Kako pravilno riješiti racionalne jednadžbe. "rješenje frakcionih racionalnih jednadžbi"

Nastavljamo razgovor o rješenje jednačina. U ovom članku ćemo se fokusirati na racionalne jednačine i principe za rješavanje racionalnih jednačina sa jednom promjenljivom. Prvo, hajde da shvatimo koje se jednačine nazivaju racionalnim, damo definiciju celobrojnih racionalnih i razlomačkih racionalnih jednačina i dajemo primere. Dalje ćemo dobiti algoritme za rješavanje racionalnih jednačina i, naravno, razmotriti rješenja tipičnih primjera sa svim potrebnim objašnjenjima.

Navigacija po stranici.

Na osnovu zvučnih definicija dajemo nekoliko primjera racionalnih jednačina. Na primjer, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , su sve racionalne jednadžbe.

Iz prikazanih primjera može se vidjeti da racionalne jednačine, kao i jednačine drugih vrsta, mogu biti ili sa jednom promjenljivom, ili sa dvije, tri itd. varijable. U narednim paragrafima ćemo govoriti o rješavanju racionalnih jednačina u jednoj varijabli. Rješavanje jednadžbi s dvije varijable a njihov veliki broj zaslužuje posebnu pažnju.

Pored dijeljenja racionalnih jednadžbi brojem nepoznatih varijabli, one se dijele i na cjelobrojne i razlomke. Dajemo odgovarajuće definicije.

Definicija.

Racionalna jednačina se zove cijeli, ako su i njegov lijevi i desni dio cjelobrojni racionalni izrazi.

Definicija.

Ako je barem jedan od dijelova racionalne jednadžbe frakcijski izraz, onda se takva jednačina naziva frakciono racionalno(ili frakciono racionalno).

Jasno je da cjelobrojne jednadžbe ne sadrže dijeljenje promjenljivom; naprotiv, razlomačke racionalne jednačine nužno sadrže dijeljenje promjenljivom (ili promjenljivom u nazivniku). Dakle 3 x+2=0 i (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0,5 su cijele racionalne jednadžbe, oba njihova dijela su cjelobrojni izrazi. A i x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 su primjeri razlomaka racionalnih jednačina.

Završavajući ovaj paragraf, obratimo pažnju na činjenicu da su linearne jednačine i kvadratne jednačine koje su poznate u ovom trenutku cijele racionalne jednačine.

Rješavanje cjelobrojnih jednadžbi

Jedan od glavnih pristupa rješavanju čitavih jednačina je njihovo svođenje na ekvivalent algebarske jednačine. To se uvijek može učiniti izvođenjem sljedećih ekvivalentnih transformacija jednačine:

• prvo, izraz s desne strane originalne cjelobrojne jednadžbe se prenosi na lijevu stranu sa suprotnim predznakom kako bi se dobila nula na desnoj strani;
• nakon toga, na lijevoj strani jednadžbe, rezultat standardni pogled.

Rezultat je algebarska jednačina koja je ekvivalentna originalnoj cijeloj jednačini. Dakle, u najjednostavnijim slučajevima, rješenje čitavih jednačina se svodi na rješenje linearnih ili kvadratnih jednačina, au opštem slučaju - na rješenje algebarske jednačine stepena n. Radi jasnoće, analizirajmo rješenje primjera.

Primjer.

Pronađite korijene cijele jednadžbe 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

Odluka.

Svedimo rješenje cijele ove jednadžbe na rješenje ekvivalentne algebarske jednačine. Da bismo to učinili, prvo prenosimo izraz s desne strane na lijevu, kao rezultat dolazimo do jednačine 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. I, kao drugo, transformiramo izraz formiran na lijevoj strani u polinom standardnog oblika tako što ćemo izvršiti potrebno: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Dakle, rješenje izvorne cjelobrojne jednačine se svodi na rješenje kvadratne jednačine x 2 −5·x−6=0 .

Izračunajte njegov diskriminant D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, pozitivan je, što znači da jednačina ima dva realna korijena, što nalazimo po formuli korijena kvadratne jednadžbe:

Da budemo potpuno sigurni, hajde da uradimo provjeravanje pronađenih korijena jednadžbe. Prvo, provjeravamo korijen 6, zamjenjujemo ga umjesto varijable x u originalnoj cjelobrojnoj jednadžbi: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, što je isto, 63=63 . Ovo je važeća numerička jednačina, tako da je x=6 zaista korijen jednačine. Sada provjeravamo korijen −1, imamo 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, odakle je 0=0 . Za x=−1, originalna jednačina se takođe pretvorila u pravu numeričku jednakost, pa je x=−1 takođe koren jednačine.

odgovor:

6 , −1 .

