upute
Prije svega, vrijedno je razumjeti da je bočna površina piramide predstavljena s nekoliko trokuta, čija se područja mogu pronaći pomoću različitih formula, ovisno o poznatim podacima:
S = (a*h)/2, gdje je h visina spuštena na stranu a;
S = a*b*sinβ, gdje su a, b stranice trokuta, a β kut između tih stranica;
S = (r*(a + b + c))/2, gdje su a, b, c stranice trokuta, a r polumjer kružnice upisane u ovaj trokut;
S = (a*b*c)/4*R, gdje je R polumjer trokuta opisanog krugu;
S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (ako je trokut pravokutan);
S = S = (a²*√3)/4 (ako je trokut jednakostraničan).
Zapravo, ovo su samo najosnovnije poznate formule za pronalaženje površine trokuta.
Nakon što ste izračunali površine svih trokuta koji su lica piramide pomoću gornjih formula, možete početi izračunavati površinu ove piramide. To se radi vrlo jednostavno: trebate zbrojiti površine svih trokuta koji tvore bočnu površinu piramide. To se može izraziti formulom:
Sp = ΣSi, gdje je Sp područje bočne površine, Si je područje i-tog trokuta, koji je dio njegove bočne površine.
Radi veće jasnoće, možemo razmotriti mali primjer: dana je redovita piramida, čije su bočne strane oblikovane jednakostraničnim trokutima, a na njezinoj osnovi leži kvadrat. Duljina ruba ove piramide je 17 cm. Potrebno je pronaći površinu bočne površine ove piramide.
Rješenje: poznata je duljina brida ove piramide, poznato je da su njena lica jednakostraničnog trokuta. Dakle, možemo reći da su sve stranice svih trokuta na bočnoj površini jednake 17 cm. Stoga, da biste izračunali površinu bilo kojeg od ovih trokuta, morat ćete primijeniti formulu:
S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²
Poznato je da u podnožju piramide leži kvadrat. Dakle, jasno je da su dana četiri jednakostranična trokuta. Tada se površina bočne površine piramide izračunava na sljedeći način:
125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²
Odgovor: Bočna površina piramide je 500,548 cm²
Prvo, izračunajmo površinu bočne površine piramide. Bočna ploha je zbroj površina svih bočnih ploha. Ako imate posla s pravilnom piramidom (tj. onom koja ima pravilan mnogokut u svojoj bazi, a vrh je projiciran u središte tog mnogokuta), tada je za izračun cijele bočne površine dovoljno pomnožiti opseg s bazu (to jest, zbroj duljina svih stranica mnogokuta koji leži na osnovnoj piramidi) s visinom bočne strane (koja se inače naziva apotem) i podijelite dobivenu vrijednost s 2: Sb = 1/2P* h, gdje je Sb površina bočne površine, P je opseg baze, h je visina bočne strane (apotem).
Ako pred sobom imate proizvoljnu piramidu, morat ćete posebno izračunati površine svih ploha i zatim ih zbrojiti. Budući da su bočne strane piramide trokuti, upotrijebite formulu za površinu trokuta: S=1/2b*h, gdje je b baza trokuta, a h visina. Kada su izračunate površine svih ploha, preostaje ih samo zbrojiti i dobiti površinu bočne plohe piramide.
Zatim morate izračunati površinu baze piramide. Odabir formule za izračun ovisi o tome koji mnogokut leži u osnovi piramide: pravilan (to jest, onaj sa svim stranicama iste duljine) ili nepravilan. Površina pravilnog poligona može se izračunati množenjem perimetra s polumjerom upisane kružnice u poligon i dijeljenjem dobivene vrijednosti s 2: Sn = 1/2P*r, gdje je Sn površina mnogokut, P je opseg, a r polumjer upisane kružnice u mnogokut.
