Pri rješavanju mnogih matematički problemi, posebno onih koji se javljaju prije 10. razreda, jasno je definiran redoslijed radnji koje će dovesti do cilja. Takvi problemi uključuju, na primjer, linearne i kvadratne jednadžbe, linearne i kvadratne nejednakosti, frakcijske jednadžbe te jednadžbe koje se svode na kvadratne. Princip uspješnog rješavanja svakog od navedenih problema je sljedeći: potrebno je utvrditi koju vrstu problema rješavate, zapamtiti potreban redoslijed radnji koje će dovesti do željenog rezultata, tj. odgovorite i slijedite ove korake.
Očito je da uspjeh ili neuspjeh u rješavanju određenog problema ovisi uglavnom o tome koliko je ispravno određena vrsta jednadžbe koja se rješava, koliko je ispravno reproduciran slijed svih faza njezina rješenja. Naravno, u ovom slučaju potrebno je imati vještine za izvođenje identičnih transformacija i izračuna.
Drugačija je situacija sa trigonometrijske jednadžbe. Nije uopće teško utvrditi činjenicu da je jednadžba trigonometrijska. Poteškoće nastaju pri određivanju slijeda radnji koje bi dovele do točnog odgovora.
Po izgled jednadžbi ponekad je teško odrediti njen tip. A bez poznavanja vrste jednadžbe, gotovo je nemoguće odabrati pravu među nekoliko desetaka trigonometrijskih formula.
Da biste riješili trigonometrijsku jednadžbu, morate pokušati:
1. dovesti sve funkcije uključene u jednadžbu pod “iste kutove”;
2. dovesti jednadžbu do “identičnih funkcija”;
3. faktorizirati lijevu stranu jednadžbe, itd.
Razmotrimo osnovne metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.
I. Svođenje na najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe
Dijagram rješenja
Korak 1. Izrazi trigonometrijsku funkciju preko poznatih komponenti.
Korak 2. Pronađite argument funkcije pomoću formula:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ÊZ.
sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Ê Z.
tan x = a; x = arctan a + πn, n Ê Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Ê Z.
3. korak Pronađite nepoznatu varijablu.
Primjer.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Riješenje.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Ê Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Ê Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Ê Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.
Odgovor: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.
II. Zamjena varijable
Dijagram rješenja
Korak 1. Svedite jednadžbu na algebarski oblik s obzirom na jedan od trigonometrijske funkcije.
Korak 2. Rezultirajuću funkciju označimo varijablom t (po potrebi uvesti ograničenja na t).
3. korak Zapiši i riješi dobivenu algebarsku jednadžbu.
Korak 4. Napravite obrnutu zamjenu.
Korak 5. Riješite najjednostavniju trigonometrijsku jednadžbu.
Primjer.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Riješenje.
1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;
2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.
2) Neka je sin (x/2) = t, gdje je |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 ili e = -3/2, ne zadovoljava uvjet |t| ≤ 1.
4) sin(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Ê Z;
x = π + 4πn, n Ê Z.
Odgovor: x = π + 4πn, n Ê Z.
III. Metoda redukcije reda jednadžbi
Dijagram rješenja
Korak 1. Zamijenite ovu jednadžbu linearnom, koristeći formulu za smanjenje stupnja:
sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Korak 2. Riješite dobivenu jednadžbu metodama I. i II.
Primjer.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Riješenje.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Ê Z;
x = ±π/6 + πn, n Ê Z.
Odgovor: x = ±π/6 + πn, n Ê Z.
IV. Homogene jednadžbe
Dijagram rješenja
Korak 1. Svedite ovu jednadžbu na oblik
a) a sin x + b cos x = 0 (homogena jednadžba prvog stupnja)
ili na pogled
b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogena jednadžba drugog stupnja).
Korak 2. Podijelite obje strane jednadžbe s
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
i dobijte jednadžbu za tan x:
a) a tan x + b = 0;
b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.