Ovdje također treba napomenuti da je pojam “snaga cijele jednačine” povezan sa reprezentacijom cijele jednačine u obliku algebarske jednačine. Dajemo odgovarajuću definiciju:

Definicija.

Stepen cijele jednačine nazovimo stepen algebarske jednadžbe ekvivalentnom njoj.

Prema ovoj definiciji, cijela jednačina iz prethodnog primjera ima drugi stepen.

Na ovome bi se moglo završiti sa rješavanjem čitavih racionalnih jednadžbi, ako ne za jednu ali .... Kao što je poznato, rješavanje algebarskih jednačina višeg stepena od drugog je povezano sa značajnim poteškoćama, a za jednačine stepena većeg od četvrtog uopšte ne postoje opšte formule za korijene. Stoga, da bi se riješile čitave jednačine trećeg, četvrtog i višeg stepena, često se mora pribjeći drugim metodama rješenja.

U takvim slučajevima, ponekad se pristupa rješavanju čitavih racionalnih jednačina na osnovu metoda faktorizacije. Istovremeno, slijedi sljedeći algoritam:

• prvo traže da imaju nulu na desnoj strani jednačine, za to prenose izraz s desne strane cijele jednačine na lijevu;
• zatim, rezultirajući izraz na lijevoj strani je predstavljen kao proizvod nekoliko faktora, što vam omogućava da pređete na skup nekoliko jednostavnijih jednačina.

Gornji algoritam za rješavanje cijele jednadžbe kroz faktorizaciju zahtijeva detaljno objašnjenje koristeći primjer.

Primjer.

Riješite cijelu jednačinu (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Odluka.

Prvo, kao i obično, prenosimo izraz s desne strane na lijevu stranu jednačine, ne zaboravljajući promijeniti predznak, dobijamo (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Ovdje je sasvim očito da nije preporučljivo transformirati lijevu stranu rezultirajuće jednadžbe u polinom standardnog oblika, jer će to dati algebarsku jednadžbu četvrtog stepena oblika x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, čije je rješenje teško.

S druge strane, očito je da se x 2 −10·x+13 može naći na lijevoj strani rezultirajuće jednačine, čime se predstavlja kao proizvod. Imamo (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Rezultirajuća jednačina je ekvivalentna originalnoj cijeloj jednačini, a ona se zauzvrat može zamijeniti skupom dvije kvadratne jednačine x 2 −10·x+13=0 i x 2 −2·x−1=0 . Pronalaženje njihovih korijena pomoću poznatih korijenskih formula kroz diskriminant nije teško, korijeni su jednaki. Oni su željeni korijeni originalne jednadžbe.

odgovor:

Koristan je i za rješavanje cijelih racionalnih jednačina. metoda za uvođenje nove varijable. U nekim slučajevima, omogućava prijelaz na jednačine čiji je stepen niži od stepena izvorne cjelobrojne jednačine.

Primjer.

Pronađite prave korijene racionalne jednadžbe (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Odluka.

Svođenje cijele ove racionalne jednadžbe na algebarsku jednačinu, blago rečeno, nije baš dobra ideja, jer ćemo u ovom slučaju doći do potrebe rješavanja jednačine četvrtog stepena koja nema racionalne korijene. Stoga ćete morati tražiti drugo rješenje.

Ovdje je lako vidjeti da možete uvesti novu varijablu y i zamijeniti izraz x 2 +3 x njome. Takva zamjena nas dovodi do cijele jednačine (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , koja nakon prenošenja izraza −2 (y−4) na lijevu stranu i naknadne transformacije izraza formiranog tamo , svodi se na jednačinu y 2 +4 y+3=0 . Korijene ove jednačine y=−1 i y=−3 je lako pronaći, na primjer, mogu se naći na osnovu inverzne teoreme Vietine teoreme.

Pređimo sada na drugi dio metode uvođenja nove varijable, odnosno na obrnutu zamjenu. Nakon izvođenja obrnute zamjene, dobijamo dvije jednačine x 2 +3 x=−1 i x 2 +3 x=−3, koje se mogu prepisati kao x 2 +3 x+1=0 i x 2 +3 x+3 =0 . Prema formuli korijena kvadratne jednadžbe nalazimo korijene prve jednadžbe. A druga kvadratna jednadžba nema realne korijene, jer je njen diskriminanta negativna (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

odgovor:

Općenito, kada imamo posla sa cjelobrojnim jednadžbama visokih stupnjeva, uvijek moramo biti spremni tražiti nestandardnu ​​metodu ili umjetnu tehniku ​​za njihovo rješavanje.

