Definicija rastuće funkcije.
Funkcija y=f(x) povećava se tijekom intervala x, ako za bilo koji i 
nejednakost vrijedi. Drugim riječima, veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije.
Definicija opadajuće funkcije.
Funkcija y=f(x) smanjuje se na intervalu x, ako za bilo koji i 
nejednakost vrijedi 
. Drugim riječima, manja vrijednost funkcije odgovara većoj vrijednosti argumenta.
NAPOMENA: ako je funkcija definirana i kontinuirana na krajevima rastućeg ili opadajućeg intervala (a;b), odnosno kada x=a I x=b, tada su te točke uključene u interval povećanja ili opadanja. To nije u suprotnosti s definicijama rastuće i padajuće funkcije na intervalu x.
Na primjer, iz svojstava osnovnih elementarnih funkcija znamo da y=sinx definiran i kontinuiran za sve realne vrijednosti argumenta. Prema tome, iz porasta funkcije sinusa na intervalu, možemo ustvrditi da ona raste na intervalu.
Točke ekstrema, ekstremi funkcije.
Točka se zove maksimalna točka funkcije y=f(x), ako za sve x iz njegove okoline vrijedi nejednakost. Vrijednost funkcije u točki maksimuma naziva se maksimum funkcije i označavaju .
Točka se zove minimalna točka funkcije y=f(x), ako za sve x iz njegove okoline vrijedi nejednakost. Vrijednost funkcije u točki minimuma naziva se minimalna funkcija i označavaju .
Okolica točke shvaćena je kao interval 
, gdje je dovoljno mali pozitivan broj.
Pozivaju se minimalne i maksimalne točke ekstremne točke, a nazivaju se vrijednosti funkcije koje odgovaraju točkama ekstrema ekstremi funkcije.
Nemojte brkati ekstreme funkcije s najvećim i najniža vrijednost funkcije.
Na prvoj slici najveća vrijednost funkcije na segmentu postiže se u točki maksimuma i jednaka je maksimumu funkcije, a na drugoj slici - najveća vrijednost funkcije postiže se u točki x=b, što nije maksimalna točka.
Dovoljni uvjeti za rastuće i padajuće funkcije.
Na temelju dovoljnih uvjeta (predznaka) porasta i opadanja funkcije nalaze se intervali porasta i opadanja funkcije.
Evo formulacija znakova rastućih i opadajućih funkcija na intervalu:
ako je izvod funkcije y=f(x) pozitivno za bilo koga x iz intervala x, tada funkcija raste za x;
ako je izvod funkcije y=f(x) negativno za bilo koga x iz intervala x, tada funkcija opada za x.
Dakle, da bi se odredili intervali povećanja i opadanja funkcije, potrebno je:
Razmotrimo primjer pronalaženja intervala rastućih i opadajućih funkcija kako bismo objasnili algoritam.
Primjer.
Odredite intervale rastuće i opadajuće funkcije.
Riješenje.
Prvi korak je pronaći definiciju funkcije. U našem primjeru, izraz u nazivniku ne bi trebao ići na nulu, dakle, .
Prijeđimo na pronalaženje izvoda funkcije: 
Da bismo odredili intervale rasta i opadanja funkcije na temelju dovoljnog kriterija, rješavamo nejednadžbe na domeni definicije. Poslužimo se generalizacijom metode intervala. Jedini pravi korijen brojnika je x = 2, a nazivnik ide na nulu na x=0. Te točke dijele područje definicije na intervale u kojima derivacija funkcije zadržava svoj predznak. Označimo te točke na brojevnom pravcu. Intervale u kojima je derivacija pozitivna ili negativna konvencionalno označavamo plusevima i minusima. Donje strelice shematski prikazuju porast ili pad funkcije na odgovarajućem intervalu. 
Da bismo razumjeli ovu temu, razmotrimo funkciju prikazanu na grafu // Pokažimo kako graf funkcije omogućuje određivanje njezinih svojstava.
Pogledajmo svojstva funkcije na primjeru
Područje definiranja funkcije je raspon [ 3,5; 5.5].
Raspon vrijednosti funkcije je raspon [ 1; 3].
1. Pri x = -3, x = - 1, x = 1,5, x = 4,5, vrijednost funkcije je nula.
Vrijednost argumenta pri kojoj je vrijednost funkcije nula naziva se funkcija nula.
//oni. za ovu funkciju brojevi su -3;-1;1.5; 4,5 su nule.
2. U intervalima [ 4.5; 3) i (1; 1.5) i (4.5; 5.5] graf funkcije f nalazi se iznad apscisne osi, au intervalima (-3; -1) i (1.5; 4.5) ispod apscisne osi, ovaj objašnjava se na sljedeći način: na intervalima [ 4.5; 3) i (1; 1.5) i (4.5; 5.5) funkcija uzima pozitivne vrijednosti, a na intervalima (-3; -1) i (1,5; 4,5) su negativni.
Svaki od navedenih intervala (gdje funkcija poprima vrijednosti istog predznaka) naziva se intervalom konstantnog predznaka funkcije f.//tj. na primjer, ako uzmemo interval (0; 3), onda to nije interval konstantnog predznaka ove funkcije.
U matematici, kada se traže intervali konstantnog predznaka funkcije, uobičajeno je označiti intervale maksimalne duljine. //Oni. interval (2; 3) je interval konstantnosti predznaka funkcija f, ali odgovor treba sadržavati interval [ 4.5; 3) koji sadrži interval (2; 3).
3. Ako se pomaknete po x-osi od 4,5 do 2, primijetit ćete da se graf funkcije spušta prema dolje, odnosno da se vrijednosti funkcije smanjuju. //U matematici je uobičajeno reći da je na intervalu [ 4.5; 2] funkcija opada.
