(SYSTÈMES MÉCANIQUES) – Option IV
1. Comme on le sait, l'équation de base de la dynamique d'un point matériel est exprimée par l'équation. Les équations différentielles du mouvement de points arbitraires d'un système mécanique non libre selon deux méthodes de division des forces peuvent s'écrire sous deux formes :
(1) , où k=1, 2, 3, … , n – nombre de points du système matériel.
où est la masse du kième point ; - rayon vecteur du k-ème point, - une force (active) donnée agissant sur le k-ème point ou la résultante de toutes les forces actives agissant sur le k-ème point. - résultante des forces de réaction de liaison agissant sur le kième point ; - résultante des forces internes agissant sur le kème point ; - résultante des forces extérieures agissant sur le kième point.
En utilisant les équations (1) et (2), on peut s'efforcer de résoudre à la fois le premier et le deuxième problèmes de dynamique. Cependant, résoudre le deuxième problème de dynamique d’un système devient très compliqué, non seulement d’un point de vue mathématique, mais aussi parce que l’on est confronté à des difficultés fondamentales. Ils consistent dans le fait que pour le système (1) et le système (2), le nombre d'équations est nettement inférieur au nombre d'inconnues.
Donc, si nous utilisons (1), alors la dynamique connue pour le deuxième problème (inverse) sera et , et les dynamiques inconnues seront et . Les équations vectorielles seront " n», et les inconnus - « 2n ».
Si nous partons du système d'équations (2), alors certaines des forces externes sont connues. Pourquoi se séparer ? Le fait est que le nombre de forces externes comprend également des réactions externes de connexions inconnues. De plus, .. sera également inconnu.
Ainsi, le système (1) et le système (2) sont NON FERMÉS. Il est nécessaire d'ajouter des équations en tenant compte des équations des connexions, et peut-être est-il également nécessaire d'imposer certaines restrictions sur les connexions elles-mêmes. Ce qu'il faut faire?
Si nous partons de (1), alors nous pouvons suivre le chemin de la composition des équations de Lagrange du premier type. Mais cette voie n’est pas rationnelle car plus le problème est simple (moins de degrés de liberté), plus il est difficile de le résoudre d’un point de vue mathématique.
Tournons ensuite notre attention vers le système (2), où - sont toujours inconnus. La première étape pour résoudre un système consiste à éliminer ces inconnues. Il convient de garder à l'esprit qu'en règle générale, nous ne nous intéressons pas aux forces internes lorsque le système se déplace, c'est-à-dire que lorsque le système se déplace, il n'est pas nécessaire de savoir comment chaque point du système se déplace, mais cela suffit pour savoir comment le système évolue dans son ensemble.
Ainsi, si nous excluons les forces inconnues du système (2) de diverses manières, nous obtenons certaines relations, c'est-à-dire que certaines caractéristiques générales du système apparaissent, dont la connaissance nous permet de juger de la manière dont le système se déplace en général. Ces caractéristiques sont introduites à l'aide de ce que l'on appelle théorèmes généraux de la dynamique. Il existe quatre de ces théorèmes :
1. Théorème sur mouvement du centre de masse d'un système mécanique;
2. Théorème sur changement dans la quantité de mouvement d'un système mécanique;
3. Théorème sur modification du moment cinétique du système mécanique;
4. Théorème sur changement d'énergie cinétique d'un système mécanique.
Formuler un théorème sur le mouvement du centre de masse du système.
Le centre de masse d'un système mécanique se déplace comme un point matériel avec une masse égale à la masse de l'ensemble du système, auquel sont appliquées toutes les forces agissant sur le système.
Quel mouvement d'un corps rigide peut être considéré comme le mouvement d'un point matériel ayant la masse d'un corps donné, et pourquoi ?
Le mouvement de translation d'un corps rigide est entièrement déterminé par le mouvement de l'un de ses points. Par conséquent, en résolvant le problème du mouvement du centre de masse d'un corps en tant que point matériel avec une masse corporelle, il est possible de déterminer le mouvement de translation du corps entier.
Dans quelles conditions le centre de masse du système est-il au repos et dans quelles conditions se déplace-t-il uniformément et en ligne droite ?
Si le vecteur principal des forces externes reste tout le temps égal à zéro et que la vitesse initiale du centre de masse est nulle, alors le centre de masse est au repos.
Si le vecteur principal des forces extérieures reste tout le temps égal à zéro et la vitesse initiale 
, alors le centre de masse se déplace uniformément et rectiligne.
Dans quelles conditions le centre de masse du système ne se déplace-t-il pas le long d'un certain axe ?
Si la projection du vecteur principal des forces externes sur n'importe quel axe reste tout le temps égale à zéro et que la projection de la vitesse sur cet axe est égale à zéro, alors la coordonnée du centre de masse le long de cet axe reste constante.
Quel effet une paire de forces qui lui sont appliquées a-t-elle sur un corps solide libre ?
Si vous appliquez une paire de forces à un corps rigide libre au repos, alors sous l'action de cette paire de forces, le corps commencera à tourner autour de son centre de masse.
Théorème sur le changement de quantité de mouvement.
Comment une impulsion de force variable est-elle déterminée sur une période de temps finie ? Qu'est-ce qui caractérise une impulsion de force ?
Impulsion variable 
pour une période de temps déterminée 
équivaut à
.
L'impulsion de force caractérise le transfert d'un mouvement mécanique à un corps à partir des corps agissant sur lui pendant une période de temps donnée.
Quelles sont les projections des impulsions de force constantes et variables sur les axes de coordonnées ?
Les projections de l'impulsion de force variable sur les axes de coordonnées sont égales à
,
,
.
Projections d'une impulsion de force constante sur les axes de coordonnées sur une période de temps 
égal
,
,
.
Quelle est l’impulsion de la résultante ?
L'impulsion de la résultante de plusieurs forces sur une certaine période de temps est égale à la somme géométrique des impulsions des forces composantes sur la même période de temps
.
Comment change l’impulsion d’un point se déplaçant uniformément autour d’un cercle ?
Lorsqu'un point se déplace uniformément autour d'un cercle, la direction de l'impulsion change 
, mais son module est conservé 
.
Quelle est la quantité de mouvement d'un système mécanique ?
La quantité de mouvement d'un système mécanique est un vecteur égal à la somme géométrique (vecteur principal) des quantités de mouvement de tous les points du système.
.
Quelle est la quantité de mouvement d'un volant tournant autour d'un axe fixe passant par son centre de gravité ?
La quantité de mouvement d'un volant tournant autour d'un axe fixe passant par son centre de gravité est nulle, car 
.
Formuler des théorèmes sur le changement de quantité de mouvement d'un point matériel et d'un système mécanique sous des formes différentielles et finies. Exprimez chacun de ces théorèmes avec une équation vectorielle et trois équations en projections sur les axes de coordonnées.
Le moment différentiel d'un point matériel est égal à l'impulsion élémentaire des forces agissant sur ce point
.
La variation du nombre de mouvements d'un point sur une certaine période de temps est égale à la somme géométrique des impulsions de forces appliquées au point sur la même période de temps
.
En projections, ces théorèmes ont la forme
,
,
,
,
.
La dérivée temporelle de la quantité de mouvement d'un système mécanique est géométriquement égale au vecteur principal des forces externes agissant sur le système
.
La dérivée temporelle de la projection de la quantité de mouvement d'un système mécanique sur n'importe quel axe est égale à la projection du vecteur principal des forces externes sur le même axe
,
,
.
La variation de la quantité de mouvement du système sur une certaine période de temps est égale à la somme géométrique des impulsions des forces externes appliquées au système sur la même période
.
Le changement dans la projection de la quantité de mouvement du système sur n'importe quel axe est égal à la somme des projections des impulsions de toutes les forces externes agissant sur le système sur le même axe
,
,
.
Dans quelles conditions la quantité de mouvement d’un système mécanique ne change-t-elle pas ? Dans quelles conditions sa projection sur un certain axe ne change-t-elle pas ?
Si le vecteur principal des forces externes pour la période de temps considérée est égal à zéro, alors la quantité de mouvement du système est constante.
Si la projection du vecteur principal des forces externes sur n'importe quel axe est nulle, alors la projection de la quantité de mouvement sur cet axe est constante.
Pourquoi l'arme recule-t-elle lorsqu'on tire ?
Le recul d'une arme lors d'un tir dans une direction horizontale est dû au fait que la projection de l'élan sur l'axe horizontal 
ne change pas en l'absence de forces horizontales
,
.
Les forces internes peuvent-elles modifier la dynamique d’un système ou la dynamique d’une partie de celui-ci ?