Rješenje frakciono racionalnih jednačina

Prvo, bit će korisno razumjeti kako riješiti frakciono racionalne jednadžbe oblika , gdje su p(x) i q(x) racionalni cjelobrojni izrazi. A zatim ćemo pokazati kako rješenje preostalih frakciono racionalnih jednadžbi svesti na rješenje jednačina navedenog oblika.

Jedan od pristupa rješavanju jednadžbe zasniva se na sljedećoj tvrdnji: brojčani razlomak u / v, gdje je v broj različit od nule (inače ćemo naići na , koji nije definiran), jednak je nuli ako i samo ako je njegov brojnik je nula, onda je, ako i samo ako je u=0 . Na osnovu ove izjave, rješenje jednačine se svodi na ispunjenje dva uslova p(x)=0 i q(x)≠0 .

Ovaj zaključak je u skladu sa sljedećim algoritam za rješavanje frakciono racionalne jednadžbe. Rješiti frakcionu racionalnu jednadžbu oblika

• riješiti cijelu racionalnu jednačinu p(x)=0 ;
• i provjeriti da li je uvjet q(x)≠0 zadovoljen za svaki pronađeni korijen, dok
• ako je istinito, onda je ovaj korijen korijen originalne jednadžbe;
• ako nije, onda je ovaj korijen stran, to jest, nije korijen originalne jednadžbe.

Analizirajmo primjer korištenja zvučnog algoritma pri rješavanju razlomke racionalne jednadžbe.

Primjer.

Pronađite korijene jednadžbe.

Odluka.

Ovo je frakciono racionalna jednadžba oblika , gdje je p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 .

Prema algoritmu za rješavanje frakciono racionalnih jednačina ove vrste, prvo trebamo riješiti jednačinu 3·x−2=0 . Ovo je linearna jednadžba čiji je korijen x=2/3.

Ostaje da se proveri ovaj koren, odnosno da li zadovoljava uslov 5·x 2 −2≠0 . Zamijenimo broj 2/3 umjesto x u izraz 5 x 2 −2, dobićemo . Uslov je ispunjen, pa je x=2/3 korijen originalne jednadžbe.

odgovor:

2/3 .

Rješenju frakcijske racionalne jednadžbe može se pristupiti sa malo drugačije pozicije. Ova jednačina je ekvivalentna cijeloj jednačini p(x)=0 na promjenljivoj x originalne jednačine. To jest, možete pratiti ovo algoritam za rješavanje frakciono racionalne jednadžbe :

• riješiti jednačinu p(x)=0 ;
• pronađite ODZ varijablu x ;
• uzmite korijene koji pripadaju području dopuštenih vrijednosti - oni su željeni korijeni originalne frakcione racionalne jednadžbe.

Na primjer, riješimo frakcionu racionalnu jednačinu koristeći ovaj algoritam.

Primjer.

Riješite jednačinu.

Odluka.

Prvo rješavamo kvadratnu jednačinu x 2 −2·x−11=0 . Njegovi korijeni se mogu izračunati korištenjem formule korijena za paran drugi koeficijent, imamo D 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, i .

Drugo, nalazimo ODZ varijable x za originalnu jednačinu. Sastoji se od svih brojeva za koje je x 2 +3 x≠0, što je isto x (x+3)≠0, odakle je x≠0, x≠−3.

Ostaje provjeriti da li su korijeni pronađeni u prvom koraku uključeni u ODZ. Očigledno da. Prema tome, originalna frakciono racionalna jednadžba ima dva korijena.

odgovor:

Imajte na umu da je ovaj pristup isplativiji od prvog ako se ODZ lako pronađe, a posebno je koristan ako su korijeni jednadžbe p(x)=0 iracionalni, na primjer, , ili racionalni, ali s prilično velikim brojnik i/ili nazivnik, na primjer, 127/1101 i -31/59 . To je zbog činjenice da će u takvim slučajevima provjera uvjeta q(x)≠0 zahtijevati značajne računske napore i lakše je isključiti vanjske korijene iz ODZ-a.

U drugim slučajevima, prilikom rješavanja jednadžbe, posebno kada su korijeni jednadžbe p(x)=0 cijeli brojevi, povoljnije je koristiti prvi od gore navedenih algoritama. Odnosno, preporučljivo je odmah pronaći korijene cijele jednadžbe p(x)=0, a zatim provjeriti da li je za njih ispunjen uvjet q(x)≠0, a ne pronaći ODZ, a zatim riješiti jednačinu p(x)=0 na ovom ODZ . To je zbog činjenice da je u takvim slučajevima obično lakše izvršiti provjeru nego pronaći ODZ.

