Što je derivat?

Tablica izvedenica.

Derivacija je jedan od glavnih pojmova više matematike. U ovoj lekciji predstavit ćemo ovaj koncept. Upoznajmo se, bez strogih matematičkih formulacija i dokazivanja.

Ovo poznanstvo će vam omogućiti da:

Razumjeti bit jednostavnih zadataka s izvedenicama;

Uspješno riješiti ove najjednostavnije zadatke;

Pripremite se za ozbiljnije lekcije o izvedenicama.

Prvo - ugodno iznenađenje.)

Stroga definicija derivacije temelji se na teoriji limita i stvar je prilično komplicirana. Ovo je uznemirujuće. Ali praktična primjena derivata, u pravilu, ne zahtijeva tako opsežno i duboko znanje!

Za uspješno rješavanje većine zadataka u školi i na fakultetu dovoljno je znati samo nekoliko termina- razumjeti zadatak, i samo nekoliko pravila- riješiti to. To je sve. Ovo me čini sretnim.

Počnimo se upoznavati?)

Termini i oznake.

U elementarnoj matematici postoji mnogo različitih matematičkih operacija. Zbrajanje, oduzimanje, množenje, stepenovanje, logaritam, itd. Ako ovim operacijama dodate još jednu, elementarna matematika postaje viša. Ova nova operacija se zove diferencijacija. O definiciji i značenju ove operacije raspravljat ćemo u posebnim lekcijama.

Ovdje je važno razumjeti da je diferencijacija jednostavno matematička operacija na funkciji. Uzimamo bilo koju funkciju i transformiramo je prema određenim pravilima. Rezultat će biti nova funkcija. Ova nova funkcija se zove: izvedenica.

Diferencijacija- djelovanje na funkciju.

Izvedenica- rezultat ove radnje.

Baš kao npr. iznos- rezultat zbrajanja. Ili privatna- rezultat dijeljenja.

Poznavajući pojmove, možete barem razumjeti zadatke.) Formulacije su sljedeće: pronaći derivaciju funkcije; uzeti izvedenicu; razlikovati funkciju; izračunati izvedenicu i tako dalje. Ovo je sve isti. Naravno, postoje i složeniji zadaci, gdje će nalaženje derivacije (diferenciranje) biti samo jedan od koraka u rješavanju problema.

Derivacija je označena crticom u gornjem desnom kutu funkcije. Kao ovo: y" ili f"(x) ili S"(t) i tako dalje.

Čitanje potez igrek, ef potez od x, es potez od te, dobro, razumiješ...)

Prim također može označavati derivaciju određene funkcije, na primjer: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" itd. Često se derivacije označavaju pomoću diferencijala, ali nećemo razmatrati takav zapis u ovoj lekciji.

Pretpostavimo da smo naučili razumjeti zadatke. Preostalo je samo naučiti kako ih riješiti.) Još jednom da vas podsjetim: pronalaženje izvodnice je transformacija funkcije prema određenim pravilima. Začudo, vrlo je malo tih pravila.

Da biste pronašli izvod funkcije, morate znati samo tri stvari. Tri stupa na kojima počiva svaka diferencijacija. Ovo su tri stupa:

1. Tablica izvodnica (formule diferenciranja).

3. Derivacija složene funkcije.

Krenimo redom. U ovoj lekciji ćemo pogledati tablicu izvedenica.

Tablica izvedenica.

Na svijetu postoji beskonačan broj funkcija. Među tom raznolikošću postoje funkcije koje su najvažnije za praktična aplikacija. Ove se funkcije nalaze u svim zakonima prirode. Od ovih funkcija, kao od cigli, možete konstruirati sve ostale. Ova klasa funkcija zove se elementarne funkcije. Upravo se te funkcije proučavaju u školi - linearna, kvadratna, hiperbola itd.

Diferencijacija funkcija "od nule", tj. Na temelju definicije derivacije i teorije granica, ovo je prilično radno intenzivna stvar. A i matematičari su ljudi, da, da!) Pa su sebi (i nama) život pojednostavili. Izračunali su izvedenice elementarne funkcije prije nas. Rezultat je tablica izvedenica, gdje je sve spremno.)

Evo ga, ova ploča za najpopularnije funkcije. Lijevo je elementarna funkcija, desno je njezin izvod.

	Funkcija g	Derivacija funkcije y y"
1	C (konstantna vrijednost)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - bilo koji broj)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	grijeh x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	log a x
	ln x ( a = e)

Preporučujem da obratite pozornost na treću skupinu funkcija u ovoj tablici izvedenica. Derivacija potencije jedna je od najčešćih formula, ako ne i najčešća! Shvaćate li savjet?) Da, preporučljivo je znati tablicu izvedenica napamet. Usput, ovo nije tako teško kao što se čini. Pokušajte riješiti više primjera, sama tablica će biti zapamćena!)

Pronalaženje tablične vrijednosti derivata, kao što razumijete, nije najteži zadatak. Stoga vrlo često u takvim zadacima postoje dodatni čipovi. Ili u tekstu zadatka, ili u izvornoj funkciji, koje kao da nema u tablici...

