Pojam upisanog i središnjeg kuta
Uvedimo najprije pojam središnjeg kuta.
Napomena 1
Imajte na umu da stupnjevna mjera središnjeg kuta jednaka je stupnjskoj mjeri luka na kojemu se nalazi.
Uvedimo sada pojam upisanog kuta.
Definicija 2
Kut čiji vrh leži na kružnici i čije stranice sijeku istu kružnicu nazivamo upisanim kutom (slika 2).
Slika 2. Upisani kut
Teorem o upisanom kutu
Teorem 1
Stupanjska mjera upisanog kuta jednaka je polovici stupnjevne mjere luka na kojem leži.
Dokaz.
Neka nam je dana kružnica sa središtem u točki $O$. Označimo pripisani kut $ACB$ (sl. 2). Moguća su sljedeća tri slučaja:
- Zraka $CO$ podudara se s bilo kojom stranom kuta. Neka to bude stranica $CB$ (sl. 3).
Slika 3.
U ovom slučaju, luk $AB$ manji je od $(180)^(()^\circ )$, stoga je središnji kut $AOB$ jednak luku $AB$. Kako je $AO=OC=r$, onda je trokut $AOC$ jednakokračan. To znači da su bazni kutovi $CAO$ i $ACO$ međusobno jednaki. Prema teoremu o vanjskom kutu trokuta imamo:
- Greda $CO$ dijeli unutarnji kut u dva kuta. Neka siječe krug u točki $D$ (slika 4).
Slika 4.
Dobivamo
- Zraka $CO$ ne dijeli unutarnji kut na dva kuta i ne podudara se ni s jednom njegovom stranom (slika 5).
Slika 5.
Razmotrimo odvojeno kutove $ACD$ i $DCB$. Prema dokazanom u točki 1. dobivamo
Dobivamo
Teorem je dokazan.
Dajmo posljedice iz ove teoreme.
Korolar 1: Upisani kutovi koji počivaju na istom luku međusobno su jednaki.
Korolar 2: Upisani kut koji spaja promjer je pravi kut.
Pojam upisanog i središnjeg kuta
Uvedimo najprije pojam središnjeg kuta.
Napomena 1
Imajte na umu da stupnjevna mjera središnjeg kuta jednaka je stupnjskoj mjeri luka na kojemu se nalazi.
Uvedimo sada pojam upisanog kuta.
Definicija 2
Kut čiji vrh leži na kružnici i čije stranice sijeku istu kružnicu nazivamo upisanim kutom (slika 2).
Slika 2. Upisani kut
Teorem o upisanom kutu
Teorem 1
Stupanjska mjera upisanog kuta jednaka je polovici stupnjevne mjere luka na kojem leži.
Dokaz.
Neka nam je dana kružnica sa središtem u točki $O$. Označimo pripisani kut $ACB$ (sl. 2). Moguća su sljedeća tri slučaja:
- Zraka $CO$ podudara se s bilo kojom stranom kuta. Neka to bude stranica $CB$ (sl. 3).
Slika 3.
U ovom slučaju, luk $AB$ manji je od $(180)^(()^\circ )$, stoga je središnji kut $AOB$ jednak luku $AB$. Kako je $AO=OC=r$, onda je trokut $AOC$ jednakokračan. To znači da su bazni kutovi $CAO$ i $ACO$ međusobno jednaki. Prema teoremu o vanjskom kutu trokuta imamo:
- Zraka $CO$ dijeli unutarnji kut na dva kuta. Neka siječe krug u točki $D$ (sl. 4).
Slika 4.
Dobivamo
- Zraka $CO$ ne dijeli unutarnji kut na dva kuta i ne podudara se ni s jednom njegovom stranom (slika 5).
Slika 5.
Razmotrimo odvojeno kutove $ACD$ i $DCB$. Prema dokazanom u točki 1. dobivamo
Dobivamo
Teorem je dokazan.
Dajmo posljedice iz ove teoreme.
Korolar 1: Upisani kutovi koji počivaju na istom luku međusobno su jednaki.
Korolar 2: Upisani kut koji spaja promjer je pravi kut.
\[(\Veliki(\tekst(Središnji i upisani kutovi)))\]
Definicije
Središnji kut je kut čiji vrh leži u središtu kružnice.
Upisani kut je kut čiji vrh leži na kružnici.
Mjera stupnja kružnog luka je mjera stupnja središnjeg kuta koji ga spaja.
Teorema
Stupanjska mjera upisanog kuta jednaka je polovici stupnjevne mjere luka na kojem leži.
