Garis bagi suatu segitiga adalah ruas yang membagi sudut suatu segitiga menjadi dua sudut yang sama besar. Misalnya, jika sudut suatu segitiga adalah 120 0, maka dengan menggambar garis bagi kita akan membuat dua sudut yang masing-masing besarnya 60 0.
Dan karena ada tiga sudut dalam sebuah segitiga, maka dapat dibuat tiga garis bagi. Semuanya mempunyai satu titik batas. Titik ini merupakan pusat lingkaran pada segitiga. Dengan kata lain, titik potong ini disebut titik tengah segitiga.
Ketika dua garis bagi sudut dalam dan sudut luar berpotongan, diperoleh sudut 90 0. Sudut luar suatu segitiga adalah sudut yang berdekatan dengan sudut dalam suatu segitiga.
Beras. 1. Segitiga yang memuat 3 garis bagi
Garis bagi membagi sisi yang berlawanan menjadi dua segmen yang dihubungkan ke sisi-sisinya:
$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$
Titik-titik garis bagi mempunyai jarak yang sama terhadap sisi-sisi sudut, artinya jaraknya sama terhadap sisi-sisi sudut. Artinya, jika dari titik mana pun pada garis bagi kita menjatuhkan garis tegak lurus pada masing-masing sisi sudut segitiga, maka garis tegak lurus tersebut akan sama..
Jika kita menggambar median, garis bagi, dan tinggi dari satu titik, maka median tersebut adalah ruas terpanjang, dan tingginya adalah yang terpendek.
Beberapa properti dari garis bagi
Pada jenis segitiga tertentu, garis bagi mempunyai sifat khusus. Hal ini terutama berlaku untuk segitiga sama kaki. Bangun datar ini mempunyai dua sisi yang identik, dan sisi ketiga disebut alas.
Jika kita menggambar garis bagi dari titik sudut segitiga sama kaki ke alasnya, maka segitiga tersebut mempunyai sifat tinggi dan median. Dengan demikian, panjang garis bagi sama dengan panjang median dan tinggi.
Definisi:
- Tinggi- garis tegak lurus yang ditarik dari titik sudut segitiga ke sisi seberangnya.
- median– ruas yang menghubungkan titik sudut suatu segitiga dan titik tengah sisi yang berhadapan.
Beras. 2. Garis bagi pada segitiga sama kaki
Hal ini juga berlaku pada segitiga sama sisi, yaitu segitiga yang ketiga sisinya sama panjang.
Contoh tugas
Pada segitiga ABC: BR adalah garis bagi, dengan AB = 6 cm, BC = 4 cm, dan RC = 2 cm, kurangi panjang sisi ketiganya.
Beras. 3. Garis bagi suatu segitiga
Larutan:
Garis bagi membagi sisi-sisi segitiga dengan perbandingan tertentu. Mari gunakan proporsi ini dan ekspresikan AR. Kemudian kita akan mencari panjang sisi ketiga sebagai jumlah dari ruas-ruas yang membagi sisi tersebut dengan garis bagi.
- $(AB\over(BC)) = (AR\over(RC))$
- $RC=(6\lebih(4))*2=3 cm$
Maka seluruh ruas AC = RC+ AR
AC = 3+2=5cm.
Total peringkat yang diterima: 107.
Berapa garis bagi sudut suatu segitiga? Terhadap pertanyaan ini, tikus yang terkenal berlarian di tikungan dan membagi sudut menjadi dua keluar dari mulut beberapa orang." Jika jawabannya "lucu", maka mungkin itu benar. Tapi dari sudut pandang ilmiah lihat, jawaban atas pertanyaan ini seharusnya: kira-kira seperti ini: dimulai dari puncak suatu sudut dan membagi sudut tersebut menjadi dua bagian yang sama besar." Dalam geometri, bangun ini juga dianggap sebagai ruas garis bagi hingga berpotongan dengan sisi seberang segitiga. Ini bukanlah kesalahpahaman. Apa lagi yang diketahui tentang garis bagi suatu sudut, selain definisinya?
