Električni grijači

Rješavanje linearnih nejednadžbi. Kvadratne nejednadžbe

Kako riješiti linearne nejednadžbe? Prvo moramo pojednostaviti nejednakost: otvoriti zagrade i dodati slične članove.

Pogledajmo primjere rješavanja linearnih nejednadžbi s jednom varijablom.

Otvaranje zagrada. Ako postoji faktor ispred zagrada, pomnožite ga sa svakim članom u zagradi. Ako ispred zagrada stoji znak plus, znakovi u zagradama se ne mijenjaju. Ako ispred zagrada stoji znak minus, predznaci u zagradama su obrnuti.

Predstavljamo slične uvjete.

Dobili smo nejednadžbu oblika ax+b≤cx+d. Nepoznate pomičemo na jednu stranu, poznate na drugu sa suprotnim predznacima (mogli bismo prvo nepoznanice pomaknuti na jednu stranu, poznate na drugu, pa tek onda donositi slične članove).

Obje strane nejednadžbe podijelimo s brojem ispred X. Kako je 8 veće od nule, znak nejednakosti se ne mijenja:

Title="Renderirao QuickLaTeX.com">!}

Budući da je , točka -2 označena je na brojevnoj liniji zasjenjenom. od -2, do minus beskonačnosti.

Kako nejednakost nije stroga i točka je osjenčana, odgovor -2 pišemo u uglatoj zagradi.

Za prelazak s decimala na cijele brojeve, možete obje strane nejednakosti pomnožiti s 10 (ovo nije potrebno. Možete raditi s decimalama).

Title="Renderirao QuickLaTeX.com">!}

Kada se obje strane pomnože pozitivnim brojem, znak nejednakosti se ne mijenja. Svaki izraz mora se pomnožiti s 10. Pri množenju umnoška s 10 koristimo svojstvo asocijativnosti množenja, odnosno samo jedan faktor množimo s 10.

Proširivanje zagrada:

Evo sličnih pojmova:

Nepoznate pomičemo u jednom smjeru, a poznate u drugom smjeru sa suprotnim predznacima:

Obje strane nejednadžbe podijelimo s brojem ispred X. Budući da je -6 negativan broj, znak nejednakosti je obrnut:

Title="Renderirao QuickLaTeX.com">!}

Smanjujemo razlomak:

Title="Renderirao QuickLaTeX.com">!}

Budući da je nejednakost stroga, na brojevnoj crti označavamo -2/3 punktiranom točkom. Sjenčanje ide udesno, do plus beskonačno:

Nejednakost je stroga, nedostaje točka, pa odgovor -2/3 pišemo u zagradi:

Title="Renderirao QuickLaTeX.com">!}

Otvaranje zagrada. Ako umnošku dviju zagrada prethodi znak minus, zgodno je prvo izvršiti množenje, a tek onda otvoriti zagrade, mijenjajući predznak svakog člana u suprotan:

Title="Renderirao QuickLaTeX.com">!}

Title="Renderirao QuickLaTeX.com">!}

Title="Renderirao QuickLaTeX.com">!}

Title="Renderirao QuickLaTeX.com">!}

Evo sličnih pojmova:

Title="Renderirao QuickLaTeX.com">!}

Nepoznati - u jednom smjeru, poznati - u drugom sa suprotnim predznacima:

Title="Renderirao QuickLaTeX.com">!}

Title="Renderirao QuickLaTeX.com">!}

Obje strane nejednadžbe podijelimo s brojem ispred X. Od -10<0, знак неравенства меняется на противоположный:

Budući da je nejednakost stroga, 1,6 označavamo na brojevnoj crti punktiranom točkom. Sjenčanje od 1.6 ide lijevo, do minus beskonačno:

Budući da je nejednakost stroga i nedostaje točka, 1,6 u odgovoru pišemo u zagradi.

Što trebate znati o ikonama nejednakosti? Nejednakosti s ikonom više (> ), ili manje (< ) se zovu strog. Sa ikonama više ili jednako (≥ ), manje ili jednako (≤ ) se zovu nije stroga. Ikona nejednak (≠ ) stoji odvojeno, ali također morate stalno rješavati primjere s ovom ikonom. A mi ćemo odlučiti.)

Sama ikona nema puno utjecaja na proces rješenja. Ali na kraju odluke, pri odabiru konačnog odgovora, značenje ikone pojavljuje se u punoj snazi! To je ono što ćemo vidjeti u nastavku u primjerima. Ima tu nekih šala...

Nejednakosti, kao i jednakosti, postoje vjerni i nevjerni. Ovdje je sve jednostavno, bez trikova. Recimo 5 > 2 je prava nejednakost. 5 < 2 - netočno.

Ova priprema djeluje kod nejednakosti bilo koje vrste i jednostavno do užasa.) Trebate samo ispravno izvesti dvije (samo dvije!) elementarne radnje. Ove akcije su svima poznate. Ali, što je karakteristično, greške u tim radnjama su glavna greška u rješavanju nejednadžbi, da... Stoga se te radnje moraju ponavljati. Te se radnje nazivaju na sljedeći način:

Identične transformacije nejednadžbi.

Identične transformacije nejednadžbi vrlo su slične identičnim transformacijama jednadžbi. Zapravo, to je glavni problem. Razlike vam idu preko glave i... eto vam.) Stoga ću te razlike posebno istaknuti. Dakle, prva identična transformacija nejednakosti:

1. Isti broj ili izraz možemo dodati (oduzeti) objema stranama nejednadžbe. Bilo koje. Ovo neće promijeniti znak nejednakosti.

U praksi se ovo pravilo koristi kao prijenos članova s lijeve strane nejednadžbe na desnu (i obrnuto) uz promjenu predznaka. S promjenom predznaka pojma, a ne nejednakosti! Pravilo jedan na jedan isto je kao pravilo za jednadžbe. Ali sljedeće identične transformacije u nejednadžbama bitno se razlikuju od onih u jednadžbama. Stoga ih ističem crvenom bojom:

2. Obje strane nejednadžbe mogu se pomnožiti (podijeliti) istom stvaripozitivanbroj. Za bilo kojepozitivan Neće se promijeniti.

3. Obje strane nejednadžbe mogu se pomnožiti (podijeliti) istom stvarinegativan broj. Za bilo kojenegativanbroj. Znak nejednakosti iz ovogapromijenit će se u suprotno.

Sjećate se (nadam se...) da se jednadžba može pomnožiti/podijeliti bilo čime. I za bilo koji broj, i za izraz sa X. Samo da nije nula. To ga čini, jednadžbu, ni vrućim ni hladnim.) Ne mijenja se. Ali nejednakosti su osjetljivije na množenje/dijeljenje.

Dobar primjer za dugo sjećanje. Napišimo nejednakost koja ne izaziva sumnju:

5 > 2

Pomnožite obje strane s +3, dobivamo:

15 > 6

Ima li prigovora? Nema prigovora.) A ako obje strane izvorne nejednakosti pomnožimo s -3, dobivamo:

15 > -6

A ovo je čista laž.) Potpuna laž! Obmana naroda! Ali čim promijenite znak nejednakosti u suprotan, sve dolazi na svoje mjesto:

15 < -6

Ne kunem se samo zbog laži i prijevara.) "Zaboravio sam promijeniti znak jednakosti..."- Ovo Dom greška u rješavanju nejednadžbi. Ovo trivijalno i jednostavno pravilo povrijedilo je toliko ljudi! Što su zaboravili...) Dakle, psujem. Možda se sjetim...)