Dokaz
Dokaz ćemo provesti u dvije faze: prvo ćemo dokazati valjanost tvrdnje za slučaj kada jedna od stranica upisanog kuta sadrži promjer. Neka je točka \(B\) vrh upisanog kuta \(ABC\), a \(BC\) promjer kružnice:
Trokut \(AOB\) je jednakokračan, \(AO = OB\) , \(\kut AOC\) je vanjski, tada \(\kut AOC = \kut OAB + \kut ABO = 2\kut ABC\), gdje \(\kut ABC = 0,5\cdot\kut AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).
Sada razmotrite proizvoljni upisani kut \(ABC\) . Nacrtajmo promjer kružnice \(BD\) iz vrha upisanog kuta. Dva su moguća slučaja:
1) promjer siječe kut na dva kuta \(\kut ABD, \kut CBD\) (za svaki od njih je teorem točan kao što je gore dokazano, stoga je točan i za izvorni kut, koji je zbroj ovih dva i prema tome jednaka polovici zbroja lukova na koje se oslanjaju, odnosno jednaka polovici luka na koji se oslanja). Riža. 1.
2) promjer nije prerezao kut na dva kuta, tada imamo još dva nova upisana kuta \(\kut ABD, \kut CBD\), čija stranica sadrži promjer, dakle, za njih vrijedi teorem, tada je vrijedi i za izvorni kut (koji je jednak razlici ta dva kuta, što znači da je jednak polurazlici lukova na koje se oslanjaju, odnosno jednak polovici luka na kojem počiva) . Riža. 2.
Posljedice
1. Upisani kutovi koji spajaju isti luk su jednaki.
2. Upisani kut koji zahvata polukrug je pravi kut.
3. Upisani kut jednak je polovici središnjeg kuta kojeg spaja isti luk.
\[(\Large(\text(Tangenta na krug)))\]
Definicije
Postoje tri vrste relativni položaj pravac i krug:
1) pravac \(a\) siječe kružnicu u dvije točke. Takav se pravac naziva sekantom. U ovom slučaju, udaljenost \(d\) od središta kružnice do ravne crte manja je od polumjera \(R\) kružnice (slika 3).
2) pravac \(b\) siječe krug u jednoj točki. Takav se pravac naziva tangenta, a njihova zajednička točka \(B\) naziva se dodirna točka. U ovom slučaju \(d=R\) (slika 4).
Teorema
1. Tangenta na kružnicu je okomita na polumjer povučen u točku dodirivanja.
2. Ako linija prolazi kroz kraj polumjera kružnice i okomita je na taj polumjer, tada je tangenta na kružnicu.
Posljedica
Tangentni segmenti povučeni iz jedne točke na kružnicu su jednaki.
Dokaz
Povucimo dvije tangente \(KA\) i \(KB\) na kružnicu iz točke \(K\):
To znači da su \(OA\perp KA, OB\perp KB\) poput radijusa. Pravokutni trokuti\(\trokut KAO\) i \(\trokut KBO\) jednaki su po kateti i hipotenuzi, dakle \(KA=KB\) .
Posljedica
Središte kružnice \(O\) leži na simetrali kuta \(AKB\) kojeg tvore dvije tangente povučene iz iste točke \(K\).
\[(\Large(\text(Teoremi koji se odnose na kutove)))\]
Teorem o kutu između sekanti
Kut između dviju sekanti povučenih iz iste točke jednak je polurazlici stupnjeva stupnjeva većeg i manjeg luka koje sijeku.
Dokaz
Neka \(M\) bude točka iz koje su povučene dvije sekante kao što je prikazano na slici:
Pokažimo to \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).
\(\kut DAB\) je vanjski kut trokuta \(MAD\), dakle \(\kut DAB = \kut DMB + \kut MDA\), gdje \(\kut DMB = \kut DAB - \kut MDA\), ali su kutovi \(\kut DAB\) i \(\kut MDA\) upisani, tada \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), što je i trebalo dokazati.
Teorem o kutu između tetiva koje se sijeku
Kut između dviju tetiva koje se sijeku jednak je polovici zbroja stupnjeva lukova koje oni sijeku: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\desno)\]
Dokaz
\(\kut BMA = \kut CMD\) kao okomiti.
Iz trokuta \(AMD\): \(\kut AMD = 180^\circ - \kut BDA - \kut CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).