Seperti halnya tempat kedudukan titik geometris, ia memiliki karakteristiknya sendiri. Yang pertama bahkan bukan sebuah tanda, melainkan sebuah teorema, yang dapat diungkapkan secara singkat sebagai berikut: “Jika sisi yang berhadapan dengannya dibagi menjadi dua bagian dengan sebuah garis bagi, maka rasionya akan sesuai dengan rasio dari sisi-sisi segitiga besar.”
Sifat kedua yang dimilikinya: titik potong garis-bagi semua sudut disebut pusat.
Tanda ketiga: garis bagi satu sudut dalam dan dua sudut luar suatu segitiga berpotongan di pusat salah satu dari tiga lingkaran yang tertulis.
Sifat keempat dari garis bagi sudut suatu segitiga adalah jika masing-masing sudut sama besar, maka sudut tersebut sama kaki.
Tanda kelima juga menyangkut segitiga sama kaki dan menjadi pedoman utama pengenalannya dalam suatu gambar oleh garis-garis, yaitu: pada segitiga sama kaki sekaligus berfungsi sebagai median dan tinggi.
Garis bagi sudut dapat dibuat dengan menggunakan kompas dan penggaris:
Aturan keenam menyatakan bahwa tidak mungkin membuat segitiga dengan menggunakan segitiga hanya dengan garis-bagi yang ada, sama seperti tidak mungkin membuat penggandaan kubus, pengkuadratan lingkaran, dan pembagian tiga sudut dengan cara ini. Sebenarnya, ini semua adalah sifat-sifat garis bagi sudut suatu segitiga.
Jika Anda membaca paragraf sebelumnya dengan cermat, mungkin Anda tertarik pada satu frasa. "Apa yang dimaksud dengan tiga bagian suatu sudut?" - Anda mungkin akan bertanya. Garis tiga sedikit mirip dengan garis bagi, tetapi jika Anda menggambar garis bagi, sudutnya akan dibagi menjadi dua bagian yang sama besar, dan saat membuat tiga bagian, sudutnya akan dibagi menjadi tiga. Tentu saja garis bagi suatu sudut lebih mudah diingat, karena tiga bagian tidak diajarkan di sekolah. Tapi demi kelengkapan, saya akan menceritakannya juga.
Sebuah trisektor, seperti yang telah saya katakan, tidak dapat dibuat hanya dengan kompas dan penggaris, tetapi dapat dibuat dengan menggunakan aturan Fujita dan beberapa kurva: siput Pascal, kuadratrik, conchoids Nicomedes, bagian kerucut,
Soal pembagian tiga sudut diselesaikan dengan cukup sederhana menggunakan nevsis.
Dalam geometri terdapat teorema tentang trisektor sudut. Ini disebut teorema Morley. Ia menyatakan bahwa titik potong trisektor dari setiap sudut yang terletak di tengah akan menjadi titik sudut
Segitiga hitam kecil di dalam segitiga besar akan selalu sama sisi. Teorema ini ditemukan oleh ilmuwan Inggris Frank Morley pada tahun 1904.
Berikut ini seberapa banyak yang dapat Anda pelajari tentang pembagian sudut: Segitiga dan garis bagi suatu sudut selalu membutuhkan penjelasan yang detail. Namun di sini diberikan banyak definisi yang belum saya ungkapkan: siput Pascal, conchoid Nicomedes, dll. Yakinlah, masih banyak lagi yang bisa ditulis tentang mereka.
Hari ini akan menjadi pelajaran yang sangat mudah. Kami hanya akan mempertimbangkan satu objek - garis bagi sudut - dan membuktikan properti terpentingnya, yang akan sangat berguna bagi kami di masa depan.
Jangan santai saja: terkadang siswa yang ingin mendapat nilai tinggi pada Ujian Negara Terpadu atau UN Unified State yang sama bahkan tidak dapat merumuskan secara akurat definisi garis bagi pada pelajaran pertama.
