Simetrala trokuta dijeli suprotnu stranicu u omjeru. Simetrala trokuta i njezina svojstva

Simetrala trokuta je isječak koji kut trokuta dijeli na dva jednaka kuta. Na primjer, ako je kut trokuta 120 0, tada ćemo crtanjem simetrale konstruirati dva kuta od po 60 0.

A kako u trokutu postoje tri kuta, mogu se povući tri simetrale. Svi oni imaju jednu graničnu točku. Ova točka je središte kružnice upisane u trokut. Na drugi način, ovo sjecište se naziva središtem upisa trokuta.

Kad se sijeku dvije simetrale unutarnjeg i vanjskog kuta, dobije se kut od 90 0 . Vanjski kut u trokutu je kut koji graniči s unutarnjim kutom trokuta.

Riža. 1. Trokut koji sadrži 3 simetrale

Simetrala dijeli suprotnu stranicu na dva segmenta koji su povezani stranicama:

$$(CL\nad(LB)) = (AC\nad(AB))$$

Simetrale su jednako udaljene od stranica kuta, što znači da su jednako udaljene od stranica kuta. To jest, ako iz bilo koje točke simetrale spustimo okomice na svaku od stranica kuta trokuta, tada će te okomice biti jednake.

Ako iz jednog vrha povučete središnju, simetralu i visinu, tada će središnja biti najduži segment, a visina najkraći.

Neka svojstva simetrale

U pojedinim vrstama trokuta simetrala ima posebna svojstva. To se prije svega odnosi na jednakokračni trokut. Ova figura ima dvije identične strane, a treća se naziva baza.

Ako povučete simetralu iz vrha kuta jednakokračnog trokuta na osnovicu, tada će ona imati svojstva i visine i medijane. Prema tome, duljina simetrale podudara se s duljinom medijane i visine.

Definicije:

• Visina- okomica povučena iz vrha trokuta na suprotnu stranicu.
• Medijan– isječak koji spaja vrh trokuta i sredinu suprotne stranice.

Riža. 2. Simetrala u jednakokračnom trokutu

To vrijedi i za jednakostranični trokut, odnosno trokut u kojem su sve tri stranice jednake.

Primjer zadatka

U trokutu ABC: BR je simetrala s AB = 6 cm, BC = 4 cm i RC = 2 cm. Oduzmite duljinu treće stranice.

Riža. 3. Simetrala u trokutu

Riješenje:

Simetrala dijeli stranicu trokuta u određenom omjeru. Iskoristimo ovu proporciju i izrazimo AR. Tada ćemo pronaći duljinu treće stranice kao zbroj odsječaka na koje je tu stranicu podijelila simetrala.

• $(AB\nad(BC)) = (AR\nad(RC))$
• $RC=(6\preko(4))*2=3 cm$

Tada je cijeli segment AC = RC+ AR

AC = 3+2=5 cm.

Ukupno primljenih ocjena: 107.

Što je simetrala kuta trokuta? Na ovo pitanje, poznati štakor koji trči po uglovima i dijeli ugao na pola izlazi iz usta nekih ljudi." Ako bi odgovor trebao biti "duhovit", onda je možda točan. Ali sa znanstvenog gledišta gledišta, odgovor na ovo pitanje trebao bi biti: nešto poput ovoga: počevši od vrha kuta i dijeleći ga na dva jednaka dijela." U geometriji se ovaj lik također percipira kao segment simetrale sve dok se ne siječe sa suprotnom stranom trokuta. Ovo nije zabluda. Što se još zna o simetrali kuta, osim njezine definicije?

Kao i svako geometrijsko mjesto točaka, ima svoje karakteristike. Prvi od njih nije čak ni znak, već teorem, koji se može ukratko izraziti na sljedeći način: "Ako je strana nasuprot njoj podijeljena na dva dijela simetralom, tada će njihov omjer odgovarati omjeru stranice velikog trokuta«.

Drugo svojstvo koje ima: točka presjeka simetrala svih kutova naziva se središte upisa.

Treći znak: simetrale jednog unutarnjeg i dva vanjska kuta trokuta sijeku se u središtu jedne od triju upisanih kružnica.

Četvrto svojstvo simetrale kuta trokuta je da ako je svaki od njih jednak, onda je potonji jednakokračan.

