Основной закон динамики вращения тела относительно центра. Вращательное движение тела

Вывод основного закона динамики вращательного движения. К выводу основного уравнения динамики вращательного движения. Динамика вращательного движения материальной точки. В проекции на тангенциальное направление уравнение движения примет вид: Ft = mt.

15.Вывод основного закона динамики вращательного движения.

Рис. 8.5. К выводу основного уравнения динамики вращательного движения.

Динамика вращательного движения материальной точки. Рассмотрим частицу массы m, вращающуюся вокруг токи О по окружности радиуса R , под действием результирующей силы F (см. рис. 8.5). В инерциальной системе отсчета справедлив 2 ой закон Ньютона. Запишем его применительно к произвольному моменту времени:

F = m· a .

Нормальная составляющая силы не способна вызвать вращения тела, поэтому рассмотрим только действие ее тангенциальной составляющей. В проекции на тангенциальное направление уравнение движения примет вид:

F t = m·a t .

Поскольку a t = e·R, то

F t = m·e·R (8.6)

Умножив левую и правую части уравнения скалярно на R, получим:

F t ·R= m·e·R 2 (8.7)
M = I·e. (8.8)

Уравнение (8.8) представляет собой 2 ой закон Ньютона (уравнение динамики) для вращательного движения материальной точки. Ему можно придать векторный характер, учитывая, что наличие момента сил вызывает появление параллельного ему вектора углового ускорения, направленного вдоль оси вращения (см. рис. 8.5):

M = I· e . (8.9)

Основной закон динамики материальной точки при вращательном движении можно сформулировать следующим образом:

произведение момента инерции на угловое ускорение равно результирующему моменту сил, действующих на материальную точку.

Для выяснения назначения приведенных выше понятий рассмотрим систему из двух материальных точек (частиц) и затем обобщим результат на систему из произвольного числа частиц (т.е. на твердое тело). Пусть на частицы с массами m 1 , m 2 , импульсы которых p 1 и p 2 , действуют внешние силы F 1 и F 2 . Частицы также взаимодействуют друг с другом внутренними силами f 12 и f 21 .

, (1)

, (2)

. (3)

Умножим векторно уравнение (1) на r 1 , а уравнение (2) – на r 2 и сложим полученные выражения:

Преобразуем левые части уравнения (4), учитывая что

, i=1, 2.

Векторы и
параллельны и их векторное произведение равно нулю, поэтому можно записать

. (5)

Первые два слагаемых справа в (4) равны нулю, т.е.

поскольку f 21 =- f 12 , а векторr 1 -r 2 направлен по одной и той же прямой, что и вектор f 12 .

Учитывая (5)и (6) из (4) получим

или

, (7)

где L = L 1 + L 2 ; M = M 1 + M 2 . Обобщая результат на систему из n частиц, мы можем записать L = L 1 + L 2 +…+L n = M = M 1 + M 2 + M n =

Уравнение (7) является математической записью основного закона динамики вращательного движения: скорость изменения момента импульса системы равна сумме действующих на нее моментов внешних сил. Этот закон справедлив относительно любой неподвижной или движущейся с постоянной скоростью точки в инерциальной системе отсчета. Отсюда же следует закон сохранения момента импульса : если момент внешних сил M равен нулю, то момент импульса системы сохраняется (L =const).

Момент импульса абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси.

Рассмотрим вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z. Твердое тело можно представить как систему из n материальных точек (частиц). При вращении некоторая рассматриваемая точка тела (обозначим ее индексом i, причем i=1…n) движется по окружности постоянного радиуса R i с линейной скоростью v i вокруг оси z (рис.4).

Ее скорость v i и импульс m i v i перпендикулярны радиусу R i . Поэтому модуль момента импульса частицы тела относительно точки О, расположенной на оси вращения:

,

где r i – радиус- вектор, проведенный от точки О к частице.

Используя связь между линейной и угловой скоростью v i =R i , где R i –расстояние частицы от оси вращения, получим

.

Проекция этого вектора на ось вращения z, т.е. момент импульса частицы тела относительно оси z будет равна:

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульсов всех частей тела:

.

