Formule de Bernoulli (théorème particulier sur la répétition des expériences)
Exemple 23
Il y a trois billets de loterie. La probabilité de gagner pour n'importe quel billet est la même et est égale à R. Probabilité que le ticket ne soit pas gagnant q = 1 – p– comme la probabilité de l’événement opposé. Déterminez la probabilité que sur trois billets, exactement deux gagnent.
Nous notons la probabilité souhaitée par .
L'événement qui nous intéresse se produira si le premier ET le deuxième billet gagne ET le troisième ne gagne pas OU le premier billet ne gagne pas ET le deuxième ET le troisième gagne OU le deuxième billet ne gagne pas ET le premier ET le troisième gagne . La probabilité de chacune de ces options peut être trouvée à l'aide de la formule de multiplication, et la réponse est calculée à l'aide de la formule d'addition pour les événements incompatibles :
= ppq + qpp + pqp = 3p 2 q.
En analysant la solution au problème, nous découvrons qu'il a été résolu dans l'ordre suivant :
Diverses options pour mettre en œuvre l'événement d'intérêt ont été compilées ;
Le nombre de ces options est compté ;
La probabilité qu'un événement se produise en mettant en œuvre une option est déterminée ;
La probabilité requise est trouvée en multipliant la probabilité qu'un événement se produise selon l'une des options par le nombre total d'options.
En fait, le problème a été résolu en utilisant ce qu'on appelle La formule de Bernoulli. Écrivons-le sous forme générale.
Laissez une série de n expériences (tests). Les expériences sont réalisées de manière répétée, indépendamment les unes des autres et dans les mêmes conditions, afin que la probabilité qu'un événement se produise UN ne change pas d'une expérience à l'autre et est égal à R.. Notons la probabilité que l'événement ne se produise pas UN en une seule expérience - q = 1-p. Il est nécessaire de déterminer la probabilité que dans une série de névénement d'expériences UN cela se reproduira k fois – notons cet événement comme DANS.
Événement DANS peut être réalisé de différentes manières (options). Par exemple, comme ceci :
ou comme ça :
L'important est que dans n'importe quelle variante le nombre d'occurrences de l'événement UNéquivaut à n, et le nombre d'occurrences de l'événement équivaut à n-k, bien qu'ils apparaissent et n'apparaissent pas dans différentes versions dans des séquences différentes.
Pour déterminer le nombre de ces options, vous pouvez utiliser la formule combinatoire- nombre de combinaisons de néléments par k.
Combinaisons - ce sont des combinaisons de k objets (éléments) sélectionnés dans un certain ensemble dans n objets qui contiennent le même nombre d’objets, mais diffèrent les uns des autres par au moins l’un d’entre eux.
Nombre de combinaisons de néléments par k noté comme on peut le trouver par la formule : = . (15)
Une propriété importante pour déterminer le nombre de combinaisons est la suivante :
Dans le problème considéré, les éléments qui diffèrent les uns des autres sont le nombre d’expériences. Le nombre total d'options est de .
Probabilité d'occurrence de l'événement Un les temps pour chaque option sont les mêmes et peuvent être trouvés en utilisant la formule de multiplication des probabilités basée sur l'expression « L'événement A s'est produit k n'est jamais arrivé n-k une fois": p k q n - k
En additionnant ces probabilités identiques, nous obtenons une formule appelée La formule de Bernoulli:
=p k q n - k . (16)
Il faut se rappeler que p est probabilité d'occurrence événement qui nous intéresse dans l'expérience, et q – probabilité de non-comparution cet événement dans l'expérience.
La formule de Bernoulli (Jacob Bernoulli l'a explorée dans son livre The Art of Conjecture) est également appelée privé théorème sur la répétition des expériences. Cela signifie que chaque expérience ultérieure est réalisée dans les mêmes conditions que toutes les précédentes, c'est-à-dire la probabilité qu'un événement se produise ne change pas d'une expérience à l'autre et reste égale R.
Avec le privé, il y a théorème général sur la répétition des expériences (la probabilité qu'un événement change d'une expérience à l'autre), dont la considération dépasse le cadre de ce cours.
Exemple 24
Il y a 10 moteurs électriques dans l'atelier, la probabilité que chacun d'eux soit éteint est de 0,1. Les moteurs sont connectés au réseau indépendamment les uns des autres. Déterminez la probabilité que trois moteurs électriques soient éteints en même temps.
Solution. La condition du problème correspond au schéma de tests répétés de J. Bernoulli. Nous résolvons le problème en utilisant un théorème spécial sur la répétition d'expériences, en tenant compte du fait qu'il existe trois moteurs éteints (la probabilité de l'état éteint est de 0,1) et 7 moteurs allumés (la probabilité de l'état allumé est de 0,1). 0,9) :
=p 3 q 10-3=q 3 (1-q) 10-3 =120∙(0,1) 3 ∙(0,9) 7 =0,0574.
Variables aléatoires et leurs lois de distribution
Outre les événements aléatoires, un autre concept important dans la théorie des probabilités est le concept de « variable aléatoire » (RV).
Ordre de grandeur est une caractéristique quantitative du résultat d’une expérience.
Toutes les quantités sont divisées en deux grands groupes : non aléatoires et aléatoires.
Non aléatoire (déterministe) - ce sont des quantités qui, du fait de l'expérience, prennent une valeur prédéterminée et connue. Par exemple, l’heure du lever et du coucher du soleil, la date de la nouvelle année, le nombre de doigts sur les mains d’un nouveau-né, le nombre d’examens et de tests au cours d’un semestre.