Peti znak također se odnosi na jednakokračni trokut i glavna je smjernica za njegovo prepoznavanje u crtežu po simetralama, naime: u jednakokračnom trokutu on istovremeno služi kao središnja točka i visina.

Simetrala kuta može se konstruirati pomoću šestara i ravnala:

Šesto pravilo kaže da je nemoguće konstruirati trokut koristeći potonji samo s postojećim simetralama, kao što je nemoguće na ovaj način konstruirati udvostručenje kocke, kvadraturu kruga i trisekciju kuta. Strogo govoreći, to su sva svojstva simetrale kuta trokuta.

Ako ste pažljivo pročitali prethodni odlomak, možda vas je zanimala jedna fraza. "Što je trisekcija kuta?" - vjerojatno ćete pitati. Trisektor je malo sličan simetrali, ali ako nacrtate potonju, kut će biti podijeljen na dva jednaka dijela, a kod konstruiranja trisekcije, bit će podijeljen na tri. Naravno, simetralu kuta je lakše zapamtiti, jer se trisekcija ne uči u školi. Ali radi potpunosti, reći ću vam i o tome.

Trisektor se, kao što sam već rekao, ne može konstruirati samo pomoću šestara i ravnala, već se može napraviti pomoću Fujitinih pravila i nekih krivulja: Pascalovih puževa, kvadratriksa, Nikomedovih konhoida, konusnih presjeka,

Zadaci trisekcije kuta vrlo se jednostavno rješavaju nevsisom.

U geometriji postoji teorem o trisektorima kutova. Zove se Morleyev teorem. Ona navodi da će sjecišne točke trisektora svakog kuta koji se nalazi u sredini biti vrhovi

Mali crni trokut unutar velikog će uvijek biti jednakostraničan. Ovaj teorem otkrio je britanski znanstvenik Frank Morley 1904. godine.

Evo koliko možete naučiti o dijeljenju kuta: Trisektor i simetrala kuta uvijek zahtijevaju detaljna objašnjenja. Ali ovdje su dane mnoge definicije koje još nisam otkrio: Pascalov puž, Nikomedov konhoid, itd. Budite uvjereni, o njima se može još puno toga napisati.

Danas će biti vrlo laka lekcija. Razmotrit ćemo samo jedan objekt - simetralu kuta - i dokazati njegovo najvažnije svojstvo koje će nam u budućnosti biti od velike koristi.

Samo se nemojte opustiti: ponekad studenti koji žele dobiti visoku ocjenu na istom Jedinstvenom državnom ispitu ili Jedinstvenom državnom ispitu ne mogu ni točno formulirati definiciju simetrale u prvoj lekciji.

I umjesto da radimo stvarno zanimljive zadatke, gubimo vrijeme na tako jednostavne stvari. Zato čitajte, gledajte i usvojite. :)

Za početak malo čudno pitanje: što je kut? Tako je: kut su jednostavno dvije zrake koje izlaze iz iste točke. Na primjer:

Kao što vidite na slici, kutovi mogu biti oštri, tupi, ravni - sada nije važno. Često se radi praktičnosti na svakoj zraci označava dodatna točka i kažu da je ispred nas kut $AOB$ (zapisan kao $\kut AOB$).

Kapetan Obviousness kao da nagovještava da je osim zraka $OA$ i $OB$ uvijek moguće nacrtati još hrpu zraka iz točke $O$. Ali među njima će biti jedan poseban - on se zove simetrala.

Definicija. Simetrala kuta je zraka koja izlazi iz vrha tog kuta i raspolavlja kut.

Za gornje kutove simetrale će izgledati ovako:

Primjeri simetrala za oštar, tup i pravi kut

Budući da u stvarnim crtežima nije uvijek vidljivo da određena zraka (u našem slučaju to je $OM$ zraka) dijeli izvorni kut na dva jednaka, u geometriji je uobičajeno označavati jednake kutove istim brojem lukova ( na našem crtežu to je 1 luk za oštar kut, dva za tup, tri za ravan).

U redu, riješili smo definiciju. Sada morate razumjeti koja svojstva ima simetrala.

Glavno svojstvo simetrale kuta

Zapravo, simetrala ima mnogo svojstava. I svakako ćemo ih pogledati u sljedećoj lekciji. Ali postoji jedan trik koji morate razumjeti odmah:

Teorema. Simetrala kuta je geometrijsko mjesto točaka jednako udaljenih od stranica zadanog kuta.

