Istilah dan konsep dasar. Teori probabilitas

Klasifikasi kejadian menjadi mungkin, mungkin dan acak. Konsep kejadian dasar sederhana dan kompleks. Operasi pada acara. Definisi klasik tentang peluang suatu kejadian acak dan sifat-sifatnya. Elemen kombinatorik dalam teori probabilitas. Probabilitas geometris. Aksioma teori probabilitas.

Klasifikasi acara

Salah satu konsep dasar teori probabilitas adalah konsep suatu peristiwa. Di bawah peristiwa memahami fakta apa pun yang mungkin terjadi sebagai akibat dari suatu pengalaman atau ujian. Di bawah pengalaman, atau tes, mengacu pada penerapan serangkaian kondisi tertentu.

Contoh acara:

– mengenai sasaran ketika menembakkan senjata (pengalaman - melakukan tembakan; peristiwa - mengenai sasaran);
– hilangnya dua lambang saat melempar koin tiga kali (pengalaman - melempar koin tiga kali; peristiwa - hilangnya dua lambang);
– munculnya kesalahan pengukuran dalam batas yang ditentukan saat mengukur rentang ke suatu target (pengalaman - pengukuran rentang; peristiwa - kesalahan pengukuran).

Contoh serupa yang tak terhitung jumlahnya dapat diberikan. Peristiwa ditunjukkan dengan huruf kapital Alfabet Latin dll.

Membedakan acara bersama Dan tidak kompatibel. Peristiwa disebut gabungan apabila terjadinya salah satu peristiwa tidak meniadakan terjadinya peristiwa yang lain. Jika tidak, peristiwa tersebut disebut tidak kompatibel. Misalnya dua buah dadu dilempar. Kejadiannya adalah hilangnya tiga angka pada dadu pertama, kejadiannya adalah hilangnya tiga angka pada dadu kedua. dan - acara bersama. Biarkan toko menerima sekumpulan sepatu dengan gaya dan ukuran yang sama, tapi warna berbeda. Peristiwa - kotak yang diambil secara acak akan berisi sepatu hitam, suatu peristiwa - kotak tersebut akan berisi sepatu coklat, dan - peristiwa yang tidak kompatibel.

Acara tersebut dinamakan dapat diandalkan, jika hal tersebut pasti terjadi pada kondisi percobaan tertentu.

Suatu peristiwa disebut mustahil jika tidak dapat terjadi dalam kondisi pengalaman tertentu. Misalnya, kejadian dimana suku cadang standar akan diambil dari kumpulan suku cadang standar dapat diandalkan, tetapi suku cadang non-standar tidak mungkin dilakukan.

Acara tersebut dinamakan mungkin, atau acak, jika sebagai akibat dari pengalaman hal itu mungkin muncul, tetapi mungkin juga tidak muncul. Contoh kejadian acak adalah identifikasi cacat produk selama pemeriksaan batch produk jadi, ketidaksesuaian antara ukuran produk yang diproses dan yang ditentukan, kegagalan salah satu tautan sistem otomatis pengelolaan.

Peristiwa tersebut disebut sama mungkinnya, jika, menurut kondisi pengujian, tidak satu pun dari kejadian ini yang secara obyektif lebih mungkin terjadi dibandingkan kejadian lainnya. Misalnya, sebuah toko disuplai dengan bola lampu (dalam jumlah yang sama) oleh beberapa pabrik. Peristiwa yang melibatkan pembelian bola lampu dari salah satu pabrik ini juga mungkin terjadi.

Konsep penting adalah kumpulan acara lengkap. Beberapa peristiwa dalam suatu percobaan tertentu membentuk kelompok lengkap jika paling sedikit salah satu di antaranya pasti muncul sebagai hasil percobaan tersebut. Misalnya, sebuah guci berisi sepuluh bola, enam bola berwarna merah, empat bola putih, dan lima bola bernomor. - Munculnya bola merah dalam satu kali seri, - Munculnya bola putih, - Munculnya bola bernomor. Acara membentuk kelompok acara bersama yang lengkap.

Mari kita perkenalkan konsep peristiwa yang berlawanan, atau tambahan. Di bawah di depan Suatu peristiwa dipahami sebagai suatu peristiwa yang pasti terjadi jika suatu peristiwa tidak terjadi. Peristiwa yang berlawanan tidak kompatibel dan satu-satunya yang mungkin. Mereka membentuk kelompok peristiwa yang lengkap. Misalnya, jika sekumpulan produk yang diproduksi terdiri dari produk baik dan produk cacat, maka ketika satu produk dikeluarkan, produk tersebut dapat berubah menjadi peristiwa baik, atau peristiwa cacat.

Operasi pada acara

Ketika mengembangkan peralatan dan metodologi untuk mempelajari kejadian acak dalam teori probabilitas, konsep jumlah dan hasil kali kejadian sangatlah penting.

Jumlah, atau gabungan, beberapa peristiwa adalah suatu peristiwa yang terdiri dari terjadinya paling sedikit satu dari peristiwa-peristiwa tersebut.

Jumlah kejadian ditunjukkan sebagai berikut:

Misalnya, jika suatu peristiwa mengenai sasaran dengan tembakan pertama, suatu peristiwa - dengan tembakan kedua, maka peristiwa tersebut mengenai sasaran secara umum, tidak peduli dengan tembakan yang mana - yang pertama, kedua, atau keduanya.

Produk, atau perpotongan, beberapa peristiwa adalah suatu peristiwa yang terdiri dari terjadinya gabungan semua peristiwa tersebut.

Produksi acara ditunjukkan

Misal kejadian sasaran terkena tembakan pertama, kejadian sasaran terkena tembakan kedua, maka kejadian sasaran terkena tembakan kedua.

Konsep jumlah dan hasil kali kejadian memiliki interpretasi geometris yang jelas. Misalkan kejadian tersebut terdiri dari suatu titik yang masuk ke dalam daerah tersebut, kejadian tersebut terdiri dari masuknya suatu daerah, maka kejadian tersebut terdiri dari suatu titik yang masuk ke dalam daerah yang diarsir pada Gambar. 1, dan kejadiannya adalah ketika suatu titik menyentuh daerah yang diarsir pada Gambar. 2.

Definisi klasik tentang probabilitas suatu kejadian acak

Untuk membandingkan peristiwa secara kuantitatif menurut tingkat kemungkinan terjadinya, diperkenalkan ukuran numerik, yang disebut probabilitas suatu peristiwa.

Peluang suatu kejadian adalah suatu bilangan yang menyatakan ukuran kemungkinan obyektif terjadinya suatu kejadian.

Peluang suatu kejadian dilambangkan dengan simbol.

Peluang suatu kejadian sama dengan perbandingan jumlah kasus yang menguntungkan kejadian tersebut, dari jumlah total kasus unik yang mungkin, sama mungkinnya, dan tidak kompatibel, dengan jumlah yaitu

Ini adalah definisi klasik tentang probabilitas. Jadi, untuk mencari peluang suatu kejadian, setelah mempertimbangkan berbagai hasil pengujian, perlu untuk menemukan sekumpulan kasus yang mungkin terjadi secara unik, sama-sama mungkin, dan tidak kompatibel, menghitung jumlah totalnya, jumlah kasus yang menguntungkan suatu kejadian. kejadian, lalu lakukan perhitungan menggunakan rumus (1.1).

Dari rumus (1.1) dapat disimpulkan bahwa peluang suatu kejadian adalah bilangan non-negatif dan dapat bervariasi dari nol hingga satu tergantung pada proporsi jumlah kasus yang menguntungkan dari jumlah total kasus:

Sifat Probabilitas

Properti 1. Jika semua kasus menguntungkan bagi suatu peristiwa tertentu, maka peristiwa ini pasti akan terjadi. Oleh karena itu, peristiwa yang dimaksud dapat diandalkan, dan peluang terjadinya adalah , karena dalam kasus ini

Properti 2. Jika tidak ada satu pun kasus yang menguntungkan bagi suatu peristiwa tertentu, maka peristiwa tersebut tidak dapat terjadi sebagai akibat dari pengalaman. Oleh karena itu, peristiwa yang dimaksud tidak mungkin terjadi, dan peluang terjadinya adalah , karena dalam kasus ini:

Properti 3. Peluang terjadinya kejadian-kejadian yang membentuk kelompok lengkap adalah sama dengan satu.

Properti 4. Peluang terjadinya suatu peristiwa yang berlawanan ditentukan dengan cara yang sama seperti peluang terjadinya suatu peristiwa:

dimana adalah banyaknya kasus yang mendukung terjadinya peristiwa sebaliknya. Oleh karena itu, peluang terjadinya peristiwa yang berlawanan sama dengan selisih antara kesatuan dan peluang terjadinya peristiwa tersebut:

Martabat penting Definisi klasik dari probabilitas suatu peristiwa adalah bahwa dengan bantuannya probabilitas suatu peristiwa dapat ditentukan tanpa menggunakan pengalaman, tetapi berdasarkan penalaran logis.

Contoh 1. Saat memanggil nomor telepon, pelanggan lupa satu digit dan memutarnya secara acak. Temukan probabilitas bahwa nomor yang benar telah dihubungi.

Larutan. Mari kita nyatakan peristiwa ketika nomor yang diperlukan telah dihubungi. Pelanggan dapat menekan salah satu dari 10 digit tersebut, sehingga jumlah total kemungkinan hasil adalah 10. Hasil ini adalah satu-satunya kemungkinan (salah satu digit harus dihubungi) dan kemungkinan yang sama (digit tersebut dipanggil secara acak). Hanya satu hasil yang mendukung acara tersebut (hanya ada satu nomor yang diperlukan). Probabilitas yang diperlukan sama dengan rasio jumlah hasil yang menguntungkan peristiwa tersebut dengan jumlah semua hasil:

Elemen kombinatorik

Dalam teori probabilitas, penempatan, permutasi, dan kombinasi sering digunakan. Jika satu set diberikan, maka penempatan (kombinasi) elemen oleh adalah himpunan bagian terurut (tidak berurutan) dari elemen himpunan. Ketika ditempatkan disebut penyusunan kembali dari elemen.