3. korak Riješite jednadžbu poznatim metodama.
Primjer.
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.
Riješenje.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) Neka je tg x = t, dakle
t 2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 ili t = -4, što znači
tg x = 1 ili tg x = -4.
Iz prve jednadžbe x = π/4 + πn, n Ê Z; iz druge jednadžbe x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.
Odgovor: x = π/4 + πn, n Ê Z; x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.
V. Metoda transformacije jednadžbe pomoću trigonometrijskih formula
Dijagram rješenja
Korak 1. Koristeći sve moguće trigonometrijske formule svedite ovu jednadžbu na jednadžbu riješenu metodama I, II, III, IV.
Korak 2. Riješite dobivenu jednadžbu poznatim metodama.
Primjer.
sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
Riješenje.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 ili 2cos x + 1 = 0;
Iz prve jednadžbe 2x = π/2 + πn, n Ê Z; iz druge jednadžbe cos x = -1/2.
Imamo x = π/4 + πn/2, n Ê Z; iz druge jednadžbe x = ±(π – π/3) + 2πk, k Ê Z.
Kao rezultat, x = π/4 + πn/2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.
Odgovor: x = π/4 + πn/2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.
Sposobnost i vještina rješavanja trigonometrijskih jednadžbi vrlo je 
važno, njihov razvoj zahtijeva značajan napor, kako od strane učenika tako i od strane nastavnika.
Mnogi problemi stereometrije, fizike itd. povezani su s rješavanjem trigonometrijskih jednadžbi. Proces rješavanja takvih problema utjelovljuje mnoga znanja i vještine koje se stječu proučavanjem elemenata trigonometrije.
Trigonometrijske jednadžbe zauzimaju važno mjesto u procesu učenja matematike i osobnog razvoja općenito.
Još uvijek imate pitanja? Ne znate kako riješiti trigonometrijske jednadžbe?
Za pomoć od mentora, registrirajte se.
Prvi sat je besplatan!
web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.
Zahtijeva poznavanje osnovnih formula trigonometrije – zbroj kvadrata sinusa i kosinusa, izražavanje tangensa kroz sinus i kosinus i dr. Za one koji su ih zaboravili ili ih ne znaju, preporučujemo čitanje članka "".
Dakle, znamo osnovne trigonometrijske formule, vrijeme je da ih upotrijebimo u praksi. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi s pravim pristupom, to je prilično uzbudljiva aktivnost, poput, na primjer, rješavanja Rubikove kocke.
Već iz samog naziva jasno je da je trigonometrijska jednadžba jednadžba u kojoj je nepoznanica pod predznakom trigonometrijske funkcije.
Postoje takozvane jednostavne trigonometrijske jednadžbe. Evo kako izgledaju: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Razmotrimo kako riješiti takve trigonometrijske jednadžbe, radi jasnoće, koristit ćemo već poznati trigonometrijski krug.
sinx = a
cos x = a
tan x = a
krevetić x = a
Svaka trigonometrijska jednadžba rješava se u dvije faze: jednadžbu svodimo na njezin najjednostavniji oblik, a zatim je rješavamo kao jednostavnu trigonometrijsku jednadžbu.
Postoji 7 glavnih metoda kojima se rješavaju trigonometrijske jednadžbe.
Supstitucija varijable i metoda supstitucije
Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi faktorizacijom
Svođenje na homogenu jednadžbu
Rješavanje jednadžbi kroz prijelaz na polukut
Uvođenje pomoćnog kuta
Riješite jednadžbu 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0
Koristeći formule redukcije dobivamo:
2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
Zamijenite cos(x + /6) s y da biste pojednostavili i dobili uobičajenu kvadratnu jednadžbu:
2g 2 – 3g + 1 + 0
Korijeni su y 1 = 1, y 2 = 1/2
Sada idemo obrnutim redom
Zamjenjujemo pronađene vrijednosti y i dobivamo dvije mogućnosti odgovora:
Kako riješiti jednadžbu sin x + cos x = 1?