Prevedeno s matematičkog na ruski, to znači dvije činjenice odjednom:

1. Svaka točka koja leži na simetrali određenog kuta nalazi se na istoj udaljenosti od stranica tog kuta.
2. I obrnuto: ako točka leži na istoj udaljenosti od stranica danog kuta, tada je zajamčeno da leži na simetrali tog kuta.

Prije nego što dokažemo ove tvrdnje, razjasnimo jednu točku: što se, točno, naziva udaljenost od točke do stranice kuta? Ovdje će nam pomoći dobro staro određivanje udaljenosti od točke do pravca:

Definicija. Udaljenost od točke do pravca je duljina okomice povučene iz dane točke na ovaj pravac.

Na primjer, razmotrite pravac $l$ i točku $A$ koja ne leži na tom pravcu. Povucimo okomicu na $AH$, gdje je $H\in l$. Tada će duljina te okomice biti udaljenost od točke $A$ do pravca $l$.

Budući da su kut jednostavno dvije zrake, a svaka zraka je dio ravne linije, lako je odrediti udaljenost od točke do stranica kuta. Ovo su samo dvije okomice:

To je sve! Sada znamo što je udaljenost, a što simetrala. Stoga možemo dokazati glavno svojstvo.

Kao što smo obećali, podijelit ćemo dokaz u dva dijela:

1. Udaljenosti od točke na simetrali do stranica kuta su jednake

Promotrimo proizvoljni kut s vrhom $O$ i simetralom $OM$:

Dokažimo da je upravo ta točka $M$ na istoj udaljenosti od stranica kuta.

Dokaz. Povucimo okomice iz točke $M$ na stranice kuta. Nazovimo ih $M((H)_(1))$ i $M((H)_(2))$:

Povuci okomice na stranice kuta

Dobili smo dva pravokutna trokuta: $\vartriangle OM((H)_(1))$ i $\vartriangle OM((H)_(2))$. Imaju zajedničku hipotenuzu $OM$ i jednake kutove:

1. $\kut MO((H)_(1))=\kut MO((H)_(2))$ prema uvjetu (jer je $OM$ simetrala);
2. $\kut M((H)_(1))O=\kut M((H)_(2))O=90()^\circ $ konstrukcijom;
3. $\kut OM((H)_(1))=\kut OM((H)_(2))=90()^\circ -\kut MO((H)_(1))$, budući da iznos oštri kutovi pravokutnog trokuta je uvijek 90 stupnjeva.

Prema tome, trokuti su jednaki po stranicama i dvama susjednim kutovima (vidi znakove jednakosti trokuta). Stoga je posebno $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, tj. udaljenosti od točke $O$ do stranica kuta doista su jednake. Q.E.D. :)

2. Ako su udaljenosti jednake, tada točka leži na simetrali

Sada je situacija obrnuta. Neka je zadan kut $O$ i točka $M$ jednako udaljena od stranica tog kuta:

Dokažimo da je poluprava $OM$ simetrala, tj. $\kut MO((H)_(1))=\kut MO((H)_(2))$.

Dokaz. Prvo, nacrtajmo upravo ovu zraku $OM$, inače se neće imati što dokazivati:

Provedena $OM$ zraka unutar kuta

Opet dobivamo dva pravokutna trokuta: $\vartriangle OM((H)_(1))$ i $\vartriangle OM((H)_(2))$. Očito su jednaki jer:

1. Hipotenuza $OM$ - općenito;
2. Kraci $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ prema uvjetu (ipak je točka $M$ jednako udaljena od stranica kuta);
3. Preostale noge su također jednake, jer po Pitagorinom teoremu $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Dakle, trokuti $\vartriangle OM((H)_(1))$ i $\vartriangle OM((H)_(2))$ na tri stranice. Konkretno, njihovi kutovi su jednaki: $\kut MO((H)_(1))=\kut MO((H)_(2))$. A ovo samo znači da je $OM$ simetrala.