Osobito pažljivi će primijetiti da se nejednakost ne može množiti izrazom s X-om. Poštovanje onima koji su pažljivi!) Zašto ne? Odgovor je jednostavan. Ne znamo znak ovog izraza sa X. Može biti pozitivan, negativan... Dakle, ne znamo koji znak nejednakosti staviti nakon množenja. Trebam li ga promijeniti ili ne? Nepoznato. Naravno, ovo se ograničenje (zabrana množenja/dijeljenja nejednakosti izrazom s x) može zaobići. Ako ti stvarno treba. Ali ovo je tema za druge lekcije.

To su sve identične transformacije nejednakosti. Dopustite mi da vas još jednom podsjetim da oni rade za bilo koji nejednakosti Sada možete prijeći na određene vrste.

Linearne nejednadžbe. Rješenje, primjeri.

Linearne nejednadžbe su nejednadžbe u kojima je x na prvoj potenciji i nema dijeljenja s x. Tip:

x+3 > 5x-5

Kako se takve nejednakosti rješavaju? Vrlo ih je lako riješiti! Naime: uz pomoć smanjujemo najzbunjujuću linearnu nejednadžbu ravno do odgovora. To je rješenje. Istaknut ću glavne točke odluke. Da biste izbjegli glupe pogreške.)

Riješimo ovu nejednadžbu:

x+3 > 5x-5

Rješavamo je na potpuno isti način kao i linearnu jednadžbu. S jedinom razlikom:

Pažljivo pratimo znak nejednakosti!

Prvi korak je najčešći. S X-ovima - lijevo, bez X-ova - desno... Ovo je prva identična transformacija, jednostavna i bez problema.) Samo ne zaboravite promijeniti predznake prenesenih članova.

Znak nejednakosti ostaje:

x-5x > -5-3

Evo sličnih.

Znak nejednakosti ostaje:

4x > -8

Ostaje primijeniti posljednju identičnu transformaciju: obje strane podijeliti s -4.

Podijelite po negativan broj.

Znak nejednakosti će se promijeniti u suprotan:

x < 2

Ovo je odgovor.

Ovako se rješavaju sve linearne nejednadžbe.

Pažnja! Točka 2 nacrtana je bijelo, tj. neobojen. Prazan iznutra. To znači da ona nije uključena u odgovor! Namjerno sam je nacrtao tako zdravu. Takva točka (prazna, nije zdrava!)) u matematici se zove probušena točka.

Preostale brojeve na osi moguće je označiti, ali nije potrebno. Suvišni brojevi koji nisu povezani s našom nejednakošću mogu biti zbunjujući, da... Samo trebate zapamtiti da se brojevi povećavaju u smjeru strelice, tj. brojevi 3, 4, 5 itd. su nadesno su dvojke, a brojevi su 1, 0, -1, itd. - nalijevo.

Nejednakost x < 2 - strog. X je strogo manji od dva. Ako ste u nedoumici, provjera je jednostavna. Sumnjivi broj zamijenimo u nejednakost i pomislimo: "Dva je manje od dva? Ne, naravno!" Točno. Nejednakost 2 < 2 netočno. Uzvratna dvojka nije primjerena.

Je li jedan u redu? Sigurno. Manje... I nula je dobra, i -17, i 0,34... Da, svi brojevi manji od dva su dobri! I to čak 1,9999.... Makar malo, ali manje!

Dakle, označimo sve ove brojeve na brojevnoj osi. Kako? Ovdje postoje opcije. Prva opcija je sjenčanje. Prijeđemo mišem preko slike (ili dodirnemo sliku na tabletu) i vidimo da je područje svih x-ova koji zadovoljavaju uvjet x osjenčano < 2 . To je sve.

Pogledajmo drugu opciju koristeći drugi primjer:

x ≥ -0,5

Nacrtaj os i označi broj -0,5. Kao ovo:

Primjećujete razliku?) Pa, da, teško je ne primijetiti ... Ova točka je crna! Prefarbano. To znači -0,5 uključeno je u odgovor. Ovdje, usput, provjera može nekoga zbuniti. Zamijenimo:

-0,5 ≥ -0,5

Kako to? -0,5 nije više od -0,5! Ima još ikona...

U redu je. U slaboj nejednakosti prikladno je sve što odgovara ikoni. I jednaki dobro i više dobro. Stoga je -0,5 uključeno u odgovor.

Dakle, na osi smo označili -0,5, ostalo je označiti sve brojeve koji su veći od -0,5. Ovaj put označavam područje odgovarajućih x vrijednosti nakloniti se(od riječi luk), umjesto sjenčanja. Lebdimo kursorom iznad crteža i vidimo ovaj luk.

Nema posebne razlike između sjenčanja i krakova. Učini kako učitelj kaže. Ako nema učitelja, nacrtajte lukove. U složenijim zadacima sjenčanje je manje vidljivo. Možete se zbuniti.

Ovako se crtaju linearne nejednadžbe na osi. Prijeđimo na sljedeća značajka nejednakosti

Zapisivanje odgovora za nejednadžbe.

Jednadžbe su bile dobre.) Pronašli smo x i zapisali odgovor, na primjer: x=3. Postoje dva načina upisivanja odgovora u nejednačine. Jedan je u obliku konačne nejednakosti. Dobro za jednostavne slučajeve. Na primjer:

x< 2.

Ovo je potpun odgovor.

Ponekad morate zapisati istu stvar, ali u drugom obliku, u brojčanim intervalima. Tada snimka počinje izgledati vrlo znanstveno):

x ∈ (-∞; 2)

Ispod ikone ∈ riječ je skrivena "pripada".

Unos glasi ovako: x pripada intervalu od minus beskonačno do dva ne uključujući. Sasvim logično. X može biti bilo koji broj od svih mogućih brojeva od minus beskonačno do dva. Ne može postojati dvostruko X, što nam riječ govori "ne uključujući".

A gdje je u odgovoru jasno da "ne uključujući"? Ova činjenica je navedena u odgovoru krug zagrada odmah iza dva. Da su to dvoje uključeni, zagrada bi bila kvadrat. Kao ova: ]. Sljedeći primjer koristi takvu zagradu.

Zapišimo odgovor: x ≥ -0,5 u intervalima:

x ∈ [-0,5; +∞)

glasi: x pripada intervalu od minus 0,5, uključujući, do plus beskonačno.

Infinity se nikada ne može uključiti. To nije broj, to je simbol. Stoga je u takvim zapisima beskonačnost uvijek uz zagradu.

Ovaj oblik bilježenja pogodan je za složene odgovore koji se sastoje od više razmaka. Ali – samo za konačne odgovore. U međurezultatima, gdje se očekuje daljnje rješenje, bolje je koristiti uobičajeni oblik, u obliku jednostavne nejednadžbe. O tome ćemo se pozabaviti u relevantnim temama.

Popularni zadaci s nejednakostima.

Same linearne nejednadžbe su jednostavne. Stoga zadaci često postaju teži. Trebalo je dakle razmisliti. Ovo, ako niste navikli, nije baš ugodno.) Ali je korisno. Pokazat ću primjere takvih zadataka. Nije da ih ti učiš, nepotrebno je. I da se ne bi bojali pri susretu s takvim primjerima. Samo malo razmislite - i jednostavno je!)

1. Pronađite bilo koja dva rješenja nejednadžbe 3x - 3< 0

Ako vam nije baš jasno što učiniti, sjetite se glavnog pravila matematike:

Ako ne znate što trebate, učinite što možete!)

x < 1

I što? Ništa posebno. Što nas pitaju? Od nas se traži da pronađemo dva konkretna broja koji su rješenje nejednadžbe. Oni. odgovarati odgovoru. Dva bilo koji brojevima. Zapravo, ovo je zbunjujuće.) Nekoliko 0 i 0,5 su prikladni. Par -3 i -8. Beskonačno je mnogo tih parova! Koji je odgovor točan?!