Misalkan diberikan satu set. Penempatan ketiga elemen himpunan dua ini adalah , , , , , ; kombinasi - , , .

Dua kombinasi berbeda dalam setidaknya satu elemen, dan penempatan berbeda dalam elemen itu sendiri atau dalam urutan kemunculannya. Banyaknya kombinasi unsur dihitung dengan rumus

adalah jumlah penempatan elemen sebesar ; - jumlah permutasi elemen.

Contoh 2. Dalam kumpulan 10 bagian ada 7 bagian standar. Tentukan peluang terambilnya 6 bagian secara acak, terdapat tepat 4 bagian baku.

Larutan. Jumlah total hasil tes yang mungkin sama dengan banyaknya cara di mana 6 bagian dapat diekstraksi dari 10, yaitu sama dengan jumlah kombinasi 10 elemen dari 6. Banyaknya hasil yang mendukung kejadian tersebut (di antara 6 bagian yang diambil tepat ada 4 bagian standar) ditentukan sebagai berikut: 4 bagian standar dapat diambil dari 7 bagian standar dengan cara yang berbeda-beda; dalam hal ini, bagian lainnya harus non-standar; Ada cara untuk mengambil 2 bagian non-standar dari bagian non-standar. Oleh karena itu, jumlah hasil yang menguntungkan sama dengan . Probabilitas awal sama dengan rasio jumlah hasil yang menguntungkan peristiwa tersebut dengan jumlah semua hasil:

Definisi statistik probabilitas

Rumus (1.1) digunakan untuk menghitung secara langsung probabilitas kejadian hanya jika pengalaman direduksi menjadi suatu pola kasus. Dalam praktiknya, definisi klasik tentang probabilitas seringkali tidak dapat diterapkan karena dua alasan: pertama, definisi klasik tentang probabilitas mengasumsikan bahwa jumlah total kasus harus terbatas. Faktanya, seringkali tidak dibatasi. Kedua, seringkali tidak mungkin untuk menyajikan hasil suatu eksperimen dalam bentuk kejadian-kejadian yang sama-sama mungkin terjadi dan tidak kompatibel.

Frekuensi terjadinya peristiwa selama Eksperimen berulang cenderung stabil di sekitar nilai konstan. Dengan demikian, nilai konstanta tertentu dapat diasosiasikan dengan peristiwa yang sedang dipertimbangkan, di mana frekuensi dikelompokkan dan yang merupakan karakteristik dari hubungan objektif antara himpunan kondisi di mana eksperimen dilakukan dan peristiwa tersebut.

Probabilitas suatu kejadian acak adalah angka di mana frekuensi kejadian tersebut dikelompokkan seiring dengan bertambahnya jumlah percobaan.

Definisi probabilitas ini disebut statistik.

Keuntungan metode statistik dalam menentukan probabilitas adalah didasarkan pada eksperimen nyata. Namun, kelemahan signifikannya adalah untuk menentukan probabilitas, perlu dilakukan sejumlah besar eksperimen, yang sering kali dikaitkan dengan biaya material. Definisi statistik dari probabilitas suatu peristiwa, meskipun mengungkapkan sepenuhnya isi konsep ini, tidak memungkinkan untuk menghitung probabilitas secara sebenarnya.

Definisi klasik tentang probabilitas mempertimbangkan kelompok lengkap dari sejumlah kejadian yang sama-sama mungkin. Dalam praktiknya, seringkali jumlah kemungkinan hasil tes tidak terbatas. Dalam kasus seperti ini, definisi klasik tentang probabilitas tidak dapat diterapkan. Namun, terkadang dalam kasus seperti itu, Anda dapat menggunakan metode penghitungan probabilitas yang lain. Untuk lebih pastinya, kami membatasi diri pada kasus dua dimensi.

Misalkan suatu daerah dengan luas tertentu, yang berisi daerah lain, diberikan pada bidang tersebut (Gbr. 3). Sebuah titik dilempar ke area tersebut secara acak. Berapa peluang suatu titik jatuh ke dalam wilayah tersebut? Diasumsikan bahwa suatu titik yang dilempar secara acak dapat mengenai titik mana pun di wilayah tersebut, dan peluang mengenai bagian mana pun dari wilayah tersebut sebanding dengan luas bagian tersebut dan tidak bergantung pada lokasi dan bentuknya. Dalam hal ini, kemungkinan memasuki area tersebut

Jadi, secara umum, jika kemungkinan munculnya suatu titik secara acak di dalam suatu area tertentu pada suatu garis, bidang, atau ruang tidak ditentukan oleh letak area tersebut dan batas-batasnya, tetapi hanya oleh ukurannya, yaitu. , luas atau volume, lalu probabilitas suatu titik acak jatuh dalam suatu wilayah tertentu didefinisikan sebagai rasio luas wilayah tersebut dengan luas seluruh wilayah di mana suatu titik tertentu dapat muncul. Ini adalah definisi geometris dari probabilitas.

Contoh 3. Sebuah sasaran berbentuk bulat berputar dengan kecepatan sudut konstan. Seperlima target dicat hijau dan sisanya putih (Gbr. 4). Sebuah tembakan dilepaskan ke sasaran sedemikian rupa sehingga mengenai sasaran adalah peristiwa yang dapat diandalkan. Hal ini diperlukan untuk menentukan kemungkinan mengenai sektor target yang diwarnai warna hijau.

Larutan. Mari kita nyatakan “tembakan mengenai sektor yang berwarna hijau”. Kemudian . Probabilitas diperoleh sebagai perbandingan luas bagian sasaran yang dicat hijau dengan seluruh luas sasaran, karena kemungkinan mengenai bagian mana pun dari sasaran sama-sama mungkin.

Aksioma teori probabilitas

Dari definisi statistik peluang suatu kejadian acak dapat disimpulkan bahwa peluang suatu kejadian adalah bilangan di mana frekuensi kejadian yang diamati secara eksperimental dikelompokkan. Oleh karena itu, aksioma teori probabilitas diperkenalkan agar probabilitas suatu peristiwa mempunyai sifat dasar frekuensi.

Aksioma 1. Setiap kejadian berhubungan dengan angka tertentu yang memenuhi kondisi dan disebut probabilitasnya.

Banyak orang, ketika dihadapkan pada konsep “teori probabilitas”, menjadi takut, berpikir bahwa ini adalah sesuatu yang luar biasa, sangat kompleks. Namun sebenarnya semuanya tidak begitu tragis. Hari ini kita akan melihat konsep dasar teori probabilitas dan mempelajari cara memecahkan masalah menggunakan contoh-contoh spesifik.

Ilmu

Apa yang dipelajari oleh cabang matematika seperti “teori probabilitas”? Dia mencatat pola dan kuantitas. Para ilmuwan pertama kali tertarik pada masalah ini pada abad kedelapan belas, ketika mereka mempelajari perjudian. Konsep dasar teori probabilitas adalah suatu peristiwa. Ini adalah fakta apa pun yang ditetapkan melalui pengalaman atau pengamatan. Tapi apakah pengalaman itu? Konsep dasar lain dari teori probabilitas. Artinya, rangkaian keadaan ini diciptakan bukan secara kebetulan, melainkan untuk tujuan tertentu. Adapun observasi, di sini peneliti sendiri tidak ikut serta dalam percobaan, tetapi hanya menjadi saksi dari peristiwa-peristiwa tersebut, ia tidak mempengaruhi apa yang terjadi dengan cara apapun.

Acara

Kami mempelajari bahwa konsep dasar teori probabilitas adalah suatu peristiwa, tetapi kami tidak mempertimbangkan klasifikasinya. Semuanya dibagi ke dalam kategori berikut:

• Dapat diandalkan.
• Mustahil.
• Acak.

Terlepas dari jenis peristiwa apa yang terjadi, diamati atau diciptakan selama pengalaman, semuanya termasuk dalam klasifikasi ini. Kami mengundang Anda untuk mengenal setiap jenis secara terpisah.

Acara yang dapat diandalkan

Ini adalah keadaan dimana serangkaian tindakan yang diperlukan telah diambil. Untuk lebih memahami esensinya, ada baiknya memberikan beberapa contoh. Fisika, kimia, ekonomi, dan matematika tingkat tinggi tunduk pada hukum ini. Teori probabilitas mencakup konsep penting seperti peristiwa yang dapat diandalkan. Berikut beberapa contohnya:

• Kami bekerja dan menerima kompensasi dalam bentuk upah.
• Kami lulus ujian dengan baik, lulus kompetisi, untuk itu kami mendapat imbalan berupa masuk lembaga pendidikan.
• Kami menginvestasikan uang di bank, dan jika perlu, kami akan mendapatkannya kembali.

Peristiwa seperti itu dapat diandalkan. Jika kita sudah menyelesaikan semuanya kondisi yang diperlukan, maka kita pasti akan mendapatkan hasil yang diharapkan.

Peristiwa yang mustahil

Sekarang kita sedang mempertimbangkan elemen teori probabilitas. Kami mengusulkan untuk beralih ke penjelasan jenis kejadian berikutnya, yaitu kejadian yang mustahil. Untuk memulainya, mari kita tentukan yang paling banyak aturan penting- kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang mustahil adalah nol.

Seseorang tidak boleh menyimpang dari rumusan ini ketika memecahkan masalah. Untuk lebih jelasnya, berikut contoh peristiwa tersebut:

• Air membeku pada suhu plus sepuluh (ini tidak mungkin).
• Kurangnya listrik tidak mempengaruhi produksi dengan cara apapun (sama mustahilnya dengan contoh sebelumnya).

