Ovaj članak daje ideju o tome kako napraviti jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz danu točku u trodimenzionalnom prostoru okomito na danu liniju. Analizirajmo zadani algoritam na primjeru rješavanja tipičnih problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pronalaženje jednadžbe ravnine koja prolazi kroz zadanu točku u prostoru okomito na zadani pravac

Neka je u njemu zadan trodimenzionalni prostor i pravokutni koordinatni sustav O x y z. Dana je i točka M 1 (x 1, y 1, z 1), pravac a i ravnina α koja prolazi točkom M 1 okomito na pravac a. Potrebno je napisati jednadžbu ravnine α.

Prije nego počnemo rješavati ovaj problem, prisjetimo se geometrijskog teorema iz nastavnog plana i programa za 10-11 razred koji kaže:

Definicija 1

Kroz zadanu točku u trodimenzionalnom prostoru prolazi jedna ravnina okomita na zadanu ravnu crtu.

Sada pogledajmo kako pronaći jednadžbu ove jedne ravnine koja prolazi kroz početnu točku i okomita je na dani pravac.

Opću jednadžbu ravnine moguće je napisati ako su poznate koordinate točke koja pripada toj ravnini, kao i koordinate vektora normale ravnine.

Uvjeti zadatka daju nam koordinate x 1, y 1, z 1 točke M 1 kroz koju prolazi ravnina α. Odredimo li koordinate vektora normale ravnine α, tada ćemo moći napisati traženu jednadžbu.

Vektor normale ravnine α, budući da je različit od nule i leži na pravcu a, okomitom na ravninu α, bit će bilo koji vektor smjera pravca a. Time se problem određivanja koordinata vektora normale ravnine α transformira u problem određivanja koordinata vektora usmjerivača pravca a.

Određivanje koordinata vektora pravca pravca a može se provesti različitim metodama: to ovisi o mogućnosti zadavanja pravca a u početnim uvjetima. Na primjer, ako je pravac a u tvrdnji problema dan kanonskim jednadžbama oblika

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

ili parametarske jednadžbe oblika:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

tada će vektor smjera pravca imati koordinate a x, a y i a z. U slučaju kada je pravac a predstavljen dvjema točkama M 2 (x 2, y 2, z 2) i M 3 (x 3, y 3, z 3), tada će koordinate vektora pravca biti određene kao ( x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).

Definicija 2

Algoritam za pronalaženje jednadžbe ravnine koja prolazi kroz zadanu točku okomito na zadani pravac:

Određujemo koordinate vektora smjera prave a: a → = (a x, a y, a z) ;

Koordinate vektora normale ravnine α definiramo kao koordinate vektora usmjerivača pravca a:

n → = (A , B , C) , gdje je A = a x, B = a y, C = a z;

Napišemo jednadžbu ravnine koja prolazi točkom M 1 (x 1, y 1, z 1) i ima normalni vektor n → = (A, B, C) u obliku A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0. To će biti tražena jednadžba ravnine koja prolazi kroz zadanu točku u prostoru i okomita je na zadani pravac.

Rezultirajuća opća jednadžba ravnine je: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 omogućuje dobivanje jednadžbe ravnine u segmentima ili normalne jednadžbe ravnine.

Riješimo nekoliko primjera koristeći gore dobiveni algoritam.

Primjer 1

Zadana je točka M 1 (3, - 4, 5) kroz koju prolazi ravnina, a ta je ravnina okomita na koordinatni pravac O z.

Riješenje

vektor smjera koordinatne linije O z bit će koordinatni vektor k ⇀ = (0, 0, 1). Dakle, vektor normale ravnine ima koordinate (0, 0, 1). Napišimo jednadžbu ravnine koja prolazi kroz zadanu točku M 1 (3, - 4, 5), čiji normalni vektor ima koordinate (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Odgovor: z – 5 = 0 .

Razmotrimo još jedan način rješavanja ovog problema:

Primjer 2

Ravnina koja je okomita na pravac O z bit će dana nepotpunom općom jednadžbom ravnine oblika C z + D = 0, C ≠ 0. Odredimo vrijednosti C i D: one na kojima ravnina prolazi kroz datu točku. Zamijenimo koordinate ove točke u jednadžbu C z + D = 0, dobivamo: C · 5 + D = 0. Oni. brojevi, C i D povezani su relacijom - D C = 5. Uzimajući C = 1, dobivamo D = - 5.

Zamijenimo ove vrijednosti u jednadžbu C z + D = 0 i dobijemo traženu jednadžbu ravnine okomite na ravnu liniju O z i koja prolazi kroz točku M 1 (3, - 4, 5).

To će izgledati ovako: z – 5 = 0.

Odgovor: z – 5 = 0 .

Primjer 3

Napišite jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz ishodište i okomita je na pravac x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Riješenje

Na temelju uvjeta problema može se tvrditi da se vektor smjera zadane ravne crte može uzeti kao normalni vektor n → zadane ravnine. Dakle: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Napišimo jednadžbu ravnine koja prolazi točkom O (0, 0, 0) i ima vektor normale n → = (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Dobili smo traženu jednadžbu ravnine koja prolazi kroz ishodište koordinata okomito na zadani pravac.

Odgovor:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Primjer 4

U trodimenzionalnom prostoru zadan je pravokutni koordinatni sustav O x y z u kojem se nalaze dvije točke A (2, - 1, - 2) i B (3, - 2, 4). Ravnina α prolazi kroz točku A okomito na pravac A B. Potrebno je napraviti jednadžbu za ravninu α u segmentima.

Riješenje

Ravnina α je okomita na pravac A B, tada će vektor A B → biti vektor normale ravnine α. Koordinate ovog vektora definirane su kao razlika između odgovarajućih koordinata točaka B (3, - 2, 4) i A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Opća jednadžba ravnine bit će zapisana na sljedeći način:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Sada sastavimo traženu jednadžbu ravnine u segmentima:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Odgovor:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Također treba napomenuti da postoje zadaci čiji je zahtjev da se napiše jednadžba ravnine koja prolazi kroz zadanu točku i okomita je na dvije zadane ravnine. Općenito, rješenje ovog problema je konstruirati jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz danu točku okomito na danu liniju, jer dvije ravnine koje se sijeku određuju ravnu liniju.

Primjer 5

Zadan je pravokutni koordinatni sustav O x y z u kojem se nalazi točka M 1 (2, 0, - 5). Zadane su i jednadžbe dviju ravnina 3 x + 2 y + 1 = 0 i x + 2 z – 1 = 0 koje se sijeku duž pravca a. Potrebno je izraditi jednadžbu za ravninu koja prolazi točkom M 1 okomito na pravac a.

Riješenje

Odredimo koordinate vektora usmjerivača pravca a. Okomit je na vektor normale n 1 → (3, 2, 0) ravnine n → (1, 0, 2) i na vektor normale 3 x + 2 y + 1 = 0 x + 2 z - 1 = 0 ravnina.

Tada kao usmjerivač α → pravac a uzimamo vektorski produkt vektora n 1 → i n 2 →:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Dakle, vektor n → = (4, - 6, - 2) bit će vektor normale ravnine okomite na pravac a. Zapišimo traženu jednadžbu ravnine:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Odgovor: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Pretpostavimo da trebamo pronaći jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tri zadane točke koje ne leže na istom pravcu. Označavajući njihove radijus vektore s , a trenutni radijus vektor s , lako možemo dobiti traženu jednadžbu u vektorskom obliku. U stvari, vektori moraju biti komplanarni (svi leže u željenoj ravnini). Stoga vektorsko-skalarni produkt ovih vektora mora biti jednak nuli:

Ovo je jednadžba ravnine koja prolazi kroz tri zadane točke u vektorskom obliku.

Prelazeći na koordinate, dobivamo jednadžbu u koordinatama:

Ako tri zadane točke leže na istom pravcu, vektori bi bili kolinearni. Stoga bi odgovarajući elementi posljednja dva retka determinante u jednadžbi (18) bili proporcionalni i determinanta bi bila identički jednaka nuli. Posljedično, jednadžba (18) bi postala identična za bilo koju vrijednost x, y i z. Geometrijski to znači da kroz svaku točku prostora prolazi ravnina u kojoj leže tri zadane točke.

Napomena 1. Isti se problem može riješiti bez korištenja vektora.

Označavajući koordinate triju zadanih točaka, napisat ćemo jednadžbu bilo koje ravnine koja prolazi kroz prvu točku:

Da bi se dobila jednadžba željene ravnine, potrebno je zahtijevati da jednadžbu (17) zadovolje koordinate dviju drugih točaka:

Iz jednadžbi (19) potrebno je odrediti omjer dva koeficijenta prema trećem i dobivene vrijednosti unijeti u jednadžbu (17).

Primjer 1. Napišite jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz točke.

Jednadžba ravnine koja prolazi kroz prvu od ovih točaka bit će:

Uvjeti da ravnina (17) prođe kroz druge dvije točke i prvu točku su:

Dodavanjem druge jednadžbe prvoj, nalazimo:

Zamjenom u drugu jednadžbu dobivamo:

Zamjenom u jednadžbu (17) umjesto A, B, C, redom, 1, 5, -4 (brojevi proporcionalni njima), dobivamo:

Primjer 2. Napišite jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz točke (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Jednadžba bilo koje ravnine koja prolazi kroz točku (0, 0, 0) bit će]

Uvjeti prolaska ove ravnine kroz točke (1, 1, 1) i (2, 2, 2) su:

Smanjujući drugu jednadžbu za 2, vidimo da za određivanje dvije nepoznanice postoji jedna jednadžba s

Odavde dobivamo. Sada zamjenjujući vrijednost ravnine u jednadžbu, nalazimo:

Ovo je jednadžba željene ravnine; ovisi o proizvoljnom

veličine B, C (naime, iz relacije tj. postoji beskonačan broj ravnina koje prolaze kroz tri zadane točke (tri zadane točke leže na istoj pravoj liniji).

Napomena 2. Zadatak povlačenja ravnine kroz tri zadane točke koje ne leže na istom pravcu lako se rješava u opći pogled, ako koristimo odrednice. Doista, budući da u jednadžbama (17) i (19) koeficijenti A, B, C ne mogu istovremeno biti jednaki nuli, tada, promatrajući ove jednadžbe kao homogeni sustav s tri nepoznanice A, B, C, pišemo nužnu i dovoljnu uvjet za postojanje rješenja ovog sustava, različitog od nule (1. dio, VI. poglavlje, § 6):

Proširivanjem ove determinante na elemente prvog reda dobivamo jednadžbu prvog stupnja s obzirom na trenutne koordinate, kojoj će zadovoljiti, posebice, koordinate triju zadanih točaka.

Ovo posljednje također možete izravno provjeriti zamjenom koordinata bilo koje od ovih točaka umjesto . S lijeve strane dobivamo determinantu u kojoj su ili elementi prvog retka nule ili postoje dva identična retka. Dakle, konstruirana jednadžba predstavlja ravninu koja prolazi kroz tri zadane točke.

Prva razina

Koordinate i vektori. Sveobuhvatni vodič (2019)

U ovom članku počet ćemo raspravljati o jednom "čarobnom štapiću" koji će vam omogućiti da svedete mnoge geometrijske probleme na jednostavnu aritmetiku. Ovaj "štap" može vam znatno olakšati život, pogotovo kada niste sigurni u konstruiranju prostornih figura, presjeka itd. Sve to zahtijeva određenu maštu i praktične vještine. Metoda koju ćemo ovdje početi razmatrati omogućit će vam da gotovo potpuno apstrahirate od svih vrsta geometrijskih konstrukcija i zaključivanja. Metoda se zove "koordinatna metoda". U ovom ćemo članku razmotriti sljedeća pitanja:

1. Koordinatna ravnina
2. Točke i vektori na ravnini
3. Konstruiranje vektora iz dvije točke
4. Duljina vektora (udaljenost između dvije točke).
5. Koordinate sredine segmenta
6. Točkasti umnožak vektora
7. Kut između dva vektora

Mislim da ste već pogodili zašto se koordinatna metoda tako zove? Tako je, dobio je ovo ime jer ne radi s geometrijskim objektima, već s njihovim numeričkim karakteristikama (koordinatama). A sama transformacija, koja nam omogućuje prijelaz s geometrije na algebru, sastoji se u uvođenju koordinatnog sustava. Ako je izvorna figura ravna, onda su koordinate dvodimenzionalne, a ako je figura trodimenzionalna, onda su koordinate trodimenzionalne. U ovom ćemo članku razmotriti samo dvodimenzionalni slučaj. A glavni cilj članka je naučiti vas kako koristiti neke osnovne tehnike koordinatne metode (ponekad se pokažu korisnima pri rješavanju problema iz planimetrije u dijelu B Jedinstvenog državnog ispita). Sljedeća dva odjeljka o ovoj temi posvećena su raspravi o metodama rješavanja problema C2 (problem stereometrije).

