kedua cos x = -1/2.

Kita mempunyai x = π/4 + πn/2, n Є Z; dari persamaan kedua x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Hasilnya, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Z.

Jawaban: x = π/4 + πn/2, n Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Z.

Kemampuan dan keterampilan menyelesaikan persamaan trigonometri sangat baik Yang terpenting, pengembangannya memerlukan usaha yang besar, baik dari pihak siswa maupun dari pihak guru.

Banyak masalah stereometri, fisika, dll yang terkait dengan penyelesaian persamaan trigonometri.Proses penyelesaian masalah tersebut mewujudkan banyak pengetahuan dan keterampilan yang diperoleh dengan mempelajari unsur-unsur trigonometri.

Persamaan trigonometri menempati tempat penting dalam proses pembelajaran matematika dan pengembangan pribadi secara umum.

Masih ada pertanyaan? Tidak tahu cara menyelesaikan persamaan trigonometri?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor, daftarlah.
Pelajaran pertama gratis!

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, ulasan, keinginan Anda! Semua materi telah diperiksa oleh program anti-virus.

Manual dan simulator di toko online Integral untuk kelas 10 dari 1C
Memecahkan masalah dalam geometri. Tugas interaktif untuk membangun di luar angkasa
Lingkungan perangkat lunak "1C: Konstruktor Matematika 6.1"

Apa yang akan kita pelajari:
1. Apa yang dimaksud dengan persamaan trigonometri?

3. Dua metode utama penyelesaian persamaan trigonometri.
4. Persamaan trigonometri homogen.
5. Contoh.

Apa persamaan trigonometri?

Teman-teman, kita sudah mempelajari arcsinus, arccosine, arctangent, dan arccotangent. Sekarang mari kita lihat persamaan trigonometri secara umum.

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang suatu variabel berada di bawah tanda fungsi trigonometri.

Mari kita ulangi bentuk penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana:

1)Jika |a|≤ 1, maka persamaan cos(x) = a mempunyai penyelesaian:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Jika |a|≤ 1, maka persamaan sin(x) = a mempunyai penyelesaian:

3) Jika |a| > 1, maka persamaan sin(x) = a dan cos(x) = a tidak mempunyai penyelesaian 4) Persamaan tg(x)=a mempunyai penyelesaian: x=arctg(a)+ πk

5) Persamaan ctg(x)=a mempunyai penyelesaian: x=arcctg(a)+ πk

Untuk semua rumus, k adalah bilangan bulat

Persamaan trigonometri paling sederhana berbentuk: T(kx+m)=a, T adalah suatu fungsi trigonometri.

Selesaikan persamaan: a) sin(3x)= √3/2

Larutan:

A) Mari kita nyatakan 3x=t, lalu kita tulis ulang persamaan kita dalam bentuk:

Solusi persamaan ini adalah: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Dari tabel nilai yang kita peroleh: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Mari kita kembali ke variabel kita: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Maka x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Jawab: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, dimana n adalah bilangan bulat. (-1)^n – dikurangi satu pangkat n.

Lebih banyak contoh persamaan trigonometri.

Larutan:

A) Kali ini mari kita langsung beralih ke menghitung akar-akar persamaan:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Maka x/5= πk => x=5πk

Jawaban: x=5πk, dimana k adalah bilangan bulat.

B) Kita tuliskan dalam bentuk: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Kita tahu bahwa: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Jawaban: x=2π/9 + πk/3, dimana k adalah bilangan bulat.

Selesaikan persamaan: cos(4x)= √2/2. Dan temukan semua akar pada ruas tersebut.

Larutan:

Kami akan memutuskannya pandangan umum persamaan kita: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Sekarang mari kita lihat akar apa yang ada di segmen kita. Pada k Pada k=0, x= π/16, kita berada pada segmen tertentu.
Dengan k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, kita pukul lagi.
Untuk k=2, x= π/16+ π=17π/16, namun di sini kita tidak memukul, artinya untuk k yang besar kita juga jelas tidak akan memukul.

Jawaban: x= π/16, x= 9π/16

Dua metode solusi utama.

Mari selesaikan persamaannya:

Larutan:
Untuk menyelesaikan persamaan kita, kita akan menggunakan metode memasukkan variabel baru, yang menyatakan: t=tg(x).

Sebagai hasil penggantian kita mendapatkan: t 2 + 2t -1 = 0

Mari kita cari akar persamaan kuadrat: t=-1 dan t=1/3

Maka tg(x)=-1 dan tg(x)=1/3, kita peroleh persamaan trigonometri paling sederhana, cari akar-akarnya.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Jawaban: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Contoh penyelesaian persamaan

Selesaikan persamaan: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Larutan:

Mari kita gunakan identitasnya: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Persamaan kita akan berbentuk: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Mari kita perkenalkan penggantian t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Solusi persamaan kuadrat kita adalah akar-akarnya: t=2 dan t=-1/2

Maka cos(x)=2 dan cos(x)=-1/2.

Karena cosinus tidak dapat mengambil nilai lebih dari satu, maka cos(x)=2 tidak mempunyai akar.