Pogledajmo nekoliko primjera:

1. Odredite izvod funkcije y = x 3

U tablici nema te funkcije. Ali postoji derivacija funkcije snage u opći pogled(treća skupina). U našem slučaju n=3. Dakle, zamijenit ćemo tri umjesto n i pažljivo zapisati rezultat:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

To je to.

Odgovor: y" = 3x 2

2. Odredite vrijednost derivacije funkcije y = sinx u točki x = 0.

Ovaj zadatak znači da prvo morate pronaći izvod sinusa, a zatim zamijeniti vrijednost x = 0 upravo u ovu izvedenicu. Upravo tim redom! Inače se događa da odmah zamene nulu u izvornu funkciju... Od nas se traži da ne pronađemo vrijednost izvorne funkcije, već vrijednost njegova izvedenica. Izvodnica je, da vas podsjetim, nova funkcija.

Pomoću tablice nalazimo sinus i odgovarajuću derivaciju:

y" = (sin x)" = cosx

Zamjenjujemo nulu u izvod:

y"(0) = cos 0 = 1

Ovo će biti odgovor.

3. Razlikujte funkciju:

Što, nadahnjuje?) Ne postoji takva funkcija u tablici izvedenica.

Dopustite mi da vas podsjetim da diferencirati funkciju znači jednostavno pronaći izvod te funkcije. Ako zaboravite elementarnu trigonometriju, traženje izvoda naše funkcije prilično je problematično. Stol ne pomaže...

Ali ako vidimo da je naša funkcija dvostruki kosinus kuta, onda sve odmah ide na bolje!

Da da! Zapamtite tu transformaciju izvorne funkcije prije diferencijacije sasvim prihvatljivo! A događa se da život čini puno lakšim. Korištenje formule kosinusa dvostrukog kuta:

Oni. naša lukava funkcija nije ništa više od y = cosx. A ovo je funkcija tablice. Odmah dobivamo:

Odgovor: y" = - sin x.

Primjer za napredne maturante i studente:

4. Pronađite izvod funkcije:

U tablici izvedenica te funkcije, naravno, nema. Ali ako se sjetite elementarne matematike, operacija s ovlastima... Onda je sasvim moguće pojednostaviti ovu funkciju. Kao ovo:

A x na potenciju jedne desetine je već tablična funkcija! Treća skupina, n=1/10. Pišemo izravno prema formuli:

To je sve. Ovo će biti odgovor.

Nadam se da je sve jasno s prvim stupom razlikovanja - tablicom izvedenica. Ostaje se pozabaviti s dva preostala kita. U sljedećoj lekciji naučit ćemo pravila razlikovanja.

• Tablica derivacija eksponencijalne i logaritamske funkcije

Izvodi jednostavnih funkcija

Obrazloženje:
Derivacija pokazuje brzinu kojom se mijenja vrijednost funkcije kada se mijenja njen argument. Budući da se broj ne mijenja ni na koji način ni pod kojim uvjetima, stopa njegove promjene uvijek je nula.

2. Derivacija varijable jednako jedan
x´ = 1

Obrazloženje:
Svakim povećanjem argumenta (x) za jedan, vrijednost funkcije (rezultat izračuna) raste za isti iznos. Dakle, brzina promjene vrijednosti funkcije y = x točno je jednaka brzini promjene vrijednosti argumenta.

3. Derivacija varijable i faktora jednaka je ovom faktoru
sx´ = s
Primjer:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Obrazloženje:
U ovom slučaju, svaki put kada se promijeni argument funkcije ( x) njegova vrijednost (y) raste u S jednom. Dakle, brzina promjene vrijednosti funkcije u odnosu na brzinu promjene argumenta točno je jednaka vrijednosti S.

Odakle slijedi da
(cx + b)" = c
odnosno diferencijal linearne funkcije y=kx+b jednak je nagibu pravca (k).

5. Derivacija varijable na potenciju jednak umnošku broja te potencije i varijable na potenciju umanjenu za jedan
(x c)"= cx c-1, uz uvjet da su x c i cx c-1 definirani i c ≠ 0
Primjer:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Da zapamtite formulu:
Pomaknite stupanj varijable prema dolje kao faktor, a zatim smanjite sam stupanj za jedan. Na primjer, za x 2 - dva je bila ispred x, a onda nam je smanjena snaga (2-1 = 1) jednostavno dala 2x. Isto se dogodilo i za x 3 - trojku “pomaknemo prema dolje”, smanjimo je za jedan i umjesto kocke imamo kvadrat, odnosno 3x 2. Malo "neznanstveno", ali vrlo lako za pamćenje.

6.Derivat razlomka 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Primjer:
Budući da se razlomak može prikazati kao podizanje na negativnu potenciju
(1/x)" = (x -1)", tada možete primijeniti formulu iz pravila 5 tablice izvedenica
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Derivat razlomka s varijablom proizvoljnog stupnja u nazivniku
(1 / x c)" = - c / x c+1
Primjer:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. Izvedenica korijena(derivacija varijable pod kvadratnim korijenom)
(√x)" = 1 / (2√x) ili 1/2 x -1/2
Primjer:
(√x)" = (x 1/2)" znači da možete primijeniti formulu iz pravila 5
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Derivacija varijable ispod korijena proizvoljnog stupnja
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

Kako pronaći izvedenicu?