Odgovaram: sve! Bilo koji par brojeva, od kojih je svaki manji od jedan, bit će točan odgovor. Napiši koju želiš. Idemo dalje.

2. Riješite nejednadžbu:

4x - 3 ≠ 0

Zadaci u ovom obliku su rijetki. No, kao pomoćne nejednakosti, kod nalaženja ODZ, na primjer, ili kod nalaženja domene definicije funkcije, pojavljuju se stalno. Takva linearna nejednadžba može se riješiti kao obična linearna jednadžba. Samo svugdje osim znaka "=" ( jednaki) stavi znak " ≠ " (nejednak). Ovako pristupate odgovoru, sa znakom nejednakosti:

x ≠ 0,75

U više složeni primjeri, bolje je raditi stvari drugačije. Od jednakosti napraviti nejednakost. Kao ovo:

4x - 3 = 0

Mirno ga riješite kako je naučeno i dobijte odgovor:

x = 0,75

Najvažnije je, na samom kraju, kada zapisujete konačni odgovor, ne zaboravite da smo pronašli x, što daje jednakost. I trebamo - nejednakost. Stoga nam zapravo ne treba ovaj X.) I moramo ga zapisati ispravnim simbolom:

x ≠ 0,75

Ovaj pristup dovodi do manje grešaka. Oni koji automatski rješavaju jednadžbe. A za one koji ne rješavaju jednadžbe, nejednakosti, zapravo, ničemu ne služe...) Još jedan primjer popularnog zadatka:

3. Pronađite najmanje cjelobrojno rješenje nejednadžbe:

3(x - 1) < 5x + 9

Prvo jednostavno riješimo nejednadžbu. Otvaramo zagrade, premještamo ih, donosimo slične... Dobivamo:

x > - 6

Zar nije tako ispalo!? Jeste li pratili znakove!? I iza znakova članova, i iza znaka nejednakosti...

Razmislimo još jednom. Moramo pronaći određeni broj koji odgovara i odgovoru i uvjetu "najmanji cijeli broj". Ako vam ne sine odmah, možete uzeti bilo koji broj i smisliti ga. Dva na minus šest? Sigurno! Postoji li odgovarajući manji broj? Naravno. Na primjer, nula je veća od -6. I još manje? Treba nam najmanja moguća stvar! Minus tri je više od minus šest! Već možete uhvatiti obrazac i prestati glupo prolaziti kroz brojeve, zar ne?)

Uzmimo broj bliži -6. Na primjer, -5. Odgovor je ispunjen, -5 > - 6. Je li moguće pronaći neki drugi broj manji od -5, ali veći od -6? Možete, na primjer, -5,5... Stanite! Rečeno nam je cijeli riješenje! Ne kotrlja -5,5! Što je s minus šest? Uh-uh! Nejednakost je stroga, minus 6 ni na koji način nije manji od minus 6!

Dakle, točan odgovor je -5.

Nadamo se s izborom vrijednosti iz opće rješenje sve jasno. Još jedan primjer:

4. Riješite nejednadžbu:

7 < 3x+1 < 13

Wow! Ovaj izraz se zove trostruka nejednakost. Strogo govoreći, ovo je skraćeni oblik sustava nejednakosti. Ali takve trostruke nejednadžbe ipak treba rješavati u nekim zadacima... Može se to riješiti i bez ikakvih sustava. Prema istim identičnim transformacijama.

Moramo pojednostaviti, ovu nejednakost dovesti do čistog X. Ali... Što bi trebalo kamo preseliti?! Ovdje je vrijeme da zapamtite da je kretanje lijevo i desno kratki oblik prva transformacija identiteta.

A puni obrazac zvuči ovako: Bilo koji broj ili izraz može se dodati/oduzeti objema stranama jednadžbe (nejednakosti).

Ovdje postoje tri dijela. Dakle, primijenit ćemo identične transformacije na sva tri dijela!

Dakle, riješimo se onoga u srednjem dijelu nejednakosti. Oduzmimo jedan od cijelog središnjeg dijela. Da se nejednadžba ne mijenja, od preostala dva dijela oduzimamo jedan. Kao ovo:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

To je bolje, zar ne?) Ostaje samo podijeliti sva tri dijela na tri:

2 < x < 4

To je sve. Ovo je odgovor. X može biti bilo koji broj od dva (ne uključujući) do četiri (ne uključujući). Ovaj se odgovor također piše u intervalima; takvi će unosi biti u kvadratnim nejednadžbama. Tamo su najčešća stvar.

Na kraju lekcije ponovit ću ono najvažnije. Uspjeh u rješavanju linearnih nejednadžbi ovisi o sposobnosti transformacije i pojednostavljenja linearnih jednadžbi. Ako u isto vrijeme pazi na znak nejednakosti, neće biti nikakvih problema. To je ono što ti želim. Nema problema.)

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Nejednakosti i sustavi nejednakosti jedna su od tema koje obrađujemo Srednja škola u algebri. Što se tiče razine težine, nije najteži, jer ima jednostavna pravila (o njima nešto kasnije). U pravilu, školarci vrlo lako nauče rješavati sustave nejednakosti. To je također zbog činjenice da učitelji jednostavno "treniraju" svoje učenike na ovu temu. I ne mogu to učiniti, jer se u budućnosti proučava pomoću drugih matematičkih veličina, a također se testira na Jedinstvenom državnom ispitu i Jedinstvenom državnom ispitu. U školskim udžbenicima tema nejednakosti i sustava nejednakosti obrađena je vrlo detaljno, pa ako ćete je proučavati, najbolje je pribjeći njima. Ovaj članak samo sažima veći materijal i može biti nekih propusta.

Pojam sustava nejednakosti

Ako se okrenemo znanstvenim jezikom, možemo definirati koncept "sustava nejednakosti". Ovo je matematički model koji predstavlja nekoliko nejednakosti. Ovaj model, naravno, zahtijeva rješenje, a to će biti opći odgovor za sve nejednadžbe sustava predložene u zadatku (obično to piše u njemu, npr.: “Riješite sustav nejednadžbi 4 x + 1 > 2 i 30 - x > 6... "). Međutim, prije nego što prijeđete na vrste i metode rješenja, morate razumjeti nešto drugo.

Sustavi nejednadžbi i sustavi jednadžbi

Prilikom učenja nove teme često dolazi do nesporazuma. S jedne strane, sve je jasno i želite što prije početi rješavati zadatke, ali s druge strane, neki momenti ostaju u "sjeni" i nisu u potpunosti shvaćeni. Također, neki elementi već stečenog znanja mogu se ispreplesti s novima. Kao rezultat ovog "preklapanja", često se pojavljuju pogreške.

Stoga, prije nego počnemo analizirati našu temu, trebali bismo se sjetiti razlika između jednadžbi i nejednadžbi i njihovih sustava. Da bismo to učinili, moramo još jednom objasniti što ti matematički koncepti predstavljaju. Jednadžba je uvijek jednakost i uvijek je jednaka nečemu (u matematici se ova riječ označava znakom "="). Nejednakost je model u kojem je jedna vrijednost veća ili manja od druge ili sadrži izjavu da nisu iste. Tako je u prvom slučaju umjesno govoriti o jednakosti, au drugom, ma koliko to očito zvučalo iz samog naziva, o nejednakosti početnih podataka. Sustavi jednadžbi i nejednadžbi praktički se međusobno ne razlikuju, a metode rješavanja su iste. Jedina je razlika u tome što se u prvom slučaju koriste jednakosti, a u drugom slučaju nejednakosti.

