Kako riješiti jednostavne logaritamske jednadžbe. Logaritamska jednadžba: osnovne formule i tehnike

Logaritamske jednadžbe. Od jednostavnog do složenog.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u posebnom odjeljku 555.
Za one koji su jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Što je logaritamska jednadžba?

Ovo je jednadžba s logaritmima. Iznenađen sam, zar ne?) Onda ću pojasniti. Ovo je jednadžba u kojoj se nalaze nepoznanice (x-ovi) i izrazi s njima unutar logaritama. I samo tamo! To je važno.

Evo nekoliko primjera logaritamske jednadžbe :

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x+1 (x 2 +3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Pa razumiješ... )

Bilješka! Smješteni su najrazličitiji izrazi s X-ovima isključivo unutar logaritama. Ako se iznenada X pojavi negdje u jednadžbi vani, Na primjer:

log 2 x = 3+x,

ovo će već biti jednadžba mješovitog tipa. Takve jednadžbe nemaju jasna pravila za rješavanje. Za sada ih nećemo razmatrati. Usput, postoje jednadžbe koje su unutar logaritma samo brojevi. Na primjer:

Što da kažem? Sretni ste ako naiđete na ovo! Logaritam s brojevima je neki broj. To je sve. Za rješavanje takve jednadžbe dovoljno je poznavati svojstva logaritama. Poznavanje posebnih pravila, tehnika prilagođenih posebno za rješavanje logaritamske jednadžbe, ovdje nije potrebno.

Tako, što je logaritamska jednadžba- shvatili smo.

Kako riješiti logaritamske jednadžbe?

Riješenje logaritamske jednadžbe- Stvar zapravo nije baš jednostavna. Dakle, naš dio je četvorka... Potrebna je pristojna količina znanja o svim vrstama povezanih tema. Osim toga, postoji posebnost u ovim jednadžbama. A ova značajka je toliko važna da se sa sigurnošću može nazvati glavnim problemom u rješavanju logaritamskih jednadžbi. Ovim problemom ćemo se detaljnije pozabaviti u sljedećoj lekciji.

Za sada ne brini. Ići ćemo pravim putem od jednostavnog prema složenom. Koristeći konkretne primjere. Glavna stvar je zadubiti se u jednostavne stvari i ne biti lijeni slijediti veze, stavio sam ih tamo s razlogom ... I sve će vam uspjeti. Obavezno.

Počnimo s najelementarnijim, najjednostavnijim jednadžbama. Da biste ih riješili, preporučljivo je imati ideju o logaritmu, ali ništa više. Jednostavno nemam pojma logaritam, donijeti odluku logaritamski jednadžbe - nekako čak i nespretne... Vrlo hrabro, rekao bih).

Najjednostavnije logaritamske jednadžbe.

Ovo su jednadžbe oblika:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

Proces rješenja bilo koja logaritamska jednadžba sastoji se u prijelazu s jednadžbe s logaritmima na jednadžbu bez njih. U najjednostavnijim jednadžbama ovaj prijelaz se izvodi u jednom koraku. Zato su najjednostavniji.)

A takve logaritamske jednadžbe je iznenađujuće lako riješiti. Uvjerite se sami.

Riješimo prvi primjer:

log 3 x = log 3 9

Da biste riješili ovaj primjer, ne morate znati gotovo ništa, da... Čista intuicija!) Što nam treba posebno ne sviđa vam se ovaj primjer? Što-što... Ne volim logaritme! Pravo. Zato ih se riješimo. Promotrimo primjer i u nama se javi prirodna želja... Pravo neodoljiva! Uzmite i potpuno izbacite logaritme. I ono što je dobro je to Limenkačini! Matematika dopušta. Logaritmi nestaju odgovor je:

Sjajno, zar ne? To se uvijek može (i treba) učiniti. Uklanjanje logaritama na ovaj način jedan je od glavnih načina rješavanja logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi. U matematici se ova operacija naziva potenciranje. Naravno, postoje pravila za takvu likvidaciju, ali ih je malo. Zapamtiti:

Možete bez straha eliminirati logaritme ako imaju:

a) iste brojčane baze

c) logaritmi s lijeva na desno su čisti (bez ikakvih koeficijenata) iu sjajnoj su izolaciji.

