Внутренних углов треугольника называется биссектрисой треугольника.
Под биссектрисой угла треугольника также понимают отрезок между его вершиной и точкой пересечения биссектрисы с противолежащей стороной треугольника.
Теорема 8. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Действительно, рассмотрим сначала точку Р пересечения двух биссектрис, например АК 1 и ВК 2 . Эта точка одинаково удалена от сторон АВ и АС, так как она лежит на биссектрисе угла А, и одинаково удалена от сторон АВ и ВС, как принадлежащая биссектрисе угла В. Значит, она одинаково удалена от сторон АС и ВС и тем самым принадлежит третей биссектрисе СК 3 , то есть в точке Р пересекаются все три биссектрисы.
Свойства биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника
Теорема 9 . Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
Доказательство. Рассмотрим треугольник АВС и биссектрису его угла В. Проведем через вершину С прямую СМ, параллельную биссектрисе ВК, до пересечения в точке Мпродолжением стороны АВ. Так как ВК – биссектриса угла АВС, то ∠ АВК=∠ КВС. Далее, ∠ АВК=∠ ВМС, как соответственные углы при параллельных прямых, и ∠ КВС=∠ ВСМ, как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Отсюда ∠ ВСМ=∠ ВМС, и поэтому треугольник ВМС – равнобедренный, откуда ВС=ВМ. По теореме о параллельных прямых, пересекающих стороны угла, имеем АК:К С=АВ:ВМ=АВ:ВС, что и требовалось доказать.
Теорема 10 Биссектриса внешнего угла В треугольника АВС обладает аналогичным свойством: отрезки AL и CL от вершины А и С до точки L пересечения биссектрисы с продолжением стороны АС пропорциональны сторонам треугольника: AL :CL =AB :BC .
Это свойство доказывается так же, как и предыдущее: на рисунке проведена вспомогательная прямая СМ, параллельная биссектрисе BL . Углы ВМС и ВСМ равны, а значит, и стороны ВМ и ВС треугольника ВМС равны. Из чего приходим к выводу AL:CL=AB:BC.

Теорема d4. (первая формула для биссектрисы): Если в треугольнике ABC отрезок AL является биссектрисой угла A, то AL? = AB·AC - LB·LC.

Доказательство: Пусть M - точка пересечения прямой AL с окружностью, описанной около треугольника ABC (рис. 41). Угол BAM равен углу MAC по условию. Углы BMA и BCA равны как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду. Значит, треугольники BAM и LAC подобны по двум углам. Следовательно, AL: AC = AB: AM. Значит, AL · AM = AB · AC <=> AL · (AL + LM) = AB · AC <=> AL? = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Что и требовалось доказать. Примечание: теорему об отрезках пересекающихся хорд в круге и о вписанных углах смотри в теме круг и окружность .

Теорема d5. (вторая формула для биссектрисы): В треугольнике ABC со сторонами AB=a, AC=b и углом A, равным 2? и биссектрисой l, имеет место равенство:
l = (2ab / (a+b)) · cos?.

Доказательство: Пусть ABC - данный треугольник, AL - его биссектриса (рис. 42), a=AB, b=AC, l=AL. Тогда S ABC = S ALB + S ALC . Следовательно, absin2? = alsin? + blsin? <=> 2absin?·cos? = (a + b)·lsin? <=> l = 2·(ab / (a+b))· cos?. Теорема доказана.

Биссектриса треугольника – распространенное геометрическое понятие, которое не вызывает особых затруднений в изучении. Владея знаниями о ее свойствах, с решением многих задач можно справиться без особого труда. Что такое биссектриса? Постараемся ознакомить читателя со всеми секретами этой математической прямой.

Вконтакте

Суть понятия

Наименование понятия пошло от использования слов на латыни, значение которых заключается «би» — две, «сектио» — разрезать. Они конкретно указывают на геометрический смысл понятия – разбивание пространства между лучами на две равные части .

Биссектриса треугольника – отрезок, который берет начало из вершины фигуры, а другой конец размещен на стороне, которая расположена напротив него, при этом делит пространство на две одинаковые части.

Многие педагоги для быстрого ассоциативного запоминания учащимися математических понятий пользуются разной терминологией, которая отображена в стихах или ассоциациях. Конечно, использовать такое определение рекомендуется для детей старшего возраста.

Как обозначается эта прямая? Здесь опираемся на правила обозначения отрезков или лучей. Если речь идет об обозначении биссектрисы угла треугольной фигуры, то обычно ее записывают как отрезок, концы которого являются вершиной и точкой пересечения с противоположной вершине стороной . Причем начало обозначения записывается именно из вершины.