Aléatoire (stochastique)- ce sont des quantités dont on ne sait pas à l'avance quelle valeur elles prendront à la suite de l'expérimentation.
Les variables aléatoires, quant à elles, peuvent être discrètes ou continues.
Discret sont ces SV qui, par expérience, prennent l'une des nombreuses valeurs possibles, et ces valeurs, si vous le souhaitez, peuvent être répertoriées ou numérotées, c'est-à-dire cet ensemble est fini. Le plus souvent (mais pas nécessairement), il s’agit de valeurs entières non négatives. Par exemple, Ô la note de l'étudiant à l'examen ; le nombre de cheveux sur la tête, le nombre d'ouvriers dans l'atelier ED.
Continu ils appellent de tels SV qui, par expérience, prennent l'une des valeurs possibles, et le nombre de ces valeurs, même dans un très petit intervalle, est infiniment grand. En d’autres termes, l’ensemble des valeurs possibles d’un SV continu est indénombrable. Par exemple, le niveau de tension dans le réseau, la durée de fonctionnement d'une ligne électrique avant panne, la taille et le poids d'une personne, le poids d'un stylo-plume.
Noms de variables aléatoires généralement désigné en majuscule Alphabet latin - X, Oui; UN valeurs , quelles variables aléatoires prennent en compte dans l'expérience, – minuscule - x, y.
Différentes valeurs d'une même variable aléatoire ne sont pas observées aussi souvent. Par exemple, les hommes portent beaucoup plus souvent des pointures 42 que des pointures 46 ; La tension du réseau est beaucoup plus souvent comprise entre 215 et 225 V que entre 225 et 235 V.
La relation entre les valeurs d'une variable aléatoire et les probabilités de leur apparition est établie par loi de distribution d'une variable aléatoire. Ils disent que SV est distribué (sous réserve de) selon l'une ou l'autre loi de distribution. Il existe plusieurs formes de précision de la loi de répartition :
· sous forme de tableau (tabulaire) ;
· sous forme de dessin (graphiquement) ;
formule (analytiquement).
Méthodes de spécification des lois de distribution des variables aléatoires
Toutes les méthodes permettant de spécifier les lois de la distribution SW peuvent être conditionnellement divisées en théoriques et statistiques. Lois théoriques les distributions reflètent les véritables lois existant dans la nature. Pour les établir, selon la loi des grands nombres, il faut traiter une quantité d’informations quasi infinie. En pratique, ces lois sont établies sur la base d'un nombre limité de données statistiques et sont formalisées par l'un ou l'autre statistique façons. Les statistiques sont souvent appelées expérimental (empirique)). Chaque méthode théorique de spécification de la loi de distribution (DLR) possède des analogies statistiques (STL). Considérons ces méthodes.
TZR-1. Série de distribution SV
Une série de distribution est un tableau dans lequel, d'une part, sont indiquées les valeurs d'une variable aléatoire, et d'autre part, leurs probabilités (tableau 2). Dans la série de distribution, les valeurs de SV sont disposées de manière ordonnée - à mesure qu'elles augmentent.
La probabilité totale de ces valeurs, égale à un, est divisée entre toutes les valeurs possibles de SV. Par conséquent, la somme de toutes les probabilités de la série de distribution est égale à un : = 1
Tableau 2. Série de distribution SV
Distributions de base
Variables aléatoires
Lignes directrices pour le travail indépendant des étudiants
toutes les formes d'éducation
Compilé par V.A. Bobkova
Ivanovo 2005
Compilé par V.A. Bobkova
Distributions de base de variables aléatoires : Lignes directrices pour le travail indépendant des étudiants de toutes les formes d'enseignement / Comp. V.A. Bobkova ; GOUVPO Ivan. État technologie chimique univ. – Ivanovo, 2005. 32 p.
Les lignes directrices sont consacrées à l'une des sections importantes du cours « Théorie des probabilités et statistiques mathématiques », à savoir : les distributions de base des variables aléatoires. Le concept de variable aléatoire est donné, des méthodes pour spécifier des variables aléatoires discrètes et continues sont décrites et des définitions de l'espérance mathématique, de la dispersion et de l'écart type sont données. Ensuite, les principales distributions de variables aléatoires discrètes sont considérées : distribution de Bernoulli, distribution binomiale, distribution de Poisson, distributions géométriques et hypergéométriques, ainsi que les principales distributions de variables aléatoires continues : distributions uniformes, exponentielles, normales. Des formules pour les caractéristiques numériques des distributions considérées sont dérivées, des illustrations graphiques et des exemples de résolution de problèmes sont donnés. Les problèmes sont donnés pour une solution indépendante.
Les lignes directrices sont destinées au travail indépendant des étudiants de toutes les spécialités universitaires.
Bibliographie : 4 titres.
Réviseur Docteur en Sciences Techniques, Professeur A. N. Labutin
(Université d'État de technologie chimique d'Ivanovo)
Informations de base sur les variables aléatoires
Le concept de variable aléatoire
Aléatoire est une grandeur qui, à la suite d'un test, prendra une et une seule valeur possible, non connue à l'avance et dépendant de raisons aléatoires qui ne peuvent être prises en compte.
Les variables aléatoires sont désignées par les lettres latines majuscules X,Y, Z, ..., et leurs valeurs possibles sont désignées par les lettres minuscules correspondantes x, y, z, ....