Pravila razlikovanja.

Da biste pronašli izvod bilo koje funkcije, trebate svladati samo tri pojma:

2. Pravila razlikovanja.

3. Derivacija složene funkcije.

Upravo tim redom. To je nagovještaj.)

Naravno, bilo bi lijepo imati ideju o derivatima općenito). Što je derivacija i kako raditi s tablicom derivacija jasno je objašnjeno u prethodnoj lekciji. Ovdje ćemo se pozabaviti pravilima razlikovanja.

Diferenciranje je operacija nalaženja derivacije. Ništa se više ne krije iza ovog pojma. Oni. izrazi "nađi izvod funkcije" I "razlikovati funkciju"- To je isto.

Izraz "pravila razlikovanja" odnosi se na pronalaženje izvedenice iz aritmetičkih operacija. Ovo razumijevanje puno pomaže u izbjegavanju zbrke u vašoj glavi.

Koncentrirajmo se i zapamtimo sve, sve, sve aritmetičke operacije. Ima ih četiri). Zbrajanje (zbroj), oduzimanje (razlika), množenje (proizvod) i dijeljenje (kvocijent). Evo ih, pravila razlikovanja:

Ploča pokazuje pet pravila o četiri aritmetičke operacije. Nisam bio potkraden.) Pravilo 4 je samo elementarna posljedica pravila 3. Ali toliko je popularno da ga ima smisla napisati (i zapamtiti!) kao neovisnu formulu.

Pod oznakama U I V neke (apsolutno bilo koje!) funkcije se podrazumijevaju U(x) I V(x).

Pogledajmo nekoliko primjera. Prvo - one najjednostavnije.

Nađite derivaciju funkcije y=sinx - x 2

Evo imamo razlika dvije elementarne funkcije. Primijenimo pravilo 2. Pretpostavit ćemo da je sinx funkcija U, a x 2 je funkcija V. Imamo puno pravo napisati:

y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"

To je bolje, zar ne?) Sve što preostaje je pronaći derivacije sinusa i kvadrata od x. Za to postoji tablica izvedenica. Samo tražimo funkcije koje su nam potrebne u tablici ( sinx I x 2), pogledaj koje izvedenice imaju i zapiši odgovor:

y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x

To je to. Pravilo 1 diferencijacije zbroja radi potpuno isto.

Što ako imamo nekoliko mandata? Nema problema.) Funkciju rastavljamo na članove i tražimo izvod svakog člana neovisno o ostalima. Na primjer:

Nađite derivaciju funkcije y=sinx - x 2 +cosx - x +3

Hrabro pišemo:

y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"

Na kraju lekcije dat ću savjete koji će vam olakšati život prilikom razlikovanja.)

Praktičan savjet:

1. Prije diferencijacije, pogledajte je li moguće pojednostaviti izvornu funkciju.

2. U kompliciranim primjerima rješenje opisujemo detaljno, sa svim zagradama i crticama.

3. Kod razlikovanja razlomaka sa stalnim brojem u nazivniku, dijeljenje pretvaramo u množenje i koristimo se pravilom 4.

Prva razina

Derivacija funkcije. Sveobuhvatni vodič (2019)

Zamislimo ravnu cestu koja prolazi kroz brdovito područje. Odnosno, ide gore-dolje, ali ne skreće desno ili lijevo. Ako je os usmjerena vodoravno duž ceste i okomito, tada će linija ceste biti vrlo slična grafu neke kontinuirane funkcije:

Os je određena razina nulte visine; u životu kao nju koristimo razinu mora.

Dok se krećemo naprijed takvom cestom, također se krećemo gore ili dolje. Također možemo reći: kada se mijenja argument (kretanje po apscisnoj osi), mijenja se i vrijednost funkcije (kretanje po ordinatnoj osi). Sada razmislimo o tome kako odrediti "strminu" naše ceste? Kakva bi to vrijednost mogla biti? Vrlo je jednostavno: koliko će se visina promijeniti kada se pomaknete naprijed na određenu udaljenost. Uostalom, na različitim područjima ceste, krećući se naprijed (duž x-osi) za jedan kilometar, dići ćemo se ili spustiti za različiti broj metara u odnosu na razinu mora (duž y-osi).

Označimo napredak (čitaj "delta x").

Grčko slovo (delta) obično se koristi u matematici kao prefiks koji znači "promjena". To jest - ovo je promjena u količini, - promjena; što je onda? Tako je, promjena u veličini.

Važno: izraz je jedinstvena cjelina, jedna varijabla. Nikada ne odvajajte "deltu" od "x" ili bilo kojeg drugog slova! To je, na primjer,.

Dakle, krenuli smo naprijed, vodoravno, za. Uspoređujemo li liniju ceste s grafom funkcije, kako onda označavamo uspon? Sigurno, . Odnosno, kako idemo naprijed, dižemo se više.