Внимание! Сколько биссектрис имеет треугольник? Ответ очевиден: столько же, сколько вершин, – три.

Свойства

Кроме определения, в школьном учебнике можно найти не так уж много свойств данного геометрического понятия. Первое свойство биссектрисы треугольника, с которым знакомят школьников, – центр вписанной , а второе, напрямую связанное с ним, – пропорциональность отрезков. Суть заключается в следующем:

1. Какая бы ни была делящая прямая, на ней расположены точки, которые находятся на одинаковом расстоянии от сторон , которые составляют пространство между лучами.
2. Для того чтобы вписать в треугольную фигуру окружность, необходимо определить точку, в которой будут пересекаться эти отрезки. Это и есть центральная точка окружности.
3. Части стороны треугольной геометрической фигуры, на которые разбивает ее делящая прямая, находятся в пропорциональной зависимости от образующих угол сторон .

Постараемся привести в систему остальные особенности и представить дополнительные факты, которые помогут глубже познать достоинства этого геометрического понятия.

Длина

Одним из видов задач, которые вызывают затруднение у школьников, является нахождение длины биссектрисы угла треугольника. Первый вариант, в котором находится ее длина, содержит такие данные:

• величина пространства между лучами, из вершины которого выходит данный отрезок;
• длины сторон, которые образуют этот угол.

Для решения поставленной задачи используется формула , смысл которой заключается в нахождении отношения увеличенного в 2 раза произведения значений сторон, составляющих угол, на косинус его половины к сумме сторон.

Рассмотрим на определенном примере. Допустим, дана фигура АВС, в которой отрезок проведен из угла А и пересекает сторону ВС в точке К. Значение А обозначим Y. Исходя из этого, АК = (2*АВ*АС*cos(Y/2))/(АВ+АС).

Второй вариант задачи, в котором определяется длина биссектрисы треугольника, содержит такие данные:

• известны значения всех сторон фигуры.

При решении задачи такого типа первоначально определяем полупериметр . Для этого необходимо сложить значения всех сторон и разделить пополам: р=(АВ+ВС+АС)/2. Далее применяем вычислительную формулу, с помощью которой определялась длина данного отрезка в предыдущей задаче. Необходимо только внести некоторые изменения в суть формулы в соответствии с новыми параметрами. Итак, необходимо найти отношение увеличенного в два раза корня второй степени из произведения длин сторон, которые прилегают к вершине, на полупериметр и на разность полупериметра и длины противолежащей ему стороны к сумме сторон, составляющих угол. То есть АК=(2٦АВ*АС*р*(р-ВС))/(АВ+АС).

Внимание! Чтобы легче освоить материал, можно обратиться к имеющимся в Интернете шуточным сказкам, повествующим о «приключениях» этой прямой.

Среди многочисленных предметов среднеобразовательной школы есть такой, как «геометрия». Традиционно считается, что родоначальниками этой систематической науки являются греки. На сегодняшний день греческую геометрию называют элементарной, так как именно она начала изучение простейших форм: плоскостей, прямых, и треугольников. На последних мы и остановим свое внимание, а точнее на биссектрисе этой фигуры. Для тех, кто уже подзабыл, биссектриса треугольника представляет собой отрезок биссектрисы одного из углов треугольника, который делит его пополам и соединяет вершину с точкой, размещенной на противолежащей стороне.

Биссектриса треугольника имеет ряд свойств, которые необходимо знать при решении тех или иных задач:

• Биссектриса угла представляет собой геометрическое место точек, удаленных на равных расстояниях от прилегающих к углу сторон.
• Биссектриса в треугольнике делит противоположную от угла сторону на отрезки, которые пропорциональны прилежащим сторонам. Например, дан треугольник MKB, где из угла K выходит биссектриса, соединяющая вершину этого угла с точкой A на противолежащей стороне MB. Проанализировав данное свойство и наш треугольник, имеем MA/AB=MK/KB.
• Точка, в которой пересекаются биссектрисы всех трех углов треугольника, является центром окружности, которая вписана в этот же треугольник.
• Основание биссектрис одного внешнего и двух внутренних углов находятся на одной прямой, при условии, что биссектриса внешнего угла не является параллельной противоположной стороне треугольника.
• Если две биссектрисы одного то этот

Необходимо отметить, что если заданы три биссектрисы, то построение треугольника по ним, даже с помощью циркуля, невозможно.