Tidak ada gunanya memberikan lebih banyak contoh, karena contoh yang dijelaskan di atas dengan jelas mencerminkan esensi dari kategori ini. Suatu kejadian mustahil tidak akan pernah terjadi selama percobaan dalam kondisi apapun.

Peristiwa Acak

Mempelajari unsur-unsur teori probabilitas, Perhatian khusus layak untuk diperhatikan spesies ini acara. Inilah yang dipelajari sains. Sebagai hasil dari pengalaman, sesuatu mungkin terjadi atau tidak. Selain itu, pengujian dapat dilakukan dalam jumlah yang tidak terbatas. Contoh nyatanya meliputi:

• Pelemparan koin adalah sebuah pengalaman atau ujian, pendaratan kepala adalah sebuah peristiwa.
• Mengeluarkan bola dari dalam tas secara membabi buta adalah sebuah ujian; mendapatkan bola merah adalah sebuah peristiwa, dan seterusnya.

Contoh-contoh seperti itu jumlahnya tidak terbatas, tetapi, secara umum, esensinya harus jelas. Untuk meringkas dan mensistematisasikan pengetahuan yang diperoleh tentang peristiwa tersebut, disediakan tabel. Teori probabilitas hanya mempelajari jenis terakhir dari semua yang disajikan.

Hukum

Teori probabilitas adalah ilmu yang mempelajari kemungkinan terjadinya suatu peristiwa. Seperti yang lainnya, ia memiliki beberapa aturan. Ada hukum teori probabilitas berikut:

• Konvergensi barisan variabel acak.
• Hukum bilangan besar.

Saat menghitung kemungkinan sesuatu yang kompleks, Anda dapat menggunakan kompleks tersebut peristiwa sederhana untuk mencapai hasil dengan cara yang lebih mudah dan cepat. Perhatikan bahwa hukum dapat dengan mudah dibuktikan dengan menggunakan teorema tertentu. Kami menyarankan agar Anda mengenal hukum pertama terlebih dahulu.

Konvergensi barisan variabel acak

Perhatikan bahwa ada beberapa jenis konvergensi:

• Urutan variabel acak konvergen dalam probabilitas.
• Hampir tidak mungkin.
• Konvergensi kuadrat rata-rata.
• Konvergensi distribusi.

Jadi, sangat sulit untuk memahami esensinya. Berikut adalah definisi yang akan membantu Anda memahami topik ini. Mari kita mulai dengan tampilan pertama. Urutannya disebut probabilitasnya konvergen, jika syarat berikut terpenuhi: n cenderung tak terhingga, bilangan yang cenderung barisan tersebut lebih besar dari nol dan mendekati satu.

Mari kita lanjutkan ke tampilan berikutnya,hampir pasti. Barisan tersebut dikatakan konvergen hampir pasti ke variabel acak dengan n cenderung tak terhingga dan P cenderung nilai mendekati kesatuan.

Tipe berikutnya adalah konvergensi kuadrat rata-rata. Saat menggunakan konvergensi SC, studi tentang proses acak vektor direduksi menjadi studi tentang proses acak koordinatnya.

Masih ada tipe yang terakhir, mari kita simak secara singkat agar kita bisa langsung melanjutkan ke penyelesaian masalah. Konvergensi dalam distribusi memiliki nama lain - “lemah”, dan kami akan menjelaskan alasannya nanti. Konvergensi yang lemah adalah konvergensi fungsi distribusi pada semua titik kontinuitas fungsi distribusi pembatas.

Kami pasti akan menepati janji kami: konvergensi lemah berbeda dari semua hal di atas karena variabel acak tidak ditentukan dalam ruang probabilitas. Hal ini dimungkinkan karena kondisi tersebut dibentuk secara eksklusif menggunakan fungsi distribusi.

Hukum Bilangan Besar

Teorema teori probabilitas, seperti:

• Ketimpangan Chebyshev.
• teorema Chebyshev.
• Teorema Chebyshev yang digeneralisasikan.
• teorema Markov.

Jika kita mempertimbangkan semua teorema ini, maka pertanyaan ini mungkin berlarut-larut hingga beberapa lusin lembar. Tugas utama kami adalah menerapkan teori probabilitas dalam praktik. Kami menyarankan Anda melakukan ini sekarang. Namun sebelum itu, mari kita lihat aksioma teori probabilitas yang akan menjadi asisten utama dalam menyelesaikan masalah.

Aksioma

Kami sudah bertemu yang pertama ketika kami berbicara tentang peristiwa yang mustahil. Mari kita ingat: kemungkinan suatu kejadian yang mustahil adalah nol. Kami memberikan contoh yang sangat jelas dan berkesan: salju turun pada suhu udara tiga puluh derajat Celcius.

Yang kedua adalah sebagai berikut: suatu peristiwa yang dapat diandalkan terjadi dengan probabilitas sama dengan satu. Sekarang kami akan menunjukkan cara menulisnya menggunakan bahasa matematika: P(B)=1.

Ketiga: Suatu peristiwa acak bisa saja terjadi atau tidak, tetapi kemungkinannya selalu berkisar antara nol sampai satu. Semakin dekat nilainya dengan satu, semakin besar peluangnya; jika nilainya mendekati nol, kemungkinannya sangat rendah. Mari kita tuliskan ini dalam bahasa matematika: 0<Р(С)<1.

Mari kita perhatikan aksioma terakhir, keempat, yang bunyinya seperti ini: peluang jumlah dua kejadian sama dengan jumlah peluangnya. Kita menuliskannya dalam bahasa matematika: P(A+B)=P(A)+P(B).

Aksioma teori probabilitas merupakan aturan paling sederhana yang tidak sulit untuk diingat. Mari kita coba menyelesaikan beberapa masalah berdasarkan pengetahuan yang telah kita peroleh.

Tiket lotere

Pertama, mari kita lihat contoh paling sederhana - lotere. Bayangkan Anda membeli satu tiket lotre untuk keberuntungan. Berapa probabilitas Anda akan memenangkan setidaknya dua puluh rubel? Secara total, seribu tiket berpartisipasi dalam pengundian, salah satunya berhadiah lima ratus rubel, sepuluh di antaranya masing-masing bernilai seratus rubel, lima puluh berhadiah dua puluh rubel, dan seratus berhadiah lima. Masalah probabilitas didasarkan pada pencarian kemungkinan keberuntungan. Sekarang bersama-sama kita akan menganalisis solusi dari tugas di atas.

Jika kita menggunakan huruf A untuk menunjukkan kemenangan lima ratus rubel, maka peluang mendapatkan A akan sama dengan 0,001. Bagaimana kita mendapatkan ini? Anda hanya perlu membagi jumlah tiket “beruntung” dengan jumlah totalnya (dalam hal ini: 1/1000).

B adalah kemenangan seratus rubel, kemungkinannya adalah 0,01. Sekarang kita bertindak dengan prinsip yang sama seperti pada tindakan sebelumnya (10/1000)

C - kemenangannya adalah dua puluh rubel. Kami menemukan probabilitasnya, itu sama dengan 0,05.

Kami tidak tertarik dengan sisa tiket, karena dana hadiahnya kurang dari yang ditentukan dalam ketentuan. Mari kita terapkan aksioma keempat: Peluang memenangkan setidaknya dua puluh rubel adalah P(A)+P(B)+P(C). Huruf P menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu peristiwa tertentu, kita telah menemukannya pada tindakan sebelumnya. Tinggal menjumlahkan data yang diperlukan, dan jawaban yang kita dapatkan adalah 0,061. Nomor ini akan menjadi jawaban dari pertanyaan tugas.

Dek kartu

Permasalahan dalam teori probabilitas bisa jadi lebih kompleks; sebagai contoh, mari kita ambil tugas berikut. Di depan Anda ada setumpuk tiga puluh enam kartu. Tugas Anda adalah menggambar dua kartu berturut-turut tanpa mengocok tumpukan, kartu pertama dan kedua harus kartu as, jenisnya tidak masalah.

Pertama, mari kita cari peluang terambilnya kartu pertama kartu as, untuk ini kita bagi empat dengan tiga puluh enam. Mereka mengesampingkannya. Kami mengambil kartu kedua, itu akan menjadi kartu as dengan probabilitas tiga tiga puluh lima. Kemungkinan kejadian kedua tergantung pada kartu mana yang kita ambil pertama kali, kita bertanya-tanya apakah itu kartu as atau bukan. Oleh karena itu, kejadian B bergantung pada kejadian A.

Langkah selanjutnya adalah mencari peluang terjadinya secara bersamaan, yaitu kita mengalikan A dan B. Hasil kali keduanya adalah sebagai berikut: kita mengalikan peluang suatu kejadian dengan peluang bersyarat dari kejadian lain, yang kita hitung, dengan asumsi bahwa kejadian pertama peristiwa terjadi, yaitu kita mengambil kartu as dengan kartu pertama.

Untuk memperjelas semuanya, mari kita beri sebutan pada elemen seperti peristiwa. Dihitung dengan asumsi peristiwa A telah terjadi. Dihitung sebagai berikut: P(B/A).

Mari kita lanjutkan menyelesaikan soal kita: P(A * B) = P(A) * P(B/A) atau P(A * B) = P(B) * P(A/B). Probabilitasnya sama dengan (4/36) * ((3/35)/(4/36). Kita hitung dengan membulatkan ke perseratus terdekat. Kita mendapatkan: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09 Peluang terambilnya dua buah as berturut-turut adalah sembilan per seratus Nilainya sangat kecil, sehingga peluang terjadinya peristiwa tersebut sangat kecil.