Pomaknimo sve ulijevo tako da 0 ostane desno:
sin x + cos x – 1 = 0
Upotrijebimo gore spomenute identitete da pojednostavimo jednadžbu:
sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0
Rastavimo na faktore:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * = 0
Dobivamo dvije jednadžbe
Jednadžba je homogena s obzirom na sinus i kosinus ako su svi njezini članovi relativni na sinus i kosinus istog stupnja i istog kuta. Za rješavanje homogene jednadžbe postupite na sljedeći način:
a) prebaci sve svoje članove na lijevu stranu;
b) sve zajedničke faktore izvadite iz zagrada;
c) izjednačiti sve faktore i zagrade s 0;
d) u zagradama se dobiva homogena jednadžba nižeg stupnja, koja se pak dijeli na sinus ili kosinus višeg stupnja;
e) riješite dobivenu jednadžbu za tg.
Riješite jednadžbu 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Upotrijebimo formulu sin 2 x + cos 2 x = 1 i riješimo se otvorena dva s desne strane:
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
Podijeli s cos x:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Zamijenite tan x s y i dobit ćete kvadratnu jednadžbu:
y 2 + 4y +3 = 0, čiji su korijeni y 1 =1, y 2 = 3
Odavde nalazimo dva rješenja izvorne jednadžbe:
x 2 = arctan 3 + k
Riješite jednadžbu 3sin x – 5cos x = 7
Prijeđimo na x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Pomaknimo sve ulijevo:
2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Podijeli s cos(x/2):
tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0
Za razmatranje, uzmimo jednadžbu oblika: a sin x + b cos x = c,
gdje su a, b, c neki proizvoljni koeficijenti, a x je nepoznanica.
Podijelimo obje strane jednadžbe sa:
Sada koeficijenti jednadžbe, prema trigonometrijskim formulama, imaju svojstva sin i cos, naime: njihov modul nije veći od 1, a zbroj kvadrata = 1. Označimo ih redom kao cos i sin, gdje - ovo je takozvani pomoćni kut. Tada će jednadžba poprimiti oblik:
cos * sin x + sin * cos x = C
ili sin(x + ) = C
Rješenje ove najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe je
x = (-1) k * arcsin C - + k, gdje je
Treba napomenuti da su oznake cos i sin međusobno zamjenjive.
Riješite jednadžbu sin 3x – cos 3x = 1
Koeficijenti u ovoj jednadžbi su:
a = , b = -1, pa obje strane podijelite s = 2
Video tečaj "Get A" uključuje sve teme potrebne za uspješno polaganje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike sa 60-65 bodova. Potpuno svi problemi 1-13 Jedinstveni državni ispit za profil matematika. Prikladno i za polaganje osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ako želite položiti Jedinstveni državni ispit s 90-100 bodova, trebate riješiti 1. dio za 30 minuta i bez grešaka!
Pripremni tečaj za Jedinstveni državni ispit za razrede 10-11, kao i za učitelje. Sve što vam je potrebno za rješavanje prvog dijela Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (prvih 12 problema) i problema 13 (trigonometrija). A ovo je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa 100 bodova ni student humanističkih znanosti.
Sva potrebna teorija. Brzi načini rješenja, zamke i tajne jedinstvenog državnog ispita. Analizirani su svi tekući zadaci 1. dijela iz FIPI Banke zadataka. Tečaj je u potpunosti u skladu sa zahtjevima Jedinstvenog državnog ispita 2018.
Tečaj sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je dana od nule, jednostavno i jasno.
Stotine zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Riječni problemi i teorija vjerojatnosti. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Stereometrija. Varljiva rješenja, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto natrpavanja. Jasna objašnjenja složenih pojmova. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i izvod. Osnova za rješenje složeni zadaci 2 dijela Jedinstvenog državnog ispita.