Gdje bi bilo logično započeti raspravu o koordinatnoj metodi? Vjerojatno iz pojma koordinatnog sustava. Sjetite se kada ste je prvi put sreli. Čini mi se da u 7. razredu, kada ste učili o postojanju linearne funkcije npr. Dopustite mi da vas podsjetim da ste to gradili točku po točku. Sjećaš li se? Odabrali ste proizvoljan broj, zamijenili ga u formulu i tako izračunali. Na primjer, ako, onda, ako, onda itd. Što ste dobili na kraju? I dobili ste bodove s koordinatama: i. Zatim ste nacrtali “križ” (koordinatni sustav), na njemu odabrali mjerilo (koliko ćelija ćete imati kao jedinični segment) i na njemu označili dobivene točke koje ste zatim povezali ravnom linijom; dobiveni pravac je graf funkcije.

Ovdje postoji nekoliko točaka koje bi vam trebalo malo detaljnije objasniti:

1. Odabirete jedan segment iz razloga pogodnosti, tako da sve lijepo i kompaktno stane na crtež.

2. Prihvaćeno je da os ide s lijeva na desno, a os ide odozdo prema gore

3. Sjeku se pod pravim kutom, a točka njihova sjecišta naziva se ishodištem. Označava se slovom.

4. Pri pisanju koordinata točke, npr. lijevo u zagradi nalazi se koordinata točke po osi, a desno po osi. Konkretno, to jednostavno znači da u točki

5. Da biste odredili bilo koju točku na koordinatnoj osi, morate navesti njezine koordinate (2 broja)

6. Za bilo koju točku koja leži na osi,

7. Za bilo koju točku koja leži na osi,

8. Os se naziva x-os

9. Os se naziva y-os

Sada poduzmimo sljedeći korak: označimo dvije točke. Spojimo ove dvije točke segmentom. I stavit ćemo strelicu kao da crtamo segment od točke do točke: to jest, učinit ćemo naš segment usmjerenim!

Sjećate li se kako se zove drugi smjerni segment? Tako je, zove se vektor!

Dakle, ako povežemo točku s točkom, i početak će biti točka A, a kraj će biti točka B, tada dobivamo vektor. Također si radio ovu konstrukciju u 8. razredu, sjećaš se?

Ispada da se vektori, kao i točke, mogu označiti s dva broja: ti se brojevi nazivaju vektorskim koordinatama. Pitanje: Mislite li da nam je dovoljno znati koordinate početka i kraja vektora da bismo pronašli njegove koordinate? Ispostavilo se da da! I to se radi vrlo jednostavno:

Dakle, budući da je u vektoru točka početak, a točka kraj, vektor ima sljedeće koordinate:

Na primjer, if, tada su koordinate vektora

Sada učinimo suprotno, pronađimo koordinate vektora. Što za to trebamo promijeniti? Da, morate zamijeniti početak i kraj: sada će početak vektora biti u točki, a kraj će biti u točki. Zatim:

Pogledajte pažljivo, koja je razlika između vektora i? Njihova jedina razlika su znakovi u koordinatama. Oni su suprotnosti. Ova se činjenica obično piše ovako:

Ponekad, ako nije posebno navedeno koja točka je početak vektora, a koja kraj, tada se vektori ne označavaju s dva velika slova, već s jednim malim slovom, na primjer: , itd.

Sada malo praksa sami i pronađite koordinate sljedećih vektora:

Ispitivanje:

Sada riješite malo teži problem:

Vektor s početkom u točki ima ko-ili-di-na-ti. Pronađite točke aps-cis-su.

Sve je isto prilično prozaično: Neka su koordinate točke. Zatim

Sastavio sam sustav na temelju definicije vektorskih koordinata. Tada točka ima koordinate. Zanima nas apscisa. Zatim

Odgovor:

Što još možete učiniti s vektorima? Da, gotovo sve je isto kao i s običnim brojevima (osim što ne možete dijeliti, ali možete množiti na dva načina, o jednom ćemo ovdje malo kasnije)

1. Vektori se mogu dodavati jedan drugome
2. Vektori se mogu oduzimati jedan od drugog
3. Vektori se mogu pomnožiti (ili podijeliti) proizvoljnim brojem koji nije nula
4. Vektori se mogu međusobno množiti

Sve te operacije imaju vrlo jasan geometrijski prikaz. Na primjer, pravilo trokuta (ili paralelograma) za zbrajanje i oduzimanje:

Vektor se rasteže ili skuplja ili mijenja smjer kada se pomnoži ili podijeli s brojem:

No, ovdje će nas zanimati pitanje što se događa s koordinatama.

1. Pri zbrajanju (oduzimanju) dva vektora zbrajamo (oduzimamo) njihove koordinate element po element. To je:

2. Prilikom množenja (dijeljenja) vektora brojem, sve njegove koordinate se množe (dijele) ovim brojem:

Na primjer:

· Odredite količinu co-or-di-nat century-to-ra.

Najprije pronađimo koordinate svakog od vektora. Obje imaju isto ishodište - ishodišnu točku. Njihovi krajevi su različiti. Zatim, . Izračunajmo sada koordinate vektora.Tada je zbroj koordinata dobivenog vektora jednak.

Odgovor:

Sada sami riješite sljedeći problem:

· Odredi zbroj vektorskih koordinata

Provjeravamo:

Razmotrimo sada sljedeći problem: imamo dvije točke na koordinatnoj ravnini. Kako pronaći udaljenost između njih? Neka bude prva točka, a druga. Označimo udaljenost između njih sa. Napravimo sljedeći crtež radi jasnoće:

Što sam učinio? Prije svega, povezao sam se točkice i,a također sam iz točke povukao pravac paralelan s osi, a iz točke sam povukao pravac paralelan s osi. Jesu li se presijecali u jednoj točki, tvoreći izvanrednu figuru? Što je tako posebno na njoj? Da, ti i ja znamo gotovo sve o tome pravokutni trokut. Pa, Pitagorin teorem sigurno. Traženi segment je hipotenuza ovog trokuta, a segmenti su katete. Koje su koordinate točke? Da, lako ih je pronaći sa slike: Budući da su segmenti paralelni s osi i, odnosno, njihove duljine je lako pronaći: ako duljine segmenata označimo s, odnosno, tada

Sada upotrijebimo Pitagorin teorem. Znamo duljine kateta, naći ćemo hipotenuzu:

Dakle, udaljenost između dviju točaka je korijen zbroja kvadrata razlika iz koordinata. Ili - udaljenost između dviju točaka je duljina odsječka koji ih povezuje. Lako je vidjeti da udaljenost između točaka ne ovisi o smjeru. Zatim:

Odavde izvlačimo tri zaključka:

Vježbajmo malo izračunavanje udaljenosti između dvije točke:

Na primjer, ako je udaljenost između i jednaka

Ili idemo na drugi način: pronađimo koordinate vektora

I nađite duljinu vektora:

Kao što vidite, to je ista stvar!

Sada malo vježbajte sami:

Zadatak: pronaći udaljenost između naznačenih točaka:

Provjeravamo:

Evo još nekoliko problema koristeći istu formulu, iako zvuče malo drugačije:

1. Pronađite kvadrat duljine kapka.

2. Pronađite kvadrat duljine kapka

Mislim da ste se s njima nosili bez poteškoća? Provjeravamo:

1. A ovo je za pozornost) Već smo ranije pronašli koordinate vektora: . Tada vektor ima koordinate. Kvadrat njegove duljine bit će jednak:

2. Odredi koordinate vektora

Tada je kvadrat njegove duljine

Ništa komplicirano, zar ne? Jednostavna aritmetika, ništa više.

Sljedeći problemi ne mogu se jednoznačno klasificirati; oni se više odnose na opću erudiciju i sposobnost crtanja jednostavnih slika.

1. Pronađite sinus kuta iz reza, spajajući točku, s osi apscise.

I

Kako ćemo dalje ovdje? Moramo pronaći sinus kuta između i osi. Gdje možemo tražiti sinus? Tako je, u pravokutnom trokutu. Dakle, što trebamo učiniti? Izgradite ovaj trokut!

Budući da su koordinate točke i, tada je segment jednak, i segmentu. Moramo pronaći sinus kuta. Dopustite mi da vas podsjetim da je sinus dakle omjer suprotne strane prema hipotenuzi

Što nam preostaje? Pronađite hipotenuzu. To možete učiniti na dva načina: pomoću Pitagorinog poučka (krake su poznate!) ili pomoću formule za udaljenost između dviju točaka (zapravo, ista stvar kao i prva metoda!). Ja ću ići drugim putem:

Odgovor:

Sljedeći zadatak će vam se učiniti još lakšim. Ona je na koordinatama točke.

Zadatak 2. Od točke per-pen-di-ku-lyar se spušta na os ab-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Napravimo crtež:

Osnovica okomice je točka u kojoj ona siječe x-os (os), za mene je to točka. Slika pokazuje da ima koordinate: . Zanima nas apscisa - odnosno "x" komponenta. Ona je ravnopravna.

Odgovor: .

Zadatak 3. U uvjetima prethodnog zadatka pronađite zbroj udaljenosti od točke do koordinatnih osi.

Zadatak je općenito elementaran ako se zna kolika je udaljenost točke od osi. Znaš? Nadam se, ali ipak vas podsjetim:

Dakle, na mom crtežu iznad, jesam li već nacrtao jednu takvu okomicu? Na kojoj se osi nalazi? Do osi. I kolika mu je onda duljina? Ona je ravnopravna. Sada sami povucite okomicu na os i pronađite njezinu duljinu. Bit će jednako, zar ne? Tada im je zbroj jednak.

Odgovor: .

Zadatak 4. U uvjetima zadatka 2. pronađite ordinatu točke simetrične točki u odnosu na apscisnu os.

Mislim da vam je intuitivno jasno što je simetrija? Imaju ga mnogi predmeti: mnoge zgrade, stolovi, avioni, mnogi geometrijski oblici: lopta, cilindar, kvadrat, romb itd. Grubo govoreći, simetrija se može shvatiti na sljedeći način: lik se sastoji od dvije (ili više) identičnih polovica. Ova simetrija se naziva osna simetrija. Što je onda os? To je upravo linija po kojoj se figura može, relativno govoreći, "presjeći" na jednake polovice (na ovoj slici je os simetrije ravna):

Sada se vratimo našem zadatku. Znamo da tražimo točku koja je simetrična u odnosu na os. Tada je ova os os simetrije. To znači da trebamo označiti točku tako da os siječe segment na dva jednaka dijela. Pokušajte sami označiti takvu točku. Sada usporedite s mojim rješenjem:

Je li i vama ispalo na isti način? Fino! Zanima nas ordinata pronađene točke. Jednako je

Odgovor:

Sad mi recite, nakon nekoliko sekundi razmišljanja, kolika će biti apscisa točke simetrične točki A u odnosu na ordinatu? Koji je tvoj odgovor? Točan odgovor: .

Općenito, pravilo se može napisati ovako:

Točka simetrična točki u odnosu na apscisnu os ima koordinate:

Točka simetrična točki u odnosu na ordinatnu os ima koordinate:

E, sad je potpuno strašno zadatak: pronađite koordinate točke simetrične točki u odnosu na ishodište. Ti prvo razmisli svojom glavom, a onda pogledaj moj crtež!

Odgovor:

Sada problem paralelograma:

Zadatak 5: Točke se pojavljuju ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Pronađite ili-di-na-tu točku.

Ovaj problem možete riješiti na dva načina: logičkom i koordinatnom metodom. Prvo ću upotrijebiti metodu koordinata, a onda ću vam reći kako to možete riješiti drugačije.

Posve je jasno da je apscisa točke jednaka. (leži na okomici povučenoj iz točke na os apscisa). Moramo pronaći ordinatu. Iskoristimo činjenicu da je naš lik paralelogram, to znači. Nađimo duljinu segmenta pomoću formule za udaljenost između dviju točaka:

Spuštamo okomicu koja povezuje točku s osi. Točku sjecišta označit ću slovom.

Duljina segmenta je jednaka. (pronađite sami problem gdje smo raspravljali o ovoj točki), tada ćemo pronaći duljinu segmenta koristeći Pitagorin teorem:

Duljina segmenta točno se podudara s njegovom ordinatom.

Odgovor: .