Dopustite mi da pojasnim posljednju točku. U jednadžbi, recimo

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

Logaritmi se ne mogu ukloniti. Dvojica s desne strane to ne dopuštaju. Koeficijent, znate... U primjeru

log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)

Također je nemoguće potencirati jednadžbu. Ne postoji usamljeni logaritam na lijevoj strani. Ima ih dvoje.

Ukratko, možete ukloniti logaritme ako jednadžba izgleda ovako i samo ovako:

log a (.....) = log a (.....)

U zagradama, tamo gdje je elipsa, može biti bilo kakvih izraza. Jednostavno, super složeno, svakakvih. Što god. Bitno je da nam nakon eliminacije logaritama ostaje jednostavnija jednadžba. Pretpostavlja se, naravno, da već znate riješiti linearne, kvadratne, frakcijske, eksponencijalne i druge jednadžbe bez logaritama.)

Sada možete lako riješiti drugi primjer:

log 7 (2x-3) = log 7 x

Zapravo, to se odlučuje u umu. Potenciramo, dobivamo:

Pa, je li jako teško?) Kao što vidite, logaritamski dio rješenja jednadžbe je samo u eliminaciji logaritama... I onda dolazi rješenje preostale jednadžbe bez njih. Beznačajna stvar.

Riješimo treći primjer:

log 7 (50x-1) = 2

Vidimo da je na lijevoj strani logaritam:

Podsjetimo se da je ovaj logaritam broj na koji se mora podići baza (tj. sedam) da bi se dobio sublogaritamski izraz, tj. (50x-1).

Ali ovaj broj je dva! Prema jednadžbi To je:

To je uglavnom sve. Logaritam nestao, Ono što ostaje je bezopasna jednadžba:

Riješili smo ovu logaritamsku jednadžbu samo na temelju značenja logaritma. Je li ipak lakše eliminirati logaritme?) Slažem se. Usput, ako napravite logaritam od dva, možete riješiti ovaj primjer eliminacijom. Bilo koji broj može se pretvoriti u logaritam. Štoviše, onako kako nam treba. Vrlo korisna tehnika u rješavanju logaritamskih jednadžbi i (osobito!) nejednadžbi.

Ne znate kako napraviti logaritam od broja!? U redu je. Odjeljak 555 detaljno opisuje ovu tehniku. Možete ga svladati i iskoristiti u potpunosti! To uvelike smanjuje broj grešaka.

Četvrta jednadžba se rješava na potpuno sličan način (po definiciji):

To je to.

Sažmimo ovu lekciju. Na primjerima smo pogledali rješavanje najjednostavnijih logaritamskih jednadžbi. Vrlo je važno. I ne samo zato što se takve jednadžbe pojavljuju na kolokvijima i ispitima. Činjenica je da se i najopakije i najkompliciranije jednadžbe nužno svode na najjednostavnije!

Zapravo, najjednostavnije jednadžbe su završni dio rješenja bilo koji jednadžbe. I ovaj završni dio treba shvatiti strogo! I dalje. Svakako pročitajte ovu stranicu do kraja. Tu je iznenađenje...)

Sada odlučujemo sami. Idemo bolje, da tako kažem...)

Pronađite korijen (ili zbroj korijena, ako ih ima više) jednadžbi:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0,5x-1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

log 2 (14x) = log 2 7 + 2

Odgovori (naravno u rasulu): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.

Što, ne ide sve? Događa se. ne brini! Odjeljak 555 objašnjava rješenje svih ovih primjera na jasan i detaljan način. Tamo ćeš to sigurno shvatiti. I također koristan praktične tehnike svladati to.

Sve je uspjelo!? Svi primjeri za "jedan lijevi"?) Čestitamo!

Vrijeme je da vam otkrijemo gorku istinu. Uspješno rješavanje ovih primjera ne jamči uspjeh u rješavanju svih ostalih logaritamskih jednadžbi. Čak i one najjednostavnije poput ovih. Jao.