Trigonometrijske jednadžbe nisu laka tema. Previše su raznoliki.) Na primjer, ovi:
sin 2 x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
itd...
Ali ova (i sva druga) trigonometrijska čudovišta imaju dvije zajedničke i obvezne značajke. Prvo - nećete vjerovati - u jednadžbama postoje trigonometrijske funkcije.) Drugo: svi izrazi s x su pronađeni unutar istih funkcija. I samo tamo! Ako se X negdje pojavi vani, Na primjer, sin2x + 3x = 3, ovo će već biti jednadžba mješovitog tipa. Takve jednadžbe zahtijevaju individualni pristup. Nećemo ih ovdje razmatrati.
Ni u ovoj lekciji nećemo rješavati zle jednadžbe.) Ovdje ćemo se baviti najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe. Zašto? Da jer rješenje bilo koji trigonometrijske jednadžbe sastoji se od dva stupnja. U prvoj fazi, zla jednadžba je svedena na jednostavnu kroz razne transformacije. Na drugom se rješava ova najjednostavnija jednadžba. Nema drugog načina.
Dakle, ako imate problema u drugoj fazi, prva faza nema previše smisla.)
Kako izgledaju elementarne trigonometrijske jednadžbe?
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
Ovdje A stoji za bilo koji broj. Bilo koje.
Usput, unutar funkcije ne mora postojati čisti X, već neka vrsta izraza, poput:
cos(3x+π /3) = 1/2
itd. To komplicira život, ali ne utječe na metodu rješavanja trigonometrijske jednadžbe.
Kako riješiti trigonometrijske jednadžbe?
Trigonometrijske jednadžbe mogu se riješiti na dva načina. Prvi način: pomoću logike i trigonometrijske kružnice. Ovdje ćemo pogledati ovaj put. Drugi način - korištenje memorije i formula - bit će riječi u sljedećoj lekciji.
Prvi način je jasan, pouzdan i teško ga je zaboraviti.) Dobar je za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi, nejednadžbi i svih vrsta škakljivih nestandardnih primjera. Logika je jača od pamćenja!)
Rješavanje jednadžbi pomoću trigonometrijske kružnice.
Uključujemo elementarnu logiku i sposobnost korištenja trigonometrijske kružnice. Zar ne znaš kako? Međutim... Teško ćete se snaći u trigonometriji...) Ali nema veze. Pogledajte lekcije "Trigonometrijski krug...... Što je to?" i "Mjerenje kutova na trigonometrijskoj kružnici". Tamo je sve jednostavno. Za razliku od udžbenika...)
Oh, znaš!? Pa čak i savladao “Praktični rad s trigonometrijskom kružnicom”!? Čestitamo. Ova će vam tema biti bliska i razumljiva.) Ono što posebno veseli je to što trigonometrijskoj kružnici nije važno koju jednadžbu rješavate. Sinus, kosinus, tangens, kotangens - sve mu je isto. Postoji samo jedno načelo rješenja.
Dakle, uzimamo bilo koju elementarnu trigonometrijsku jednadžbu. Barem ovo:
cosx = 0,5
Moramo pronaći X. Govoreći ljudskim jezikom, trebate nađite kut (x) čiji je kosinus 0,5.
Kako smo prije koristili krug? Na njemu smo nacrtali kut. U stupnjevima ili radijanima. I to odmah pila trigonometrijske funkcije ovog kuta. Sada učinimo suprotno. Nacrtajmo kosinus na krug jednak 0,5 i odmah vidjet ćemo kutak. Ostaje samo da zapišem odgovor.) Da, da!
Nacrtajte krug i označite kosinus jednak 0,5. Na kosinusnoj osi, naravno. Kao ovo:
Sada nacrtajmo kut koji nam ovaj kosinus daje. Zadržite pokazivač miša iznad slike (ili dodirnite sliku na tabletu) i vidjet ćete baš ovaj kutak X.