Ali \(\kut AMD = 180^\krug - \kut CMD\), iz čega zaključujemo da \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ osmijeh\preko(CD)).\]
Teorem o kutu između tetive i tangente
Kut između tangente i tetive koja prolazi kroz točku dodirivanja jednak je polovici stupnjeve mjere luka obuhvaćenog tetivom.
Dokaz
Neka pravac \(a\) dodiruje kružnicu u točki \(A\), \(AB\) je tetiva te kružnice, \(O\) je njezino središte. Neka pravac koji sadrži \(OB\) siječe \(a\) u točki \(M\) . Dokažimo to \(\kut BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).
Označimo \(\kut OAB = \alpha\) . Budući da su \(OA\) i \(OB\) radijusi, tada \(OA = OB\) i \(\kut OBA = \kut OAB = \alfa\). Tako, \(\buildrel\smile\over(AB) = \kut AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).
Budući da je \(OA\) polumjer povučen na tangentnu točku, tada \(OA\perp a\), to jest \(\kut OAM = 90^\circ\), prema tome, \(\kut BAM = 90^\circ - \kut OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).
Teorem o lukovima spojenim jednakim tetivama
Jednake tetive spajaju jednake lukove manje od polukrugova.
I obrnuto: jednake lukove spajaju jednake tetive.
Dokaz
1) Neka \(AB=CD\) . Dokažimo da su manje polukružnice luka .
Na tri strane, dakle, \(\kut AOB=\kut COD\) . Ali zbog \(\kut AOB, \kut COD\) - središnji kutovi oslonjeni na lukove \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) prema tome, dakle \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).
2) Ako \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), To \(\trokut AOB=\trokut COD\) na dvije stranice \(AO=BO=CO=DO\) i kut između njih \(\kut AOB=\kut COD\) . Prema tome, i \(AB=CD\) .
Teorema
Ako radijus raspolavlja tetivu, onda je okomit na nju.
Vrijedi i obrnuto: ako je radijus okomit na tetivu, tada je u točki presjeka prepolovljuje.
Dokaz
1) Neka \(AN=NB\) . Dokažimo da je \(OQ\perp AB\) .
Razmotrite \(\trokut AOB\) : jednakokračan je, jer \(OA=OB\) – polumjeri kružnice. Jer \(ON\) je medijan povučen na bazu, onda je to također i visina, dakle, \(ON\perp AB\) .
2) Neka \(OQ\perp AB\) . Dokažimo da je \(AN=NB\) .
Slično, \(\trokut AOB\) je jednakokračan, \(ON\) je visina, dakle, \(\ON\) je medijan. Prema tome, \(AN=NB\) .
\[(\Large(\text(Teoremi koji se odnose na duljine segmenata)))\]
Teorem o umnošku odsječaka tetive
Ako se dvije tetive kružnice sijeku, tada je umnožak odsječaka jedne tetive jednak umnošku odsječaka druge tetive.
Dokaz
Neka se tetive \(AB\) i \(CD\) sijeku u točki \(E\) .
Razmotrimo trokute \(ADE\) i \(CBE\) . U tim su trokutima kutovi \(1\) i \(2\) jednaki jer su upisani i počivaju na istom luku \(BD\), a kutovi \(3\) i \(4\) su jednaki kao okomiti. Trokuti \(ADE\) i \(CBE\) su slični (na temelju prvog kriterija sličnosti trokuta).
Zatim \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), odakle \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .
Teorem tangente i sekante
Kvadrat tangente jednak je umnošku sekante i njezinog vanjskog dijela.
Dokaz
Neka tangenta prolazi kroz točku \(M\) i dodiruje kružnicu u točki \(A\) . Neka sekanta prolazi točkom \(M\) i siječe kružnicu u točkama \(B\) i \(C\) tako da je \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Razmotrimo trokute \(MBA\) i \(MCA\) : \(\kut M\) je zajednički, \(\kut BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Prema teoremu o kutu između tangente i sekante, \(\kut BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \kut BCA\). Dakle, trokuti \(MBA\) i \(MCA\) slični su pod dva kuta.
Iz sličnosti trokuta \(MBA\) i \(MCA\) imamo: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), što je ekvivalentno \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Posljedica
Umnožak sekante povučene iz točke \(O\) s njezinim vanjskim dijelom ne ovisi o izboru sekante povučene iz točke \(O\) .
Središnji kut je kut čiji je vrh u središtu kružnice.
Upisani kut- kut čiji vrh leži na kružnici i čije stranice je sijeku.
Na slici su prikazani središnji i upisani kutovi te njihova najvažnija svojstva.