Razmotrimo rješenje dva primjera kako bismo ilustrirali propisane nijanse.

Primjer.

Pronađite korijene jednadžbe.

Odluka.

Prvo ćemo pronaći korijene cijele jednačine (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, sastavljen koristeći brojnik razlomka. Leva strana ove jednačine je proizvod, a desna nula, pa je prema metodi rešavanja jednačina kroz faktorizaciju ova jednačina ekvivalentna skupu od četiri jednačine 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Tri od ovih jednadžbi su linearne, a jedna je kvadratna, možemo ih riješiti. Iz prve jednačine nalazimo x=1/2, iz druge - x=6, iz treće - x=7, x=−2, iz četvrte - x=−1.

Uz pronađene korijene, prilično ih je lako provjeriti da vidiš da li nazivnik razlomka na lijevoj strani izvorne jednadžbe ne nestaje, a nije tako lako odrediti ODZ, jer će to morati riješiti algebarska jednačina petog stepena. Stoga ćemo odbiti pronaći ODZ u korist provjere korijena. Da bismo to učinili, zamjenjujemo ih redom umjesto varijable x u izrazu x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, dobijene nakon zamjene, i uporedi ih sa nulom: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Dakle, 1/2, 6 i −2 su željeni korijeni originalne frakciono racionalne jednadžbe, a 7 i −1 su strani korijeni.

odgovor:

1/2 , 6 , −2 .

Primjer.

Pronađite korijene razlomke racionalne jednadžbe.

Odluka.

Prvo ćemo pronaći korijene jednadžbe (5x2 −7x−1)(x−2)=0. Ova jednačina je ekvivalentna skupu od dvije jednačine: kvadrat 5·x 2 −7·x−1=0 i linearni x−2=0 . Prema formuli korijena kvadratne jednadžbe nalazimo dva korijena, a iz druge jednačine imamo x=2.

Provjera da nazivnik ne nestaje na pronađenim vrijednostima x je prilično neugodna. A odrediti raspon prihvatljivih vrijednosti varijable x u izvornoj jednadžbi je prilično jednostavno. Stoga ćemo djelovati preko ODZ-a.

U našem slučaju, ODZ varijable x originalne frakcione racionalne jednačine čine svi brojevi, osim onih za koje je zadovoljen uslov x 2 +5·x−14=0. Korijeni ove kvadratne jednadžbe su x=−7 i x=2, iz čega zaključujemo o ODZ-u: sastavljen je od svih x takvih da je .

Ostaje provjeriti da li pronađeni korijeni i x=2 pripadaju području dozvoljenih vrijednosti. Korijeni - pripadaju, dakle, oni su korijeni originalne jednadžbe, a x=2 ne pripada, dakle, to je strani korijen.

odgovor:

Također će biti korisno zadržati se odvojeno na slučajevima kada frakciona racionalna jednačina oblika sadrži broj u brojiocu, odnosno kada je p (x) predstavljen nekim brojem. Gde

• ako je ovaj broj različit od nule, tada jednačina nema korijena, budući da je razlomak nula ako i samo ako je njegov brojilac nula;
• ako je ovaj broj nula, tada je korijen jednadžbe bilo koji broj iz ODZ-a.

Primjer.

Odluka.

Pošto postoji broj različit od nule u brojiocu razlomka na levoj strani jednačine, za nijedan x vrednost ovog razlomka ne može biti jednaka nuli. Dakle, ova jednadžba nema korijen.

odgovor:

nema korijena.

Primjer.

Riješite jednačinu.

Odluka.

Brojač razlomka na lijevoj strani ove frakcione racionalne jednadžbe je nula, tako da je vrijednost ovog razlomka nula za bilo koji x za koji ima smisla. Drugim riječima, rješenje ove jednačine je bilo koja vrijednost x iz DPV ove varijable.

Ostaje odrediti ovaj raspon prihvatljivih vrijednosti. Uključuje sve takve vrijednosti x za koje je x 4 +5 x 3 ≠0. Rješenja jednadžbe x 4 +5 x 3 \u003d 0 su 0 i -5, budući da je ova jednadžba ekvivalentna jednadžbi x 3 (x + 5) = 0, a ona je, zauzvrat, ekvivalentna kombinaciji od dvije jednadžbe x 3 = 0 i x +5=0, odakle su ovi korijeni vidljivi. Prema tome, željeni raspon prihvatljivih vrijednosti je bilo koji x, osim x=0 i x=−5.