Величина I z , равная сумме произведений масс частиц тела на квадраты их расстояний до оси z, называется моментом инерции тела относительно данной оси:

. (8)

Из выражения (8) следует, что момент импульса тела не зависит от положения точки О на оси вращения, поэтому говорят о моменте импульса тела относительно некоторой оси вращения, а не относительно точки

Между формулировками основного закона вращательного движения, определениями момента импульса, силы существует схожесть с формулировками второго закона Ньютона и определениями импульса для поступательного движения.

Момент силы

Вращающее действие силы определяется ее моментом. Моментом силы относительно какой-либо точки называется векторное произведение

Радиус-вектор, проведенный из точки в точку приложения силы (рис.2.12). Единица измерения момента силы .

Рисунок 2.12

Величина момента силы

,

или можно записать

где - плечо силы (кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы).

Направление вектора определяется по правилу векторного произведения или по правилу «правого винта» (векторы и параллельным переносом совмещаем в точке О, направление вектора определяется так, чтобы из его конца поворот от вектора к был виден против часовой стрелки – на рис 2.12 вектор направлен перпендикулярно плоскости чертежа «от нас» (аналогично по правилу буравчика – поступательное движение соответствует направлению вектора , вращательное соответствует повороту от к )).

Момент силы относительно какой-либо точки равен нулю, если линия действия силы проходит через эту точку.

Проекция вектора на какую-либо ось, например, ось z, называется моментом силы относительно этой оси. Чтобы определить момент силы относительно оси, сначала проецируют силу на плоскость, перпендикулярную оси (рис. 2.13), а затем находят момент этой проекции относительно точки пересечения оси с перпендикулярной ей плоскостью. Если линия действия силы параллельна оси, или пересекает ее, то момент силы относительно этой оси равен нулю.

Рисунок 2.13

Момент импульса

Моментомимпульса материальной точки массой , движущейся со скоростью , относительно какой-либо точки отсчета , называют векторное произведение

,

Радиус-вектор материальной точки (рис. 2.14), - ее импульс.

Рисунок 2.14

Величина момента импульса материальной точки

,

где -кратчайшее расстояние от линии вектора до точки .

Направление момента импульса определяется аналогично направлению момента силы.

Если выражение для L 0 умножить и разделить на l получим:

Где - момент инерции материальной точки - аналог массы во вращательном движении.

- угловая скорость.

Момент инерции твердого тела

Видно, что получающиеся формулы очень похожи на выражения для импульса и для второго закона Ньютона соответственно, только вместо линейной скорости и ускорения используются угловые скорость и ускорение, а вместо массы – величина I=mR 2 , именуемая моментом инерции материальной точки .

Если тело нельзя считать материальной точкой, но можно считать абсолютно твердым, то его момент инерции можно считать суммой моментов инерции бесконечно малых его частей, поскольку угловые скорости вращения этих частей одинаковы (рис. 2.16). Сумма бесконечно малых – интеграл:

Для любого тела существуют оси, проходящие через его центр инерции, обладающие таким свойством: при вращении тела вокруг таких осей в отсутствии внешних воздействий оси вращения не меняют своего положения. Такие оси называются свободными осями тела . Можно доказать, что для тела любой формы и с любым распределением плотности существуют три взаимно перпендикулярные свободные оси, именуемые главными осями инерции тела. Моменты инерции тела относительно главных осей именуются главными (собственными) моментами инерции тела.

Главные моменты инерции некоторых тел приведены в табл.:

Теорема Гюйгенса-Штейнера.

.

Это выражение носит название теоремы Гюйгенса-Штейнера : момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями .

Основное уравнение динамики вращательного движения

Основной закон динамики вращательного движения можно получить из второго закона Ньютона для поступательного движения твердого тела

Где F – сила, приложенная к телу массой m ; а – линейное ускорение тела.

Если к твердому телу массой m в точке А (рис. 2.15) приложить силу F , то в результате жесткой связи между всеми материальными точками тела все они получат угловое ускорение ε и соответственные линейные ускорения, как если бы на каждую точку действовала сила F 1 …F n . Для каждой материальной точки можно записать:

Где поэтому

Где m i – масса i- й точки; ε – угловое ускорение; r i – ее расстояние до оси вращения.