Drugo rješenje (dat ću samo sliku koja to ilustrira)

Napredak rješenja:

1. Ponašanje

2. Odredi koordinate točke i dužinu

3. Dokažite to.

Još jedan problem duljine segmenta:

Točke se pojavljuju na vrhu trokuta. Odredite duljinu njegove srednje crte, paralelne.

Sjećate li se što je srednja linija trokuta? Onda je ovaj zadatak za vas elementaran. Ako se ne sjećate, podsjetit ću vas: srednja linija trokuta je linija koja povezuje središta suprotne strane. Paralelan je s osnovicom i jednak je njezinoj polovici.

Baza je segment. Duljinu smo morali tražiti ranije, jednaka je. Tada je duljina srednje linije upola manja i jednaka.

Odgovor: .

Komentar: ovaj problem se može riješiti na drugi način, na koji ćemo se osvrnuti malo kasnije.

U međuvremenu, evo nekoliko zadataka za vas, vježbajte na njima, vrlo su jednostavni, ali vam pomažu da bolje koristite metodu koordinata!

1. Bodovi su vrh tra-pe-cija. Odredi duljinu njegove središnje crte.

2. Bodovi i nastupi ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Pronađite ili-di-na-tu točku.

3. Pronađite duljinu iz reza, povezujući točku i

4. Pronađite područje iza obojene figure na koordinatnoj ravnini.

5. Kroz točku prolazi kružnica sa središtem u na-cha-le ko-or-di-nat. Nađi joj ra-di-us.

6. Pronađite-di-te ra-di-us kruga, opišite-san-noy o pravom kutu-no-ka, vrhovi nečega imaju ko-ili -di-na-vi ste tako-odgovorni

rješenja:

1. Poznato je da je srednja linija trapeza jednaka polovici zbroja njegovih osnovica. Baza je jednaka, a baza. Zatim

Odgovor:

2. Najlakši način za rješavanje ovog problema je zapažanje da (pravilo paralelograma). Izračunavanje koordinata vektora nije teško: . Prilikom dodavanja vektora dodaju se i koordinate. Zatim ima koordinate. Te koordinate ima i točka, budući da je ishodište vektora točka s koordinatama. Zanima nas ordinata. Ona je ravnopravna.

Odgovor:

3. Odmah postupamo prema formuli za udaljenost između dvije točke:

Odgovor:

4. Pogledaj sliku i reci mi između koje dvije figure je osjenčano područje "u sendviču"? Nalazi se između dva kvadrata. Tada je površina željene figure jednaka površini velikog kvadrata minus površina malog. Stranica malog kvadrata je segment koji povezuje točke i njegova duljina je

Tada je površina malog kvadrata

Isto radimo s velikim kvadratom: njegova stranica je segment koji povezuje točke, a njegova duljina je

Tada je površina velikog kvadrata

Područje željene figure nalazimo pomoću formule:

Odgovor:

5. Ako kružnica ima ishodište kao središte i prolazi kroz točku, tada će njen polumjer biti točno jednak duljini segmenta (nacrtajte i shvatit ćete zašto je to očito). Nađimo duljinu ovog segmenta:

Odgovor:

6. Poznato je da je polumjer kruga opisanog oko pravokutnika jednak polovici njegove dijagonale. Nađimo duljinu bilo koje od dvije dijagonale (uostalom, u pravokutniku su jednake!)

Odgovor:

Pa, jeste li se snašli u svemu? Nije bilo teško to shvatiti, zar ne? Ovdje postoji samo jedno pravilo - biti u stanju napraviti vizualnu sliku i jednostavno "pročitati" sve podatke iz nje.

Ostalo nam je jako malo. Postoje doslovno još dvije točke o kojima bih želio razgovarati.

Pokušajmo riješiti ovaj jednostavan problem. Neka se daju dva boda. Pronađite koordinate sredine segmenta. Rješenje ovog problema je sljedeće: neka je točka željena sredina, tada ima koordinate:

To je: koordinate sredine segmenta = aritmetička sredina odgovarajućih koordinata krajeva segmenta.

Ovo je pravilo vrlo jednostavno i učenicima obično ne stvara poteškoće. Pogledajmo kod kojih problema i kako se koristi:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny from-cut, connect-the-point and

2. Čini se da su bodovi vrh svijeta. Find-di-te or-di-na-tu bodova per-re-se-che-niya njegovog dia-go-na-ley.

3. Pronađite-di-te abs-cis-su središte kruga, opišite-san-noy o pravokutnom-no-ka, vrhovi nečega imaju ko-ili-di-na-vas tako-odgovorno-ali.

rješenja:

1. Prvi problem je jednostavno klasičan. Odmah nastavljamo s određivanjem sredine segmenta. Ima koordinate. Ordinata je jednaka.

Odgovor:

2. Lako je vidjeti da je ovaj četverokut paralelogram (čak i romb!). To možete i sami dokazati tako da izračunate duljine stranica i međusobno ih usporedite. Što znam o paralelogramima? Njegove dijagonale sjecištem dijeli na pola! Da! Dakle, koja je točka presjeka dijagonala? Ovo je sredina bilo koje dijagonale! Odabrat ću, posebno, dijagonalu. Tada točka ima koordinate Ordinata točke jednaka je.

Odgovor:

3. S čime se poklapa središte kružnice opisane oko pravokutnika? Poklapa se s točkom sjecišta njegovih dijagonala. Što znaš o dijagonalama pravokutnika? Oni su jednaki i točka sjecišta ih dijeli na pola. Zadatak se sveo na prethodni. Uzmimo, na primjer, dijagonalu. Onda ako je središte opisane kružnice, onda je središte. Tražim koordinate: Apscisa je jednaka.

Odgovor:

Sada malo vježbajte sami, ja ću samo dati odgovore na svaki problem kako biste se mogli testirati.

1. Pronađite-di-te ra-di-us kruga, opišite-san-noy o trokutu-no-ka, vrhovi nečega imaju co-or-di -no misters

2. Pronađite-di-te ili-di-on-to središte kruga, opišite-san-noy o trokutu-no-ka, čiji vrhovi imaju koordinate

3. Kakva bi ra-di-u-sa trebala biti kružnica sa središtem u točki tako da dodiruje ab-ciss os?

4. Pronađi-di-one ili-di-na-tu točku ponovne se-ce-cije osi i iz-rezati, spojiti-točku i

odgovori:

Je li sve bilo uspješno? Stvarno se nadam tome! Sada - posljednji pritisak. Sada budite posebno oprezni. Materijal koji ću sada objasniti izravno se odnosi ne samo na jednostavni zadaci koordinatnoj metodi iz dijela B, ali se također nalazi posvuda u problemu C2.

Koje od svojih obećanja još nisam ispunio? Sjećate li se koje sam operacije na vektorima obećao uvesti i koje sam na kraju uveo? Jeste li sigurni da nisam ništa zaboravio? Zaboravio! Zaboravio sam objasniti što znači množenje vektora.

Postoje dva načina za množenje vektora s vektorom. Ovisno o odabranoj metodi, dobit ćemo objekte različite prirode:

Križni umnožak napravljen je prilično pametno. Kako to učiniti i zašto je to potrebno, raspravljat ćemo u sljedećem članku. A u ovom ćemo se fokusirati na skalarni produkt.

Postoje dva načina koji nam omogućuju da to izračunamo:

Kao što pretpostavljate, rezultat bi trebao biti isti! Dakle, pogledajmo prvo prvu metodu:

Točkasti umnožak preko koordinata

Nađi: - općeprihvaćeni zapis za skalarni produkt

Formula za izračun je sljedeća:

Odnosno, skalarni produkt = zbroj produkata vektorskih koordinata!

Primjer:

Pronađi-di-te

Riješenje:

Nađimo koordinate svakog od vektora:

Skalarni produkt izračunavamo pomoću formule:

Odgovor:

Vidite, apsolutno ništa komplicirano!

Pa, sada pokušajte sami:

· Pronađite skalarni pro-iz-ve-de-nie stoljeća i

Jeste li uspjeli? Možda ste primijetili malu kvaku? Provjerimo:

Vektorske koordinate, kao u prethodnom problemu! Odgovor: .

Osim koordinatnog, postoji još jedan način za izračunavanje skalarnog umnoška, ​​naime kroz duljine vektora i kosinus kuta između njih:

Označava kut između vektora i.

To jest, skalarni umnožak jednak je umnošku duljina vektora i kosinusa kuta između njih.

Zašto nam treba ova druga formula, ako imamo prvu, koja je puno jednostavnija, barem nema kosinusa u njoj. A potreban je kako bismo iz prve i druge formule ti i ja mogli zaključiti kako pronaći kut između vektora!

Sjetimo se onda formule za duljinu vektora!

Onda ako zamijenim ove podatke u formulu skalarnog umnoška, ​​dobit ću:

Ali na drugi način:

Pa što smo ti i ja dobili? Sada imamo formulu koja nam omogućuje izračunavanje kuta između dva vektora! Ponekad se zbog kratkoće piše i ovako:

Odnosno, algoritam za izračunavanje kuta između vektora je sljedeći:

1. Izračunaj skalarni produkt preko koordinata
2. Odredite duljine vektora i pomnožite ih
3. Podijelite rezultat iz točke 1 s rezultatom iz točke 2

Vježbajmo s primjerima:

1. Pronađite kut između vjeđa i. Dajte odgovor u gradu-du-sah.

2. U uvjetima prethodnog zadatka pronađite kosinus između vektora

Učinimo ovo: ja ću ti pomoći riješiti prvi problem, a drugi pokušaj riješiti sam! Slažem se? Onda počnimo!

1. Ovi vektori su naši stari prijatelji. Već smo izračunali njihov skalarni produkt i bio je jednak. Njihove koordinate su: , . Zatim nalazimo njihove duljine:

Zatim tražimo kosinus između vektora:

Koliki je kosinus kuta? Ovo je kut.

Odgovor:

E, sad sami riješite drugi zadatak, pa onda uspoređujte! Dat ću samo vrlo kratko rješenje:

2. ima koordinate, ima koordinate.

Dopustiti biti kut između vektora i, tada

Odgovor:

Treba napomenuti da su problemi izravno na vektorima i koordinatna metoda u dijelu B ispitni rad prilično rijetka. Međutim, velika većina C2 problema može se lako riješiti uvođenjem koordinatnog sustava. Stoga ovaj članak možete smatrati temeljem na temelju kojeg ćemo napraviti prilično pametne konstrukcije koje ćemo morati riješiti složeni zadaci.

KOORDINATE I VEKTORI. PROSJEČNA RAZINA

Ti i ja nastavljamo proučavati metodu koordinata. U posljednjem smo dijelu izveli niz važnih formula koje vam omogućuju da:

1. Pronađite vektorske koordinate
2. Nađi duljinu vektora (alternativno: udaljenost između dviju točaka)
3. Zbrajanje i oduzimanje vektora. Pomnožite ih s realnim brojem
4. Pronađite središte segmenta
5. Izračunajte točkasti umnožak vektora
6. Nađi kut između vektora

Naravno, cijela metoda koordinata ne stane u ovih 6 točaka. To je temelj takve znanosti kao što je analitička geometrija, s kojom ćete se upoznati na sveučilištu. Samo želim izgraditi temelje koji će vam omogućiti rješavanje problema u jednoj državi. ispit. Bavili smo se zadacima Dijela B. Sada je vrijeme da prijeđemo na potpuno novu razinu! Ovaj članak bit će posvećen metodi rješavanja onih C2 problema u kojima bi bilo razumno prijeći na koordinatnu metodu. Ova razumnost određena je onim što se traži u problemu i koja je brojka dana. Dakle, koristio bih metodu koordinata ako su pitanja:

1. Nađi kut između dviju ravnina
2. Nađi kut između pravca i ravnine
3. Nađi kut između dviju ravnih linija
4. Nađi udaljenost od točke do ravnine
5. Nađi udaljenost od točke do pravca
6. Nađi udaljenost od pravca do ravnine
7. Nađi udaljenost između dviju linija

Ako je lik iz zadatka rotacijsko tijelo (lopta, valjak, stožac...)

Prikladne brojke za metodu koordinata su:

1. Pravokutni paralelopiped
2. Piramida (trokutna, četverokutna, šesterokutna)

Također iz mog iskustva neprikladno je koristiti metodu koordinata za:

1. Određivanje površina presjeka
2. Izračunavanje volumena tijela

No, treba odmah napomenuti da su tri "nepovoljne" situacije za koordinatni metod u praksi vrlo rijetke. U većini zadataka može postati vaš spas, pogotovo ako niste baš dobri u trodimenzionalnim konstrukcijama (koje ponekad mogu biti prilično zamršene).