Vrijednost je lako izračunati: ako smo na početku bili na visini, a nakon kretanja našli smo se na visini, onda. Ako je krajnja točka niža od početne, bit će negativna – to znači da se ne penjemo, nego silazimo.

Vratimo se na "strminu": ovo je vrijednost koja pokazuje koliko (strmo) raste visina kada se pomakne naprijed za jednu jedinicu udaljenosti:

Pretpostavimo da se na nekoj dionici ceste, kada se krećemo naprijed za kilometar, cesta uzdiže za kilometar. Tada je nagib na ovom mjestu jednak. A ako se cesta, dok se kreće naprijed za m, spusti za km? Tada je nagib jednak.

Sada pogledajmo vrh brda. Ako se početak dionice uzme pola kilometra prije vrha, a kraj pola kilometra nakon njega, vidi se da je visina gotovo ista.

To jest, prema našoj logici, ispada da je nagib ovdje gotovo jednak nuli, što očito nije točno. Samo na udaljenosti od kilometra mnogo toga se može promijeniti. Za adekvatniju i točniju ocjenu strmine potrebno je uzeti u obzir manje površine. Na primjer, ako mjerite promjenu visine dok se pomičete za jedan metar, rezultat će biti puno točniji. Ali čak ni ova točnost možda nam neće biti dovoljna - uostalom, ako je stup nasred ceste, možemo ga jednostavno proći. Koju udaljenost trebamo odabrati? Centimetar? Milimetar? Manje je bolje!

U stvaran život Mjerenje udaljenosti do najbližeg milimetra više je nego dovoljno. Ali matematičari uvijek teže savršenstvu. Stoga je koncept izmišljen infinitezimalnog, to jest, apsolutna vrijednost je manja od bilo kojeg broja koji možemo imenovati. Na primjer, kažete: trilijunti dio! Koliko manje? I ovaj broj podijelite s - i bit će još manje. I tako dalje. Ako želimo napisati da je neka veličina infinitezimalna, pišemo ovako: (čitamo “x teži nuli”). Vrlo je važno razumjeti da taj broj nije nula! Ali vrlo blizu toga. To znači da ga možete dijeliti.

Koncept suprotan infinitezimalnom je beskonačno velik (). Vjerojatno ste već naišli na to dok ste radili na nejednakostima: ovaj broj je po modulu veći od bilo kojeg broja koji vam pada na pamet. Ako dođete do najvećeg mogućeg broja, samo ga pomnožite s dva i dobit ćete još veći broj. A beskonačnost je još veća od onoga što se događa. Zapravo, beskonačno veliko i beskonačno malo su inverzni jedno drugom, to jest, at, i obrnuto: at.

Sada se vratimo našem putu. Idealno izračunati nagib je nagib izračunat za infinitezimalni segment staze, to jest:

Napominjem da će s infinitezimalnim pomakom promjena visine također biti infinitezimalna. Ali dopustite mi da vas podsjetim da infinitezimalno ne znači jednako nuli. Podijelite li infinitezimalne brojeve jedan s drugim, možete dobiti sasvim običan broj, na primjer, . To jest, jedna mala vrijednost može biti točno puta veća od druge.

Čemu sve ovo? Cesta, strmina... Ne idemo na auto reli, nego učimo matematiku. I u matematici je sve potpuno isto, samo se drugačije zove.

Pojam derivata

Derivacija funkcije je omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta za infinitezimalni priraštaj argumenta.

Postupno u matematici zovu promjena. Poziva se opseg do kojeg se argument () mijenja dok se pomiče duž osi povećanje argumenta a označava se. Koliko se funkcija (visina) promijenila pri pomicanju duž osi za udaljenost naziva se prirast funkcije i naznačen je.

Dakle, derivacija funkcije je omjer kada. Derivaciju označavamo istim slovom kao i funkciju, samo s promom gore desno: ili jednostavno. Dakle, napišimo formulu izvedenice koristeći ove oznake:

Kao i u analogiji s cestom, ovdje kada funkcija raste derivacija je pozitivna, a kada opada negativna.

Je li moguće da derivacija bude jednaka nuli? Sigurno. Na primjer, ako se vozimo ravnom vodoravnom cestom, strmina je nula. I istina je, visina se uopće ne mijenja. Tako je i s izvodom: izvod konstantne funkcije (konstante) jednak je nuli:

budući da je prirast takve funkcije jednak nuli za bilo koji.

Sjetimo se primjera s brda. Ispostavilo se da je moguće rasporediti krajeve segmenta na suprotnim stranama vrha na takav način da visina na krajevima bude ista, odnosno da je segment paralelan s osi:

Ali veliki segmenti znak su netočnog mjerenja. Podići ćemo naš segment paralelno sa samim sobom, tada će se njegova duljina smanjiti.

Na kraju, kada smo beskonačno blizu vrhu, duljina segmenta će postati infinitezimalna. Ali pritom je ostao paralelan s osi, odnosno razlika u visinama na njegovim krajevima jednaka je nuli (ne teži, ali je jednaka). Dakle izvedenica

To se može shvatiti ovako: kada stojimo na samom vrhu, mali pomak ulijevo ili udesno neznatno mijenja našu visinu.