Умножая левую и правую части уравнения на r i , получаем

Где – момент силы – это произведение силы на ее плечо.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3

ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ

ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Приборы и принадлежности: установка ""маятник Обербека"", набор грузов с указанной массой, штангенциркуль.

Цель работы: экспериментальная проверка основного закона динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси и вычисление момента инерции системы тел.

Краткая теория

При вращательном движении все точки твердого тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Рассмотрим случай, когда ось неподвижна. Основной закон динамики вращательного движения твердого тела гласит, что момент силы М , действующий на тело, равен произведению момента инерции тела I на его угловое ускорение https://pandia.ru/text/78/003/images/image002_147.gif" width="61" height="19">. (3.1)

Из закона следует, что если момент инерции I будет постоянным, то https://pandia.ru/text/78/003/images/image004_96.gif" width="67" height="21 src="> представляет собой прямую линию. Наоборот, если зафиксировать постоянный момент силы М , то и уравнение будет представлять собой гиперболу.

Закономерности, связывающие между собой величины e , М , I , можно выявить на установке, которая называется маятником Обербека (рис. 3.1). Груз, прикрепленный к нити, намотанной на большой или малый шкив, приводит систему во вращение. Меняя шкивы и изменяя массу груза m , изменяют вращающий момент М , а передвигая грузы m 1 вдоль крестовины и фиксируя их в различных положениях, изменяют момент инерции системы I .

Груз m , опускаясь на нити, движется с постоянным ускорением

Из связи линейного и углового ускорений любой точки, лежащей на ободе шкива, следует, что угловое ускорение системы

По второму закону Ньютона m g – Т = m а , откуда сила натяжения нити, приводящая блок во вращение, равна

T = m (g - a ). (3.4)

Система приводится во вращение моментом М = R Т . Следовательно,

или . (3.5)

По формулам (3.3) и (3.5) можно вычислить e и М , экспериментально проверить зависимость e = f (М ), и из (3.1) рассчитать момент инерции I .

Так как момент инерции системы относительно неподвижной оси равен сумме моментов инерции элементов системы относительно той же оси, то полный момент инерции маятника Обербека равен

(3.6)

где I – момент инерции (маятника); I 0 – постоянная часть момента инерции, состоящая из суммы моментов инерции оси, малого и большого шкивов и крестовины; 4m 1l2 - переменная часть момента инерции системы, равная сумме моментов инерции четырех грузов, которые можно перемещать на крестовине.

Определив из (3.1) полный момент инерции I , можно вычислить постоянную составляющую часть момента инерции системы

I 0 = I - 4m 1l 2 . (3.7)

Изменяя момент инерции маятника при постоянном моменте сил, можно экспериментально проверить зависимость e = f (I ).

Описание лабораторной установки

Установка состоит из основания 1, на котором установлена вертикальная стойка (колонка) 4. На вертикальной стойке располагаются верхний 6, средний 3 и нижний 2 кронштейны.

На верхнем кронштейне 6 размещается узел подшипников 7 с малоинерционным шкивом 8. Через последний перекинута капроновая нить 9, которая закрепляется на шкиве 12 одним концом, а ко второму крепится наборный груз 15.

"СТОП"" – в течение времени, когда нажата эта кнопка, система расторможена и можно вращать крестовину;

кнопка ""СТАРТ"" – при нажатии на кнопку обнуляется и сразу же включается секундомер, система растормаживается на время до пересечения наборным грузом 15 луча фотоэлектрического датчика 14.

На задней панели блока электронного расположен выключатель ""Сеть"" (""01"") – при включении выключателя срабатывает электромагнит и затормаживает систему, на секундомере высвечиваются нули.

ПРЕДОСТЕРЕЖЕНИЕ!!! Запрещается быстро раскручивать крестовину 11, так как любой из грузов 10 (m 1) при этом может сорваться, летящий же с большой скоростью стальной груз представляет опасность. Чтобы не сломать электромагнитный тормоз, вращать крестовину 11 с грузами 10 (m 1) разрешается только при нажатой кнопке ""СТОП"" или при выключенном питании установки (выключатель ""Сеть"" (""01"") на задней панели блока электронного).