Dan alih-alih melakukan tugas yang sangat menarik, kita malah membuang waktu untuk hal-hal sederhana seperti itu. Jadi baca, tonton, dan adopsi. :)
Pertama-tama, pertanyaan yang agak aneh: apa itu sudut? Benar sekali: sudut hanyalah dua sinar yang memancar dari titik yang sama. Misalnya:
Contoh sudut : lancip, tumpul dan siku-siku Seperti yang Anda lihat dari gambar, sudut bisa lancip, tumpul, lurus - tidak masalah sekarang. Seringkali, untuk kenyamanan, titik tambahan ditandai pada setiap sinar dan dikatakan bahwa di depan kita ada sudut $AOB$ (ditulis sebagai $\angle AOB$).
Captain Obviousness sepertinya mengisyaratkan bahwa selain sinar $OA$ dan $OB$, selalu ada kemungkinan untuk menggambar lebih banyak sinar dari titik $O$. Tapi di antara mereka akan ada satu yang istimewa - dia disebut garis-bagi.
Definisi. Garis bagi suatu sudut adalah sinar yang keluar dari titik sudut tersebut dan membagi dua sudut tersebut.
Untuk sudut di atas, garis bagi akan terlihat seperti ini:
Contoh garis bagi sudut lancip, tumpul dan siku-siku
Karena dalam gambar nyata tidak selalu jelas bahwa sinar tertentu (dalam kasus kita adalah sinar $OM$) membagi sudut asli menjadi dua sudut yang sama besar, dalam geometri biasanya sudut yang sama ditandai dengan jumlah busur yang sama ( dalam gambar kita ini adalah 1 busur untuk sudut lancip, dua untuk tumpul, tiga untuk lurus).
Oke, kita sudah memilah definisinya. Sekarang Anda perlu memahami properti apa yang dimiliki garis bagi.
Sifat utama garis bagi sudut
Faktanya, garis bagi memiliki banyak sifat. Dan kita pasti akan membahasnya di pelajaran berikutnya. Namun ada satu trik yang perlu Anda pahami saat ini:
Dalil. Garis bagi suatu sudut adalah kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sisi-sisi suatu sudut tertentu.
Diterjemahkan dari matematika ke dalam bahasa Rusia, ini berarti dua fakta sekaligus:
- Setiap titik yang terletak pada garis bagi suatu sudut tertentu berada pada jarak yang sama dari sisi-sisi sudut tersebut.
- Begitu pula sebaliknya: jika suatu titik terletak pada jarak yang sama dari sisi-sisi suatu sudut tertentu, maka titik tersebut dijamin terletak pada garis-bagi sudut tersebut.
Sebelum membuktikan pernyataan-pernyataan ini, mari kita perjelas satu hal: apa sebenarnya yang disebut jarak dari suatu titik ke sisi suatu sudut? Di sini penentuan jarak dari suatu titik ke garis akan membantu kita:
Definisi. Jarak suatu titik ke suatu garis adalah panjang garis tegak lurus yang ditarik dari suatu titik ke garis tersebut.
Misalnya, perhatikan garis $l$ dan titik $A$ yang tidak terletak pada garis ini. Mari kita menggambar garis tegak lurus terhadap $AH$, di mana $H\in l$. Maka panjang garis tegak lurus tersebut adalah jarak dari titik $A$ ke garis lurus $l$.
Representasi grafis dari jarak dari suatu titik ke garis Karena sudut hanyalah dua sinar, dan setiap sinar merupakan bagian dari garis lurus, maka mudah untuk menentukan jarak dari suatu titik ke sisi-sisi suatu sudut. Ini hanyalah dua garis tegak lurus:
Tentukan jarak titik ke sisi-sisi sudut Itu saja! Sekarang kita tahu apa itu jarak dan apa itu garis bagi. Oleh karena itu, kita dapat membuktikan sifat utamanya.
Seperti yang dijanjikan, kami akan membagi buktinya menjadi dua bagian:
1. Jarak titik pada garis bagi ke sisi-sisi sudut adalah sama
Pertimbangkan sudut sembarang dengan titik sudut $O$ dan garis bagi $OM$:
Mari kita buktikan bahwa titik $M$ ini berada pada jarak yang sama dari sisi-sisi sudut.