Dakle, frakciono racionalna jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja, a to su bilo koji brojevi osim nula i minus pet.

odgovor:

Konačno, vrijeme je da razgovaramo o rješavanju proizvoljnih razlomaka racionalnih jednačina. Mogu se zapisati kao r(x)=s(x) , gdje su r(x) i s(x) racionalni izrazi, a najmanje jedan od njih je razlomak. Gledajući unaprijed, kažemo da se njihovo rješenje svodi na rješavanje jednadžbi oblika koji su nam već poznati.

Poznato je da prijenos člana iz jednog dijela jednačine u drugi sa suprotnim predznakom dovodi do ekvivalentne jednačine, pa je jednačina r(x)=s(x) ekvivalentna jednačini r(x)−s (x)=0 .

Također znamo da bilo koji može biti identično jednak ovom izrazu. Dakle, uvijek možemo transformirati racionalni izraz na lijevoj strani jednačine r(x)−s(x)=0 u identično jednak racionalni razlomak oblika .

Dakle, idemo od originalne racionalne jednadžbe r(x)=s(x) do jednačine , a njeno rješenje, kako smo gore saznali, svodi se na rješavanje jednačine p(x)=0.

Ali ovdje je potrebno uzeti u obzir činjenicu da se prilikom zamjene r(x)−s(x)=0 sa , a zatim sa p(x)=0, raspon dozvoljenih vrijednosti varijable x može proširiti .

Dakle, originalna jednadžba r(x)=s(x) i jednačina p(x)=0, do kojih smo došli, možda nisu ekvivalentne, a rješavanjem jednačine p(x)=0 možemo dobiti korijene to će biti strani korijeni originalne jednadžbe r(x)=s(x) . Moguće je identifikovati i ne uključiti strane korijene u odgovor, bilo provjeravanjem, bilo provjerom njihove pripadnosti ODZ-u originalne jednadžbe.

Ove informacije sumiramo u algoritam za rješavanje razlomke racionalne jednadžbe r(x)=s(x). Da bi se riješila frakciona racionalna jednačina r(x)=s(x) , mora se

• Dobijte nulu na desnoj strani pomicanjem izraza s desne strane sa suprotnim predznakom.
• Izvršite radnje s razlomcima i polinomima na lijevoj strani jednadžbe, pretvarajući je na taj način u racionalni razlomak oblika.
• Riješite jednačinu p(x)=0 .
• Identifikovati i isključiti strane korijene, što se radi zamjenom u originalnu jednadžbu ili provjerom njihove pripadnosti ODZ-u originalne jednačine.

Radi veće jasnoće, prikazat ćemo cijeli lanac rješavanja razlomaka racionalnih jednadžbi:
.

Prođimo kroz rješenja nekoliko primjera sa detaljnim objašnjenjem rješenja kako bismo razjasnili dati blok informacija.

Primjer.

Riješite razlomku racionalnu jednačinu.

Odluka.

Postupit ćemo u skladu sa upravo dobijenim algoritmom rješenja. I prvo prenosimo članove s desne strane jednačine na lijevu stranu, kao rezultat prelazimo na jednadžbu.

U drugom koraku, trebamo pretvoriti frakcioni racionalni izraz na lijevoj strani rezultirajuće jednačine u oblik razlomka. Da bismo to učinili, izvodimo redukciju racionalnih razlomaka na zajednički nazivnik i pojednostavljujemo rezultirajući izraz: . Dakle, dolazimo do jednačine.

U sljedećem koraku trebamo riješiti jednačinu −2·x−1=0 . Naći x=−1/2 .

Ostaje provjeriti da li je pronađeni broj −1/2 vanjski korijen originalne jednačine. Da biste to učinili, možete provjeriti ili pronaći ODZ varijablu x originalne jednadžbe. Hajde da demonstriramo oba pristupa.

Počnimo sa čekom. Zamijenimo broj −1/2 umjesto varijable x u originalnu jednačinu, dobićemo , što je isto, −1=−1. Zamjena daje tačnu numeričku jednakost, dakle, x=−1/2 je korijen originalne jednačine.

Sada ćemo pokazati kako se posljednji korak algoritma izvodi kroz ODZ. Raspon dozvoljenih vrijednosti izvorne jednačine je skup svih brojeva osim −1 i 0 (kada je x=−1 i x=0, nazivnici razlomaka nestaju). Koren x=−1/2 pronađen u prethodnom koraku pripada ODZ-u, stoga je x=−1/2 koren originalne jednačine.

odgovor:

−1/2 .

Razmotrimo još jedan primjer.

Primjer.

Pronađite korijene jednadžbe.

Odluka.

Moramo riješiti frakciono racionalnu jednačinu, idemo kroz sve korake algoritma.