Koje su sve brojke koje sam gore naveo? Više nisu ravni, poput, na primjer, kvadrata, trokuta, kruga, već voluminozni! U skladu s tim, trebamo uzeti u obzir ne dvodimenzionalni, već trodimenzionalni koordinatni sustav. Lako ju je konstruirati: osim apscisne i ordinatne osi uvest ćemo još jednu os, aplikativnu os. Slika shematski prikazuje njihov relativni položaj:

Sve su one međusobno okomite i sijeku se u jednoj točki koju ćemo nazvati koordinatnim ishodištem. Kao i do sada, os apscisa ćemo označiti, os ordinata - , a uvedenu aplikacionu os - .

Ako je prije svaka točka na ravnini bila karakterizirana s dva broja - apscisom i ordinatom, tada je svaka točka u prostoru već opisana s tri broja - apscisom, ordinatom i aplikatom. Na primjer:

Prema tome, apscisa točke je jednaka, ordinata je , a aplikata je .

Ponekad se apscisa točke naziva i projekcija točke na apscisnu os, ordinata - projekcija točke na ordinatnu os, a aplikata - projekcija točke na apliciranu os. Prema tome, ako je dana točka, tada je točka s koordinatama:

naziva se projekcija točke na ravninu

naziva se projekcija točke na ravninu

Postavlja se prirodno pitanje: vrijede li sve formule izvedene za dvodimenzionalni slučaj u prostoru? Odgovor je da, pošteni su i imaju isti izgled. Za mali detalj. Mislim da ste već pogodili o kojem se radi. U svim formulama morat ćemo dodati još jedan član koji je odgovoran za aplikacionu os. Naime.

1. Ako su dane dvije točke: , tada:

• Vektorske koordinate:
• Udaljenost između dvije točke (ili duljina vektora)
• Središte segmenta ima koordinate

2. Ako su dana dva vektora: i, tada:

• Njihov skalarni proizvod jednak je:
• Kosinus kuta između vektora jednak je:

Međutim, prostor nije tako jednostavan. Kao što razumijete, dodavanjem još jedne koordinate uvodi se značajna raznolikost u spektar figura koje "žive" u ovom prostoru. A za daljnje pripovijedanje morat ću uvesti neku, grubo rečeno, "generalizaciju" ravne linije. Ova "generalizacija" bit će ravnina. Što znaš o avionu? Pokušajte odgovoriti na pitanje što je avion? Jako je teško reći. Međutim, svi mi intuitivno zamišljamo kako to izgleda:

Grubo rečeno, ovo je neka vrsta beskonačnog "plahta" zaglavljenog u prostoru. Pod beskonačnom treba podrazumijevati da se ravnina proteže u svim smjerovima, odnosno da je njena površina jednaka beskonačnosti. Međutim, ovo "praktično" objašnjenje ne daje niti najmanju ideju o strukturi aviona. I ona je ta koja će nas zanimati.

Prisjetimo se jednog od osnovnih aksioma geometrije:

• pravac prolazi kroz dvije različite točke na ravnini, a samo jedna:

Ili njegov analog u svemiru:

Naravno, sjećate se kako iz dvije zadane točke izvesti jednadžbu pravca; to nije nimalo teško: ako prva točka ima koordinate: a druga, onda će jednadžba pravca biti sljedeća:

Uzeli ste ovo u 7. razredu. U prostoru jednadžba pravca izgleda ovako: neka su nam zadane dvije točke s koordinatama: , tada jednadžba pravca koji kroz njih prolazi ima oblik:

Na primjer, linija prolazi kroz točke:

Kako ovo treba razumjeti? Ovo treba shvatiti na sljedeći način: točka leži na pravcu ako njezine koordinate zadovoljavaju sljedeći sustav:

Jednadžba pravca nas neće previše zanimati, ali moramo obratiti pozornost na vrlo važan koncept vektora pravca pravca. - bilo koji vektor različit od nule koji leži na zadanoj liniji ili je paralelan s njom.

Na primjer, oba vektora su vektori smjera prave linije. Neka je točka koja leži na liniji i neka je njezin vektor smjera. Tada se jednadžba pravca može napisati u sljedećem obliku:

Još jednom, neće me jako zanimati jednadžba ravne linije, ali stvarno trebam da zapamtite što je vektor smjera! Opet: ovo je SVAKI vektor različit od nule koji leži na pravoj ili paralelan s njom.

Povući jednadžba ravnine na temelju tri zadane točke više nije tako trivijalan i obično se to pitanje ne obrađuje na tečaju Srednja škola. Ali uzalud! Ova tehnika je vitalna kada pribjegavamo koordinatnoj metodi za rješavanje složenih problema. Ipak, pretpostavljam da ste željni naučiti nešto novo? Štoviše, moći ćete impresionirati svog profesora na sveučilištu kada se pokaže da već znate kako koristiti tehniku ​​koja se obično proučava na tečaju analitičke geometrije. Pa krenimo.

Jednadžba ravnine se ne razlikuje previše od jednadžbe pravca na ravnini, naime ima oblik:

neki brojevi (nisu svi jednaki nuli), već varijable, na primjer: itd. Kao što vidite, jednadžba ravnine ne razlikuje se mnogo od jednadžbe ravne linije (linearna funkcija). Međutim, sjećate se oko čega smo se ti i ja svađali? Rekli smo da ako imamo tri točke koje ne leže na istom pravcu, onda se iz njih može jedinstveno rekonstruirati jednadžba ravnine. Ali kako? Pokušat ću ti objasniti.

Budući da je jednadžba ravnine:

A točke pripadaju ovoj ravnini, tada kada zamijenimo koordinate svake točke u jednadžbu ravnine, trebali bismo dobiti točan identitet:

Dakle, potrebno je riješiti tri jednadžbe s nepoznanicama! Dilema! Međutim, to uvijek možete pretpostaviti (da biste to učinili morate podijeliti sa). Tako dobivamo tri jednadžbe s tri nepoznanice:

Međutim, nećemo riješiti takav sustav, već ćemo ispisati tajanstveni izraz koji iz njega proizlazi:

Jednadžba ravnine koja prolazi kroz tri zadane točke

\[\lijevo| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(niz)) \desno| = 0\]

Stop! Što je to? Neki vrlo neobičan modul! Međutim, objekt koji vidite ispred sebe nema nikakve veze s modulom. Taj se objekt naziva determinanta trećeg reda. Od sada, kada se budete bavili metodom koordinata na ravnini, vrlo često ćete se susretati s tim istim odrednicama. Što je determinanta trećeg reda? Začudo, to je samo broj. Ostaje razumjeti koji konkretni broj ćemo usporediti s determinantom.

Zapišimo prvo determinantu trećeg reda u općenitijem obliku:

Gdje su neki brojevi. Štoviše, pod prvim indeksom podrazumijevamo broj retka, a pod indeksom broj stupca. Na primjer, to znači da je ovaj broj na sjecištu drugog reda i trećeg stupca. Stavimo ga sljedeće pitanje: Kako ćemo točno izračunati takvu determinantu? Odnosno, koji konkretni broj ćemo s njim usporediti? Za determinantu trećeg reda postoji heurističko (vizualno) pravilo trokuta, ono izgleda ovako:

1. Umnožak elemenata glavne dijagonale (od gornjeg lijevog kuta do donjeg desnog) umnožak elemenata koji tvore prvi trokut "okomit" na glavnu dijagonalu umnožak elemenata koji tvore drugi trokut "okomit" na glavna dijagonala
2. Umnožak elemenata sekundarne dijagonale (od gornjeg desnog kuta do donjeg lijevog) umnožak elemenata koji tvore prvi trokut "okomit" na sekundarnu dijagonalu Umnožak elemenata koji tvore drugi trokut "okomit" na sekundarna dijagonala
3. Tada je determinanta jednaka razlici između vrijednosti dobivenih na koraku i

Ako sve to zapišemo brojevima, dobit ćemo sljedeći izraz:

Međutim, ne morate se sjećati načina izračuna u ovom obliku; dovoljno je samo zadržati u glavi trokute i samu ideju što se čemu dodaje, a što se zatim oduzima od čega).

Ilustrirajmo metodu trokuta primjerom:

1. Izračunajte determinantu:

Odgonetnimo što dodajemo, a što oduzimamo:

Uvjeti koji dolaze s plusom:

Ovo je glavna dijagonala: umnožak elemenata jednak je

Prvi trokut, "okomit na glavnu dijagonalu: umnožak elemenata jednak je

Drugi trokut, "okomit na glavnu dijagonalu: umnožak elemenata jednak je

Zbrojite tri broja:

Uvjeti koji dolaze s minusom

Ovo je bočna dijagonala: umnožak elemenata jednak je

Prvi trokut, “okomit na sekundarnu dijagonalu: umnožak elemenata jednak je

Drugi trokut, “okomit na sekundarnu dijagonalu: umnožak elemenata jednak je

Zbrojite tri broja:

Sve što treba učiniti je oduzeti zbroj članova "plus" od zbroja članova "minus":

Tako,

Kao što vidite, nema ničeg kompliciranog ili nadnaravnog u izračunavanju determinanti trećeg reda. Samo je važno zapamtiti trokute i ne činiti aritmetičke pogreške. Sada pokušajte sami izračunati:

Provjeravamo:

1. Prvi trokut okomit na glavnu dijagonalu:
2. Drugi trokut okomit na glavnu dijagonalu:
3. Zbroj članova s ​​plusom:
4. Prvi trokut okomit na sekundarnu dijagonalu:
5. Drugi trokut okomit na bočnu dijagonalu:
6. Zbroj članova s ​​minusom:
7. Zbroj članova s ​​plusom minus zbroj članova s ​​minusom:

Evo još par odrednica, njihove vrijednosti izračunajte sami i usporedite s odgovorima:

odgovori:

Pa, je li se sve poklopilo? Super, onda možete nastaviti! Ako postoje poteškoće, moj savjet je sljedeći: na internetu postoji mnogo programa za izračunavanje determinante na mreži. Sve što trebate je smisliti vlastitu odrednicu, sami je izračunati, a zatim usporediti s onim što program izračuna. I tako sve dok se rezultati ne počnu poklapati. Siguran sam da ovaj trenutak neće dugo trajati!

Vratimo se sad na determinantu koju sam napisao kada sam govorio o jednadžbi ravnine koja prolazi kroz tri zadane točke:

Sve što trebate je izravno izračunati njegovu vrijednost (pomoću metode trokuta) i postaviti rezultat na nulu. Naravno, budući da su to varijable, dobit ćete neki izraz koji ovisi o njima. Upravo će taj izraz biti jednadžba ravnine koja prolazi kroz tri zadane točke koje ne leže na istoj pravoj liniji!

Ilustrirajmo to jednostavnim primjerom:

1. Konstruirajte jednadžbu ravnine koja prolazi kroz točke

Sastavljamo determinantu za ove tri točke:

Pojednostavimo:

Sada ga izračunavamo izravno pomoću pravila trokuta:

\[(\lijevo| (\begin(niz)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(niz)) \ desno| = \lijevo((x + 3) \desno) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \lijevo((z + 1) \desno) + \lijevo((y - 2) \desno) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Dakle, jednadžba ravnine koja prolazi kroz točke je:

Sada pokušajte sami riješiti jedan problem, a onda ćemo o njemu razgovarati:

2. Nađite jednadžbu ravnine koja prolazi kroz točke

Pa, raspravimo sada rješenje:

Kreirajmo determinantu:

I izračunajte njegovu vrijednost:

Tada jednadžba ravnine ima oblik:

Ili, smanjujući za, dobivamo:

Sada dva zadatka za samokontrolu:

1. Konstruirajte jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tri točke:

odgovori:

Je li se sve poklopilo? Opet, ako postoje određene poteškoće, moj savjet je sljedeći: uzmite tri točke iz glave (s velikim stupnjem vjerojatnosti neće ležati na istoj ravnoj liniji), izgradite ravninu na temelju njih. I onda se provjerite na internetu. Na primjer, na web mjestu:

No uz pomoć determinanti nećemo konstruirati samo jednadžbu ravnine. Zapamtite, rekao sam vam da za vektore nije definiran samo točkasti produkt. Postoji i vektorski proizvod, kao i mješoviti proizvod. A ako je skalarni umnožak dva vektora broj, tada će vektorski umnožak dva vektora biti vektor, a taj će vektor biti okomit na zadane:

Štoviše, njegov će modul biti jednak površini paralelograma izgrađenog na vektorima i. Trebat će nam ovaj vektor za izračunavanje udaljenosti od točke do pravca. Kako možemo izračunati vektorski produkt vektora i ako su zadane njihove koordinate? U pomoć nam ponovno dolazi determinanta trećeg reda. Međutim, prije nego prijeđem na algoritam za izračunavanje vektorskog produkta, moram napraviti malu digresiju.