Exemples de variables aléatoires :
1) le nombre d'appels reçus des abonnés au central téléphonique pendant une certaine période ;
2) le poids d'un grain de blé pris au hasard ;
3) le nombre d'excellentes notes des étudiants d'un groupe à l'examen ;
4) la distance entre le point de lancement du disque et le point d'impact ;
5) le nombre de fautes de frappe dans le livre.
La variété des variables aléatoires est grande. Le nombre de valeurs qu'ils acceptent peut être fini, dénombrable ou indénombrable ; ces valeurs peuvent être localisées discrètement ou remplir des intervalles (finis ou infinis).
Variables aléatoires discrètes – Ce sont des variables aléatoires qui ne peuvent prendre qu’un ensemble fini ou dénombrable de valeurs. Par exemple, le nombre de fois où les armoiries apparaissent en cinq lancers de pièces (les valeurs possibles sont 0, 1, 2, 3, 4, 5) ; le nombre de tirs avant le premier coup sur la cible (valeurs possibles 1, 2, ..., n, où n est le nombre de cartouches disponibles) ; le nombre d'éléments défaillants dans un dispositif composé de trois éléments (valeurs possibles 0, 1, 2, 3) sont des variables aléatoires discrètes.
Variables aléatoires continues– ce sont des variables aléatoires dont les valeurs possibles forment un certain intervalle fini ou infini. Par exemple, la disponibilité d’un appareil, la portée de vol d’un projectile, le temps d’attente d’un bus sont des variables aléatoires continues.
Méthodes de spécification de variables aléatoires
Afin de spécifier une variable aléatoire, vous devez connaître les valeurs qu'elle peut prendre et les probabilités avec lesquelles la variable aléatoire prend ses valeurs. Toute règle (tableau, fonction, graphique) qui permet de trouver les probabilités de valeurs individuelles d'une variable aléatoire ou d'un ensemble de ces valeurs est appelée loi de distribution de variables aléatoires (ou simplement distribution ). On dit d’une variable aléatoire qu’« elle obéit à une loi de distribution donnée ».
Soit X une variable aléatoire discrète qui prend des valeurs (l'ensemble de ces valeurs est fini ou dénombrable) avec certaines probabilités 
. Loi de distribution d'une variable aléatoire discrète
pratique à définir à l'aide de la formule 
i = 1, 2, 3, … , n, … , qui détermine la probabilité qu'à la suite de l'expérience, la variable aléatoire X prenne la valeur . Pour une variable aléatoire discrète, la loi de distribution peut être spécifiée comme tableaux de répartition
:
| X | … | … | |||
| P. | … | pn | … |
Ici, la première ligne contient toutes les valeurs possibles (généralement par ordre croissant) de la variable aléatoire, et la deuxième ligne contient leurs probabilités. Ce tableau s'appelle proche de la distribution .
Puisque les événements sont incompatibles et forment un groupe complet d’événements, la somme de leurs probabilités est égale à un.
La loi de distribution d'une variable aléatoire discrète peut être spécifiée graphiquement si les valeurs possibles de la variable aléatoire sont tracées sur l'axe des abscisses et leurs probabilités sont tracées sur l'axe des ordonnées. Une polyligne reliant les points successivement obtenus est appelée polygone de distribution .
Évidemment, une série de distribution ne peut être construite que pour des variables aléatoires discrètes. Pour les variables aléatoires continues, il n’est même pas possible de lister toutes les valeurs possibles.
Une manière universelle de spécifier la loi de distribution de probabilité, adaptée aux variables aléatoires discrètes et continues, est sa fonction de répartition.
Soit X une variable aléatoire, x un nombre réel. Fonction de distribution de probabilité de la variable aléatoire X est la probabilité que cette variable aléatoire prenne une valeur inférieure à x :
(1)
Géométriquement, cette égalité peut être interprétée comme suit : F(x) est la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur représentée sur l'axe numérique par un point situé à gauche du point x, c'est-à-dire que la variable aléatoire le point X tombera dans l’intervalle.
Propriétés de la fonction de distribution :
1. Les valeurs de la fonction de distribution appartiennent au segment :
2. F(x) est une fonction non décroissante, c'est-à-dire 
Si .
Corollaire 1. La probabilité qu'une variable aléatoire prenne une valeur contenue dans l'intervalle , où un, si sa fonction de distribution
F(X) est égal à 0 à X, 1 à X > b et change linéairement de 0 à 1 à un .
(un + b)/2, et la variance est ( b − un) 2 /12 .
La figure montre un graphique de cette fonction de distribution pour un= 0 et b = 1 .
Cette loi de distribution est très importante pour nous, car tous les capteurs informatiques standard de variables aléatoires (nombres pseudo-aléatoires) modélisent précisément ces variables aléatoires, et à partir d'elles sont créées les variables aléatoires dont nous avons besoin.
Distribution exponentielle
Une variable aléatoire est distribuée de manière exponentielle ou exponentielle si elle est non négative et F(X) = 1 − exp(−λ X) , où λ est une constante positive.
L'espérance mathématique d'une telle variable aléatoire est λ − 1 et la variance est λ − 2.
La figure montre un graphique de cette fonction de distribution pour λ = 3.
On rencontre souvent cette loi de répartition dans les applications, notamment dans l'ingénierie radio et les communications. En particulier, on suppose souvent que le temps de conversation de deux abonnés se répartit selon une loi exponentielle.
Distribution normale
Il s'agit de la distribution de probabilité standard la plus populaire et, à première vue, il peut sembler étrange qu'une formule aussi complexe soit la plus courante.