Prvo, prenosimo pojam s desne strane na lijevu, dobijamo .

Drugo, transformiramo izraz formiran na lijevoj strani: . Kao rezultat, dolazimo do jednačine x=0.

Njegov korijen je očigledan - on je nula.

U četvrtom koraku ostaje da se otkrije nije li pronađeni korijen vanjski za originalnu frakciono racionalnu jednadžbu. Kada se zameni u originalnu jednačinu, dobije se izraz. Očigledno, to nema smisla, jer sadrži dijeljenje sa nulom. Otuda zaključujemo da je 0 vanjski korijen. Prema tome, originalna jednadžba nema korijen.

7 , što vodi do jednačine . Iz ovoga možemo zaključiti da izraz u nazivniku lijeve strane mora biti jednak sa desne strane, odnosno, . Sada oduzimamo od oba dijela trojke: . Po analogiji, odakle i dalje.

Provjera pokazuje da su oba pronađena korijena korijeni originalne razlomke racionalne jednadžbe.

odgovor:

Bibliografija.

• algebra: udžbenik za 8 ćelija. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M. : Education, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 14 sati Prvi dio. Udžbenik za učenike obrazovne institucije/ A. G. Mordkovich. - 11. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• algebra: 9. razred: udžbenik. za opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M. : Obrazovanje, 2009. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Smirnova Anastasia Yurievna

Vrsta lekcije: lekcija učenje novog gradiva.

Oblik organizacije aktivnosti učenja : frontalni, individualni.

Svrha lekcije: uvesti novu vrstu jednadžbi - razlomke racionalne jednadžbe, dati ideju o algoritmu za rješavanje razlomaka racionalnih jednačina.

Ciljevi lekcije.

Tutorial:

• formiranje koncepta frakciono racionalne jednadžbe;
• razmotriti algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina, uključujući uslov da je razlomak jednak nuli;
• podučavati rješavanje frakcionih racionalnih jednačina prema algoritmu.

u razvoju:

• stvoriti uslove za formiranje vještina primjene stečenih znanja;
• promovirati razvoj kognitivnog interesovanja učenika za predmet;
• razvijanje sposobnosti učenika da analiziraju, upoređuju i donose zaključke;
• razvoj vještina međusobne kontrole i samokontrole, pažnje, pamćenja, usmenog i pismenog govora, samostalnosti.

njegovanje:

• obrazovanje kognitivnog interesovanja za predmet;
• vaspitanje samostalnosti u rješavanju obrazovnih problema;
• vaspitanje volje i upornosti za postizanje konačnih rezultata.

Oprema: udžbenik, tabla, bojice.

Udžbenik "Algebra 8". Yu.N.Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I.Neshkov, S.B.Suvorov, priredio S.A.Telyakovsky. Moskva "Prosvjeta". 2010

Za ovu temu je predviđeno pet sati. Ova lekcija je prva. Glavna stvar je proučiti algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina i razraditi ovaj algoritam u vježbama.

Tokom nastave

1. Organizacioni momenat.

Zdravo momci! Danas bih želio da započnem našu lekciju katrenom:
Da svima olakšam život
Šta bi se odlučivalo, šta bi moglo,
Osmeh, sretno svima
Bez obzira na probleme
Nasmejani jedno drugom, stvoreni dobro raspoloženje i počeo sa radom.

Jednačine su napisane na tabli, pažljivo ih pogledajte. Možete li riješiti sve ove jednačine? Koji nisu i zašto?

Jednačine u kojima su lijeva i desna strana frakcioni racionalni izrazi nazivaju se razlomačnim racionalnim jednadžbama. Šta mislite da ćemo danas učiti na lekciji? Formulirajte temu lekcije. Dakle, otvaramo bilježnice i zapisujemo temu lekcije „Rješenje frakcionih racionalnih jednačina“.

2. Aktuelizacija znanja. Frontalna anketa, usmeni rad sa razredom.

A sada ćemo ponoviti glavni teorijski materijal koji nam je potreban za proučavanje nove teme. Odgovorite na sljedeća pitanja:

1. Šta je jednačina? ( Jednakost sa varijablom ili varijablama.)
2. Kako se zove jednačina #1? ( Linearno.) Metoda za rješavanje linearnih jednačina. ( Premjestite sve s nepoznatom na lijevu stranu jednačine, sve brojeve u desnu. Donesite slične uslove. Pronađite nepoznati množitelj).
3. Kako se zove jednačina 3? ( Square.) Metode rješavanja kvadratnih jednačina. (P o formulama)
4. Šta je proporcija? ( Jednakost dva odnosa.) Glavno svojstvo proporcije. ( Ako je proporcija tačna, onda je proizvod njegovih ekstremnih članova jednak proizvodu srednjih članova.)
5. Koja svojstva se koriste za rješavanje jednačina? ( 1. Ako u jednačini prenesemo pojam iz jednog dijela u drugi, mijenjajući njegov predznak, onda ćemo dobiti jednačinu ekvivalentnu datoj. 2. Ako se oba dijela jednačine pomnože ili podijele sa istim brojem koji nije nula, onda će se dobiti jednačina koja je ekvivalentna datom.)
6. Kada je razlomak jednak nuli? ( Razlomak je nula kada je brojnik nula, a imenilac nije nula.)