Ova digresija se odnosi na bazne vektore.

Oni su shematski prikazani na slici:

Što mislite zašto se nazivaju osnovnim? Činjenica je da:

Ili na slici:

Valjanost ove formule je očita, jer:

Vektorsko umjetničko djelo

Sada mogu početi predstavljati unakrsni proizvod:

Vektorski umnožak dva vektora je vektor koji se izračunava prema sljedećem pravilu:

Dajmo sada neke primjere izračuna unakrsnog umnoška:

Primjer 1: Pronađite umnožak vektora:

Rješenje: Smišljam odrednicu:

I izračunam:

Od pisanja kroz bazne vektore, vratit ću se na uobičajenu vektorsku notaciju:

Tako:

Sada pokušajte.

Spreman? Provjeravamo:

I to tradicionalno dva zadaci za kontrolu:

1. Pronađite vektorski produkt sljedećih vektora:
2. Pronađite vektorski produkt sljedećih vektora:

odgovori:

Mješoviti umnožak triju vektora

Posljednja konstrukcija koja će mi trebati je mješoviti umnožak tri vektora. On je, kao i skalar, broj. Postoje dva načina za izračunavanje. - kroz odrednicu, - kroz mješoviti proizvod.

Naime, neka su nam dana tri vektora:

Tada se mješoviti umnožak triju vektora, označen s, može izračunati kao:

1. - to jest, mješoviti umnožak je skalarni umnožak vektora i vektorski umnožak dva druga vektora

Na primjer, mješoviti umnožak tri vektora je:

Pokušajte sami izračunati pomoću vektorskog umnoška i uvjerite se da rezultati odgovaraju!

I opet dva primjera za neovisna rješenja:

odgovori:

Odabir koordinatnog sustava

Pa, sada imamo sve potrebne temelje znanja za rješavanje složenih problema stereometrijske geometrije. Međutim, prije nego što prijeđemo izravno na primjere i algoritme za njihovo rješavanje, vjerujem da će biti korisno zadržati se na sljedećem pitanju: kako točno izabrati koordinatni sustav za određeni lik. Uostalom, odabir relativnog položaja koordinatnog sustava i figure u prostoru u konačnici će odrediti koliko će izračuni biti glomazni.

Dopustite mi da vas podsjetim da u ovom odjeljku razmatramo sljedeće brojke:

1. Pravokutni paralelopiped
2. Ravna prizma (trokutna, šesterokutna...)
3. Piramida (trokutasta, četverokutna)
4. Tetraedar (isto kao trokutasta piramida)

Za pravokutni paralelopiped ili kocku preporučujem vam sljedeću konstrukciju:

Odnosno, postavit ću figuru "u kut". Kocka i paralelopiped su jako dobre figure. Za njih uvijek možete lako pronaći koordinate njegovih vrhova. Na primjer, ako (kao što je prikazano na slici)

tada su koordinate vrhova sljedeće:

Naravno, ne morate to pamtiti, ali preporučljivo je zapamtiti kako najbolje postaviti kocku ili pravokutni paralelopiped.

Ravna prizma

Prizma je štetnija figura. Može se pozicionirati u prostoru na različite načine. Međutim, sljedeća opcija mi se čini najprihvatljivijom:

Trokutasta prizma:

Odnosno, jednu od strana trokuta u potpunosti postavljamo na os, a jedan od vrhova podudara se s ishodištem koordinata.

Heksagonalna prizma:

To jest, jedan od vrhova se podudara s ishodištem, a jedna od strana leži na osi.

Četverokutna i šesterokutna piramida:

Situacija je slična kao kod kocke: dvije stranice baze poravnamo s koordinatnim osima, a jedan od vrhova poravnamo s ishodištem koordinata. Jedina će mala poteškoća biti izračunati koordinate točke.

Za šesterokutnu piramidu - isto što i za šesterokutnu prizmu. Glavni zadatak će opet biti pronaći koordinate vrha.

Tetraedar (trokutasta piramida)

Situacija je vrlo slična onoj koju sam dao za trokutastu prizmu: jedan vrh se poklapa s ishodištem, jedna stranica leži na koordinatnoj osi.

Pa, sada smo ti i ja konačno blizu toga da počnemo rješavati probleme. Iz onoga što sam rekao na samom početku članka, možete izvući sljedeći zaključak: većina C2 problema podijeljena je u 2 kategorije: problemi kuta i problemi udaljenosti. Prvo ćemo pogledati probleme pronalaženja kuta. Oni se pak dijele na sljedeće kategorije(kako se težina povećava):

Zadaci za pronalaženje kutova

1. Određivanje kuta između dviju ravnih linija
2. Određivanje kuta između dvije ravnine

Pogledajmo ove probleme redom: počnimo s pronalaženjem kuta između dviju ravnih linija. Pa, zapamtite, nismo li ti i ja već rješavali slične primjere? Sjećate li se, već smo imali nešto slično... Tražili smo kut između dva vektora. Da vas podsjetim, ako su data dva vektora: i, onda se kut između njih nalazi iz relacije:

Sada nam je cilj pronaći kut između dviju ravnih linija. Pogledajmo "ravnu sliku":

Koliko smo kutova dobili kada su se dvije ravne crte sijekle? Samo nekoliko stvari. Istina, samo dva od njih nisu jednaka, dok su ostali okomiti na njih (i stoga se poklapaju s njima). Dakle, koji kut trebamo smatrati kutom između dviju ravnih linija: ili? Ovdje vrijedi pravilo: kut između dviju ravnih linija uvijek nije veći od stupnjeva. Odnosno, iz dva kuta uvijek ćemo odabrati kut s najmanjom stupnjevitom mjerom. To jest, na ovoj slici kut između dviju ravnih linija je jednak. Kako se svaki put ne bi mučili s traženjem najmanjeg od dva kuta, lukavi matematičari predložili su korištenje modula. Dakle, kut između dviju ravnih linija određuje se formulom:

Vi ste se, kao pažljivi čitatelj, trebali zapitati: odakle, točno, uzimamo te iste brojeve koji su nam potrebni za izračunavanje kosinusa kuta? Odgovor: uzet ćemo ih iz vektora smjera pravaca! Dakle, algoritam za pronalaženje kuta između dviju ravnih linija je sljedeći:

1. Primjenjujemo formulu 1.

Ili detaljnije:

1. Tražimo koordinate vektora smjera prve ravnice
2. Tražimo koordinate vektora smjera druge ravnice
3. Izračunavamo modul njihovog skalarnog umnoška
4. Tražimo duljinu prvog vektora
5. Tražimo duljinu drugog vektora
6. Pomnožite rezultate iz točke 4 s rezultatima iz točke 5
7. Rezultat točke 3. podijelimo s rezultatom točke 6. Dobivamo kosinus kuta između pravaca
8. Ako ovaj rezultat omogućuje vam da točno izračunate kut, potražite ga
9. Inače pišemo kroz ark kosinus

Pa, sada je vrijeme da prijeđemo na probleme: detaljno ću demonstrirati rješenje za prva dva, a rješenje za još jedan u Ukratko, a za posljednja dva zadatka dat ću samo odgovore, sve izračune za njih morate izvršiti sami.

Zadaci:

1. U desnom tet-ra-ed-reu pronađite kut između visine tet-ra-ed-ra i srednje strane.

2. U desnoj šesterokutnoj pi-ra-mi-de, stotinu os-no-va-niya su jednake, a bočni rubovi su jednaki, pronađite kut između linija i.

3. Duljine svih bridova desnog četverougljenog pi-ra-mi-dyja su međusobno jednake. Pronađite kut između ravnih linija i ako iz rez - ste sa zadanim pi-ra-mi-dy, točka je se-re-di-na svojim bo-co- drugi rebra

4. Na rubu kocke nalazi se točka tako da Nađi kut između ravnih linija i

5. Točka – na bridovima kocke Nađi kut između ravnih linija i.

Nisam slučajno posložio zadatke ovim redom. Dok se još niste počeli snalaziti u koordinatnoj metodi, ja ću sam analizirati "najproblematičnije" figure, a vama ću ostaviti da se pozabavite najjednostavnijom kockom! Postupno ćete morati naučiti raditi sa svim figurama, ja ću povećavati složenost zadataka od teme do teme.

Počnimo rješavati probleme:

1. Nacrtajte tetraedar, smjestite ga u koordinatni sustav kao što sam ranije predložio. Budući da je tetraedar pravilan, sva njegova lica (uključujući i bazu) su pravilni trokuti. Budući da nam nije dana duljina stranice, mogu uzeti da je jednaka. Mislim da shvaćate da kut zapravo neće ovisiti o tome koliko je naš tetraedar "ispružen"?. Također ću nacrtati visinu i medijan u tetraedru. Usput ću mu nacrtati bazu (također će nam koristiti).

Moram pronaći kut između i. Što znamo? Znamo samo koordinatu točke. To znači da moramo pronaći koordinate točaka. Sada mislimo: točka je točka presjeka visina (ili simetrala ili medijana) trokuta. A točka je uzdignuta točka. Točka je sredina segmenta. Zatim konačno trebamo pronaći: koordinate točaka: .

Počnimo s najjednostavnijom stvari: koordinatama točke. Pogledajte sliku: Jasno je da je aplikata točke jednaka nuli (točka leži na ravnini). Njegova ordinata je jednaka (jer je medijan). Teže je pronaći njegovu apscisu. Međutim, to se lako može učiniti na temelju Pitagorinog teorema: Razmotrimo trokut. Njegova hipotenuza je jednaka, a jedan od kateta je jednak. Tada:

Na kraju imamo: .

Nađimo sada koordinate točke. Jasno je da mu je aplikata opet jednaka nuli, a ordinata ista kao i točka, tj. Nađimo njegovu apscisu. Ovo se radi prilično trivijalno ako se toga sjećate visine jednakostraničnog trokuta točkom presjeka dijele se proporcionalno, računajući od vrha. Budući da je: , tada je tražena apscisa točke, jednaka duljini segmenta, jednaka: . Dakle, koordinate točke su:

Nađimo koordinate točke. Jasno je da se njezina apscisa i ordinata poklapaju s apscisom i ordinatom točke. A aplikacija je jednaka duljini segmenta. - ovo je jedna od krakova trokuta. Hipotenuza trokuta je segment - kateta. Traži se iz razloga koje sam podebljao:

Točka je sredina segmenta. Zatim se moramo sjetiti formule za koordinate sredine segmenta:

To je to, sada možemo tražiti koordinate vektora smjera:

Pa, sve je spremno: zamijenimo sve podatke u formulu:

Tako,

Odgovor:

Ne bi vas trebali plašiti takvi “strašni” odgovori: za C2 zadatke to je uobičajena praksa. Prije bih se iznenadio “prekrasnim” odgovorom u ovom dijelu. Također, kao što ste primijetili, praktički nisam pribjegao ničemu osim Pitagorinom teoremu i svojstvu visina jednakostraničnog trokuta. To jest, da bih riješio stereometrijski problem, koristio sam minimum stereometrije. Dobitak u tome djelomično se "gasi" prilično glomaznim izračunima. Ali oni su prilično algoritamski!

2. Nacrtajmo pravilnu šesterokutnu piramidu zajedno s koordinatnim sustavom, kao i njezinom bazom:

Moramo pronaći kut između linija i. Dakle, naš zadatak se svodi na pronalaženje koordinata točaka: . Posljednja tri ćemo koordinate pronaći pomoću malog crteža, a koordinatu vrha ćemo pronaći preko koordinate točke. Ima puno posla, ali moramo početi!

a) Koordinata: jasno je da su joj aplikata i ordinata jednake nuli. Nađimo apscisu. Da biste to učinili, razmotrite pravokutni trokut. Nažalost, u njemu znamo samo hipotenuzu, koja je jednaka. Pokušat ćemo pronaći krak (jer je jasno da će nam dvostruka duljina kraka dati apscisu točke). Kako to možemo tražiti? Prisjetimo se kakvu figuru imamo u podnožju piramide? Ovo je pravilan šesterokut. Što to znači? To znači da su sve stranice i svi kutovi jednaki. Moramo pronaći jedan takav kut. Imate li ideja? Ima puno ideja, ali postoji formula:

Zbroj kutova pravilnog n-kuta je .

Dakle, zbroj kutova pravilnog šesterokuta jednak je stupnjevima. Tada je svaki od kutova jednak:

Pogledajmo ponovno sliku. Jasno je da je segment simetrala kuta. Tada je kut jednak stupnjevima. Zatim:

Odakle onda.