Postoji i čisto algebarsko objašnjenje: lijevo od vrha funkcija raste, a desno opada. Kao što smo ranije saznali, kada funkcija raste, izvod je pozitivan, a kada opada negativan. Ali mijenja se glatko, bez skokova (pošto cesta nigdje ne mijenja oštro nagib). Prema tome, između negativnih i pozitivne vrijednosti svakako mora postojati. Bit će tamo gdje funkcija niti raste niti opada - u točki vrha.

Isto vrijedi i za korito (područje gdje se funkcija s lijeve strane smanjuje, a s desne povećava):

Još malo o inkrementima.

Dakle, mijenjamo argument u veličinu. Od koje vrijednosti mijenjamo? Što je (argument) sada postao? Možemo odabrati bilo koju točku, a sada ćemo plesati iz nje.

Promotrimo točku s koordinatom. Vrijednost funkcije u njemu je jednaka. Zatim radimo isto povećanje: povećavamo koordinatu za. Koji je sad argument? Vrlo jednostavno: . Kolika je sada vrijednost funkcije? Gdje ide argument, ide i funkcija: . Što je s povećanjem funkcije? Ništa novo: ovo je i dalje iznos za koji se funkcija promijenila:

Vježbajte pronalaženje povećanja:

1. Pronađite priraštaj funkcije u točki kada je priraštaj argumenta jednak.
2. Isto vrijedi i za funkciju u točki.

rješenja:

U različitim točkama s istim inkrementom argumenta, inkrement funkcije bit će različit. To znači da je derivacija u svakoj točki različita (o tome smo govorili na samom početku - strmina ceste je različita u različitim točkama). Stoga, kada pišemo izvedenicu, moramo navesti u kojoj točki:

Funkcija snage.

Funkcija snage je funkcija u kojoj je argument do nekog stupnja (logičan, zar ne?).

Štoviše – u bilo kojoj mjeri: .

Najjednostavniji slučaj je kada je eksponent:

Nađimo njegovu derivaciju u točki. Prisjetimo se definicije derivata:

Dakle, argument se mijenja iz u. Koliki je prirast funkcije?

Povećanje je ovo. Ali funkcija je u bilo kojoj točki jednaka svom argumentu. Zato:

Derivacija je jednaka:

Derivacija je jednaka:

b) Sada razmotrite kvadratnu funkciju (): .

Prisjetimo se sada toga. To znači da se vrijednost prirasta može zanemariti, budući da je infinitezimalna i stoga beznačajna u odnosu na drugi član:

Pa smo smislili još jedno pravilo:

c) Nastavljamo logički niz: .

Ovaj se izraz može pojednostaviti na različite načine: otvoriti prvu zagradu pomoću formule za skraćeno množenje kuba zbroja ili faktorizirati cijeli izraz pomoću formule razlike kubova. Pokušajte to učiniti sami koristeći bilo koju od predloženih metoda.

Dakle, dobio sam sljedeće:

I opet da se prisjetimo toga. To znači da možemo zanemariti sve pojmove koji sadrže:

Dobivamo: .

d) Slična pravila mogu se dobiti za velike snage:

e) Ispada da se ovo pravilo može generalizirati za potencnu funkciju s proizvoljnim eksponentom, čak ni cijelim brojem:

Pravilo se može formulirati riječima: "stupanj se pomiče naprijed kao koeficijent, a zatim smanjuje za."

To ćemo pravilo dokazati kasnije (gotovo na samom kraju). Sada pogledajmo nekoliko primjera. Pronađite izvod funkcije:

1. (na dva načina: formulom i pomoću definicije derivacije - izračunavanjem prirasta funkcije);

1. . Vjerovali ili ne, ovo je funkcija moći. Ako imate pitanja poput “Kako je ovo? Gdje je diploma?”, sjetite se teme “”!
   Da, da, korijen je također stupanj, samo razlomak: .
   Dakle naše Korijen- ovo je samo diploma s pokazateljem:
   .
   Izvod tražimo koristeći nedavno naučenu formulu:

   Ako na ovom mjestu opet postane nejasno, ponovite temu “”!!! (o stupnju s negativnim eksponentom)

2. . Sada eksponent:

   A sada kroz definiciju (jeste li već zaboravili?):
   ;
   .
   Sada, kao i obično, zanemarujemo termin koji sadrži:
   .

3. . Kombinacija prethodnih slučajeva: .

Trigonometrijske funkcije.

Ovdje ćemo se poslužiti jednom činjenicom iz više matematike:

S izrazom.

Dokaz ćete naučiti u prvoj godini instituta (a da biste tamo stigli, morate dobro položiti Jedinstveni državni ispit). Sada ću to samo grafički prikazati:

Vidimo da kada funkcija ne postoji - točka na grafu je izrezana. Ali što je bliža vrijednosti, to je bliža funkcija ovome "cilju".