Bukti. Mari kita menggambar garis tegak lurus dari titik $M$ ke sisi-sisi sudut. Sebut saja $M((H)_(1))$ dan $M((H)_(2))$:
Gambarlah garis tegak lurus pada sisi-sisi sudut
Kami memperoleh dua segitiga siku-siku: $\vartriangle OM((H)_(1))$ dan $\vartriangle OM((H)_(2))$. Mereka memiliki sisi miring yang sama $OM$ dan sudut yang sama besar:
- $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ dengan syarat (karena $OM$ adalah garis bagi);
- $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ berdasarkan konstruksi;
- $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$, karena jumlah sudut tajam segitiga siku-siku selalu 90 derajat.
Oleh karena itu, segitiga-segitiga tersebut memiliki sisi yang sama dan dua sudut yang berdekatan (lihat tanda-tanda persamaan segitiga). Oleh karena itu, khususnya, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, yaitu jarak titik $O$ ke sisi-sisi sudut memang sama. Q.E.D. :)
2. Jika jaraknya sama, maka titik tersebut terletak pada garis bagi
Kini situasinya terbalik. Diketahui sebuah sudut $O$ dan sebuah titik $M$ yang berjarak sama dari sisi-sisi sudut ini:
Mari kita buktikan bahwa sinar $OM$ merupakan garis bagi, mis. $\sudut MO((H)_(1))=\sudut MO((H)_(2))$.
Bukti. Pertama, mari kita gambarkan sinar $OM$ ini, jika tidak, tidak akan ada yang perlu dibuktikan:
Melakukan sinar $OM$ di dalam sudut
Sekali lagi kita mendapatkan dua segitiga siku-siku: $\vartriangle OM((H)_(1))$ dan $\vartriangle OM((H)_(2))$. Jelas mereka setara karena:
- Sisi miring $OM$ - umum;
- Kaki $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ dengan syarat (bagaimanapun juga, titik $M$ berjarak sama dari sisi-sisi sudut);
- Kaki-kaki yang tersisa juga sama, karena dengan teorema Pythagoras $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.
Oleh karena itu, segitiga $\vartriangle OM((H)_(1))$ dan $\vartriangle OM((H)_(2))$ pada tiga sisi. Secara khusus, sudut-sudutnya sama besar: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. Dan ini berarti $OM$ adalah garis bagi.
Untuk menyimpulkan pembuktiannya, kami menandai sudut-sudut sama besar yang dihasilkan dengan busur merah:
Garis bagi membagi sudut $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ menjadi dua sudut yang sama besar
Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit. Kita telah membuktikan bahwa garis bagi suatu sudut adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sisi-sisi sudut tersebut. :)
Sekarang setelah kita sedikit banyak memutuskan terminologinya, sekarang saatnya untuk beralih ke level berikutnya. Pada pelajaran berikutnya kita akan melihat sifat-sifat garis bagi yang lebih kompleks dan mempelajari cara menerapkannya untuk menyelesaikan masalah nyata.
Garis bagi segitiga merupakan konsep geometri umum yang tidak menimbulkan banyak kesulitan dalam pembelajaran. Memiliki pengetahuan tentang sifat-sifatnya, Anda dapat memecahkan banyak masalah tanpa banyak kesulitan. Apa itu garis bagi? Kami akan mencoba mengenalkan pembaca dengan semua rahasia garis matematika ini.
Dalam kontak dengan
Inti dari konsep tersebut
Nama konsep ini berasal dari penggunaan kata dalam bahasa latin yang artinya “bi” - dua, “sectio” - memotong. Mereka secara khusus menunjuk pada makna geometris konsep - memecah ruang antar sinar menjadi dua bagian yang sama besar.
Garis bagi suatu segitiga adalah ruas yang berasal dari titik sudut suatu bangun, dan ujung lainnya diletakkan pada sisi yang berhadapan dengannya, sekaligus membagi ruang menjadi dua bagian yang identik.
Untuk menghafal konsep matematika secara asosiatif dengan cepat, banyak guru menggunakan terminologi yang berbeda, yang tercermin dalam puisi atau asosiasi. Tentu saja, penggunaan definisi ini dianjurkan untuk anak yang lebih besar.