Une variable aléatoire est distribuée normalement ou de manière gaussienne si (à droite se trouve un portrait de K. F. Gauss (1777-1855))
Cette fonction dépend des paramètres un et σ. L'espérance mathématique d'une telle variable aléatoire est égale à un, et la dispersion est σ 2.
Le graphique montre une fonction standard avec un= 0 et σ = 1.
La raison de l'apparition fréquente de cette loi dans les applications est que lors de l'ajout de variables aléatoires, très souvent la distribution de leur somme, considérée comme une variable aléatoire, se rapproche de la normale.
Cela n’apparaîtra pas dans nos tâches, mais il serait indécent de ne pas en parler.
Distribution de Bernoulli
Cette distribution discrète la plus simple porte le nom du mathématicien suisse Jacob Bernoulli l'Ancien (1654-1705) (il y avait aussi un plus jeune qui travaillait à Saint-Pétersbourg).
Une variable aléatoire est distribuée par Bernoulli si elle ne prend que deux valeurs. Généralement ces valeurs sont 1, dont la probabilité est p ,
et 0, dont la probabilité est q = 1 − p.
L'espérance mathématique d'une telle variable aléatoire est égale à p, et la variance est pq .
Bien entendu, vous pouvez créer vous-même un tel calendrier.
La loi de Bernoulli est très pratique pour toutes sortes de constructions de modèles ; elle est seulement un peu plus compliquée que son cas particulier - lancer une pièce de monnaie, où p = 1/2 .
Distribution binomiale
Variable aléatoire ξ égale à la somme n Les variables aléatoires de Bernoulli identiques et indépendantes ont une distribution binomiale. Pour elle
L'espérance mathématique d'une telle variable aléatoire est égale à n.p., et la variance est npq .
Distribution binomiale avec un nombre croissant de termes n devient très similaire à une distribution normale.
Il vous suffit de normaliser de manière appropriée la variable aléatoire : soustraire l'espérance mathématique et diviser par la racine de la variance, c'est-à-dire considérer au lieu de ξ
η = (ξ — n.p.)(npq) − 1/2 .
Si avec la croissance n probabilité p diminue, et de telle manière que le produit soit maintenu ou stabilisé n.p., on obtient une autre distribution classique, que nous allons maintenant décrire.
Distribution de Poisson
Cette répartition a été proposée par le mathématicien français Siméon Poisson (1781-1840), membre honoraire de l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg.
La variable aléatoire ξ a une distribution de Poisson si
L'espérance mathématique d'une telle variable aléatoire est λ, et la variance est également λ.
La distribution de Poisson est typique du schéma d'événements rares - dans lequel de nombreuses variables aléatoires sont additionnées avec une distribution de Bernoulli et une très faible probabilité d'un résultat positif pour chacune.
Par exemple, il a été noté que le nombre de lettres déposées dans une boîte aux lettres avec une enveloppe non marquée présente une distribution de Poisson.
Des exercices
- La variable aléatoire prend les valeurs 0 avec probabilité 0,3, 2 avec probabilité 0,2, 4 avec probabilité 0,5. Trouvez son espérance mathématique et sa variance.
Deux variables aléatoires ont une espérance mathématique de 0 et une variance de 1. Dans quelles limites la variance de leur somme peut-elle varier ? Construisez un exemple avec la plus grande et la plus petite variance de la somme.
Questions d'examen
Variables aléatoires et leurs fonctions de distribution.
Attente et variance. Leurs propriétés.
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Répéter les expériences
Dans l’application pratique de la théorie des probabilités, on rencontre souvent des problèmes dans lesquels la même expérience ou des expériences similaires sont répétées à plusieurs reprises. À la suite de chaque expérience, un événement A peut apparaître ou non, et nous ne nous intéressons pas au résultat de chaque expérience individuelle, mais au nombre total d'occurrences de l'événement A à la suite d'une série d'expériences. Dans de tels problèmes, il est nécessaire d’être capable de déterminer la probabilité d’un nombre donné d’occurrences d’un événement à la suite d’une série d’expériences. Ils peuvent être résolus tout simplement dans le cas où les expériences sont indépendantes.
Plusieurs expériences sont dites indépendantes si la probabilité de l'un ou l'autre résultat de chaque expérience ne dépend pas des résultats des autres expériences.
Des expériences indépendantes peuvent être réalisées dans des conditions identiques ou différentes. Dans le premier cas, la probabilité de l'événement A dans toutes les expériences est la même P i (A) = const. Dans le second cas, la probabilité de l'événement A change d'expérience en expérience P i (A) = var. Le premier cas fait référence à un théorème particulier, et le second cas à un théorème général sur la répétition des expériences.
Formulation d'un théorème particulier sur la répétition des expériences :
Si n expériences indépendantes sont réalisées, dans chacune desquelles l'événement A apparaît avec une probabilité p, alors la probabilité que l'événement A apparaisse exactement m fois est exprimée par la formule :
où q = 1 - p, C n m - le nombre de toutes les combinaisons, c'est-à-dire le nombre de façons dont il est possible de sélectionner m parmi n expériences dans lesquelles l'événement A s'est produit.
Formule du théorème général :
où z est un paramètre arbitraire.
De manière générale et dans le cas particulier :
Variables aléatoires et lois de leur distribution
Une variable aléatoire est une quantité qui, à la suite d'une expérience, peut prendre telle ou telle valeur, on ne sait pas à l'avance laquelle.