Vrste nejednakosti

Postoje dvije vrste nejednakosti: numeričke i s nepoznatom varijablom. Prvi tip predstavlja dane vrijednosti (brojeve) koji su međusobno nejednaki, npr. 8 > 10. Drugi tip su nejednakosti koje sadrže nepoznatu varijablu (označenu nekim slovom latinica, najčešće X). Ovu varijablu treba pronaći. Ovisno o tome koliko ih ima, matematički model razlikuje nejednadžbe s jednom (čine sustav nejednadžbi s jednom varijablom) ili više varijabli (čine sustav nejednakosti s više varijabli).

Posljednje dvije vrste, prema stupnju izgrađenosti i razini složenosti rješenja, dijele se na jednostavne i složene. Jednostavne se također nazivaju linearnim nejednadžbama. Oni su pak podijeljeni na stroge i nestroge. Strogi izričito “kažu” da jedna količina mora nužno biti ili manja ili veća, pa je to u čisti oblik nejednakost. Može se navesti nekoliko primjera: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 itd. U nestroge spada i jednakost. To jest, jedna vrijednost može biti veća ili jednaka drugoj vrijednosti (znak "≥") ili manja ili jednaka drugoj vrijednosti (znak "≤"). Čak ni u linearnim nejednadžbama, varijabla nije u korijenu, kvadratu ili djeljiva s bilo čim, zbog čega se one nazivaju "jednostavne". Složeni uključuju nepoznate varijable koje zahtijevaju izvršenje da bi se pronašle. više matematičke operacije. Često se nalaze u kvadratu, kocki ili pod korijenom, mogu biti modularne, logaritamske, frakcijske itd. Ali budući da je naš zadatak potreba da razumijemo rješenje sustava nejednadžbi, govorit ćemo o sustavu linearnih nejednadžbi . Međutim, prije toga treba reći nekoliko riječi o njihovim svojstvima.

Svojstva nejednadžbi

Svojstva nejednakosti uključuju sljedeće:

Znak nejednakosti je obrnut ako se operacija koristi za promjenu redoslijeda stranica (na primjer, ako je t 1 ≤ t 2, tada je t 2 ≥ t 1).
Obje strane nejednakosti omogućuju vam da sebi dodate isti broj (na primjer, ako je t 1 ≤ t 2, tada je t 1 + broj ≤ t 2 + broj).
Dvije ili više nejednakosti s predznakom u istom smjeru dopuštaju zbrajanje njihove lijeve i desne strane (na primjer, ako je t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, tada je t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
Oba dijela nejednadžbe mogu se pomnožiti ili podijeliti s istim pozitivnim brojem (na primjer, ako je t 1 ≤ t 2 i broj ≤ 0, tada je broj · t 1 ≥ broj · t 2).
Dvije ili više nejednakosti koje imaju pozitivne članove i predznak u istom smjeru dopuštaju međusobno množenje (na primjer, ako je t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 tada t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
Oba dijela nejednadžbe mogu se pomnožiti ili podijeliti s istim negativnim brojem, ali se u tom slučaju mijenja predznak nejednadžbe (na primjer, ako je t 1 ≤ t 2 i broj ≤ 0, tada je broj · t 1 ≥ broj · t 2).
Sve nejednadžbe imaju svojstvo tranzitivnosti (npr. ako je t 1 ≤ t 2 i t 2 ≤ t 3, tada je t 1 ≤ t 3).

Sada, nakon proučavanja osnovnih načela teorije vezanih uz nejednakosti, možemo izravno pristupiti razmatranju pravila za rješavanje njihovih sustava.

Rješavanje sustava nejednadžbi. Opće informacije. Rješenja

Kao što je gore spomenuto, rješenje su vrijednosti varijable koje su prikladne za sve nejednakosti zadanog sustava. Rješavanje sustava nejednadžbi je izvođenje matematičkih operacija koje u konačnici dovode do rješenja cijelog sustava ili dokazuju da on nema rješenja. U ovom slučaju kaže se da varijabla pripada praznom numeričkom skupu (zapisanom na sljedeći način: slovo koje označava varijablu∈ (znak “pripada”) ø (znak “prazan skup”), na primjer, x ∈ ø (čitaj: “Varijabla “x” pripada praznom skupu”). Postoji nekoliko načina rješavanja sustava nejednakosti: grafička, algebarska, metoda supstitucije. Vrijedno je napomenuti da se oni odnose na one matematičke modele koji imaju nekoliko nepoznatih varijabli. U slučaju kada postoji samo jedan, prikladna je metoda intervala.

Grafička metoda

Omogućuje vam rješavanje sustava nejednakosti s nekoliko nepoznatih veličina (od dvije i više). Zahvaljujući ovoj metodi sustav linearnih nejednadžbi može se vrlo lako i brzo riješiti, pa je to najčešća metoda. To se objašnjava činjenicom da crtanje grafa smanjuje količinu pisanja matematičkih operacija. Posebno je ugodno uzeti mali predah od olovke, uzeti olovku s ravnalom i započeti daljnje radnje uz njihovu pomoć kada je obavljeno puno posla i želite malo raznolikosti. Međutim ovu metodu neki ljudi to ne vole jer se moraju odvojiti od zadatka i svoju mentalnu aktivnost prebaciti na crtanje. Međutim, ovo je vrlo učinkovita metoda.

Da bi se sustav nejednadžbi riješio grafičkom metodom, potrebno je sve članove svake nejednadžbe prenijeti na njihovu lijevu stranu. Predznaci će biti obrnuti, s desne strane treba napisati nulu, zatim svaku nejednakost treba napisati zasebno. Kao rezultat, funkcije će se dobiti iz nejednakosti. Nakon toga možete izvaditi olovku i ravnalo: sada trebate nacrtati graf svake dobivene funkcije. Cijeli skup brojeva koji će se nalaziti u intervalu njihova sjecišta bit će rješenje sustava nejednadžbi.

Algebarski način

Omogućuje vam rješavanje sustava nejednadžbi s dvije nepoznate varijable. Također, nejednakosti moraju imati isti znak nejednakosti (to jest, moraju sadržavati ili samo znak "veće od", ili samo znak "manje od", itd.) Unatoč svojim ograničenjima, ova metoda je također složenija. Primjenjuje se u dvije faze.

Prvi uključuje radnje za uklanjanje jedne od nepoznatih varijabli. Prvo ga morate odabrati, a zatim provjeriti prisutnost brojeva ispred ove varijable. Ako ih nema (tada će varijabla izgledati kao jedno slovo), onda ne mijenjamo ništa, ako ih ima (tip varijable će biti npr. 5y ili 12y), tada je potrebno napraviti sigurni da je u svakoj nejednadžbi broj ispred odabrane varijable isti. Da biste to učinili, morate svaki član nejednakosti pomnožiti sa zajedničkim faktorom, na primjer, ako je 3y zapisano u prvoj nejednadžbi, a 5y u drugoj, tada morate pomnožiti sve članove prve nejednadžbe s 5. , a drugi za 3. Rezultat je 15y odnosno 15y.

Druga faza rješenja. Potrebno je lijevu stranu svake nejednadžbe prenijeti na njihovu desnu stranu, mijenjajući predznak svakog člana u suprotan, a desno napisati nulu. Zatim dolazi zabavni dio: rješavanje odabrane varijable (inače poznato kao "smanjenje") uz dodavanje nejednakosti. To rezultira nejednadžbom s jednom varijablom koju treba riješiti. Nakon ovoga, trebali biste učiniti istu stvar, samo s drugom nepoznatom varijablom. Dobiveni rezultati bit će rješenje sustava.