Bagaimana garis ini ditunjuk? Di sini kita mengandalkan aturan untuk menunjuk segmen atau sinar. Jika kita berbicara tentang menentukan garis bagi suatu sudut suatu bangun segitiga, maka biasanya ditulis sebagai ruas yang ujung-ujungnya adalah titik sudut dan titik potong dengan sisi yang berhadapan dengan titik sudut tersebut. Apalagi awal notasi ditulis tepat dari titik puncak.
Perhatian! Berapa banyak garis bagi yang dimiliki sebuah segitiga? Jawabannya jelas: sebanyak simpul - tiga.
Properti
Selain definisinya, sifat-sifat konsep geometri ini tidak banyak ditemukan dalam buku pelajaran sekolah. Sifat pertama dari garis bagi suatu segitiga yang diperkenalkan kepada anak-anak sekolah adalah pusat yang tertulis, dan sifat kedua yang berhubungan langsung dengannya adalah proporsionalitas segmen-segmen tersebut. Intinya adalah ini:
- Apapun garis pemisahnya, pasti ada titik-titiknya pada jarak yang sama dari samping, yang membentuk ruang di antara sinar-sinar tersebut.
- Untuk memasukkan lingkaran ke dalam bangun segitiga, perlu ditentukan titik potong segmen-segmen ini. Ini adalah titik pusat lingkaran.
- Bagian-bagian sisi suatu bangun datar segitiga yang menjadi tempat garis pemisahnya berada sebanding dengan sisi-sisi yang membentuk sudut.
Kami akan mencoba menghadirkan fitur-fitur lainnya ke dalam sistem dan menyajikan fakta-fakta tambahan yang akan membantu untuk lebih memahami keunggulan konsep geometris ini.
Panjang
Salah satu jenis soal yang menimbulkan kesulitan bagi anak sekolah adalah mencari panjang garis bagi suatu sudut suatu segitiga. Opsi pertama, yang berisi panjangnya, berisi data berikut:
- jumlah ruang antara sinar-sinar dari titik dimana segmen tertentu muncul;
- panjang sisi-sisi yang membentuk sudut tersebut.
Untuk memecahkan masalah rumus yang digunakan, yang artinya mencari perbandingan hasil kali nilai sisi-sisi yang membentuk sudut, diperbesar 2 kali lipat, dengan kosinus setengahnya dengan jumlah sisi-sisinya.
Mari kita lihat contoh spesifiknya. Misalkan kita diberi bangun ABC, yang segmennya ditarik dari sudut A dan memotong sisi BC di titik K. Nilai A kita nyatakan sebagai Y. Berdasarkan hal ini, AK = (2*AB*AC*cos(Y /2))/(AB+AC).
Soal versi kedua, yang menentukan panjang garis bagi suatu segitiga, berisi data berikut:
- arti dari semua sisi gambar diketahui.
Saat memecahkan masalah jenis ini, pada awalnya tentukan setengah kelilingnya. Untuk melakukan ini, Anda perlu menjumlahkan nilai semua sisi dan membaginya menjadi dua: p=(AB+BC+AC)/2. Selanjutnya, kita menerapkan rumus komputasi yang digunakan untuk menentukan panjang segmen ini pada soal sebelumnya. Anda hanya perlu melakukan beberapa perubahan pada esensi rumus sesuai dengan parameter baru. Jadi, kita perlu mencari perbandingan akar ganda pangkat dua hasil kali panjang sisi-sisi yang berdekatan dengan titik sudut dan setengah keliling dan selisih antara setengah keliling dan panjang titik tersebut. sisi yang berhadapan dengan jumlah sisi-sisi yang membentuk sudut tersebut. Artinya, AK = (2٦AB*AC*p*(p-BC))/(AB+AC).
Perhatian! Untuk memudahkan penguasaan materi, Anda dapat beralih ke cerita komik yang tersedia di Internet yang menceritakan tentang “petualangan” baris ini.
Sudut-sudut dalam suatu segitiga disebut garis bagi segitiga.
Garis bagi suatu sudut suatu segitiga juga dipahami sebagai ruas antara titik sudutnya dan titik potong garis bagi dengan sisi seberang segitiga.