Kosinus kojeg kuta je 0,5?
x = π /3
cos 60°= cos( π /3) = 0,5
Neki će se ljudi skeptično nasmijati, da... Kao, je li vrijedilo praviti krug kad je već sve jasno... Možete se, naravno, nasmijati...) Ali činjenica je da je to pogrešan odgovor. Ili bolje rečeno, nedovoljno. Poznavatelji krugova razumiju da ovdje postoji cijela hrpa drugih kutova koji također daju kosinus od 0,5.
Ako okrenete pokretnu stranu OA puni okret, točka A će se vratiti u prvobitni položaj. Uz isti kosinus jednak 0,5. Oni. kut će se promijeniti za 360° ili 2π radijana, i kosinus - br. Novi kut 60° + 360° = 420° također će biti rješenje naše jednadžbe, jer
Može se napraviti beskonačan broj takvih potpunih okreta... I svi ti novi kutovi bit će rješenja naše trigonometrijske jednadžbe. I sve ih treba nekako zapisati kao odgovor. Svi. Inače, odluka se ne računa, da...)
Matematika to može učiniti jednostavno i elegantno. Zapišite u jednom kratkom odgovoru beskonačan skup odluke. Evo kako izgleda naša jednadžba:
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
Ja ću to dešifrirati. Piši i dalje značajno Ugodnije je nego glupo crtati neka misteriozna slova, zar ne?)
π /3 - ovo je isti kutak kao i mi pila na krug i odlučan prema tablici kosinusa.
2π je jedna potpuna revolucija u radijanima.
n - ovo je broj potpunih, tj. cijeli broj okretaja u minuti Jasno je da n može biti jednak 0, ±1, ±2, ±3.... i tako dalje. Kao što pokazuje kratki zapis:
n ∈ Z
n pripada ( ∈ ) skup cijelih brojeva ( Z ). Usput, umjesto pisma n slova se mogu koristiti k, m, t itd.
Ovaj zapis znači da možete uzeti bilo koji cijeli broj n . Najmanje -3, najmanje 0, najmanje +55. Što god želiš. Ako u odgovor unesete ovaj broj, dobit ćete određeni kut, što će svakako biti rješenje naše teške jednadžbe.)
Ili, drugim riječima, x = π /3 je jedini korijen beskonačnog skupa. Da biste dobili sve ostale korijene, dovoljno je π /3 dodati bilo koji broj punih okretaja ( n ) u radijanima. Oni. 2πn radijan.
Svi? Ne. Namjerno produljujem užitak. Da bolje zapamtimo.) Dobili smo samo dio odgovora na našu jednadžbu. Napisat ću ovaj prvi dio rješenja ovako:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - ne samo jedan korijen, već cijeli niz korijena, zapisanih u kratkom obliku.
Ali postoje i kutovi koji također daju kosinus od 0,5!
Vratimo se našoj slici s koje smo zapisali odgovor. evo je:
Prijeđite mišem preko slike i mi vidimo drugi kut koji također daje kosinus od 0,5.Što mislite, čemu je to jednako? Trokuti su isti... Da! Jednak je kutu x , samo odgođeno u negativnom smjeru. Ovo je kut -X. Ali već smo izračunali x. π /3 ili 60°. Stoga možemo sa sigurnošću napisati:
x 2 = - π /3
Pa, naravno, dodajemo sve kutove koji se dobiju punim okretajima:
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
To je sada sve.) Na trigonometrijskoj kružnici mi pila(tko razumije, naravno)) svi kutovi koji daju kosinus od 0,5. I zapisali smo te kutove u kratkom matematičkom obliku. Odgovor je rezultirao s dva beskonačna niza korijena:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Ovo je točan odgovor.