Za kraj dokaza, dobivene jednake kutove označimo crvenim lukovima:

Simetrala dijeli kut $\kut ((H)_(1))O((H)_(2))$ na dva jednaka

Kao što vidite, ništa komplicirano. Dokazali smo da je simetrala kuta geometrijsko mjesto točaka jednako udaljenih od stranica tog kuta. :)

Sad kad smo više-manje odlučili o terminologiji, vrijeme je da prijeđemo na sljedeću razinu. U sljedećoj lekciji ćemo pogledati složenija svojstva simetrale i naučiti kako ih primijeniti za rješavanje stvarnih problema.

Simetrala trokuta je uobičajeni geometrijski koncept koji ne uzrokuje velike poteškoće u učenju. Imajući znanje o njegovim svojstvima, možete riješiti mnoge probleme bez puno poteškoća. Što je simetrala? Pokušat ćemo upoznati čitatelja sa svim tajnama ove matematičke linije.

U kontaktu s

Suština pojma

Naziv koncepta dolazi od upotrebe riječi na latinskom čije je značenje “bi” - dva, “sectio” - rezati. Oni posebno ukazuju na geometrijsko značenje pojmovi - razbijanje prostora između zraka na dva jednaka dijela.

Simetrala trokuta je segment koji polazi od vrha figure, a drugi kraj je postavljen na stranu koja se nalazi nasuprot njemu, dok dijeli prostor na dva identična dijela.

Kako bi brzo asocijativno zapamtili matematičke pojmove, mnogi učitelji koriste različitu terminologiju, što se odražava u pjesmama ili asocijacijama. Naravno, korištenje ove definicije preporučljivo je za stariju djecu.

Kako je označena ova linija? Ovdje se oslanjamo na pravila za označavanje segmenata ili zraka. Ako govorimo o označavanju simetrale kuta trokuta, tada se obično piše kao segment čiji su krajevi vrh i točku presjeka sa stranicom nasuprot vrhu. Štoviše, početak notacije je napisan upravo iz vrha.

Pažnja! Koliko simetrala ima trokut? Odgovor je očit: onoliko koliko ima vrhova - tri.

Svojstva

Osim definicije, u školskom udžbeniku nema mnogo svojstava ovog geometrijskog pojma. Prvo svojstvo simetrale trokuta s kojim se školarci upoznaju je upisano središte, a drugo, izravno povezano s njim, je proporcionalnost segmenata. Zaključak je sljedeći:

1. Kakva god da je linija razdjelnice, na njoj postoje točke koje su na istoj udaljenosti od strana, koji čine prostor između zraka.
2. Da bi se krug uklopio u trokutastu figuru, potrebno je odrediti točku u kojoj će se ti segmenti presijecati. Ovo je središnja točka kruga.
3. Dijelovi stranice trokutastog geometrijskog lika na koje ga dijeli razdjelnica nalaze se u odnosu na stranice koje tvore kut.

Pokušat ćemo unijeti preostale karakteristike u sustav i iznijeti dodatne činjenice koje će pomoći boljem razumijevanju prednosti ovog geometrijskog koncepta.

Duljina

Jedna od vrsta problema koja školarcima stvara poteškoće je određivanje duljine simetrale kuta trokuta. Prva opcija, koja sadrži njegovu duljinu, sadrži sljedeće podatke:

• količina prostora između zraka iz čijeg vrha izlazi dati segment;
• duljine stranica koje tvore ovaj kut.

Za rješavanje problema korištena formula, čije je značenje pronaći omjer umnoška vrijednosti strana koje čine kut, uvećan za 2 puta, za kosinus njegove polovice do zbroja strana.

Pogledajmo konkretan primjer. Pretpostavimo da nam je dan lik ABC, u kojem je segment nacrtan iz kuta A i siječe stranicu BC u točki K. Označavamo vrijednost A kao Y. Na temelju toga, AK = (2*AB*AC*cos(Y) /2))/(AB+ AC).

Druga verzija zadatka, u kojoj se određuje duljina simetrale trokuta, sadrži sljedeće podatke:

• poznata su značenja svih strana figure.