Činjenica je da se rješenje bilo koje logaritamske jednadžbe (čak i najelementarnije!) sastoji od dva jednaka dijela. Rješavanje jednadžbe i rad s ODZ. Savladali smo jedan dio – rješavanje same jednadžbe. Nije tako teško pravo?

Za ovu sam lekciju posebno odabrao primjere u kojima DL ni na koji način ne utječe na odgovor. Ali nisu svi ljubazni kao ja, zar ne?...)

Stoga je imperativ savladati drugi dio. ODZ. Ovo je glavni problem u rješavanju logaritamskih jednadžbi. I ne zato što je težak - ovaj dio je još lakši od prvog. Ali zato ljudi jednostavno zaborave na ODZ. Ili ne znaju. Ili oboje). I padaju iz vedra neba...

U sljedećoj lekciji bavit ćemo se ovim problemom. Tada možete s pouzdanjem odlučiti bilo koji jednostavne logaritamske jednadžbe i pristupiti sasvim solidnim zadacima.

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Uvod

Logaritmi su izumljeni kako bi se ubrzali i pojednostavili izračuni. Ideja logaritma, odnosno ideja izražavanja brojeva kao potencija iste baze, pripada Mikhailu Stiefelu. Ali u Stiefelovo vrijeme matematika nije bila tako razvijena i ideja o logaritmu nije bila razvijena. Logaritme su kasnije simultano i neovisno jedan o drugom izumili škotski znanstvenik John Napier (1550.-1617.) i Švicarac Jobst Burgi (1552.-1632.) prvi je to djelo objavio 1614. godine. pod naslovom "Opis nevjerojatne tablice logaritama", Napierova teorija logaritama je dana u prilično cjelovitom svesku, metoda izračunavanja logaritama je dana najjednostavnija, stoga su Napierove zasluge u izumu logaritama bile veće od Bürgijevih. Bürgi je radio na stolovima u isto vrijeme kad i Napier, ali dugo vremena držao ih u tajnosti i objavio tek 1620. godine. Napier je ovladao idejom logaritma oko 1594. iako su tablice objavljene 20 godina kasnije. Isprva je svoje logaritme nazvao "umjetnim brojevima", a tek je onda predložio da se ti "umjetni brojevi" nazovu jednom riječju "logaritam", što u prijevodu s grčkog znači "korelirani brojevi", uzeti jedan iz aritmetičke progresije, a drugi iz geometrijska progresija posebno odabrana za to. Prve tablice na ruskom objavljene su 1703. godine. uz sudjelovanje divnog učitelja 18. stoljeća. L. F. Magnitskog. U razvoju teorije logaritama veliki značaj imala djela peterburškog akademika Leonharda Eulera. Bio je prvi koji je razmatrao logaritme kao obrnuto dizanje na potenciju; uveo je izraze "logaritamska baza" i "Briggsova tablica logaritama s bazom 10". Decimalne tablice su prikladnije za praktičnu upotrebu, njihova teorija je. jednostavniji od Napierovih logaritama. Stoga se decimalni logaritmi ponekad nazivaju Briggsovi logaritmi. Pojam "karakterizacija" uveo je Briggs.

U tim dalekim vremenima, kada su mudraci prvi put počeli razmišljati o jednakostima koje sadrže nepoznate količine, vjerojatno nije bilo kovanica ili novčanika. Ali bilo je hrpa, kao i lonaca i košara, koje su bile savršene za ulogu spremišta za pohranjivanje u koje je mogao stati nepoznat broj predmeta. U drevnim matematičkim problemima Mezopotamije, Indije, Kine, Grčke, nepoznate količine izražavale su broj paunova u vrtu, broj bikova u krdu i ukupnost stvari koje su se uzimale u obzir pri diobi imovine. Pisarci, službenici i inicirani dobro obučeni u znanosti o računima tajno znanje Svećenici su se vrlo uspješno nosili s takvim zadacima.