Nada, opći princip rješavanja trigonometrijskih jednadžbi korištenje kruga je jasno. Kosinus (sinus, tangens, kotangens) iz zadane jednadžbe označimo na kružnici, nacrtamo kutove koji mu odgovaraju i zapišemo odgovor. Naravno, moramo shvatiti koji smo kutovi pila na krugu. Ponekad to nije tako očito. Pa, rekao sam da je ovdje potrebna logika.)
Na primjer, pogledajmo drugu trigonometrijsku jednadžbu:
Uzmite u obzir da broj 0,5 nije jedini mogući broj u jednadžbama!) Samo mi je zgodnije napisati ga nego korijene i razlomke.
Radimo prema općem principu. Nacrtamo krug, označimo (na sinusnoj osi, naravno!) 0,5. Nacrtamo sve kutove koji odgovaraju ovom sinusu odjednom. Dobivamo ovu sliku:
Prvo se pozabavimo kutom x u prvom kvartalu. Podsjećamo na tablicu sinusa i određujemo vrijednost ovog kuta. To je jednostavna stvar:
x = π /6
Sjećamo se punih okreta i mirne savjesti zapisujemo prvi niz odgovora:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
Pola posla je obavljeno. Ali sada moramo odrediti drugi kut... Zamršenije je od korištenja kosinusa, da... Ali logika će nas spasiti! Kako odrediti drugi kut kroz x? Da Lako! Trokuti na slici su isti, a crveni kut x jednak kutu x . Samo se on računa od kuta π u negativnom smjeru. Zato je crvena.) A za odgovor nam je potreban kut, točno izmjeren, s pozitivne poluosi OX, tj. pod kutom od 0 stupnjeva.
Lebdimo kursorom iznad crteža i vidimo sve. Prvi ugao sam maknula da ne kompliciram sliku. Kut koji nas zanima (nacrtan zelenom bojom) bit će jednak:
π - x
X mi to znamo π /6 . Prema tome, drugi kut će biti:
π - π /6 = 5π /6
Opet se sjećamo dodavanja punih okretaja i zapisujemo drugi niz odgovora:
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
To je sve. Kompletan odgovor sastoji se od dva niza korijena:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Jednadžbe tangensa i kotangensa mogu se jednostavno riješiti koristeći isti opći princip za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi. Ako, naravno, znate nacrtati tangens i kotangens na trigonometrijskoj kružnici.
U gornjim primjerima koristio sam tabličnu vrijednost sinusa i kosinusa: 0,5. Oni. jedno od onih značenja koje učenik poznaje mora. Sada proširimo naše mogućnosti na sve druge vrijednosti. Odlučite, pa odlučite!)
Dakle, recimo da trebamo riješiti ovu trigonometrijsku jednadžbu:
U kratkim tablicama nema te vrijednosti kosinusa. Hladno ignoriramo ovu strašnu činjenicu. Nacrtajte kružnicu, označite 2/3 na kosinusnoj osi i nacrtajte odgovarajuće kutove. Dobili smo ovu sliku.
Pogledajmo, prvo, kut u prvoj četvrtini. Kad bismo samo znali koliko je x, odmah bismo zapisali odgovor! Ne znamo... Neuspjeh!? Smiriti! Matematika ne ostavlja svoj narod u nevolji! Smislila je ark kosinuse za ovaj slučaj. Ne znam? Uzalud. Saznajte, puno je lakše nego što mislite. Na ovom linku nema niti jedne škakljive čarolije o “inverznim trigonometrijskim funkcijama”... Ovo je suvišno u ovoj temi.