Dodatno, ovo pravilo možete provjeriti pomoću kalkulatora. Da, da, nemojte se sramiti, uzmite kalkulator, još nismo na Jedinstvenom državnom ispitu.

Dakle, pokušajmo: ;

Ne zaboravite prebaciti svoj kalkulator u radijanski način rada!

itd. Vidimo da što je manji, to je vrijednost omjera bliža.

a) Razmotrimo funkciju. Kao i obično, pronađimo njegov inkrement:

Pretvorimo razliku sinusa u produkt. Da bismo to učinili, koristimo se formulom (sjetite se teme “”): .

Sada izvedenica:

Napravimo zamjenu: . Tada je za infinitezimalno također infinitezimalno: . Izraz za ima oblik:

I sada se toga sjećamo izrazom. I također, što ako se infinitezimalna količina može zanemariti u zbroju (tj. at).

Dakle, dobivamo sljedeće pravilo: derivacija sinusa jednaka je kosinusu:

To su osnovne ("tabularne") izvedenice. Evo ih na jednom popisu:

Kasnije ćemo im dodati još nekoliko, ali ovi su najvažniji, jer se najčešće koriste.

Praksa:

1. Naći derivaciju funkcije u točki;
2. Pronađite izvod funkcije.

rješenja:

1. Prvo, pronađimo derivat u općem obliku, a zatim zamijenimo njegovu vrijednost:
   ;
   .
2. Ovdje imamo nešto slično funkciji snage. Pokušajmo je osvijestiti
   normalan pogled:
   .
   Odlično, sada možete koristiti formulu:
   .
   .
3. . Eeeeee.....Sta je ovo????

U redu, u pravu ste, još ne znamo kako pronaći takve izvedenice. Ovdje imamo kombinaciju nekoliko vrsta funkcija. Da biste radili s njima, morate naučiti još nekoliko pravila:

Eksponent i prirodni logaritam.

U matematici postoji funkcija čija je derivacija za bilo koju vrijednost istovremeno jednaka vrijednosti same funkcije. Zove se "eksponent" i eksponencijalna je funkcija

Osnova ove funkcije - konstanta - je beskonačni decimalni razlomak, odnosno iracionalan broj (kao npr.). Naziva se "Eulerovim brojem", zbog čega se označava slovom.

Dakle, pravilo:

Vrlo lako za pamćenje.

Pa, da ne idemo daleko, pogledajmo to odmah inverzna funkcija. Koja je funkcija inverzna eksponencijalnoj funkciji? Logaritam:

U našem slučaju baza je broj:

Takav logaritam (odnosno logaritam s bazom) nazivamo "prirodnim", a za njega koristimo posebnu oznaku: umjesto toga pišemo.

Čemu je to jednako? Naravno, .

Derivacija prirodnog logaritma također je vrlo jednostavna:

Primjeri:

1. Pronađite izvod funkcije.
2. Što je derivacija funkcije?

odgovori: Eksponencijalni i prirodni logaritam su jedinstveno jednostavne funkcije iz perspektive izvoda. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će različitu derivaciju, koju ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferenciranja.

Pravila razlikovanja

Pravila čega? Opet novi mandat, opet?!...

Diferencijacija je proces pronalaženja izvoda.

To je sve. Kako još jednom riječju možete nazvati ovaj proces? Nije derivacija... Matematičari diferencijal nazivaju istim povećanjem funkcije na. Ovaj pojam dolazi od latinske riječi differentia - razlika. Ovdje.

Prilikom izvođenja svih ovih pravila koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Trebat će nam i formule za njihova povećanja:

Postoji ukupno 5 pravila.

Konstanta je izvučena iz predznaka izvoda.

Ako - neki stalni broj (konstanta), onda.

Očito, ovo pravilo vrijedi i za razliku: .

Dokažimo to. Neka bude, ili jednostavnije.

Primjeri.

Pronađite izvode funkcija:

1. u točki;
2. u točki;
3. u točki;
4. u točki.

rješenja:

1. (derivacija je ista u svim točkama, jer je linearna funkcija, sjećate se?);

Derivat proizvoda

Ovdje je sve slično: uvedimo novu funkciju i pronađemo njezin inkrement:

izvedenica:

Primjeri:

1. Nađite derivacije funkcija i;
2. Pronađite izvod funkcije u točki.

rješenja:

Derivacija eksponencijalne funkcije

Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći derivaciju bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenata (jeste li već zaboravili što je to?).

Dakle, gdje je neki broj.

Već znamo izvod funkcije, pa pokušajmo reducirati našu funkciju na novu bazu:

Za ovo ćemo koristiti jednostavno pravilo: . Zatim:

Pa, uspjelo je. Sada pokušajte pronaći izvod i ne zaboravite da je ova funkcija složena.

Dogodilo se?

Evo, provjerite sami:

Pokazalo se da je formula vrlo slična izvodu eksponenta: kakva je bila, ostala je ista, pojavio se samo faktor koji je samo broj, ali ne i varijabla.