Izvori koji su došli do nas pokazuju da su drevni znanstvenici imali neke općenite tehnike za rješavanje problema s nepoznatim veličinama. Međutim, ni na jednom papirusu ili glinenoj pločici nema opisa ovih tehnika. Autori su svoje numeričke izračune samo povremeno opskrbili šturim komentarima poput: “Vidi!”, “Učini ovo!”, “Našao si pravog”. U tom smislu iznimka je "Aritmetika" grčkog matematičara Diofanta iz Aleksandrije (III. stoljeće) - zbirka problema za sastavljanje jednadžbi sa sustavnim prikazom njihovih rješenja.

Međutim, prvi priručnik za rješavanje problema koji je postao široko poznat djelo je bagdadskog znanstvenika iz 9. stoljeća. Muhammed bin Musa al-Khwarizmi. Riječ "al-jabr" iz arapskog naziva ove rasprave - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Knjiga obnove i suprotstavljanja") - vremenom se pretvorila u dobro poznatu riječ "algebra", a al- Sam Khwarizmijev rad poslužio je kao polazna točka u razvoju znanosti o rješavanju jednadžbi.

Logaritamske jednadžbe i nejednadžbe

1. Logaritamske jednadžbe

Jednadžba koja ispod predznaka logaritma ili u osnovi sadrži nepoznanicu naziva se logaritamska jednadžba.

Najjednostavnija logaritamska jednadžba je jednadžba oblika

log a x = b . (1)

Tvrdnja 1. Ako a > 0, a≠ 1, jednadžba (1) za bilo koju realnu b ima jedinstveno rješenje x = a b .

Primjer 1. Riješite jednadžbe:

a) dnevnik 2 x= 3, b) log 3 x= -1, c)

Riješenje. Koristeći izjavu 1, dobivamo a) x= 2 3 ili x= 8; b) x= 3 -1 ili x= 1/3; c)

Predstavimo osnovna svojstva logaritma.

P1. Osnovni logaritamski identitet:

Gdje a > 0, a≠ 1 i b > 0.

P2. Logaritam umnoška pozitivnih faktora jednak je zbroju logaritama ovih faktora:

log a N 1 · N 2 = log a N 1 + log a N 2 (a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Komentar. Ako N 1 · N 2 > 0, tada svojstvo P2 poprima oblik

log a N 1 · N 2 = log a |N 1 | + log a |N 2 | (a > 0, a ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).

P3. Logaritam kvocijenta dvaju pozitivnih brojeva jednak je razlici logaritama djelitelja i djelitelja.

Komentar. Ako

P4. Logaritam potencije pozitivnog broja jednak je umnošku eksponenta i logaritma tog broja:

log a N k = k log a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).

Komentar. Ako k- Parni broj ( k = 2s), To

log a N 2s = 2s log a |N | (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Formula za prelazak u drugu bazu:

posebice ako N = b, dobivamo

Koristeći svojstva P4 i P5, lako je dobiti sljedeća svojstva

i, ako je u (5) c- Parni broj ( c = 2n), javlja se

Nabrojimo glavna svojstva logaritamske funkcije f (x) = log a x :

1. Područje definiranja logaritamske funkcije je skup pozitivnih brojeva.

2. Raspon vrijednosti logaritamske funkcije je skup realnih brojeva.

3. Kada a> 1 logaritamska funkcija je strogo rastuća (0< x 1 < x 2log a x 1 < loga x 2), i na 0< a < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2log a x 1 > log a x 2).

4.log a 1 = 0 i log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. Ako a> 1, tada je logaritamska funkcija negativna kada x(0;1) i pozitivno pri x(1;+∞), a ako je 0< a < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) i negativan pri x (1;+∞).

6. Ako a> 1, tada je logaritamska funkcija konveksna prema gore, a ako a(0;1) - konveksno prema dolje.

Sljedeće izjave (vidi, na primjer,) koriste se pri rješavanju logaritamskih jednadžbi.