Tako, veličina središnjeg kuta jednaka je kutnoj veličini luka na kojem leži. To znači da će središnji kut od 90 stupnjeva počivati na luku jednakom 90°, odnosno kružnici. Središnji kut, jednak 60°, počiva na luku od 60 stupnjeva, odnosno na šestom dijelu kružnice.
Veličina upisanog kuta je dva puta manja od središnjeg kuta koji se temelji na istom luku.
Također, za rješavanje problema trebat će nam koncept "akorda".
Jednaki središnji kutovi spajaju jednake tetive.
1. Koliki je upisani kut spojen s promjerom kružnice? Odgovorite u stupnjevima.
Upisani kut spojen s promjerom je pravi kut.
2. Središnji kut je za 36° veći od šiljasto upisanog kuta kojeg spaja isti kružni luk. Nađi upisani kut. Odgovorite u stupnjevima.
Neka je središnji kut jednak x, a upisani kut koji spaja isti luk jednak y.
Znamo da je x = 2y.
Stoga je 2y = 36 + y,
y = 36.
3. Polumjer kružnice jednak je 1. Odredite vrijednost tupog upisanog kuta zahvaćenog tetivom, jednaku . Odgovorite u stupnjevima.
Neka je tetiva AB jednaka . Tupi upisani kut koji spaja ova tetiva označit ćemo s α.
U trokutu AOB stranice AO i OB jednake su 1, stranica AB jednaka je . Već smo se susreli s takvim trokutima. Očito je trokut AOB pravokutan i jednakokračan, odnosno kut AOB iznosi 90°.
Tada je luk ACB jednak 90°, a luk AKB jednak 360° - 90° = 270°.
Upisani kut α naliježe na luk AKB i jednak je polovici kutne vrijednosti tog luka, odnosno 135°.
Odgovor: 135.
4. Tetiva AB dijeli kružnicu na dva dijela čije su vrijednosti stupnjeva u omjeru 5:7. Pod kojim se kutom ta tetiva vidi iz točke C, koja pripada manjem luku kružnice? Odgovorite u stupnjevima.
Glavna stvar u ovom zadatku je ispravno crtanje i razumijevanje uvjeta. Kako razumijete pitanje: "Pod kojim kutom je tetiva vidljiva iz točke C?"
Zamislite da sjedite u točki C i trebate vidjeti sve što se događa na tetivi AB. Kao da je akord AB ekran u kinu :-)
Očito, morate pronaći kut ACB.
Zbroj dvaju lukova na koje tetiva AB dijeli krug jednak je 360°, tj.
5x + 7x = 360°
Odatle je x = 30°, a tada se upisani kut ACB oslanja na luk jednak 210°.
Veličina upisanog kuta jednaka je polovici kutne veličine luka na kojem leži, što znači da je kut ACB jednak 105°.
Središnji kut- je kut koji čine dva radijusa krug. Primjer središnjeg kuta je kut AOB, BOC, COE i tako dalje.
OKO središnji kut I luk sklopljeni između njegovih strana kažu da su dopisivati se jedni druge.
1. ako središnji kutovi lukovi su jednaki.
2. ako središnji kutovi nisu jednaki, tada veći od njih odgovara većem luk.
Neka su AOB i COD dva središnji kutovi, jednaki ili nejednaki. Zarotirajmo sektor AOB oko središta u smjeru strelice, tako da se radijus OA podudara s OC. Zatim, ako su središnji kutovi jednaki, tada će se polumjer OA podudarati s lukom OD, a luk AB s lukom CD. .
To znači da će ti lukovi biti jednaki.
Ako središnji kutovi nisu jednaki, tada radijus OB neće ići duž OD, već u nekom drugom smjeru, na primjer, duž OE ili OF. U oba slučaja, veći kut očito odgovara većem luku.
Teorem koji smo dokazali za jedan krug ostaje istinit za jednaki krugovi, jer se takvi krugovi međusobno ne razlikuju ni po čemu osim po položaju.
Obrnute ponude također će biti istina . U jednom krugu ili u jednakim krugovima:
1. ako lukovi su jednaki, onda im odgovaraju središnji kutovi su jednaki.
2. ako lukovi nisu jednaki, tada veći od njih odgovara većem središnji kut.
U jednoj kružnici ili jednakim kružnicama središnji kutovi međusobno se odnose kao odgovarajući lukovi. Ili parafrazirajući, dobivamo središnji kut proporcionalan luk koji mu odgovara.