Untuk cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Jawaban: x= ±2π/3 + 2πk

Persamaan trigonometri homogen.

Persamaan bentuk

persamaan trigonometri homogen derajat kedua.

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri homogen derajat pertama, bagilah dengan cos(x): Anda tidak dapat membagi dengan cosinus jika sama dengan nol, pastikan hal ini tidak terjadi:
Misalkan cos(x)=0, maka asin(x)+0=0 => sin(x)=0, tetapi sinus dan cosinus tidak sama dengan nol pada saat yang sama, kita mendapatkan kontradiksi, sehingga kita dapat membagi dengan aman dengan nol.

Selesaikan persamaan:
Contoh: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Larutan:

Mari kita keluarkan faktor persekutuannya: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Maka kita perlu menyelesaikan dua persamaan:

Cos(x)=0 dan cos(x)+sin(x)=0

Karena(x)=0 di x= π/2 + πk;

Perhatikan persamaan cos(x)+sin(x)=0 Bagilah persamaan kita dengan cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Jawaban: x= π/2 + πk dan x= -π/4+πk

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan trigonometri homogen derajat kedua?
Teman-teman, selalu ikuti aturan ini!

1. Lihat berapa koefisien a, jika a=0 maka persamaan kita akan berbentuk cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), contoh penyelesaiannya ada pada slide sebelumnya

2. Jika a≠0, maka kedua ruas persamaan harus dibagi dengan kosinus kuadrat, kita mendapatkan:

Kami mengubah variabel t=tg(x) dan mendapatkan persamaan:

Selesaikan contoh No.:3

Mari kita bagi kedua ruas persamaan dengan kosinus kuadrat:

Kita ubah variabelnya t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Mari kita cari akar persamaan kuadrat: t=-3 dan t=1

Maka: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Jawaban: x=-arctg(3) + πk dan x= π/4+ πk

Selesaikan contoh No.:4

Larutan:
Mari kita ubah ekspresi kita:

Kita dapat menyelesaikan persamaan berikut: x= - π/4 + 2πk dan x=5π/4 + 2πk

Jawaban: x= - π/4 + 2πk dan x=5π/4 + 2πk

Selesaikan contoh no.:5

Larutan:
Mari kita ubah ekspresi kita:

Mari kita perkenalkan penggantian tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Solusi persamaan kuadrat kita adalah akar-akarnya: t=-2 dan t=1/2

Kemudian kita mendapatkan: tg(2x)=-2 dan tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= busur(1/2) + πk => x= busur(1/2)/2+ πk/2

Jawaban: x=-arctg(2)/2 + πk/2 dan x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Masalah untuk solusi mandiri.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Selesaikan persamaan: sin(3x)= √3/2. Dan temukan semua akar pada ruas [π/2; π].

3) Selesaikan persamaan: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0

4) Selesaikan persamaan: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Selesaikan persamaan: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Selesaikan persamaan: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Memecahkan persamaan trigonometri sederhana.

Memecahkan persamaan trigonometri pada tingkat kerumitan apa pun pada akhirnya bermuara pada penyelesaian persamaan trigonometri yang paling sederhana. Dan dalam hal ini penolong terbaik sekali lagi ternyata lingkaran trigonometri.

Mari kita mengingat kembali definisi cosinus dan sinus.

Kosinus suatu sudut adalah absis (yaitu, koordinat sepanjang sumbu) suatu titik pada lingkaran satuan yang berhubungan dengan rotasi melalui sudut tertentu.

Sinus suatu sudut adalah ordinat (yaitu koordinat sepanjang sumbu) suatu titik pada lingkaran satuan yang berhubungan dengan rotasi melalui sudut tertentu.

Arah gerak positif pada lingkaran trigonometri adalah berlawanan arah jarum jam. Rotasi 0 derajat (atau 0 radian) berhubungan dengan suatu titik dengan koordinat (1;0)

Kami menggunakan definisi ini untuk menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana.

1. Selesaikan persamaannya

Persamaan ini dipenuhi oleh semua nilai sudut rotasi yang bersesuaian dengan titik-titik pada lingkaran yang ordinatnya sama dengan .

Mari kita tandai suatu titik dengan ordinat pada sumbu ordinat:

Gambarlah garis mendatar sejajar sumbu x hingga berpotongan dengan lingkaran. Kita mendapatkan dua titik yang terletak pada lingkaran dan memiliki sumbu ordinat. Titik-titik ini sesuai dengan sudut rotasi dalam dan radian:

Jika kita meninggalkan titik yang sudut rotasinya per radian, dan mengelilingi satu lingkaran penuh, maka kita akan sampai pada suatu titik yang sesuai dengan sudut rotasi per radian dan mempunyai ordinat yang sama. Artinya, sudut rotasi ini juga memenuhi persamaan kita. Kita dapat melakukan putaran “idle” sebanyak yang kita suka, kembali ke titik yang sama, dan semua nilai sudut ini akan memenuhi persamaan kita. Jumlah putaran “idle” akan dilambangkan dengan huruf (atau). Karena kita dapat melakukan putaran ini dalam arah positif dan negatif, (atau) dapat mengambil nilai bilangan bulat berapa pun.