Primjeri:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Kako riješiti logaritamske jednadžbe:

Kada rješavate logaritamsku jednadžbu, trebali biste je nastojati transformirati u oblik \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), a zatim izvršiti prijelaz na \(f(x )=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Primjer:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Jako važno! Ovaj se prijelaz može izvršiti samo ako:

Napisali ste za izvornu jednadžbu, a na kraju ćete provjeriti jesu li pronađene uključene u DL. Ako se to ne učini, mogu se pojaviti dodatni korijeni, što znači pogrešnu odluku.

Broj (ili izraz) s lijeve i desne strane je isti;

Logaritmi s lijeve i desne strane su "čisti", odnosno ne bi trebalo biti množenja, dijeljenja itd. – samo pojedinačni logaritmi s obje strane znaka jednakosti.

Na primjer:

Imajte na umu da se jednadžbe 3 i 4 mogu jednostavno riješiti primjenom potrebnih svojstava logaritama.

Primjer . Riješite jednadžbu \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

Riješenje :

Odgovor : \(5\)

Primjer : Riješite jednadžbu \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

Riješenje :

Odgovor : \(4\); \(2\).

Kao što znate, kod množenja izraza s potencijama, njihovi eksponenti uvijek se zbrajaju (a b *a c = a b+c). Taj je matematički zakon izveo Arhimed, a kasnije, u 8. stoljeću, matematičar Virasen izradio je tablicu cjelobrojnih eksponenata. Upravo su oni poslužili za daljnje otkriće logaritama. Primjeri korištenja ove funkcije mogu se naći gotovo posvuda gdje trebate pojednostaviti glomazno množenje jednostavnim zbrajanjem. Ako provedete 10 minuta čitajući ovaj članak, objasnit ćemo vam što su logaritmi i kako s njima raditi. Jednostavnim i pristupačnim jezikom.

Definicija u matematici

Logaritam je izraz sljedećeg oblika: log a b=c, to jest, logaritam bilo kojeg nenegativnog broja (to jest, bilo kojeg pozitivnog) "b" na njegovu bazu "a" smatra se potencijom "c ” na koju se mora podići baza “a” da bi se u konačnici dobila vrijednost “b”. Analizirajmo logaritam koristeći primjere, recimo da postoji izraz log 2 8. Kako pronaći odgovor? Vrlo je jednostavno, trebate pronaći takvu potenciju da od 2 do tražene potencije dobijete 8. Nakon što malo izračunate u glavi, dobivamo broj 3! I to je istina, jer 2 na potenciju 3 daje odgovor kao 8.

Vrste logaritama

Za mnoge učenike i studente ova se tema čini kompliciranom i nerazumljivom, ali zapravo logaritmi nisu tako strašni, glavna stvar je razumjeti njihovo opće značenje i zapamtiti njihova svojstva i neka pravila. Postoje tri odvojene vrste logaritamskih izraza:

1. Prirodni logaritam ln a, gdje je baza Eulerov broj (e = 2,7).
2. Decimala a, gdje je baza 10.
3. Logaritam bilo kojeg broja b na bazu a>1.

Svaki od njih rješava se na standardni način, uključujući pojednostavljenje, redukciju i naknadnu redukciju na jedan logaritam pomoću logaritamskih teorema. Da biste dobili točne vrijednosti logaritama, trebali biste se sjetiti njihovih svojstava i slijeda radnji prilikom njihovog rješavanja.

Pravila i neka ograničenja

U matematici postoji nekoliko pravila-ograničenja koja su prihvaćena kao aksiom, odnosno nisu predmet rasprave i istinita su. Na primjer, nemoguće je podijeliti brojeve s nulom, a također je nemoguće izvući parni korijen negativnih brojeva. Logaritmi također imaju svoja pravila, nakon kojih možete lako naučiti raditi čak i s dugim i prostranim logaritamskim izrazima:

• Baza "a" uvijek mora biti veća od nule, a ne jednaka 1, inače će izraz izgubiti svoje značenje, jer su "1" i "0" u bilo kojem stupnju uvijek jednake svojim vrijednostima;
• ako je a > 0, tada je a b >0, ispada da i “c” mora biti veće od nule.