Nomor yang terlupakan

Kami mengusulkan untuk menganalisis beberapa varian tugas yang dipelajari oleh teori probabilitas. Anda telah melihat contoh penyelesaian beberapa di antaranya di artikel ini. Mari kita coba selesaikan masalah berikut: anak laki-laki itu lupa digit terakhir nomor telepon temannya, tetapi karena panggilan itu sangat penting, dia mulai menelepon semuanya satu per satu. . Kita perlu menghitung kemungkinan dia akan menelepon tidak lebih dari tiga kali. Pemecahan masalah paling sederhana jika aturan, hukum, dan aksioma teori probabilitas diketahui.

Sebelum melihat solusinya, coba selesaikan sendiri. Kita tahu bahwa digit terakhir bisa dari nol sampai sembilan, yaitu total sepuluh nilai. Peluang terambilnya jawaban yang benar adalah 1/10.

Selanjutnya kita perlu mempertimbangkan pilihan asal usul kejadian tersebut, misalkan anak tersebut menebak dengan benar dan langsung mengetik yang benar, kemungkinan terjadinya kejadian tersebut adalah 1/10. Opsi kedua: panggilan pertama meleset, dan panggilan kedua tepat sasaran. Mari kita hitung kemungkinan kejadian seperti itu: kalikan 9/10 dengan 1/9, dan sebagai hasilnya kita juga mendapatkan 1/10. Opsi ketiga: panggilan pertama dan kedua ternyata berada di alamat yang salah, hanya pada panggilan ketiga anak itu sampai ke tempat yang diinginkannya. Kami menghitung kemungkinan kejadian seperti itu: 9/10 dikalikan 8/9 dan 1/8, menghasilkan 1/10. Kami tidak tertarik dengan pilihan lain sesuai dengan kondisi soal, jadi kita tinggal menjumlahkan hasil yang didapat, pada akhirnya kita mendapat 3/10. Jawaban: peluang anak laki-laki tersebut menelepon tidak lebih dari tiga kali adalah 0,3.

Kartu dengan angka

Ada sembilan kartu di depan Anda, yang masing-masingnya tertulis angka satu sampai sembilan, angkanya tidak berulang. Mereka dimasukkan ke dalam kotak dan diaduk rata. Anda perlu menghitung kemungkinannya

• angka genap akan muncul;
• dua digit.

Sebelum melanjutkan ke penyelesaian, mari kita tetapkan bahwa m adalah jumlah kasus yang berhasil, dan n adalah jumlah total pilihan. Mari kita cari peluang munculnya bilangan genap. Tidak akan sulit untuk menghitung bahwa ada empat bilangan genap, ini adalah m kita, total ada sembilan opsi yang memungkinkan, yaitu m=9. Maka probabilitasnya adalah 0,44 atau 4/9.

Mari kita pertimbangkan kasus kedua: jumlah pilihan adalah sembilan, dan tidak ada hasil yang berhasil sama sekali, yaitu m sama dengan nol. Peluang terambilnya kartu berisi dua angka juga nol.

Catatan penting!
1. Jika Anda melihat gobbledygook dan bukan rumus, kosongkan cache Anda. Cara melakukan ini di browser Anda tertulis di sini:
2. Sebelum Anda mulai membaca artikel, perhatikan navigator kami untuk mendapatkan sumber daya yang paling berguna

Apa itu probabilitas?

Pertama kali saya menemukan istilah ini, saya tidak mengerti apa itu. Oleh karena itu, saya akan mencoba menjelaskannya secara gamblang.

Probabilitas adalah peluang terjadinya peristiwa yang kita inginkan.

Misalnya, Anda memutuskan untuk pergi ke rumah teman, Anda ingat pintu masuknya bahkan lantai tempat tinggalnya. Tapi saya lupa nomor dan lokasi apartemennya. Dan sekarang Anda berdiri di tangga, dan di depan Anda ada pintu untuk dipilih.

Berapa peluang (probabilitas) jika Anda membunyikan bel pintu pertama, teman Anda akan membukakan pintu untuk Anda? Hanya ada apartemen, dan seorang teman hanya tinggal di belakang salah satunya. Dengan peluang yang sama kita bisa memilih pintu mana saja.

Tapi peluang apa ini?

Pintunya, pintu kanan. Peluang menebak dengan membunyikan bel pintu pertama: . Artinya, satu dari tiga kali Anda akan menebak dengan akurat.

Kami ingin tahu, setelah menelepon sekali, seberapa sering kami akan menebak pintunya? Mari kita lihat semua opsi:

1. Anda menelepon 1 pintu
2. Anda menelepon ke-2 pintu
3. Anda menelepon ke-3 pintu

Sekarang mari kita lihat semua opsi di mana seorang teman bisa berada:

A. Di belakang 1 pintu
B. Di belakang ke-2 pintu
V. Di belakang ke-3 pintu

Mari kita bandingkan semua opsi dalam bentuk tabel. Tanda centang menunjukkan opsi ketika pilihan Anda bertepatan dengan lokasi teman, tanda silang - jika tidak bertepatan.

Bagaimana Anda melihat semuanya Mungkin pilihan lokasi teman Anda dan pilihan pintu mana yang akan Anda hubungi.

A hasil yang menguntungkan bagi semuanya . Artinya, Anda akan menebak sekali dengan membunyikan bel pintu satu kali, yaitu. .

Ini adalah probabilitas - rasio hasil yang menguntungkan (ketika pilihan Anda bertepatan dengan lokasi teman Anda) dengan jumlah kejadian yang mungkin terjadi.

Definisinya adalah rumusnya. Probabilitas biasanya dilambangkan dengan p, oleh karena itu:

Sangat tidak mudah untuk menulis rumus seperti itu, jadi kita akan mengambil - jumlah hasil yang diinginkan, dan untuk - jumlah total hasil.

Probabilitasnya dapat ditulis sebagai persentase, untuk melakukannya, Anda perlu mengalikan hasilnya dengan:

Kata “hasil” mungkin menarik perhatian Anda. Karena ahli matematika menyebut berbagai tindakan (dalam kasus kami, tindakan seperti itu adalah bel pintu) sebagai eksperimen, hasil dari eksperimen tersebut biasanya disebut hasil.

Ya, ada hasil yang menguntungkan dan tidak menguntungkan.

Mari kita kembali ke contoh kita. Katakanlah kita membunyikan salah satu pintu, tetapi orang asing membukakannya untuk kita. Kami tidak menebak dengan benar. Berapa peluang jika kita membunyikan salah satu pintu yang tersisa, teman kita akan membukakannya untuk kita?

Jika Anda berpikir demikian, maka ini adalah sebuah kesalahan. Mari kita cari tahu.

Kami memiliki dua pintu tersisa. Jadi kami memiliki langkah-langkah yang mungkin:

1) Panggilan 1 pintu
2) Panggilan ke-2 pintu

Temannya, terlepas dari semua ini, pasti berada di belakang salah satu dari mereka (bagaimanapun juga, dia tidak berada di belakang orang yang kami panggil):

a) Teman untuk 1 pintu
b) Teman untuk ke-2 pintu

Mari kita menggambar tabelnya lagi:

Seperti yang Anda lihat, hanya ada pilihan yang menguntungkan. Artinya, kemungkinannya sama.

Mengapa tidak?

Situasi yang kami pertimbangkan adalah contoh kejadian dependen. Peristiwa pertama adalah bel pintu pertama, peristiwa kedua adalah bel pintu kedua.

Dan disebut ketergantungan karena mempengaruhi tindakan berikut. Lagi pula, jika setelah bunyi pertama bel pintu dijawab oleh seorang teman, berapa kemungkinan dia berada di belakang salah satu dari dua lainnya? Benar, .

Tapi kalau ada kejadian dependen, pasti ada juga mandiri? Benar, itu memang terjadi.

Contoh di buku teks adalah melempar koin.

1. Melempar koin satu kali. Berapa probabilitas untuk mendapatkan kepala, misalnya? Itu benar - karena ada semua pilihan (baik kepala atau ekor, kita akan mengabaikan kemungkinan koin mendarat di tepinya), tapi itu hanya cocok untuk kita.
2. Tapi itu muncul. Oke, ayo kita lempar lagi. Berapa kemungkinan mendapatkan perhatian sekarang? Tidak ada yang berubah, semuanya sama. Berapa banyak pilihan? Dua. Berapa banyak yang membuat kita bahagia? Satu.

Dan biarkan hal itu muncul setidaknya seribu kali berturut-turut. Kemungkinan mendapatkan kepala sekaligus akan sama. Selalu ada pilihan, dan ada pilihan yang menguntungkan.

Sangat mudah untuk membedakan peristiwa dependen dari peristiwa independen:

1. Jika percobaan dilakukan satu kali (mereka melempar koin satu kali, membunyikan bel pintu satu kali, dan seterusnya), maka kejadiannya selalu independen.
2. Jika suatu percobaan dilakukan beberapa kali (sebuah koin dilempar satu kali, bel pintu dibunyikan beberapa kali), maka kejadian pertama selalu bebas. Dan kemudian, jika jumlah yang menguntungkan atau jumlah semua hasil berubah, maka peristiwa-peristiwa tersebut bergantung, dan jika tidak, maka peristiwa-peristiwa tersebut independen.

Mari kita berlatih sedikit menentukan probabilitas.

Contoh 1.

Koin tersebut dilempar sebanyak dua kali. Berapa peluang terambilnya gambar dua kali berturut-turut?

Larutan:

Mari pertimbangkan semua opsi yang memungkinkan:

1. Elang-elang
2. Kepala-ekor
3. Ekor-Kepala
4. Ekor-ekor

Seperti yang Anda lihat, hanya ada pilihan. Dari jumlah tersebut, kami hanya puas. Artinya, kemungkinannya:

Jika kondisi hanya meminta Anda mencari peluang, maka jawabannya harus diberikan dalam bentuk pecahan desimal. Jika ditentukan bahwa jawabannya harus diberikan dalam persentase, maka kita kalikan dengan.