Étant donné que le vecteur principal des forces internes est nul, elles ne peuvent pas modifier l’ampleur du mouvement du système.
Dynamique:
Dynamique d'un système matériel
§ 35. Théorème sur le mouvement du centre de masse d'un système matériel
Problèmes avec des solutions
35.1 Déterminer le vecteur principal des forces externes agissant sur le volant M, tournant autour de l'axe AB. L'axe AB, monté dans un cadre circulaire, tourne à son tour autour de l'axe DE. Le centre de masse C du volant est au point d'intersection des axes AB et DE.
SOLUTION
35.2 Déterminer le vecteur principal des forces externes appliquées à la règle AB de l'ellipsographe illustré sur la figure. La manivelle OC tourne à une vitesse angulaire constante ω ; la masse de la règle AB est égale à M ; OC = AC = BC = l.
SOLUTION
35.3 Déterminer le vecteur principal des forces externes agissant sur une roue de masse M roulant depuis un plan incliné si son centre de masse C se déplace selon la loi xC=at2/2.
SOLUTION
35.4 Une roue glisse le long d'une ligne horizontale sous l'action d'une force F représentée sur la figure. Trouvez la loi du mouvement du centre de masse C de la roue si le coefficient de frottement de glissement est f, a F=5fP, où P est le poids de la roue. Au début, la roue était au repos.
SOLUTION
35.5 Une roue glisse le long d'une ligne horizontale sous l'influence d'un couple qui lui est appliqué. Trouver la loi du mouvement du centre de masse C de la roue si le coefficient de frottement de glissement est égal à f. Au début, la roue était au repos.
SOLUTION
35.6 Un tramway effectue des oscillations harmoniques verticales sur les ressorts avec une amplitude de 2,5 cm et une période de T=0,5 s. La masse de la caisse avec une charge est de 10 tonnes, la masse du bogie et des roues est de 1 tonne. Déterminez la force de pression de la voiture sur les rails.
SOLUTION
35.7 Déterminer la force de pression au sol d'une pompe pour pomper de l'eau lorsqu'elle tourne au ralenti, si la masse des parties fixes du corps D et de la fondation E est égale à M1, la masse de la manivelle OA=a est égale à M2, la masse de la liaison B et du piston C est égale à M3. La manivelle OA, tournant uniformément avec une vitesse angulaire ω, est considérée comme une tige homogène.
SOLUTION
35.8 À l'aide des données du problème précédent, supposons que la pompe est installée sur une base élastique dont le coefficient d'élasticité est égal à c. Trouvez la loi du mouvement de l'axe O de la manivelle OA verticalement, si au moment initial l'axe O était dans une position d'équilibre statique et qu'on lui communiquait une vitesse verticale descendante v0. Prendre l'origine de l'axe X, dirigé verticalement vers le bas, dans la position d'équilibre statique de l'axe O. Négliger les forces de résistance.
SOLUTION
35.9 Les cisailles pour couper le métal sont constituées d'un mécanisme à manivelle-curseur OAB, au curseur B duquel est fixé un couteau mobile. Le couteau fixe est fixé sur la fondation C. Déterminer la pression de la fondation sur le sol si la longueur de la manivelle r, la masse de la manivelle M1, la longueur de la bielle l, la masse du curseur B avec le couteau mobile M2, la masse de la fondation C et du corps D est égale à M3. Négliger la masse de la bielle. La manivelle OA, tournant uniformément avec une vitesse angulaire ω, est considérée comme une tige homogène.
SOLUTION
35.10 Le moteur électrique massique M1 est installé sans fixations sur une fondation horizontale lisse ; une tige homogène de longueur 2l et de masse M2 est fixée à angle droit par rapport à l'arbre du moteur à une extrémité ; une charge ponctuelle de masse M3 est montée à l'autre extrémité de la tige ; la vitesse angulaire de l'arbre est ω. Déterminer : 1) le mouvement horizontal du moteur ; 2) la plus grande force horizontale R agissant sur les boulons s'ils fixent le carter du moteur électrique à la fondation.
SOLUTION
35.11 En utilisant les conditions du problème précédent, calculez la vitesse angulaire ω de l'arbre du moteur électrique à laquelle le moteur électrique rebondira au-dessus de la fondation sans y être boulonné.
SOLUTION
35.12 Lors de l'assemblage du moteur électrique, son rotor B a été monté de manière excentrique sur l'axe de rotation C1 à une distance C1C2=a, où C1 est le centre de masse du stator A et C2 est le centre de masse du rotor B. Le rotor tourne uniformément avec une vitesse angulaire ω. Le moteur électrique est installé au milieu d'une poutre élastique dont la flèche statique est égale à Δ ; M1 est la masse du stator, M2 est la masse du rotor. Trouver l'équation du mouvement du point C1 verticalement si à l'instant initial il était au repos dans une position d'équilibre statique. Négliger les forces de résistance. L'origine de l'axe des x est prise à la position d'équilibre statique du point C1.
SOLUTION
35.13 Un moteur électrique de masse M1 est monté sur une poutre dont la rigidité est égale à c. Une masse de masse M2 est montée sur l'arbre du moteur à une distance l de l'axe de l'arbre. Vitesse angulaire du moteur ω=const. Déterminer l'amplitude des oscillations forcées du moteur et le nombre critique de ses tours par minute, en négligeant la masse de la poutre et la résistance au mouvement.
SOLUTION
35.14 La figure montre un chariot-grue A de masse M1, qui est freiné au milieu d'une poutre BD. Au centre de masse C1 du chariot, un câble de longueur l est suspendu auquel est attachée une charge C2 de masse M2. Un câble chargé effectue des oscillations harmoniques dans le plan vertical. Déterminer : 1) la réaction verticale totale de la poutre BD, en la considérant rigide ; 2) la loi du mouvement du point C1 dans la direction verticale, en considérant la poutre élastique avec un coefficient d'élasticité égal à c. Au moment initial, la poutre, non déformée, était au repos en position horizontale. Considérant que les vibrations du câble sont faibles, acceptons : sin φ≈φ, cos φ≈1. L'origine de l'axe y est prise à la position d'équilibre statique du point C1. Négliger la masse du câble et les dimensions du chariot par rapport à la longueur de la poutre.
SOLUTION
35.15 En conservant les données du problème précédent et en considérant la poutre BD rigide, déterminer : 1) la réaction horizontale totale des rails ; 2) en supposant que le chariot n'est pas freiné, la loi de déplacement du centre de masse C1 du chariot A selon l'axe x. A l'instant initial, le point C1 était au repos à l'origine de l'axe des x. Le câble oscille selon la loi φ=φ0 cos ωt.
SOLUTION
35.16 Sur la banquette centrale du bateau, qui était au repos, deux personnes étaient assises. L'un d'eux, de masse M1=50 kg, s'est déplacé vers la droite jusqu'à la proue du bateau. Dans quelle direction et quelle distance la deuxième personne de masse M2=70 kg doit-elle se déplacer pour que le bateau reste au repos ? La longueur du bateau est de 4 m. Négliger la résistance de l'eau au mouvement du bateau.
SOLUTION
35.17 Un prisme homogène B est placé sur un prisme homogène A posé sur un plan horizontal ; les sections transversales des prismes sont des triangles rectangles, la masse du prisme A est trois fois supérieure à la masse du prisme B. En supposant que les prismes et le plan horizontal sont idéalement lisses, déterminez la longueur l dont le prisme A se déplacera lorsque le prisme B, en descendant le long de A, atteint le plan horizontal.
SOLUTION
35.18 Sur une plate-forme de marchandises horizontale d'une longueur de 6 m et d'une masse de 2 700 kg, initialement au repos, deux ouvriers font rouler une lourde pièce moulée de l'extrémité gauche de la plate-forme vers la droite. Dans quelle direction et de combien la plate-forme se déplacera-t-elle si la masse totale de la cargaison et des travailleurs est de 1 800 kg ? Négliger les forces de résistance au mouvement de la plateforme.
SOLUTION
35.19 Deux charges M1 et M2, respectivement masses M1 et M2, reliées par un fil inextensible jeté sur le bloc A, glissent le long des côtés lisses d'une cale rectangulaire reposant avec sa base BC sur un plan horizontal lisse. Trouver le déplacement de la cale le long du plan horizontal lors de l'abaissement de la charge M1 à une hauteur de h=10 cm. Masse de la cale M=4M1=16M2 ; Négliger la masse du fil et du bloc.