Primjeri:
Pronađite izvode funkcija:

odgovori:

Ovo je samo broj koji se ne može izračunati bez kalkulatora, odnosno ne može se više zapisati u jednostavnom obliku. Stoga ga ostavljamo u ovom obliku u odgovoru.

Derivacija logaritamske funkcije

Ovdje je slično: već znate izvedenicu prirodnog logaritma:

Stoga, da biste pronašli proizvoljni logaritam s različitom bazom, na primjer:

Moramo svesti ovaj logaritam na bazu. Kako mijenjate bazu logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:

Samo što ćemo sada umjesto toga napisati:

Nazivnik je jednostavno konstanta (konstantan broj, bez varijable). Izvod se dobiva vrlo jednostavno:

Derivati ​​eksponencijalnih i logaritamskih funkcija gotovo se nikada ne nalaze u Jedinstvenom državnom ispitu, ali neće biti suvišno znati ih.

Derivacija složene funkcije.

Što se dogodilo " složena funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, niti arktangens. Ove funkcije mogu biti teške za razumijevanje (iako vam je logaritmiranje teško, pročitajte temu “Logaritmi” i bit ćete dobro), ali s matematičke točke gledišta, riječ “kompleksno” ne znači “teško”.

Zamislite malu pokretnu traku: dvoje ljudi sjede i rade neke radnje s nekim predmetima. Primjerice, prvi umota čokoladicu u omot, a drugi je veže vrpcom. Rezultat je složeni objekt: čokoladna pločica omotana i zavezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, trebate učiniti obrnute korake obrnutim redoslijedom.

Stvorimo sličan matematički cjevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim kvadrirati dobiveni broj. Dakle, dan nam je broj (čokolada), ja mu pronađem kosinus (omot), a ti onda kvadriraš ono što sam ja dobio (zaveži vrpcom). Što se dogodilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njezinu vrijednost, izvodimo prvu radnju izravno s varijablom, a zatim drugu radnju s onim što je proizašlo iz prve.

Lako možemo napraviti iste korake obrnutim redoslijedom: prvo ga kvadrirate, a ja zatim tražim kosinus dobivenog broja: . Lako je pogoditi da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna značajka složenih funkcija: kada se promijeni redoslijed radnji, mijenja se i funkcija.

Drugim riječima, složena funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .

Za prvi primjer,.

Drugi primjer: (ista stvar). .

Pozvat će se radnja koju obavimo posljednju "vanjsku" funkciju, a radnja koja je prva izvedena - prema tome "unutarnja" funkcija(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da jednostavnim jezikom objasnim gradivo).

Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutarnja:

odgovori: Odvajanje unutarnjih i vanjskih funkcija vrlo je slično mijenjanju varijabli: na primjer, u funkciji

1. Koju radnju ćemo prvo izvesti? Prvo izračunajmo sinus, a tek onda kubirajte. To znači da je to unutarnja funkcija, ali vanjska.
   A izvorna funkcija je njihov sastav: .
2. Interno: ; vanjski: .
   Ispitivanje: .
3. Interno: ; vanjski: .
   Ispitivanje: .
4. Interno: ; vanjski: .
   Ispitivanje: .
5. Interno: ; vanjski: .
   Ispitivanje: .

Mijenjamo varijable i dobivamo funkciju.

E, sad ćemo izdvojiti našu čokoladicu i potražiti izvedenicu. Postupak je uvijek obrnut: prvo tražimo derivaciju vanjske funkcije, zatim rezultat množimo s derivacijom unutarnje funkcije. U odnosu na izvorni primjer, to izgleda ovako:

Još jedan primjer:

Dakle, konačno formulirajmo službeno pravilo:

Algoritam za pronalaženje derivacije složene funkcije:

Čini se jednostavno, zar ne?

Provjerimo na primjerima:

rješenja:

1) Interno: ;

Vanjski: ;

2) Interno: ;

(Samo ga nemojte pokušavati prerezati do sada! Ništa ne izlazi ispod kosinusa, sjećate se?)

3) Interno: ;

Vanjski: ;

Odmah je jasno da je riječ o trorazinskoj složenoj funkciji: uostalom, to je već sama po sebi složena funkcija, a iz nje izvlačimo i korijen, odnosno izvodimo treću radnju (čokoladu stavljamo u omot i s vrpcom u aktovci). Ali nema razloga za strah: i dalje ćemo ovu funkciju "raspakirati" istim redoslijedom kao i obično: od kraja.

Odnosno, prvo diferenciramo korijen, zatim kosinus, a tek onda izraz u zagradi. I onda sve to množimo.

U takvim je slučajevima zgodno numerirati radnje. Odnosno, zamislimo ono što znamo. Kojim redoslijedom ćemo izvoditi radnje za izračunavanje vrijednosti ovog izraza? Pogledajmo primjer:

Što se radnja kasnije izvrši, to će odgovarajuća funkcija biti više "vanjska". Redoslijed radnji je isti kao i prije:

Ovdje je gniježđenje općenito na 4 razine. Odredimo tijek akcije.