Dakle, ima koordinate

b) Sada lako možemo pronaći koordinatu točke: .

c) Odredi koordinate točke. Budući da se njegova apscisa podudara s duljinom segmenta, ona je jednaka. Nalaženje ordinate također nije teško: ako spojimo točke i označimo točku sjecišta ravne crte kao, recimo, . (uradi sam jednostavna konstrukcija). Tada je dakle ordinata točke B jednaka zbroju duljina odsječaka. Pogledajmo ponovno trokut. Zatim

Tada od Tada točka ima koordinate

d) Nađimo sada koordinate točke. Promotrimo pravokutnik i dokažimo da su dakle koordinate točke:

e) Ostalo je pronaći koordinate vrha. Jasno je da se njezina apscisa i ordinata poklapaju s apscisom i ordinatom točke. Pronađimo aplikaciju. Od tad. Razmotrimo pravokutni trokut. Prema uvjetima problema, bočni rub. Ovo je hipotenuza mog trokuta. Tada je visina piramide krak.

Tada točka ima koordinate:

Eto, to je to, imam koordinate svih točaka koje me zanimaju. Tražim koordinate vektora usmjeravanja ravnih linija:

Tražimo kut između ovih vektora:

Odgovor:

Opet, u rješavanju ovog problema nisam koristio nikakve sofisticirane tehnike osim formule za zbroj kutova pravilnog n-kuta, kao i definicije kosinusa i sinusa pravokutnog trokuta.

3. Budući da nam opet nisu zadane duljine bridova u piramidi, smatrat ću ih jednakima jedan. Dakle, budući da su SVI bridovi, a ne samo bočni, međusobno jednaki, tada se u osnovi piramide i mene nalazi kvadrat, a bočne strane su pravilni trokuti. Nacrtajmo takvu piramidu, kao i njenu bazu na ravnini, bilježeći sve podatke navedene u tekstu zadatka:

Tražimo kut između i. Napravit ću vrlo kratke izračune kada budem tražio koordinate točaka. Morat ćete ih "dešifrirati":

b) - sredina segmenta. Njegove koordinate:

c) Naći ću duljinu isječka pomoću Pitagorinog poučka u trokutu. Mogu ga pronaći koristeći Pitagorin teorem u trokutu.

koordinate:

d) - sredina segmenta. Njegove koordinate su

e) Koordinate vektora

f) Koordinate vektora

g) Traženje kuta:

Kocka je najjednostavnija figura. Sigurna sam da ćeš to sama shvatiti. Odgovori na probleme 4 i 5 su sljedeći:

Određivanje kuta između pravca i ravnine

Pa, vrijeme jednostavnih zagonetki je prošlo! Sada će primjeri biti još kompliciraniji. Da bismo pronašli kut između pravca i ravnine, postupit ćemo na sljedeći način:

1. Pomoću tri točke konstruiramo jednadžbu ravnine
   ,
   pomoću determinante trećeg reda.
2. Pomoću dvije točke tražimo koordinate usmjeravajućeg vektora pravca:
3. Primjenjujemo formulu za izračunavanje kuta između pravca i ravnine:

Kao što vidite, ova je formula vrlo slična onoj koju smo koristili za pronalaženje kutova između dviju ravnih linija. Struktura na desnoj strani jednostavno je ista, a na lijevoj sada tražimo sinus, a ne kosinus kao prije. Pa, dodana je jedna gadna akcija - traženje jednadžbe ravnine.

Nemojmo odugovlačiti primjeri rješenja:

1. Glavni-ali-va-ni-em izravna prizma-mi smo jednako-siromašan trokut. Nađi kut između pravca i ravnine

2. U pravokutnom par-ral-le-le-pi-pe-de sa zapada Nađite kut između pravca i ravnine

3. U pravilnoj šesterokutnoj prizmi svi bridovi su jednaki. Nađi kut između pravca i ravnine.

4. U pravom trokutastom pi-ra-mi-de s os-no-va-ni-em poznatih rebara Pronađite kut, ob-ra-zo-van -ravan u osnovi i ravan, koji prolazi kroz sivu rebra i

5. Duljine svih bridova pravilnog četverokutnog pi-ra-mi-dyja s vrhom su međusobno jednake. Nađite kut između pravca i ravnine ako je točka na strani ruba pi-ra-mi-dyja.

Opet ću prva dva problema riješiti detaljno, treći ukratko, a posljednja dva ostavljam vama da sami riješite. Osim toga, već ste imali posla s trokutastim i četverokutnim piramidama, ali još ne s prizmama.

rješenja:

1. Nacrtajmo prizmu, kao i njenu bazu. Kombinirajmo ga s koordinatnim sustavom i zabilježimo sve podatke koji su navedeni u tvrdnji problema:

Ispričavam se zbog nekih nepoštivanja proporcija, ali za rješavanje problema to zapravo i nije toliko važno. Ravnost je samo " stražnji zid"moje prizme. Dovoljno je samo pogoditi da jednadžba takve ravnine ima oblik:

Međutim, to se može prikazati izravno:

Izaberimo proizvoljne tri točke na ovoj ravnini: na primjer, .

Napravimo jednadžbu ravnine:

Vježba za vas: izračunajte sami ovu odrednicu. Jeste li uspjeli? Tada jednadžba ravnine izgleda ovako:

Ili jednostavno

Tako,

Da bih riješio primjer, trebam pronaći koordinate vektora smjera pravca. Budući da se točka poklapa s ishodištem koordinata, koordinate vektora će se jednostavno poklapati s koordinatama točke.Da bismo to učinili, prvo ćemo pronaći koordinate točke.

Da biste to učinili, razmotrite trokut. Nacrtajmo visinu (također poznatu kao središnja i simetrala) iz vrha. Budući da je ordinata točke jednaka. Da bismo pronašli apscisu ove točke, moramo izračunati duljinu segmenta. Prema Pitagorinoj teoremi imamo:

Tada točka ima koordinate:

Točka je "izdignuta" točka:

Tada su vektorske koordinate:

Odgovor:

Kao što vidite, ne postoji ništa bitno teško pri rješavanju takvih problema. Zapravo, proces je malo više pojednostavljen "ravnošću" figure kao što je prizma. Sada prijeđimo na sljedeći primjer:

2. Nacrtajte paralelepiped, nacrtajte ravninu i ravnu liniju u njoj, a također zasebno nacrtajte njegovu donju bazu:

Prvo nalazimo jednadžbu ravnine: koordinate triju točaka koje leže u njoj:

(prve dvije koordinate dobivene su na očigledan način, a zadnju koordinatu lako možete pronaći na slici iz točke). Zatim sastavljamo jednadžbu ravnine:

Računamo:

Tražimo koordinate vektora vođenja: Jasno je da se njegove koordinate poklapaju s koordinatama točke, zar ne? Kako pronaći koordinate? Ovo su koordinate točke, uzdignute duž aplicirane osi za jedan! . Zatim tražimo željeni kut:

Odgovor:

3. Nacrtaj pravilnu šesterokutnu piramidu, a zatim u nju nacrtaj ravninu i pravu.

Ovdje je čak problematično nacrtati ravninu, a da ne spominjemo rješavanje ovog problema, ali koordinatna metoda nije važna! Njegova svestranost njegova je glavna prednost!

Ravnina prolazi kroz tri točke: . Tražimo njihove koordinate:

1) . Koordinate zadnje dvije točke saznajte sami. Za ovo ćete morati riješiti problem šesterokutne piramide!

2) Konstruiramo jednadžbu ravnine:

Tražimo koordinate vektora: . (Pogledajte ponovno problem trokutaste piramide!)

3) Traženje kuta:

Odgovor:

Kao što vidite, u ovim zadacima nema ničeg nadnaravno teškog. Samo trebate biti vrlo oprezni s korijenjem. Dat ću odgovore samo na zadnja dva problema:

Kao što vidite, tehnika rješavanja problema svugdje je ista: glavni zadatak je pronaći koordinate vrhova i zamijeniti ih u određene formule. Moramo razmotriti još jednu klasu problema za izračunavanje kutova, naime:

Izračunavanje kutova između dvije ravnine

Algoritam rješenja bit će sljedeći:

1. Pomoću tri točke tražimo jednadžbu prve ravnine:
2. Pomoću ostale tri točke tražimo jednadžbu druge ravnine:
3. Primjenjujemo formulu:

Kao što vidite, formula je vrlo slična prethodnim dvjema uz pomoć kojih smo tražili kutove između ravnih pravaca i između pravca i ravnine. Tako da vam neće biti teško zapamtiti ovo. Prijeđimo na analizu zadataka:

1. Jednaka je stranica baze pravilne trokutaste prizme, a jednaka je dijagonala bočne plohe. Odredite kut između ravnine i ravnine osi prizme.

2. U pravom četverokutnom pi-ra-mi-deu, čiji su svi rubovi jednaki, pronađite sinus kuta između ravnine i ravninske kosti, koji prolazi kroz točku per-pen-di-ku- lažljivac-ali ravna.

3. U pravilnoj četverokutnoj prizmi stranice baze su jednake, a bočni bridovi jednaki. Postoji točka na rubu od-me-che-on tako da. Pronađite kut između ravnina i

4. U pravilnoj četverokutnoj prizmi stranice baze su jednake, a bočni bridovi su jednaki. Postoji točka na rubu od točke tako da Pronađite kut između ravnina i.

5. U kocki nađi ko-si-nus kuta između ravnina i

Rješenja problema:

1. Crtam pravilnu (jednakostranični trokut na bazi) trokutastu prizmu i na njoj označavam ravnine koje se pojavljuju u tvrdnji problema:

Moramo pronaći jednadžbe dviju ravnina: Jednadžba baze je trivijalna: možete sastaviti odgovarajuću determinantu pomoću tri točke, ali ja ću odmah sastaviti jednadžbu:

Pronađimo sada jednadžbu Točka ima koordinate Točka - Budući da je medijan i visina trokuta, lako se pronalazi pomoću Pitagorinog teorema u trokutu. Tada točka ima koordinate: Nađimo primjenu točke. Da bismo to učinili, razmotrimo pravokutni trokut

Tada dobivamo sljedeće koordinate: Sastavljamo jednadžbu ravnine.

Izračunavamo kut između ravnina:

Odgovor:

2. Izrada crteža:

Najteže je razumjeti kakva je to tajanstvena ravnina koja prolazi okomito kroz točku. Pa, glavno je, što je to? Glavna stvar je pažljivost! Zapravo, linija je okomita. Pravac je također okomit. Tada će ravnina koja prolazi kroz ove dvije linije biti okomita na liniju i, usput, prolaziti kroz točku. Ova ravnina također prolazi kroz vrh piramide. Zatim željeni avion - A avion nam je već dat. Tražimo koordinate točaka.

Koordinatu točke nalazimo kroz točku. Iz male slike lako je zaključiti da će koordinate točke biti sljedeće: Što sada treba pronaći da bismo pronašli koordinate vrha piramide? Također morate izračunati njegovu visinu. To se radi pomoću istog Pitagorinog teorema: prvo to dokažite (trivijalno iz malih trokuta koji tvore kvadrat u osnovi). Budući da prema uvjetu imamo:

Sada je sve spremno: koordinate vrhova:

Sastavljamo jednadžbu ravnine:

Vi ste već stručnjak za izračunavanje determinanti. Bez problema ćete dobiti:

Ili drugačije (ako obje strane pomnožimo korijenom iz dva)

Nađimo sada jednadžbu ravnine:

(Nisi zaboravio kako dobivamo jednadžbu ravnine, zar ne? Ako ne razumiješ odakle je došao ovaj minus jedan, onda se vrati na definiciju jednadžbe ravnine! Samo se prije toga uvijek pokazalo moj avion je pripadao ishodištu koordinata!)

Izračunavamo determinantu:

(Možda ćete primijetiti da se jednadžba ravnine podudara s jednadžbom pravca koji prolazi kroz točke i! Razmislite zašto!)

Sada izračunajmo kut:

Moramo pronaći sinus:

Odgovor:

3. Varljivo pitanje: što mislite što je pravokutna prizma? Ovo je samo paralelopiped kojeg dobro poznajete! Napravimo crtež odmah! Ne morate čak ni prikazivati ​​bazu zasebno; ovdje je od male koristi:

Ravnina je, kao što smo ranije primijetili, napisana u obliku jednadžbe:

Sada napravimo avion

Odmah stvaramo jednadžbu ravnine:

Tražim kut:

Sada odgovori na posljednja dva problema:

Pa, sad je vrijeme da malo predahnemo, jer ti i ja smo super i napravili smo odličan posao!