SOLUTION
35.20 Trois masses de masse M1=20 kg, M2=15 kg et M3=10 kg sont reliées par un fil inextensible lancé à travers des blocs fixes L et N. Lorsque la masse M1 est abaissée, la masse M2 se déplace le long de la base supérieure d'un quadrangulaire. pyramide tronquée ABCD de masse M=100 kg vers la droite, et la charge M3 monte le long du bord latéral AB vers le haut. En négligeant le frottement entre la pyramide tronquée ABCD et le sol, déterminez le déplacement de la pyramide tronquée ABCD par rapport au sol si la charge M1 descend de 1 m. Négligez la masse du fil.
SOLUTION
35.21 Une grue rotative mobile pour la réparation d'un réseau électrique public est installée sur un véhicule pesant 1 tonne. Le berceau K de la grue, monté sur une tige L, peut pivoter autour d'un axe horizontal O, perpendiculaire au plan du dessin. Au début, la grue, qui occupait une position horizontale, et la voiture étaient à l'arrêt. Déterminez le déplacement du véhicule non freiné si la grue tourne de 60°. La masse d'une tige homogène L de longueur 3 m est de 100 kg, et le berceau K est de 200 kg. Le centre de masse C du berceau K est situé à une distance OC=3,5 m de l'axe O. Négliger la résistance au mouvement.
Université d'État de Saint-PétersbourgAviation civile
Département n°6 - « Mécanique »
Section III
"DYNAMIQUE"
Saint-Pétersbourg
-2016-1. Yablonsky A.A., Nikiforova V.M. Bien
mécanique théorique. Statique, cinématique,
dynamique. Cahier de texte. M. : KNORS. 2011. - 608 p.
2. Meshchersky I.V. Problèmes théoriques
mécanique. Cahier de texte Avantage. Saint-Pétersbourg : Lan. 2011. - 448 p.
3. Targ M.S. Cours de mécanique théorique. M. :
Lycée. 2012. - 548 p.
4. Tchernov K.I. Fondamentaux de la mécanique technique. M. :
Génie mécanique. 1986. - 256 p.
5. Aret V.A. "Apprentissage à distance
technologie". (manuel électronique www.openmechanics.com), 2016 Conférence 1. Introduction
dans la dynamique. Lois et axiomes
dynamique d'un point matériel. Équation de base
haut-parleurs. Équations différentielles et naturelles
mouvements. Deux problèmes principaux de dynamique. Exemples
résoudre le problème direct de la dynamique.
Cours 2. Résoudre le problème inverse de la dynamique. Sont communs
instructions pour résoudre le problème inverse de la dynamique. Exemples
résoudre le problème inverse de la dynamique. Mouvement du corps
projeté incliné par rapport à l'horizontale, sans tenir compte de la résistance
air.
Cours 3. Oscillations rectilignes d'un point matériel.
Condition
émergence
hésitation.
Classification
hésitation. Vibrations libres sans prise en compte des forces
résistance.
Déclinant
fluctuations.
Décrémenter
hésitation.
Cours 4. Oscillations forcées d'un point matériel.
Résonance.
Influence
résistance
mouvement
à
vibrations forcées.Leçon 5. Mouvement relatif d'un point matériel.
Forces d'inertie. Cas particuliers de mouvement pour divers
types de mouvements portables. L'influence de la rotation de la Terre sur
équilibre et mouvement des corps.
Cours 6. Dynamique d'un système mécanique. Mécanique
système. Forces externes et internes. Centre de masse du système.
Théorème sur le mouvement du centre de masse. Lois de conservation.
Un exemple de résolution d'un problème en utilisant le théorème sur
mouvement du centre de masse.
Conférence 7. Impulsion de force. Quantité de mouvement. Théorème sur
changement d’élan. Lois de conservation.
Théorème d'Euler. Un exemple de résolution d'un problème en utilisant
théorèmes sur les changements de quantité de mouvement. Moment
quantité de mouvement. Théorème de changement de couple
quantité de mouvement...
Conférence 8. Lois de conservation. Éléments de théorie des moments
inertie.
Cinétique
moment
solide
corps.
Équation différentielle pour la rotation d'un corps rigide.
Un exemple de résolution d'un problème en utilisant le théorème sur
changement
moment
quantités
mouvement
systèmes.
Théorie élémentaire du gyroscope.
INTRODUCTION À LA DYNAMIQUE
Conférence 1INTRODUCTION À LA DYNAMIQUE
La dynamique est une section de la mécanique théorique,
étudier le mouvement mécanique sous son point le plus général
vision. La motion est étudiée dans le cadre de l'actuel
à l'objet par la force.
La section se compose de trois sections :
Dynamique
Dynamique
Dynamique
point matériel
Système mécanique
Mécanique analytique
Dynamique d'un point – étudie le mouvement d'un point matériel
en tenant compte des forces provoquant ce mouvement.
L’objet principal est un point matériel – matériel
un corps avec une masse dont les dimensions peuvent être
négligence. Dynamique d'un système mécanique – étudie le mouvement
des collections de points matériels et de corps solides,
unis par des lois générales d'interaction, prenant en compte
forces provoquant ce mouvement.
Mécanique analytique – étudie le mouvement des non libres
systèmes mécaniques utilisant des systèmes communs
méthodes analytiques.
Hypothèses clés:
– il y a un espace absolu (a du pur
propriétés géométriques indépendantes de la matière et
ses mouvements);
– le temps absolu existe (ne dépend pas de la matière et
ses mouvements). Il en découle :
– il existe un système de référence absolument immobile ;
– le temps ne dépend pas du mouvement du référentiel ;
– les masses des points en mouvement ne dépendent pas du mouvement
systèmes de référence.
Ces hypothèses sont utilisées en mécanique classique,
créé par Galilée et Newton. Elle a encore
un champ d'application assez large, car
mécanique considérée dans les sciences appliquées
les systèmes n'ont pas des masses aussi grandes et
vitesses de déplacement pour lesquelles il faut les prendre en compte
influence sur la géométrie de l'espace, du temps, du mouvement, comment
cela se fait en mécanique relativiste (la théorie
relativité). La force est une quantité variable et dépend :
a) temps - F f (t),
b) position du point d'application de la force - F f (r),
c) vitesse de déplacement
points d'application de la force - F f (V).
Un point matériel peut être gratuit s'il y a
Il n'y a aucune restriction de mouvement. Sinon,
le point matériel est dit non libre
L'inertie est une propriété d'un corps matériel qui est plus rapide ou
changez votre vitesse plus lentement
sous l'influence des forces qui lui sont appliquées
Les systèmes de référence inertiels sont ces systèmes
où la loi de l'inertie est satisfaite ; sinon, les systèmes
les points de référence ne sont pas inertiels
13. TYPES DE FORCES DE BASE
La gravité.Fmg
g 9,81 m/s2
Accélération de la gravité
F f N réaction normale.
coefficient de friction
f 6,673 10-11 m3/(kg·s2).
F f m1m2 r 2
Force de friction de glissement
La force de gravité.
constante gravitationnelle
Force élastique
F c
allongement (compression) du ressort (m)
constante du ressort (N/m).
Force de friction visqueuse. Fv
vitesse du corps
densité moyenne
ralenti
coefficient de traînée
1
F cx Sv2
2
Force hydrodynamique
carré
coefficient de traînée latérale
résistance.
sections
mouvement rapide 14. Lois et axiomes de la dynamique du point d'accouplement
La mécanique classique est basée sur des lois qui, pour la première fois
énoncé par I. Newton dans son ouvrage « Mathematical Principles
philosophie naturelle » (1687).
Lois fondamentales de la dynamique - découvertes pour la première fois par Galilée et
formulés par Newton constituent la base de toutes les méthodes
description et analyse du mouvement des systèmes mécaniques et de leurs
interaction dynamique sous l'influence de diverses forces.
Loi de l'inertie (loi de Galilée-Newton) – isolée
le corps du point matériel maintient son état de repos
ou un mouvement rectiligne uniforme jusqu'à
les forces appliquées ne l’obligeront pas à changer cet état.
Cela implique l'équivalence de l'état de repos et de mouvement
par inertie (loi de la relativité de Galilée). Système de référence
par rapport auquel la loi de l'inertie est satisfaite,
appelé inertiel. Propriété d'un point matériel
s'efforcer de maintenir la même vitesse de mouvement
(son état cinématique) est appelé inertie. Loi de proportionnalité de la force et de l'accélération
(Équation de base de la dynamique – Loi de Newton II) –
L'accélération conférée à un point matériel par la force est
directement proportionnel à la force et inversement
proportionnel à la masse de ce point : a 1 F ou ma
m
F.
Ici m est la masse de la pointe (une mesure d'inertie), mesurée en kg,
numériquement égal au poids divisé par l'accélération du libre
chutes:
g
m
g
.