Menjawab:

Contoh 2.

Dalam sekotak coklat, semua coklat dikemas dalam satu bungkus yang sama. Namun, dari yang manis-manis - dengan kacang, dengan cognac, dengan ceri, dengan karamel, dan dengan nougat.

Berapa peluang terambilnya satu permen dan mendapat permen berisi kacang? Berikan jawaban Anda sebagai persentase.

Larutan:

Berapa banyak kemungkinan hasil yang ada? .

Artinya, jika Anda mengambil satu permen, itu akan menjadi salah satu yang tersedia di dalam kotak.

Berapa banyak hasil yang menguntungkan?

Karena kotaknya hanya berisi coklat dengan kacang.

Menjawab:

Contoh 3.

Di dalam sekotak balon. diantaranya berwarna putih dan hitam.

1. Berapa peluang terambilnya bola putih?
2. Kami menambahkan lebih banyak bola hitam ke dalam kotak. Berapakah peluang terambilnya bola putih sekarang?

Larutan:

a) Hanya ada bola di dalam kotak. Diantaranya berwarna putih.

Kemungkinannya adalah:

b) Sekarang ada lebih banyak bola di dalam kotak. Dan jumlah orang kulit putih yang tersisa sama banyaknya - .

Menjawab:

Kemungkinan total

Katakanlah ada bola merah dan hijau di dalam sebuah kotak. Berapa peluang terambilnya bola merah? Bola hijau? Bola merah atau hijau?

Peluang terambilnya bola merah

Bola hijau:

Bola merah atau hijau:

Seperti yang Anda lihat, jumlah semua kejadian yang mungkin sama dengan (). Memahami poin ini akan membantu Anda memecahkan banyak masalah.

Contoh 4.

Ada spidol di dalam kotak: hijau, merah, biru, kuning, hitam.

Berapa peluang terambilnya BUKAN spidol merah?

Larutan:

Mari kita hitung jumlahnya hasil yang menguntungkan.

BUKAN spidol merah, artinya hijau, biru, kuning atau hitam.

Aturan untuk mengalikan peluang kejadian independen

Anda sudah tahu apa itu acara independen.

Bagaimana jika Anda perlu mencari peluang terjadinya dua (atau lebih) peristiwa independen secara berturut-turut?

Katakanlah kita ingin mengetahui berapa probabilitas jika kita melempar sebuah koin satu kali, kita akan melihat gambarnya dua kali?

Kami telah mempertimbangkan - .

Bagaimana jika kita melempar koin satu kali? Berapa peluang melihat elang dua kali berturut-turut?

Jumlah opsi yang memungkinkan:

1. Elang-elang-elang
2. Kepala-kepala-ekor
3. Kepala-ekor-kepala
4. Kepala-ekor-ekor
5. Ekor-kepala-kepala
6. Ekor-kepala-ekor
7. Ekor-ekor-kepala
8. Ekor-ekor-ekor

Saya tidak tahu tentang Anda, tetapi saya membuat kesalahan beberapa kali saat menyusun daftar ini. Wow! Dan satu-satunya pilihan (yang pertama) yang cocok untuk kita.

Untuk 5 lemparan, Anda dapat membuat sendiri daftar kemungkinan hasil. Namun matematikawan tidak pekerja keras seperti Anda.

Oleh karena itu, mereka pertama-tama memperhatikan dan kemudian membuktikan bahwa peluang suatu rangkaian kejadian independen tertentu setiap kali berkurang sebesar peluang satu kejadian.

Dengan kata lain,

Mari kita lihat contoh koin naas yang sama.

Kemungkinan mendapat tantangan? . Sekarang kita melempar koinnya satu kali.

Berapa peluang mendapatkan hasil berturut-turut?

Aturan ini tidak hanya berlaku jika kita diminta mencari peluang terjadinya peristiwa yang sama beberapa kali berturut-turut.

Jika kita ingin mencari barisan TAILS-HEADS-TAILS untuk pelemparan berturut-turut, kita akan melakukan hal yang sama.

Peluang terambilnya ekor adalah , kepala - .

Peluang terambilnya barisan TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:

Anda bisa mengeceknya sendiri dengan membuat tabel.

Aturan untuk menambahkan probabilitas kejadian yang tidak kompatibel.

Jadi berhentilah! Definisi baru.

Mari kita cari tahu. Mari kita ambil koin kita yang sudah usang dan melemparkannya sekali.
Opsi yang memungkinkan:

1. Elang-elang-elang
2. Kepala-kepala-ekor
3. Kepala-ekor-kepala
4. Kepala-ekor-ekor
5. Ekor-kepala-kepala
6. Ekor-kepala-ekor
7. Ekor-ekor-kepala
8. Ekor-ekor-ekor

Jadi, peristiwa-peristiwa yang tidak sesuai adalah suatu rangkaian peristiwa yang pasti dan tertentu. - ini adalah peristiwa yang tidak kompatibel.

Jika kita ingin menentukan berapa peluang dua (atau lebih) kejadian yang tidak sesuai, maka kita tambahkan peluang kejadian tersebut.

Perlu Anda pahami bahwa head atau tail adalah dua peristiwa yang berdiri sendiri.

Jika kita ingin menentukan peluang terjadinya suatu barisan (atau barisan lainnya), maka kita menggunakan aturan mengalikan peluang.
Berapa peluang munculnya gambar kepala pada pelemparan pertama, dan hasil gambar pada pelemparan kedua dan ketiga?

Tetapi jika kita ingin mengetahui berapa probabilitas untuk mendapatkan salah satu dari beberapa urutan, misalnya ketika kepala muncul tepat satu kali, yaitu. pilihan dan, kemudian kita harus menjumlahkan probabilitas dari barisan ini.

Pilihan total cocok untuk kita.

Kita bisa mendapatkan hal yang sama dengan menjumlahkan peluang terjadinya setiap barisan:

Jadi, kita menambahkan probabilitas ketika kita ingin menentukan probabilitas dari rangkaian kejadian tertentu yang tidak konsisten.

Ada aturan bagus untuk membantu Anda menghindari kebingungan kapan harus mengalikan dan kapan harus menjumlahkan:

Mari kita kembali ke contoh di mana kita melempar koin satu kali dan ingin mengetahui probabilitas melihat kepala satu kali.
Apa yang akan terjadi?

Harus rontok:
(kepala DAN ekor DAN ekor) ATAU (ekor DAN kepala DAN ekor) ATAU (ekor DAN ekor DAN kepala).
Begini hasilnya:

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh 5.

Ada pensil di dalam kotak. merah, hijau, oranye dan kuning dan hitam. Berapa peluang terambilnya pensil merah atau hijau?

Larutan:

Contoh 6.

Jika sebuah dadu dilempar dua kali, berapakah peluang munculnya mata dadu berjumlah 8?

Larutan.

Bagaimana kita bisa mendapatkan poin?

(dan) atau (dan) atau (dan) atau (dan) atau (dan).

Peluang terambilnya satu (setiap) wajah adalah .

Kami menghitung probabilitasnya:

Pelatihan.

Saya rasa sekarang Anda mengerti kapan Anda perlu menghitung probabilitas, kapan harus menjumlahkannya, dan kapan harus mengalikannya. Bukankah begitu? Mari berlatih sedikit.

Tugas:

Mari kita ambil setumpuk kartu yang berisi kartu termasuk sekop, hati, 13 tongkat, dan 13 berlian. Dari hingga As masing-masing setelan.

1. Berapa peluang terambilnya tongkat secara berurutan (kita meletakkan kartu pertama yang ditarik kembali ke dalam tumpukan dan mengocoknya)?
2. Berapa peluang terambilnya kartu hitam (sekop atau pentungan)?
3. Berapa peluang terambilnya gambar (jack, queen, king atau ace)?
4. Berapa peluang terambilnya dua gambar berturut-turut (kita mengeluarkan kartu pertama yang diambil dari tumpukan)?
5. Berapakah probabilitas, dengan mengambil dua kartu, untuk mendapatkan kombinasi - (jack, queen atau king) dan sebuah kartu as?Urutan pengambilan kartu tidak menjadi masalah.

Jawaban:

Jika Anda mampu menyelesaikan semua masalah sendiri, maka Anda hebat! Sekarang Anda akan memecahkan soal teori probabilitas dalam Ujian Negara Bersatu seperti orang gila!

TEORI PROBABILITAS. LEVEL RATA-RATA

Mari kita lihat sebuah contoh. Katakanlah kita melempar sebuah dadu. Tulang macam apa ini, tahukah kamu? Inilah yang mereka sebut kubus dengan angka di wajahnya. Berapa banyak wajah, begitu banyak angka: dari sampai berapa? Sebelum.

Jadi kita melempar dadu dan kita menginginkannya muncul atau. Dan kami mengerti.

Dalam teori probabilitas, mereka mengatakan apa yang terjadi peristiwa yang menguntungkan(jangan bingung dengan makmur).

Jika itu terjadi, acaranya juga akan menguntungkan. Secara total, hanya dua peristiwa menguntungkan yang bisa terjadi.

Berapa banyak yang tidak menguntungkan? Karena ada total kejadian yang mungkin terjadi, maka kejadian yang tidak menguntungkan adalah kejadian (ini jika atau rontok).

Definisi:

Probabilitas adalah perbandingan jumlah kejadian yang menguntungkan dengan jumlah semua kejadian yang mungkin terjadi. Artinya, probabilitas menunjukkan berapa proporsi semua kemungkinan kejadian yang menguntungkan.

Mereka menunjukkan probabilitas dengan huruf Latin (tampaknya dari kata bahasa Inggris probabilitas - probabilitas).

Merupakan kebiasaan untuk mengukur probabilitas sebagai persentase (lihat topik). Untuk melakukan ini, nilai probabilitas harus dikalikan. Dalam contoh dadu, probabilitas.