Il existe deux types de variables aléatoires :
continu;
discontinu (discret).
Convenons dans ce qui suit de désigner les variables aléatoires par des majuscules, et leurs valeurs possibles par les minuscules correspondantes.
Exemple:
X est le nombre de touches avec trois tirs :
x1 = 0 ;
x2 = 1 ;
x3 = 2 ;
x4 = 3.
Considérons une variable aléatoire discontinue X avec des valeurs possibles x 1, x 2, ..., x n. Chacune de ces valeurs est possible, mais pas certaine, et la valeur X peut prendre chacune d'elles avec une certaine probabilité
X= x1 ;
X= x2 ;
X = x 3 ;
X = x 4.
∑P m,n = 1, puisque les événements incompatibles forment un groupe complet. Cette probabilité totale est en quelque sorte répartie entre les valeurs individuelles. La variable aléatoire sera entièrement décrite d'un point de vue probabiliste si cette distribution est donnée, c'est-à-dire il indique exactement la probabilité de chaque événement. Ceci établit ce qu'on appelle la loi de distribution d'une variable aléatoire.
Loi de distribution d'une variable aléatoire est toute relation qui établit un lien entre les valeurs possibles d'une variable aléatoire et leurs probabilités correspondantes.
La loi de distribution d'une variable aléatoire discontinue X peut être spécifiée sous les formes suivantes :
tabulaire;
analytique;
graphique.
La forme la plus simple pour spécifier la loi de distribution d’une variable aléatoire discontinue X est un tableau.
Variables aléatoires. Variable aléatoire discrète.
Valeur attendue
Deuxième partie sur théorie des probabilités dédié Variables aléatoires , qui nous accompagnait de manière invisible dans littéralement chaque article sur le sujet. Et le moment est venu de formuler clairement de quoi il s’agit :
Aléatoire appelé taille, qui, à la suite du test, prendra seul et l'unique une valeur numérique qui dépend de facteurs aléatoires et est imprévisible à l’avance.
Les variables aléatoires sont généralement dénoterà travers * , et leurs significations sont écrites en petites lettres correspondantes avec des indices, par exemple .
* Parfois, des lettres grecques sont également utilisées
Nous sommes tombés sur un exemple sur première leçon sur la théorie des probabilités, où nous avons en fait considéré la variable aléatoire suivante :
– le nombre de points qui apparaîtront après avoir lancé les dés.
À la suite de ce test, il tombera seul et unique la ligne, laquelle exactement, ne peut pas être prédite (nous ne considérons pas les astuces); dans ce cas, la variable aléatoire peut prendre l'une des valeurs suivantes :
– le nombre de garçons sur 10 nouveau-nés.
Il est tout à fait clair que ce nombre n'est pas connu à l'avance, et les dix prochains enfants nés pourraient inclure :
Ou des garçons - seul et l'unique parmi les options répertoriées.
Et, pour garder la forme, un peu d'éducation physique :
– distance de saut en longueur (dans certaines unités).
Même un maître du sport ne peut pas le prédire :)
Cependant, vos hypothèses ?
Dès que ensemble de nombres réels infiniment, alors la variable aléatoire peut prendre une infinité de valeurs d'un certain intervalle. Et c'est sa différence fondamentale par rapport aux exemples précédents.
Ainsi, Il est conseillé de diviser les variables aléatoires en 2 grands groupes:
1) Discret (intermittent) variable aléatoire – prend des valeurs individuelles et isolées. Nombre de ces valeurs Certainement ou infini mais dénombrable.
...y a-t-il des termes peu clairs ? Nous répétons de toute urgence bases de l'algèbre!
2) Variable aléatoire continue – accepte Tous valeurs numériques d'un intervalle fini ou infini.
Note : les abréviations DSV et NSV sont populaires dans la littérature pédagogique
Analysons d’abord la variable aléatoire discrète, puis - continu.
Loi de distribution d'une variable aléatoire discrète
- Ce correspondance entre les valeurs possibles de cette quantité et leurs probabilités. Le plus souvent, la loi est écrite dans un tableau : 
Le terme apparaît assez souvent rangée
distribution, mais dans certaines situations, cela semble ambigu, et je m'en tiendrai donc à la "loi".
Et maintenant point très important: puisque la variable aléatoire Nécessairement va accepter une des valeurs, puis les événements correspondants se forment groupe complet et la somme des probabilités de leur apparition est égale à un :
ou, s'il est écrit condensé :
Ainsi, par exemple, la loi de distribution de probabilité des points lancés sur un dé a la forme suivante : 
Vous avez peut-être l’impression qu’une variable aléatoire discrète ne peut prendre que de « bonnes » valeurs entières. Dissipons l'illusion - ils peuvent être n'importe quoi :
Certains jeux ont la loi de distribution gagnante suivante : 
…vous rêvez probablement de telles tâches depuis longtemps 🙂 Je vais vous confier un secret – moi aussi. Surtout après avoir terminé les travaux théorie des champs.
Solution: puisqu'une variable aléatoire ne peut prendre qu'une seule valeur parmi trois, les événements correspondants forment groupe complet, ce qui signifie que la somme de leurs probabilités est égale à un : 
Dénoncer le « partisan » : 
– ainsi, la probabilité de gagner des unités conventionnelles est de 0,4.
Contrôle : c’est de cela qu’il fallait s’assurer.