F – force effective, mesurée en N (1 N indique le point
masse 1 kg accélération 1 m/s2, 1 N = 1/9,81 kgf). Loi d'égalité d'action et de réaction (loi III
Newton) - À chaque action correspond un égal
magnitude et direction opposée
opposition:
m
F2.1m
F1,2
F1,2 F2,1
1
2
La loi est valable pour tout état cinématique
tél. Forces d'interaction, appliquées à différents
les points (corps) ne sont pas équilibrés.
Loi d’action indépendante des forces – Accélération
point matériel sous l'influence de plusieurs forces
égale à la somme géométrique des accélérations d'un point de
actions de chaque force séparément :
une (F1 , F2 ,...) a1 (F1) a2 (F2) ....
ou
une (R) a1 (F1) a2 (F2) .... 15. Équation de base de la dynamique
Loi fondamentale de la dynamique : produit de la masse matérielle
points sur son accélération, qu'il reçoit sous l'influence
force, égale au module de cette force, et la direction de l'accélération
coïncide avec la direction du vecteur force
ma F
ou
ma Fk
n
Équation de base de la dynamique : ma Fi (1).
- correspond à la méthode vectorielle de spécification du mouvement d'un point. 15.1. Équations différentielles du mouvement
point matériel
Remplaçons l'accélération du point par la tâche vectorielle
mouvement
d2r
un
dt
2
.
2
d
dans l'équation de base de la dynamique : m r
Fi
2
dt
(2) - différentiel
équation du mouvement d'un point dans
forme vectorielle.
(2).
M
F1
F2
r
Ô
un Sous forme de coordonnées : Nous utilisons la connexion rayon-vecteur avec
coordonnées et vecteur force avec projections :
r (t) x(t)je y(t) j z (t)k
Fi Fixi Fiy j Fiz k
d2
Après regroupement
m 2 (xi yj zk) (Fixi Fiy j Fiz k).
rapport vectoriel
dt
se désintègre
d 2x
m x Corriger ;
Oh
:
m
F
;
ix
2
en trois scalaires
dt
mon Fiy ;
ou
2
équations :
d y
z
Oy
:
m
Fiy;
2
az
m z Fiz .
dt
M(x,y,z)
r
Ô
je
X
k
oui
hache
j 2z
(Oz) : m 2 Fiz . - différentiel
dt
équations du mouvement
z
j
X
oui
oui
points en coordonnées
formulaire.
Ce résultat peut être obtenu
projection formelle du vecteur
équation différentielle (1). Équations naturelles du mouvement d'un point matériel
– sont obtenus en projetant le vecteur
équation différentielle du mouvement au naturel
Axes de coordonnées (mobiles) :
m s Fiτ ;
() : maτ τ Fiτ ;
(n) : homme Fin ; ou
s 2
m
Ailette.
(b) : m 0 Fib .
s
O1 n
F2
- naturel
équations
mouvement
points.
b
M
un
F1
- naturel
équations du mouvement
points. 16. Deux problèmes principaux de dynamique
Problème direct : le mouvement est donné (équations de mouvement,
trajectoire). Il est nécessaire de déterminer les forces sous l'influence
lequel se produit un mouvement donné.
Problème inverse : étant donné les forces sous l’influence desquelles
un mouvement se produit. Besoin de trouver des paramètres
oui
mouvement
(équations de mouvement, trajectoire du mouvement).
Les deux problèmes sont résolus en utilisant l’équation de base de la dynamique et
sa projection sur les axes de coordonnées. Si l’on considère le mouvement
point non libre, alors, comme en statique, on utilise le principe
liberté des liens. À la suite de la réaction, les obligations sont activées
dans les forces agissant sur un point matériel. La solution d'abord
tâches liées
avec des opérations de différenciation. Solution de l'inverse
r
le problèmeO nécessite l’intégration du différentiel correspondant
équations et c'est beaucoup plus difficile que la différenciation.
Le problème inverse est plus difficile que le problème direct La solution au problème direct de la dynamique - considérez à
exemples:
Exemple 1. Une cabine d'ascenseur de poids G est soulevée par un câble avec
accélération A. Déterminez la tension du câble.
Solution : 1. Sélectionnez un objet (la cabine d'ascenseur avance et
cela peut être considéré comme un point matériel).
2. Nous jetons la connexion (câble) et la remplaçons par la réaction R.
3. On compose l'équation de base de la dynamique : ma Fi G R
oui
4. Projetez l’équation de base de la dynamique sur l’axe des y :
R.
(Oy) : mai R G .
Avec un mouvement uniforme de la cabine, ay = 0 et la tension du câble
égal au poids : T = G.
un
Si le câble casse, T = 0 et l'accélération de la cabine est égale à l'accélération
chute libre : ay = -g.
g
oui
g
Ô
R G peut G a y G (1).
On détermine la réaction du câble :
g
g
Déterminez la tension du câble :
TR ; TRG(1
oui
g
).Solution du problème inverse de la dynamique – En général
les mouvements d'un point de force agissant sur un point sont
variables en fonction du temps, des coordonnées et de la vitesse.
Le mouvement d'un point est décrit par un système de trois
m x Corriger ;
équations différentielles du second ordre : m y F ;
je
Après intégration
chacun d'eux sera x f1 (t, C1, C 2, C3) ; x f 4 (t, C1, C 2,..., C 6) ; m z Fiz .
six constantes y f 2 (t, C1, C 2, C3) ; y f (t, C, C,..., C); xx ; oui oui ; z z ;
5
1
2
6
0
0
0
C1, C2,…., C6 :
z f 3 (t, C1, C 2, C3).
z f 6 (t, C1, C 2,..., C 6). xx ; oui oui ; z z .
0
0
0
Valeurs des constantes C1, C2,…., C6
sont issus de six initiales
x f1 (t, x 0, y 0, z 0); x f 4 (t, x 0, y 0, z 0, x0, y 0, z 0) ;
conditions à t = 0 :
Après avoir remplacé le trouvé y f 2 (t, x 0, y 0, z 0); y f 5 (t, x 0, y 0, z 0, x0, y 0, z 0);
valeurs des constantes que nous obtenons : z f (t, x, y, z). z f 6 (t, x 0, y 0, z 0, x0, y 0, z 0).
3
0
0
0
Donc
manière, sous l'influence du même système de forces
X
un point matériel peut effectuer toute une classe de mouvements,
déterminé par les conditions initiales.
Les coordonnées initiales tiennent compte de la position initiale du point. Initial
la vitesse spécifiée par les projections prend en compte l'influence sur son mouvement le long
la section considérée de la trajectoire des forces agissant sur le point avant
arrivée sur ce site, c'est-à-dire état cinématique initial. 17. Instructions générales pour résoudre directe et inverse
Tâches. Procédure de résolution
1. Élaboration d'une équation différentielle du mouvement :
1.1. Sélectionnez un système de coordonnées – rectangulaire
(stationnaire) avec une trajectoire de mouvement inconnue,
naturel (en mouvement) avec une trajectoire connue,
par exemple, un cercle ou une ligne droite. Dans le dernier cas
une coordonnée linéaire peut être utilisée. Commencer
aligner le point de référence avec la position initiale du point (à t = 0)
soit avec la position d'équilibre du point, si elle existe,
par exemple, lorsqu'un point oscille. 1.2. Tracez un point dans une position correspondant à
à un instant arbitraire (à t > 0) de sorte que
les coordonnées étaient positives (s > 0, x > 0). Où
Nous pensons également que la projection de la vitesse dans cette position
est également positif. En cas d'oscillations, la projection de vitesse
change de signe, par exemple, en revenant à la position
équilibre. Ici, il faut admettre que dans le cas considéré
moment où le point s’éloigne de la position d’équilibre.
Il est important de suivre cette recommandation à l'avenir
travailler avec des forces de résistance dépendant de la vitesse.
1.3. Libérer le point matériel des connexions, remplacer
leur action est une réaction, ajoute des forces actives.
1.4. Écrivez la loi fondamentale de la dynamique sous forme vectorielle,
projeter sur les axes sélectionnés, exprimer la valeur spécifiée
ou forces réactives à travers des variables temps, coordonnées
ou la vitesse, s'ils en dépendent. 2. Résolution d'équations différentielles :
2.1. Diminuer la dérivée si l'équation n'est pas
réduit à la forme canonique (standard).
Par exemple:
dv x ou s dv .