Teorema 8.
Ketiga garis bagi suatu segitiga berpotongan di satu titik.
Memang kita perhatikan dulu titik P perpotongan dua garis bagi, misalnya AK 1 dan VK 2. Titik tersebut sama jauhnya dari sisi AB dan AC karena terletak pada garis bagi sudut A, dan sama jauhnya dari sisi AB dan BC karena termasuk dalam garis bagi sudut B. Artinya titik tersebut sama jauhnya dari sisi AB dan AC. sisi AC dan BC dan dengan demikian termasuk dalam garis-bagi ketiga CK 3, yaitu di titik P ketiga garis-bagi berpotongan.
Sifat-sifat garis bagi sudut dalam dan sudut luar suatu segitiga
Teorema 9.
Bisektris sudut dalam suatu segitiga membagi sisi yang berhadapan menjadi bagian-bagian yang sebanding dengan sisi-sisi yang berdekatan. 
Bukti. Mari kita perhatikan segitiga ABC dan garis bagi sudut B. Mari kita tarik garis lurus CM melalui titik sudut C, sejajar dengan garis bagi BC, hingga berpotongan di titik M dengan lanjutan sisi AB. Karena VC adalah garis bagi sudut ABC, maka ∠ ABC = ∠ KBC. Selanjutnya, ∠ АВК=∠ ВСМ, sebagai sudut bersesuaian untuk garis sejajar, dan ∠ КВС=∠ ВСМ, sebagai sudut bersilangan untuk garis sejajar. Oleh karena itu ∠ ВСМ=∠ ВМС, dan karena itu segitiga ВСМ adalah sama kaki, maka ВС=ВМ. Berdasarkan teorema garis sejajar yang memotong sisi-sisi suatu sudut, kita mempunyai AK:K C=AB:VM=AB:BC, yang perlu dibuktikan.
Teorema 10
Garis bagi sudut luar B segitiga ABC mempunyai sifat serupa: ruas AL dan CL dari titik sudut A dan C sampai titik L perpotongan garis bagi dengan kelanjutan sisi AC sebanding dengan sisi-sisi segitiga: AL: C.L.=AB:SM.
Sifat ini dibuktikan dengan cara yang sama seperti sifat sebelumnya: pada gambar ditarik garis bantu SM sejajar dengan garis bagi BL. Sudut BMC dan BC sama besar, artinya sisi BM dan BC segitiga BMC sama besar. Dari situ kita sampai pada kesimpulan AL:CL=AB:BC.
Teorema d4.
(rumus pertama garis bagi): Jika pada segitiga ABC ruas AL adalah garis bagi sudut A, maka AL? = AB·AC - LB·LC.
Bukti: Misalkan M adalah titik potong garis AL dengan lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga ABC (Gbr. 41). Sudut BAM sama dengan sudut MAC berdasarkan konvensi. Sudut BMA dan BCA kongruen karena sudut-sudut bertulisan tersebut dibatasi oleh tali busur yang sama. Artinya segitiga BAM dan LAC sebangun pada dua sudut. Oleh karena itu, AL: AC = AB: AM. Jadi AL · AM = AB · AC<=>AL (AL + LM) = AB AC<=>AL? = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Itu yang perlu dibuktikan. Catatan: untuk teorema tentang ruas-ruas tali busur yang berpotongan dalam lingkaran dan tentang sudut-sudut yang tertulis, lihat topik lingkaran dan lingkaran.
Teorema d5.
(rumus kedua garis bagi): Pada segitiga ABC dengan sisi AB=a, AC=b dan sudut A sama dengan 2? dan garis bagi l, persamaannya berlaku:
l = (2ab / (a+b)) cos?.
Bukti: Misalkan ABC adalah segitiga tertentu, AL adalah garis bagi (Gbr. 42), a=AB, b=AC, l=AL. Maka S ABC = S ALB + S ALC. Oleh karena itu, absin2? = alsin? + blsin?<=>2absin?·cos? = (a + b) dosa?<=>l = 2·(ab / (a+b))· cos?. Teorema tersebut telah terbukti.