Очень часто при решении задач биссектриса треугольника неизвестна, а необходимо определить ее длину. Для решения такой задачи необходимо знать угол, который делится биссектрисой пополам, и прилегающие к этому углу стороны. В этом случае искомая длина определяется как отношение удвоенного произведения прилегающих к углу сторон и косинуса угла деленного пополам к сумме прилегающих к углу сторон. Например, дан все тот же треугольник MKB. Биссектриса выходит из угла K и пересекает противоположную сторону МВ в точке А. Угол, из которого выходит биссектриса, обозначим y. Теперь запишем все то, что сказано словами в виде формулы: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

Если величина угла, из которого выходит биссектриса треугольника, неизвестна, но известны все его стороны, то для вычисления длины биссектрисы мы воспользуемся дополнительной переменной, которую назовем полупериметр и обозначим буквой P: P=1/2*(MK+KB+MB). После этого внесем некоторые изменения в предыдущую формулу, по которой определялась длина биссектрисы, а именно, в числитель дроби ставим удвоенный из произведения длин сторон, прилегающих к углу, на полупериметр и частное, где из полупериметра вычитается длина третьей стороны. Знаменатель оставим без изменения. В виде формулы это будет выглядеть так: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

Биссектриса равнобедренного треугольника вместе с общими свойствами имеет и несколько своих. Вспомним, что это за треугольник. У такого треугольника две стороны равны, и равны прилегающие к основанию углы. Отсюда следует, что биссектрисы, которые опускаются на боковые стороны равнобедренного треугольника, равны между собой. Кроме того, биссектриса, опущенная на основание, одновременно является и высотой, и медианой.

Инструкция

Если заданный треугольник равнобедренным или правильным, то есть у него
две или три стороны, то его биссектриса, согласно свойству треугольника , будет являться также и медианой. А, следовательно, противолежащая будет делиться биссектрисой пополам.

Измерьте линейкой противолежащую строну треугольника , куда будет стремиться биссектриса. Поделите данную строну пополам и поставьте в середине стороны точку.

Проведите прямую линию, проходящую через построенную точку и противолежащую вершину. Это и будет биссектриса треугольника .

Источники:

• Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Делить угол пополам и вычислить длину линии, проведенной из его вершины к противоположной стороне, необходимо уметь раскройщикам, землемерам, монтажникам и людям некоторых других профессий.

Вам понадобится

• Инструменты Карандаш Линейка Транспортир Таблицы синусов и косинусов Математические формулы и понятия: Определение биссектрисы Теоремы синусов и косинусов Теорема о биссектрисе

Инструкция

Постройте треугольник необходимой и величины, в зависимости от того, что вам дано? дфе стороны и угол между ними, три стороны или два угла и расположенная между ними сторона.

Обозначьте вершины углов и стороны традиционными латинскими А, В и С. Вершины углов обозначают , противолежащие стороны - строчными. Обозначьте углы греческими буквами?,? и?

По теоремам синусов и косинусов вычислите углов и сторон треугольника .

Вспомните биссектрисы. Биссектриса - , делящая угол пополам. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую на два отрезка, которых равно отношению двух прилежащих сторон треугольника .

Проведите биссектрисы углов. Полученные отрезки обозначьте названиами углов, написанными строчными буквами, с нижним индексом l. Сторона с делится на отрезки a и b с индексами l.

Вычислите длины получившихся отрезков по теореме синусов.

Видео по теме

Обратите внимание

Длина отрезка, которая одновременно является стороной треугольника, образованного одной из сторон исходного треугольника, биссектрисой и собственно отрезком, вычисляется по теореме синусов. Для того, чтобы вычислить длину другого отрезка этой же стороны, воспользуйтесь соотношением получившихся отрезков и прилежащих сторон исходного треугольника.

Полезный совет

Для того, чтобы не запутаться, проведите биссектрисы разных углов разным цветом.

Биссектрисой угла называют луч, который начинается в вершине угла и делит его на две равные части. Т.е. чтобы провести биссектрису , нужно найти середину угла . Наиболее простой способ это сделать - при помощи циркуля. В этом случае вам не нужно проводить никаких вычислений, и результат не будет зависеть от того, является ли величина угла целым числом.

Вам понадобится

• циркуль, карандаш, линейка.

Инструкция

Оставив ширину раствора циркуля прежней, установите иглу в конце отрезка на одной из сторон и начертите часть окружности так, чтобы она располагалась внутри угла . То же самое сделайте и со второй . У вас получится две части окружностей, которые будут пересекаться внутри угла - примерно посередине. Пересекаться части окружностей могут в одной или двух точках.