Упражнение №1 . Определение зависимости e (M )

углового ускорения e от вращающего момента М

при постоянном моменте инерции I =const

1. На концах крестовины 11 на одинаковом расстоянии от ее оси вращения установите и закрепите грузы 10 (m 1).

2. Замерьте штангенциркулем диаметры шкивов d 1 и d 2 и запишите их в табл. 3.1.

3. По шкале на вертикальной стойке 4 определите высоту h опускания наборного груза 15 (m ), равную расстоянию между риской фотоэлектрического датчика 14 и верхним краем визира 5 (риска фотоэлектрического датчика находится на одной высоте с верхним краем нижнего кронштейна 2, окрашенным в красный свет).

4. Установите минимальную массу наборного груза 15 (m ) и запишите ее в табл. 3.1 (массы грузов указаны на них).

5. Включите выключатель ""Сеть"" (""01""), расположенный на задней панели блока электронного. При этом должны загореться табло секундомера и включиться электромагнит. Вращать крестовину сейчас нельзя! Если один из элементов не сработал, сообщите об этом лаборанту.

6. Нажмите и удерживайте кнопку ""СТОП"", растормозив систему. При нажатой кнопке ""СТОП"" укрепите нить в прорезях на малом шкиве и затем, вращая крестовину, намотайте нить на малый шкив, поднимая при этом наборный груз 15. Когда нижний обрез груза будет находиться строго против верхнего края визира 5, отожмите кнопку ""СТОП"" – система затормозится.

7. Нажмите на кнопку ""СТАРТ"". Система растормозится, груз начнет ускоренно опускаться, а секундомер отсчитывать время. Когда груз пересечет световой луч фотодатчика, секундомер автоматически выключится и система затормозится. Запишите в табл. 3.1 измеренное время t 1.

Таблица 3.1

8. Замеры времени выполните по 3 раза для трех значений массы наборного груза 15 (m ). Повторите измерения на большом шкиве. Результаты замеров занесите в табл. 3.1. Выключите установку из сети.

9. Для любой массы m рассчитайте tср и выполните оценочный расчет момента инерции I , используя формулы (3.2), (3.3), (3.5), (3.1). Заполните полностью соответствующую строку в табл. 3.2 и подойдите к преподавателю на проверку.

Таблица 3.2

10. При оформлении отчета для всех значений tср рассчитайте a , e , M , I . Результаты измерений и расчетов занесите в табл. 3.2.

11. Рассчитайте среднее значение момента инерции Iср , вычислите методом Стьюдента абсолютную погрешность результата измерений (при расчетах принять t a ,n =2,57 для n= 6 и a = 0,95).

12. Постройте график зависимости e = f (М ), взяв значения e и M из табл. 3.2. Напишите выводы.

Упражнение №2 . Определение зависимости e (I )

углового ускорения e от момента инерции I

при постоянном вращающем моменте M =const

1. Укрепите грузы 10 (m 1) на концах крестовины на равном расстоянии от ее оси вращения. Замерьте расстояние l от центра масс груза m 1 до оси вращения крестовины и запишите в табл. 3.3. Запишите в табл. 3.4 массу груза m 1, выбитую на нем.

2. Выберите и запишите в табл. 3.4 радиус R шкива 12 и массу m наборного груза 15 (нежелательно брать одновременно большой шкив и большую массу). В упр. 2 выбранные R и m не изменяйте.

3. Для выбранных R и m три раза определите время t 1 опускания наборного груза 15 (m ). Результаты занесите в табл. 3.3.

Таблица 3.3

4. Выключите установку из сети. Сдвиньте все грузы 10 (m 1) на 1-2 см к оси вращения крестовины. Замерьте новое расстояние l и занесите его в табл. 3.3. Включите установку в сеть и измерьте трижды время t 2 опускания наборного груза 15 (m ). Замеры выполните для 6 различных значений l . Результаты занесите в табл. 3.3. Отключите установку от сети.

5. По формуле (3.7) выполните оценочный расчет I 0, взяв значение I и l из упр. 1.