Metoda zamjene

Omogućuje vam rješavanje sustava nejednakosti ako je moguće uvesti novu varijablu. Obično se ova metoda koristi kada se nepoznata varijabla u jednom članu nejednadžbe podigne na četvrtu potenciju, au drugom članu se kvadrira. Dakle, ova metoda je usmjerena na smanjenje stupnja nejednakosti u sustavu. Na ovaj se način rješava nejednadžba uzorka x 4 - x 2 - 1 ≤ 0. Uvodi se nova varijabla, na primjer t. Oni pišu: "Neka je t = x 2", tada se model prepisuje u novom obliku. U našem slučaju dobivamo t 2 - t - 1 ≤0. Ovu nejednadžbu treba riješiti metodom intervala (više o tome malo kasnije), zatim se vratiti na varijablu X, zatim učiniti isto s drugom nejednadžbom. Dobiveni odgovori bit će rješenje sustava.

Metoda intervala

Ovo je najjednostavniji način rješavanja sustava nejednadžbi, a ujedno je univerzalan i raširen. Koristi se u srednjim školama, pa čak iu višim školama. Njegova bit leži u činjenici da učenik traži intervale nejednakosti na brojevnoj liniji koja je nacrtana u bilježnici (ovo nije graf, već samo obična crta s brojevima). Tamo gdje se intervali nejednadžbi sijeku nalazi se rješenje sustava. Da biste koristili metodu intervala, morate slijediti ove korake:

Svi članovi svake nejednadžbe prebačeni su na lijevu stranu s promjenom predznaka u suprotan (desno se piše nula).
Nejednadžbe su ispisane zasebno, a za svaku je određeno rješenje.
Nalaze se sjecišta nejednadžbi na brojevnom pravcu. Svi brojevi koji se nalaze na tim raskrižjima bit će rješenje.

Koju metodu trebam koristiti?

Očito onaj koji se čini najlakšim i najprikladnijim, ali postoje slučajevi kada zadaci zahtijevaju određenu metodu. Najčešće kažu da trebate riješiti pomoću grafikona ili intervalne metode. Algebarska metoda i supstitucija se koriste izuzetno rijetko ili nikako, jer su prilično složene i zbunjujuće, a osim toga više se koriste za rješavanje sustava jednadžbi nego za nejednadžbe, pa treba pribjeći crtanju grafova i intervala. Oni donose jasnoću, koja ne može ne pridonijeti učinkovitom i brzom izvođenju matematičkih operacija.

Ako nešto ne uspije

Tijekom proučavanja određene teme iz algebre, naravno, mogu se pojaviti problemi s njezinim razumijevanjem. I to je normalno, jer je naš mozak dizajniran na takav način da nije u stanju razumjeti složeni materijal odjednom. Često trebate ponovno pročitati odlomak, potražiti pomoć učitelja ili vježbati rješavanje standardnih zadataka. U našem slučaju izgledaju, primjerice, ovako: “Riješi sustav nejednadžbi 3 x + 1 ≥ 0 i 2 x - 1 > 3.” Dakle, osobna želja, pomoć izvana i praksa pomažu u razumijevanju bilo koje složene teme.

Rješavač?

Rješenica je također vrlo prikladna, ali ne za prepisivanje domaće zadaće, već za samopomoć. U njima možete pronaći sustave nejednadžbi s rješenjem, pogledati ih (kao predloške), pokušati shvatiti kako se točno autor rješenja nosio sa zadatkom, a zatim pokušati sami napraviti isto.

zaključke

Algebra je jedan od najtežih predmeta u školi. Pa, što možete učiniti? Matematika je oduvijek bila takva: nekome je lako, nekome je teška. Ali u svakom slučaju, treba zapamtiti da program općeg obrazovanja Izgrađen je na takav način da se s njim može nositi svaki učenik. Osim toga, treba imati na umu ogroman broj pomoćnika. Neki od njih su gore spomenuti.

Sada možete razumjeti kako se rješavaju linearne nejednadžbe a x + b<0 (они могут быть записаны и с помощью любого другого знака неравенства).

Glavni način za njihovo rješavanje je korištenje ekvivalentnih transformacija koje omogućuju da se dođe do a≠0 to elementarne nejednakosti tip x

, ≥), p - određeni broj, koji su traženo rješenje, a za a=0 - na numeričke nejednakosti oblika a

, ≥), iz čega se izvodi zaključak o rješenju izvorne nejednadžbe. Prvo ćemo ga analizirati.

Također ne smeta pogledati rješavanje linearnih nejednadžbi u jednoj varijabli iz drugih perspektiva. Stoga ćemo također pokazati kako se linearna nejednadžba može riješiti grafički i metodom intervala.

Korištenje ekvivalentnih transformacija

Trebamo riješiti linearnu nejednadžbu a x+b<0 (≤, >, ≥). Pokažimo kako to učiniti koristeći ekvivalentne transformacije nejednakosti.

Pristupi se razlikuju ovisno o tome je li koeficijent a varijable x jednak nuli ili nije jednak nuli. Pogledajmo ih jednu po jednu. Štoviše, pri razmatranju ćemo se pridržavati sheme od tri točke: prvo ćemo dati bit procesa, zatim ćemo dati algoritam za rješavanje linearne nejednadžbe i na kraju ćemo dati rješenja tipičnih primjera.

Počnimo s algoritam za rješavanje linearne nejednadžbe a x+b<0 (≤, >, ≥) za a≠0.

Najprije se broj b prenosi na desnu stranu nejednadžbe sa suprotnim predznakom. To nam omogućuje prijelaz na ekvivalentnu nejednadžbu a x<−b (≤, >, ≥).
Drugo, obje strane dobivene nejednadžbe podijeljene su brojem a različitim od nule. Štoviše, ako je a pozitivan broj, tada je znak nejednakosti sačuvan, a ako je a negativan broj, tada je znak nejednakosti obrnut. Rezultat je elementarna nejednakost ekvivalentna izvornoj linearnoj nejednakosti, a ovo je odgovor.

Ostaje razumjeti primjenu najavljenog algoritma na primjerima. Razmotrimo kako se može koristiti za rješavanje linearnih nejednadžbi za a≠0.

Primjer.

Riješite nejednadžbu 3·x+12≤0.

Riješenje.

Za zadanu linearnu nejednadžbu imamo a=3 i b=12. Očito je da je koeficijent a za varijablu x različit od nule. Upotrijebimo gore navedeni odgovarajući algoritam rješenja.

Prvo pomaknemo član 12 na desnu stranu nejednadžbe, ne zaboravljajući da mu promijenimo predznak, odnosno −12 će se pojaviti s desne strane. Kao rezultat dolazimo do ekvivalentne nejednakosti 3·x≤−12.

I, drugo, obje strane dobivene nejednadžbe podijelimo s 3, budući da je 3 pozitivan broj, ne mijenjamo predznak nejednakosti. Imamo (3 x):3≤(−12):3, što je isto što i x≤−4.

Rezultirajuća elementarna nejednadžba x≤−4 ekvivalentna je izvornoj linearnoj nejednadžbi i njezino je željeno rješenje.

Dakle, rješenje linearne nejednadžbe 3 x + 12≤0 je bilo koji realni broj manji ili jednak minus četiri. Odgovor se također može napisati u obliku numeričkog intervala koji odgovara nejednadžbi x≤−4, odnosno kao (−∞, −4] .