Koordinate i vektori. Napredna razina

U ovom ćemo članku s vama raspravljati o drugoj klasi problema koji se mogu riješiti korištenjem koordinatne metode: problemima izračuna udaljenosti. Naime, razmotrit ćemo sljedećim slučajevima:

1. Izračunavanje udaljenosti između linija koje se sijeku.

Poredao sam ove zadatke prema rastućoj težini. Ispada da ga je najlakše pronaći udaljenost od točke do ravnine, a najteže je pronaći udaljenost između križnih linija. Iako, naravno, ništa nije nemoguće! Nemojmo odugovlačiti i odmah prijeđimo na razmatranje prve klase problema:

Izračunavanje udaljenosti od točke do ravnine

Što nam je potrebno da riješimo ovaj problem?

1. Koordinate točke

Dakle, čim dobijemo sve potrebne podatke, primjenjujemo formulu:

Već biste trebali znati kako konstruiramo jednadžbu ravnine iz prethodnih problema o kojima sam govorio u prošlom dijelu. Prijeđimo odmah na zadatke. Shema je sljedeća: 1, 2 - pomažem vam odlučiti, i malo detaljnije, 3, 4 - samo odgovor, sami nosite rješenje i usporedite. Počnimo!

Zadaci:

1. Dana je kocka. Duljina brida kocke je jednaka. Nađi udaljenost se-re-di-na od presjeka do ravnine

2. S obzirom na desno četiri ugljena pi-ra-mi-yes, stranica stranice je jednaka bazi. Pronađite udaljenost od točke do ravnine gdje - se-re-di-na rubovima.

3. U pravom trokutastom pi-ra-mi-de s os-no-va-ni-em, bočni rub je jednak, a sto-ro-na os-no-va-nia je jednak. Pronađite udaljenost od vrha do ravnine.

4. U pravilnoj šesterokutnoj prizmi svi bridovi su jednaki. Nađi udaljenost od točke do ravnine.

rješenja:

1. Nacrtajte kocku s jednostrukim bridovima, konstruirajte odsječak i ravninu, sredinu odsječka označite slovom

.

Prvo, počnimo s jednostavnim: pronađite koordinate točke. Od tada (zapamtite koordinate sredine segmenta!)

Sada sastavljamo jednadžbu ravnine koristeći tri točke

\[\lijevo| (\početak(niz)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\kraj(niz)) \right| = 0\]

Sada mogu početi pronalaziti udaljenost:

2. Ponovno krećemo s crtežom na kojem označavamo sve podatke!

Za piramidu bi bilo korisno posebno nacrtati njezinu bazu.

Ni činjenica da šapom crtam kao kokoš neće nas spriječiti da s lakoćom riješimo ovaj problem!

Sada je jednostavno pronaći koordinate točke

Budući da su koordinate točke, dakle

2. Kako su koordinate točke a sredina segmenta, tada

Bez problema možemo pronaći koordinate još dviju točaka na ravnini.Sastavimo jednadžbu za ravninu i pojednostavimo je:

\[\lijevo| (\lijevo| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(niz)) \right|) \right| = 0\]

Budući da točka ima koordinate: , izračunavamo udaljenost:

Odgovor (vrlo rijetko!):

Pa, jeste li shvatili? Čini mi se da je ovdje sve jednako tehničko kao i u primjerima koje smo pogledali u prethodnom dijelu. Stoga sam siguran da ako ste savladali to gradivo, onda vam neće biti teško riješiti preostala dva problema. Samo ću vam dati odgovore:

Izračunavanje udaljenosti od pravca do ravnine

Zapravo, nema tu ništa novo. Kako se pravac i ravnina mogu postaviti jedna u odnosu na drugu? Imaju samo jednu mogućnost: sijeku se ili je ravna linija paralelna s ravninom. Što mislite kolika je udaljenost pravca od ravnine s kojom se taj pravac siječe? Čini mi se da je ovdje jasno da je takva udaljenost jednaka nuli. Nije zanimljiv slučaj.

Drugi slučaj je složeniji: ovdje je udaljenost već različita od nule. Međutim, budući da je pravac paralelan s ravninom, svaka točka pravca je jednako udaljena od te ravnine:

Tako:

To znači da se moj zadatak sveo na prethodni: tražimo koordinate bilo koje točke na pravoj liniji, tražimo jednadžbu ravnine i računamo udaljenost od točke do ravnine. Zapravo, takvi su zadaci iznimno rijetki na Jedinstvenom državnom ispitu. Uspio sam pronaći samo jedan problem, a podaci u njemu su bili takvi da koordinatna metoda nije bila baš primjenjiva na njega!

Sada prijeđimo na nešto drugo, puno više važna klasa zadaci:

Izračunavanje udaljenosti točke od pravca

Što trebamo?

1. Koordinate točke od koje tražimo udaljenost:

2. Koordinate bilo koje točke koja leži na pravcu

3. Koordinate vektora usmjeravanja pravca

Koju formulu koristimo?

Trebalo bi vam biti jasno što znači nazivnik ovog razlomka: to je duljina vektora usmjeravanja pravca. Ovo je vrlo lukav brojnik! Izraz označava modul (duljinu) vektorskog umnoška vektora i Kako izračunati vektorski umnožak, proučavali smo u prethodnom dijelu rada. Obnovite svoje znanje, sad će nam jako trebati!

Dakle, algoritam za rješavanje problema bit će sljedeći:

1. Tražimo koordinate točke od koje tražimo udaljenost:

2. Tražimo koordinate bilo koje točke na liniji do koje tražimo udaljenost:

3. Konstruirajte vektor

4. Konstruirajte smjerni vektor pravca

5. Izračunajte vektorski produkt

6. Tražimo duljinu rezultirajućeg vektora:

7. Izračunajte udaljenost:

Imamo puno posla, a primjeri će biti prilično složeni! Dakle, sada usmjerite svu svoju pozornost!

1. Zadan je pravi trokutasti pi-ra-mi-da s vrhom. Sto-ro-na temelju pi-ra-mi-dy je jednak, vi ste jednaki. Pronađite udaljenost od sivog ruba do ravne crte, gdje su točke i sivi rubovi i od veterinara.

2. Duljine rebara i ravnog kuta-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da su prema tome jednake i Nađi udaljenost od vrha do ravne crte.

3. U pravilnoj šesterokutnoj prizmi svi bridovi su jednaki, nađite udaljenost točke od prave crte

rješenja:

1. Izrađujemo uredan crtež na kojem označavamo sve podatke:

Imamo puno posla! Prvo bih želio riječima opisati što ćemo tražiti i kojim redom:

1. Koordinate točaka i

2. Koordinate točke

3. Koordinate točaka i

4. Koordinate vektora i

5. Njihov umnožak

6. Duljina vektora

7. Duljina vektorskog umnoška

8. Udaljenost od do

Pa, čeka nas puno posla! Idemo na to zasukanih rukava!

1. Da bismo pronašli koordinate visine piramide, trebamo znati koordinate točke. Njena aplikata je nula, a njena ordinata je jednaka apscisi je jednaka duljini segmenta. Budući da je visina piramide jednakostraničnog trokuta, podijeljen je u omjeru, računajući od vrha, odavde. Konačno smo dobili koordinate:

Koordinate točke

2. - sredina segmenta

3. - sredina segmenta

Sredina segmenta

4.Koordinate

Vektorske koordinate

5. Izračunajte vektorski produkt:

6. Duljina vektora: najlakši način za zamjenu je da je segment središnja linija trokuta, što znači da je jednak polovici baze. Tako.

7. Izračunajte duljinu vektorskog produkta:

8. Konačno, nalazimo udaljenost:

Uf, to je to! Iskreno ću vam reći: rješavanje ovog problema tradicionalnim metodama (kroz izgradnju) bilo bi puno brže. Ali ovdje sam sve sveo na gotov algoritam! Mislim da ti je jasan algoritam rješenja? Stoga ću vas zamoliti da preostala dva problema riješite sami. Usporedimo odgovore?

Opet ponavljam: lakše je (brže) te probleme riješiti konstrukcijama, nego pribjegavati koordinatnoj metodi. Demonstrirao sam ovu metodu rješenja samo kako bih vam pokazao univerzalnu metodu koja vam omogućuje da "ništa ne dovršite."

Konačno, razmotrite posljednju klasu problema:

Izračunavanje udaljenosti između linija koje se sijeku

Ovdje će algoritam za rješavanje problema biti sličan prethodnom. Što imamo:

3. Bilo koji vektor koji povezuje točke prvog i drugog pravca:

Kako ćemo pronaći udaljenost između linija?

Formula je sljedeća:

Brojnik je modul mješovitog umnoška (uveli smo ga u prethodnom dijelu), a nazivnik je, kao i u prethodnoj formuli (modul vektorskog umnoška vektora smjera pravaca, udaljenost između kojih smo traže).

Podsjetit ću te na to

Zatim formula za udaljenost može se prepisati kao:

Ovo je determinanta podijeljena determinantom! Iako, da budem iskren, nemam ovdje vremena za šalu! Ova formula je zapravo vrlo glomazna i dovodi do prilično složenih izračuna. Da sam na tvom mjestu, pribjegao bih mu samo u krajnjem slučaju!

Pokušajmo riješiti nekoliko problema pomoću gornje metode:

1. U pravilnoj trokutastoj prizmi, čiji su svi bridovi jednaki, pronađite udaljenost između ravnih linija i.

2. S obzirom na pravilnu trokutastu prizmu, svi rubovi baze jednaki su presjeku koji prolazi kroz tijelo rebra, a se-re-di-well rebra su kvadrat. Pronađite udaljenost između ravnih linija i

Ja odlučujem o prvom, a na temelju njega ti o drugom!

1. Crtam prizmu i označavam ravne linije i

Koordinate točke C: tada

Koordinate točke

Vektorske koordinate

Koordinate točke

Vektorske koordinate

Vektorske koordinate

\[\lijevo((B,\strelica gore desno (A(A_1)) \strelica desno (B(C_1)) ) \desno) = \lijevo| (\begin(niz)(*(20)(l))(\begin(niz)(*(20)(c))0&1&0\end(niz))\\(\begin(niz)(*(20) (c))0&0&1\end(niz))\\(\begin(niz)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\kraj(niza))\kraj(niza)) \desno| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Računamo vektorski produkt između vektora i

\[\desna strelica (A(A_1)) \cdot \desna strelica (B(C_1)) = \lijevo| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(niz)\\\begin(niz)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\kraj(niza)\kraj(niza) \desno| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\strelica desno k + \frac(1)(2)\strelica desno i \]

Sada izračunavamo njegovu duljinu:

Odgovor:

Sada pokušajte pažljivo izvršiti drugi zadatak. Odgovor na njega će biti: .

Koordinate i vektori. Kratak opis i osnovne formule

Vektor je usmjereni segment. - početak vektora, - kraj vektora.
Vektor se označava sa ili.

Apsolutna vrijednost vektor - duljina segmenta koji predstavlja vektor. Označava se kao.

Vektorske koordinate:

,
gdje su krajevi vektora \displaystyle a .

Zbroj vektora: .

Proizvod vektora:

Točkasti umnožak vektora:

U ovom materijalu ćemo pogledati kako pronaći jednadžbu ravnine ako znamo koordinate tri različite točke koje ne leže na istoj ravnoj liniji. Da bismo to učinili, moramo se sjetiti što je pravokutni koordinatni sustav u trodimenzionalnom prostoru. Za početak, predstavit ćemo osnovno načelo ove jednadžbe i pokazati točno kako je koristiti za rješavanje specifičnih problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prvo, moramo zapamtiti jedan aksiom, koji zvuči ovako:

Definicija 1

Ako se tri točke ne poklapaju jedna s drugom i ne leže na istoj liniji, tada u trodimenzionalnom prostoru kroz njih prolazi samo jedna ravnina.

Drugim riječima, ako imamo tri različite točke čije se koordinate ne podudaraju i koje se ne mogu spojiti ravnom linijom, tada možemo odrediti ravninu koja prolazi kroz njih.

Recimo da imamo pravokutni koordinatni sustav. Označimo ga O x y z. Sadrži tri točke M s koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), koje se ne mogu povezati ravna crta. Na temelju ovih uvjeta možemo napisati jednadžbu ravnine koja nam je potrebna. Postoje dva pristupa rješavanju ovog problema.

1. Prvi pristup koristi jednadžbu opće ravnine. U obliku slova, piše se kao A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Uz njegovu pomoć možete u pravokutnom koordinatnom sustavu definirati određenu alfa ravninu koja prolazi kroz prvu zadanu točku M 1 (x 1, y 1, z 1). Ispada da će vektor normale ravnine α imati koordinate A, B, C.