Répondre:
Il n'est pas rare que vous deviez rédiger vous-même une loi sur la distribution. Pour cela, ils utilisent définition classique de la probabilité, théorèmes de multiplication/addition pour les probabilités d'événements et autres chips Tervera:
La boîte contient 50 billets de loterie, parmi lesquels 12 sont gagnants, et 2 d'entre eux gagnent 1 000 roubles chacun, et le reste - 100 roubles chacun. Élaborez une loi pour la distribution d'une variable aléatoire - le montant des gains, si un ticket est tiré au hasard dans la boîte.
Solution: comme vous l'avez remarqué, les valeurs d'une variable aléatoire sont généralement placées dans Dans l'ordre croissant. Par conséquent, nous commençons par les plus petits gains, à savoir les roubles.
Il y a 50 billets de ce type au total - 12 = 38, et selon définition classique:
– la probabilité qu’un ticket tiré au sort soit perdant.
Dans d'autres cas, tout est simple. La probabilité de gagner des roubles est :
Et pour :
Vérifiez : – et c'est un moment particulièrement agréable de telles tâches !
Répondre: la loi souhaitée de répartition des gains : 
La tâche suivante est à résoudre par vous-même :
La probabilité que le tireur atteigne la cible est de . Établissez une loi de distribution pour une variable aléatoire - le nombre de coups après 2 tirs.
...Je savais qu'il te manquait :) Souvenons-nous théorèmes de multiplication et d'addition. La solution et la réponse se trouvent à la fin de la leçon.
La loi de distribution décrit complètement une variable aléatoire, mais en pratique il peut être utile (et parfois plus utile) de n'en connaître qu'une partie. caractéristiques numériques .
Attente d'une variable aléatoire discrète Quelle est la signification probabiliste du résultat obtenu ? Si vous lancez les dés suffisamment de fois, alors valeur moyenne Les points perdus seront proches de 3,5 - et plus vous effectuez de tests, plus vous vous en rapprochez. En fait, j'ai déjà parlé en détail de cet effet dans la leçon sur probabilité statistique.
Rappelons maintenant notre jeu hypothétique :
La question se pose : est-il rentable de jouer à ce jeu ? ...qui a des impressions ? On ne peut donc pas le dire « à la légère » ! Mais on peut facilement répondre à cette question en calculant l’espérance mathématique, essentiellement : moyenne pondérée par probabilité de gagner :
Ainsi, l'espérance mathématique de ce jeu perdant.
Ne vous fiez pas à vos impressions, faites confiance aux chiffres !
Oui, ici, vous pouvez gagner 10 voire 20 à 30 fois de suite, mais à long terme, une ruine inévitable nous attend. Et je ne vous conseillerais pas de jouer à de tels jeux :) Eh bien, peut-être seulement pour s'amuser.
De tout ce qui précède, il s'ensuit que l'espérance mathématique n'est plus une valeur ALÉATOIRE.
Tâche créative pour une recherche indépendante :
M. X joue à la roulette européenne selon le système suivant : il mise constamment 100 roubles sur le « rouge ». Élaborez une loi de distribution d'une variable aléatoire - ses gains. Calculez l'espérance mathématique des gains et arrondissez-la au kopeck le plus proche. Combien moyenne Le joueur perd-il pour chaque cent misé ?
Référence
: La roulette européenne contient 18 secteurs rouges, 18 noirs et 1 secteur vert (« zéro »). Si un « rouge » apparaît, le joueur est payé le double de la mise, sinon cela va aux revenus du casino.
Il existe de nombreux autres systèmes de roulette pour lesquels vous pouvez créer vos propres tables de probabilités. Mais c’est le cas lorsque nous n’avons besoin d’aucune loi ou table de distribution, car il est établi avec certitude que l’espérance mathématique du joueur sera exactement la même. La seule chose qui change d'un système à l'autre est dispersion, que nous découvrirons dans la 2ème partie de la leçon.
Mais d’abord, il sera utile de tendre les doigts sur les touches de la calculatrice :
Une variable aléatoire est spécifiée par sa loi de distribution de probabilité :
Trouvez si l'on sait cela. Effectuer une vérification.
Alors passons à l'étude variance d'une variable aléatoire discrète, et si possible,
Que comprend un examen médical (selon l'arrêté 302n) Lors de la réalisation d'un examen médical conformément à l'arrêté n° 302n, toute personne est tenue de se soumettre : à un test clinique d'urine ; […] Programme d'État visant à aider à la réinstallation volontaire des compatriotes vivant à l'étranger vers la Fédération de Russie Instructions étape par étape pour les participants du programme d'État […] Voyons quel devrait être le montant de la pension minimale pour une personne handicapée du groupe 2. Désormais, l'État fournit une aide aux segments socialement vulnérables de la population de diverses manières. Une préoccupation particulière [...]
Les méthodes de spécification d'une variable aléatoire discrète ne sont pas générales - elles ne sont pas applicables, par exemple, aux variables aléatoires continues. En effet, laissez les valeurs possibles de la variable aléatoire X remplir complètement l'intervalle (a;b). Est-il possible de lister toutes les valeurs possibles de X ? Non. Nous avons besoin d’une manière générale pour spécifier tout type de variables aléatoires. À cette fin, des fonctions de distribution de probabilité d'une variable aléatoire sont introduites.