Artinya, deret pertama penyelesaian persamaan awal berbentuk:

, , - himpunan bilangan bulat (1)

Demikian pula, solusi rangkaian kedua memiliki bentuk:

, Di mana , . (2)

Seperti yang sudah Anda duga, rangkaian solusi ini didasarkan pada titik pada lingkaran yang bersesuaian dengan sudut rotasi sebesar .

Kedua rangkaian solusi ini dapat digabungkan menjadi satu entri:

Jika kita mengambil (yaitu, genap) dalam entri ini, maka kita akan mendapatkan rangkaian solusi pertama.

Jika kita mengambil (yaitu ganjil) dalam entri ini, maka kita mendapatkan solusi rangkaian kedua.

2. Sekarang mari kita selesaikan persamaannya

Karena ini adalah absis suatu titik pada lingkaran satuan yang diperoleh dengan memutar suatu sudut, maka kita tandai titik tersebut dengan absis pada sumbunya:

Gambarlah garis vertikal sejajar sumbu hingga berpotongan dengan lingkaran. Kita akan mendapatkan dua titik yang terletak pada lingkaran dan memiliki sumbu absis. Titik-titik ini sesuai dengan sudut rotasi dalam dan radian. Ingatlah bahwa ketika kita bergerak searah jarum jam, kita mendapatkannya sudut negatif rotasi:

Mari kita tuliskan dua rangkaian solusi:

,

,

(Kita mencapai titik yang diinginkan dengan pergi dari lingkaran penuh utama, yaitu.

Mari gabungkan kedua seri ini menjadi satu entri:

3. Selesaikan persamaannya

Garis singgung melewati titik dengan koordinat (1,0) lingkaran satuan yang sejajar sumbu OY

Mari kita tandai sebuah titik di atasnya dengan ordinat sama dengan 1 (kita mencari garis singgung sudut yang sama dengan 1):

Mari kita hubungkan titik ini dengan titik asal koordinat dengan sebuah garis lurus dan tandai titik potong garis tersebut dengan lingkaran satuan. Titik potong garis lurus dan lingkaran sesuai dengan sudut rotasi pada dan :

Karena titik-titik yang sesuai dengan sudut rotasi yang memenuhi persamaan kita terletak pada jarak radian satu sama lain, kita dapat menulis penyelesaiannya sebagai berikut:

4. Selesaikan persamaannya

Garis kotangen melewati suatu titik yang koordinat lingkaran satuannya sejajar dengan sumbunya.

Mari kita tandai sebuah titik dengan absis -1 pada garis kotangen:

Mari kita hubungkan titik ini dengan asal garis lurus dan lanjutkan hingga berpotongan dengan lingkaran. Garis lurus ini akan memotong lingkaran di titik-titik yang sesuai dengan sudut rotasi dalam dan radian:

Karena titik-titik ini dipisahkan satu sama lain dengan jarak yang sama dengan , maka keputusan bersama Kita dapat menulis persamaan ini seperti ini:

Dalam contoh di atas yang mengilustrasikan penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana, nilai tabel fungsi trigonometri digunakan.

Namun, jika ruas kanan persamaan berisi nilai non-tabular, maka kita substitusikan nilai tersebut ke dalam solusi umum persamaan tersebut:

SOLUSI KHUSUS:

Mari kita tandai titik-titik pada lingkaran yang ordinatnya 0:

Mari kita tandai satu titik pada lingkaran yang ordinatnya 1:

Mari kita tandai satu titik pada lingkaran yang ordinatnya sama dengan -1:

Karena merupakan kebiasaan untuk menunjukkan nilai yang mendekati nol, kami menulis solusinya sebagai berikut:

Mari kita tandai titik-titik pada lingkaran yang absisnya sama dengan 0:

5.
Mari kita tandai satu titik pada lingkaran yang absisnya sama dengan 1:

Mari kita tandai satu titik pada lingkaran yang absisnya sama dengan -1:

Dan contoh yang sedikit lebih rumit:

1.

Sinus sama dengan satu jika argumennya sama dengan

Argumen sinus kita sama, jadi kita peroleh:

Mari kita bagi kedua ruas persamaan dengan 3:

Menjawab:

2.

Cosinus adalah nol jika argumen cosinusnya adalah

Argumen cosinus kita sama dengan , sehingga kita peroleh:

Mari kita nyatakan, untuk melakukan ini pertama-tama kita pindah ke kanan dengan tanda sebaliknya:

Mari kita sederhanakan ruas kanan:

Bagi kedua ruas dengan -2:

Perhatikan bahwa tanda di depan suku tidak berubah, karena k dapat mengambil nilai bilangan bulat apa pun.

Menjawab:

Dan terakhir, tonton video pelajaran “Memilih akar-akar persamaan trigonometri menggunakan lingkaran trigonometri”

Demikianlah pembahasan kita tentang penyelesaian persamaan trigonometri sederhana. Lain kali kita akan berbicara tentang bagaimana memutuskan.