Kako riješiti logaritme?

Na primjer, dan je zadatak pronaći odgovor na jednadžbu 10 x = 100. To je vrlo jednostavno, potrebno je odabrati potenciju dizanjem broja deset na koji dobijemo 100. To je, naravno, 10 2 = 100.

Sada predstavimo ovaj izraz u logaritamskom obliku. Dobivamo log 10 100 = 2. Kod rješavanja logaritama sve radnje praktički konvergiraju da se nađe potencija kojoj je potrebno unijeti bazu logaritma da bi se dobio zadani broj.

Da biste točno odredili vrijednost nepoznatog stupnja, morate naučiti kako raditi s tablicom stupnjeva. Ovako izgleda:

Kao što vidite, neke eksponente možete pogoditi intuitivno ako imate tehnički um i znanje o tablici množenja. Međutim, za veće vrijednosti trebat će vam tablica snage. Mogu ga koristiti čak i oni koji ne znaju baš ništa o složenim matematičkim temama. Lijevi stupac sadrži brojeve (baza a), gornji red brojeva je vrijednost potencije c na koju je podignut broj a. Na raskrižju ćelije sadrže brojčane vrijednosti koje su odgovor (a c =b). Uzmimo, na primjer, prvu ćeliju s brojem 10 i kvadriramo je, dobivamo vrijednost 100, koja je naznačena na sjecištu naše dvije ćelije. Sve je tako jednostavno i lako da će i najveći humanist razumjeti!

Jednadžbe i nejednadžbe

Ispada da je pod određenim uvjetima eksponent logaritam. Stoga se svaki matematički numerički izraz može napisati kao logaritamska jednakost. Na primjer, 3 4 =81 može se napisati kao logaritam baze 3 od 81 jednak četiri (log 3 81 = 4). Za negativne potencije pravila su ista: 2 -5 = 1/32 zapisujemo kao logaritam, dobivamo log 2 (1/32) = -5. Jedan od najfascinantnijih dijelova matematike je tema "logaritmi". U nastavku ćemo pogledati primjere i rješenja jednadžbi, odmah nakon proučavanja njihovih svojstava. Sada pogledajmo kako nejednadžbe izgledaju i kako ih razlikovati od jednadžbi.

Zadan je sljedeći izraz: log 2 (x-1) > 3 - to je logaritamska nejednakost, budući da je nepoznata vrijednost “x” ispod logaritamskog znaka. Također se u izrazu uspoređuju dvije količine: logaritam željenog broja na osnovicu dva veći je od broja tri.

Najvažnija razlika između logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi je u tome što jednadžbe s logaritmima (npr. logaritam 2 x = √9) podrazumijevaju jedan ili više konkretnih odgovora. brojčane vrijednosti, dok se pri rješavanju nejednadžbe određuje i raspon dopuštenih vrijednosti i prijelomne točke ove funkcije. Kao posljedica toga, odgovor nije jednostavan skup pojedinačnih brojeva, kao u odgovoru na jednadžbu, već kontinuirani niz ili skup brojeva.

Osnovni teoremi o logaritmima

Prilikom rješavanja primitivnih zadataka pronalaženja vrijednosti logaritma, njegova svojstva možda neće biti poznata. Međutim, kada su u pitanju logaritamske jednadžbe ili nejednadžbe, prije svega, potrebno je jasno razumjeti i u praksi primijeniti sva osnovna svojstva logaritama. Kasnije ćemo pogledati primjere jednadžbi; pogledajmo svako svojstvo detaljnije.

1. Glavni identitet izgleda ovako: a logaB =B. Primjenjuje se samo kada je a veće od 0, nije jednako jedan, a B je veće od nule.
2. Logaritam umnoška može se prikazati sljedećom formulom: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. U ovom slučaju, obavezni uvjet je: d, s 1 i s 2 > 0; a≠1. Možete dati dokaz za ovu logaritamsku formulu, s primjerima i rješenjem. Neka je log a s 1 = f 1 i log a s 2 = f 2, tada je a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dobivamo da je s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (svojstva od stupnjeva ), a zatim po definiciji: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, što je i trebalo dokazati.
3. Logaritam kvocijenta izgleda ovako: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorem u obliku formule preuzima sljedeći pogled: log a q b n = n/q log a b.