Fonction de distribution La fonction de distribution est la fonction F(x), qui détermine la probabilité que la variable aléatoire X à la suite du test prenne une valeur inférieure à x, c'est-à-dire F(x) = P(X 
X 1. 3. 3. La probabilité que la variable aléatoire prenne la valeur conclue" title=" Propriétés de la fonction de distribution 1. 1. Les valeurs de la fonction de distribution appartiennent au segment : 0 F (x) 1. 2. 2. F (x) est une fonction non décroissante, c'est-à-dire F(x 2) F(x 1), si x 2 > x 1. 3. 3. La probabilité qu'une variable aléatoire prendre une valeur est conclu" class="link_thumb"> 4 !}
Propriétés de la fonction de distribution Les valeurs de la fonction de distribution appartiennent au segment : 0 F(x) F(x) est une fonction non décroissante, c'est-à-dire F(x 2) F(x 1), si x 2 > x La probabilité que la variable aléatoire prenne la valeur contenue dans l'intervalle (a;b), égale à l'incrément de la fonction de distribution sur cet intervalle : P (a x 1. 3. 3. La probabilité qu'une variable aléatoire prenne une valeur contenue dans "> x 1. 3. 3. La probabilité qu'une variable aléatoire prenne une valeur contenue dans l'intervalle (a; b) est égale à l'incrément de la fonction de répartition sur cet intervalle : P (a"> x 1. 3. 3. La probabilité que la variable aléatoire prenne la valeur conclue" title=" Propriétés de la fonction de répartition 1. 1. Les valeurs de la fonction de distribution appartiennent à l'intervalle : 0 F( x) 1. 2. 2. F(x) – fonction non décroissante, c'est-à-dire F(x 2) F(x 1), si x 2 > x 1. 3. 3. La probabilité que la variable aléatoire prenne effet, conclue"> title="Propriétés de la fonction de distribution 1. 1. Les valeurs de la fonction de distribution appartiennent au segment : 0 F(x) 1. 2. 2. F(x) est une fonction non décroissante, c'est-à-dire F(x 2) F(x 1), si x 2 > x 1. 3. 3. La probabilité qu'une variable aléatoire prenne une valeur est conclue"> !}Exemple 1. Une variable aléatoire X est donnée par une fonction de distribution 0 à x -1 F(x) = x/4+1/4 à Trouver la probabilité qu'à la suite du test X prenne une valeur appartenant à l'intervalle (0;2) :P(0
4. 4. La probabilité qu'une variable aléatoire continue X prenne une valeur spécifique est de 0. Il est donc logique de considérer la probabilité qu'une variable aléatoire tombe dans un intervalle, même si petit. Par exemple, ils s'intéressent à la probabilité que les dimensions des pièces ne dépassent pas les limites autorisées, mais ne soulèvent pas la question de la probabilité de leur coïncidence avec la taille de conception.
Mais il est faux de penser que l'égalité de probabilité P(X=x 1) à 0 signifie que l'événement X=x 1 est impossible (si l'on ne se limite pas à la définition classique de la probabilité). À l’issue du test, la variable aléatoire prendra nécessairement l’une des valeurs possibles ; en particulier, cette valeur peut être égale à x 1.
5. 5. Si les valeurs possibles d'une variable aléatoire appartiennent à l'intervalle (a;b), alors 1) F(x) = 0 pour x a ; 2) F(x) = 1 à xb. ] Si les valeurs possibles d'une variable aléatoire continue sont situées sur tout l'axe des x, alors les relations limites suivantes sont valides : Lim F(x) = 0 ; Lim F(x) = 1. x- x+
Distribution de densité de probabilité d'une variable aléatoire continue La méthode de spécification d'une variable aléatoire continue à l'aide de la fonction de distribution n'est pas la seule. Une variable aléatoire continue peut également être spécifiée à l'aide d'une autre fonction, appelée densité de distribution ou densité de probabilité (parfois appelée fonction différentielle).
La densité de distribution de probabilité d'une variable aléatoire continue X est appelée la fonction f(x) - la dérivée première de la fonction de distribution F(x) : f(x) = F"(x). Par conséquent, la fonction de distribution est une primitive de la densité de distribution.
π/2. Trouvez la densité de distribution f(x). 0 à x π/2." title="Exemple. Étant donné la fonction de distribution d'une variable aléatoire continue X 0 à x 0 F(x) = sinx à 0 π/2. Trouver la densité de distribution f(x ).0 à x π/2." class="link_thumb"> 18 !}
Exemple. On donne la fonction de distribution d'une variable aléatoire continue X 0 à x 0 F(x) = sinx à 0 π/2. Trouvez la densité de distribution f(x). 0 à x π/2. π/2. Trouvez la densité de distribution f(x). 0 à x π/2."> π/2. Trouvez la densité de distribution f(x). 0 à x π/2."> π/2. Trouvez la densité de distribution f(x). 0 à x π/2." title="Exemple. Étant donné la fonction de distribution d'une variable aléatoire continue X 0 à x 0 F(x) = sinx à 0 π/2. Trouver la densité de distribution f(x ).0 à x π/2."> (x) = cosx при 0 π/2." title="Exemple. On donne la fonction de distribution d'une variable aléatoire continue X 0 à x 0 F(x) = sinx à 0 π/2. Trouvez la densité de distribution f(x). 0 à x π/2."> !}
Propriétés de la densité de distribution La densité de distribution est une fonction non négative : f(x) 0. Le graphique de densité de distribution est appelé courbe de distribution. L'intégrale impropre de la densité de distribution dans la plage de - à est égale à 1. f(x )dx = 1. -
Signification probabiliste de la densité de distribution La fonction f(x) détermine la densité de distribution de probabilité pour chaque point x. Pour x suffisamment petit. F(x + x) - F(x) f(x)x. Parce que la différence F(x + x) - F(x) détermine (voir plus haut) la probabilité que X prenne une valeur appartenant à l'intervalle (x; x + x), alors cette probabilité est donc approximativement égale au produit des densité de probabilité en t.x par la longueur de l'intervalle x.