Видео по теме

Полезный совет

Для построения биссектрисы угла можно использовать транспортир, но этот способ требует большей точности. При этом, если величина угла не будет являться целым числом, вероятность погрешностей в построении биссектрисы возрастает.

При строительстве или разработке домашних дизайн-проектов часто требуется построить угол , равный уже имеющемуся. На помощь приходят шаблоны и школьные знания геометрии.

Инструкция

Угол образуют две прямые, исходящие из одной точки. Эта точка будет называться вершиной угла, а линии будут являться сторонами угла.

Для обозначения углов используйте три : одна у вершины, две у сторон. Называют угол , начиная с той буквы, которая стоит у одной стороны, далее называют букву, стоящую у вершины, и затем букву у другой стороны. Используйте и другие для обозначения углов, если вам удобнее иначе. Иногда называют только одну букву, которая стоит у вершины. А можно обозначать углы греческими буквами, например, α, β, γ.

Встречаются ситуации, когда необходимо угол , чтобы он был уже данному углу. Если при построении использовать транспортир возможности нет, можно обойтись только линейкой и циркулем. Допустим, на прямой, обозначенной на буквами MN, нужно построить угол у точки К, так, чтобы он был равен углу В. То есть из точки K необходимо провести прямую, с линией MN угол , который будет равен углу В.

В начале отметьте по точке на каждой стороне данного угла, например, точки А и С, дальше соедините точки С и А прямой линией. Получите треугол ьник АВС.

Сейчас постройте на прямой MN такой же треугол ьник, чтобы его вершина В находилась на линии в точке К. Используйте правило построения треугол ьника по трем . Отложите от точки К отрезок KL. Он должен быть равен отрезку ВС. Получите точку L.

Из точки K вычертите окружность радиусом равным отрезку ВА. Из L вычертите окружность радиусом СА. Полученную точку (Р) пересечения двух окружностей соедините с К. Получите треугол ьник КPL, который будет равен треугол ьнику ABC. Так вы получите угол К. Он и будет равен углу В. Чтобы это удобнее и быстрее, от вершины В отложите равные отрезки, используя один раствор циркуля, не сдвигая ножек, опишите этим же радиусом из точки К окружность.

Видео по теме

Совет 5: Как построить треугольник по двум сторонам и медиане

Треугольник - это простейшая геометрическая фигура, имеющая три вершины, попарно соединенные между собой отрезками, которые образуют стороны этого многоугольника. Отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны, называют медианой. Зная длины двух сторон и медианы, соединяющихся в одной из вершин, можно построить треугольник, не имея данных о длине третьей стороны или величинах углов.

Инструкция

Проведите из точки A отрезок, длина которого одной из известных сторон треугольника (a). Точку окончания этого отрезка обозначьте буквой B. После этого одну из сторон (AB) искомого треугольника уже можно считать построенной.

Начертите с помощью циркуля окружность с радиусом, равным удвоенной длине медианы (2∗m), и с центром в точке A.

Начертите с помощью циркуля вторую окружность с радиусом, равным длине известной стороны (b), и с центром в точке B. Отложите на время циркуль, но оставьте на нем отмеренный - он вам снова понадобится немного позже.

Постройте отрезок, соединяющий точку A с точкой пересечения двух нарисованных вами . Половина этого отрезка будет , который вы строите - отмерьте эту половину и поставьте точку M. На этот момент у вас есть одна сторона искомого треугольника (AB) и его медиана (AM).

Начертите с помощью циркуля окружность с радиусом, равным длине второй известной стороны (b), и с центром в точке A.

Проведите отрезок, который должен начинаться в точке B, проходить через точку M и заканчиваться в точке пересечения прямой с проведенной вами на предыдущем шаге окружностью. Обозначьте точку пересечения буквой C. Теперь в искомом построена и неизвестная по условиям задачи сторона BC.

Умение разделить любой угол биссектрисой нужно не только для того, чтобы получить «пятерку» по математике. Эти знания очень пригодятся строителю, дизайнеру, землемеру и портнихе. В жизни многое надо уметь делить пополам.

Все в школе учили шуточное про крысу, которая бегает по углам и делит угол пополам. Звали этого шустрого и умного грызуна Биссектрисой. Не известно, каким образом крыса делила угол, а математиков в школьном учебнике «Геометрия» могут быть предложены следующие способы.