Krnja piramida je poliedar kojeg čine piramida i njezin presjek paralelan s bazom. Pronalaženje bočne površine piramide uopće nije teško. Vrlo je jednostavno: površina je jednaka umnošku polovine zbroja baza i apoteme. Razmotrimo primjer izračuna bočne površine krnje piramide. Pretpostavimo da nam je dana pravilna četverokutna piramida. Duljine baze su b = 5 cm, c = 3 cm. Apotem a = 4 cm. Da biste pronašli površinu bočne površine piramide, prvo morate pronaći opseg baza. U velikoj bazi to će biti jednako p1=4b=4*5=20 cm. U manjoj bazi formula će biti sljedeća: p2=4c=4*3=12 cm. Dakle, površina će biti jednaka : s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 cm.
Piramida je poliedar čija je jedna strana (baza) proizvoljan poligon, a ostale strane (stranice) su trokuti sa zajedničkim vrhom. Prema broju uglova, baza piramide je trokutna (tetraedar), četverokutna i tako dalje.
Piramida je poliedar s bazom u obliku poligona, a ostale plohe su trokuti sa zajedničkim vrhom. Apotem je visina bočne plohe pravilne piramide, koja se povlači iz njenog vrha.
Definicija. Bočni rub- ovo je trokut u kojem jedan kut leži na vrhu piramide, a suprotna strana se podudara sa stranom baze (poligon).
Definicija. Bočna rebra- ovo su uobičajene strane bočnih strana. Piramida ima onoliko bridova koliko kutova ima mnogokut.
Definicija. Visina piramide- ovo je okomica spuštena od vrha do baze piramide.
Definicija. Apotema- ovo je okomica na bočnu stranu piramide, spuštena s vrha piramide na stranu baze.
Definicija. Dijagonalni presjek- ovo je presjek piramide ravninom koja prolazi kroz vrh piramide i dijagonalu baze.
Definicija. Ispravna piramida je piramida kojoj je baza pravilan mnogokut, a visina se spušta do središta baze.
Volumen i površina piramide
Formula. Volumen piramide kroz osnovnu površinu i visinu:
Svojstva piramide
Ako su svi bočni rubovi jednaki, tada se oko baze piramide može nacrtati krug, a središte baze se poklapa sa središtem kruga. Također, okomica spuštena s vrha prolazi središtem baze (kružnice).
Ako su svi bočni rubovi jednaki, tada su nagnuti prema ravnini baze pod istim kutovima.
Bočni bridovi su jednaki kada tvore jednake kutove s ravninom baze ili ako se oko baze piramide može opisati kružnica.
Ako su bočne plohe nagnute prema ravnini baze pod istim kutom, tada se u bazu piramide može upisati krug, a vrh piramide projicira se u njeno središte.
Ako su bočne plohe nagnute prema ravnini baze pod istim kutom, onda su apoteme bočnih ploha jednake.
Svojstva pravilne piramide
1. Vrh piramide je jednako udaljen od svih kutova baze.
2. Svi bočni rubovi su jednaki.
3. Sva bočna rebra su nagnuta pod jednakim kutom u odnosu na bazu.
4. Apoteme svih bočnih lica su jednake.
5. Površine svih bočnih ploha su jednake.
6. Sve plohe imaju iste diedralne (ravne) kutove.
7. Oko piramide se može opisati kugla. Središte opisane sfere bit će sjecište okomica koje prolaze kroz sredinu bridova.
8. Kuglu možete uklopiti u piramidu. Središte upisane sfere bit će točka presjeka simetrala koje izlaze iz kuta između brida i baze.
9. Ako se središte upisane sfere poklapa sa središtem opisane sfere, tada je zbroj ravninskih kutova pri vrhu jednak π ili obrnuto, jedan kut je jednak π/n, gdje je n broj kutova na dnu piramide.
Veza piramide i kugle
Oko piramide se može opisati sfera kada se u osnovi piramide nalazi poliedar oko kojeg se može opisati kružnica (nužan i dovoljan uvjet). Središte sfere bit će sjecište ravnina koje prolaze okomito kroz središta bočnih bridova piramide.
Uvijek je moguće opisati sferu oko bilo koje trokutaste ili pravilne piramide.
U piramidu se može upisati kugla ako se simetrale unutarnjih diedarskih kutova piramide sijeku u jednoj točki (nužan i dovoljan uvjet). Ova točka će biti središte sfere.
Veza piramide sa stošcem
Kaže se da je stožac upisan u piramidu ako se njihovi vrhovi poklapaju, a baza stošca je upisana u bazu piramide.