Comme on le sait, Variable aléatoire s'appelle une quantité variable qui peut prendre certaines valeurs selon les cas. Les variables aléatoires sont désignées par les lettres majuscules de l'alphabet latin (X, Y, Z) et leurs valeurs sont désignées par les lettres minuscules correspondantes (x, y, z). Les variables aléatoires sont divisées en discontinues (discrètes) et continues.
Variable aléatoire discrète est une variable aléatoire qui ne prend qu'un ensemble fini ou infini (dénombrable) de valeurs avec certaines probabilités non nulles.
Loi de distribution d'une variable aléatoire discrète est une fonction qui relie les valeurs d'une variable aléatoire avec leurs probabilités correspondantes. La loi de distribution peut être spécifiée de l'une des manières suivantes.
1 . La loi de distribution peut être donnée par le tableau :
où λ>0, k = 0, 1, 2, … .
V) en utilisant fonction de distribution F(x) , qui détermine pour chaque valeur x la probabilité que la variable aléatoire X prenne une valeur inférieure à x, c'est-à-dire F(x) = P(X< x).
Propriétés de la fonction F(x)
3 . La loi de distribution peut être spécifiée graphiquement – polygone de distribution (polygone) (voir problème 3).
A noter que pour résoudre certains problèmes il n’est pas nécessaire de connaître la loi de distribution. Dans certains cas, il suffit de connaître un ou plusieurs nombres qui reflètent les caractéristiques les plus importantes de la loi de répartition. Il peut s'agir d'un nombre qui a la signification de « valeur moyenne » d'une variable aléatoire, ou d'un nombre indiquant la taille moyenne de l'écart d'une variable aléatoire par rapport à sa valeur moyenne. Les nombres de ce type sont appelés caractéristiques numériques d'une variable aléatoire.
Caractéristiques numériques de base d'une variable aléatoire discrète :
- Attente mathématique
(valeur moyenne) d'une variable aléatoire discrète M(X)=Σ X je p je.
Pour la distribution binomiale M(X)=np, pour la distribution de Poisson M(X)=λ - Dispersion
variable aléatoire discrète D(X)=M2 ou D(X) = M(X 2)− 2. La différence X–M(X) est appelée l’écart d’une variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique.
Pour la distribution binomiale D(X)=npq, pour la distribution de Poisson D(X)=λ - Écart-type (écart-type) σ(X)=√D(X).
Exemples de résolution de problèmes sur le thème « La loi de distribution d'une variable aléatoire discrète »
Tache 1.
1000 billets de loterie ont été émis : 5 d'entre eux gagneront 500 roubles, 10 gagneront 100 roubles, 20 gagneront 50 roubles, 50 gagneront 10 roubles. Déterminez la loi de distribution de probabilité de la variable aléatoire X - gains par ticket.
Solution. Selon les conditions du problème, les valeurs suivantes de la variable aléatoire X sont possibles : 0, 10, 50, 100 et 500.
Le nombre de tickets sans gain est de 1000 – (5+10+20+50) = 915, alors P(X=0) = 915/1000 = 0,915.
De même, on retrouve toutes les autres probabilités : P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Présentons la loi résultante sous forme de tableau :
Trouvons l'espérance mathématique de la valeur X : M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5
Tâche 3.
L'appareil se compose de trois éléments fonctionnant indépendamment. La probabilité de défaillance de chaque élément dans une expérience est de 0,1. Élaborez une loi de distribution pour le nombre d'éléments défaillants dans une expérience, construisez un polygone de distribution. Trouvez la fonction de distribution F(x) et tracez-la. Trouvez l'espérance mathématique, la variance et l'écart type d'une variable aléatoire discrète.
Solution. 1. La variable aléatoire discrète X = (le nombre d'éléments défaillants dans une expérience) a les valeurs possibles suivantes : x 1 = 0 (aucun des éléments du dispositif n'a échoué), x 2 = 1 (un élément a échoué), x 3 = 2 ( deux éléments ont échoué) et x 4 = 3 (trois éléments ont échoué).
Les défaillances des éléments sont indépendantes les unes des autres, les probabilités de défaillance de chaque élément sont égales, donc applicable La formule de Bernoulli
. Considérant que, selon la condition n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, on détermine les probabilités des valeurs :
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729 ;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243 ;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027 ;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001 ;
Vérifier : ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
Ainsi, la loi de distribution binomiale souhaitée de X a la forme :
Nous traçons les valeurs possibles de x i le long de l'axe des abscisses et les probabilités correspondantes p i le long de l'axe des ordonnées. Construisons les points M 1 (0 ; 0,729), M 2 (1 ; 0,243), M 3 (2 ; 0,027), M 4 (3 ; 0,001). En reliant ces points avec des segments de droite, on obtient le polygone de distribution souhaité.
3. Trouvons la fonction de distribution F(x) = Р(Х
Pour x ≤ 0 on a F(x) = Р(Х<0) = 0;pour 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
pour 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
pour 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
pour x > 3 il y aura F(x) = 1, car l'événement est fiable.
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Graphique de la fonction F(x)
4.
Pour la distribution binomiale X :
- espérance mathématique M(X) = np = 3*0,1 = 0,3 ;
- variance D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27 ;
- écart type σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.