6. Для любого l из табл. 3.3 рассчитайте tср и по формулам (3.2), (3.3) и (3.6) рассчитайте a , e и I . Заполните полностью соответствующую строку в табл. 3.4 и подойдите к преподавателю на проверку.

7. При оформлении отчета по формуле (3.7) вычислите среднее значение I 0, используя Iср и l из упр. 1. Используя полученное значение I 0, по формуле (3.6) вычислите I i для всех l из табл. 3.3. Результаты занесите в три последних столбца табл. 3.4.

Таблица 3.4

8. Используя формулы (3.2) и (3.3), рассчитайте Лабораторные работы" href="/text/category/laboratornie_raboti/" rel="bookmark">лабораторной работы соблюдайте общие требования техники безопасности в лаборатории механики в соответствии с инструкцией. Подключение установки к блоку электронному производится строго в соответствии с паспортом установки.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

2. Какая физическая величина является мерой инертности при поступательном движении? При вращательном движении? В каких единицах они измеряются?

3. Чему равен момент инерции материальной точки? Твердого тела?

4. При каких условиях момент инерции твердого тела минимален?

5. Чему равен момент инерции тела относительно произвольной оси вращения?

6. Как будет изменяться угловое ускорение системы, если при неизменяемых радиусе шкива R и массе груза m грузы на концах крестовины удалять от оси вращения?

7. Как изменится угловое ускорение системы, если при неизменном грузе m и неизменном положении грузов на крестовине увеличить радиус шкива?

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Курс физики: Учеб. пособ. для втузов. – М.: Высш. шк., 1998, с. 34-38.

2. , Курс физики: Учеб. пособ. для втузов. – М.: Высш. шк., 2000, с. 47-58.

Момент инерции относительно оси вращения

Момент инерции материальной точки , (1.8) где – масса точки, – расстояние её от оси вращения.

1. Момент инерции дискретного твердого тела , (1.9) где – элемент массы твердого тела; – расстояние этого элемента от оси вращения; – число элементов тела.

2. Момент инерции в случае непрерывного распределения массы (сплошного твердого тела) . (1.10) Если тело однородно, т.е. его плотность одинакова по всему объему, то используется выражение (1.11), где и объем тела.

3. Теорема Штейнера. Момент инерции тела любой оси вращения равен моменту его инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между ними . (1.12)

1. , (1.13) где – момент силы, – момент инерции тела, – угловая скорость, – момент импульса.

2. В случае постоянного момента инерции тела – , (1.14) где угловое ускорение.

3. В случае постоянных момента силы и момента инерции изменение момента импульса вращающегося тела, равно произведению среднего момента сил, действующего на тело на время действия этого момента . (1.15)

Если ось вращения не проходит через центр масс тела, то момент инерции тела относительно этой оси можно определить по теореме Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме моментов инерции этого тела относительно оси вращения О 1 О 2, проходящей через центр масс тела С параллельно оси , и произведения массы тела на квадрат расстояния между этими осями (см. Рис. 1), т.е. .

Момент инерции системы отдельных тел равен (например, момент инерции физического маятника равен , где момент инерции стержня, на котором крепится диск с моментом инерции ).

Таблица аналогий

Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение. Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном движении тела мимо произвольной воображаемой точки, не лежащей на линии движения, оно также обладает моментом импульса. Наибольшую, пожалуй, роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения, момент импульса относительно точки - это псевдовектор, а момент импульса относительно оси - псевдоскаляр.

Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения) утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел (или частиц) системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю.

1)Еще линейными характеристиками: путь S, скорость,тангенциальноеи нормальное ускорения.

2)При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения ε направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор ε сонаправлен вектору ω (рис. 3), при замедленном - противонаправлен ему.

4) Момент инерции - скалярная величина, характеризующая распределение масс в теле. Момент инерции является мерой инертности тела при вращении (физический смысл).

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости.

5) Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) - векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора (проведённого от оси вращения к точке приложения силы - по определению), на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

6) Если груз подвешан и находится в покое,то сила упругости \натяжения\ нити по модулю равна силе тяжести.