Stožac se može upisati u piramidu ako su apoteme piramide međusobno jednake.
Kaže se da je stožac opisan oko piramide ako se njihovi vrhovi poklapaju, a baza stošca je opisana oko baze piramide.
Stožac se može opisati oko piramide ako su svi bočni bridovi piramide međusobno jednaki.
Odnos piramide i valjka
Piramida se naziva upisana u valjak ako vrh piramide leži na jednoj osnovici valjka, a baza piramide je upisana u drugu bazu cilindra.
Oko piramide se može opisati cilindar ako se oko baze piramide može opisati kružnica.
Tetraedar ima četiri lica i četiri vrha i šest bridova, pri čemu bilo koja dva brida nemaju zajedničke vrhove, ali se ne dodiruju.
Svaki vrh se sastoji od tri lica i bridova koji se tvore trokutasti kut.
Segment koji povezuje vrh tetraedra sa središtem suprotne strane naziva se medijan tetraedra(GM).
Bimedijan naziva segment koji spaja središta suprotnih rubova koji se ne dodiruju (KL).
Svi bimedijani i medijani tetraedra sijeku se u jednoj točki (S). U ovom slučaju bimedijane se dijele na pola, a medijane se dijele u omjeru 3:1 počevši od vrha.
Definicija. Oštrokutna piramida- piramida u kojoj je apotem duži od polovice stranice baze.
Definicija. Tupa piramida- piramida u kojoj je apotem manji od polovice duljine stranice baze.
Definicija. Pravilni tetraedar- tetraedar u kojem su sva četiri lica jednakostranični trokuti. To je jedan od pet pravilnih poligona. U pravilnom tetraedru svi diedarski kutovi (između ploha) i trokutni kutovi (u vrhu) su jednaki.
Definicija. Pravokutni tetraedar naziva se tetraedar u kojem između tri brida na vrhu (brdovi su okomiti) ima pravi kut. Formiraju se tri lica rectangular trokutasti kut a plohe su pravokutni trokuti, a baza je proizvoljan trokut. Apotem bilo kojeg lica jednak je polovici stranice baze na koju apotem pada.
Definicija. Izoedarski tetraedar naziva se tetraedar čije su bočne strane međusobno jednake, a baza je pravilan trokut. Takav tetraedar ima lica koja su jednakokračni trokuti.
Definicija. Ortocentrični tetraedar zove se tetraedar u kojem se sve visine (okomice) koje su s vrha spuštene na suprotnu plohu sijeku u jednoj točki.
Definicija. Zvjezdana piramida zove se poliedar čija je baza zvijezda.
Prilikom pripreme za jedinstveni državni ispit iz matematike, učenici moraju sistematizirati svoje znanje iz algebre i geometrije. Želio bih kombinirati sve poznate informacije, na primjer, o tome kako izračunati površinu piramide. Štoviše, počevši od baze i bočnih rubova do cijele površine. Ako je situacija s bočnim stranama jasna, budući da su trokuti, tada je baza uvijek drugačija.
Kako pronaći područje baze piramide?
To može biti apsolutno bilo koja figura: od proizvoljnog trokuta do n-kuta. A ta baza, osim razlike u broju kutova, može biti pravilan lik ili nepravilan. U zadacima Jedinstvenog državnog ispita koji zanimaju školarce postoje samo zadaci s točnim brojkama u osnovi. Stoga ćemo govoriti samo o njima.
Pravilni trokut
Odnosno, jednakostraničan. Ona u kojoj su sve strane jednake i označene slovom "a". U ovom slučaju, površina baze piramide izračunava se formulom:
S = (a 2 * √3) / 4.
Kvadrat
Formula za izračunavanje njegove površine je najjednostavnija, ovdje je "a" opet strana:
Proizvoljni pravilni n-kut
Stranica poligona ima istu oznaku. Za broj kutova koristi se latinično slovo n.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).
Što učiniti pri izračunu bočne i ukupne površine?
Budući da je baza pravilan lik, sva lica piramide su jednaka. Štoviše, svaki od njih je jednakokračan trokut, jer su bočni rubovi jednaki. Zatim, da biste izračunali bočnu površinu piramide, trebat će vam formula koja se sastoji od zbroja identičnih monoma. Broj članova određen je brojem stranica baze.