Ako znate, samo recite sebi: "X je kut čiji je kosinus jednak 2/3." I odmah, čisto prema definiciji ark kosinusa, možemo napisati:
Sjećamo se dodatnih okretaja i mirno zapisujemo prvi niz korijena naše trigonometrijske jednadžbe:
x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Drugi niz korijena za drugi kut gotovo se automatski zapisuje. Sve je isto, samo će X (arccos 2/3) biti s minusom:
x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
I to je to! Ovo je točan odgovor. Još lakše nego s tabličnim vrijednostima. Nema potrebe ništa pamtiti.) Usput, najpažljiviji će primijetiti da ova slika prikazuje rješenje kroz ark kosinus u biti, ne razlikuje se od slike za jednadžbu cosx = 0,5.
Točno! Opće načelo Zato je uobičajeno! Namjerno sam nacrtao dvije gotovo identične slike. Krug nam pokazuje kut x svojim kosinusom. Je li to tabularni kosinus ili nije, svima je nepoznato. Kakav je ovo kut, π /3, ili što je arc kosinus - to je na nama da odlučimo.
Ista pjesma sa sinusom. Na primjer:
Ponovno nacrtajte krug, označite sinus jednak 1/3, nacrtajte kutove. Ovo je slika koju dobivamo:
I opet je slika skoro ista kao kod jednadžbe sinx = 0,5. Opet krećemo iz kuta u prvoj četvrtini. Čemu je X jednako ako je njegov sinus 1/3? Nema problema!
Sada je prvi paket korijena spreman:
x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Pozabavimo se drugim kutom. U primjeru s vrijednošću tablice od 0,5, to je bilo jednako:
π - x
I ovdje će biti potpuno isto! Samo je x različit, arcsin 1/3. Pa što!? Možete sigurno zapisati drugi paket korijena:
x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Ovo je potpuno točan odgovor. Iako ne izgleda baš poznato. Ali jasno je, nadam se.)
Ovako se trigonometrijske jednadžbe rješavaju pomoću kruga. Ovaj put je jasan i razumljiv. On je taj koji štedi u trigonometrijskim jednadžbama s odabirom korijena na zadanom intervalu, u trigonometrijskim nejednadžbama - one se uglavnom rješavaju gotovo uvijek u krugu. Ukratko, u svim zadacima koji su malo teži od standardnih.
Primijenimo znanje u praksi?)
Riješite trigonometrijske jednadžbe:
Prvo, jednostavnije, izravno iz ove lekcije.
Sada je to kompliciranije.
Savjet: ovdje ćete morati razmišljati o krugu. Osobno.)
A sada su izvana jednostavni... Zovu se i posebni slučajevi.
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Hint: ovdje u krugu treba odgonetnuti gdje su dva niza odgovora, a gdje jedan... I kako napisati jedan umjesto dva niza odgovora. Da, tako da se ne izgubi niti jedan korijen iz beskonačnog broja!)
Pa, vrlo jednostavno):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Savjet: ovdje morate znati što su arksinus i arkosinus? Što je arktangens, arkotangens? Najviše jednostavne definicije. Ali ne morate pamtiti nikakve tablične vrijednosti!)
Odgovori su, naravno, zbrkani):
x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2
Ne ide sve? Događa se. Ponovno pročitajte lekciju. Samo zamišljeno(postoji takav zastarjela riječ...) I slijedite poveznice. Glavne poveznice su o krugu. Bez nje, trigonometrija je kao prelazak ceste sa zavezanim očima. Ponekad upali.)
Ako vam se sviđa ova stranica...
Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)
Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.
Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.
Prikupljanje i korištenje osobnih podataka
Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.
Koje osobne podatke prikupljamo:
- Kada podnesete zahtjev na stranici, možemo prikupiti razne informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu E-mail itd.
Kako koristimo vaše osobne podatke:
- Sakupili mi osobne informacije omogućuje nam da Vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događanjima i nadolazećim događanjima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Također možemo koristiti osobne podatke za interne svrhe kao što su revizija, analiza podataka i razne studije kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim stranama
Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.
Iznimke:
- Po potrebi - sukladno zakonu, sudskom postupku, pravnim postupcima i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na području Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.
Zaštita osobnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke
Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.