3. Objašnjenje novog materijala.

Reši jednačinu br. 2 u sveskama i na tabli.

Odgovori: 10.

Koju razlomku racionalnu jednačinu možete pokušati riješiti koristeći osnovno svojstvo proporcije? (br. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Reši jednačinu br. 4 u sveskama i na tabli.

Odgovori: 1,5.

Koju razlomačku racionalnu jednačinu možete pokušati riješiti množenjem obje strane jednačine sa nazivnikom? (br. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Odgovori: 3;4.

Rješenje jednačina tipa jednadžbe br. 7 razmatraćemo u narednim lekcijama.

Objasnite zašto se to dogodilo? Zašto su u jednom slučaju tri korijena, a u drugom dva? Koji su brojevi korijeni ove racionalne jednadžbe?

Studenti do sada nisu upoznali koncept stranog korena, zaista im je veoma teško da shvate zašto se to dogodilo. Ako niko u razredu ne može dati jasno objašnjenje ove situacije, onda nastavnik postavlja sugestivna pitanja.

• Kako se jednačine br. 2 i 4 razlikuju od jednačina br. 5.6? ( U jednadžbi br. 2 i 4 u nazivniku broja, br. 5-6 - izrazi sa promenljivom.)
• Šta je korijen jednačine? ( Vrijednost varijable pri kojoj jednačina postaje prava jednakost.)
• Kako saznati da li je broj korijen jednadžbe? ( Provjeri.)

Kada rade test, neki učenici primjećuju da moraju podijeliti sa nulom. Oni zaključuju da brojevi 0 i 5 nisu korijeni ove jednadžbe. Postavlja se pitanje: postoji li način za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina koji eliminiše ovu grešku? Da, ova metoda se temelji na uvjetu da je razlomak jednak nuli.

Pokušajmo na ovaj način formulirati algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina. Djeca sama formuliraju algoritam.

Algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina:

1. Pomerite sve ulevo.
2. Dovedite razlomke na zajednički nazivnik.
3. Napravite sistem: razlomak je nula kada je brojnik nula, a imenilac nije nula.
4. Riješite jednačinu.
5. Provjerite nejednakost da isključite strane korijene.
6. Zapišite odgovor.

4. Primarno razumijevanje novog gradiva.

Raditi u parovima. Učenici biraju kako će samostalno riješiti jednačinu, ovisno o vrsti jednačine. Zadaci iz udžbenika "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: br. 600(b,c); br. 601(a,e). Nastavnik kontroliše izvođenje zadatka, odgovara na postavljena pitanja i pruža pomoć učenicima sa lošim rezultatom. Samotestiranje: Odgovori su ispisani na tabli.

b) 2 - strani korijen. Odgovor:3.

c) 2 - strani korijen. Odgovor: 1.5.

a) Odgovor: -12.5.

5. Izjava o domaćem zadatku.

1. Pročitaj stavku 25 iz udžbenika, analiziraj primjere 1-3.
2. Naučite algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina.
3. Rešiti u sveskama br. 600 (d, e); br. 601 (g, h).

6. Sumiranje lekcije.

Dakle, danas smo se u lekciji upoznali sa frakcionim racionalnim jednadžbama, naučili kako riješiti ove jednadžbe Različiti putevi. Bez obzira na to kako rješavate frakcione racionalne jednadžbe, šta biste trebali imati na umu? U čemu je "lukavost" razlomaka racionalnih jednačina?

Hvala svima, lekcija je gotova.

Prezentacija i lekcija na temu: "Racionalne jednadžbe. Algoritam i primjeri za rješavanje racionalnih jednačina"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, sugestije! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna sredstva i simulatori u internet prodavnici "Integral" za 8. razred
Priručnik za udžbenik Makarychev Yu.N. Priručnik za udžbenik Mordkovich A.G.