Površina jednakokračnog trokuta izračunava se formulom u kojoj se polovica umnoška baze množi s visinom. Ova visina u piramidi naziva se apotemom. Njegova oznaka je "A". Opća formula za bočnu površinu je:
S = ½ P*A, gdje je P opseg baze piramide.
Postoje situacije kada stranice baze nisu poznate, ali su zadani bočni bridovi (c) i ravni kut pri njezinu vrhu (α). Zatim morate koristiti sljedeću formulu za izračunavanje bočne površine piramide:
S = n/2 * u 2 sin α .
Zadatak br. 1
Stanje. Nađite ukupnu površinu piramide ako njezina baza ima stranicu 4 cm, a apotem ima vrijednost √3 cm.
Riješenje. Morate početi izračunavanjem perimetra baze. Budući da je ovo pravilan trokut, tada je P = 3 * 4 = 12 cm. Budući da je apotem poznat, možemo odmah izračunati površinu cijele bočne površine: ½ * 12 * √3 = 6√3 cm 2.
Za trokut u osnovi dobivate sljedeću vrijednost površine: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.
Da biste odredili cijelu površinu, morat ćete zbrojiti dvije dobivene vrijednosti: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Odgovor. 10√3 cm 2.
Problem br. 2
Stanje. Postoji pravilna četverokutna piramida. Duljina donje stranice je 7 mm, bočnog ruba 16 mm. Potrebno je saznati njegovu površinu.
Riješenje. Budući da je poliedar četverokutan i pravilan, baza mu je kvadrat. Nakon što saznate površinu baze i bočnih stranica, moći ćete izračunati površinu piramide. Formula za kvadrat je data gore. A za bočne strane poznate su sve strane trokuta. Stoga možete koristiti Heronovu formulu za izračunavanje njihovih površina.
Prvi izračuni su jednostavni i dovode do sljedećeg broja: 49 mm 2. Za drugu vrijednost morat ćete izračunati poluopseg: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Sada možete izračunati površinu jednakokračnog trokuta: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Postoje samo četiri takva trokuta, pa ćete ga pri izračunavanju konačnog broja morati pomnožiti s 4.
Ispada: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.
Odgovor. Željena vrijednost je 267,576 mm 2.
Problem br. 3
Stanje. Za pravilnu četverokutnu piramidu morate izračunati površinu. Poznato je da je stranica kvadrata 6 cm, a visina 4 cm.
Riješenje. Najlakši način je upotrijebiti formulu s umnoškom opsega i apoteme. Prvu vrijednost je lako pronaći. Drugi je malo kompliciraniji.
Morat ćemo se sjetiti Pitagorinog poučka i uzeti u obzir da se sastoji od visine piramide i apoteme, što je hipotenuza. Drugi krak je jednak polovici stranice kvadrata, budući da visina poliedra pada u njegovu sredinu.
Traženi apotem (hipotenuza pravokutnog trokuta) jednak je √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Sada možete izračunati traženu vrijednost: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).
Odgovor. 96 cm 2.
Problem broj 4
Stanje. Dana je točna stranica. Stranice njegove baze su 22 mm, bočni rubovi su 61 mm. Kolika je bočna površina ovog poliedra?
Riješenje. Obrazloženje u njemu je isto kao ono opisano u zadatku br. 2. Samo tamo je dana piramida s kvadratom u bazi, a sada je šesterokut.
Prije svega, osnovna površina izračunava se pomoću gornje formule: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.
Sada morate saznati poluopseg jednakokračnog trokuta, koji je bočna strana. (22+61*2):2 = 72 cm.Preostaje samo pomoću Heronove formule izračunati površinu svakog takvog trokuta, a zatim ga pomnožiti sa šest i dodati onom dobivenom za bazu.
Izračuni pomoću Heronove formule: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Izračuni koji će dati bočnu površinu: 660 * 6 = 3960 cm 2. Ostaje ih zbrojiti kako bismo saznali cijelu površinu: 5217,47≈5217 cm 2.