Ova se formula naziva "svojstvo stupnja logaritma". Sliči svojstvima običnih stupnjeva, što i ne čudi, jer se sva matematika temelji na prirodnim postulatima. Pogledajmo dokaz.

Neka je log a b = t, ispada da je a t =b. Podignemo li oba dijela na potenciju m: a tn = b n ;

ali budući da je a tn = (a q) nt/q = b n, stoga je log a q b n = (n*t)/t, tada je log a q b n = n/q log a b. Teorem je dokazan.

Primjeri problema i nejednakosti

Najčešći tipovi zadataka o logaritmima su primjeri jednadžbi i nejednadžbi. Nalaze se u gotovo svim knjigama zadataka, a također su obavezan dio ispita iz matematike. Da biste ušli na sveučilište ili položili prijemni ispit iz matematike, morate znati kako ispravno riješiti takve zadatke.

Nažalost, ne postoji jedinstveni plan ili shema rješavanja i utvrđivanja nepoznata vrijednost Logaritam ne postoji, ali se određena pravila mogu primijeniti na svaku matematičku nejednadžbu ili logaritamsku jednadžbu. Prije svega, trebali biste saznati može li se izraz pojednostaviti ili dovesti do Opća pojava. Duge logaritamske izraze možete pojednostaviti ako ispravno koristite njihova svojstva. Brzo ih upoznajmo.

Kada rješavamo logaritamske jednadžbe, moramo odrediti koju vrstu logaritma imamo: primjer izraza može sadržavati prirodni logaritam ili decimalni.

Evo primjera ln100, ln1026. Njihovo se rješenje svodi na to da trebaju odrediti potenciju kojoj će baza 10 biti jednaka 100, odnosno 1026. Za rješavanje prirodnih logaritama morate primijeniti logaritamske identitete ili njihova svojstva. Pogledajmo primjere rješavanja logaritamskih problema raznih vrsta.

Kako koristiti logaritamske formule: s primjerima i rješenjima

Dakle, pogledajmo primjere korištenja osnovnih teorema o logaritmima.

1. Svojstvo logaritma umnoška može se koristiti u zadacima gdje je potrebno veliku vrijednost broja b rastaviti na jednostavnije faktore. Na primjer, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odgovor je 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kao što vidite, koristeći četvrto svojstvo potencije logaritma uspjeli smo riješiti naizgled složen i nerješiv izraz. Samo trebate faktorizirati bazu, a zatim uzeti vrijednosti eksponenta iz znaka logaritma.

Zadaci s jedinstvenog državnog ispita

Logaritmi se često nalaze na prijemnim ispitima, osobito mnogi logaritamski problemi na Jedinstvenom državnom ispitu ( Državni ispit za sve maturante). Obično su ovi zadaci prisutni ne samo u dijelu A (najlakši ispitni dio ispita), već i u dijelu C (najsloženiji i najobimniji zadaci). Ispit zahtijeva točno i savršeno poznavanje teme “Prirodni logaritmi”.

Primjeri i rješenja problema preuzeti su sa službenih Mogućnosti jedinstvenog državnog ispita. Pogledajmo kako se takvi zadaci rješavaju.

Zadani je log 2 (2x-1) = 4. Rješenje:
prepišimo izraz, malo ga pojednostavimo log 2 (2x-1) = 2 2, po definiciji logaritma dobivamo da je 2x-1 = 2 4, dakle 2x = 17; x = 8,5.

• Najbolje je svesti sve logaritme na istu bazu kako rješenje ne bi bilo glomazno i ​​zbunjujuće.
• Svi izrazi pod znakom logaritma označeni su kao pozitivni, stoga, kada se eksponent izraza koji je pod znakom logaritma i kao njegova baza izuzme kao množitelj, izraz koji ostaje ispod logaritma mora biti pozitivan.