Uvod u iracionalne jednadžbe

Neka je $r(x)$ racionalno izražavanje. Takav izraz može biti jednostavan polinom u varijabli $x$ ili omjer polinoma (uvodi se operacija dijeljenja, kao i za racionalne brojeve).
Poziva se jednačina $r(x)=0$ racionalna jednačina.
Bilo koja jednačina oblika $p(x)=q(x)$, gdje su $p(x)$ i $q(x)$ racionalni izrazi, također će biti racionalna jednačina.

Razmotrimo primjere rješavanja racionalnih jednačina.

Odluka.
Pomjerimo sve izraze na lijevu stranu: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Kada bi obični brojevi bili predstavljeni na lijevoj strani jednačine, tada bismo dva razlomka doveli na zajednički nazivnik.
Uradimo ovo: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Dobili smo jednačinu: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Razlomak je nula ako i samo ako je brojnik razlomka nula, a nazivnik nije nula. Zatim zasebno izjednačite brojilac sa nulom i pronađite korijene brojnika.
$3(x^2+2x-3)=0$ ili $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Sada provjerimo nazivnik razlomka: $(x-3)*x≠0$.
Proizvod dva broja jednak je nuli kada je barem jedan od ovih brojeva jednak nuli. Zatim: $x≠0$ ili $x-3≠0$.
$x≠0$ ili $x≠3$.
Korijeni dobijeni u brojniku i nazivniku se ne poklapaju. Dakle, kao odgovor zapisujemo oba korijena brojila.
Odgovor: $x=1$ ili $x=-3$.

Ako se odjednom jedan od korijena brojnika poklopio s korijenom nazivnika, onda ga treba isključiti. Takvi korijeni se nazivaju stranim!

Algoritam za rješavanje racionalnih jednačina:

Primjer 2
Riješite jednačinu: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Odluka.
Riješit ćemo prema tačkama algoritma.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Izjednačite brojilac sa nulom: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Izjednačite imenilac sa nulom:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ i $x=-1$.
Jedan od korijena $x=1$ se poklopio sa korijenom brojilaca, tada ga ne zapisujemo kao odgovor.
Odgovor: $x=-1$.

Pogodno je rješavati racionalne jednačine metodom promjene varijabli. Hajde da to demonstriramo.

Primjer 3
Riješite jednačinu: $x^4+12x^2-64=0$.

Odluka.
Uvodimo zamjenu: $t=x^2$.
Tada će naša jednadžba poprimiti oblik:
$t^2+12t-64=0$ je obična kvadratna jednačina.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4$.
Hajde da uvedemo inverznu zamenu: $x^2=4$ ili $x^2=-16$.
Korijeni prve jednadžbe su par brojeva $x=±2$. Drugi nema korijena.
Odgovor: $x=±2$.

Primjer 4
Riješite jednačinu: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Odluka.
Hajde da uvedemo novu varijablu: $t=x^2+x+1$.
Tada će jednačina dobiti oblik: $t=\frac(15)(t+2)$.
Zatim ćemo djelovati prema algoritmu.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3$.
4. $t≠-2$ - korijeni se ne poklapaju.
Uvodimo obrnutu zamjenu.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Riješimo svaku jednačinu posebno:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - ne korijenje.
I druga jednačina: $x^2+x-2=0$.
Korijeni ove jednadžbe će biti brojevi $x=-2$ i $x=1$.
Odgovor: $x=-2$ i $x=1$.

Primjer 5
Riješite jednačinu: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Odluka.
Uvodimo zamjenu: $t=x+\frac(1)(x)$.
onda:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ ili $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Dobili smo jednačinu: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Korijeni ove jednadžbe su par:
$t=-3$ i $t=2$.
Hajde da uvedemo obrnutu zamenu:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Odlučićemo posebno.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Rešimo drugu jednačinu:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Koren ove jednačine je broj $x=1$.
Odgovor: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Zadaci za samostalno rješavanje

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određene osobe ili kontaktiranje s njom.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, mi možemo prikupiti razne informacije uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Prikupljeno od nas lična informacija nam omogućava da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i poruke.
• Također možemo koristiti lične podatke za interne svrhe kao što su revizija, analiza podataka i razne studije da poboljšamo usluge koje pružamo i da vam damo preporuke u vezi sa našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim redom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno iz razloga sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše lične podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlašćenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.

Najmanji zajednički nazivnik se koristi za pojednostavljenje ove jednačine. Ova metoda se koristi kada ne možete napisati datu jednačinu s jednim racionalnim izrazom na svakoj strani jednačine (i koristite metodu unakrsnog množenja). Ova metoda se koristi kada vam je data racionalna jednadžba sa 3 ili više razlomaka (u slučaju dva razlomka bolje je unakrsno množenje).