Odgovor. Baza je 726√3 cm2, bočna ploha 3960 cm2, cjelokupni oplošje 5217 cm2.
Koju figuru nazivamo piramidom? Prvo, to je poliedar. Drugo, u podnožju ovog poliedra nalazi se proizvoljni poligon, a stranice piramide (bočne strane) nužno imaju oblik trokuta koji se skupljaju na jednom zajedničkom vrhu. Sada, nakon što smo razumjeli pojam, saznajmo kako pronaći površinu piramide.
Jasno je da je površina takvog geometrijskog tijela sastavljena od zbroja površina baze i cijele njegove bočne površine.
Izračunavanje površine baze piramide
Odabir formule za izračun ovisi o obliku poligona ispod naše piramide. Može biti pravilan, odnosno sa stranicama iste duljine, ili nepravilan. Razmotrimo obje opcije.
Osnova je pravilan mnogokut
Iz školskog tečaja znamo:
- površina kvadrata bit će jednaka duljini kvadratne stranice;
- Površina jednakostraničnog trokuta jednaka je kvadratu njegove stranice podijeljenom s 4 i pomnoženom s kvadratnim korijenom iz tri.
Ali postoji i opća formula za izračunavanje površine bilo kojeg pravilnog poligona (Sn): trebate pomnožiti opseg ovog poligona (P) s polumjerom kruga upisanog u njega (r), a zatim podijeliti rezultat za dva: Sn=1/2P*r .
U osnovi je nepravilan poligon
Shema za pronalaženje njegove površine je prvo podijeliti cijeli poligon na trokute, izračunati površinu svakog od njih pomoću formule: 1/2a*h (gdje je a baza trokuta, h je visina spuštena na ovu bazu), zbrojite sve rezultate.
Bočna površina piramide
Sada izračunajmo površinu bočne površine piramide, tj. zbroj površina svih njegovih bočnih stranica. Ovdje također postoje 2 opcije.
- Neka imamo proizvoljnu piramidu, tj. jedan s nepravilnim poligonom u svojoj osnovi. Zatim biste trebali izračunati površinu svakog lica zasebno i zbrojiti rezultate. Budući da stranice piramide, po definiciji, mogu biti samo trokuti, izračun se provodi pomoću gore navedene formule: S=1/2a*h.
- Neka je naša piramida ispravna, tj. u njenoj osnovi leži pravilan poligon, a projekcija vrha piramide je u njenom središtu. Zatim, za izračunavanje površine bočne plohe (Sb), dovoljno je pronaći polovicu umnoška opsega osnovnog poligona (P) i visine (h) bočne strane (isto za sva lica ): Sb = 1/2 P*h. Opseg mnogokuta određuje se zbrajanjem duljina svih njegovih stranica.
Ukupna površina pravilne piramide nalazi se zbrajanjem površine njezine baze s površinom cijele bočne površine.
Primjeri
Na primjer, izračunajmo algebarski površine nekoliko piramida.
Površina trokutaste piramide
U osnovi takve piramide nalazi se trokut. Pomoću formule So=1/2a*h nalazimo površinu baze. Koristimo istu formulu za pronalaženje površine svakog lica piramide, koja također ima trokutasti oblik, i dobivamo 3 područja: S1, S2 i S3. Površina bočne površine piramide je zbroj svih površina: Sb = S1+ S2+ S3. Zbrajanjem površina stranica i baze dobivamo ukupnu površinu željene piramide: Sp= So+ Sb.
Površina četverokutne piramide
Površina bočne površine je zbroj 4 člana: Sb = S1+ S2+ S3+ S4, od kojih se svaki izračunava pomoću formule za površinu trokuta. A područje baze morat će se tražiti, ovisno o obliku četverokuta - pravilnom ili nepravilnom. Ukupna površina piramide opet se dobije zbrajanjem površine baze i ukupne površine date piramide.
Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.
Prikupljanje i korištenje osobnih podataka
Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.
Koje osobne podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne informacije, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu e-pošte itd.
Kako koristimo vaše osobne podatke:
- Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim stranama
Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.
Iznimke:
- Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela u Ruskoj Federaciji - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.
Zaštita osobnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke
Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.