Dan dalam persentase: .

Contoh (putuskan sendiri):

1. Berapa peluang munculnya kepala pada saat pelemparan sebuah koin? Berapa kemungkinan mendaratnya kepala?
2. Berapa peluang terambilnya angka genap pada pelemparan sebuah dadu? Yang mana yang aneh?
3. Di dalam kotak pensil sederhana, biru dan merah. Kami menggambar satu pensil secara acak. Berapa peluang terambilnya yang sederhana?

Solusi:

1. Berapa banyak pilihan yang ada? Kepala dan ekor - hanya dua. Berapa banyak yang menguntungkan? Hanya satu yang seekor elang. Jadi kemungkinannya

   Sama halnya dengan ekor: .

2. Pilihan total: (berapa banyak sisi yang dimiliki kubus, begitu banyak pilihan berbeda). Yang menguntungkan: (ini semua bilangan genap :).
   Kemungkinan. Tentu saja sama halnya dengan angka ganjil.
3. Jumlah: . Menguntungkan: . Kemungkinan: .

Kemungkinan total

Semua pensil di dalam kotak berwarna hijau. Berapa peluang terambilnya pensil merah? Tidak ada peluang: probabilitas (bagaimanapun juga, peristiwa yang menguntungkan -).

Peristiwa seperti ini disebut mustahil.

Berapa peluang terambilnya pensil hijau? Jumlah peristiwa menguntungkan sama persis dengan jumlah peristiwa total (semua peristiwa menguntungkan). Jadi probabilitasnya sama dengan atau.

Peristiwa seperti ini disebut dapat diandalkan.

Jika sebuah kotak berisi pensil hijau dan merah, berapa peluang terambilnya pensil hijau atau merah? Sekali lagi. Perhatikan ini: peluang terambilnya warna hijau adalah sama, dan peluang terambilnya warna merah adalah sama.

Singkatnya, probabilitas ini sama persis. Itu adalah, jumlah peluang semua kejadian yang mungkin terjadi sama dengan atau.

Contoh:

Di dalam kotak pensil, di antaranya berwarna biru, merah, hijau, polos, kuning, dan selebihnya oranye. Berapa peluang terambilnya warna hijau?

Larutan:

Kami ingat bahwa semua kemungkinan bertambah. Dan kemungkinan menjadi hijau adalah sama. Artinya peluang tidak terambilnya warna hijau adalah sama.

Ingat trik ini: Peluang tidak terjadinya suatu peristiwa sama dengan dikurangi peluang terjadinya peristiwa tersebut.

Peristiwa bebas dan aturan perkalian

Anda melempar koin sekali dan ingin koin itu muncul dua kali. Seberapa besar kemungkinannya?

Mari kita lihat semua opsi yang memungkinkan dan tentukan berapa banyak yang ada:

Kepala-Kepala, Ekor-Kepala, Kepala-Ekor, Ekor-Ekor. Apa lagi?

Jumlah pilihan. Dari jumlah tersebut, hanya satu yang cocok untuk kita: Elang-Elang. Secara total, kemungkinannya sama.

Bagus. Sekarang mari kita melempar koin satu kali. Hitung sendiri. Telah terjadi? (menjawab).

Anda mungkin telah memperhatikan bahwa dengan penambahan setiap lemparan berikutnya, kemungkinannya berkurang setengahnya. Aturan umum disebut aturan perkalian:

Kemungkinan kejadian independen berubah.

Apa itu acara independen? Semuanya logis: inilah yang tidak bergantung satu sama lain. Misalnya, ketika kita melempar koin beberapa kali, setiap kali dilakukan lemparan baru, yang hasilnya tidak bergantung pada semua lemparan sebelumnya. Kita bisa dengan mudah melempar dua koin berbeda secara bersamaan.

Contoh lainnya:

1. Dadu dilempar dua kali. Berapa peluang terambilnya kedua kali tersebut?
2. Koin tersebut dilempar satu kali. Berapa probabilitas bahwa ia akan muncul pertama kali dan kemudian muncul dua kali?
3. Pemain melempar dua dadu. Berapa peluang terambilnya angka-angka yang sama?

Jawaban:

1. Peristiwa-peristiwa tersebut bersifat independen, yang berarti aturan perkalian berlaku: .
2. Kemungkinan munculnya kepala adalah sama. Kemungkinan ekornya sama. Berkembang biak:
3. 12 hanya dapat diperoleh jika dua -ki dilempar: .

Peristiwa yang tidak kompatibel dan aturan penambahan

Peristiwa yang saling melengkapi sampai pada titik kemungkinan penuh disebut tidak kompatibel. Seperti namanya, hal tersebut tidak bisa terjadi secara bersamaan. Misalnya, jika kita melempar koin, maka yang muncul adalah kepala atau ekor.

Contoh.

Di dalam kotak pensil, di antaranya berwarna biru, merah, hijau, polos, kuning, dan selebihnya oranye. Berapa peluang terambilnya warna hijau atau merah?

Solusi.

Peluang terambilnya pensil hijau adalah sama. Merah - .

Peristiwa yang menguntungkan secara keseluruhan: hijau + merah. Artinya peluang terambilnya warna hijau atau merah adalah sama.

Probabilitas yang sama dapat direpresentasikan dalam bentuk ini: .

Ini adalah aturan penjumlahan: kemungkinan kejadian yang tidak kompatibel bertambah.

Masalah tipe campuran

Contoh.

Koin tersebut dilempar sebanyak dua kali. Berapa peluang hasil pelemparannya berbeda?

Solusi.

Artinya, jika hasil pertama adalah kepala, maka hasil kedua harus ekor, dan sebaliknya. Ternyata ada dua pasang kejadian yang saling bebas, dan pasangan tersebut tidak cocok satu sama lain. Bagaimana agar tidak bingung dimana harus mengalikan dan dimana harus menambah.

Ada aturan sederhana untuk situasi seperti ini. Coba jelaskan apa yang akan terjadi dengan menggunakan kata sambung “DAN” atau “ATAU”. Misalnya dalam hal ini:

Seharusnya muncul (kepala dan ekor) atau (ekor dan kepala).

Jika ada konjungsi “dan” maka akan terjadi perkalian, dan jika ada “atau” maka akan terjadi penjumlahan:

Cobalah sendiri:

1. Berapakah peluang jika sebuah mata uang logam dilempar dua kali, mata uang logam tersebut akan mendarat pada sisi yang sama pada kedua kali pelemparan tersebut?
2. Dadu dilempar dua kali. Berapa peluang mendapatkan total poin?

Solusi:

Contoh lain:

Melempar koin satu kali. Berapa peluang munculnya kepala paling sedikit satu kali?

Larutan:

TEORI PROBABILITAS. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

Probabilitas adalah perbandingan jumlah kejadian yang menguntungkan dengan jumlah semua kejadian yang mungkin terjadi.

Acara independen

Dua kejadian dikatakan independen jika terjadinya salah satu kejadian tidak mengubah peluang terjadinya kejadian lainnya.

Kemungkinan total

Peluang semua kejadian yang mungkin terjadi sama dengan ().

Peluang tidak terjadinya suatu peristiwa sama dengan dikurangi peluang terjadinya peristiwa tersebut.

Aturan untuk mengalikan peluang kejadian independen

Peluang suatu rangkaian kejadian independen tertentu sama dengan hasil kali peluang setiap kejadian

Peristiwa yang tidak kompatibel

Peristiwa yang tidak kompatibel adalah peristiwa yang tidak mungkin terjadi secara bersamaan sebagai akibat dari suatu percobaan. Sejumlah peristiwa yang tidak kompatibel membentuk kelompok peristiwa yang lengkap.

Kemungkinan kejadian yang tidak kompatibel bertambah.

Setelah menjelaskan apa yang seharusnya terjadi, dengan menggunakan konjungsi “AND” atau “OR”, alih-alih “AND” kita beri tanda perkalian, dan sebagai ganti “OR” kita beri tanda penjumlahan.

Nah, topiknya sudah selesai. Jika Anda membaca baris-baris ini, itu berarti Anda sangat keren.

Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda membaca sampai akhir, Anda termasuk dalam 5% ini!

Sekarang hal yang paling penting.

Anda telah memahami teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini luar biasa! Anda sudah lebih baik dari sebagian besar rekan Anda.

Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup...

Untuk apa?

Untuk berhasil lulus Ujian Negara Bersatu, untuk masuk perguruan tinggi dengan anggaran terbatas dan, YANG PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal...

Orang yang mengenyam pendidikan baik memperoleh penghasilan lebih banyak dibandingkan mereka yang tidak mengenyam pendidikan. Ini adalah statistik.

Tapi ini bukanlah hal yang utama.

Yang penting mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan kehidupan menjadi lebih cerah? Tidak tahu...

Tapi pikirkan sendiri...

Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik dari orang lain dalam Ujian Negara Bersatu dan pada akhirnya menjadi... lebih bahagia?

DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MEMECAHKAN MASALAH PADA TOPIK INI.

Anda tidak akan dimintai teori selama ujian.

Anda akan perlu memecahkan masalah melawan waktu.

Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak punya waktu.

Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulanginya berkali-kali agar bisa menang.

Temukan koleksinya di mana pun Anda mau, tentu dengan solusi, analisis rinci dan putuskan, putuskan, putuskan!

Anda dapat menggunakan tugas kami (opsional) dan tentu saja kami merekomendasikannya.

Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.

Bagaimana? Ada dua pilihan:

1. Buka kunci semua tugas tersembunyi di artikel ini -
2. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di 99 artikel buku teks - Beli buku teks - 499 RUR

Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks kami dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.

Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan selama SELURUH umur situs.

Kesimpulannya...

Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti pada teori.

“Dipahami” dan “Saya bisa menyelesaikannya” adalah keterampilan yang sangat berbeda. Anda membutuhkan keduanya.