X
,
dt
dt
2.2. Variables séparées, par exemple :
DVD
1
DVD
1
dv
k
kdt ou
gv2,
kvx,
vx
m
dt
m
dt
m
dv
dt.
k2
gv
m
2.3. S'il y a trois variables dans l'équation,
puis faites un changement de variables, par exemple :
dvx
1
cx,
dt
m
dv x dx v x dv x
1
CX
dtdx
dx
m
puis séparez les variables. 2.4. Calculer les intégrales indéfinies à gauche et
du côté droit de l’équation, par exemple :
dvx
1
vx m kdt
1
ln v x ktC1
m
En utilisant des conditions initiales, par exemple t = 0, vx = vx0,
déterminer la constante d'intégration :
1
ln v x v k t 0 C1 ; C1 ln v x 0 .
x0
m
Commentaire. Au lieu de calculer des intégrales indéfinies, vous pouvez
évaluer des intégrales définies avec une variable supérieure
limite.
Les limites inférieures représentent les valeurs initiales des variables
(conditions initiales). Une conclusion distincte n’est donc pas nécessaire.
une constante qui est automatiquement incluse dans la solution, par exemple :
v
t
dv
1
v
m kdt.
v0
0
lnv
v
v0
1 tonne
nœud 0 ;
m
ln v ln v 0
1
1
nœud 0 ; ln v kt ln v 0 .
m
m 2.5. Exprimer la vitesse par la dérivée de la coordonnée par rapport à
le temps, par exemple,
et répétez
1
kt ln v 0
ds
paragraphes 2.2 à 2.4
m
v
dt
e
Commentaire. Si l'équation est réduite au canonique
type qui a une solution standard, alors c'est un prêt à l'emploi
la solution est utilisée.
Des intégrations constantes sont encore trouvées à partir de
conditions initiales. 18. Dynamique d'un point matériel libre
Le mouvement d'un point projeté à un angle par rapport à l'horizontale dans
champ de gravité uniforme sans tenir compte
résistance à l'air
dvx
0;
Oh
:
m
X
0
;
dt
maman
F G.
je
(Оy) : m y G mg ;
dv y
dt
dv x 0 ; dv et gdt;
vx
vy
t
vx0
vy0
0
dv x 0 ; dv et gdt;
v x v x0 v0 cos ;
oui
v0
Ô
X
g
X
g;
dx
v0cos ;
dt
x v0 coût t ;
v y v y 0 gt v0 sin gt ;
mourir
v0 péché gt;
dt
GT2
y v0 péché t
;
219. Types de vibrations d'un point matériel
1. Vibrations libres (sans tenir compte de la résistance
environnement).
2. Vibrations libres tenant compte de la résistance du milieu
X
(oscillations amorties).
3. Vibrations forcées.
4. Oscillations forcées prenant en compte la résistance
environnement.
Vibrations libres - se produisent sous l'influence de
seul pouvoir réparateur.
Écrivons la loi fondamentale de la dynamique : ma G N R .
Choisissons un système de coordonnées avec le centre à la position
équilibre (point O) et projet
équation pour l'axe des x :
Ô
m x R cx.
je
oui
N
R.
X
X
g
Présentons l'équation résultante
c
à la forme standard (canonique) : x k 2 x 0, où k 2.
m Cette équation est linéaire homogène
équation différentielle du second ordre, forme
dont la solution est déterminée par les racines
équation caractéristique obtenue en utilisant
substitution universelle : x e zt .
x zx2 e zt .
z 2 k 2 0.
Racines de l'équation caractéristique
imaginaire et égal : z1, 2 ki.
Solution générale du différentiel
l'équation a la forme : x C1 cos kt C2 sin kt.
Vitesse de pointe : x kC sin kt kC cos kt.
1
2
Conditions initiales : t 0 x x0 , x x 0 .
Définissons
constantes : x0 C1 cos k 0 C2 sin k 0 C11 C2 0.
x kC1 sin k 0 kC2 cos k 0 kC1 0 kC21.
C1x0.
C2
x0
.
k Oscillations amorties d’un point matériel –
un mouvement oscillatoire d'un point matériel se produit
en présence du pouvoir et de la force réparatrice
résistance au mouvement.
Dépendance de la force de résistance au mouvement sur le déplacement
ou la vitesse est déterminée par la nature physique du support ou
connexion qui empêche le mouvement. Le plus simple
la dépendance est linéaire avec la vitesse
(résistance visqueuse).
L'amortissement des oscillations se produit très rapidement. Les bases
influence de la force de résistance visqueuse – diminution
amplitudes des oscillations dans le temps. 20. Mouvement relatif d'un point matériel
Supposons que le système de coordonnées mobile (non inertiel) Oxyz se déplace le long de
à une loi relative à un système de coordonnées fixe (inertiel)
O1x1y1z1. Mouvement d'un point matériel M (x, y, z) par rapport à un point mobile
système Oxyz– relatif, par rapport au système stationnaire O1x1y1z1–
absolu. Mouvement du système mobile Oxyz par rapport au système stationnaire
systèmes O1x1y1z1 – mouvement portable.
Absolu
Équation de base de la dynamique : ma Fi. accélération ponctuelle :
m(une une une) Fi .
r
e
c
a a a r a e a c.
Déplaçons les termes avec portable et
r
e
c
Accélération de Coriolis vers la droite : ma Fi ma ma .
Les termes transférés ont la dimension des forces et
sont considérées comme des forces pertinentes
e ma e, c ma c.
inertie égale à :
r
En projections sur l'axe du système mobile
ma Fi e c.
coordonnées nous avons :
F
F
(Оz) : m z F
Alors le mouvement relatif du point
(Bœuf) : m x
peut être considéré comme absolu
si on ajoute aux forces agissantes
(Оy) : ma
forces d'inertie portables et de Coriolis :
ix
ex cx ;
je
hé cy ;
iz
ez cz.
Merci pour votre attention!
Conférence 2
21. Dynamique d'un système mécaniqueSystème de points matériels ou système mécanique –
Un ensemble de points matériels ou de corps matériels,
unis par les lois générales d'interaction (position
ou le mouvement de chacun des points ou du corps dépend de la position
et les mouvements de tous les autres).
Un système de points gratuits - dont le mouvement n'est pas
limité par toute connexion (par exemple, planétaire
système dans lequel les planètes sont considérées comme
points matériels).
Système de points non gratuits ou non gratuits
système mécanique - mouvement de points matériels ou
les corps sont limités par les connexions imposées au système
(par exemple, mécanisme, machine, etc.).
Conférence 2
22. Forces agissant sur le systèmeEn plus de la classification des forces précédemment existante
(forces actives et réactives) une nouvelle est introduite
Classement des forces :
1. Forces externes (e) – agissant sur des points et des corps
système à partir de points ou de corps non inclus dans le
de ce système.
2. Forces internes (i) – forces d’interaction entre
points ou corps matériels inclus dans un
système.
La même force peut être à la fois externe et
force intérieure. Tout dépend du type de mécanique
le système est en cours de révision.
Par exemple : Dans le système Soleil, Terre et Lune, toutes les forces
l’attraction gravitationnelle entre eux est interne. À
considérant le système de gravité Terre et Lune,
ceux appliqués du côté du Soleil sont externes. Basé sur la loi d'action et de réaction de chacun
la force interne Fk correspond à une autre force interne
force Fk" de grandeur égale et de grandeur opposée
direction.
Deux propriétés remarquables des efforts internes en découlent :
1. Le vecteur principal de toutes les forces internes du système est égal à
je
je
zéro : R Fk 0.
2. Le point principal de toutes les forces internes du système
je
je
M
M
kO 0.
par rapport à n'importe quel centre est nul : O
UN
DANS
Z
Xki 0 ; Yki 0 ; Z ki 0.
je
je
je
M
0
;
M
0
;
M
kx
ky
kz 0.
AVEC
Remarque : Bien que ces équations soient similaires aux équations d’équilibre, elles sont
ne le sont pas, puisque les forces internes sont appliquées à
à divers points ou corps du système et peut provoquer le mouvement de ceux-ci
points (corps) les uns par rapport aux autres. De ces équations il résulte,
que les forces internes n'affectent pas le mouvement du système considéré
comme un tout. 23. Centre de masse d'un système de points matériels
Pour décrire le mouvement du système dans son ensemble, nous introduisons
un point géométrique appelé centre de masse dont le rayon vecteur est déterminé par l'expression
mk rk
r
,
C
où M est la masse de l'ensemble du système :
Mmk.
M
Ou en projections sur des axes de coordonnées :
mkxk
xC
,
mk ou k
yC
,
M
z m1
r1
RC
m2
Ô
X
yC
mk
C r
k
zC
r2
M
rn
xC
minute
oui
mk zk
zC
.