Nakon stečenih vještina rada s linearnim nejednadžbama, njihova se rješenja mogu ukratko zapisati bez objašnjenja. U ovom slučaju prvo zapišite izvornu linearnu nejednadžbu, a ispod - ekvivalentne nejednadžbe dobivene u svakom koraku rješenja:
3 x+12≤0 ;
3 x≤−12 ;
x≤−4 .

Odgovor:

x≤−4 ili (−∞, −4] .

Primjer.

Navedite sva rješenja linearne nejednadžbe −2.7·z>0.

Riješenje.

Ovdje je koeficijent a za varijablu z jednak −2,7. A koeficijent b je odsutan u eksplicitnom obliku, to jest, jednak je nuli. Dakle, prvi korak algoritma za rješavanje linearne nejednadžbe s jednom varijablom nije potrebno izvoditi, jer pomicanje nule s lijeve strane na desno neće promijeniti oblik izvorne nejednadžbe.

Ostaje podijeliti obje strane nejednadžbe s −2,7, ne zaboravivši promijeniti predznak nejednakosti na suprotan, jer je −2,7 negativan broj. Imamo (−2,7 z):(−2,7)<0:(−2,7) , a zatim z<0 .

A sad ukratko:
−2,7·z>0 ;
z<0 .

Odgovor:

z<0 или (−∞, 0) .

Primjer.

Riješite nejednadžbu .

Riješenje.

Trebamo riješiti linearnu nejednadžbu s koeficijentom a za varijablu x jednakim −5, te s koeficijentom b koji odgovara razlomku −15/22. Postupamo prema dobro poznatoj shemi: prvo −15/22 prenesemo na desnu stranu suprotnog predznaka, nakon čega obje strane nejednadžbe podijelimo s negativnim brojem −5, mijenjajući predznak nejednadžbe:

Posljednji prijelaz na desnoj strani koristi , zatim pogubljen .

Odgovor:

Sada prijeđimo na slučaj kada je a=0. Princip rješavanja linearne nejednadžbe a x+b<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.

Na čemu se ovo temelji? Vrlo jednostavno: o određivanju rješenja nejednadžbe. Kako? Da, evo kako: bez obzira koju vrijednost varijable x zamijenimo u izvornu linearnu nejednadžbu, dobit ćemo numeričku nejednadžbu oblika b<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.

Formulirajmo gornje argumente u obliku algoritam za rješavanje linearnih nejednadžbi 0 x+b<0 (≤, >, ≥) :

Razmotrimo numeričku nejednakost b<0 (≤, >, ≥) i

ako je točna, tada je rješenje izvorne nejednakosti bilo koji broj;
ako je lažna, tada izvorna linearna nejednadžba nema rješenja.

Sada shvatimo ovo s primjerima.

Primjer.

Riješite nejednadžbu 0·x+7>0.

Riješenje.

Za bilo koju vrijednost varijable x linearna nejednadžba 0 x+7>0 pretvorit će se u numeričku nejednadžbu 7>0. Posljednja nejednakost je istinita, stoga je svaki broj rješenje izvorne nejednakosti.

Odgovor:

rješenje je bilo koji broj ili (−∞, +∞) .

Primjer.

Ima li linearna nejednadžba 0·x−12.7≥0 rješenja?

Riješenje.

Ako zamijenite bilo koji broj umjesto varijable x, tada se izvorna nejednakost pretvara u numeričku nejednakost −12,7≥0, što je netočno. To znači da niti jedan broj nije rješenje linearne nejednadžbe 0·x−12.7≥0.

Odgovor:

ne, nije.

Za kraj ovog odjeljka, analizirat ćemo rješenja dviju linearnih nejednadžbi, čiji su koeficijenti jednaki nuli.

Primjer.

Koja od linearnih nejednadžbi 0·x+0>0 i 0·x+0≥0 nema rješenja, a koja ima beskonačno mnogo rješenja?

Riješenje.

Ako zamijenite bilo koji broj umjesto varijable x, tada će prva nejednakost imati oblik 0>0, a druga - 0≥0. Prvi od njih je netočan, a drugi je točan. Prema tome, linearna nejednadžba 0·x+0>0 nema rješenja, a nejednadžba 0·x+0≥0 ima beskonačno mnogo rješenja, odnosno njezino rješenje je bilo koji broj.

Odgovor:

nejednadžba 0 x+0>0 nema rješenja, a nejednadžba 0 x+0≥0 ima beskonačno mnogo rješenja.

Metoda intervala

Općenito, metoda intervala proučava se u školskom tečaju algebre kasnije od teme rješavanja linearnih nejednadžbi u jednoj varijabli. Ali metoda intervala omogućuje vam rješavanje raznih nejednakosti, uključujući linearne. Stoga, zadržimo se na tome.

Odmah napomenimo da je za rješavanje linearnih nejednadžbi s koeficijentom različitim od nule za varijablu x preporučljivo koristiti intervalnu metodu. U suprotnom, brže je i praktičnije izvesti zaključak o rješenju nejednadžbe pomoću metode o kojoj smo govorili na kraju prethodnog paragrafa.

Metoda intervala podrazumijeva

uvođenje funkcije koja odgovara lijevoj strani nejednakosti, u našem slučaju – linearna funkcija y=a x+b,
pronalaženje njegovih nula, koje dijele domenu definicije na intervale,
određivanje predznaka koji imaju funkcijske vrijednosti na tim intervalima, na temelju kojih se zaključuje o rješenju linearne nejednadžbe.

Sakupimo ove trenutke algoritam, otkrivajući kako riješiti linearne nejednadžbe a x+b<0 (≤, >, ≥) za a≠0 korištenjem metode intervala:

Nalaze se nulte točke funkcije y=a·x+b za koje se rješava a·x+b=0. Kao što je poznato, za a≠0 ima jedan korijen, koji označavamo kao x 0 .
Konstruiran je i na njemu je prikazana točka s koordinatom x 0. Štoviše, ako je riješena stroga nejednakost (sa predznakom< или >), tada se ta točka pravi isprekidanom (s praznim središtem), a ako nije stroga (sa znakom ≤ ili ≥), tada se stavlja pravilna točka. Ta točka dijeli koordinatni pravac na dva intervala (−∞, x 0) i (x 0, +∞).
Određeni su predznaci funkcije y=a·x+b na tim intervalima. Da biste to učinili, vrijednost ove funkcije izračunava se u bilo kojoj točki intervala (−∞, x 0), a predznak te vrijednosti bit će željeni predznak na intervalu (−∞, x 0). Slično, predznak na intervalu (x 0 , +∞) podudara se s predznakom vrijednosti funkcije y=a·x+b u bilo kojoj točki u tom intervalu. Ali možete bez ovih izračuna i zaključiti o predznacima na temelju vrijednosti koeficijenta a: ako je a>0, tada će na intervalima (−∞, x 0) i (x 0, +∞) biti znakove − odnosno +, a ako je a >0 onda + i −.
Ako se rješavaju nejednadžbe s predznacima > ili ≥, tada se iznad praznine stavlja šrafura sa znakom plus, a ako se rješavaju nejednadžbe s predznacima< или ≤, то – со знаком минус. В результате получается , которое и является искомым решением линейного неравенства.

Razmotrimo primjer rješavanja linearne nejednadžbe metodom intervala.

Primjer.

Riješite nejednadžbu −3·x+12>0.

Riješenje.