Definicija N

Poznavajući koordinate vektora normale i koordinate točke kroz koju prolazi ravnina, možemo napisati opću jednadžbu ove ravnine.

Od toga ćemo polaziti i ubuduće.

Dakle, prema uvjetima zadatka imamo koordinate željene točke (čak i tri) kroz koje prolazi ravnina. Da biste pronašli jednadžbu, morate izračunati koordinate njenog normalnog vektora. Označimo ga s n → .

Sjetimo se pravila: svaki vektor dane ravnine koji nije nula okomit je na vektor normale iste ravnine. Tada imamo da će n → biti okomit na vektore sastavljene od izvornih točaka M 1 M 2 → i M 1 M 3 → . Tada možemo označiti n → kao vektorski produkt oblika M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Budući da je M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) i M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (dokazi ovih jednakosti dani su u članku posvećenom izračunavanju koordinata vektora iz koordinata točaka), tada se ispostavlja da:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Izračunamo li determinantu, dobit ćemo koordinate vektora normale n → koje trebamo. Sada možemo napisati jednadžbu koja nam je potrebna za ravninu koja prolazi kroz tri zadane točke.

2. Drugi pristup pronalaženju jednadžbe koja prolazi kroz M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), temelji se na konceptu koplanarnosti vektora.

Ako imamo skup točaka M (x, y, z), tada one u pravokutnom koordinatnom sustavu određuju ravninu za zadane točke M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) samo u slučaju kada su vektori M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = ( ​​x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) i M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1) bit će komplanarni .

Na dijagramu će izgledati ovako:

To će značiti da će mješoviti produkt vektora M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → biti jednak nuli: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , budući da je ovo glavni uvjet komplanarnosti: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) i M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Napišimo dobivenu jednadžbu u koordinatnom obliku:

Nakon što izračunamo determinantu, možemo dobiti potrebnu jednadžbu ravnine za tri točke koje ne leže na istoj ravnoj liniji M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2 ), M3 (x 3, y 3, z 3) .

Iz dobivene jednadžbe možete prijeći na jednadžbu ravnine u segmentima ili na normalnu jednadžbu ravnine, ako uvjeti zadatka to zahtijevaju.

U sljedećem paragrafu dat ćemo primjere kako se pristupi koje smo naveli provode u praksi.

Primjeri zadataka za sastavljanje jednadžbe ravnine koja prolazi kroz 3 točke

Prethodno smo identificirali dva pristupa koji se mogu koristiti za pronalaženje željene jednadžbe. Pogledajmo kako se koriste za rješavanje problema i kada biste trebali odabrati koji od njih.

Primjer 1

Postoje tri točke koje ne leže na istom pravcu, s koordinatama M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). Napiši jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz njih.

Riješenje

Obje metode koristimo naizmjenično.

1. Pronađite koordinate dva vektora koja su nam potrebna M 1 M 2 →, M 1 M 3 →:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Izračunajmo sada njihov vektorski produkt. Nećemo opisivati ​​izračune determinante:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Imamo vektor normale ravnine koji prolazi kroz tri tražene točke: n → = (- 5, 30, 2) . Zatim trebamo uzeti jednu od točaka, na primjer, M 1 (- 3, 2, - 1), i napisati jednadžbu za ravninu s vektorom n → = (- 5, 30, 2). Dobivamo da je: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Ovo je jednadžba koja nam je potrebna za ravninu koja prolazi kroz tri točke.

2. Zauzmimo drugačiji pristup. Napišimo jednadžbu za ravninu s tri točke M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) u sljedeći obrazac:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Ovdje možete zamijeniti podatke iz izjave problema. Budući da je x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, kao rezultat dobivamo:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Dobili smo jednadžbu koju smo trebali.

Odgovor:- 5 x + 30 y + 2 z - 73 .

Ali što ako zadane točke i dalje leže na istoj liniji i za njih trebamo izraditi jednadžbu ravnine? Ovdje se mora odmah reći da ovaj uvjet neće biti sasvim točan. Kroz takve točke može proći beskonačno mnogo ravnina, pa je nemoguće izračunati jedan odgovor. Razmotrimo takav problem kako bismo dokazali netočnost takve formulacije pitanja.

Primjer 2

Imamo pravokutni koordinatni sustav u trodimenzionalnom prostoru u kojem su postavljene tri točke s koordinatama M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1). , 1) . Potrebno je napraviti jednadžbu ravnine koja prolazi kroz nju.

Riješenje

Upotrijebimo prvu metodu i počnimo s izračunavanjem koordinata dvaju vektora M 1 M 2 → i M 1 M 3 →. Izračunajmo njihove koordinate: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

Unakrsni proizvod će biti jednak:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Budući da je M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, tada će naši vektori biti kolinearni (ponovno pročitajte članak o njima ako ste zaboravili definiciju ovog pojma). Dakle, početne točke M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) nalaze se na istoj liniji, a naš problem ima beskonačno mnogo mogućnosti odgovora.

Ako koristimo drugu metodu, dobit ćemo:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Iz dobivene jednakosti također slijedi da su zadane točke M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) na istom pravcu.

Ako želite pronaći barem jedan odgovor na ovaj problem iz beskonačnog broja njegovih mogućnosti, morate slijediti ove korake:

1. Zapišite jednadžbu pravca M 1 M 2, M 1 M 3 ili M 2 M 3 (po potrebi pogledajte materijal o ovoj radnji).

2. Uzmimo točku M 4 (x 4, y 4, z 4) koja ne leži na pravoj liniji M 1 M 2.

3. Napiši jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tri različite točke M 1, M 2 i M 4 koje ne leže na istom pravcu.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

U ovoj lekciji ćemo pogledati kako koristiti odrednicu za stvaranje jednadžba ravnine. Ako ne znate što je determinanta, idite na prvi dio lekcije - "Matrice i determinante". Inače riskirate da ne razumijete ništa u današnjem materijalu.

Jednadžba ravnine pomoću tri točke

Zašto nam uopće treba jednadžba ravnine? Jednostavno je: znajući to, možemo lako izračunati kutove, udaljenosti i ostale gluposti u problemu C2. Općenito, ne možete bez ove jednadžbe. Stoga formuliramo problem:

Zadatak. U prostoru su dane tri točke koje ne leže na istom pravcu. Njihove koordinate:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Morate napraviti jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz ove tri točke. Štoviše, jednadžba bi trebala izgledati ovako:

Ax + By + Cz + D = 0

gdje su brojevi A, B, C i D koeficijenti koje, zapravo, treba naći.

Pa, kako dobiti jednadžbu ravnine ako su poznate samo koordinate točaka? Najlakši način je zamijeniti koordinate u jednadžbu Ax + By + Cz + D = 0. Dobit ćete sustav od tri jednadžbe koje je lako riješiti.

Mnogi studenti ovo rješenje smatraju izuzetno zamornim i nepouzdanim. Prošlogodišnji Jedinstveni državni ispit iz matematike pokazao je da je vjerojatnost računske pogreške vrlo velika.

Stoga su najnapredniji učitelji počeli tražiti jednostavnija i elegantnija rješenja. I našli su ga! Istina, dobivena tehnika više se odnosi na višu matematiku. Osobno sam morao pročeprkati po cijelom Federalnom popisu udžbenika kako bih se uvjerio da imamo pravo koristiti ovu tehniku ​​bez ikakvih opravdanja i dokaza.

Jednadžba ravnine preko determinante

Dosta tekstova, bacimo se na posao. Za početak, teorem o tome kako su determinanta matrice i jednadžba ravnine povezane.

Teorema. Neka su zadane koordinate tri točke kroz koje treba povući ravninu: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). Tada se jednadžba ove ravnine može napisati preko determinante:

Kao primjer, pokušajmo pronaći par ravnina koje se stvarno pojavljuju u problemima C2. Pogledajte kako se sve brzo izračunava:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Sastavimo determinantu i izjednačimo je s nulom:

Proširujemo odrednicu:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Kao što vidite, prilikom izračunavanja broja d malo sam “pročešljao” jednadžbu tako da su varijable x, y i z ušle u ispravan slijed. To je sve! Jednadžba ravnine je spremna!

Zadatak. Napišite jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz točke:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Odmah zamijenimo koordinate točaka u determinantu:

Opet proširujemo odrednicu:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Dakle, opet je dobivena jednadžba ravnine! Opet, u zadnjem koraku smo morali promijeniti znakove u njemu kako bismo dobili "ljepšu" formulu. U ovom rješenju to uopće nije potrebno učiniti, ali se ipak preporučuje - da se pojednostavi daljnje rješenje problema.

Kao što vidite, sastavljanje jednadžbe ravnine sada je puno lakše. Zamijenimo točke u matricu, izračunamo determinantu - i to je to, jednadžba je spremna.

Ovo bi moglo završiti lekciju. Međutim, mnogi učenici stalno zaboravljaju što se nalazi unutar odrednice. Na primjer, koji redak sadrži x 2 ili x 3, a koji redak sadrži samo x. Kako bismo ovo stvarno maknuli s puta, pogledajmo odakle dolazi svaki broj.

Odakle formula s determinantom?

Dakle, shvatimo odakle dolazi tako gruba jednadžba s determinantom. To će vam pomoći da ga zapamtite i uspješno primijenite.

Sve ravnine koje se pojavljuju u zadatku C2 definirane su s tri točke. Te su točke uvijek označene na crtežu ili čak naznačene izravno u tekstu problema. U svakom slučaju, za izradu jednadžbe morat ćemo zapisati njihove koordinate:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Razmotrimo drugu točku na našoj ravnini s proizvoljnim koordinatama:

T = (x, y, z)

Uzmite bilo koju točku iz prve tri (na primjer točku M) i povucite vektore iz nje u svaku od tri preostale točke. Dobijamo tri vektora:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).

Sada sastavimo kvadratnu matricu od ovih vektora i izjednačimo njenu determinantu s nulom. Koordinate vektora postat će redovi matrice - i dobit ćemo samu determinantu koja je navedena u teoremu:

Ova formula znači da je volumen paralelopipeda izgrađenog na vektorima MN, MK i MT jednak nuli. Dakle, sva tri vektora leže u istoj ravnini. Konkretno, proizvoljna točka T = (x, y, z) je upravo ono što smo tražili.

Zamjena točaka i pravaca determinante

Determinante imaju nekoliko sjajnih svojstava koja ga čine još lakšim rješenje problema C2. Na primjer, nije nam važno s koje točke povlačimo vektore. Stoga sljedeće determinante daju istu jednadžbu ravnine kao i gornja:

Možete i zamijeniti retke determinante. Jednadžba će ostati nepromijenjena. Na primjer, mnogi ljudi vole napisati liniju s koordinatama točke T = (x; y; z) na samom vrhu. Molimo vas, ako vam odgovara:

Neke ljude zbunjuje činjenica da jedan od redaka sadrži varijable x, y i z, koje ne nestaju prilikom zamjene točaka. Ali ne smiju nestati! Zamjenom brojeva u determinantu, trebali biste dobiti ovu konstrukciju:

Zatim se determinanta proširuje prema dijagramu danom na početku lekcije i dobiva se standardna jednadžba ravnine:

Ax + By + Cz + D = 0

Pogledajte primjer. Posljednja je u današnjoj lekciji. Namjerno ću zamijeniti crte kako bih bio siguran da će odgovor dati istu jednadžbu ravnine.

Zadatak. Napišite jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz točke:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Dakle, razmatramo 4 točke:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Prvo, stvorimo standardnu ​​determinantu i izjednačimo je s nulom:

Proširujemo odrednicu:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

To je to, dobili smo odgovor: x + y + z − 2 = 0.

Sada presložimo nekoliko redaka u determinanti i vidimo što će se dogoditi. Na primjer, napišimo redak s varijablama x, y, z ne na dnu, već na vrhu:

Ponovno proširujemo dobivenu determinantu:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Dobili smo potpuno istu jednadžbu ravnine: x + y + z − 2 = 0. To znači da stvarno ne ovisi o redoslijedu redaka. Ostaje samo da zapišem odgovor.

Dakle, uvjereni smo da jednadžba ravnine ne ovisi o nizu pravaca. Možemo izvesti slične izračune i dokazati da jednadžba ravnine ne ovisi o točki čije koordinate oduzimamo od ostalih točaka.

U gore razmatranom problemu koristili smo točku B 1 = (1, 0, 1), ali bilo je sasvim moguće uzeti C = (1, 1, 0) ili D 1 = (0, 1, 1). Općenito, bilo koja točka s poznatim koordinatama koja leži na željenoj ravnini.