M
Formules pour le centre de masse
similaire aux formules pour le centre
la gravité. Cependant, la notion de centre
la masse est plus générale car elle ne l'est pas
liés aux forces gravitationnelles ou
forces de gravité. 24. Théorème sur le mouvement du centre de masse du système
mk a k F k F k ou mk
e
je
2
d
e
m
r
R.
.
2kk
dt
Dans les projections sur
axes de coordonnées :
j 2 travail
dt
2
Fke Fki. Résumons-le
ces équations
en tout point :
MrC mk rk.
d2
e
M
r
R.
.
C
2
dt
mk
j 2 travail
dt2
Fke Fki.
Concernant
M
d 2 RC
dt2
Concernant
Ri 0
MAC-R
M x C R ex Fxke ; Théorème : Produit
M y C R ey
M z C R ez
masse du système par
Fiké ; accélération de son centre
la masse est égale à la masse principale
e
Fzk. vecteur de forces extérieures.
e Corollaires du théorème sur le mouvement du centre de masse du système
(lois de conservation)
est nul, Re = 0, alors la vitesse du centre de masse est constante, vC = const (centre
la masse se déplace uniformément en ligne droite - la loi de conservation du mouvement
le centre de masse).
2. Si dans l'intervalle de temps la projection du vecteur principal de l'extérieur
les forces du système sur l'axe x sont nulles, Rxe = 0, alors la vitesse du centre de masse le long de l'axe x
est égal à zéro, Re = 0, et à l'instant initial la vitesse du centre de masse est égale à
zéro, vC = 0, alors le rayon vecteur du centre de masse reste constant, rC =
const (le centre de masse est au repos - la loi de conservation de position
le centre de masse).
la force du système sur l'axe des x est nulle, Rxe = 0, et à l'instant initial la vitesse
le centre de masse le long de cet axe est égal à zéro, vCx = 0, alors la coordonnée du centre de masse le long de
L'axe x reste constant, xC = const (le centre de masse ne se déplace pas le long de cet axe
axe).
25. Impulsion de force
Une mesure de l'interaction mécanique caractérisant
transmission du mouvement mécanique de l'acteur
au point de force pendant une période de temps donnée :
SF (t 2 t1).
Dans les projections sur
t
t
t
coordonnée (Ox) : S x Fx dt ; (Oy) : S y Fy dt ; (Oz) : S z Fz dt .
t
t
t
essieux :
2
2
2
1
1
1
t2
En cas de force constante : S F dt
t1
S x Fx (t 2 t1) ;
S y Fy (t 2 t1) ;
S z Fz (t 2 t1) ;
L'impulsion de la résultante est égale à la géométrique
la somme des impulsions de forces appliquées à un point pendant une seule et même
même période de temps : R F1 F2 ... Fn.
R dt F1dt F2 dt ... Fn dt.
Intégrons sur t2
t2
t2
t2
intervalle donné R dt F1dt F2 dt ... Fn dt.
t1
t1
t1
t1
temps:
S S1 S 2 ... S n . 26. Mouvement d'un point
égal au produit de la masse d'un point et de son vecteur
vitesse : Qmv.
La quantité de mouvement d’un système de points matériels –
somme géométrique des quantités de mouvement matériel
points : Q Q1 Q2 ... Qn Qk .
Par définition du centre de masse :
Q
m
v
Q Qk mk vk mk
merde
d
(mk rk).
dt
dt
MrC mk rk.
Le vecteur impulsion du système est égal à
produit de la masse du système entier et du vecteur vitesse
centre de masse du système.
RDC
d
Alors : Q dt (Mrc) M dt MvC .
Dans les projections sur
Q Mx C ;
axes de coordonnées : x
QMvC.
Q y Mx C ;
Q y Mx C . 26. Théorème sur le changement de quantité de mouvement
systèmes
Considérons un système de n points matériels. Attaché à
Nous divisons chaque point de force en externe et interne et
Remplaçons-les par les résultantes correspondantes Fke et Fki.
Écrivons l'équation de base de la dynamique pour chaque point :
mk a k F ke F ki ou mk dvk Fke Fki .
dt
Résumons-les
Du côté gauche de l’équation, nous introduisons
équations
masses sous le signe dérivé
en tout point :
et remplacer la somme des dérivées par
dvk
e
je
m
F
F
.
k
k
k
dérivée de la somme : d (m v) R e .
dt
kk
dt
De la définition
e
je
d
Q
e
R.
0
R.
quantités mk v k Q .
R.
Dérivée du vecteur impulsion du système par rapport au temps
dt est égal au vecteur principal des forces externes du système.
système de mouvement :
dQx
En projections sur les coordonnées dQx R e F e ; dQx R e F e ;
R e F xke.
xk
xk
dt
dt
dt
essieux :
X
X
X 26. Corollaires du théorème sur le changement de quantité
mouvement du système (lois de conservation)
:
1. Si dans l'intervalle de temps le vecteur principal de l'externe
les forces du système sont nulles, Re = 0, alors le vecteur quantité
le mouvement est constant, Q = const – loi de conservation
dynamique du système.
2. Si dans l'intervalle de temps la projection du vecteur principal
les forces externes du système sur l'axe des x sont égales à zéro, Rxe = 0, alors
projection de l'impulsion du système sur l'axe des x
est constant, Qx = const.
Des affirmations similaires sont vraies pour les axes y et z.
dQ
On projette sur l'axe : τ m1 g cos m2 g cos 0.
dt
Nous partageons
Q
t
variables
dQτ (m1 g cos m2 g cos)dt 0.
0
et intégrer : Q0
D'où la loi Qτ Qτ 0 0 ou Qτ 0 Qτ.
sauvegarde : Mv m v m v .
1 1
2 2
Intégrale droite
presque égal
zéro, parce que temps
explosion t<<1.
v2
Mv m1v1
v2.
m2 27. Momentum d'un point ou cinétique
moment de mouvement par rapport à un centre
Une mesure de mouvement mécanique définie par un vecteur,
égal au produit vectoriel du rayon vecteur
point matériel par le vecteur de son élan :
Q
v
Moment cinétique d'un système de points matériels
par rapport à un centre – géométrique
la somme des moments des quantités de mouvements de tous
points matériels par rapport au même centre :
m
K.O.
r
Ô
K O r Q r mv .
K x y (mv z) z (mv y);
K y z (mv x) x (mv z);
K z x (mv y) y (mv x).
Dérivée du vecteur moment cinétique
systèmes relatifs à un certain centre dans le temps
égal au moment principal des forces externes du système
par rapport au même centre.
KO K1O K2O ... KnO KiO ri mi vi .
Dans les projections
Kx
sur l'axe :
K
ix
; K y Kiy ;
Kz Kiy. 28. Théorème sur le changement du moment cinétique
mouvement du système
Considérons un système de n points matériels. Attaché à
Nous divisons chaque point de force en externe et interne et
Remplaçons-les par les résultantes correspondantes Fke et Fki.
Écrivons l'équation de base de la dynamique pour chaque point :
dvk
e
je
e
je
m
F
F
.
mk un k F k F k
k
ou
k
k
dt
Multiplions vectoriellement chacune des égalités par le rayon vecteur
gauche:
dv
rk mk
k
dt
Résumons-les
des équations pour tous
points:
rk Fke rk Fki .
dvk
e
je
r
m
r
F
r
F
k
k k k k.
k
dt
e
M.O.
je
M.O.
0Voyons si nous pouvons supprimer le signe de la dérivée
au-delà du produit vectoriel :
merde
dvk
d
(rk mk vk)
mk vk rk mk
dt
dt
dt
vk mk vk 0 (sin(vk , mk vk) 0)
dvk
rk mk
.
dt
d
e
r
m
v
M
k
kk
O.
dt
Ainsi, nous avons obtenu :
Remplaçons la somme des dérivées
à la dérivée de la somme : d
(rk mk v k) M Oe .
dt
L'expression entre parenthèses est le moment cinétique
systèmes. D'ici:
ne sait pas
Ô
dt
M Oe. En projections sur des axes de coordonnées :
dKy
ne sait pas x
nsp z
e
e
MX ;
Mon;
Mze.
dt
dt
dt
Théorème : Dérivée du vecteur couple
la quantité de mouvement du système par rapport à
d'un centre est égal en temps au centre principal
moment des forces externes du système par rapport à
le même centre.
ne sait pas
Ô
dt
M Oe.