С помощью транспортира

С помощью циркуля

С помощью линейки

Без инструментов

Развернутый угол

Углы в треугольнике

Видео по теме

Мнемоническое правило «биссектриса-это крыса, которая бегает по углам и делит их пополам» описывает суть понятия, но не дает рекомендаций по построению биссектрисы. Чтобы ее начертить, кроме правила вам понадобится циркуль и линейка.

Инструкция

Допустим, что вам нужно построить биссектрису угла A. Возьмите циркуль, поставьте его острием в точку A ( угла) и начертите окружность любого . Там, где она пересечет стороны угла, поставьте точки B и C.

Замерьте радиус первой окружности. Начертите еще одну, с таким же радиусом, поставив циркуль в точку B.

Проведите следующую окружность (по размеру равную предыдущим) с центром в точке C.

Все три окружности должны пересечься в одной точке – назовем ее F. С помощью линейки проведите луч, проходящий через точки A и F. Это и будет искомая биссектриса угла A.

Существует несколько правил, помогут вам в нахождении . Например, она противоположную в , равном отношению двух прилежащих сторон. В равнобедренном

Теорема. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC (рис. 259) и биссектрису его угла В. Проведем через вершину С прямую СМ, параллельную биссектрисе ВК, до пересечения в точке М с продолжением стороны АВ. Так как ВК - биссектриса угла ABC, то . Далее, как соответственные углы при параллельных прямых, и как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Отсюда и поэтому - равнобедренный, откуда . По теореме о параллельных прямых, пересекающих стороны угла, имеем а ввиду получим , что и требовалось доказать.

Биссектриса внешнего угла В треугольника ABC (рис. 260) обладает аналогичным свойством: отрезки AL и CL от вершин А и С до точки L пересечения биссектрисы с продолжением стороны АС пропорциональны сторонам треугольника:

Это свойство доказывается так же, как и предыдущее: на рис. 260 проведена вспомогательная прямая СМ, параллельная биссектрисе BL. Читатель сам убедится в равенстве углов ВМС и ВСМ, а значит, и сторон ВМ и ВС треугольника ВМС, после чего требуемая пропорция получится сразу.

Можно говорить, что и биссектриса внешнего угла делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам; нужно лишь условиться допускать «внешнее деление» отрезка.

Точка L, лежащая вне отрезка АС (на его продолжении), делит его внешним образом в отношении если Итак, биссектрисы угла треугольника (внутреннего и внешнего) делят противолежащую сторону (внутренним и внешним образом) на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

Задача 1. Боковые стороны трапеции равны 12 и 15, основания равны 24 и 16. Найти стороны треугольника, образованного большим основанием трапеции и ее продолженными боковыми сторонами.

Решение. В обозначениях рис. 261 имеем для отрезка служащего продолжением боковой стороны пропорцию откуда легко находим Аналогичным способом определяем вторую боковую сторону треугольника Третья сторона совпадает с большим основанием: .

Задача 2. Основания трапеции равны 6 и 15. Чему равна длина отрезка, параллельного основаниям и делящего боковые стороны в отношении 1:2, считая от вершин малого основания?

Решение. Обратимся к рис. 262, изображающему трапецию. Через вершину С малого основания проведем линию, параллельную боковой стороне АВ, отсекающую от трапеции параллелограмм. Так как , то отсюда находим . Поэтому весь неизвестный отрезок KL равен Заметим, что для решения этой задачи нам не нужно знать боковых сторон трапеции.

3адача 3. Биссектриса внутреннего угла В треугольника ABC рассекает сторону АС на отрезки на каком расстоянии от вершин А и С пересечет продолжение АС биссектриса внешнего угла В?

Решение. Каждая из биссектрис угла В делит АС в одном и том же отношении, но одна внутренним, а другая внешним образом. Обозначим через L точку пересечения продолжения АС и биссектрисы внешнего угла В. Так как АК Обозначим неизвестное расстояние AL через тогда и мы будем иметь пропорцию Решение которой и дает нам искомое расстояние

Рисунок выполните самостоятельно.

Упражнения

1. Трапеция с основаниями 8 и 18 разбита прямыми, параллельными основаниям, на шесть полос равной ширины. Найти длины отрезков прямых, разбивающих трапецию на полосы.

2. Периметр треугольника равен 32. Биссектриса угла А делит сторону ВС на части, равные 5 и 3. Найти длины сторон треугольника.

3. Основание равнобедренного треугольника равно а, боковая сторона b. Найти длину отрезка, соединяющего точки пересечения биссектрис углов основания с боковыми сторонами.