Temukan masalah dan selesaikan!

Doktrin tentang hukum yang mengatur apa yang disebut. fenomena acak. Kamus kata-kata asing yang termasuk dalam bahasa Rusia. Chudinov A.N., 1910 ... Kamus kata-kata asing dari bahasa Rusia

teori probabilitas- - [LG Sumenko. Kamus Inggris-Rusia tentang teknologi informasi. M.: Badan Usaha Milik Negara TsNIIS, 2003.] Topik teknologi informasi secara umum EN teori probabilitas teori perhitungan peluangprobabilitas ... Panduan Penerjemah Teknis

Teori probabilitas- adalah bagian dari matematika yang mempelajari hubungan antara probabilitas (lihat Probabilitas dan Statistik) dari berbagai peristiwa. Mari kita daftar teorema terpenting yang berkaitan dengan ilmu ini. Peluang terjadinya salah satu dari beberapa kejadian yang tidak sesuai sama dengan... ... Kamus Ensiklopedis F.A. Brockhaus dan I.A. Efron

TEORI PROBABILITAS- matematika ilmu yang memungkinkan, dari probabilitas beberapa kejadian acak (lihat), untuk menemukan probabilitas kejadian acak yang terkait dengan k.l. cara dengan yang pertama. TV Modern berdasarkan aksiomatik (lihat Metode aksiomatik) oleh A. N. Kolmogorov. Di… … Ensiklopedia Sosiologi Rusia

Teori probabilitas- cabang matematika di mana, berdasarkan probabilitas tertentu dari beberapa kejadian acak, probabilitas kejadian lain yang terkait dengan kejadian pertama ditemukan. Teori probabilitas juga mempelajari variabel acak dan proses acak. Salah satu yang utama... ... Konsep ilmu pengetahuan alam modern. Daftar istilah dasar

teori probabilitas- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. teori probabilitas vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. teori probabilitas, f pranc. teori kemungkinan, f… Batasan akhir

Teori probabilitas- ...Wikipedia

Teori probabilitas- disiplin matematika yang mempelajari pola fenomena acak... Awal mula ilmu pengetahuan alam modern

TEORI PROBABILITAS- (teori probabilitas) lihat Probabilitas... Kamus sosiologi penjelasan besar

Teori probabilitas dan penerapannya- (“Teori Probabilitas dan Penerapannya,”) jurnal ilmiah Departemen Matematika Akademi Ilmu Pengetahuan Uni Soviet. Menerbitkan artikel asli dan komunikasi singkat tentang teori probabilitas, isu umum statistik matematika dan penerapannya dalam ilmu pengetahuan alam dan... ... Ensiklopedia Besar Soviet

Buku

• Teori probabilitas. , Ventzel E.S.. Buku ini adalah buku teks yang ditujukan untuk orang-orang yang akrab dengan matematika dalam lingkup kursus perguruan tinggi reguler dan tertarik pada penerapan teknis teori probabilitas, di... Beli untuk UAH 1993 (khusus Ukraina)
• Teori probabilitas. , Ventzel E.S.. Buku ini akan diproduksi sesuai pesanan Anda dengan menggunakan teknologi Print-on-Demand. Buku ini merupakan buku teks yang diperuntukkan bagi orang-orang yang mengenal matematika dalam lingkup biasa...

PERKENALAN

Banyak hal yang tidak dapat kita pahami bukan karena konsep kita lemah;
tetapi karena hal-hal tersebut tidak termasuk dalam jangkauan konsep kami.
Kozma Prutkov

Tujuan utama mempelajari matematika di lembaga pendidikan khusus menengah adalah untuk memberikan siswa seperangkat pengetahuan dan keterampilan matematika yang diperlukan untuk mempelajari disiplin program lain yang menggunakan matematika sampai tingkat tertentu, untuk kemampuan melakukan perhitungan praktis, untuk pembentukan dan pengembangan. dari pemikiran logis.

Dalam karya ini, semua konsep dasar bagian matematika “Dasar-dasar Teori Probabilitas dan Statistik Matematika”, disediakan oleh program dan Standar Pendidikan Negara Pendidikan Kejuruan Menengah (Kementerian Pendidikan Federasi Rusia. M., 2002 ), diperkenalkan secara konsisten, teorema utama dirumuskan, yang sebagian besar tidak terbukti . Masalah utama dan metode penyelesaiannya serta teknologi untuk menerapkan metode ini dalam memecahkan masalah praktis dipertimbangkan. Presentasi tersebut disertai dengan komentar rinci dan banyak contoh.

Petunjuk metodologis dapat digunakan untuk pengenalan awal dengan materi yang dipelajari, ketika membuat catatan perkuliahan, untuk mempersiapkan kelas praktek, untuk mengkonsolidasikan pengetahuan, keterampilan dan kemampuan yang diperoleh. Selain itu, buku pedoman ini juga akan berguna bagi mahasiswa S1 sebagai alat referensi, sehingga mereka dapat dengan cepat mengingat kembali apa yang telah dipelajari sebelumnya.

Di akhir pekerjaan terdapat contoh dan tugas yang dapat dilakukan siswa dalam mode pengendalian diri.

Pedoman ini ditujukan untuk siswa paruh waktu dan penuh waktu.

KONSEP DASAR

Teori probabilitas mempelajari pola obyektif dari peristiwa acak massal. Merupakan landasan teori statistik matematika, yang berkaitan dengan pengembangan metode pengumpulan, deskripsi, dan pengolahan hasil observasi. Melalui observasi (tes, eksperimen), yaitu. pengalaman dalam arti luas, pengetahuan tentang fenomena dunia nyata terjadi.

Dalam kegiatan praktis kita sering menjumpai fenomena-fenomena yang hasilnya tidak dapat diprediksi, yang hasilnya bergantung pada kebetulan.

Suatu fenomena acak dapat dicirikan oleh perbandingan jumlah kemunculannya dengan jumlah percobaan, yang masing-masing percobaan, dalam kondisi yang sama dari semua percobaan, dapat terjadi atau tidak terjadi.

Teori probabilitas adalah cabang matematika yang mempelajari fenomena (peristiwa) acak dan mengidentifikasi pola ketika fenomena tersebut diulang secara massal.

Statistik matematika adalah salah satu cabang matematika yang mempelajari studi tentang metode pengumpulan, sistematisasi, pengolahan dan penggunaan data statistik untuk memperoleh kesimpulan berdasarkan ilmiah dan mengambil keputusan.

Dalam hal ini data statistik dipahami sebagai sekumpulan angka-angka yang mewakili ciri-ciri kuantitatif dari ciri-ciri objek yang diteliti yang menarik perhatian kita. Data statistik diperoleh sebagai hasil eksperimen dan observasi yang dirancang khusus.

Data statistik pada hakikatnya bergantung pada banyak faktor acak, oleh karena itu statistik matematika erat kaitannya dengan teori probabilitas yang menjadi landasan teorinya.

I. PROBABILITAS. TEOREMA PENAMBAHAN DAN PERKALIAN PROBABILITAS

1.1. Konsep dasar kombinatorik

Dalam cabang matematika yang disebut kombinatorik, beberapa masalah yang berkaitan dengan pertimbangan himpunan dan komposisi berbagai kombinasi elemen himpunan tersebut diselesaikan. Misalnya, jika kita mengambil 10 angka berbeda 0, 1, 2, 3,:, 9 dan menggabungkannya, kita akan mendapatkan angka yang berbeda, misalnya 143, 431, 5671, 1207, 43, dst.

Kita melihat bahwa beberapa kombinasi ini hanya berbeda dalam urutan digitnya (misalnya, 143 dan 431), yang lain - dalam digit yang disertakan di dalamnya (misalnya, 5671 dan 1207), dan yang lainnya juga berbeda dalam jumlah digitnya. (misalnya, 143 dan 43).

Dengan demikian, kombinasi yang dihasilkan memenuhi berbagai kondisi.

Tergantung pada aturan komposisi, tiga jenis kombinasi dapat dibedakan: permutasi, penempatan, kombinasi.

Mari kita kenali dulu konsepnya faktorial.

Hasil kali semua bilangan asli dari 1 sampai n inklusif disebut n-faktorial dan tulis.

Hitung: a) ; B) ; DI DALAM) .

Larutan. A) .

b) Sejak , lalu kita bisa mengeluarkannya dari tanda kurung

Lalu kita dapatkan

V) .

Penataan ulang.

Gabungan n unsur yang berbeda satu sama lain hanya pada urutan unsurnya disebut permutasi.

Permutasi ditunjukkan dengan simbol hal , dimana n adalah banyaknya elemen yang termasuk dalam setiap permutasi. ( R- huruf pertama dari kata Perancis permutasi- penataan ulang).

Banyaknya permutasi dapat dihitung dengan menggunakan rumus

atau menggunakan faktorial:

Mari kita ingat itu 0!=1 dan 1!=1.

Contoh 2. Dalam berapa cara enam buku yang berbeda dapat disusun dalam satu rak?

Larutan. Banyaknya cara yang diperlukan sama dengan banyaknya permutasi 6 elemen, yaitu.

Penempatan.

Postingan dari M elemen di N di masing-masing senyawa tersebut disebut senyawa yang berbeda satu sama lain baik berdasarkan unsur-unsurnya sendiri (setidaknya satu), atau berdasarkan urutan susunannya.

Penempatan ditunjukkan dengan simbol dimana M- jumlah semua elemen yang tersedia, N- jumlah elemen dalam setiap kombinasi. ( A- huruf pertama dari kata Perancis pengaturan, yang artinya “penempatan, penataan”).

Pada saat yang sama, diyakini demikian nm.

Jumlah penempatan dapat dihitung menggunakan rumus

,

itu. jumlah semua kemungkinan penempatan dari M elemen oleh N sama dengan produknya N bilangan bulat berurutan, yang mana yang terbesar adalah M.