Théorème : Dérivée du moment de la quantité
mouvement du système par rapport à un axe
égal en temps au moment principal de l'extérieur
forces du système par rapport au même axe.
dKy
ne sait pas x
nsp z
e
e
MX ;
Mon;
Mze.
dt
dt
dt 29. Corollaires du théorème de changement de couple
dynamique du système (lois de conservation)
1. Si dans l'intervalle de temps le vecteur du moment principal
forces externes du système par rapport à un centre
est égal à zéro, MOe = 0, alors le vecteur du moment de quantité
mouvement du système par rapport au même centre
constante, KO = const – loi de conservation du couple
dynamique du système).
2. Si dans l'intervalle de temps le moment principal de l'externe
la force du système par rapport à l'axe des x est nulle, Mxe = 0, alors
moment cinétique du système autour de l'axe x
constante, Kx = const.
Des affirmations similaires sont vraies pour les axes y et z. 30. Éléments de la théorie des moments d'inertie
Dans le mouvement de rotation d'un corps rigide, la mesure de l'inertie
(résistance au changement en mouvement) est le moment
inertie par rapport à l'axe de rotation. Regardons l'essentiel
définition concepts et méthodes de calcul des moments
inertie.
30.1. Moment d'inertie d'un point matériel
par rapport à l'axe
2
2
2
Je z mh m(x y)
z
h
m
z
r
Ô
h
X
X
oui
oui
Moment d'inertie du matériau
le point par rapport à l'axe est égal
le produit de la masse d'un point et
carré de la distance du point à l'axe.
En plus du moment d'inertie axial d'un corps rigide
Il existe d'autres types de moments d'inertie :
Je xy xydm
- moment d'inertie centrifuge
corps solide. 30.2. Moment d'inertie d'un corps rigide autour d'un axe
z
Je z mk hk2 mk (xk2 yk2)
hé
rk
mk
z
oui
Ô
ouais
X
Moment d'inertie d'un corps rigide
par rapport à l'axe est égal à la somme
produits de la masse de chaque point
par le carré de la distance de ce point
à l'axe.
Lors du passage du discret
petite masse à infinitésimale
masse d'un point, limite d'une telle somme
est déterminé par l'intégrale :
xk
Je z h 2 dm (x 2 y 2)dm
- moment d'inertie axial
corps solide.
I O r dm (x y z)dm
2
2
2
2
- moment polaire
inertie d'un corps solide. 30.4. Moment d'inertie d'une tige constante uniforme
sections transversales par rapport à l'axe
Sélectionnons le volume élémentaire dV = Adx à une distance x :
zС
z
Élémentaire
poids:
dm Adx
L
X
X
C
dx
L
3L
L
X
I z x 2 dm x 2 Adx A
3
0
0
0
L3ML2
UN
3
3
emplacement de l'axe et définir les limites d'intégration (-L/2,
L/2). Nous démontrons ici la formule pour passer à
axes parallèles :
2
2
M.L.
L
Je zC M .
3
2
Je z je zC d M .
2
Je zC
2
ML-L
ML2
M
.
3
12
2
230.5. Moment d'inertie d'un cylindre solide homogène
par rapport à l'axe de symétrie
Sélectionnons le volume élémentaire : dV = 2πrdrH (cylindre mince
rayon r
Masse élémentaire :
dm 2 rdrH
R.
R.
Je z r dm r 2 2 rdrH
2
0
0
4R
r
2H
4
0
R 4 MR 2
2H
4
2
MR 2
Iz
2
Puisque la hauteur des cylindres n'est pas incluse dans le résultat
formules pour les moments d'inertie, alors elles restent
valable pour un disque solide et fin et une jante
roues (anneau fin). 31. Moment cinétique d'un corps rigide
ΔK zi salut Δmi vi salut Δmi z salut h Δmi .
2
z je
K z ΔK zi z h Δmi z I z .
2
je
Ou passer à autre chose
aux infinitésimaux :
dK z hdmv hdm z h z h dm.
2
K z dK z zh 2 dm z I z .
Moment cinétique de la rotation
le corps est égal au produit de l'angle
vitesse au moment d'inertie
par rapport à l'axe de rotation.
z
z
Salut
Δmi
vi
X
oui 32. Équation différentielle de rotation
corps rigide par rapport à l'axe
Écrivons le théorème sur le changement du moment cinétique
un corps rigide tournant autour d'un axe fixe :
nsp z
Mze.
dt
Le moment cinétique d’un corps rigide en rotation est égal à :
z
z
z
mz
X
K z z je z .
Moment des forces externes par rapport à l'axe
la rotation est égale au couple
(réactions et gravité M e M M
z
z
tourner
ne créez pas d'occasions) :
On substitue le moment cinétique et
oui
couple dans le théorème
d (z je z)
Rotation M z M
dt
Rotation I z M z M 33. Théorie élémentaire du gyroscope
Gyroscope - un corps rigide tournant autour d'un axe
symétrie matérielle, dont l'un des points
immobile.
Gyroscope libre - fixé de manière à ce que son centre de masse
reste stationnaire et l'axe de rotation passe par
centre de masse et peut prendre n'importe quelle position dans
l'espace, c'est-à-dire l'axe de rotation change de position
semblable à l'axe de rotation du corps à
mouvement sphérique.
KC
ω L'hypothèse principale de l'approximatif (élémentaire)
théorie du gyroscope – vecteur du moment de la quantité
le mouvement (moment cinétique) du rotor est pris en compte
dirigé selon son propre axe de rotation.
La propriété principale d'un gyroscope libre est l'axe du rotor
maintient une direction constante dans l'espace le long de
par rapport au référentiel inertiel (stellaire)
(démontré par le pendule de Foucault, qui maintient le
par rapport aux étoiles, le plan oscillant, 1852).
Cela découle de la loi de conservation du moment cinétique
par rapport au centre de masse du rotor, à condition
négliger les frottements dans les roulements des essieux de suspension
rotor, cadre extérieur et intérieur :
dKC
M Ce 0 ;
dt
K C const. 34. Action de force sur l'axe d'un gyroscope libre
Dans le cas d'une force appliquée sur l'axe du rotor,
le moment des forces externes par rapport au centre de masse n'est pas égal
zéro:
ne sait pas
M e Fh.
C
dt
M Ce r F ;
C
Dérivée du moment cinétique par rapport au temps
égale à la vitesse de la fin de ce vecteur (théorème de Rézal) :
dKC
docteur
vK ; (v).
dt
dt
vK
z
M Ce.
Cela signifie que l'axe du rotor sera
s'écarter de la direction de l'action
force, et vers le vecteur moment
cette force, c'est-à-dire ne tournera pas
par rapport à l'axe x (interne
suspension), et par rapport à l'axe y
(suspension externe).
F
h
vK
oui
AVEC
M Ce
X
ω
KC Lorsque la force cesse, l'axe du rotor reste
dans une position constante correspondant à
le dernier moment du temps d'action de la force, car
à partir de ce moment, le moment des forces extérieures à nouveau
devient égal à zéro.
En cas de force de courte durée (impact), l'axe
Le gyroscope ne change pratiquement pas de position.
Ainsi, la rotation rapide du rotor communique
capacité du gyroscope à contrecarrer le hasard
influences tendant à modifier la position de l'axe
rotation du rotor, et avec une force constante
maintient la position du plan perpendiculaire à
la force agissant dans laquelle se trouve l'axe du rotor. Ces propriétés
utilisé dans le fonctionnement des systèmes de navigation inertielle.
Merci pour votre attention!
Exemple : Deux personnes de masses m1 et m2 sont dans un bateaumasse m3. Au premier instant, un bateau avec des gens
était au repos. Déterminez le déplacement du bateau si
une personne de masse m2 s'est déplacée vers la proue du bateau à une distance a.
1. Objet de mouvement
(bateau avec des gens):
x2
oui
x1
2. On jette les raccords (eau) :
UN
G3
3. Remplacez la connexion par une réaction :
4. Ajoutez des forces actives :
G1
R.
G2
X
Ô
Projeter sur l'axe X :
M x C 0.
xC const.
MaC R e G1 G2 G3 N
0 m1b m2 a.
b
m2
un.
m1
x3
xC const 0.
mk xk 0 mk xk .
m2 une
0 m1l m2 (l a) m3l
je
m1 m2 m3
dans la direction opposée.
17
Conférence 6 (suite de 6.2)
Théorème sur le mouvement du centre de masse d'un système – Considérons un système de n points matériels. On divise les forces appliquées à chaque pointen externe et interne et remplacez-les par les résultantes correspondantes Fke et Fki. Écrivons l'équation de base pour chaque point
haut-parleurs:
ou
j 2 travail
e
je
j 2 travail
Résumons ces équations
mk a k F ke F ki
mk
F
F
.
m
k 2 Fke Fki .
k
k
en tout point :
dt2
dt
Sur le côté gauche de l'équation, nous introduisons les masses sous le signe de la dérivée
d2
(m r) R e.
et remplacez la somme des dérivées par la dérivée de la somme :
2kk
De la définition du centre de masse :
Après avoir retiré la masse du système
pour le signe de la dérivée on obtient
En projections sur des axes de coordonnées :
MrC mk rk.