1. Radikalni izraz. .

2. Korijen. .

3. Sinus. .

4. Trg. .

5. Sve zajedno:

DERIVACIJA. UKRATKO O GLAVNOM

Derivacija funkcije- omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta za infinitezimalni prirast argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila razlikovanja:

Konstanta je izuzeta iz predznaka izvoda:

Derivacija zbroja:

Derivat proizvoda:

Derivacija kvocijenta:

Derivacija složene funkcije:

Algoritam za pronalaženje derivacije složene funkcije:

1. Definiramo “unutarnju” funkciju i nalazimo njen izvod.
2. Definiramo “vanjsku” funkciju i nalazimo njen izvod.
3. Množimo rezultate prve i druge točke.

U ovoj lekciji naučit ćemo primijeniti formule i pravila diferencijacije.

Primjeri. Naći derivacije funkcija.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Primjena pravila ja, formule 4, 2 i 1. Dobivamo:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. Rješavamo slično, koristeći iste formule i formulu 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Primjena pravila ja, formule 3, 5 I 6 I 1.

Primjena pravila IV, formule 5 I 1 .

U petom primjeru prema pravilu ja izvod zbroja jednak je zbroju izvoda, a upravo smo pronašli izvod 1. člana (primjer 4 ), dakle, pronaći ćemo izvedenice 2 I 3 uvjeti, i za 1 zbroj možemo odmah napisati rezultat.

Hajdemo razlikovati 2 I 3 termini prema formuli 4 . Da bismo to učinili, transformiramo korijene treće i četvrte potencije u nazivnicima u potencije s negativnim eksponentima, a zatim, prema 4 formule, nalazimo izvodnice potencija.

Pogledaj ovaj primjer i dobiveni rezultat. Jeste li uhvatili obrazac? Fino. To znači da imamo novu formulu i možemo je dodati u našu tablicu izvedenica.

Riješimo šesti primjer i izvedimo još jednu formulu.

Poslužimo se pravilom IV i formula 4 . Skratimo dobivene razlomke.

Pogledajmo ovu funkciju i njenu derivaciju. Vi, naravno, razumijete obrazac i spremni ste imenovati formulu:

Učenje novih formula!

Primjeri.

1. Nađi priraštaj argumenta i priraštaj funkcije y= x 2, Ako početna vrijednost argument je bio jednak 4 , i novo - 4,01 .

Riješenje.

Nova vrijednost argumenta x=x 0 +Δx. Zamijenimo podatke: 4,01=4+Δx, dakle povećanje argumenta Δh=4,01-4=0,01. Prirast funkcije, po definiciji, jednak je razlici između nove i prethodne vrijednosti funkcije, tj. Δy=f (x 0 + Δx) - f (x 0). Budući da imamo funkciju y=x2, To Δu=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Odgovor: povećanje argumenta Δh=0,01; prirast funkcije Δu=0,0801.

Povećanje funkcije može se pronaći drugačije: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Odredite kut nagiba tangente na graf funkcije y=f(x) u točki x 0, Ako f "(x 0) = 1.

Riješenje.

Vrijednost derivacije u točki dodirivanja x 0 i je vrijednost tangensa tangentnog kuta ( geometrijsko značenje izvedenica). Imamo: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, jer tg45°=1.

Odgovor: tangenta na graf ove funkcije čini kut s pozitivnim smjerom osi Ox jednak 45°.

3. Izvedite formulu za izvod funkcije y=xn.

Diferencijacija je radnja pronalaženja izvoda funkcije.

Pri pronalaženju derivacija koristiti formule koje su izvedene na temelju definicije derivacije, na isti način kao što smo izveli formulu za stupanj derivacije: (x n)" = nx n-1.

Ovo su formule.

Tablica izvedenica Bit će lakše zapamtiti izgovaranjem verbalnih formulacija:

1. Derivacija konstantne veličine je nula.

2. X prost je jednak jedan.

3. Konstantni faktor se može uzeti iz predznaka derivacije.

4. Derivacija stupnja jednaka je umnošku eksponenta tog stupnja sa stupnjem iste baze, ali je eksponent za jedan manji.

5. Izvodnica korijena jednaka je jedinici podijeljenoj s dva jednaka korijena.

6. Derivacija od jedan podijeljeno s x jednaka je minus jedan podijeljeno s x na kvadrat.

7. Derivacija sinusa jednaka je kosinusu.

8. Derivacija kosinusa jednaka je minus sinus.

9. Derivacija tangensa jednaka je jedinici podijeljenoj s kvadratom kosinusa.

10. Derivacija kotangensa jednaka je minus jedan podijeljeno s kvadratom sinusa.

mi podučavamo pravila razlikovanja.

1. Derivacija algebarske sume jednaka je algebarskoj sumi derivacija članova.

2. Derivacija umnoška jednaka je umnošku derivacije prvog i drugog faktora plus umnožak prvog faktora i derivacije drugog.

3. Derivacija "y" podijeljena s "ve" jednaka je razlomku u kojem je brojnik "y pomnožen s "ve" minus "y pomnožen s ve", a nazivnik je "ve na kvadrat".

4. Poseban slučaj formule 3.

Učimo zajedno!

Stranica 1 od 1 1