Kako x raste od 2 do 0, graf funkcije ide gore, tj. vrijednosti funkcije rastu. //U matematici je uobičajeno reći da na intervalu [ 2; 0] funkcija raste.
Funkcija f se poziva ako za bilo koje dvije vrijednosti argumenta x1 i x2 iz ovog intervala takve da je x2 > x1 vrijedi nejednakost f (x2) > f (x1). // ili se funkcija poziva povećavajući se u nekom intervalu, ako za bilo koju vrijednost argumenta iz ovog intervala, veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije.//tj. što je više x, to je više y.
Poziva se funkcija f opadajući u nekom intervalu, ako je za bilo koje dvije vrijednosti argumenta x1 i x2 iz ovog intervala takve da je x2 > x1, nejednakost f(x2) opada na nekom intervalu, ako je za bilo koju vrijednost argumenta iz ovog intervala veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije. //oni. što je više x, to je manje y.
Ako funkcija raste u cijeloj domeni definicije, tada se zove povećavajući se.
Ako funkcija opada u cijeloj domeni definicije, tada se zove smanjujući se.
Primjer 1. graf rastućih i padajućih funkcija.
Primjer 2.
Definirajte pojavu. Je li linearna funkcija f(x) = 3x + 5 rastuća ili opadajuća?
Dokaz. Poslužimo se definicijama. Neka su x1 i x2 proizvoljne vrijednosti argumenta, a x1< x2., например х1=1, х2=7
Ekstremi funkcije
Definicija 2
Točka $x_0$ naziva se točka maksimuma funkcije $f(x)$ ako postoji susjedstvo te točke takvo da za sve $x$ u tom susjedstvu vrijedi nejednakost $f(x)\le f(x_0) $ drži.
Definicija 3
Točka $x_0$ naziva se točka maksimuma funkcije $f(x)$ ako postoji susjedstvo te točke takvo da za sve $x$ u tom susjedstvu vrijedi nejednakost $f(x)\ge f(x_0) $ drži.
Pojam ekstrema funkcije usko je povezan s pojmom kritične točke funkcije. Uvedimo njegovu definiciju.
Definicija 4
$x_0$ se naziva kritična točka funkcije $f(x)$ ako:
1) $x_0$ - unutarnja točka domene definicije;
2) $f"\lijevo(x_0\desno)=0$ ili ne postoji.
Za pojam ekstrema možemo formulirati teoreme o dovoljnom i potrebne uvjete njegovo postojanje.
Teorem 2
Dovoljan uvjet za ekstrem
Neka je točka $x_0$ kritična za funkciju $y=f(x)$ i leži u intervalu $(a,b)$. Neka na svakom intervalu $\left(a,x_0\right)\ i\ (x_0,b)$ postoji derivacija $f"(x)$ i ima konstantan predznak. Tada:
1) Ako je na intervalu $(a,x_0)$ izvod $f"\left(x\right)>0$, a na intervalu $(x_0,b)$ izvod je $f"\left( x\desno)
2) Ako je na intervalu $(a,x_0)$ derivacija $f"\left(x\right)0$, tada je točka $x_0$ točka minimuma za ovu funkciju.
3) Ako je i na intervalu $(a,x_0)$ i na intervalu $(x_0,b)$ izvod $f"\left(x\right) >0$ ili izvod $f"\left(x \pravo)
Ovaj je teorem ilustriran na slici 1.
Slika 1. Dovoljan uvjet za postojanje ekstrema
Primjeri ekstrema (slika 2).
Slika 2. Primjeri ekstremnih točaka
Pravilo za proučavanje funkcije za ekstrem
2) Naći derivaciju $f"(x)$;
7) Izvedite zaključke o prisutnosti maksimuma i minimuma na svakom intervalu, koristeći teorem 2.
Rastuće i padajuće funkcije
Uvedimo najprije definicije rastućih i opadajućih funkcija.
Definicija 5
Za funkciju $y=f(x)$ definiranu na intervalu $X$ kaže se da raste ako je za bilo koju točku $x_1,x_2\in X$ na $x_1
Definicija 6
Kaže se da je funkcija $y=f(x)$ definirana na intervalu $X$ opadajuća ako za bilo koju točku $x_1,x_2\in X$ vrijedi $x_1f(x_2)$.
Proučavanje funkcije za povećanje i opadanje
Možete proučavati rastuće i opadajuće funkcije pomoću izvoda.
Kako biste ispitali funkciju za intervale povećanja i opadanja, morate učiniti sljedeće:
1) Nađite domenu definicije funkcije $f(x)$;
2) Naći derivaciju $f"(x)$;
3) Pronađite točke u kojima vrijedi jednakost $f"\left(x\right)=0$;
4) Pronađite točke u kojima $f"(x)$ ne postoji;
5) Označiti na koordinatnoj liniji sve pronađene točke i područje definicije ove funkcije;
6) Odredite predznak derivacije $f"(x)$ na svakom rezultirajućem intervalu;
7) Izvedite zaključak: na intervalima gdje $f"\left(x\right)0$ funkcija raste.
Primjeri problema za proučavanje funkcija za porast, opadanje i prisutnost točaka ekstrema
Primjer 1
Ispitajte funkciju za povećanje i opadanje te prisutnost točaka maksimuma i minimuma: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
Budući da je prvih 6 točaka isto, prvo ih izvršimo.
1) Domena definicije - svi realni brojevi;
2) $f"\lijevo(x\desno)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\lijevo(x\desno)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ postoji u svim točkama domene definicije;
5) Koordinatna linija:
Slika 3.
6) Odredite predznak derivacije $f"(x)$ na svakom intervalu:
\ \}