M
d 2 RC
dt
2
dt
Remplaçons dans l'équation résultante :
R e ou :
M x C R ex X ke ;
Mon C R ey Yke ;
MaC R e
d2
(MrC) R e .
2
dt
Concernant
Ri 0
Le produit de la masse d'un système et de l'accélération de sa masse centrale
égal au vecteur principal des forces extérieures.
Le centre de masse du système se déplace comme un point matériel avec une masse égale à la masse
l'ensemble du système auquel toutes les forces externes agissant sur le système sont appliquées.
Exemple : Deux personnes de masses m1 et m2 se trouvent dans un bateau de masse m3.
Au début, le bateau avec les gens était au repos.
Déterminer le déplacement du bateau si une personne de masse m2 se déplace vers la proue
Corollaires du théorème sur le mouvement du centre de masse du système
bateaux à distance.
oui
(lois de conservation):
x2
UN
1. Si dans l'intervalle de temps le vecteur principal des forces externes du système
X
1. Objet de déplacement (bateau avec des personnes) :
1
est nul, Re = 0, alors la vitesse du centre de masse est constante, vC = const
2. On jette les raccords (eau) :
(le centre de masse se déplace uniformément en ligne droite - loi de conservation
3.
On remplace la connexion par une réaction :
G1
X
mouvement du centre de masse).
Ô
G2
2. Si dans l'intervalle de temps la projection du vecteur principal des forces externes 4. Ajouter les forces actives :
le système sur l'axe des x est nul, Rxe = 0, alors la vitesse du centre de masse le long de l'axe des x
5. Nous écrivons le théorème sur le centre de masse :
constante, vCx = const (le centre de masse se déplace uniformément le long de l'axe).
G3
R.
MaC R e G1 G2 G3 N
Des affirmations similaires sont vraies pour les axes y et z.
x3
3. Si dans l'intervalle de temps le vecteur principal des forces externes du système
Projeter sur l'axe des x : M x C 0.
xC const 0.
est nulle, Re = 0, et à l'instant initial la vitesse du centre de masse est nulle,
xC const.
vC = 0, alors le rayon vecteur du centre de masse reste constant, rC = const (centre
mk xk 0 mk xk .
la masse est au repos - la loi de conservation de la position du centre de masse).
Déterminons dans quelle mesure une personne de masse m1 doit changer de siège,
m1 x1 m2 x2 m3 x3 m1 (x1 l) m2 (x2 l a) m3 (x3 l)
4. Si dans l'intervalle de temps la projection du vecteur principal de l'extérieur
force
pour maintenir le bateau en place :
Le système sur l'axe des x est nul, Rxe = 0, et au moment initial la vitesse centrale
m2 une
0 m1l m2 (l a) m3l
m1 x1selon ceci
m2 x2axes
égal
m1 (x1vCxb=) 0,
m
(x2 a) mcentre
je
masses
coordonnée to2
masse sur l'axe x
3x3 zéro,
3x3.
m1 m2 m3
m2
reste constant, xC = const (le centre de masse ne se déplace pas le long de cet axe).
Le bateau se déplacera sur une distance l
b
un
.
0
m
b
m
un
.
Similaire
valable pour les axes ym et z.
1 déclarations
2
17
dans la direction opposée.
M z C R ez Z ke .
1
Conférence 8 (suite de 8.2)
4.Moment d'inertie d'une tige constante uniforme
sections par rapport à l'axe :
Soulignons l'élémentaire
zС
volume dV = Adx
z
L
à distance x :
5.
Moment d'inertie d'un cylindre solide homogène
par rapport à l'axe de symétrie :
Soulignons l'élémentaire
volume dV = 2πrdrH
(cylindre mince de rayon r) :
Élémentaire
poids:
dm 2 rdrH
z
R.
X
dx
L
Élémentaire
poids:
dm
C
X
L
3L
X
I z x dm x Adx A
3
0
0
2
2
0
Adx
H
R.
L3ML2
UN
3
3
oui
Pour calculer le moment d'inertie par rapport au centre
axe (passant par le centre de gravité) il suffit de changer
l'emplacement de l'axe et définir les limites d'intégration (-L/2, L/2).
Nous démontrons ici la formule de transition vers le parallèle
axes :
2
2
Je z Je zC d 2 M .
2
Je zC
6.
ML2L
ML2
M
.
3
12
2
0
0
4R
X
r
r
2H
4
docteur
0
R 4 MR 2
2H
4
2
Ici, nous utilisons la formule du volume d'un cylindre V=πR2H.
Pour calculer le moment d'inertie d'un cylindre creux (épais)
il suffit de fixer les limites d'intégration de R1 à R2 (R2 > R1) :
M.L.
L
Je zC M .
3
2
r4
Je z 2 H
4
R2
R1
2
2
R24 R14 M (R 2 R1)
2H
.
4
4
2
Moment d'inertie d'un cylindre mince par rapport à l'axe Puisque la hauteur des cylindres n'est donc pas incluse dans les formules de moment
inertie, alors ils restent valables pour un disque solide mince et
symétrie (t<
R.
zt
En raison de la faible épaisseur du cylindre
on suppose que tous les points sont situés
à la même distance R de l'axe
et aucune intégration n'est requise.
Volume V = 2πRtH. (cylindre fin
rayon R avec épaisseur de paroi t).
H
oui
X
R.
Je z r 2 dm r 2 2 rdrH
■
z
2
M ((R 2 (R t) 2) M (2 R 2 2 Rt t 2) 2R .
Iz
.
2
2
Sélectionnons un petit volume discret de masse mi :
ΔK zi salut Δmi vi salut Δmi z salut z hi2 Δmi .
z
Salut
Je z R 2 2 RtH MR 2 .
La même chose peut être obtenue en utilisant
formules pour un cylindre à paroi épaisse, en tenant compte
petit t :
Moment d'un corps rigide
Δmi
X
K z ΔK zi z hi2 Δmi z I z .
vi
Ou passer aux infinitésimaux :
oui
dK z hdmv hdm z h z h 2 dm.
K z dK z zh 2 dm z I z .
Le moment cinétique d'un corps en rotation est égal au produit
vitesse angulaire au moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation.
22Théorème d'Euler
Théorèmes : Application du théorème du changement de quantité
mouvement du système au mouvement d'un milieu continu (eau).
(x) : M sec (v2 x v1x) Rxrév Rxrév ;
(y) : M sec (v2 y v1 y) R yob R ypov ;
(z) : Mmotion
Rz situé
.
sec (v2 z v1volume
z) Rzeau,
1.Sélectionnez comme objet
dans le canal courbe de la turbine :
2. Nous écartons les connexions et remplaçons leur action par des réactions (Rpov est la résultante des forces de surface)
3. Ajouter les forces actives (Rob – résultante des forces volumétriques) :
à propos
v1
F1
UN
UN
B
B
Rob
La quantité de mouvement de l'eau aux instants t0 et t1
Dans les projections comme
pour les montants :
essieux :
imaginons
QQQ.
0
C
D
F2
v2
UN B
AVANT JC.
Q1 QBC QCD .
,
Modification de la quantité de mouvement de l'eau dans l'intervalle de temps :
Q Q1 Q0 QCD QAB .
Changement de quantité
mouvement
Les vecteurs eau des secondes quantités de mouvement du fluide sur l'axe sont égaux à
Différence
projections
dQ dQCD dQAB , où dQAB (F1v1dt)v1 ;
pour l'infinitésimal
intervalle
temps
dt : vecteurs
la somme des projections du principal
forces volumétriques et surfaciques sur le même axe.
dQCD (F2v2 dt)v2 .
Prendre le produit de la densité, de la section transversale et de la vitesse comme deuxième masse
on a:
dQ (Mdt)v ;
UN B
dQ
Rob Rp.
dt
4. Nous écrivons le théorème sur le changement de la quantité de mouvement du système :
RPov
C
D
point de vue
seconde
1
dQCD (M sec dt)v2 .
dQ M sec (v2 v1)dt.
M sec F1v1 F2v2,
Remplacement du différentiel de quantité de mouvement du système
dans le théorème du changement on obtient :
M sec (v2 v1) Rév Rév.
La différence géométrique entre les vecteurs des secondes quantités de mouvement du fluide est égale à
la somme des principaux vecteurs de forces volumétriques et surfaciques.