Mari kita tulis rumus ini dalam bentuk faktorial:

Contoh 3. Berapa banyak pilihan untuk mendistribusikan tiga voucher ke sanatorium dari berbagai profil yang dapat dibuat untuk lima pelamar?

Larutan. Jumlah pilihan yang diperlukan sama dengan jumlah penempatan 5 elemen dari 3 elemen, yaitu.

.

Kombinasi.

Kombinasi adalah semua kemungkinan kombinasi dari M elemen oleh N, yang berbeda satu sama lain dengan setidaknya satu elemen (di sini M Dan N- bilangan asli, dan nm).

Jumlah kombinasi dari M elemen oleh N dilambangkan dengan ( DENGAN-huruf pertama dari kata Perancis kombinasi- kombinasi).

Secara umum, jumlah M elemen oleh N sama dengan jumlah penempatan dari M elemen oleh N, dibagi dengan jumlah permutasi dari N elemen:

Dengan menggunakan rumus faktorial untuk banyaknya penempatan dan permutasi, diperoleh:

Contoh 4. Dalam tim yang terdiri dari 25 orang, Anda perlu mengalokasikan empat orang untuk bekerja di area tertentu. Dalam berapa cara hal ini dapat dilakukan?

Larutan. Karena urutan empat orang yang dipilih tidak menjadi masalah, ada cara untuk melakukan ini.

Kami menemukannya menggunakan rumus pertama

.

Selain itu, saat menyelesaikan masalah, rumus berikut digunakan, yang menyatakan sifat dasar kombinasi:

(menurut definisi mereka berasumsi dan);

.

1.2. Memecahkan masalah kombinatorial

Tugas 1. Ada 16 mata pelajaran yang dipelajari di fakultas. Anda perlu memasukkan 3 mata pelajaran ke dalam jadwal Anda untuk hari Senin. Dalam berapa cara hal ini dapat dilakukan?

Larutan. Ada banyak cara untuk menjadwalkan tiga item dari 16 item sebanyak Anda dapat mengatur penempatan 16 item dengan 3.

Tugas 2. Dari 15 objek, Anda perlu memilih 10 objek. Dalam berapa cara hal ini dapat dilakukan?

Tugas 3. Empat tim mengikuti kompetisi. Berapa banyak pilihan untuk mendistribusikan kursi di antara mereka yang mungkin?

.

Soal 4. Berapa cara patroli yang terdiri dari tiga prajurit dan satu perwira dapat dilakukan jika terdapat 80 prajurit dan 3 perwira?

Larutan. Anda dapat memilih seorang prajurit yang sedang berpatroli

cara, dan petugas dengan cara. Karena perwira mana pun dapat pergi dengan setiap tim prajurit, ada banyak cara.

Tugas 5. Temukan , jika diketahui bahwa .

Sejak , kita dapatkan

,

,

Menurut definisi kombinasi maka , . Itu. .

1.3. Konsep kejadian acak. Jenis acara. Kemungkinan kejadian

Setiap tindakan, fenomena, pengamatan dengan beberapa hasil berbeda, yang diwujudkan dalam serangkaian kondisi tertentu, akan disebut tes.

Hasil dari tindakan atau pengamatan ini disebut peristiwa .

Jika suatu peristiwa pada kondisi tertentu dapat terjadi atau tidak terjadi, maka disebut acak . Bila suatu peristiwa pasti terjadi, maka disebut dapat diandalkan , dan jika hal ini jelas-jelas tidak dapat terjadi, - mustahil.

Peristiwa tersebut disebut tidak kompatibel , jika hanya satu yang dapat muncul setiap saat.

Peristiwa tersebut disebut persendian , jika, dalam kondisi tertentu, terjadinya salah satu peristiwa ini tidak mengecualikan terjadinya peristiwa lain selama pengujian yang sama.

Peristiwa tersebut disebut di depan , jika dalam kondisi pengujian, hasil tersebut, sebagai satu-satunya hasil, tidak sesuai.

Peristiwa biasanya dilambangkan dengan huruf kapital alfabet Latin: A, B, C, D, : .

Sistem kejadian yang lengkap A 1 , A 2 , A 3 , : , A n adalah himpunan kejadian-kejadian yang tidak sesuai, yang terjadinya paling sedikit satu di antaranya adalah wajib selama pengujian yang diberikan.

Jika suatu sistem lengkap terdiri dari dua kejadian yang tidak kompatibel, maka kejadian tersebut disebut berlawanan dan diberi nama A dan .

Contoh. Kotak tersebut berisi 30 bola bernomor. Tentukan kejadian mana di bawah ini yang mustahil, dapat diandalkan, atau bertentangan:

mengeluarkan bola bernomor (A);

mendapat bola yang bilangan genap (DI DALAM);

mendapat bola yang bernomor ganjil (DENGAN);

mendapat bola tanpa nomor (D).

Manakah di antara mereka yang membentuk kelompok lengkap?

Larutan . A- acara yang dapat diandalkan; D- peristiwa yang mustahil;

Di dan DENGAN- kejadian yang berlawanan.

Kelompok acara lengkap terdiri dari A Dan D, V Dan DENGAN.

Probabilitas suatu peristiwa dianggap sebagai ukuran kemungkinan obyektif terjadinya suatu peristiwa acak.

1.4. Definisi klasik tentang probabilitas

Bilangan yang menyatakan ukuran kemungkinan obyektif terjadinya suatu peristiwa disebut kemungkinan peristiwa ini dan ditandai dengan simbol R(A).

Definisi. Kemungkinan kejadian tersebut A adalah rasio jumlah hasil m yang mendukung terjadinya suatu peristiwa tertentu A, ke nomor tersebut N semua hasil (tidak konsisten, hanya mungkin dan sama-sama mungkin), mis. .

Oleh karena itu, untuk mencari peluang suatu kejadian, setelah mempertimbangkan berbagai hasil pengujian, perlu menghitung semua kemungkinan hasil yang tidak konsisten. N, pilih jumlah hasil m yang kita minati dan hitung rasionya M Ke N.

Sifat-sifat berikut mengikuti definisi ini:

Probabilitas suatu tes adalah angka non-negatif yang tidak melebihi satu.

Memang, jumlah m dari kejadian yang diperlukan berada dalam . Membagi kedua bagian menjadi N, kita mendapatkan

2. Peluang suatu kejadian yang dapat diandalkan sama dengan satu, karena .

3. Peluang suatu kejadian yang mustahil adalah nol, karena .

Soal 1. Dalam lotere 1000 tiket, ada 200 tiket yang menang. Satu tiket diambil secara acak. Berapa peluang tiket ini menjadi pemenang?

Larutan. Jumlah total hasil yang berbeda adalah N=1000. Banyaknya hasil yang menguntungkan untuk menang adalah m=200. Menurut rumus yang kita peroleh

.

Soal 2. Dalam kumpulan 18 bagian, ada 4 bagian yang rusak. 5 bagian dipilih secara acak. Temukan probabilitas bahwa dua dari 5 bagian ini rusak.

Larutan. Jumlah semua kemungkinan hasil independen yang sama N sama dengan banyaknya kombinasi 18 kali 5 yaitu

Mari kita hitung bilangan m yang mendukung kejadian A. Di antara 5 bagian yang diambil secara acak, harus ada 3 bagian yang baik dan 2 bagian yang cacat. Banyaknya cara untuk memilih dua bagian yang cacat dari 4 bagian cacat yang ada sama dengan banyaknya kombinasi 4 kali 2:

Banyaknya cara untuk memilih tiga komponen berkualitas dari 14 komponen berkualitas yang tersedia adalah sama

.

Setiap kelompok suku cadang yang baik dapat digabungkan dengan kelompok suku cadang mana pun yang cacat, sehingga jumlah total kombinasinya M sebanyak

Probabilitas yang diperlukan dari kejadian A sama dengan rasio jumlah hasil m yang menguntungkan kejadian ini dengan jumlah n dari semua kemungkinan hasil independen yang sama:

.

Jumlah sejumlah kejadian berhingga adalah kejadian yang terdiri dari terjadinya paling sedikit salah satu kejadian tersebut.

Jumlah dua kejadian dilambangkan dengan simbol A+B, dan jumlah N kejadian dengan simbol A 1 +A 2 + : +A n.

Teorema penjumlahan probabilitas.

Peluang jumlah dua kejadian yang tidak sejalan sama dengan jumlah peluang kejadian-kejadian tersebut.

Akibat wajar 1. Jika kejadian A 1, A 2, :,A n membentuk sistem lengkap, maka jumlah peluang kejadian-kejadian tersebut sama dengan satu.

Akibat wajar 2. Jumlah peluang kejadian yang berlawanan dan sama dengan satu.

.

Soal 1. Ada 100 tiket lotere. Diketahui 5 tiket memenangkan 20.000 rubel, 10 tiket memenangkan 15.000 rubel, 15 tiket memenangkan 10.000 rubel, 25 tiket memenangkan 2.000 rubel. dan tidak ada apa pun untuk sisanya. Temukan probabilitas bahwa tiket yang dibeli akan menerima kemenangan minimal 10.000 rubel.

Larutan. Misalkan A, B, dan C adalah kejadian yang terdiri dari fakta bahwa tiket yang dibeli menerima kemenangan masing-masing sebesar 20.000, 15.000, dan 10.000 rubel. karena kejadian A, B dan C tidak sejalan, maka

Tugas 2. Departemen korespondensi sekolah teknik menerima tes matematika dari kota A, B Dan DENGAN. Kemungkinan menerima kertas ujian dari kota A sama dengan 0,6, dari kota DI DALAM- 0,1. Tentukan peluang bahwa ujian berikutnya akan datang dari kota tersebut DENGAN.