Prilikom rješavanja problema ove vrste, u početku odrediti poluopseg. Da biste to učinili, trebate zbrojiti vrijednosti svih strana i podijeliti na pola: p=(AB+BC+AC)/2. Zatim primjenjujemo računsku formulu koja je korištena za određivanje duljine ovog segmenta u prethodnom problemu. Potrebno je samo napraviti neke promjene u suštini formule u skladu s novim parametrima. Dakle, potrebno je pronaći omjer dvostrukog korijena druge potencije umnoška duljina stranica koje poluopsegom graniče s vrhom i razlike poluopsega i duljine poluopsega. stranu koja mu je nasuprot zbroju stranica koje čine kut. To jest, AK = (2٦AB*AC*p*(p-BC))/(AB+AC).

Pažnja! Da biste lakše svladali gradivo, možete se obratiti komičnim pričama dostupnim na internetu koje govore o "avanturama" ove linije.

Unutarnji kutovi trokuta nazivaju se simetrale trokuta.
Simetrala kuta trokuta također se shvaća kao isječak između njegovog vrha i sjecišta simetrale sa suprotnom stranom trokuta.
Teorem 8. Tri simetrale trokuta sijeku se u jednoj točki.
Doista, prvo razmotrimo točku P presjeka dviju simetrala, na primjer AK 1 i VK 2. Ta je točka jednako udaljena od stranica AB i AC jer leži na simetrali kuta A, a jednako je udaljena od stranica AB i BC koje pripadaju simetrali kuta B. To znači da je jednako udaljena od simetrale kuta A. stranicama AC i BC i time pripada trećoj simetrali CK 3, odnosno u točki P se sijeku sve tri simetrale.
Svojstva simetrala unutarnjih i vanjskih kutova trokuta
Teorem 9. Simetrala unutarnji kut trokuta dijeli suprotnu stranicu na dijelove proporcionalne susjednim stranicama.
Dokaz. Promotrimo trokut ABC i simetralu njegova kuta B. Povucimo kroz vrh C ravnicu CM, usporednu sa simetralom BC, dok u točki M ne siječe nastavak stranice AB. Kako je VC simetrala kuta ABC, onda je ∠ ABC = ∠ KBC. Nadalje, ∠ AVK=∠ VSM, kao odgovarajući kutovi za paralelne pravce, i ∠ KVS=∠ VSM, kao poprečni kutovi za paralelne pravce. Odavde je ∠ VSM=∠ VMS, pa je trokut VSM jednakokračan pa je VS=VM. Prema teoremu o paralelnim pravcima koji sijeku stranice kuta imamo AK:K C=AB:VM=AB:BC, što je i trebalo dokazati.
Teorem 10 Simetrala vanjskog kuta B trokuta ABC ima slično svojstvo: odsječci AL i CL od vrhova A i C do točke L sjecišta simetrale s nastavkom stranice AC proporcionalni su stranicama trokuta: AL: C.L.=AB:BC.
Ovo se svojstvo dokazuje na isti način kao i prethodno: na slici je povučena pomoćna linija SM paralelna sa simetralom BL. Kutovi BMC i BC su jednaki, što znači da su stranice BM i BC trokuta BMC jednake. Iz čega dolazimo do zaključka AL:CL=AB:BC.

Teorem d4. (prva formula za simetralu): Ako je u trokutu ABC segment AL simetrala kuta A, onda je AL? = AB·AC - LB·LC.

Dokaz: Neka je M sjecišna točka pravca AL s kružnicom opisanom oko trokuta ABC (slika 41). Kut BAM je prema konvenciji jednak kutu MAC. Kutovi BMA i BCA sukladni su kao upisani kutovi koje spaja ista tetiva. To znači da su trokuti BAM i LAC slični u dva kuta. Prema tome, AL: AC = AB: AM. Dakle AL · AM = AB · AC<=>AL (AL + LM) = AB AC<=>AL? = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Što je trebalo i dokazati. Napomena: za teorem o odsječcima tetiva koje se sijeku u kružnici i o upisanim kutovima vidi temu krug i kružnica.

Teorem d5. (druga formula za simetralu): U trokutu ABC sa stranicama AB=a, AC=b i kutom A jednakim 2? i simetrale l vrijedi jednakost:
l = (2ab / (a+b)) cos?.

Dokaz: Neka je ABC zadani trokut, AL njegova simetrala (sl. 42), a=AB, b=AC, l=AL. Tada je S ABC = S ALB + S ALC. Stoga, absin2? = alsin? +blsin?<=>2absin?·cos? = (a + b) lsin?<=>l = 2·(ab / (a+b))· cos?. Teorem je dokazan.