Budući da analiziramo intervalnu metodu, koristit ćemo se njome. Prema algoritmu, prvo se nalazi korijen jednadžbe −3·x+12=0, −3·x=−12, x=4. Zatim nacrtamo koordinatnu liniju i na njoj označimo točku s koordinatom 4, a tu točku izbušimo, jer rješavamo strogu nejednadžbu:

Sada određujemo predznake na intervalima. Da biste odredili predznak na intervalu (−∞, 4), možete izračunati vrijednost funkcije y=−3·x+12, na primjer, pri x=3. Imamo −3·3+12=3>0, što znači da postoji znak + na ovom intervalu. Da biste odredili predznak na drugom intervalu (4, +∞), možete izračunati vrijednost funkcije y=−3 x+12, na primjer, u točki x=5. Imamo −3·5+12=−3<0 , значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x : так как он равен −3 , то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4) будет знак +, а на промежутке (4, +∞) знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:

Budući da nejednadžbu rješavamo znakom >, sjenčanje preko praznine crtamo znakom +, crtež ima oblik

Na temelju dobivene slike zaključujemo da je traženo rješenje (−∞, 4) ili u drugom zapisu x<4 .

Odgovor:

(−∞, 4) ili x<4 .

Grafički

Korisno je razumjeti geometrijsku interpretaciju rješavanja linearnih nejednadžbi u jednoj varijabli. Da bismo to dobili, razmotrimo četiri linearne nejednadžbe s istom lijevom stranom: 0,5 x−1<0 , 0,5·x−1≤0 , 0,5·x−1>0 i 0,5 x−1≥0 , njihova rješenja su x<2 , x≤2 , x>2 i x≥2, te također nacrtati graf linearne funkcije y=0,5 x−1.

Lako je to primijetiti

rješenje nejednadžbe 0.5 x−1<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
rješenje nejednadžbe 0,5 x−1≤0 predstavlja interval u kojem je graf funkcije y=0,5 x−1 ispod Ox osi ili se poklapa s njom (drugim riječima, ne iznad apscisne osi),
slično, rješenje nejednadžbe 0,5 x−1>0 je interval u kojem se graf funkcije nalazi iznad osi Ox (ovaj dio grafa je prikazan crvenom bojom),
a rješenje nejednadžbe 0.5·x−1≥0 je interval u kojem je graf funkcije viši ili se poklapa s osi apscisa.

Grafička metoda rješavanja nejednadžbi, posebice linearno, a podrazumijeva pronalaženje intervala u kojima se graf funkcije koji odgovara lijevoj strani nejednadžbe nalazi iznad, ispod, ne ispod ili ne iznad grafa funkcije koji odgovara desnoj strani nejednadžbe. U našem slučaju linearne nejednadžbe, funkcija koja odgovara lijevoj strani je y=a·x+b, a desnoj strani je y=0, podudarajući se s osi Ox.

S obzirom na dane podatke, lako ga je formulirati algoritam za grafičko rješavanje linearnih nejednadžbi:

Konstruira se graf funkcije y=a x+b (shematski moguće) i

pri rješavanju nejednadžbe a x+b<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox ,
pri rješavanju nejednadžbe a x+b≤0 određuje se interval u kojem je graf niži ili se poklapa s osi Ox,
pri rješavanju nejednadžbe a x+b>0 određuje se interval u kojem se graf nalazi iznad Ox osi,
pri rješavanju nejednadžbe a·x+b≥0 određuje se interval u kojem je graf viši ili se poklapa s osi Ox.

Primjer.

Riješite nejednadžbu grafički.

Riješenje.

Skicirajmo graf linearne funkcije . Ovo je pravac koji se smanjuje, jer je koeficijent x negativan. Također nam je potrebna koordinata točke njezinog sjecišta s x-osi, to je korijen jednadžbe , što je jednako . Za naše potrebe, ne moramo čak ni prikazati Oy os. Dakle, naš shematski crtež će izgledati ovako

Budući da rješavamo nejednadžbu sa znakom >, zanima nas interval u kojem se graf funkcije nalazi iznad Ox osi. Radi jasnoće označimo ovaj dio grafikona crvenom bojom, a kako bismo lakše odredili interval koji odgovara ovom dijelu, označimo crvenom bojom dio koordinatne ravnine u kojem se nalazi odabrani dio grafikona, kao u slika ispod:

Razmak koji nas zanima je dio Ox osi koji je označen crvenom bojom. Očito je ovo otvorena brojčana zraka . Ovo je rješenje koje tražimo. Imajte na umu da kada bismo nejednadžbu rješavali ne sa predznakom >, već sa predznakom nestroge nejednakosti ≥, tada bismo morali dodati u odgovor, jer u ovom trenutku graf funkcije poklapa se s osi Ox .y=0·x+7, što je isto što i y=7, definira ravnu liniju na koordinatnoj ravnini paralelnu s osi Ox i leži iznad nje. Stoga je nejednakost 0 x+7<=0 не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7 ниже оси абсцисс.

A graf funkcije y=0·x+0, koja je ista kao y=0, je ravna linija koja se podudara s osi Ox. Stoga je rješenje nejednadžbe 0·x+0≥0 skup svih realnih brojeva.

Odgovor:

druga nejednadžba, njeno rješenje je bilo koji realni broj.

Nejednadžbe koje se svode na linearne

Ogroman broj nejednakosti može se zamijeniti ekvivalentnim linearnim nejednadžbama pomoću ekvivalentnih transformacija, drugim riječima, svesti na linearnu nejednadžbu. Takve se nejednakosti nazivaju nejednakosti koje se svode na linearne.

U školi se gotovo istodobno s rješavanjem linearnih nejednadžbi razmatraju i jednostavne nejednadžbe koje se svode na linearne. Oni su posebni slučajevi cijele nejednakosti, naime u njihovom lijevom i desnom dijelu nalaze se cijeli izrazi koji predstavljaju odn linearni binomi, ili ih pretvaraju i . Radi jasnoće, dajemo nekoliko primjera takvih nejednakosti: 5−2·x>0, 7·(x−1)+3≤4·x−2+x, .

Nejednakosti koje su po obliku slične gore navedenima uvijek se mogu svesti na linearne. To se može učiniti otvaranjem zagrada, donošenjem sličnih članova, preuređivanjem članova i premještanjem članova s jedne strane nejednakosti na drugu sa suprotnim predznakom.

Na primjer, da bi se nejednadžba 5−2 x>0 svela na linearnu, dovoljno je presložiti članove na njezinoj lijevoj strani, imamo −2 x+5>0. Da bi drugu nejednadžbu 7·(x−1)+3≤4·x−2+x sveli na linearnu, potrebno je još malo koraka: s lijeve strane otvaramo zagrade 7·x−7+3≤4· x−2+x , nakon Da bismo to učinili, prikazujemo slične članove u obje strane 7 x−4≤5 x−2 , zatim prenosimo članove s desne strane na lijevu 7 x−4−5 x+2≤ 0 , konačno, prikazujemo slične članove u lijevoj strani 2 ·x−2≤0 . Slično se treća nejednadžba može svesti na linearnu nejednadžbu.

Budući da se takve nejednakosti uvijek mogu svesti na linearne, neki ih autori čak nazivaju i linearnim. No ipak ćemo ih smatrati svedivim na linearne.

Sada postaje jasno zašto se takve nejednadžbe razmatraju zajedno s linearnim nejednadžbama. A princip njihova rješavanja je potpuno isti: provođenjem ekvivalentnih transformacija mogu se svesti na elementarne nejednadžbe koje predstavljaju željena rješenja.

Da biste riješili nejednadžbu ove vrste, možete je prvo svesti na linearnu, a zatim riješiti tu linearnu nejednadžbu. Ali to je racionalnije i praktičnije učiniti:

nakon otvaranja zagrada sakupite sve članove s varijablom na lijevoj strani nejednadžbe, a sve brojeve na desnoj,
zatim donesite slične uvjete,
a zatim obje strane dobivene nejednadžbe podijelite s koeficijentom x (ako je, naravno, različit od nule). Ovo će dati odgovor.

Primjer.

Riješite nejednadžbu 5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1.

Riješenje.

Prvo, otvorimo zagrade, kao rezultat dolazimo do nejednakosti 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1 . Zadajmo sada slične članove: 6 x+15≤6 x−17 . Zatim pomaknemo članove s lijeve strane, dobijemo 6 x+15−6 x+17≤0, pa opet donesemo slične članove (što nas dovodi do linearne nejednakosti 0 x+32≤0) i imamo 32≤ 0. Tako smo došli do netočne brojčane nejednadžbe iz koje zaključujemo da izvorna nejednadžba nema rješenja.

Odgovor:

nema rješenja.

Zaključno, napominjemo da postoji puno drugih nejednakosti koje se mogu svesti na linearne nejednadžbe ili na nejednadžbe tipa koji je gore razmatran. Na primjer, rješenje eksponencijalna nejednakost 5 2 x−1 ≥1 svodi se na rješavanje linearne nejednadžbe 2 x−1≥0 . Ali o tome ćemo govoriti pri analizi rješenja nejednadžbi odgovarajućeg tipa.

Bibliografija.

Algebra: udžbenik za 8. razred. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredio S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Algebra: 9. razred: obrazovni. za opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredio S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M.: Obrazovanje, 2009. - 271 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 14 sati 1. dio Udžbenik za studente obrazovne ustanove/ A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
Mordkovich A. G. Algebra. 9. razred. U 2 sata Dio 1. Udžbenik za učenike općeobrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01752-3.
Mordkovich A. G. Algebra i početak matematičke analize. 11. razred. U 2 sata Dio 1. Udžbenik za učenike općeobrazovnih ustanova (razina profila) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01027-2.

Na primjer, nejednakost je izraz \(x>5\).

Vrste nejednakosti:

Ako su \(a\) i \(b\) brojevi ili , tada se poziva nejednakost numerički. To je zapravo samo usporedba dva broja. Takve se nejednakosti dijele na vjeran I nevjeran.

Na primjer:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) je netočna brojčana nejednakost, budući da je \(17+3=20\), a \(20\) manje od \(115\) (i nije veće ili jednako) .

Ako su \(a\) i \(b\) izrazi koji sadrže varijablu, tada imamo nejednakost s varijablom. Takve se nejednakosti dijele na vrste ovisno o sadržaju:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Varijabilno samo na prvu potenciju
\(3x^2-x+5>0\)				Postoji varijabla na drugoj potenciji (kvadrat), ali ne postoje više potencije (treća, četvrta itd.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... i tako dalje.

Koje je rješenje nejednadžbe?

Ako umjesto varijable u nejednadžbu zamijenite broj, ona će se pretvoriti u numeričku.

Ako dana vrijednost za x pretvara izvornu nejednakost u pravu brojčanu, tada se poziva rješenje nejednakosti. Ako nije, tada ova vrijednost nije rješenje. I za riješiti nejednakost– potrebno je pronaći sva njegova rješenja (ili pokazati da ih nema).

Na primjer, zamijenimo li broj \(7\) u linearnu nejednadžbu \(x+6>10\), dobit ćemo ispravnu numeričku nejednakost: \(13>10\). A ako zamijenimo \(2\), doći će do netočne brojčane nejednakosti \(8>10\). Odnosno, \(7\) je rješenje izvorne nejednakosti, ali \(2\) nije.

Međutim, nejednadžba \(x+6>10\) ima i druga rješenja. Doista, dobit ćemo točne numeričke nejednakosti kada zamijenimo \(5\), i \(12\), i \(138\)... I kako možemo pronaći sve moguća rješenja? Za ovo koriste Za naš slučaj imamo:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Odnosno, za nas je prikladan bilo koji broj veći od četiri. Sada trebate zapisati odgovor. Rješenja nejednadžbi obično se pišu numerički, dodatno ih označavajući na brojevnoj osi sjenčanjem. Za naš slučaj imamo:

Odgovor: \(x\in(4;+\infty)\)

Kada se mijenja predznak nejednakosti?

Postoji jedna velika zamka u nejednakostima u koju učenici jako “vole” upasti:

Kada se nejednadžba množi (ili dijeli) negativnim brojem, ona se obrće ("više" s "manje", "više ili jednako" s "manje od ili jednako" i tako dalje)

Zašto se ovo događa? Da bismo to razumjeli, pogledajmo transformacije numeričke nejednakosti \(3>1\). Točno je, tri je doista veće od jedan. Prvo, pokušajmo ga pomnožiti s bilo kojim pozitivnim brojem, na primjer, dva:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Kao što vidimo, nakon množenja nejednakost ostaje istinita. I bez obzira kojim pozitivnim brojem množimo, uvijek ćemo dobiti točnu nejednakost. Pokušajmo sada pomnožiti s negativnim brojem, na primjer, minus tri:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Rezultat je netočna nejednakost, jer je minus devet manje od minus tri! Odnosno, da bi nejednakost postala istinita (i stoga je transformacija množenja negativnim bila "legalna"), trebate obrnuti znak usporedbe, ovako: \(−9<− 3\).
S dijeljenjem će ispasti na isti način, možete sami provjeriti.

Gore napisano pravilo vrijedi za sve vrste nejednakosti, ne samo za numeričke.

Primjer: Riješite nejednadžbu \(2(x+1)-1<7+8x\)
Riješenje:


\(2x+2-1<7+8x\)	Pomaknimo se \(8x\) ulijevo, a \(2\) i \(-1\) udesno, ne zaboravimo promijeniti predznake
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(\|:(-6)\)	Podijelimo obje strane nejednakosti s \(-6\), ne zaboravimo promijeniti s "manje" na "više"
	Označimo brojčani interval na osi. Nejednakost, stoga "izbadamo" samu vrijednost \(-1\) i ne uzimamo je kao odgovor
	Zapišimo odgovor kao interval

Odgovor: \(x\in(-1;\infty)\)

Nejednakosti i invaliditet

Nejednadžbe, baš kao i jednadžbe, mogu imati ograničenja na , odnosno na vrijednosti x. Sukladno tome, iz niza rješenja treba isključiti one vrijednosti koje su prema DZ-u neprihvatljive.

Primjer: Riješite nejednadžbu \(\sqrt(x+1)<3\)

Riješenje: Jasno je da bi lijeva strana bila manja od \(3\), radikalni izraz mora biti manji od \(9\) (uostalom, iz \(9\) samo \(3\)). Dobivamo:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Svi? Svaka vrijednost x manja od \(8\) će nam odgovarati? Ne! Jer ako uzmemo, na primjer, vrijednost \(-5\) za koju se čini da odgovara zahtjevu, to neće biti rješenje izvorne nejednakosti, jer će nas dovesti do izračunavanja korijena negativnog broja.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Stoga moramo uzeti u obzir i ograničenja vrijednosti X - ne može biti tako da ispod korijena postoji negativan broj. Dakle, imamo drugi zahtjev za x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

A da bi x bio konačno rješenje, mora zadovoljiti oba zahtjeva odjednom: mora biti manji od \(8\) (da bi bio rješenje) i veći od \(-1\) (da bi bio prihvatljiv u načelu). Ucrtavajući to na brojevnu liniju, imamo konačni odgovor:

Odgovor: \(\lijevo[-1;8\desno)\)